误差的合成与分配学习报告
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第三章+误差的合成与分配
n
y
ai2
2 xi
（3-15）
i 1
一般测量多为独立测量，一些弱相关（很小） 的情况也近似地当作独立测量对待。上式常用。 3-16
函数的极限误差计算公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布,且互不 相关时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限 误差公式
n
lim y
a12
2 y
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij
xi
xj
（3-13）函数 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
2 y
n ( f ) 2 i1 xi
2 xi
（3-14）
或
令
f xi
ai
第3章 误差的合成与分配
3-1
基本概念
直接测量(direct measurement)
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
量值的变换与计算。
误差合成与分配学习报告
----误差理论与数据处理第5版费业泰编测量过程的各个环节都会引入误差，因此，任何测量结果都包含一定的测量误差。
在使用测量结果时，必须对测量结果的正确度和精密度等一系列指标有全面正确的认识，这样才能科学有效的使用测量结果，对于测量误差，我们需要正确的分析综合各个误差因素并正确的表达其综合影响。
该章节（第三章误差的合成与分配）较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟订和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等问题。
1.函数误差采用间接测量方法时，测出与被测量有函数关系的一系列量，则被测量为所测得量的函数，通过建立数学模型可以获得由测得量计算被测量的数学表达式。
间接测量误差是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。
（1）函数系统误差的计算间接测量的结果可表达为测量值得函数，一般为多元的系统函数，可表达为y=f(x1,x2,…,x n)对上式求全微分可得函数增量可表示为各个变量的增量与对应的偏导数的乘积的和，所以函数的系统误差是由各个分量的和组成的。
每一项都是偏导数与对应误差的乘积，偏导数∂f/∂x为各个直接测量值的误差传递系数。
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差也为各测量值系统误差之和。
可以表达为如下公式Δy=ðfðx1Δx1+ðfðx2Δx2+⋯+ðfðx nΔx n若遇到角度测量时，直接得到的往往是三角函数值得误差，而期望得到的是角度的误差，此时只需对等式两边分别取微分即可。
经过简单的数学推到就可以求得角度的函数系统误差。
（2）函数的随机误差函数随机误差用标准差评定。
该过程与不确定度评定中的合成标准不确定度类似，也采用平方相加的方式，此处也需要知道不同误差之间的相关系数。
当所有项都彼此独立时可以忽略相关项。
第3章误差的合成与分配
2 x2
...xfn
2 xn
令 f /xi ai，则上式可写成
ya 1 2
x 1 2 a 2 2
x2 2 .. .a n 2
2 xn
各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关
系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此上两式是较为常
用的函数随机误差公式。
第20页，本讲稿共85页
当各个测量值的随机误差为正态分布时，上式中的 标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为
值为
0 2 5 9 9 5 2 2 3 2 5 9 9 2 9
第13页，本讲稿共85页
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的 ，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评 定的。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准
差与各测量值x1,x2,…,xn的标准差之间的关系。前面讲到 的公式
若三角函数为
则三角函数的系统误差s为in f(x1,x2,..xn .),
在角 度s测i量n 中 ， x f1 需 要x 1 求 得 x f的2 误x 差2 不.是. 三. x 角fn函 x 数n误差，而是
所求角度的误差，因此必须进一步求解。
第6页，本讲稿共85页
对正弦函数微分得
d sin cosd d d sin
n
2
f
1ijxi
f xj
xi1xj1
y22
xf1
2
x122
xf2
2
x222
...xfn
2xn22n2 Nhomakorabeaf
1ijxi
f xj
xi2xj2
yN2
xf1
2x1N2
误差理论与数据处理实验报告
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...nin i l l l l x n n=++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合： 当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1n ii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1nii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1nii v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差 式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
第三章 误差的合成与分解
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
