2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测--数学(理科)

河南省郑州市高中毕业班第一次质量预测数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在答卷上的无效。

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次实验中发生的概率是P343V R π=球那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合2{|10},{|20}A x x B x x x =-<=-≤，()A B ⋂=A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x x <≥或D ．{|12}x x x ≤>或2．复数61(1)i+的值是A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．已知双曲线的方程为2223(0)x y m m -=>，则此双曲线的离心率为A ．32B ．153C ．52D ．与m 的值有关4．“平面a 那的两条直线l 、m 都平行于平面β”是“平面a //β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15918a a a ++=，则9S 等于A ．45B ．36C ．54D ．606．已知向量( 5.3),(2,)a x b x =--=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是A ．{2，3}B ．{－1，6}C ．{2}D ．{6}7．函数22(0)y x x x =-+≤的反函数为 A ．11(0)y x x =-≤ B ．11(1)y x x =-≤C ．11(0)y x x =--≤D ．11(1)y x x =--≤8．长方体1111ABCD A BC D -中，1111AA A D ==,2AB =,E 为AB 的中点，则1C 到平面1D DE 的距离为A 2B ．2C 25D 39．若曲线3y x =的切线l 与直线380x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．320x y -+= B ．330x y -+=或330x y --=B ．320x y --=D ．320x y --=或320x y -+=10．现有男生4人，女生4人，将它们任意排成一排，左边4人全是女生的概率是A ．170B ．135C ．11680D ．23511．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则cos 2cos C a cB b-=，则角B =A ．300B ．60C ．900D ．120012．已知直线10ax by +-=（a 、b 不全为零）与圆2250x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式92()4x x+的展开式中常数项为________ .（用数字作答） 14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，底面边长为2，则这个球的表面积是__________。

绝密★启用前2017届河南省郑州市中考一模数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：71分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论： ①b 2﹣4ac ＜0；②abc ＞0；③a ﹣b+c ＜0；④m ＞﹣2， 其中，正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：如图所示：图象与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＜0，∵图象与y 轴交于x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，故②正确；当x=﹣1时，a ﹣b+c ＞0，故此选项错误；试卷第2页，共20页∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，则m ＞﹣2，故④正确．故选B ． 考点：二次函数图象与系数的关系．2、如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】A ． 【解析】试题分析：过点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，过P 作⊙O 的切线PQ ，切点为Q ，连接OQ ，此时PQ 为最小，∴OP=3，OQ=2，∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴∠OQP=90°，由勾股定理得：PQ==，则PQ 的最小值为，故选A ．考点：切线的性质．3、如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ． 【解析】试题分析：选项A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；选项B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；选项C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；选项D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D ．考点：相似三角形的判定． 4、下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是B ．投掷一枚图钉，钉尖朝上、朝下的概率一样C ．投掷一枚均匀的骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投6次，一定会出现一次“l 点”D ．投掷一枚均匀的骰子前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大【答案】A ． 【解析】试题分析：选项A 、投掷一枚均匀的硬币，正、背面朝上的几率相等，都是，故本选项正确；选项B 、投掷一枚图钉，钉尖朝上、朝下的概率不一样，故本选项错误；选项C 、根据概率的定义，可知本选项错误；选项D 、投掷结果出现6点的概率一定，不会受主观原因改变，故本选项错误；故选A ． 考点：概率的意义．5、如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．5πcm【答案】C.试卷第4页，共20页【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l==3πcm ，则重物上升了3πcm ，故选C.考点：旋转的性质．6、如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△CBF ，△AEF ∽△DEC ，∴与△AEF 相似的三角形有2个．故选C ． 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质． 7、解一元二次方程x 2﹣8x ﹣5=0，用配方法可变形为（ ） A ．（x+4）2="11"B ．（x ﹣4）2="11"C ．（x+4）2="21"D ．（x ﹣4）2=21【答案】D ． 【解析】试题分析：移项得x 2﹣8x=5，两边都加上一次项系数一半的平方可得x 2﹣8x+16=5+16，即（x ﹣4）2=21，故选D ． 考点：解一元二次方程-配方法．8、下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B ．【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念可得第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个．故选B．考点：中心对称图形．试卷第6页，共20页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =3，点D 是BC 边上一动点，连结AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点C′，连结C′D 交AB 于点E ，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE 的长为_____．【答案】.【解析】试题分析：如图1所示；点E 与点C′重合时．在Rt △ABC 中，BC==4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE ．则EB=2．设DC=ED=x ，则BD=4﹣x ．在Rt △DBE 中，DE 2+BE 2=DB 2，即x 2+22=（4﹣x ）2．解得：x=．∴DE=．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC ﹣DC=4﹣3=1．∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ．∴，即．解得：DE=．点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．10、如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为 m ．【答案】3m ． 【解析】试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ， ∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴，即，解得：AB=3m ， 答：路灯的高为3m ．考点：中心投影．11、如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是 ．【答案】.【解析】试题分析：画树状图得：试卷第8页，共20页∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：．考点：列表法与树状图法．12、将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式是 ．【答案】y=（x+2）2﹣5． 【解析】试题分析：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移4个单位所得直线的解析式为：y=（x ﹣2+4）2﹣8=（x+2）2﹣8；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x+2）2﹣8向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2﹣5． 考点：二次函数图象与几何变换．13、已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点都在反比例函数的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y l y 2（填“＞”或“＜”）．【答案】＜． 【解析】试题分析：由题意，得比例函数的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y l ＜y 2，考点：反比例函数图象上点的坐标特征．14、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+2）x+2k=0，若x=l 是这个方程的一个根，则求k= ．【答案】1． 【解析】试题分析：把x=1代入x 2﹣（k+2）x+2k=0得1﹣（k+2）+2k=0，解得k=1． 考点：一元二次方程的解．三、解答题（题型注释）15、如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=x 2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k≤2.5时，求m 的取值范围．【答案】（1）m ；（2）MN 的长度为2.1m ；（3）m 的取值范围是4≤m≤8﹣2．