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习 题 一1. 用列举法表示下列集合：（1）1到100之间的自然数的集合； （2）小于5的正整数集合；（3）偶自然数的集合； （4）奇整数的集合.分析 本题主要考察集合的定义及怎样用列举法表示集合。
解：(1) A ={,,,,},123100 (2) B ={,,,}1234，(3) },8,6,4,2,0{ =C , (4) D =---{,,,,,,,} 531135.2. 用描述法表示下列集合：（1）偶整数的集合；（2）素数的集合；（3）自然数a 的整数幂的集合.分析 本题主要考察集合的定义及怎样用描述法表示集合。
解：(1) }2{整除的整数被是能x x E =(2) }11{数和自身整除的整且只能被是大于x x P =(3) }{是整数是自然数，n a a A n =3. 设},1,4,3},{{},4},3{,,2{a R a S ==请判断下面的写法正确与否：（1）S a ∈}{（2）R a ∈}{ （3）S a ⊆}}3{,4,{（4）R a ⊂}4,3,1},{{ （5）S R =（6）S a ⊆}{ （7）R a ⊆}{（8）R ⊆∅ （9）E R a ⊆⊆⊆∅}}{{（10）S ⊆∅}{ （11）R ∈∅ （12）}4},3{{⊆∅分析 本题主要考察集合的基本运算。
解：(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错; (5) 错; (6) 对; (7) 错; (8) 对; (9) 对; (10) 错;(11)错; (12) 对.4. 设A 、B 和C 为任意三个集合. 以下说法是否正确? 若正确则证明之, 否则举反例说明.（1）若B A ∈且C B ⊆，则C A ∈；（2）若B A ∈且C B ⊆，则C A ⊆；（3）若B A ⊆且C B ∈，则C A ∈；（4）若B A ⊆且C B ∈，则C A ⊆分析 本题主要考察集合的基本运算。
解：(1) 正确。
因B C ⊆，所以，对任何x B ∈均有x C ∈，今A B ∈，故A C ∈。
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
第二章 谓词逻辑习题与解答1. 将下列命题符号化：(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域和谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域和谓词与(4)同。
“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
解 先引进一些谓词如下：x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
习 题 十 一1．设11≥p ，证明任何p 阶图G 与G 总有一个是不可平面图。
分析： G 与G 是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G 的边数与G 的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G ，其顶点数p 和边数q 满足：q ≤3p-6。
证明. 若),(q p G 与),(q p G ''均是可平面图，则63-≤p q （1） 63-'≤'p q （2） 但q p p q p p --='=')1(21, （3）将（3）代入（2）有63)1(21-≤--p q p p 整理后得 q p p 21272≤+- 又由（1）有)63(21272-≤+-p p p 即 024132≤+-p p也即 224413132244131322⨯-+≤≤⨯--p .得 2731327313+≤≤-p 得112<<p此与11≥p 矛盾。
因此任何p 阶图G 与G 不可能两个都是可平面图，从而G 与G 总有一个是不可平面图。
2．证明或否定：两个p 阶极大简单平面图必同构分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个p 阶极大简单平面图不一定同构。
解：令6=p ，三个6阶极大简单平面图321,,G G G 如下：顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构.3．找出一个8阶简单平面G ，使得G 也是平面图.分析：由第1题证明过程可知，当p<11时，G 和G 可以同时为平面图。
解：如下平面图G ，显然其补图也是平面图。
123G 3344454．证明或者否定：每个极大平面图是H 图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H 图是存在一个H 回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。
由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G 中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是H 图。
离散数学第2章习题解答习题 2.11．将以下命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：4。
“4不是奇数。
”符号化为：172;A(a)(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。
B(x)：x是质数。
a：2。
“2是偶数且是质数。
”符号化为：A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。
B(x)：x是河北人。
a：老王。
“老王是山东人或河北人。
”符号化为：A(a)B(a)(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。
a：2，b：3。
“2与3都是偶数。
”符号化为：A(a)∧A(b)(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。
a：5。
b：3。
“5大于3。
”符号化为：G(a,b)(6) 假设m是奇数，那么2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。
a：m。
b：2m。
“假设m是奇数，那么2m不是奇数。
”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。
设D(x,y)：直线x相交于直线y。
a：直线A。
b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
”符号化为：C(a,b) 172;D(x,y)(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。
B(x)：x用功。
C(x)：x身体好。
a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。
”符号化为：A(a)∧B(a)∧172;C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。
a：秦岭。
b：渭水。
c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。
”符号化为：A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。
B(x)：x怕冷。
a：小李。
“除非小李是东北人，否那么她一定怕冷。
”符号化为：B(a)→172;A(a)2．将以下命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
