江西师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题

江西师范大学附属中学2019高三上学期期末测试数学（理）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A=，B=，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合补集与交集求结果.【详解】因为，所以,选D.【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题.2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：,所以复数的共轭复数为,故选B.考点：复数的运算与相关概念.3.如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式。

【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题。

4.已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（）A. 25B. 24C. -25D. -24【答案】C【解析】本题考查三角形的性质，向量加法的平行四边形法则或三角形法则，向量的数量积的运算. 因为所以所以三角形为直角三角形，且则故选C5.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断a,b,c与1的大小，再判断a,c与的大小，利用不等式的传递性即可.【详解】由在R上是增函数，0.3>0，所以.函数在是增函数，3<5，,所以，,又，所以.由函数在是增函数，，所以，得c>a.综上a<c<b.故选C.【点睛】本题考查比较函数值的大小，会判断函数的单调性，函数单调性的应用，不等式的性质应用，属于基础题.6.已知命题，命题,则（）A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题【答案】C【解析】【分析】分别判断命题的真假结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】当x=10时，x-2=10-2=8，lg10=1，则不等式x-2＞lgx成立，即命题q是真命题，当x=0时，x2＞0不成立，即命题q是假命题，则命题p∧（￢q）是真命题，故选：C．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件分别判断命题p，q的真假是解决本题的关键．7.某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为( )A.B.C.D.【答案】A试题分析：三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.,选A.考点：三视图.8.已知，，则( )A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】由，只需利用平方关系求，再利用两角和与差的余弦公式可得. 【详解】由，得，因为所以，所以=，故选A.【点睛】本题考查三角函数的求值问题.三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：要仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，充分利用已知角的函数值求解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在区间上任取两点，，方程有实数根的概率为，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在区间上任取两点，，确定点,作出点对应的区域，计算其面积.再确定方程有实数根的点对应的区域，计算其面积（或范围）由几何概型概率计算公【详解】由题意，组成的平面区域是由组成的正方形，其面积为4，要保证方程有实数根，则有,则表示的区域即为抛物线下方区域，其面积大于面积为2的矩形的面积，而小于两个全等的直角梯形的面积和，其面积的取值范围是,∴由题目中的新定义知所求的概率，故选B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，弄清问题是直线型、平面型、立几型中哪一种，再分别求所有基本事件的测度（长度、面积、体积）及所求事件包含的基本事件的测度，利用概率计算公式求解，属于基础题.10.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，（k为常数，且），BD=l 为定长，则△ABC的面积最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设，，即整理得：，即，∴.故选C.考点：函数的最值.11.已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题：①使成立的的取值范围是；②函数的定义域为，值域为；③．其中正确的命题有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】利用所给取整函数的定义逐个判断. ①讨论x的范围，判断何时；②考虑x为整数或介与两个整数之间求函数的值域；③对等式左边利用二项式定理及[x]的定义化简求和.【详解】①由，，所以；x<2或时.②当x为整数时，当时，[x]=n，所以的值域为[0,1).③因为=所以n为偶数时=n为奇数时=所以==1010综上，只有命题①正确，故选B.【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围;设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知，且,，，故选A．考点：椭圆与双曲线离心率问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是．【答案】112【解析】的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，，展开式的通项公式为，当时，，故它的常数项是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.若实数，满足约束条件则的最大值等于________．【答案】12【解析】由约束条件，作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+3×3=12．故答案为：12．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.设集合，集合，，满足且，那么满足条件的集合的个数为_________．【答案】55【解析】【分析】先确定，的取值，再判断有多少种取法，得集合A的个数.【详解】因为，，，所以2，当时、3、4、5、6、7，分别可以取3~7、4~8、5~8、6~8、7~8、8；当，、4、5、6、7时可以取4~8，5~8、6~8、7~8、8；当，=4、5、6、7时可以取5~8、6~8、7~8、8；当，=5、6、7时可以取6~8、7~8、8；当，=6、7时可以取7~8、8；当，=7时可以取8.所以满足条件的集合的个数为(5+5+4+3+2+1)+(5+4+3+2+1)+(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=55,故答案为55.【点睛】本题考查加法计数原理，从集合S中任选3个元素组成集合A，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．16.若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．【答案】【解析】【分析】设四棱锥底面边长为a，高为h，由四棱锥的体积，得a,h的关系，利用四棱锥中的三角形建立外接球的半径R关于h的函数，再利用导数求函数何时区得最小值.【详解】设四棱锥底面边长为a，高为h，底面对角线交于O，由条件四棱锥P-ABCD为正四棱锥，其外接球的球心M在高PO上，设外接球半径为R，在直角三角形MAO中，，又该四棱锥的体积为9，所以所以，，，时，时，所以时R极小即R最小，此时体积最小.