【解析】试题分析：（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；（2）利用顶点式求出抛物线F 1的解析式，进而得出x=3时，y 的值，进而得出MN 的长；（3）根据题意得出抛物线F 2的解析式，得出k 的值，进而得出m 的取值范围．试题解析：（1）∵a=＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵y=x 2﹣x+3=（x ﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为：m ；试卷第10页，共20页（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8， 令x=0得y=3，∴A （0，3），C （8，3），由题意可得：抛物线F 1的顶点坐标为：（2，1.8）， 设F 1的解析式为：y=a （x ﹣2）2+1.8， 将（0，3）代入得：4a+1.8=3， 解得：a=0.3，∴抛物线F 1为：y=0.3（x ﹣2）2+1.8， 当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1， ∴MN 的长度为：2.1m ； （3）∵MN=DC=3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上，∴抛物线F 2的顶点坐标为：（m+4，k ），∴抛物线F 2的解析式为：y=（x ﹣m ﹣4）2+k ，把C （8，3）代入得：（8﹣m ﹣4）2+k=3，解得：k=﹣（4﹣m ）2+3，∴k=﹣（m ﹣8）2+3，∴k 是关于m 的二次函数，又∵由已知m ＜8，在对称轴的左侧， ∴k 随m 的增大而增大，∴当k=2时，﹣（m ﹣8）2+3=2，解得：m 1=4，m 2=12（不符合题意，舍去），当k=2.5时，﹣（m ﹣8）2+3=2.5， 解得：m 1=8﹣2，m 2=8+2（不符合题意，舍去），试卷第11页，共20页∴m 的取值范围是：4≤m≤8﹣2．考点：二次函数的应用．16、如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ． （1）当F 为BE 中点时，求证：AM=CE ；（2）若 =2，求的值；（3）若=n ，当n 为何值时，MN ∥BE ？【答案】(1)详见解析；（2）3；（3）n=4． 【解析】试题分析：（1）如图1，易证△BMF ≌△ECF ，则有BM=EC ，然后根据E 为CD 的中点及AB=DC 就可得到AM=EC ；（2）如图2，设MB=a ，易证△ECF ∽△BMF ，根据相似三角形的性质可得EC=2a ，由此可得AB=4a ，AM=3a ，BC=AD=2a ．易证△AMN ∽△BCM ，根据相似三角形的性质即可得到AN= a ，从而可得ND=AD ﹣AN=a ，就可求出的值；（3）如图3，设MB=a ，同（2）可得BC=2a ，CE=na ．由MN ∥BE ，MN ⊥MC 可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC ∽△BCE ，然后根据相似三角形的性质即可求出n 的值．试题解析：（1）当F 为BE 中点时，如图1， 则有BF=EF ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC ，AB ∥DC ，∴∠MBF=∠CEF ，∠BMF=∠ECF ． 在△BMF 和△ECF 中，试卷第12页，共20页，∴△BMF ≌△ECF ， ∴BM=EC ． ∵E 为CD 的中点，∴EC=DC ，∴BM=EC=DC=AB ，∴AM=BM=EC ； （2）如图2， 设MB=a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，AB=DC ，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB ∥DC ， ∴△ECF ∽△BMF ，∴=2，∴EC=2a ，∴AB=CD=2CE=4a ，AM=AB ﹣MB=3a ．∵=2，∴BC=AD=2a ． ∵MN ⊥MC ， ∴∠CMN=90°， ∴∠AMN+∠BMC=90°． ∵∠A=90°，∴∠ANM+∠AMN=90°， ∴∠BMC=∠ANM ， ∴△AMN ∽△BCM ，∴，试卷第13页，共20页∴，∴AN=a ，ND=AD ﹣AN=2a ﹣a=a ，∴=3；（3）当=n 时，如图3，设MB=a ，同（2）可得BC=2a ，CE=na ． ∵MN ∥BE ，MN ⊥MC ， ∴∠EFC=∠HMC=90°， ∴∠FCB+∠FBC=90°． ∵∠MBC=90°， ∴∠BMC+∠FCB=90°， ∴∠BMC=∠FBC ． ∵∠MBC=∠BCE=90°， ∴△MBC ∽△BCE ，∴，∴，∴n=4．考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．试卷第14页，共20页17、巩义长寿山景区门票价格为50元，在今年红叶节期问，为吸引游客，推出了如下优惠活动：如果人数不超过25人，门票按原价销售，如果人数超过25人，每超过1人，所购买的门票均降低1元，但人均门票不低于35元，某单位组织员工去长寿山看红叶，共支付门票费用1350元，请问该单位这次共有多少名员工去长寿山看红叶？【答案】该单位这次共有30名员工去长寿山看红叶． 【解析】试题分析：设该单位这次共有x 名员工去长寿山看红叶，根据每超过1人，人均旅游费用降低1元，且共支付给旅行社旅游费用1350元，可列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于35元，判断解是否合理．试题解析：设该单位这次共有x 名员工去长寿山看红叶，则人均费用是[50﹣（x ﹣25）]元由题意得[50﹣（x ﹣25）]x=1350， 整理得x 2﹣75x+1350=0， 解得x 1=45，x 2=30．当x=45时，人均门票价格为50﹣（x ﹣25）=30＜35，不合题意，应舍去． 当x=30时，人均旅游费用为50﹣（x ﹣25）=45＞35，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去长寿山看红叶． 考点：一元二次方程的应用． 18、阅读对话，解答问题：（1）分别用a 、b 表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a ，b ）的所有取值；（2）求在（a ，b ）中使关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+2b=0有实数根的概率．试卷第15页，共20页【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）用列表法易得（a ，b ）所有情况；（2）看使关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+2b=0有实数根的情况占总情况的多少即可． 试题解析：（1）（a ，b ）对应的表格为：（2）∵方程x 2﹣ax+2b=0有实数根， ∴△=a 2﹣8b≥0．∴使a 2﹣8b≥0的（a ，b ）有（3，1），（4，1），（4，2），∴P(△≥0)=．考点：列表法与树状图法；根的判别式．19、如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （4，3）、B （4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ． （1）画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【答案】(1)图见解析，A 1的坐标为（﹣1，4），点B 1的坐标为（1，4）；（2）+3．试卷第16页，共20页【解析】试题分析：（1）根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A 、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC 的长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．试题解析：（1）所求作△A 1B 1C 如图所示：由A （4，3）、B （4，1）可建立如图所示坐标系， 则点A 1的坐标为（﹣1，4），点B 1的坐标为（1，4）； （2）∵AC=，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为： S 扇形CAA1+S △ABC= +×3×2= +3．考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算．20、杜甫实验学校准备在操场边建一个面积为600平方米的长方形劳动实践基地． （1）求实践基地的长y （米）关于宽x （米）的函数表达式；（2）由于受场地限制，实践基地的宽不能超过20米，请结合实际画出函数的图象；试卷第17页，共20页（3）当实践基地的宽是l5米时，实践基地的长是多少米？【答案】(1) y=；(2)图见解析；（3）当实践基地的宽是15米时，实践基地的长为40米． 【解析】试题分析：（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y 与x 的函数表达式即可；（2）根据自变量的取值范围作出图象即可；（3）把x=15代入计算求出y 的值，即可得到结果．试题解析：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=600，即y=；（2）图象如图所示：（3）当x=15（米）时，y= =40（米），则当实践基地的宽是15米时，实践基地的长为40米． 考点：反比例函数的应用．试卷第18页，共20页21、如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD ⊥CD ． （1）若BC=3，AB=5，求AC 的值；（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．【答案】(1) AC=4；(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；（2）连接OC ，证OC ⊥CD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD ，即可得到OC ∥AD ，由于AD ⊥CD ，那么OC ⊥CD ，由此得证．试题解析：（1）解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上， ∴∠ACB=90°， 又∵BC=3，AB=5， ∴由勾股定理得AC=4； （2）证明：连接OC ∵AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC ， 又∵AD ⊥DC ， ∴∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴∠DCA=∠CBA ， 又∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ， ∵∠OAC+∠OBC=90°， ∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°， ∴DC 是⊙O 的切线．试卷第19页，共20页考点：切线的判定．22、先化简，再求值：（a ﹣）÷（），其中a 满足a 2﹣3a+2=0．【答案】原式=a ，由a 2﹣3a+2=0，得a=1或a=2，当a=1时，a ﹣1=0，使得原分式无意义，当a=2，原式=2． 【解析】试题分析：先化简题目中的式子，然后根据a 2﹣3a+2=0可得a 的值，注意a 的值要使得原分式有意义，本题得以解决．试题解析：（a ﹣）÷（）====a ，由a 2﹣3a+2=0，得a=1或a=2，∵当a=1时，a ﹣1=0，使得原分式无意义， ∴a=2，原式=2． 考点：分式的化简求值．23、如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是 ．试卷第20页，共20页【答案】 ．【解析】试题分析：如图，连接OM 交AB 于点C ，连接OA 、OB ，由题意知，OM ⊥AB ，且OC=MC=，在RT △AOC 中，∵OA=1，OC=，∴cos ∠AOC==，AC= =∴∠AOC=60°，AB=2AC=，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S 弓形ABM =S 扇形OAB ﹣S △AOB =﹣××=，S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形ABM =π×12﹣2（）=．考点：扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．。