习题二十一1.某年级有100个学生,其中40个学生学英语,40个学生学俄语,40个学生学日语.若分别有21个学生学习上述三种语言中的任何两种语言,有10个学生所有3种语言.问不学任何语言的学生有多少个?解：用A 1、A 2、A 3分别表示学英语、学俄语、学日语的学生集合，S 表示总学生集合，则问题变成求||321A A A ⋂⋂，利用逐步淘汰公式，分别求120404040||=++=∑iA ，∑=++=⋂+⋂+⋂=⋂63212121||||||||323121A A A A A A AA ji， ∑=⋂⋂=⋂⋂10||||321A A A A AA k ji，所以由逐步淘汰公式331063120100||||||100||321=-+-=⋂⋂-⋂+-=⋂⋂∑∑∑k j i j i i A A A A A A A A A2.有多少个小于70且与70互质的正整数?解：由于70=2×５×７，所以该题也就变成了，求所有小于７０的并且不能被２，５，７整除的正整数的个数。
设1A 、2A 、3A 分别表示1到７０之间能被２、５、7整除的整数之集合.于是,问题变成求||321A A A ⋂⋂.利用逐步淘汰公式,先分别求:59101435]770[]570[]270[||=++=++=∑iA其中][b a 表示对ba取整,下同:∑=++=⋂+⋂+⋂=⋂]]7,2[70[]]7,5[70[]]5,2[70[||||||||323121A A A A A A A Aj i14527=++其中],[b a 表示a 与b 的最小公倍数.∑===⋂⋂=⋂⋂1]7070[]]7,5,2[70[||||321A A A A A A k j i代入公式(21.1)得:=⋂⋂-⋂+-=⋂⋂∑∑∑||||||70||321k j i j i i A A A A A A A A A241145970=-+-3.在由10个数字位组成的三进制序列中,有多少个至少出现一个0,一个1和一个2的序列? 解：设只出现0、1、2中任意i 位数的三进制数的个数为N(i)个，i=1,2。
第二章作业 评分要求：1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)3. 总得分在采分点1处正确设置.一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次):说明证1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q)解逻辑方程法设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论:⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0)()(1)1(q p q p p 或者 ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式.等值演算法(p ∧q)∨(p ∧¬q)⇔ p ∧(q ∨¬q)∧对∨的分配率⇔ p ∧1 排中律⇔ p 同一律真值表法用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式1. (¬p→q)→(¬q∨p)解(¬p→q)→(¬q∨p)⇔(p∨q)→(¬q∨p)蕴含等值式⇔(¬p∧¬q)∨(¬q∨p)蕴含等值式, 德摩根律⇔(¬p∧¬q)∨¬q ∨p结合律⇔p∨¬q吸收律, 交换律⇔M1因此, 该式的主析取范式为m0∨m2∨m32. (¬p→q)∧(q∧r)解逻辑方程法设(¬p→q)∧(q∧r) =1, 则¬p→q=1且q∧r=1,解得q=1, r=1, p=0 或者q=1, r=1, p=1, 从而所求主析取范式为m3∨m7, 主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M6等值演算法(¬p→q)∧(q∧r)⇔ (p∨q)∧(q∧r) 蕴含等值式⇔ (p∧q∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 幂等律⇔ (p∧q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r) 同一律, 矛盾律, ∧对∨分配律⇔m7∨ m3主合取范式为M0∧M1∧M2∧M4∧M5∧M63. (p↔q)→r解逻辑方程法设(p↔q)→r =0, 解得p=q=1, r=0 或者p=q=0, r=0, 从而所求主合取范式为M0∧M6, 主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7等值演算法(p↔q)→r⇔ ((p→q)∧(q→p))→r 等价等值式⇔⌝((p→q)∧(q→p))∨r 蕴含等值式⇔ (p∧⌝q)∨(q∧⌝p)∨r 德摩根律, 蕴含等值式的否定(参见PPT)⇔ (p∨q∨r)∧(⌝q∨⌝p∨r) ∨对∧分配律, 矛盾律, 同一律⇔M0∧ M6主析取范式为m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m74. (p→q)∧(q→r)解等值演算法(p→q)∧(q→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝q∨r) 蕴含等值式⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r) ∧对∨分配律, 矛盾律, 同一律⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r) ∨ (⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r) ∨ (p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)⇔m1∨ m0∨ m3∨ m7主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.解逻辑方程法设(p → q) ∧ (q → r) = 1, 则p → q =1 且q → r =1.前者解得: p=0, q=0; 或者p=0, q=1; 或者p=1, q=1.后者解得: q=0, r=0; 或者q=0, r=1; 或者q=1, r=1.综上可得成真赋值为000, 001, 011, 111, 从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.真值表法公式(p → q) ∧ (q从而主析取范式为m0∨ m1∨ m3∨ m7, 主合取范式为M2∧ M4∧ M5∧ M6.。
第2章习题答案1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。
(2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。
(3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。
(4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为：∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。
(5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。
(6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。
(7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。