故答案为3.【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数的最值，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）令，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）点均在函数的图象上，则,可得，并验证即可；（Ⅱ）证明：由，得；由，得；即证．试题解析：（Ⅰ）点在的图象上，，当时，；当时，适合上式，（）；（Ⅱ）由，，又，，成立．考点：数列与函数的综合，18.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.【解析】【分析】（1）证明：连接，在平行四边形中，得，又，证得，利用线面垂直的判定定理得，进而得到平面平面.（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到平和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．【详解】（1）证明：连接，在平行四边形中，由得平行四边形为菱形，所以，又，所以，所以，又，所以，所以平面平面（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则的法向量为，设面的法向量为，因为，所以由，令，则设所求二面角为，则故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. （本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。

江西高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数满足（其中为虚数单位），则（）A．B．C．D．2.某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生（）A．80人B．60人C．40人D．20人3.命题“，使得”的否定是（）A．，都有B．，使得C．，都有D．，使得4.抛物线的准线方程是，则的值是（）A．8B．C．-8D．5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．6.400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有（）A．120辆B．140辆C．160辆D．240辆7.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数B．中至少有两个偶数或都是奇数C．中至少有两个偶数D．都是偶数8.将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}，则（）A．B．C．D．9.某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查，所得的数据如下表所示：（参考公式与数据：（其中）；当时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握说事件与有关；当时认为事件与无关．）A．有的把握说事件与有关 B．有的把握说事件与有关C．有的把握说事件与有关 D．事件与无关10.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则处条件可以是（）A．B．C．D．11.已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．D．12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．13.如图所示：一个边长为的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续.若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为_________．二、填空题1.在棱长为2的正方体内随机取一点，该点到正方体中心的距离小于1的概率为_________．2.在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_________．3.已知函数,若，则实数的值为_________．三、解答题1.某校羽毛球小组有男学生，，和女学生，，共6人，其所属年级如下：一年级二年级三年级现从这名学生中随机选出人参加羽毛球比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来；（2）设为事件“选出的人性别相同”，求事件发生的概率．2.（1）已知命题是增函数，命题关于的不等式恒成立，若为真，为假，求实数的取值范围；（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.3.设的导函数为，若的图像关于直线对称，且．（1）求实数的值；（2）求函数的极值.4.某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．5.已知椭圆：的右焦点为，右顶点与上顶点分别为点、，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若过点斜率为2的直线交椭圆于、，且，求椭圆的方程．6.已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若，设，且方程有实根，求实数的最大值．江西高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.复数满足（其中为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】复数运算2.某大学数学系共有本科生4500人，其中大一、大二、大三、大四的学生人数比为，若用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽大二的学生（）A．80人B．60人C．40人D．20人【答案】A【解析】设抽取大二学生为【考点】分层抽样3.命题“，使得”的否定是（）A．，都有B．，使得C．，都有D．，使得【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为，都有【考点】全称命题与特称命题4.抛物线的准线方程是，则的值是（）A．8B．C．-8D．【答案】D【解析】【考点】抛物线性质5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】时，所以切线斜率为1，倾斜角为【考点】导数的几何意义6.400辆汽车通过某公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有（）A．120辆B．140辆C．160辆D．240辆【答案】D【解析】由直方图可知时速在的概率为，所以汽车数为【考点】频率分布直方图7.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数B．中至少有两个偶数或都是奇数C．中至少有两个偶数D．都是偶数【答案】B【解析】反证法证明时首先假设要证明结论的反面成立，本题中中恰有一个偶数的反面为中至少有两个偶数或都是奇数【考点】反证法8.将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30，事件B：至少出现一次3点，有10种，∴【考点】条件概率9.某企业为了研究员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了80名员工进行调查，所得的数据如下表所示：根据上述数据能得出的结论是（）（参考公式与数据：（其中）；当时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握说事件与有关；当时认为事件与无关．）A．有的把握说事件与有关 B．有的把握说事件与有关C．有的把握说事件与有关 D．事件与无关【答案】A【解析】由于8.88＞6.635，所以有99%的把握说事件A与B有关【考点】独立性检验10.