河南省郑州市2017年⾼中毕业年级第⼆次质量预测——数学（理）郑州市2017年⾼中毕业年级第⼆次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考⽣应⾸先阅读答题卡上的⽂字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答⽆效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题。

每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中。

只有⼀项是符合题⽬要求的．） 1．已知复数f （n ）＝ni （n ∈N ﹡）．则集合{z ｜z ＝f （n ）}中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．⽆数 2．设x ＝0.53，y ＝3log 2，z ＝cos 2，则A ．z ＜x ＜yB ．y ＜z ＜xC ．z ＜y ＜xD ．x ＜z ＜y 3．要计算1＋12＋13＋…＋12017的结果，下⾯程序框图中的判断框内可以填 A ．n ＜2017 B ．n ≤2017 C ．n ＞2017 D ．n ≥20174．某⼏何体的三视图如图所⽰，其中俯视图为扇形，则该⼏何体的体积为A ．163π B ．3πC ．29πD ．169π5．下列命题是真命题的是A ．??∈R ，函数f （x ）＝sin （2x ＋?）都不是偶函数B ．α?，β∈R ，使cos （α＋β）＝cos α＋cos βC ．向量a ＝（2，1），b ＝（－1，0），则a 在b ⽅向上的投影为2D ．“｜x ｜≤1”是“x ≤1”的既不充分⼜不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a ，在区间[0，2]上任取实数b ，使函数f （x ）＝2ax ＋x ＋14b有两个相异零点的概率是 A ．12(1)e － B ．14(1)e － C ．18(1)e － D ．116(1)e －7．已知数列{n a }满⾜1n a ＋＝n a －1n a －（n ≥2），a 1＝m ，a 2＝n ，n S 为数列{n a }的前n 项和，则2017S 的值为A ．2017n －mB ．n －2017mC ．mD ．n8．已知实数x ，y 满⾜2,6,1,y x x y x ??≥＋＋≤≥则z ＝2｜x －2｜＋｜y ｜的最⼩值是A ．6B ．5C ．4D ．39．已知空间四边形ABCD ，满⾜｜AB uu u r ｜＝3，｜BC uu u r ｜＝7，｜CD uu u r｜＝11，｜DA uu u r ｜＝9，则AC uuu r ·BD uu ur 的值A ．－1B ．0C ．212 D ．33210．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为A ．72B ．120C ．192D ．24011．已知P 为双曲线24y －2x ＝1上任⼀点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂⾜分别为A ，B ，则｜PA ｜·｜PB ｜的值为 A ．4 B ．5 C ．45D ．与点P 的位置有关 12．已知函数f （x ）＝sin 2cos xx＋．如果当x ＞0时，若函数f （x ）的图像恒在直线y ＝kx 的下⽅，则k 的取值范围是 A ．[13B ．[13，＋∞）C ．D ．[]第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答。

郑州市2017届高三上学期第一次质量预测试题数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|A x x B x x m =>=<,且A B R = ，那么m 的值可以是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视 图是平行四边形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则212b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+A.78- B ．14- C ．14 D ．788．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为B D 11．已知向量a 是与单位向量夹角为60 的任意向量，则对任意的正实数t,的最小值是A. 0B.12D. 112. 定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有4个不同的实根，则实数a 的值为．A ．12 B ．12- C ．1 D ．－1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩， 则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的78S =，则输入的整 数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶 点都在同一球面上，若12,2,1AA AB AC ===．60BAC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．整数数列{}n a 满足21()n n n a a a n N *++=-∈，若此数列的前800项的和是2017，前813项的和是2000，则其前2017项的和为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<，当3x π=-时取得最小值-4．(I)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且24(0),()6a f a f π==，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车,为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：(I)估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；(Ⅱ)若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求三棱锥1C ABC -的体积． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在 以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln ,()k x f x x x g x x-==． (I)当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； (Ⅱ) 若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答 案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=， 所以14b =，316b =，则12n n b +=． （2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++L 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++L 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=， （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则X 的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则Y 的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒， 因为底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥， 所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==． 所以四边形ABFE 是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PA AC A =I ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC ．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-u u u r，2(0,3EP =-u u u r ，设平面PBE 的法向量(,,)x y z =n ，则00n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r u u g u r g ，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =u u u r是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==u u u r n ，即当二面角A −PB −EPC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OP OQ =-u u u r u u u r g ，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =，因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +=g ，求得208y =，此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='， 所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=， 令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =． （2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->， 设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞， 若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减， 因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符， 若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， 因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意， 此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->， 设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=， 所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设， 综上所述，k 的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+， 当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =． （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故a的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为a ，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， 因为关于x 的不等式()()f x g x <有解， 所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．