(8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。
(9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。
(10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。
习 题 六1．设G 是一个无回路的图, 求证：若G 中任意两个顶点间有惟一的通路, 则G 是树. 证明：由假设知，G 是一个无回路的连通图，故G 是树。
2．证明：非平凡树的最长通路的起点和终点均为悬挂点. 分析：利用最长通路的性质可证。
证明：设P 是树T 中的极长通路。
若P 的起点v 满足1)(>v d ，则P 不是T 中极长的通路。
对终点u 也可同理讨论。
故结论成立。
3．证明：恰有两个悬挂点的树是一条通路.分析：因为树是连通没有回路的，所以树中至少存在一条通路P 。
因此只需证明恰有两个悬挂点的树中的所有的点都在这条通路P 中即可。
证明：设v u ,是树T 中的两个悬挂点，即1)()(==v d u d 。
因T 是树，所以存在),(v u -通路P ：0,1≥k v w uw k Λ。
显然，2)(≥i w d 。
若2)(>i w d ，则由T 恰有两个悬挂点的假设，可知T 中有回路；若T 中还有顶点x 不在P 中，则存在),(x u -通路，显然u 与x 不邻接，且2)(≥x d 。
于是，可推得T 中有回路，矛盾。
故结论成立。
4．设G 是树, ()k G ≥∆, 求证：G 中至少有k 个悬挂点.分析：由于()k G ≥∆，所以G 中至少存在一个顶点v 的度≥k ，于是至少有k 个顶点与邻接，又G 是树，所以G 中没有回路，因此与v 邻接的点往外延伸出去的分支中，每个分支的最后一个顶点必定是一个悬挂点，因此G 中至少有k 个悬挂点。
证明：设)(G V u ∈，且k m u d ≥≥)(。
于是，存在)(,,1G V v v m ∈Λ，使m i G E uv i ,,1),(Λ=∈。
若i v 不是悬挂点，则有),(G V v i ∈'使。
如此下去，有)()(G V v l i ∈，满足,,)(j i v v j l i≠≠且1)()(=l i v d , m i ,,1Λ=。
故G 中至少有k 个悬挂点。
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
第二章 谓词逻辑习题与解答1、 将下列命题符号化:(1) 所有的火车都比某些汽车快。
(2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。
(3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。
(4) 每个人都有自己喜欢的职业。
(5) 有些职业就是所有的人都喜欢的。
解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。
令x x T :)(就是火车, x x C :)(就是汽车, x y x F :),(比y 跑得快。
“所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。
(2) 取论域为所有物质的集合。
令x x M :)(就是金属, x x L :)(就是液体, x y x D :),(可以溶解在y 中。
“任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。
(3) 论域与谓词与(2)同。
“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。
(4) 取论域为所有事物的集合。
令x x M :)(就是人, x x J :)(就是职业, x y x L :),(喜欢y 。
“每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀(5)论域与谓词与(4)同。
“有些职业就是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。
2、 取论域为正整数集,用函数+(加法),•(乘法)与谓词<,=将下列命题符号化:(1) 没有既就是奇数,又就是偶数的正整数。
(2) 任何两个正整数都有最小公倍数。
(3) 没有最大的素数。
(4) 并非所有的素数都不就是偶数。
解 先引进一些谓词如下:x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。
x x J :)(就是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。
习 题 二1.确定下列二元关系：（1）{}{}{}B A B A y x y x R B A ⨯⊆∈=== ,,,5,3,1,3,2,1 （2）{}{}A A x y x R A y ⨯⊆===2,,8,6,5,4,3,2,1,0 分析：本题主要运用知识为集合的交、关系以及笛卡尔积的定义。
解：(1) R =<><><><>{,,,,,,,}11133133(2) R =<><><><>{,,,,,,,}102142832. 请分别给出满足下列要求的二元关系的例子：（1）既是自反的，又是反自反的；（2）既不是自反的，又不是反自反的；（3）既是对称的，又是反对称的；（4）既不是对称的，又不是反对称的.分析 本题主要考察关系的5个性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）。
解：设R 是定义在集合A 上的二元关系。
(1) 令A =∅，则R =∅，于是R 既是自反又是反自反的；(2) 令A R ==<>{,},{,}1211，于是R 既不是自反又不是反自反的；(3) 令A R ==<><>{,},{,,,}121122，于是R 既是对称又是反对称的；(4) 令A R ==<><><>{,,},{,,,,,}123122113，于是R 既不是对称又不是反对称的。
3. 设集合A 有n 个元素，试问：（1）共有多少种定义在A 上的不同的二元关系？（2）共有多少种定义在A 上的不同的自反关系？（3）共有多少种定义在A 上的不同的反自反关系？（4）共有多少种定义在A 上的不同的对称关系？（5）共有多少种定义在A 上的不同的反对称关系？分析：本题主要考察知识为二元关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性所对应的关系矩阵之性质，本题可以在做完第四题（根据满足某个性质的关系之关系矩阵）之后再来考虑。
离散数学课后习题答案二习题3.71. 列出关系}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3, 1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
表3.18 航班信息航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛09:10 Nadir 32234底特律09:44解略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><="">解略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？解略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班登机口起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司＝后得到的二维表航空公司航班登机口目的地起飞时间Nadir 112 34 底特律08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
