北师大版七年级数学上册《等式的性质》典型例题(含答案)

《等式的性质》典型例题例1 回答下列问题；（1）从c b b a +=+，能否得到c a =，为什么？（2）从bc ab =，能否得到c a =，为什么？（3）从bc b a =，能否得到c a =，为什么？ （4）从b c b a -=-，能否得到c a =，为什么？（5）从1=xy ，能否得到yx 1=，为什么？ （6）从y y x =⋅，能否得到1=x ，为什么？例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ；（2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ； （6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ； （7）如果22-=-y x ，那么=x ；（8）如果32y x =，那么=x 3 ．例3 请利用等式性质解方程：x x 6109=- ①例4 利用等式的性质解下列方程并检验：（1）392=+x （2）2165.0=-x （3）734=-x例5 学校每年都要组织部分学生到游乐园游玩，并有一名带队去师．游乐园的门票成人8元，学生5元，此次购买门票共花183元，问共有多少学生参加了此次活动？例6 利用等式性质解下列一元一次方程（1）52=+x ；（2）53-=x ；（3）153=-x ；（4）1023=--u ．例7 甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？例8 A 足球队进行足球联赛，联赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，A 队一共比赛了10场，并保持不败记录，一共得了22分．A 队胜了多少场？平了多少场？例9 一商店把某商品按标价的九折出售仍可获知得20％的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件_________元．例10 某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在的降价的幅度是（ ）A ．45％B ．50％C ．90％D ．95％参考答案例1 解：（1）从c b b a +=+能得到c a =，根据等式性质1，在等式两边同时减去b 就得到c a =；（2）从bc ab =不能得到c a =．因为是b 是否为0不确定，因此不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以b ；（3）从bc b a =能得到c a =．根据等式性质2，等式两边都乘以b ； （4）从b c b a -=-能得到c a =．根据等式性质1，在等式两边都加上b ；（5）从1=xy 能得到y x 1=．由1=xy 隐含着0≠y ．因此根据等式的性质2．在等式两边都除以y ；（6）从y y x =⋅不能得到1=x ．因为y 是否为零不能确定，因此不能在y y x =⋅两边同除以y ．说明：在使用等式的性质2时，一定要注意除数不为0的条件，还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ．例2 分析：本题是等式性质的应用也是本节的难点，解答这类题目的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的．比如本题的第（1）题，第二个等式的左边．．是3不需填空，3是由第一个等式的左边．．53+减去5得到的，所以第二个等式的右边也应减5，即58-，因此填空为5，其它题目可进行类似地分析．解：（1）583-=；根据等式性质1．等式两边都减去5．（2）362+=x ；根据等式性质1．等式两边都加上3．（3）123-=+x x ；根据等式性质1．等式两边都加上x 2．（4）10=x ；根据等式性质2．等式两边都乘以2．（5）22131+-=-x x ； 根据等式的性质1．等式两边都加上x -2．（6）2132=-x ； 根据等式的性质2．等式两边都除以4．（7）y x =；根据等式性质1．等式两边都加上2．（8）y x 23=；根据等式性质2，等式两边都乘以6．例3 分析：第一步，想办法去掉等式右边的x 6，可以利用等式性质1，两边同减去x 6，得0103=-x ②第二步，想办法去掉左边的－10，可利用等式性质1，两边同加上10，得 103=x ③第三步，想办法把x 项的系数3变成1，可以利用等式性质2，两边同乘以31，得310=x ④ 于是我们求出了方程①的解 310=x 解：x x 6109=-两边同减去x 6，得0103=-x 两边同加上10，得103=x 两边同乘以31，得 310=x ． 说明：上述等式①、②、③、④都是方程，其中等式④具有双重性：既可以看成是方程，也可以看成是方程的解．例4 解：（1）两边减9，得93992-=-+x化简，得62-=x两边同除以2，得3-=x检验：将3-=x 代入方程的左边，得3969)3(2=+-=+-⨯方程的左右两边相等，所以3-=x 是方程的解．（2）两边加6，得621665.0+=+-x 化简，得 2135.0=x 两边同除以0.5，得13=x检验：将13=x 代入方程的左边，得2162136135.0=-=-⨯ 方程的左右两边相等，所以13=x 是方程的解．（3）两边减4，得47434-=--x化简，得33=-x两边同除以－3，得1-=x检验：将1-=x 代入方程的左边，得734)1(34=+=-⨯-方程的左右两边相等，所以1-=x 是方程的解．说明：（1）解方程是运用等式的性质将方程转化为a x =的形式，解方程的过程也可以看作是等式变形的过程．在解方程的过程中，要注意严格按照等式的性质．（2）检验是检查所求未知数的值是否为方程的解的必要过程，将所得到的未知数的值代人方程中，经计算后观察等式左右两边是否相等．（3）无论是解方程还是检验都应注意计算的准确性，养成正确计算的习惯．例5 解：设共有学生x 人参加，购买门票共花5x 元．则：18385=+x两边减8，得1755=x两边同时除以5，得35=x答：共有35个学生参加了此次活动．说明：列方程解应用问题关键是找准题目中的相等关系，此题可以以总钱数作为相等关系，也可以以学生购票所花钱数作为相等关系，求出方程的解后还应观察其是否符合实际意义，以及时发现错误．例6 分析：（1）（2）利用性质1，（3）利用性质2，（4）利用性质1和性质2．解：（1）两边同时减去2得2522-=-+x于是3=x ．（2）两边同时加上5得5553+-=+x于是x =8，习惯上写成8=x ．（3）两边同时除以－3，得31533-=--x 于是5-=x ．（4）两边同时加2得210223+=+--u ， 整理后123=-u ，两边同乘以－3，得36-=u ． 说明：①根据等式的性质将方程化成a x =的形式；②有时要多次使用性质，但要注意不要同时使用，要按先后次序，避免造成混乱．例7 分析：若设从乙队抽调x人到甲队，则现在甲队有)(x+人，乙队有32 -人，等量关系：甲队人数＝2倍乙队人数．(x28)解：设从乙队抽调x人到甲队，根据题意，有=+．整理后x)x-32x28(2=32-+．x256方程两边先加x=x．x，再除以3得82，后减32得243=所以，需从乙队抽调8人到甲队．说明：①根据实际问题，设未知数，找出等量关系，列出方程；②根据等式的性质将方程化成ax=的形式．例8 分析：设A队胜了x场，则A队平了)-场．(x10解：设A队胜了x场，积分为3x，则平了)(x-．10-场，积分为)(x10因此，22+xx，整理后22)-3=10(+x。

初中数学等式的性质习题1. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是（）A.如果a=b，那么a+c=b−cB.如果a2=3a，那么a=3C.如果a=b，那么ac =bcD.如果ac=bc，那么a=b2. 运用等式性质进行变形，不一定正确的是（）A.如果a=b，那么a+c=b+cB.如果a=b，那么ac=bcC.如果a+c=b+c，那么a=bD.如果ac=bc，那么a=b3. 如图，两个天平都平衡，则与2个球体质量相等的正方体的个数为()A.2B.3C.4D.54. 不等式13x<1的解集是( )A.x<13B.x>13C.x>3D.x<35. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ŷ=b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元6. 线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为________．7. 有一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，则a ________b .（选填“>”“<”或“=”）8. 若代数式4x −1与3x −6的值互为相反数，则x 的值为________.9. 由 x −5=3x +1，得 x −3x =1+5，是等式两边同时加上了________.10. 已知3x 2−4x 的值是9，则x 2−43x +6的值为________．11. 将等式3a −2b =2a −2b 变形，过程如下：因为3a −2b =2a −2b ，所以3a =2a （第一步），所以3=2（第二步），上述过程中，第一步的根据是________，第二步得出了明显错误的结论，其原因是________．12. 若x =4是方程kx =1的解，则k =________．