A={x|x(5−x)>4}={x|1<x<4},B={x|x≤a}，若A∪B=B，则A⊂B，∴a≥4．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．∵z=a+2i32−i =a−2i2−i=(a−2i)(2+i)5=2a+25+a−45i，∴{2a+25>0a−45<0，解得−1<a<4．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由3cos2θ=tanθ+3得3sin2θ=−tanθ，∵θ≠kπ(k∈Z),∴3sinθcosθ=−1，即sin2θ=−23，则sin[2(π−θ)]=sin(2π−2θ)=−sin2θ=23．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：n=1，S=k,满足循环条件n<4,执行循环体，n=2，S=k2，满足循环条件n<4,执行循环体，n=3，S=k3，满足循环条件n<4,执行循环体，n=4，S=k4，不满足循环条件n<4,结束循环，输出S的值为k4，则k4=1.5，解得k=6．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点(0,−2)到渐近线bx+ay=0的距离为√b2+a2=2ac=23，∴c=3a,∴b=2√2a，∵双曲线C 过点(√2,2√2)，∴2a 2−88a 2=1，解得a =1， 则双曲线C 的实轴长为2． 故选A ．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．∵x 0是函数y =f(x)−e x 的一个零点，∴f (x 0)−e x 0=0，即f (x 0)=e x 0， 又f(x)为奇函数，∴f (−x 0)=−f (x 0)=−e x 0， 当x =x 0时，．y =f (x )⋅e −x +1=0． 故选B ．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为V =13×22×1+12×1×2×2=103．故选A ．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25λ−5×4×cos60°=5，解得λ=35， 则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． 故选C ．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，M 在椭圆的短轴上．设椭圆C 的左焦点为F 1，连结AF 1． ∵|OA|=|OF 2|，∴|OA|=12|F 1F 2|，即AF 1⊥AF 2， ∵|AF 1||AF 2|=|OM||OF 2|=12，∴|AF 1|=2√55c,|AF 2|=4√55c ，∴2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ，则椭圆C 的离心率为e =ca =√53． 故选D ． 11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取DC 中点N ，连结MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故A 正确；取A 1D 中点F ，连结MF ，EF ，则EFBM 为平行四边形，则∠A 1EF 为异面直线BM 与A 1E 所成角，故B 正确； 点A 关于直线DE 的对称点为N ，则DE ⊥平面AA 1N ，即过O 与DE 垂直的直线在平面AA 1N 上，故C 错误； 三棱锥A 1−ADE 外接球半径为√22AD ，故D 正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．g′(x)=−3x2+2x<0(x<0)，∴函数g(x)在(−∞，0)上单调递减，∴g(x)>g(0)=0．设A(x0，1aln(x0+1))，由斜边AB的中点y轴上可得B(−x0，x03+x02)，∵OA⊥OB，∴k OA∙k OB=−1，即1aln(x0+1)x0∙x03+x02−x0=−1，∴a=x0+1ln(x0+1)，设ℎ(x)=x+1ln(x+1)(e−1<x<e2−1)，则ℎ′(x)=ln(x+1)−1ln2(x+1)，∵e−1<x<e2−1,∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(e−1)=e<ℎ(x)<ℎ(e2−1)=e22，即实数a的取值范围是(e,e22)．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，z的几何意义为可行域内的点到点(0，−1)距离的平方．则z的最小值为点(0，−1)到直线2x+y−4=0距离的平方，z=(22)2=5．故答案为5.14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有C52A22种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有C32+1种，则不同的分配方案种数为C52A22−(C32+1)=16．故答案为16．15．【解析】本题主要考查函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质．由图可得T=2×(7π8−3π8)=π=2πω，∴ω=2，∵f(5π8)=2∴5π4+φ=π2+kπ(kϵZ),又|φ|<π2,∴φ=π4，∴f(x)=Asin(2x+π4)，又f(π8)=A=−2，∴f(x)=−2sin(2x+π4)，则g(x)=−2sin[2(x−7π24)+π4]=−2sin(2x−π3)．若函数g(x)在区间[−π3,θ](θ>−π3)上的值域为[−1,2]，则2θ−π3=π6，∴θ=π4．故答案为π4．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由(a2+b2)tanC=8S得a2+b2=4abcosC=4ab∙a2+b2−c22ab，即a2+b2=2c2．由sinAcosB=2cosAsinB得a∙a2+c2−b22ac =2b∙b2+c2−a22bc，即a2−b2=13c2．∴a2=76c2，b2=56c2，∴cosA=b2+c2−a22bc=√3015．故答案为√3015．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在λS n=a n a n+1中，令n=1，2得到关系式，再由等差数列的性质可得a n,λ，从而求得b1,b3，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到b n；（2）由等差数列的前n项和公式可得S n，代入求出c n，利用裂项求和可得T n．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证ABFE是平行四边形，得AB//EF，从而AC⊥EF，由线面垂直的性质得PA⊥EF，由线面垂直的判定可得EF⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角．取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A坐标原点建立空间直角坐标系A−xyz．分别求出平面PBE和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点A坐标，由A、B点坐标可得圆C的方程，直线x=1方程联立，得关于y的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段MN的长；（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出l的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得k值．（2）分k>2和0<k≤2两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用x=ρcosθ,y=ρsinθ及两角和的余弦公式将l的极坐标方程化成直角坐标方程，设出P的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对∀t∈R，acost−2sint+4>0恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得f(x)的最小值，易得g(x)的最大值，问题转化为g(x)的最大值大于f(x)的最小值．为方程f(x)=g(x)的根，代入可求得a；当x<2时，由g(x)=f(x)min求出x，验证可得b，（2）由题知，72则a+b可得.。

高中毕业年级第一次质量预测数学（理科） 参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.D3.A4.C5.B6.B7.A8.C9.D 10.C 11.A 12.B.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上13. 2-- 14. 13;- 16.4033. 三、解答题（本大题共6分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解: 2分所以3a =sin A ，sin 3b B =……6分(Ⅱ)8分 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．……10分所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=12分 18． 解：（Ⅰ）证明：在BCA ∆中，由于∴222AB AC BC +=,故AB AC ⊥．……………2分 又SAB ABCD ⊥平面平面，SAB ABCD AB =平面平面，AC ABCD ⊂平面，SAB AC ∴⊥平面，……………4分 又AC SAC ⊂平面，故平面SAC ⊥平面SAB ……………6分（2）如图建立A xyz -空间直角坐标系，()0,0,0A ,()2,0,0,B0)(143)(24CS BC =-=-，，，，，， ()0,4,0,AC ……………8分 设平面SBC 的法向量()111,,n x y z =,00n BC n CS ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩令1111,2,3y x z ===则, n ⎛∴= ⎝⎭．…10分 设平面SCA 的法向量()222,,m x y z =,200m AC m CS ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎪⎩⎩2x = (3,0,1∴=-m 219cos ,n mn m n m ⋅==⋅∴二面角--B SC A 的余弦值为……………12分 19． 解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，…1分 从而列联表如下：……………3分因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为……………10分. ……………12分22⨯113,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭X ()13==3=44E X np ⨯20.（Ⅰ）设动点),(y x N ，),,(00y x A 因为x AB ⊥轴于B ，所以)0,(0x B ，……1分 设圆M 的方程为222:,+=M x y r由题意得2r ==，所以圆M 的程为22:4M x y +=.