测量误差的合成和分配
分组平均法作图示意
0
x
y
2.6 最佳测量方案选择
最佳测量方案是使总误差为最小的测量方案，是使系统误差和随机误差都减少到最小的测量方案。即做到 即上述和式中每一项都达到最小时，总误差就会最小。
γI=±3%，试确定测量的最佳方案。
例：测量电阻R消耗的功率时，可间接测量电阻值R，电阻上的压降U，流过电阻的电流I，设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为γR=±2%，γU=±2%，
(2-27)
(2-28)
例：有一个电源变压器，已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程为500V的交流电压表测量次级线圈的总电压，要求相对误差小于±2%，问应该选用哪个级别的电压表？
当分项误差性质不同时，采用等作用分配方法。在这种分配方式中，分配给各分项的误差在数值上不一定相等，但它们对测量误差总和的作用是相同的。 对于系统误差，在式（2-23）中，令 。则分配给各分项的误差为
例：用一块0.5级电压表的100V量程进行测量，指示值为85.35V，试确定有效数字位数。
有效数字表示法 有效数字 所谓有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字算起到含有存疑数字为止的各位数字。一般数据的最后一位是欠准确度的估计字，称为存疑数字。
数字的舍入规则 小于5舍去——舍去部分的数值小于所保留末位的0.5个单位时，末位不变。 大于5进1——舍去部分的数值大于所保留末位的0.5个单位时，末位增1。 等于5时，取偶数——舍去部分的数值恰好等于所保留末位的0.5个单位时，则当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，末位增1（将末位凑成偶数）。
已知各分项方差，求总合方差的公式为 标准差的计算公式为
添加标题
01
(2-25)
误差的合成与分解
b 2 2 b2 2 ( ) b ( 2 1) 2 h 7 m 2h 8h
例 2：已知： z x y, y 3x, 已知 x ，求 z 解：① z x y x 3x 4 x
z ( z 2 2 2 ) x 42 x 4 x x
其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差 ）
（一）函数系统误差的计算
在间接测量中，函数的基本形式主要为初等函数，而且一般为多元函数，其
表达式为：
y f x1 , x2 , x3 ... xn
式中 x1,x2,…,xn -----各个直接测量值； y ----间接测量值。 对于多元函数，其增量可用函数的全微分来表示，则上式的函数增量 dy 为
( x x ) ( y y) ( x x ) ( y y)
i i 2 i i
2
( x x ) ( y y) ( x x ) ( y y)
i i 2 i i
2
4、误差传递定律的应用 ①计算间接测量值的标准偏差 例 1：用弓、高、弦长法测量圆盘的直径 D
得弓高 h 50.1mm ，弦长l 499mm ，试问车间工人测量该工件直径的系统误 差，并求修正后的测量结果。
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
l2 D h 4h
不考虑测量值的系统误差， 可求出在 测量值 D0 4h h 1300mm 计算结果：
l
2
h 50mm
l 500mm 处的直径
高的标准差
，弦长的标准差
，试求测量该工件
直径的标准差，并求修正后的测量结果。
D2 (
f 2 2 f 2 2 ) l ( ) h l h 2 2 5 0.01 242 0.0052 169 104 mm
第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差分配实验报告
项目名称：学生学院：专业班级：学生学号：学生姓名：指导老师：《误差理论与数据处理》实验报告信息工程学院计算机测控技术与仪器（1）班3111002352 黄维腾陈益民2014年7月7日实验一误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法。
二、实验原理（1）正态分布设被测量的真值为l0，一系列测量值为li，则测量列中的随机误差?i为?i=li-l0 （2-1）式中i=1，2，…..n.正态分布的分布密度 f? ?????2?2??2（2-2）正态分布的分布函数 f? ???式中?-标准差（或均方根误差）；它的数学期望为??e??22??d? （2-3）2e???f???d??0 （2-4）????它的方差为????2f???d? （2-5）2????（2）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n而得的值成为算术平均值。
lil1?l2?...ln??i?1 设 l1，l2，…,ln为n次测量所得的值，则算术平均值 x?算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x必然趋近于真值l0。
n vi? li-xli——第i个测量值，i=1,2,...,n; vi——li的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：?v??l?nxiii?1i?1nn当x为未经凑整的准确数时，则有?vi?1ni?01）残余误差代数和应符合：当?l=nx，求得的x为非凑整的准确数时，?v为零；iinni?1ni?1n当?l>nx，求得的x为凑整的非准确数时，?v为正；其大小为求x时的余数。
iii?1ni?1n当?l<nx，求得的x为凑整的非准确数时，?v为负；其大小为求x时的亏数。
3误差的合成与分配
相关项反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响
当相关系数ρij＝0
y a12 x12 a2 2 x 2 2 an 2 xn 2
当相关系数ρij＝1
y a1 x1 a2 x 2 an xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系
意义：
1.简化计算
2.量仪选择时原则
3.测量误差与公差的关系
§3.4 最佳测量方案的确定
若间接测量的函数关系为y＝f（x1，x2，…，xn）
f f f y 1 2 n x x x 1 2 n