13. 解方程（组）(1)解方程：x −2x+13=3x+24−1；(2)解方程组：{x−13=2y,2(x +y )−3(x −2y )=11.14. 某批服装进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于8%，商店最低可按标价的几折出售？（通过列不等式进行解答）15. 解方程：1−x 3=x −1−3x−24.16. 阅读材料，解答问题（1）；；；…猜想：________．（2）根据以上结论，写出下面式子的结果：________．（3）由以上情形，你能求出下面式子的结果吗？若能求，请直接写出结果，若不能求，请说明理由．________．17. 已知3b−2a+4=3a−2b，利用等式的性质比较a与b的大小．18. 已知7cosα=sinα，求下列各式的值：(1)sinα+cosα；2sinα−cosα(2)sin2α+sinαcosα+3cos2α.19. 用等式性质解下列方程：(1)4x−7=13;(2)3x+2=x+1．参考答案与试题解析初中数学等式的性质习题一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）1.【答案】D【考点】等式的性质【解析】根据等式的性质即可求出答案．【解答】解：A，当a=b时，a+c=b+c，故A错误；B，当a=0时，此时a≠3，故B错误；C，当c=0时，此时ac 与bc无意义，故C错误；故选D.2.【答案】D【考点】等式的性质【解析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【解答】解：A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c=b+c，所以成立；B、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a=b，所以B成立；C、利用等式性质1，两边都−c，得到a=b，所以C成立；D、不成立，因为根据等式性质2，c≠0；故选D．3.【答案】D【考点】等式的性质【解析】根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．【解答】解：设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x，y，z，根据已知条件，得：{2x=5y，①2z=2y，②①×2−②×5，得：2x=5z，即与2个球体相等质量的正方体的个数为5．故选D．【答案】D【考点】解一元一次不等式【解析】根据不等式的解集的概念即可求出答案．【解答】x<1，解：13解得：x<3.故选D.5.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额．【解答】解：由表中数据得：=3.5，x¯=4+2+3+54y¯=49+26+39+54=42，4又回归方程ŷ=b̂x+â中的b̂为9.4，故â=42−9.4×3.5=9.1，∴y=9.4x+9.1．将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元．故选B.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）6.【答案】30或67【考点】解一元一次方程【解析】根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合AP=2PQ分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出：的值．【解答】解：此题可分为两种情况进行讨论：①如图1，B点P、Q相遇前，由题意得4P=t,BQ=2t,PQ=AB−AP−BQ当AP=2PQ时，t=2(15−t−2t)解得t=307②如图2，9PB图2点P、Q相遇后，由题意得AP=t,BQ=2t,PQ=AP+BQQ−AB当AP=2PQ时，t=2t+2t−15)解得t=6或6．综上所述：t的值为307故答案为：30或6．77.【答案】>【考点】不等式的性质【解析】根据题意得到不等式10b+a<10a+b，通过解该不等式即可比较它们的大小．【解答】解：根据题意，得10b+a<10a+b，所以9b<9a，所以b<a，即a>b．故答案为：>.8.【答案】1【考点】相反数解一元一次方程【解析】根据互为相反数的两数之和为0可列出方程，解出即可．【解答】解：由题意可得方程：(4x−1)+(3x−6)=0，解得x=1，故答案为：1.9.【答案】−3x+5【考点】等式的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：等式的两边同时加上−3x，得x−3x−5=3x−3x+1，即x−3x−5=1等式的两边再同时加上5，得x−3x−5+5=1+5，即x−3x=1+5；也可以说：等式的两边再同时加上−3x+5，得x−5−3x+5=3x+1−3x+5，即x−3x=1+5，故答案为：−3x+5.10.【答案】9【考点】列代数式求值【解析】将原代数式变形后，利用整体代值的方法即可求解．【解答】解：因为3x2−4x=9，所以x2−43x=3,把x2−43x=3代入x2−43x+6=3+6=9．故答案为：9．11.【答案】等式的基本性质1,没有考虑a=0的情况【考点】等式的性质【解析】利用等式的基本性质判断即可．【解答】将等式3a−2b=2a−2b变形，过程如下：因为3a−2b=2a−2b，所以3a=2a （第一步），所以3=2（第二步），上述过程中，第一步的根据是等式的基本性质1，第二步得出了明显错误的结论，其原因是没有考虑a=0的情况，12.【答案】14【考点】方程的解【解析】将x=4代入方程计算即可得到k的值．【解答】解：把x =4代入方程kx =1得：4k =1，解得：k =14． 故答案为：14．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）13.【答案】解：(1)去分母，得12x −4(2x +1)=3(3x +2)−12，去括号，得12x −8x −4=9x +6−12，移项并合并，得−5x =−2，∴ x =25.(2){x −13=2y,①2(x +y )−3(x −2y )=11,②由①得x =6y +1，③由②2x +2y −3x +6y =11，得x =8y −11，④联立③④可得原方程组的解是{x =37,y =6.【考点】解一元一次方程代入消元法解二元一次方程组【解析】暂无暂无【解答】解：(1)去分母，得12x −4(2x +1)=3(3x +2)−12，去括号，得12x −8x −4=9x +6−12，移项并合并，得−5x =−2，∴ x =25. (2){x −13=2y,①2(x +y )−3(x −2y )=11,②由①得x =6y +1，③由②2x +2y −3x +6y =11，得x =8y −11，④联立③④可得原方程组的解是{x =37,y =6.14.【答案】商店最低可按标价的7.2折出售【考点】一元一次不等式的实际应用【解析】设商店打x折出售，根据利润＝售价-成本结合保证毛利润不低于8%，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】设商店打x折出售，−200≥200×8%，依题意，得：300×x10解得：x≥7.2．15.【答案】解：去分母得4(1−x)=12(x−1)−3(3x−2)，去括号得4−4x=12x−12−9x+6，整理得7x=10，解得x=10.7【考点】解一元一次方程【解析】暂无【解答】解：去分母得4(1−x)=12(x−1)−3(3x−2)，去括号得4−4x=12x−12−9x+6，整理得7x=10，解得x=10.716.【答案】（1）[加加](1)x n+1；（2）x150−1;（3）|x|9+|18+⋯+x++【考点】整式的混合运算【解析】（1）观察已知等式，得到一般性结果，写出即可；（2）原式利用得出的规律计算即可得到结果；（3）原式变形后，约分即可得到结果．【解答】（1）(x−1)(x+1)=x2−1(x−1)(x2+x+1)=x3−(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−猜想(x−1)(x n+x n−1+⋯+x2+x+1)=x n+1−（2）根据以上结果，试写出下列式子的结果：(x−1)(x49+x+48+x+1)=x5050（3）由以上情形，求出下面式子的结果：(x20−1)=(x−1)=(x−1)(x19+x18+⋯+x+1)=(x−1)=x19+x19+x+x+1故答案为：（1）xn+1；（2）x50−1；(3)×19+x18…+x+117.【答案】【考点】数列的求和对数的运算性质对数及其运算有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】解：(1)∵由7cosα=sinα得，tanα=sinαcosα=7，∴sinα+cosα2sinα−cosα=tanα+12tanα−1=814−1=813．(2)∵tanα=7，∴sin2α+sinαcosα+3cos2α=sin2α+sinαcosα+3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+tanα+3 tan2α+1=49+7+349+1=5950．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：(1)∵由7cosα=sinα得，tanα=sinαcosα=7，∴sinα+cosα2sinα−cosα=tanα+12tanα−1=814−1=813．(2)∵tanα=7，∴sin2α+sinαcosα+3cos2α=sin2α+sinαcosα+3cos2αsin2α+cos2α=tan2α+tanα+3 tan2α+1=49+7+349+1=5950．．19.【答案】解：(1)4x−7=13移项得：4x=20，方程两边同时除以4得：x=5；(2)3x+2=x+1移项得：3x−x=−2+1，合并同类项得：2x=−1，．解得：x=−12【考点】等式的性质【解析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可；（2）利用等式的基本性质分别化简得出即可．【解答】解：(1)4x−7=13移项得：4x=20，方程两边同时除以4得：x=5；(2)3x+2=x+1移项得：3x−x=−2+1，合并同类项得：2x=−1，．解得：x=−12试卷第11页，总11页。