……………3分由题意, 2AB NB =，所以00(0,)2(,)y x x y -=--，所以，即00,2,=⎧⎨=⎩x x y y 将(,2)A x y 代入圆22:4M x y +=,得动点N 的轨迹方程2214x y += ，……………5分 (Ⅱ)由题意设直线0,++=y m 设直线l 与椭圆交于221,4+=x y 1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程22,44,⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y m x y得2213440x m ++-=， 222192413(44)16(13)0m m m ∆=-⨯-=-+>，解得213m <，1,213x -±==， 又因为点O 到直线l 的距离2md =，122213PQ x x =-= (10)分1122OPQ m S ∆=⋅⋅=≤. OPQ ∆面积的最大值为1.……………12分21． （Ⅰ）令()()(1)ln(1)F x f x x mx x x =-=-+-，(0,1)x ∈，2分时，由于(0,1)x ∈，有 于是'()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，从而'()'(0)0F x F >=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递增，即()0F x >；……………3分 ②当0m ≥时，由于(0,1)x ∈，有 于是'()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，从而'()'(0)0F x F <=， 因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，即()(0)0F x F <=不符；……………4分，当0(0,]x x ∈时， ，于是'()F x 在0(0,]x x ∈上单调递减， 从而'()'(0)0F x F <=，因此()F x 在0(0,]x x ∈上单调递减， 即()(0)0F x F <=而且仅有(0)0F =不符. 综上可知，所求实数m 的取值范围是……………6分(Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n ，不等式251(1)n e n ++<恒成立，等价变形211(1)ln(1)0n ++-<相当于（28分 上单调递减，即()(0)0F x F <=；……………10分 211(1)ln(1)05n n n++-<成立； 令得证. ……………12分 22. （本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数ϕ可得1C 曲线2C 的圆心的直角坐标为)3,0(，∴2C 的直角坐标方程为1)3(22=-+y x .………………4分)2(设),sin ,cos 2(ϕϕM 则222)3(sin )cos 2(||-+=ϕϕMC 9sin 6sin cos 422+-+=ϕϕϕ 13sin 6sin 32+--=ϕϕ16)1(sin 32++-=ϕ.1sin 1≤≤-ϕ，∴,2||min 2=MC ，4||max 2=MC .根据题意可得,112||min =-=MN ，,514||max =+=MN即||MN 的取值范围是[]1,5..………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为，b a b a b x a x +=--≥-++， 所以()f x a b ≥+，当且仅当0))((<-+b x a x 时，等号成立，又0,0a b >>， 所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b +,所以4a b +=．.………………5分 （Ⅱ）由（1）知4,4a b b a +==-，分。

2016-2017学年河南省郑州市登封一中高三（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满60分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）2．已知A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∩B=B，则实数a的值为（）A．0或1或2 B．1或2 C．0 D．0或13．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜04．设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2]C．R D．∅7．y=﹣log2（4﹣x2）的定义域是（）A．（﹣2，0）∪（1，2）B．（﹣2，0]∪（1，2）C．（﹣2，0）∪[1，2）D．[﹣2，0]∪[1，2]8．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2|x|C．D．f（x）=sinx9．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f （x），其导函数为f′（x）=l+cosx，如果f（1﹣a）+f（l﹣a2）＜0，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（﹣2，﹣）D．（1，）∪（﹣，﹣1）10．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B． C．D．11．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），设函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二．填空题13．dx+=．14．设函数f（x）=为奇函数，则a=．15．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．16．设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为．三．解答题：17．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）求经过点A（2，﹣2）的曲线f（x）的切线方程．18．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）已知g（x）图象与y=f（x）图象关于x=1对称，证明：当x＜1 时，f（x）＜g （x）．（3）设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2＜2．2016-2017学年河南省郑州市登封一中高三（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满60分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）【考点】交集及其运算．【分析】根据题目中A={x|x2﹣4x+3＜0}的解集求得A，再求它们的交集即可．【解答】解：因为A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}故选：C．2．已知A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∩B=B，则实数a的值为（）A．0或1或2 B．1或2 C．0 D．0或1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求出A集合，根据A∩B=B，说明B⊆A，对B进行：B≠∅，B=∅讨论，即可得到答案．【解答】解：A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，∵A∩B=B，∴B⊆A当B=∅时，ax﹣2=0无解，∴a=0．B≠∅时，x=，∴或，解得：a=2或a=1，所以：实数a的值为：a=0或a=1或a=2．故选：A．3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．4．设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．5．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2]C．R D．∅【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．【解答】解：若p∨（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命题，则0≤m＜e；若q是真命题，则由x2+mx+1≥0，则△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，综上，解得0≤m≤2．故选：B．7．y=﹣log2（4﹣x2）的定义域是（）A．（﹣2，0）∪（1，2）B．（﹣2，0]∪（1，2）C．（﹣2，0）∪[1，2）D．[﹣2，0]∪[1，2]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得﹣2＜x＜0或1≤x＜2，故选：C．8．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f（x）=x2B．f（x）=2|x|C．D．f（x）=sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据二次函数、指数函数、反比例函数、对数函数，以及复合函数单调性，偶函数、奇函数的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：f（x）=x2，f（x）=2|x|在（﹣∞，0）单调递减；f（x）=是偶函数，且x＜0时，f（x）=是复合函数，在（﹣∞，0）上单调递增，所以C正确；f（x）=sinx在定义域R上是奇函数．故选C．9．已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f （x），其导函数为f′（x）=l+cosx，如果f（1﹣a）+f（l﹣a2）＜0，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（﹣2，﹣）D．（1，）∪（﹣，﹣1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导数判断f（x）在（﹣1，1）递增，再由f（﹣x）=﹣f（x），不等式f（1﹣a）+f（l﹣a2）＜0化为，求解不等式组得答案．【解答】解：f（x）的导函数为f′（x）=l+cosx，则f′（x）＞0在（﹣1，1）恒成立，即有f（x）在（﹣1，1）递增，又f（x）为奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），则f（1﹣a）+f（l﹣a2）＜0即为f（1﹣a）＜﹣f（l﹣a2）=f（a2﹣1），即，即有，解得，1＜a＜．故选：B．10．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1）B． C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．【解答】解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0，解得0＜a＜，又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1，当x＞1时，log a x＜0，因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥综上：≤a＜故选C．11．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）=﹣ln（1﹣x），设函数f（x）=，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由函数g（x）是奇函数，求出函数g（x）的解析式，再利用f（x）与g（x）的关系得到f（x）的单调性，利用函数单调性解不等式f（2﹣x2）＞f（x），求出实数x的取值范围．【解答】解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[﹣ln（1+x）]=ln（1+x）．