本式两端相加，除以N,根据方差定义可得出
2
i 1
N
2 i
(1) 函数标准差计算
y2
或 y
2
n f f f f f 2 2 2 D xn 2 x1 x2 x x ij 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2 2
N
n f f f f f 2 2 2 xn 2 x1 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn 2 2
1 n f x xi cos i 1 i
n 1 f x xi sin i 1 i
例题
用弓高弦长法间接测量大工件直径。 如图所示，车间工人用一把卡尺量得 弓高 h 50mm，弦长 l 500mm，工 厂检验部门又用高准确度等级的卡尺 量得弓高 h 50.1mm，弦长 l 499mm试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
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《误差的合成与分配》学习报告
测控一班张文浩 3012202028
经过半个多学期的《精密测试理论与技术》的学习，我们已经掌握了许多关于测量与误差的基本知识，此次经由老师的要求，我自学了费业泰编写的《误差理论与数据处理》一书中《误差的合成与分配》这一章节，对测量与误差有了更加深刻的认识。
《误差的合成与分配》这一章主要论述了误差合成与分配的基本规律和基本方法，正确的分析和综合了我们在测量过程中各个环节碰到的误差因素，并正确地表述了这些误差的综合影响。
解决了测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等问题。
其中第一节是函数误差，函数误差这一概念简单地说就是在被测对象不能进行直接测量而进行间接测量时，间接测的量是直接测量的各个测量值的函数，间接测量的误差是各个直接测得值误差的函数，函数误差就是这种误差。
这一节主要举例说明介绍了函数系统误差的计算和函数随机误差的计算，由于这一章研究的主要是误差的合成与分配，所以误差合成过程中需要考虑的误差间的相关关系和相关系数也在这一节被阐述，并介绍了直接判断法、试验观察和简略计算法以及理论计算法三种求相关系数的方法。
称为函数系统误差公式，
为各个直接测量值的误差传递系数。
函数系
统误差的计算就是通过以上两个公式进行计算的。
而函数随机误差公式为
，传递函数与系统误差公式的传递函数相同。
认识了函数误差之后，这一章的学习重点误差的合成与分配便出现了。
随机误差的合成、系统误差的合成以及系统误差与随机误差的合成这三节详细论述了误差合成的基本规律和基本方法。
随机误差的合成采用的是方和根的方法，对表征随机误差的标准差或极限误差进行合成。
无论是标准差还是极限误差都是利用方和根法将每个单项随机误差合成为总的标准差或极限误差。
系统误差不同于随机误差，系统误差的大小不是随机的，是具有确定的变化规律的，可以分为已定系统误差和未定系统误差。
已定系统误差的误差大小和方向都已确定，所以用代数和法便可进行合成；而未定系统误差由于大小和方向都是不可知的，所以不能简单合成，对未定系统误差的处理也就变得尤为重要。
由于未定系统误差的取值也具有一定的随机性并服从一定的概率分布，所以未定系统误差的合成便与随机误差的合成十分相似，所以可以利用随即误差的合成公式进行合成。
因为我们研究的是测量结果的总误差，所以我们还需要把已经合成的系统误差和已经合成的随机误差在进行合成，以便求得最后的总误差，所以第四节向我们介绍了按极限误差合成和按标准差合成两种
方式，其中极限误差使用的合成公式为，标准差使用的合成公式为。
各种误差的合成学会了之后，随之而来的也需要知道总误差的分解了，在这把误差的分解叫做误差分配。
由测量结果的总误差确定各个单项误差的的工作就是误差分配。
这本书中给出了误差分配的方法，首先按照等作用原则分配误差，由于各个误差一般不是等作用的，所以之前的分配原则是不合理的，因此我们还需要继续按不同的可能性调整误差，最后演算调整后的总误差，与之前的总误差进行比较。
这一章之后还介绍了微小误差的取舍准则和最佳测量方案的确定。
微小误差的取舍准则就是被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3-1/10。
而最佳测量方案的确定就是先选择最佳函数
误差公式，再使误差传递系数等于零或为最小。
这两节所介绍的方法十分简便且具有一定的可靠性，便于我们使用。
总的来说，这次老师要求自学的《误差的合成与分配》主要讲述了同性质或不同性质的误差间的合成方法与注意事项，以及如何将总误差分配成各个单项误差的分配方法两个问题，并通过最佳测量方案的确定可以较为准确的进行误差测量与误差处理，可以使我们更加方便准确的进行数据测量。
与自学的这一章相比较，我们刚刚学过的不确定度的测量是误差的合成与分配的一个进步，或者说是一个更新过程。
在我们学的测量不确定这一章第一节的概述中解释了，误差的合成与分配作为经典的
测量结果可靠性的评定方法有他的弊端与不足，除了误差逻辑概念上的混乱之外，评定方法的不统一制约了误差合成与分配的发展。
刚才说过的误差的合成，其中随机误差与系统误差的合成作为不同性质的误差进行合成我们用的是方和根法，这是我国的习惯用法，但是事实上在数学上目前为止是无法解决两个不同性质的量之间的
合成问题的，因此我们所用的方和根法并不是完全准确的，所以全世界长期以来在随机误差和系统误差的合成方法上一直都是无法统一的，基于此问题，能够在世界范围内统一的测量不确定度评定方法才会应运而生，用测量不确定度的评定方法也逐渐代替了误差合成的评定方法，所以测量不确定度是误差合成与分配的的一个进步与替代过程。
测量不确定度中数学模型的建立，A类不确定度与B类不确定度以及合成标准不确定度分别是经典误差评定中函数误差、随机误差与系统误差以及误差合成的演替，而测量不确定度中扩展不确定度以及自由度的提出与引用更是使评定标准更加准确的方式方法。
所以测量不确定度更好的解决了经典误差评定存在的问题以致被普遍应用。
总的来说，通过这次自学过程，我了解了经典误差评定的原理与方法，学会了误差的合成与分配方式，并知道了微小误差的取舍准则和最佳测量方案的确定，为采取更准确的测量方法提供了理论依据。
这次自学也让我更好的理解了刚刚学完的测量不确定度的意义与由来，知道了测量不确定度作为经典误差评定的进化产物所体现出来的优点与方便，为更好地学好测量不确定度打好了基础。