等式的性质（北师版）（基础）一、单选题(共9道，每道10分)1.把方程变形为，其依据是( )A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.分数的基本性质答案：B解题思路：把方程变形为，是在等式的两边同时除以2得到的，依据是等式的性质2．故选B．试题难度：三颗星知识点：等式的性质2.已知，则下列各式：；；；．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：由，得，利用的是等式的性质1；由，得，利用的是等式的性质2；由，得，先利用等式的性质2得，再利用等式的性质1，得；当利用等式的性质2，等式两边同时除以一个数时，必须保证除以的这个数不能为0，但这里不能确定y是否为0，故不能得到．正确的只有3个，故选C．试题难度：三颗星知识点：等式的性质3.若等式可以变形为，则有( )A. B.C. D.为任意数答案：C解题思路：等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．因此两边同时除以时，要保证．故选C．试题难度：三颗星知识点：等式的性质4.若，则( )A.0B.1C.-3D.3答案：C解题思路：方程的两边都减去x，得得故选C试题难度：三颗星知识点：等式的性质5.用等式的性质解方程：方程的解为x=( )A.0B.-2C.2D.3答案：C解题思路：方程的两边都减去5x，得得则x=2故选C试题难度：三颗星知识点：等式的性质6.用等式的性质解方程：方程的解为x=( )A.8B.-8C.2D.-2答案：B解题思路：方程的两边都乘以-2，得x=-8故选B试题难度：三颗星知识点：等式的性质7.下列等式变形错误的是( )A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：C解题思路：A.方程的两边都加上1，得x=4，正确B.方程的两边都乘以2，得x-2=2x，正确C.当m=0时，x≠y；当m≠0时，x=y，不正确D.方程的两边都加上3-y，则x-y=0，正确故选C试题难度：三颗星知识点：等式的性质8.下列变形符合等式的性质的是( )A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么答案：D解题思路：A.如果，那么y=2x-7，不正确B.如果，当k=0时，a≠b，不正确C.如果，那么x=，不正确D.如果，那么，正确故选D试题难度：三颗星知识点：等式的性质9.已知等式，则下列等式中不一定成立的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子特征，A：把5移到等式左边，变号，所以A选项一定成立；B：等式两边同时加上了1，所以B选项一定成立；C：等式左边乘了，等式右边不是，所以C选项不一定成立；D：等式两边同时除以3，所以D选项一定成立．故选C．试题难度：三颗星知识点：等式的性质二、填空题(共1道，每道10分)10.由方程得到，依据是____.答案：等式的性质1解题思路：等式的性质1：方程的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 方程的两边减去5得到故依据是等式的性质1试题难度：知识点：等式的性质。

5.1 认识一元一次方程第2课时等式的基本性质基础检测1．在4x－2=1+2x两边都减去_______，得2x－2=1，两边再同时加上________，得2x=3，变形依据是________．2．在14x－1=2中两边乘以_______，得x－4=8，两边再同时加上4，得x=12，变形依据分别是________．3．一件羽绒服降价10%后售出价是270元，设原价x元，得方程（）A．x（1－10%）=270－x B．x（1+10%）=270C．x（1+10%）=x－270 D．x（1－10%）=2704．甲班学生48人，乙班学生44人，要使两班人数相等，设从甲班调x人到乙班，•则得方程（）A．48－x=44－x B．48－x=44+xC．48－x=2（44－x） D．以上都不对5．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，•则解密得到的明文为（）A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，66．用等式的性质解下列方程：（1）4x－7=13；（2）12x－2=4+13x．7．只列方程，不求解．某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少100套，如果每天平均生产32套服装，就可以超过订货任务20套，问原计划几天完成？拓展提高8．某校一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，•每一排都比前一排增加a个座位．（1）请在下表的空格里填写一个适当的代数式．（2）已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，列方程为______．。

七年级数学上册等式的性质练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知x =y ，下列变形错误的是（ ）A ．x +a =y+aB ．x -a =y -aC ．2x =2yD ．x y a a= 2．点B ，C ，D 是线段AE 上的点，AB ，BC ，CD ，CE 的长如图所示，若D 为线段AE 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．a b =B ．2a b =C ．3a b =D ． 1.5a b =3．已知等式342m n =+，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．423n m m =+B ．3244m n +=+C ．324m n -=D ．4233m n =+ 4．解方程()()()235131x x x +--=-，下列去括号正确的是（ ）A ．265533x x x +-+=-B ．23533x x x +-+=-C ．265533x x x +--=-D ．23531x x x +-+=-5．若有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的是（ ）A ．a b >B ．0a b +>C ．0a b ->D ．a b >6．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．4()a b b c -=- D ．5()a c a b -=-二、填空题7．如图，框图表示解这个方程的流程：其中，“移项”这一步骤的依据是________，“合并同类项”这一步骤的依据是________，“系数化为1”这一步骤的依据是________．8．已知a 、b 、c 、d 、e 、f 都为正数，12 bcdef a =，14 acdef b =，18 abdef c =，2 abcef d =，4 abcdf e =，8 abcde f=，则222222a b c d e f +++++=________． 9．如果有理数m 、n 满足0m ≠，且20m n +=，则2n m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________三、解答题10．列等式表示：（1）比a 大5的数等于8；（2）b 的三分之一等于9；（3）x 的2倍与10的和等于18；（4）x 的三分之一减y 的差等于6；（5）比a 的3倍大5的数等于a 的4倍；（6）比b 的一半小7的数等于a 与b 的和．11．根据问题，设未知数，列出方程：用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 12．一条东西方向的道路上有A ，B 两点，现有出租车从A 点出发，在这条路道路上进行往返运动，以该道路为直线建立数轴（向东为正，1千米为1个单位长度）．点A ，B 分别表示－8，10，将出租车在数轴上的位置记为点C ，每次运动的位置变化记录如下(x >0)：(1)第一次运动后点C 在数轴上所表示的数为 ，第二次运动方向为 (填“向东”或“向西”)．(2)若经过前三次运动，点C 恰好与点B 重合．①求x 的值．①点C这四次一共运动了多少千米的路程？参考答案：1．