∵函数f（x）=，∴当x≤0时，f（x）=x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）=lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二．填空题13．dx+=2π+1．【考点】定积分．【分析】根据函数积分的公式以及积分的几何意义，即可得到函数的积分值．【解答】解：∵dx=lnx|=lne﹣ln1=1，的几何意义表示为y=对应上半圆的面积，即=，即dx+=2π+1；故答案为：2π+114．设函数f（x）=为奇函数，则a=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）=0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）=0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．【解答】解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．故应填﹣1．15．若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜216．设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）三．解答题：17．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）求经过点A（2，﹣2）的曲线f（x）的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数f′（x），根据导数的几何意义可知，切线的斜率为f′（2），又切点在函数f（x）上，求出切点的坐标，根据直线的点斜式方程写出函数f（x）在x=2处的切线方程；（2）设切点坐标为P（a，a3﹣4a2+5a﹣4），根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，而点A（2，﹣2）在切线上，列出关于a的方程，求解a，即可得到曲线的切线方程．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，∴f′（x）=3x2﹣8x+5，根据导数的几何意义，则曲线f（x）在x=2处的切线的斜率为f′（2）=1，又切点坐标为（2，﹣2），由点斜式可得切线方程为y﹣（﹣2）=1×（x﹣2），即x﹣y﹣4=0，∴求曲线f（x）在x=2处的切线方程为x﹣y﹣4=0；（2）设切点坐标为P（a，a3﹣4a2+5a﹣4），由（1）可知，f′（x）=3x2﹣8x+5，则切线的斜率为f′（a）=3a2﹣8a+5，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣4a2+5a﹣4）=（3a2﹣8a+5）（x﹣a），①又根据已知，切线方程过点A（2，﹣2），∴﹣2﹣（a3﹣4a2+5a﹣4）=（3a2﹣8a+5）（2﹣a），即a3﹣5a2+8a﹣4=0，∴（a﹣1）（a2﹣4a+4）=0，即（a﹣1）（a﹣2）2=0，解得a=1或a=2，将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x﹣y﹣4=0，故经过点A（2，﹣2）的曲线f（x）的切线方程为y+2=0或x﹣y﹣4=0．18．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=3x2﹣a，从而讨论a以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（2）由（1）知a≤0．【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣ax﹣1，∴f′（x）=3x2﹣a，当a≤0时，f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，故函数f（x）=x3﹣ax﹣1在R上是增函数，当a＞0时，f′（x）=3x2﹣a=3（x+）（x﹣），故当x＜﹣或x＞时，f′（x）＞0，当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上是增函数，在（﹣，）上是减函数；（2）由（1）知，a≤0．19．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．20．已知函数f（x）=（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）因为函数，所以=，因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，所以f′（1）=0，即，解得k=1；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由，令g（x）=，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．22．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）已知g（x）图象与y=f（x）图象关于x=1对称，证明：当x＜1 时，f（x）＜g （x）．（3）设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】（1）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案；（2）求出g（x）的表达式，令F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的导数，通过讨论函数的单调性求出F（x）＜0即可证明结论；（3）设x1，x2是f（x）的两个零点，求出﹣a，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则求出g（1+m）﹣g（1﹣m）的表达式，设h（m）=e2m+1，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）．证明：（2）由题意得：g（x）=f（2﹣x）=﹣xe2﹣x+a（x﹣1）2，令F（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）e x+xe2﹣x，则F′（x）=（x﹣1）（e x﹣e2﹣x），x＜1时，F′（x）＞0，F（x）在（﹣∞，1）递增，∴F（x）＜F（1）=0，故当x＜1 时，f（x）＜g（x）．证明：（3）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=e1﹣m（e2m+1），设h（m）=e2m+1，m＞0，则h′（m）=e2m＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．2016年11月25日。

郑州市2017届高三上学期第一次质量预测试题数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|2A x x B x x m =>=<,且，那么m 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．42．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视 图是平行四边形，则该几何体的表面积为A ．15+B ．C ．30+．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．二项式6(ax 的展开式的第二项的系数为-，则22a x dx -⎰的值为A.3 B ．73 C ．3或73 D ．3或103-8．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==，则对任意的正实数t ， 1c ta b t++的最小值是A.2 B ． C ．4 D ．11．已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为A. B. C. (0,1) D. 1(0,)212.已知数列{}n a 的通项公式为)n a n N *=∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S 、2S 、…2014S 中，有理数项的项数为A ．42B ．43C ．44D ．45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩， 则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的3132S =，则输入的整 数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶2,1AB AC ==．60ABC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单 调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足0,AD AC ⋅=sin BAC AB BD ∠=== (I)求AD 的长; (Ⅱ)求cosC ．18.（本小题满分12分）为迎接2017年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有三个选项，问题B 有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金a 元，正确回答问题B 可获奖金b 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生．(I)如果参与者先回答问题A ，求其恰好获得奖金a 元的概率；(Ⅱ)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的 正弦值． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在 以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-． (I)若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；(Ⅱ)若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >,方程'()'()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1?x k x =若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由， 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(I)若1,13EC ED CB DA ==，求DCAB的值； (Ⅱ)若2BCEF FA FB =⋅，证明：EF ∥CD ．23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(q 为参数)．(I)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲绒1C 于A ，B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()4(4)f x x x a a =-+-<. (I)若()f x 的最小值为3，求a 值； (Ⅱ)求不等式()3f x x ≥-的解集，2017年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科） 参考答案一、 选择题ADACB DBCBB AB 二、 填空题13.[1,3)-； 14.5； 15. 8π； 16.12a <-. 三、解答题17．