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则处条件可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前 0 1第一圈 1 2 是第二圈 3 4 是第三圈 7 8 是第四圈 15 16 否故退出循环的条件应为k≥16【考点】程序框图11.已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．4C．D．【答案】A【解析】因为为等边三角形，不妨设，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则【考点】双曲线方程及性质12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1，设（x∈R），则又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵∴g（x）＜1又∵∴g（x）＜g（0）∴x＞0【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合13.如图所示：一个边长为的正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形的边上再连接正方形，…，如此继续.若共得到255个正方形，则最小正方形的边长为_________．【答案】【解析】第一次得到的正方形的边长为，共有1个，第二次得到的正方形边长为，共有2个，第三次得到的正方形边长为，共有4个，第四次得到的正方形边长为，共有8个，…由此可归纳得：依次得到正方形的边长成对比数列，公比为，依次得到正方形的个数成对比数列，公比为2．设第n次得到的正方形边长为，第n次得到的正方形个数为．则．令前n次得到正方形的个数为，则．令，则n=8．∴【考点】归纳推理二、填空题1.在棱长为2的正方体内随机取一点，该点到正方体中心的距离小于1的概率为_________．【答案】【解析】由题意可知【考点】几何概型2.在某比赛中，评委为一选手打出如下七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_________．【答案】2.8【解析】七个分数：97，91，87，91，94，95，94 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为：（91+91+94+95+94）=93，所剩数据的方差为：【考点】平均数与方差3.已知函数,若，则实数的值为_________．【答案】1【解析】【考点】导数定义及函数求导数三、解答题1.某校羽毛球小组有男学生，，和女学生，，共6人，其所属年级如下：名学生中随机选出人参加羽毛球比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）共有几种不同的选法？用表中字母列举出来；（2）设为事件“选出的人性别相同”，求事件发生的概率．【答案】（1）15种（2）【解析】（1）一一列举即可得到所有的种数；（2）找到选出的2人性别相同的所有可能结果，根据概率公式计算即可试题解析：（1）从6名学生中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为共15种.（2）选出的人性别相同的所有可能结果为共6种.因此事件发生的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率2.（1）已知命题是增函数，命题关于的不等式恒成立，若为真，为假，求实数的取值范围；（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）若命题p为真，则a＞-2，若命题q为真，则-4＜a＜0，由于p∨q为真，p∧q为假，可得p与q 一真一假，即可得出；（2）由题意，得命题p对应的数集为A=[-3，1]，命题q对应的数集为B；由于p是q的必要不充分条件，可得B⊊A，利用数轴即可得出试题解析：（1）若命题为真，则，若命题为真，则，当真假时，当假真时，综上，的取值范围为（2）由题意，得命题对应的数集为,命题对应的数集为；∵是的必要不充分条件，∴, 利用数轴分析可得得.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假3.设的导函数为，若的图像关于直线对称，且．（1）求实数的值；（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）极大值为，极小值为【解析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b；（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值试题解析：（1）因从而即关于直线对称，从而由题设条件知又由于（2）由（1）知令当上为增函数；当上为减函数；当上为增函数；∴函数极大值为，极小值为【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质4.某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．【答案】（1）0.5,2.3（2）7300【解析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把x=10代入回归方程计算估计值试题解析：（1）,设回归方程为,代入公式,经计算可得,, ∴关于的回归方程为．（2）∵（千元）,∴预计到2015年,该区人均纯收入约7300元左右．【考点】回归方程5.已知椭圆：的右焦点为，右顶点与上顶点分别为点、，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若过点斜率为2的直线交椭圆于、，且，求椭圆的方程．【答案】（1）（2）【解析】（1）运用两点的距离公式，结合a，b，c和离心率公式计算即可得到；（2）设P，Q，直线l的方程为y-2=2（x-0），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程试题解析：（1）由已知，即，，，∴．（2）由（1）知，∴椭圆：．设，，直线的方程为，即．由，即．．，．∵，∴，即，，．从而，解得，∴椭圆的方程为．【考点】1.椭圆方程及性质；2.直线与椭圆相交的位置关系6.已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若，设，且方程有实根，求实数的最大值．【答案】（1）（2）0【解析】（1）求导在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得，从而化为在（0，+∞）上有解，从而讨论函数的值域即可试题解析：（1）∵在区间上为增函数，∴即在区间上恒成立．∵在内∴即（2）方程可化为．∴条件转化为在上有解，令，∴即求函数在上的值域．令，则，∴当时，从而在上为增函数，当时，从而在上为减函数，因此．又∵，故，∴因此当时，取得最大值0．【考点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性。

则 t 的值为（ ）
A． 2
B． 7
C．10
D．13
5．虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为 30 厘米，短
轴长为 20 厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． 1 3
B． 2
3
C． 5 3
D． 6 3
6．已知随机变量 服从正态分布 N 2, 2 ，且 P( 3) 0.6 ，则 P(1 2) （ ）
段 B1C 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． PQ / / 平面 A1C1D B．Q 到平面 A1C1D 的距离为 2
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C．
PQ
与
A1D
所成角的取值范围为
π 6
,
π 2
D．三棱锥 B PCQ 外接球体积的最小值为 4π 3
12．已知椭圆 C :
x2 9
13．在等差数列an 中，首项 a1 2 ，公差 d 1，若 ak a1 a2 a3 L a7 ，则 k 等于.