D【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可【详解】解：A.x y =，∴ x +a =y+a ，故该选项正确，不符合题意；B.x y = ，∴x -a =y -a ，故该选项正确，不符合题意；C.x y =，∴ 2x =2y ，故该选项正确，不符合题意；D. x y =，当0a ≠时，x y a a=，故该选项不正确，符合题意； 故选D【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．2．B【分析】根据D 是AE 的中点，得出AD ED =，据此列出等式计算找出a 与b 的关系即可．【详解】解：D 是AE 的中点，AD ED ∴=， =AD AB BC CD ++，DE CE CD =-，AB BC CD CE CD ∴++=-，23323a b a b a b a b ∴++-=--+，2a b ∴=．故选：B ．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差和整式的加减，要牢固地掌握这些知识点，会用线段和差与线段中点解决a 与b 的关系是解题关键．3．A【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可．【详解】解：A 、当0m =时，等式423n m m=+无意义，故此选项符合题意； B 、由342m n =+可以得到3244m n +=+，故此选项不符合题意；C 、由342m n =+可以得到324m n -=，故此选项不符合题意；D 、由342m n =+可以得到4233m n =+，故此选项不符合题意． 故选A ．【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．4．A【分析】根据去括号法则，对方程进行去括号，即可得到答案.【详解】解：去括号得：265533x x x +-+=-，故选：A ．【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．5．D 【分析】根据数轴先判断101,,a b a b <-<<从而可得,0,0,a b a b a b 从而可得答案．【详解】解：①101,a b a b <-<<，①,0,0a b a b a b <+<-<，①A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意；故选D.【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，有理数的加法与减法的结果的符号确定，理解有理数的加减运算中的符号确定法则是解本题的关键．6．D【分析】举反例可判断A 和B ，将式子整理可判断C 和D ．【详解】解：A ．当5a =，10c =，41655b ac =+=时，c b a >>，故A 错误； B ．当10a =，5c =，41955b ac =+=时，a b c >>，故B 错误； C ．4()a b b c -=-整理可得1455b a c =-，故C 错误；D ．5()a c a b -=-整理可得4155b ac =+，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．7． 等式的基本性质1 合并同类项法则 等式的基本性质2【分析】利用等式的性质及合并同类项法则判断即可．【详解】解：“移项”这一步骤的依据是等式的基本性质1，“合并同类项”这一步骤的依据是合并同类项法则，“系数化为1”这一步骤的依据是等式的基本性质2．故答案为：等式的基本性质1；合并同类项法则；等式的基本性质2．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质以及合并同类项法则是解本题的关键． 8．1198【分析】根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果． 【详解】解：由12 bcdef a =，14 acdef b =，18 abdef c =，2 abcef d =，4 abcdf e=，8 abcde f =，可将每个等式的左右两边相乘得：()51abcdef abcdef =，①1abcdef =，2112bcdef a a a a ⋅==⋅， ①22a =，同理可得：24b =，28c =，212d =，214e =，218f =， ①2222221198a b c d e f +++++=； 故答案为1198． 【点睛】本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．9．14- 【分析】先根据20m n +=得出2m n =-，然后代入2n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭求值即可． 【详解】解：20m n +=， ①2m n =-， ①22211224m n m m ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：14-． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，根据m 、n 的等式，用m 表示出n ，是解题的关键．10．（1）58a +=；（2）193b =；（3）21018x +=；（4）163x y -=；（5）354a a +=；（6）172b a b -=+ 【分析】（1）比a 大5时，是加法算式，（2）b 的三分之一是13b ， （3）x 的2倍是2x ，（4）x 的三分之一是13x ， （5）a 的3倍是3a ，（6）b 的一半是12b ．【详解】（1）依题意得a +5=8，（2）依题意得13b =9， （3）依题意得2x +10=18，（4）依题意得13x -y =6 （5）依题意得3a +5=4a ，（6）依题意得12b -7=a +b ．【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．11．设大水杯的单价为x 元，()10155x x =-．【分析】可设大水杯的单价为x 元，则小水杯的单价为()5x -元，根据等量关系：买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，列出方程求解即可．【详解】解：设大水杯的单价为x 元，则小水杯的单价为()5x -元，依题意有 ()10155x x =-．【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．12．(1)-11，向西(2)①9x =①55【分析】（1）根据有理数的加法列式计算，由于正数和负数表示一对相反意义的量，向东为正，则向西为负，即可解答；（2）①根据这几个数的和为10，建立方程求解即可；①点C 运动的路程为这几个数的绝对值之和，把①的结果代入式中计算即可．(1)解：第一次运动后点C 在数轴上所表示的数为：8(3)11-+-=-，①0x >，①0x -<，①向西运动．故答案为：-11，向西；(2)①根据题意，列得方程 ()()()833310x x -+-+-++=，解得9x =；①根据题意，可列式：3334x x x -+-+++--=3939394-+-+⨯++--=3+9+30+13=55，即这四次一共运动了55千米的路程．【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、有理数的加减运算以及一元一次方程的知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．。

七年级数学上册3.1.2等式的性质一．选择1．下列等式变形错误的是 ( )A ．若x -1=3,则x=4B ．若，则 x -1= 2xC ．若x -3 =y -3，则x -y=0D ．若3x+4= 2x ．则3x -2x= -42．根据等式的性质，下列各式变形正确的是 ( )A ．由得x=2yB ．由3x -2= 2x+2得x=4C ．由2x -3= 3x 得x=3D ．由3x -5=7得3x= 7-53．下列是等式的变形，其中根据等式的性质2变形的是( )A ．B.C ．D ．2x+1-3= 3x4.下列说法正确的是 ( )A ．等式ab =ac 两边都除以n ．可得b=cB ．等式a=b 两边都除以c ²+1，可得C ．等式b ：c 两边都除以a ，可得b=c 。