解：(1) 因为AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠,即cos BAD ∠=,…………………………….2分 在ABD ∆中，由余弦定理可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠， 即28150AD AD -+=，解之得5AD =或 3.AD = ……………………………………………….6分由于AB AD >，所以 3.AD =…………………………………………………..7分 (2) 在ABD ∆中，由正弦定理可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos BAD ∠=可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==, 因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠,所以cos C =.……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题A 的概率113P =，随机猜对问题B 的概率214P =．………… 2分 ⑴设参与者先回答问题A ，且恰好获得奖金a 元为事件M ,则12131()(1)344P M P P =-=⨯=, 即参与者先回答问题A ，其恰好获得奖金a 元的概率为14. ………………4分⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A ，再回答问题B ．参与者获奖金额ξ可取0,,a a b +， 则()12013P P ξ==-=，()()12114P a P P ξ==-=，()121.12P a b PP ξ=+==②先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η，可取0,,b a b +，则()23014P P η==-=，()()21116P b P P η==-=，()211.12P a b P P η=+==()3110.4612124a bE b a b η=⨯+⨯++⨯=+………… 10分32.12a bE E ξη--= 于是，当23a b >，时E E ξη>，即先回答问题A ，再回答问题B ，获奖的期望值较大； 当23a b =，时E E ξη=，两种顺序获奖的期望值相等；当23a b <，时E E ξη<，先回答问题B ，再回答问题A ，获奖的期望值较大.…………………………12分 19.解：(1)证明：由题意11tan tan AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠==, 注意到10,2ABD AB B π<∠∠<,所以1ABD AB B ∠=∠,所以1112ABD BAB AB B BAB π∠+∠=∠+∠=,所以BD AB ⊥1, ……………………3分又⊥CO 侧面11A ABB ，1.AB CO ∴⊥ 又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1,又因为CBD BC 面⊂,所以1AB BC ⊥.……………………………6分(2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在的直线为,,x y z 轴， 以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -则(0,A，(B ，C，1B，D ， 又因为12CC AD =，所以1C …………8分所以(AB =，AC =，1DC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则根据0,0AB n AC n ⋅=⋅=可得n =是平面ABC 的一个法向量,设直线1C D 与平面ABC 所成角为α，则11||sin ||||DC n DC n α⋅==………………12分20.⑴解：由题知||||||||||||2||||4||,CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=> 所以曲线M 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x 轴的交点），设曲线M ：22221(0,0)x y a b y a b+=>>≠，则2222||4,()32AB a b a ==-=， 所以曲线M ：221(0)43x y y +=≠为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点(1,0)B ， 设1122:1,(,),(,)BC l x my C x y D x y =+，A由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 消x 得22(34)690m y my ++-=，所以1,2y =， 所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩-------------------------------------8分因为1122(2,),(2,)AC my y AD my y =+=+,所以212121212222222(2)(2)(1)2()49(1)12794.343434AC AD my my y y m y y m y y m m m m m m ⋅=+++=+++++-=--+=+++注意到点A 在以CD 为直径的圆上,所以0AC AD ⋅= ,即m =,-----11分所以直线BC的方程330x +-=或330x -=为所求.------12分21.⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分 当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>. 所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数,故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. --------6分 令()ln 1(0)u x x x x =-+>,11()1xu x x x-'=-=, 当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<. 所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数. 故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立.所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当0k ≤或1k =时,()()f x g x =,即()0h x =仅有唯一解1x =,不合题意; 当01k <<时, ()h x 是(,)k +∞上的增函数,对1x >,有()(1)0h x h >=，所以()()f x g x =没有大于1的根,不合题意. ---------8分当1k >时,由()()f x g x ''=解得10k x e -=,若存在110k x kx ke -==, 则111ln()(1)k k k keke k ke ---=-,即1ln 10k k e --+=,令1()ln 1(1)xv x x e x -=-+>,11()x x xe exv x e x xe--'=-=, 令(),()xxs x e ex s x e e '=-=-,当1x >时,总有()0s x '>, 所以()s x 是(1,)+∞上的增函数,即()(1)0xs x e ex s =->=, 故()0v x '>,()v x 在(1,)+∞上是增函数,所以()(1)0v x v >=,即1ln 10k k e --+=在(1,)+∞无解.综上可知,不存在满足条件的实数k . ----------------------12分 22.解：⑴ D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角，∴ECD ∆∽,EAB ∆ ∴.DC EC EDAB EA EB== ∴2111...428DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.∴DC AB =. ……………………………………………………………… 6分⑵ FB FA EF ⋅=2， ∴FEFB FA EF =， 又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴//.EF CD .…………………………………………………… 10分 23.解：⑴222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l的参数方程为4,,x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数） 将其代入曲线1C整理可得：240s -+=，设,A B 对应参数分别为12,s s ，则1212 4.s s s s +==所以12||||AB s s =-==. ……………………………10分24.解：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立,故43,1a a -=∴=为所求.……………………4分⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34)4(<a ， ①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥-即 1.x a ≤+所以，当a x <时，原不等式成立.②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥-即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立.③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即7,3a x +≥由于4<a 时74.3a +>所以，当4>x 时，原不等式成立.综合①②③可知： 不等式x x f -≥3)(的解集为R.……………………10分。

2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为A. B. C. D.3. 已知命题，命题，，则成立是成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件4. 在中，，，，，为线段的三等分点，则A. B. C. D.5. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为A. B. C. D.7. 函数的图象如何平移可以得到函数的图象?A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8. 函数的图象大致为A. B.C. D.9. 如图直三棱柱中，是边长为的等边三角形，，点，，，，分别是边，，，，的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为A. B. C. D.10. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.11. 已知，且，则的取值范围是A. B. C. D.12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则．14. 已知实数，满足不等式组则的最小值为．15. 如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是．16. 对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范是．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 如图，已知四棱锥，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，，且．（1）求证：平面平面；（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的倍．19. 近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（天）内天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型（当PM2.5指数为时造成的经济损失为元，当PM2.5指数为时，造成的经济损失为元）；当PM2.5指数大于时造成的经济损失为元．