14．设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14 mm 规格的芯片，现有 20 块该 规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为 6 块、6 块、8 块，且甲、乙、丙生产 该芯片的次品率依次为 1 ，1 ，1 .现从这 20 块芯片中任取 1 块芯片，若取到的芯片是
(1)证明； PA 平面 ABC； (2)在线段 PC 上是否存在点 M，使二面角 M AB C 的余弦值为 13 ，若存在，求出
13 | PM | 的值；若不存在，请说明理由． | PC | 21．“英才计划”最早开始于 2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2023 年已 经培养了 6000 多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间 从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的 7 名学员中恰有 3 人来自 A 中学，从这 7 名学员中选取 3 人， 表示选取 的人中来自 A 中学的人数，求 的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一

2017-2018学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．22．（5分）已知函数y=x3﹣3x，则它的单调递减区间是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，1）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）3．（5分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点4．（5分）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．5．（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限C．p：x=1，q：x=x2D．p：a＞1，q：f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+7．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a48．（5分）下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x﹣1（其中e为常用对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）11．（5分）已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（）A．x=p B．x=3p C．D．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）计算定积分dx=．14．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．15．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是16．（5分）已知f（x）=xlnx+ax2，a∈R，若函数f（x）在区间（0，1）上不单调，则a的取值范围为三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知a，b∈R+，求证：；（2）已知复数z满足：，是纯虚数，且z对应的点在第二象限，求复数z．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m=0时，求A∩B；（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]，（1）求f（x）的最大值与最小值；（2）若f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．21．（12分）已知抛物线与直线y=x所围成图形的面积为，点P在抛物线上，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，（1）求p的值；（2）F为抛物线C1的焦点，当点P在抛物线C2上运动时，求|AF|•|BF|的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）当a＜0时，试讨论f（x）的单调性；（2）令，若函数g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），求证：．2017-2018学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的虚部为﹣1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知函数y=x3﹣3x，则它的单调递减区间是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，1）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）【分析】求函数的导数，解f'（x）＜0，即可求函数的单调递减区间．【解答】解：∵y=f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3，由f'（x）＜0得，f'（x）=3x2﹣3＜0，解得x2＜1，即﹣1＜x＜1，即函数的单调递减区间为（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查导数的计算，以及利用导数求函数的单调区间，要求熟练掌握函数的单调性与导数之间的关系．3．（5分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点【分析】求导数f′（x），令f′（x）=0，得x=2可判断在2左右两侧导数符号，由极值点的定义可得结论．【解答】解：f′（x）=﹣=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0，所以x=2为f（x）的极小值点，故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属基础题．4．（5分）在极坐标系中，点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B．C．D．【分析】在直角坐标系中，求出点的坐标和圆的方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离．【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，故圆心为（1，0），故点（2，）到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为=，故选：D．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，两点间的距离公式的应用．5．（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限C．p：x=1，q：x=x2D．p：a＞1，q：f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．