导数题型方法总结(绝对经典)
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第一章导数及其应用
一.导数的概念
1..已知的值是()
A. B. 2 C. D. -2
变式1:()
A.-1B.-2C.-3D.1
变式2:()
A.B.C.D.
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视:
首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:
1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法
5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)
与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令得到两个根;
第二步:画两图或列表;
第三步:由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
(请同学们参看2010省统测2)
例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,
(1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围;
(2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.
解:由函数得
(1)在区间上为“凸函数”,
则在区间[0,3]上恒成立
解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于
解法二:分离变量法:
∵当时, 恒成立,
当时, 恒成立
等价于的最大值()恒成立,
而()是增函数,则
(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
例2:设函数
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围.
(二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ)
令得的单调递增区间为(a,3a)
令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+)
∴当x=a时,极小值=当x=3a时,极大值=b.
(Ⅱ)由||≤a,得:对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴
(放缩法)
-2 2
3a
a a 3a
即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
上是增函数. (∴
于是,对任意,不等式①恒成立,等价于
又∴
点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:构造函数求最值
题型特征:恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时,求的值域;
(Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。
解:(Ⅰ)∴,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减
又
∴的值域是
(Ⅲ)令
思路1:要使恒成立,只需,即分离变量
思路2:二次函数区间最值
二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:转化为在给定区间上恒成立,回归基础题型
解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给
区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句
话的区别:前者是后者的子集
例4:已知,函数.
(Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;
(Ⅱ)如果函数是上的单调函数,求的取值范围.
解:.
(Ⅰ)∵是偶函数,∴. 此时,,
令,解得:.
列表如下:
(-∞,-2) -2(-2,2) 2(2,+∞)
+ 0 -0 +
递增极大值递减极小值递增
可知:的极大值为,的极小值为.
(Ⅱ)∵函数是上的单调函数,
∴,在给定区间R上恒成立判别式法
则解得:.
综上,的取值范围是.
例5、已知函数
(I)求的单调区间;
(II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想
(I)
1、
当且仅当时取“=”号,单调递增。
2、
单调增区间:
单调增区间:
-1
a-1
(II )当则是上述增区间的子集:
1、时,单调递增符合题意
2、,
综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:解不等式(组)即可;
例6、已知函数,,且在区间上为增函数.
(1)求实数的取值范围;
(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解:(1)由题意∵在区间上为增函数,
∴在区间上恒成立(分离变量法)
即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为
(2)设,
令得或由(1)知,
①当时,,在R上递增,显然不合题意…
②当时,
,随的变化情况如下表:
—
↗极大值↘极小值↗
由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即∴,解得
综上,所求的取值范围为
根的个数知道,部分根可求或已知。
例7、已知函数
(1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;
(2)若,在(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。