D ．等式两边都除以2．可得x=a -b 5.如图3-1- 2-1所示的四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，其中①中天平是平衡的，则②③④中的天平仍然平衡的有( )图3-1-2-1A ．0个 x =-1x 21y 32x 31=-x =-+131x 2131x 2+=+x 131x 2=-+x x =-+1313x 211a22+=+c b c a c a =bB.1个C.2个D ．3个6.已知由=6可得x=-24，下列变形方法：①方程两边同乘；②方程两边同乘-4；③方程两边同除以；④方程两边同除以-4.其中正确的有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D.4个7.下列变形错误的是 ( )A ．若x=y ，则x+5=y+5B ．若，则x=y C ．若-3x= -3y ，则x=yD ．若x=y ，则8.设x ，y ，z 是有理数，下列说法正确的是 ( )A ．若x=y ，则x +c= y -cB ．若x=y ，则xc=ycC ．若x=y ，则D ．若，则2x=3y9.若代数式x+2的值为1，则x 等于 ( )A.1B.-1C.3D.-310.有三种不同质量的物体“圆”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是 ( )A.B.C.x 41-41-41-a y a =x m y m =x c y c =x c y c 32x =D.二．填空 1.小邱认为，若ac=bc ，则a=b ．你认为小邱的观点正确吗？_____________（填“是”或“否”），并写出你的理由：______________．2.当1-（3m -5）²取得最大值时，关于工的方程5m -4= 3x+2的解是_________．三．按要求做题1.在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的．(1)如果，那么x=__________，根据_______； (2)如果-2x= 2y ，那么x=____，根据_______；(3)如果，那么x=_______，根据_____；(4)如果x=3x+2，那么x -________2，根据_________________.2.利用等式的性质解一元一次方程．(1)x+1=2；(2)； (3)5=x -4;(4)5(y -1)= 10;(5). 3.小明学习了《等式的性质》后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x -2= 3x -2，等式的两边同时加上2，得4x= 3x ，然后等式的两边同时除以x ，得4=3．”(1)小明的说法对吗？为什么？(2)你能求出方程4x -2= 3x -2的解吗？4.能否从等式( 3a+7)x=4a -b 中得到？为什么？反过来，能否从等式中得到(3a+7)x=4a -b?为什么？5.a 、b 、c 三个物体的质量关系所示：回答下列问题：(1)a 、b 、c 三个物体就单个而言哪个最重？(2)若天平一边放一些物体a ，另一边放一些物体c ，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a 和物体c?510x y =-4x 32=33x =-532a =--734x +-=a b a 734x +-=a ba答案：一．1.B B 选项，．根据等式的性质2，两边都乘2．可得x -2=2x ．故B 选项错误，故选B ．2．B A 选项，等式两边同时乘-3，得x=-2y ，放A 错误；C 选项，等式两边同时减去2x ．得x=-3，故C 错误；D 选项，等式两边同时加5，得3x=7+5．故D 错误，故选B ．3．D4.B5.C 由①中的天平可知，一个球的质量=两个圆柱的质量，则②③中的天平是平衡的，④中的天平不是平衡的．故选C ．6.B7.D 没有说明m 能否取0，错误，故选D ．8.B9.B 由题意得x+2=1，利用等式的性质1,方程两边同时减去2，得x= 1-2,即x=-1．10.A二．1.答案：小邱的观点不正确 ，当c=0时，a 不一定等于b解析 若ac=bc,c=0，则a=b 不一定成立，即小邱的观点不正确．2.答案三．1.答案(1)-2y ；等式的性质2，两边都乘-10(2)-y ；等式的性质2，两边都除以-2(3)6；等式的性质2，两边都乘(4)3x ；等式的性质1，两边都减去3x2.解析(1)方程两边同时减1．得x+1-1=2-1，所以x=1．(2)方程两边同时乘-3，得×(-3)=3×(-3)，所以x=-9. (3)方程两边同时加4，得5+4 =x -4+4,所以x=9．(4)方程两边同时除以5，得，所以y -1=2．方程两边同时加1，得y -1+1=2+1，所以y=3．x =-1x 2197233x -5105)1-y (5=(5)方程两边同时加3．得，所以．方程两边同时乘-2，得，所以a=-16．3.解析(1)不对，因为等式4x= 3x 中的值为0．(2)方程两边同时加2得4x= 3x ，然后两边同时减3x ，得x=0．4.解析 从等式(3a+7)x=4a -b 中不一定能得到， 理由：当时，3a+7=0， 根据等式的性质2，等式两边不能删除以0.所以不能得到； 当时，3a+7≠0，根据等式的性质2，能得到． 反过来，能从等式中得到(3a+7)x=4a -b ．理由：由知3a+7≠0，等式两边同乘3a+7，得(3a+7)x=4a -b ．所以能从等式中得到(3a+7)x=4a -b ． 5.解析(1) 根据题图知2a= 3b,2b=3．，．则,，进而有， 因为，所以a>b>c ， 所以a 、b 、c 三个物体就单个而言，a 最重．(2)由(1)知，即4a=9c ，所以若天平一边放一些物体a ，另一边放一些物体c ．要使火平平衡，则天平两边至少应该分别放4个物体a 和9个物体c ．35332a +=+--82a =-()()2822a -⨯=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-734x +-=a b a 37a -=734x +-=ab a 37a -≠734x +-=a b a 734x +-=a b a 734x +-=a b a 734x +-=a b a b 23a =c 23b =c 49a =c c >>23c 49c 49a =。

人教版七年级上册第五章5.1.2等式的基本性质培优训练卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列等式变形中，错误的是()A ．由a ＝b ，得a ＋5＝b ＋5B ．由a ＝b ，得a－3＝b－3C ．由x ＋2＝y ＋2，得x ＝yD ．由－3x ＝－3y ，得x ＝－y2.已知等式3a ＝2b ＋5，则下列等式不一定成立的是()A ．3a －5＝2bB ．3a ＋1＝2b ＋6C ．3ac ＝2bc ＋5D ．a ＝23b ＋533．下列等式变形正确的是()A ．若a ＋3＝b －7，则a －b ＝－10B ．若14x ＝－4，则x ＝－1C ．若3m ＝－3m ，则3＝－3D ．若2x ＝3，则x ＝234．下列从左到右的变形中，正确的是()A ．方程x －6＝2变形为x ＝－6＋2B ．方程12x ＝－1变形为x ＝－2C ．方程－2x ＝3变形为x ＝23D ．方程6x ＝3x 变形为6＝35．下列根据等式的性质解方程正确的是()A ．由－13x ＝23y ，得x ＝2y B ．由3x －2＝2x ＋2，得x ＝4C ．由2x －3＝3x ，得x ＝3D ．由3x －5＝7，得3x ＝7－56．用等式的性质解方程3＝32x －6，过程正确的是()A ．3＝32x －6变形为9＝32x ，再变形为32x ＝－9，所以x ＝－6B ．3＝32x －6变形为9＝32x ，再变形为272＝x ，所以x ＝272C ．3＝32x －6变形为9＝32x ，再变形为6＝x ，所以x ＝6D ．3＝32x －6变形为－3＝32x ，再变形为－2＝x ，所以x ＝－27．已知方程7x －1＝6x ，则根据等式的性质，下列变形正确的有()①－1＝7x ＋6x ；②72x －12＝3x ；③7x －6x －1＝0；④7x ＋6x ＝1.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在3x ＝3y ，x ＋4＝4＋y ，7－2x ＝7－2y ，3x －1＝2y ＋2中，根据等式的性质变形能得到x ＝y 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．49.等式1－3x 23－3＝2x 的下列变形属于等式基本性质2变形的是()A.1－3x 2－3＝2x ＋3B.3（1－3x ）2－3＝2x C ．3(1－3x)－6＝4xD ．3(1－3x)－4x ＝610.如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两台天平保持平衡，如果要使第三台天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数为()A ．5B ．4C ．3D ．2二．填空题（共8小题，3*8=24）11．填空，使结果仍为等式：(1)若2x－5＝8，则2x＝8＋____；(2)若5x＝15，则x＝____；(3)若4x＋5y＝6，则4x＝6____.12.若代数式x＋2的值为1，则x等于____.13.根据等式的基本性质，由3x－2＝2x＋2得x＝_______；依据等式性质1，x－2＝0，则x＝_________.14.如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有___________.（填序号）15．当m，n满足关系式时，有等式m－3＝n－3成立．16．若3x与4－x互为相反数，则x＝____．17．已知3a＋2b＝1，3a＋2b－3c＝0，那么c＝____．18.“●■▲”分别表示三种不同的物体．如图所示，天平①②保持平衡，如果要使天平③也平衡，那么应在天平③的右端放“■”的个数为__________.三．解答题（共7小题，46分）19.(6分)利用等式的性质解下列方程．(1)7x－6＝8;(2)10x＝4x－3；(3)0.4x＋10＝－1.20.(6分)是否存在一个x的值，使2x＋3与7x－3的值相等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．21.(6分)小明在解方程3a－2x＝15(x是未知数)时，误将－2x看成2x，得方程的解为x＝3，请求出原方程的解．22.(6分)已知2x2－3＝5，你能求出x2＋3的值吗？说明理由．23.(6分)利用等式的性质解方程：(1)4x＋2＝5x－3;(2)1 9＝x3－16.24.