【解答】解：A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p 是q的必要不充分条件，故A正确；B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）=a x﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b=1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；D、∵a＞1，∴f（x）=log a x（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q 的充要条件，故D错误；故选：A．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．【点评】本题考查双曲线离心率的计算，根据双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，建立方程关系是解决本题的关键．7．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．【点评】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．8．（5分）下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解：对于A：“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，对于D：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12故选：C．【点评】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x﹣1（其中e为常用对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】找出四个选项的区别，用特值法验证．【解答】解：∵f（0）=e0﹣2×0﹣1=0，f（1）=e﹣2﹣1=e﹣3＜0；则函数图象过（0，0）点，且在y轴右侧，x轴下方有图象；故选：C．【点评】本题考查了函数图象的特征，选择题时，首先观察四个选项的区别，利用特值法或基本初等函数的性质排除，从而简化运算步骤．10．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）【分析】令，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）=1，即可得出．【解答】解：设，∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．所以函数h（x）是R上的减函数，∵函数f（x+2）是偶函数，∴函数f（﹣x+2）=f（x+2），∴函数关于x=2对称，∴f（0）=f（4）=1，原不等式等价为h（x）＜1，∴不等式f（x）＜e x等价h（x）＜1⇔h（x）＜h（0），．∵h（x）在R上单调递减，∴x＞0．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．11．（5分）已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（）A．x=p B．x=3p C．D．【分析】由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积等于﹣1，求出A、B坐标即可解决．【解答】解：由A、B是抛物线y2=2px（p＞0）的两点，|AO|=|BO|，及抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设直线AB的方程是x=m，则A（m，）、B（m，﹣）|△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F（，0 ）∴AF⊥OB，K AF•K OB=﹣1，∴•=﹣1∴m=，∴直线AB的方程是x=故选：D．【点评】本小题主要考查抛物线的简单性质、三角形垂心性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与转化思想．属于基础题．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）计算定积分dx=．【分析】定积分dx的几何意义是圆x2+y2=1的个圆的面积，计算可得【解答】解：定积分dx的几何意义是圆x2+y2=1的个圆的面积，∴dx=π×12=，故答案为：【点评】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题14．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），则y′=2x﹣=，令y′=0得，x=或x=舍去，所以当时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：=，则所求t的值为，故答案为：．【点评】本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．15．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是【分析】设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．【解答】解：设p（x，y），则F1（﹣，0），F2（，0），且∠F1PF2是钝角⇔P+P＜F⇔（x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜12⇔x2+3+y2＜6⇔x2+（1﹣）＜3⇔x2＜⇔﹣＜x＜．故点P的横坐标的取值范围．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22，是解题关键．16．（5分）已知f（x）=xlnx+ax2，a∈R，若函数f（x）在区间（0，1）上不单调，则a的取值范围为【分析】f（x）=xlnx+ax2，a∈R，f′（x）=lnx+1+2ax．x∈（0，1）．令f′（x）=0，解得a=﹣，令g（x）=﹣．x∈（0，1）．根据函数f（x）在区间（0，1）上不单调，可得函数y=a与g（x）的图象有交点．利用导数研究函数g（x）的单调性即可得出．【解答】解：f（x）=xlnx+ax2，a∈R，f′（x）=lnx+1+2ax．x∈（0，1）．令f′（x）=0，解得a=﹣，令g（x）=﹣．x∈（0，1）．g′（x）=﹣=﹣＜0，∴函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减．∴g（x）＞g（1）=﹣．∵函数f（x）在区间（0，1）上不单调，∴函数y=a与g（x）的图象有交点．则a的取值范围为：a．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知a，b∈R+，求证：；（2）已知复数z满足：，是纯虚数，且z对应的点在第二象限，求复数z．【分析】（1）运用基本不等式和可加性，即可得证；（2）设z=a+bi，（a＜0，b＞0），运用复数的乘法运算和纯虚数的概念，可得a，b的方程组，解方程可得a，b，进而得到所求复数．【解答】解：（1）证明：∵a，b∈R+，∴，，∴，∴；（2）复数z满足：，是纯虚数，且z对应的点在第二象限，可设z=a+bi，（a＜0，b＞0），则a2+b2=5，（1+2i）（a﹣bi）=a+2b+（2a﹣b）i，可得a+2b=0且2a﹣b≠0，解得a=﹣2，b=1，则z=﹣2+i．【点评】本题考查不等式的证明，以及复数的概念和运算，合理运用基本不等式和方程思想是解题的关键，属于基础题．