附：，其中（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关?20. 已知坐标平面上动点与两个定点，，且．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．21. 已知函数．（1）证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．22. 在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为的圆．（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．23. 已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）求的最小值．答案第一部分1. B 【解析】依题意得，，．2. D 【解析】依题意得，则复数的共轭复数为．3. A 【解析】命题等价于．命题，对，，必有或，则，所以命题是命题的充分不必要条件．4. C 【解析】在中，，平方得，即，则，由于，为的三等分点，则，，，又有，，则，，又由，，故5. B【解析】根据已知的程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取的两个数，，求的概率．因为，，对应的平面区域的面积为，而对应的平面区域的面积为，故，解得6. B 【解析】由三视图知，该几何体是一个棱长为的正方体挖去一个底面半径为，高为的个圆锥而得到的，所以该几何体的体积．7. D 【解析】因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度就可得到函数的图象．8. C 【解析】依题意，注意到，因此函数是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A，B均不正确；当时，，，，因此结合选项知，C正确．9. D 【解析】连接，，，因为，，分别为，，的中点，所以平面，平面，所以平面平面，所以与线段上任意一点的连线都平行于平面，所以点的运动轨迹是线段，其长度为．10. C【解析】不妨设双曲线的方程为，因为焦点到渐近线的距离为，，即，所以，所以该双曲线的离心率．11. A 【解析】因为，又，所以，当且仅当时，等号成立，即，解得．12. C 【解析】因为，若，且对任意的恒成立，则对任意的恒成立．令，则．令，则，所以函数在上单调递增．因为，，所以方程在上存在唯一实数根，且满足．当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．又，所以，所以，所以，所以整数的最大值为．第二部分13.【解析】依题意得，．14.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，即．15.【解析】当时，不能构成三角形；当，即，时，三角形为直角三角形，不符合题意；当，即，即时，能构造一个锐角三角形与一个钝角三角形，满足条件；当，即时，要使为锐角三角形，必有，则，即，解得．综上可知，实数的取值范围是．16.【解析】易知函数为增函数，且，所以函数只有一个零点，则取，由，知．由与互为“零点密切函数”知函数在区间内有零点，即方程在内有解，所以，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，且当时，，当时，，所以，所以实数的取值范围是．第三部分17. （1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由1可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．18. （1）在中，由于，，，所以，故．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．（2）所以19. （1）依题意，可得．（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元”为事件，由，得，频数为，．（3）根据题中数据得到如下列联表：的观测值，所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．20. （1）由题意，得，即，化简，得，所以点的轨迹方程是．轨迹是以为圆心，以为半径的圆．（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段长度为，所以符合题意．当直线的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离，由题意，得，解得．所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．21. （1）令，则．当时，，所以当时，，当时，，即在上单调递增；在上单调递减．所以，故．（2）记，则在上，，①若，，时，，单调递增，，这与上矛盾；②若，，时，，单调递增，而，这与上矛盾；③若，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即恒成立．④若，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，这与上矛盾．⑤若，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，这与上矛盾．综上，实数的取值范围是．22. （1）消去参数可得的普通方程为．曲线的圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为．（2）设，曲线的圆心为，则根据题意可得，，即的取值范围是．23. （1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，又，，所以，所以的最小值为，所以．（2）由（1）知，，当且仅当，时，的最小值为．第11页（共11 页）。

河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA二、填空题13. 14.-10 15.82 16.2,3,4.三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222 =18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分 ． ……………………………………………………………………4分 又，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABCb ACBc ∠=∠sin sin ， 得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以为邻边作如图所示的平行四边形，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：即…………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分（2）∵的取值为10，30，50，又…………………6分 ∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ, 8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ 5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分 ∴的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当为中点时，平面，…………………2分理由如下： 连结交于，连结，因为，为的中点，所以为的中点．当为的中点，即时，为的中位线，…………4分 故，又平面， 所以平面.…………………………………………5分（2）由题意，以点为原点所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，…………………6分则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分由可得点,所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=, 设平面的法向量为，则1120,2,0.20,PQ n xz x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令，…………………9分同理平面的法向量为,…………………10分设二面角大小为，.65657cos ==θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点，由题意可得，，…………………2分整理可得：.曲线的方程是.………………………5分(2).设，，由已知可得：当时，不合题意. …………………6分 当时，由直线与圆相切，可得：，即联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x n mx y 消去得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分 02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2112x x AB S ACBD -=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=2122||||m m ≤+10分 当且仅当，即时等号成立，此时，经检验可知，直线和直线符合题意. ………………………………12分21.解：（1）当时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为， ()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分，又在处的切线方程……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即 令1(2)ln ()x x h x x--⋅=， …………………5分 则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x ---'=--+= …………………6分 令,22()1x t x x x--'=--=，，在上是减函数，又，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，.………8分因为， 所以当函数有且仅有一个零点时，.当，()()222ln g x x x x x x =-+-，若只需证明…………………9分 ()()()132ln g x x x '=-+，令得或，又， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，10分 又333221()22g e e e ---=-+ ， 333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-= 即，2max ()()23,g x g e e e ==- ………12分22．证明：(1)因为，所以.由于为切线，故，…………………2分又因为，所以，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而.…………………4分又所以，所以，故为圆的直径．…………………5分(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以.…………………10分23.解：(Ⅰ)圆的普通方程为，即………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为；…………………5分(Ⅱ)直线的普通方程：，圆心到直线的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点直线距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由易得不等式解集为；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在处取得最大值，…………………7分所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即.……………………………10分。