(8分)已知－2a＝5b，a－3＝4－b.利用等式性质求值：(1)求ab及a＋b的值；(2)计算3a＋2ab＋3b的值．25.(8分))已知3b－2a－1＝3a－2b，你能利用等式的性质比较a与b的大小吗？说说你的理由．参考答案1-5DCABB 6-10CBCCA11.5，3，－5y12．－113.4；214.②③15.m ＝n16.－217.1318．519.解：(1)方程两边同加6得7x ＝14，方程两边同除以7得x ＝2.(2)方程两边同减去4x 得6x ＝-3，方程两边同除以6得x ＝－12.(3)方程两边同减去10得0.4x ＝-11，方程两边同除以0.4得x ＝－552.20.解：存在，因为若2x ＋3＝7x －3，根据等式的基本性质，等式两边同减去7x 得－5x ＝－6.等式两边同除以-5，得x ＝65.所以存在x ＝65，使2x ＋3与7x －3的值相等21.解：依题意，得3a ＋2x ＝15的解为x ＝3，所以3a ＋2×3＝15，解得a ＝3，当a ＝3时，原方程为3×3－2x ＝15，解得x ＝－3，即原方程的解为x ＝－3.22.解：可以求出．理由如下：由2x 2－3＝5，得2x 2－3＋3＝5＋3，x 2＝4，所以x 2＋3＝7.23.解：(1)方程两边同时减去5x －3，得－x ＋5＝0，两边同时减去5，得－x ＝－5，方程两边同时乘以－1，得x ＝5(2)方程两边同时减去19得0＝x 3－518，两边同时减去x 3得－x 3＝－518，两边同时乘以－3得：x ＝5624.解：(1)在－2a ＝5b 两边同时乘以b 和除以－2得ab ＝－52；在a －3＝4－b 两边同时加上(3＋b)得a ＋b ＝7(2)3a ＋2ab ＋3b ＝3(a ＋b)＋2ab ＝21＋2×(－52)＝1625.解：由3b －2a －1＝3a －2b ，在等式两边都减去(3b －2a)，得－1＝3a －2b －(3b －2a)，3a －2b －3b ＋2a ＝－1，即5a －5b ＝－1；再将该等式两边同时除以5，得a －b ＝－15.因为－15<0，所以a －b<0，故a<b。

北师大版七年级数学上册《5.2.1等式的基本性质》同步测试题及答案1、根据等式的基本性质进行变形，正确的是( )A .若x =y ，则x +5=y -5B .若a -x =b +x ，则a =bC .若ax =ay ，则x =yD .若x 2=y 2，则x =y 2、下列等式变形错误的是 ( )A .若x =y ，则x -3=y -3B .若a =b ，则ac =bcC .若a (x 2+1)=b (x 2+1)，则a =bD .若a =b ，则a c 2=bc 2 3下列方程的变形中，不正确的是 ( )A .由7x =6x -1，得7x -6x =1B .由-13x =9，得x =-27C .由5x =10，得x =2D .由3x =6-x ，得3x +x =64(2024·重庆期末)如果a =b ，那么a c -1=bc -1成立时c 应满足的条件是 .5若12x =25，则x = . 练易错 在运用等式的基本性质时易忽视0不能为除数6(2024·上海质检)阅读理解题:下面是小明将等式x -4=3x -4进行变形的过程:x -4+4=3x -4+4①x =3x ②1=3③.(1)步骤①的依据是________________________________________.(2)小明出错的步骤是________，错误的原因是___________________________.(3)给出正确的解法.7、下列条件:①a+2=b+2;②-3a=-3b;③-a-c=b+c;④ac-1=bc-1;⑤ac =bc，其中根据等式的性质可以推导出a=b的条件有(填序号即可).8若a+9=b+8=c+7，则(a-b)2+(b-c)2-(c-a)2=.9利用等式的基本性质解方程:(1)4x+7=3;(2)2(t-3)+3=1.参考答案1、下列根据等式的基本性质进行变形，正确的是(D)A.若x=y，则x+5=y-5B.若a-x=b+x，则a=bC.若ax=ay，则x=yD.若x2=y2，则x=y2、下列等式变形错误的是(D)A.若x=y，则x-3=y-3B.若a=b，则ac=bcC.若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=bD .若a =b ，则a c 2=bc 2 3下列方程的变形中，不正确的是 (A )A .由7x =6x -1，得7x -6x =1B .由-13x =9，得x =-27C .由5x =10，得x =2D .由3x =6-x ，得3x +x =64、如果a =b ，那么a c -1=bc -1成立时c 应满足的条件是 c ≠1 . 5若12x =25，则x = 45 .练易错 在运用等式的基本性质时易忽视0不能为除数6、阅读理解题:下面是小明将等式x -4=3x -4进行变形的过程:x -4+4=3x -4+4①x =3x ②1=3③.(1)步骤①的依据是________________________________________.(2)小明出错的步骤是________，错误的原因是___________________________.(3)给出正确的解法.解:(1)步骤①的依据是等式的两边都加(或减)同一代数式，结果仍得等式; 答案:等式的两边都加(或减)同一个代数式，结果仍得等式(2)小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0;答案:③ 等式两边都除以0(3)x -4=3x -4x -4+4=3x -4+4x=3x x-3x=0 -2x=0 x=0.7、下列条件:①a+2=b+2;②-3a=-3b;③-a-c=b+c;④ac-1=bc-1;⑤ac =bc，其中根据等式的性质可以推导出a=b的条件有①②⑤(填序号即可). 8若a+9=b+8=c+7，则(a-b)2+(b-c)2-(c-a)2=-2.9利用等式的基本性质解方程:(1)4x+7=3;(2)2(t-3)+3=1.解:(1)方程两边都减7，得4x=-4.方程两边都除以4，得x=-1;(2)方程两边同时减3，得:2(t-3)+3-3=1-3，2(t-3)=-2两边同时除以2，得:t-3=-1两边同时加3，得:t=-1+3所以t=2.。

等式的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）下列等式变形正确的是( ) A ．若42x =，则2x =B ．若4223x x -=-，则4322x x +=-C ．若4(1)32(1)x x +-=+，则4(1)2(1)3x x +++=D ．若3112123x x+--=，则3(31)2(12)6x x +--= 2．（2019秋•昌平区期末）下列等式变形正确的是( ) A ．如果a b =，那么33a b +=- B ．如果375a a -=，那么357a a += C ．如果33x =-，那么66x =-D ．如果23x =，那么23x =3．（2019秋•顺义区期末）在下列式子中变形正确的是( ) A ．如果a b =，那么a c b c +=- B ．如果a b =，那么55a b =C ．如果42a=，那么2a = D ．如果0a b c -+=，那么a b c =+4．（2019秋•海淀区校级期中）下列等式变形不正确的是( ) A ．若a b =，则ac bc = B ．若a b =，则33a b -=- C ．若x y =，则x ya a= D ．若b da c=，则bc ad = 5．（2018秋•丰台区校级期中）宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则这个三角形面积为：S =了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当4a =，5b =，6c =时，三角形边a 上的高等于( )A B C D6．（2009秋•宣武区校级期中）等腰三角形一边长为7，那么这个等腰三角形的腰长为( )A ．3.5B ．C ．3.52D ．不能确定二．填空题（共7小题）7．（2016秋•房山区期中）斐波那契（约11701250)-是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n ]n n-表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为，第2个数为．8．（2019秋•通州区期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.6转化为分数时，可设0.6x=，则10 6.6x=，1060.6x=+，106x x=+，解得23x=，即20.63=．仿此方法，将0.5化成分数是，将0.45化成分数是．9．（2018秋•朝阳区期末）下面的框图表示了解这个方程的流程在上述五个步骤中依据等式的性质2的步骤有．（只填序号）10．（2016•朝阳区二模）在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“12=”的结论．设a、b为正数，且a b=．a b=，2ab b∴=．①222ab a b a∴-=-．②()()()a b a b a b a∴-=+-．③a b a∴=+．④2a a∴=．⑤12∴=．⑥大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 （填入编号），造成错误的原因是 ．11．