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m=0时，求A∩B；（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）分别求出A，B，再根据集合的交集运算，求出A与B的交集即可；（2）由于q是p的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知A B，再根据集合关系求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，…（2分）B={x|（x+1）（x﹣1）≥0}={x|x≥1或x≤﹣1}．…（4分）∴A∩B={x|1≤x＜3}．…（6分）（2）由于命题p为：（﹣1，3），…（7分）而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9分）又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…（10分）所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得m≥4或m≤﹣2即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．…（12分）【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的运算．由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A B．19．（12分）已知函数f（x）=﹣lnx，x∈[1，3]，（1）求f（x）的最大值与最小值；（2）若f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出f（x）的最大值与最小值；（2）利用（1）的结论，f（x）＜4﹣at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，转化为4﹣at＞对任意t∈[0，2]恒成立，通过，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为函数f（x）=﹣lnx，所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，因为x∈[1，3]，当1＜x＜2时f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣ln2；又f（1）=，f（3）=，∵ln3＞1∴∴f（1）＞f（3），∴x=1时f（x）的最大值为，x=2时函数取得最小值为﹣ln2．（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣at恒成立，只要4﹣at＞对任意t∈[0，2]恒成立，即at恒成立记g（t）=at，t∈[0，2]∴，解得a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与导数的关系，函数的单调性的应用，考查函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力，恒成立问题的应用，考查转化思想，计算能力．20．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售的价格为5元/千克时，每日可以售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值．【分析】（1）由x=5时，y=11，代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【解答】解：（1）因为x=5时，y=11，y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．所以+10=11，故a=2；（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+10（x﹣6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=（x﹣3）[+10（x﹣6）2] =2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4），于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，求出利润的函数式和正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）已知抛物线与直线y=x所围成图形的面积为，点P在抛物线上，过点P作抛物线C1的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，（1）求p的值；（2）F为抛物线C1的焦点，当点P在抛物线C2上运动时，求|AF|•|BF|的取值范围．【分析】（1）由题意联立抛物线与直线方程，消去y求得x的值，再利用定积分求出抛物线与直线所围成图形的面积，得p的值；（2）由p的值写出抛物线的方程，设出A、B和P点的坐标，写出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用根与系数的关系，写出|AF|•|BF|，求出它的取值范围．【解答】解：（1）由题意，联立，消去y解得x1=0，x2=2p，∴抛物线与直线所围成的区域面积为，解得p=4；…………5分（2）由（1）知p=4，∴，，设，，P（x0，y0），由F（0，2），切线方程为，则；又点P（x0，y0）在上，即；同理，即x1，x2是方程的两个根，∴x1x2=8y0，x1+x2=2x0；…………9分且点P（x0，y0）在上，有，∴，又∵y0＜0，∴|AF|•|BF|∈（4，+∞）．…………12分【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了利用定积分求区域面积的问题，是难题．22．（12分）已知函数．（1）当a＜0时，试讨论f（x）的单调性；（2）令，若函数g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），求证：．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类分析原函数的单调性；（2）写出g（x）的解析式，由g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），可得2lnx1﹣x1﹣a=0和2lnx2﹣x2﹣a=0，联立可得，则=，令，可得，即证：2tlnt﹣t2+1＜0，构造函数h（t）=2tlnt﹣t2+1，h′（t）=2+2lnt﹣2t，利用导数可得h（t）在（1，+∞）单调递减，则h（t）＜h（1）=0，即2tlnt﹣t2+1＜0．【解答】（1）解：．①当△=a2﹣4≤0，即﹣2≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2时，，当x∈∪时，f′（x）＞0，当x∈时，f′（x）＜0，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；（2）证明：．∵g（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），∴2lnx1﹣x1﹣a=0，①2lnx2﹣x2﹣a=0，②由①②得，，∴===，令，则，下证，即证：2tlnt﹣t2+1＜0．设h（t）=2tlnt﹣t2+1，h′（t）=2+2lnt﹣2t ，，∵t＞1，∴h''（t）＜0，即h′（t）在（1，+∞）单调递减，∴h′（t）＜h′（1）=0，∴h（t）在（1，+∞）单调递减，则h（t）＜h（1）=0，即2tlnt﹣t2+1＜0，∴．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明函数不等式，属难题．第21页（共21页）。