（2018春•海淀区期中）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A ，B ，正方形A 的面积为2，正方形B 的面积为4，则图中阴影部分的面积是 ．12．（2017春•北京期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()z f x ，即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+，则()z f x n =． 如：(0)(0.48)0z z f f ==，(0.64)(1.49)1z z f f ==，z f （4）(3.68)4z f ==，⋯ 试解决下列问题：①(3)z f = ；②2(33)z f += ； ③222222221111(11)(22)(22)(33)(33)(44)(20172017)(20182018)z z z z z z z z f f f f f f f f +++⋯+++++++++= ．13．（2019春•东城区期末）如图，在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为1，2，则图中阴影部分的面积等于 ．三．解答题（共2小题）14．（2019秋•昌平区期末）观察下列两个等式：22121133-=⨯⨯-，33222155-=⨯⨯-给出定义如下：我们称使等式21a b ab -=-成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为(,)a b ，如：数对2(1,)3，3(2,)5，都是“同心有理数对”．（1）数对(2,1)-，4(3,)7是“同心有理数对”的是 ．（2）若(,3)a 是“同心有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“同心有理数对”，则(,)n m -- “同心有理数对”（填“是”或“不是” )，说明理由． 15．（2017秋•西城区校级期中）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”，看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解：【小明提出问题】利用一元一次方程将0.7化成分数．【小明的解答】解：设0.7x=．方程两边都乘以10，可得100.710x⨯=．由0.70.777=⋯，可知100.77.77770.7⨯=⋯=+，即710x x+=．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得79x=，即70.79=．【小明的问题】将0.4写成分数形式．【小白的答案】49．（正确的！)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：①0.73；②0.432．等式的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）下列等式变形正确的是( ) A ．若42x =，则2x =B ．若4223x x -=-，则4322x x +=-C ．若4(1)32(1)x x +-=+，则4(1)2(1)3x x +++=D ．若3112123x x+--=，则3(31)2(12)6x x +--= 【分析】根据等式的性质即可解决． 【解答】解：A 、若42x =，则12x =，原变形错误，故这个选项不符合题意； B 、若4223x x -=-，则4322x x +=+，原变形错误，故这个选项不符合题意；C 、若4(1)32(1)x x +-=+，则4(1)2(1)3x x +-+=，原变形错误，故这个选项不符合题意；D 、若3112123x x+--=，则3(31)2(12)6x x +--=，原变形正确，故这个选项符合题意； 故选：D ．【点评】本题考查了等式的性质．熟知等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．2．（2019秋•昌平区期末）下列等式变形正确的是( ) A ．如果a b =，那么33a b +=- B ．如果375a a -=，那么357a a += C ．如果33x =-，那么66x =-D ．如果23x =，那么23x =【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：如果a b =，那么33a b +=+，故选项A 错误； 如果375a a -=，那么357a a -=，故选项B 错误； 如果33x =-，那么66x =-，故选项C 正确； 如果23x =，那么32x =，故选项D 错误； 故选：C ．【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题． 3．（2019秋•顺义区期末）在下列式子中变形正确的是( )A ．如果a b =，那么a c b c +=-B ．如果a b =，那么55a b =C ．如果42a=，那么2a = D ．如果0a b c -+=，那么a b c =+【分析】根据等式的性质，等式的两边同加或同减同一个整式，可判断A 、D ，根据等式的两边都乘或都除以同一个不为零的整式，可得答案．【解答】解：A 等式的左边加c 右边也加c ，故A 错误；B 等式的两边都除以5，故B 正确；C 两边都乘以2，故C 错误；D 0a b c -+=，a b c =-，故D 错误；故选：B ．【点评】本题考查了等式的性质，两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，两边都加或都减同一个整式，结果仍是等式．4．（2019秋•海淀区校级期中）下列等式变形不正确的是( ) A ．若a b =，则ac bc = B ．若a b =，则33a b -=- C ．若x y =，则x ya a= D ．若b da c=，则bc ad = 【分析】根据等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A 、若a b =，则ac bc =，变形正确，故本选项正确；B 、若a b =，则33a b -=-，变形正确，故本选项正确；C 、若x y =，则(0)x ya a a=≠，故本选项不正确； D 、若b da c=，则bc ad =，变形正确，故本选项正确； 故选：C ．【点评】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．5．（2018秋•丰台区校级期中）宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则这个三角形面积为：S =了严格证明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当4a =，5b =，6c =时，三角形边a 上的高等于( )A B C D 【分析】先根据三角形的三边长求出p 的值，然后再代入三角形面积公式中计算面积，然后求得a 上的高即可． 【解答】解：由题意，得：4a =，5b =，6c =； 115()22p a b c ∴=++=；S∴===设a边上的高为h，则12ah s=22424sha∴===，故选：A．【点评】此题考查代数式求值以及二次根式的混合运算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解答此题的关键6．（2009秋•宣武区校级期中）等腰三角形一边长为7，那么这个等腰三角形的腰长为() A．3.5B．C．3.52D．不能确定【分析】已知条件中，本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，再根据三角形的周长公式进行解答，然后进行判定能否组成三角形，即可求出答案．【解答】解：①底边长为72 3.5-÷=+，所以另两边的长为3.53.5+能构成三角形；②腰长为77-，底边长为7，另一个腰长7，不能构成三角形．因此另两边长为3.5故选：A．【点评】本题考查了二次根式的应用；解题的关键是根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．二．填空题（共7小题）7．（2016秋•房山区期中）斐波那契（约11701250)-是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n]n n-表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为1，第2个数为．【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可． 【解答】解：第1个数，当1n =1515[(()]5n n +--1515(5+-=- 55=1=．第2个数，当2n =1515[((]5n n+--221515[()()]5+-=-15151515((5+-+-=⨯155=1=，故答案为：1，1【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．8．（2019秋•通州区期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.6转化为分数时，可设0.6x =，则10 6.6x =，1060.6x =+，106x x =+，解得23x =，即20.63=．仿此方法，将0.5化成分数是 59 ，将0.45化成分数是 ．【分析】设0.5x =①，根据等式性质得：1050.5x =+②，再由②-①得方程105x x -=，解方程即可； 设0.45x =①，根据等式性质得：100450.45x =+②，再由②-①得方程10045x x -=，解方程即可． 【解答】解：设0.5x =①，根据等式性质，得： 10 5.5x =，即1050.5x =+②， 由②-①得：105x x -=，解方程得：59x=．设0.45x=①，根据等式性质，得：10045.45x=，即100450.45x=+②，由②-①得：10045x x-=，即：9945x=，解方程得：511x=．故答案为：59，511．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．9．（2018秋•朝阳区期末）下面的框图表示了解这个方程的流程在上述五个步骤中依据等式的性质2的步骤有①⑤．（只填序号）【分析】等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质2进行判断即可．【解答】解：去分母时，在方程两边同时乘上12，依据为：等式的性质2；系数化为1时，在等式两边同时除以28，依据为：等式的性质2；故答案为：①⑤．【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．10．（2016•朝阳区二模）在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“12=”的结论．设a、b为正数，且a b=．a b=，2ab b ∴=． ① 222ab a b a ∴-=-． ②()()()a b a b a b a ∴-=+-． ③a b a ∴=+． ④ 2a a ∴=． ⑤12∴=． ⑥大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 ④ （填入编号），造成错误的原因是 ．【分析】根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，可得答案． 【解答】解：由a b =，得0a b -=．两边都除以()a b -无意义．故答案为：④；等式两边除以零，无意义．【点评】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变．11．（2018春•海淀区期中）如图，在长方形内有两个相邻的正方形A ，B ，正方形A 的面积为2，正方形B 的面积为4，则图中阴影部分的面积是 222- ．【分析】设两个正方形A ，B 的边长是x 、()y x y <，得出方程22x =，24y =，求出2x 2y =，代入阴影部分的面积是()y x x -求出即可．【解答】解：设两个正方形A ，B 的边长是x 、()y x y <， 则22x =，24y =， 2x 2y =，则阴影部分的面积是()(22)2222y x x -=， 故答案为：22．【点评】本题考查了二次根式的应用、算术平方根性质的应用，主要考查学生的计算能力．12．（2017春•北京期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()z f x ，即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+，则()z f x n =． 如：(0)(0.48)0z z f f ==，(0.64)(1.49)1z z f f ==，z f （4）(3.68)4z f ==，⋯ 试解决下列问题：①z f = 2 ；②z f = ； 222222211111)(22)(22)(33)(33)(44)(20172017)(20182018)z z z z z z z f f f f f f f +++⋯++++++++= ．【分析】①②需要推导出通项f 12n +和12n -的大小关系，再按定义来化简所求的式子即可；③根据②推导出的通项f 等于什么，化简③的式子，再利用裂项法可解． 【解答】解：①按照定义，当1122n x n -<+，则()z f x n =． 112222-<+∴2z f =．②根据题意，需要推导出通项f 等于什么， 22211()42n n n n n +<++=+，∴12n +，12n -的大小关系， 平方法比较大小，2n n +与21()2n -，再作差：2211()224n n n n +--=-，n 为非负整数， ∴1204n ->， ∴221()2n n n +>-，∴12n -，综上所述，1122n n ->+，∴z f n =，∴2(33)3z f +=．③原式11111111111120171112233420172018223342017201820182018=+++⋯+=-+-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯⨯． 故答案为：①2；②3；③20172018． 【点评】本题考查了新定义类习题和裂项法等知识点，新定义类习题需要按照定义来分析对照题目中的数据，套用所给的公式化简计算即可．13．（2019春•东城区期末）如图，在长方形ABCD 内，两个小正方形的面积分别为1，2，则图中阴影部分的面积等于21- ．【分析】由两个小正方形的面积分别为1，2，得出其边长分别为12则阴影部分合起来是长等于1，宽等于(21)的长方形，从而可得答案．【解答】解：面积为221， 则阴影部分面积为：(21)121⨯=- 21．【点评】本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大． 三．解答题（共2小题）14．（2019秋•昌平区期末）观察下列两个等式：22121133-=⨯⨯-，33222155-=⨯⨯-给出定义如下：我们称使等式21a b ab -=-成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为(,)a b ，如：数对2(1,)3，3(2,)5，都是“同心有理数对”．（1）数对(2,1)-，4(3,)7是“同心有理数对”的是 4(3,)7．（2）若(,3)a 是“同心有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“同心有理数对”，则(,)n m -- “同心有理数对”（填“是”或“不是” )，说明理由． 【分析】（1）根据：使等式21a b ab -=-成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，判断出数对(2,1)-，4(3,)7是“同心有理数对”的是哪个即可．（2）根据(,3)a 是“同心有理数对”，可得：361a a -=-，据此求出a 的值是多少即可．（3）根据(,)m n 是“同心有理数对”，可得：21m n mn -=-，据此判断出(,)n m --是不是同心有理数对即可．【解答】解：（1）213--=-，2(2)115⨯-⨯-=-，35-≠-，∴数对(2,1)-不是“同心有理数对”；417377-=，41723177⨯⨯-=， 44323177∴-=⨯⨯-， 4(3,)7∴是“同心有理数对”， ∴数对(2,1)-，4(3,)7是“同心有理数对”的是4(3,)7．（2）(,3)a 是“同心有理数对”． 361a a ∴-=-，∴25a =-．（3）(,)m n 是“同心有理数对”， 21m n mn ∴-=-．()21n m n m m n mn ∴---=-+=-=-，(,)n m ∴--是“同心有理数对”． 故答案为：4(3,)7；是．【点评】此题主要考查了等式的性质，以及同心有理数对的含义和判断，要熟练掌握．15．（2017秋•西城区校级期中）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”，看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解：【小明提出问题】利用一元一次方程将0.7化成分数．【小明的解答】解：设0.7x =．方程两边都乘以10，可得100.710x ⨯=．由0.70.777=⋯，可知100.77.77770.7⨯=⋯=+，即710x x +=．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得79x =，即70.79=． 【小明的问题】将0.4写成分数形式． 【小白的答案】49．（正确的！) 请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：①0.73；②0.432． 【分析】①设0.73m =，程两边都乘以100，转化为73100m m +=，求出其解即可． ②设0.432n =，程两边都乘以100，转化为430.2100n +=，求出其解即可． 【解答】解：①设0.73m =，方程两边都乘以100，可得1000.73100m ⨯=．由0.730.7373=⋯，可知1000.7373.7373730.73⨯=⋯=+； 即73100m m +=， 可解得7399m =， 即730.7399=． ②设0.432n =，方程两边都乘以100，可得1000.432100n ⨯=． 43.2100n ∴=． 20.29=， 2431009n ∴+= 389900n =3890.432900∴=． 【点评】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，运用一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键．。