下载文档原格式
四川省南充市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）A ．１ BC ．２D ．【答案】B 【解析】1'21y x x=-=，则1x =，即()1,1P ，所以d ==B ． 2．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．2,10x R x ∀∈+≤ C ．200,10x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+≤【答案】D 【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得p ⌝为：200,10x R x ∃∈+≤，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题p ：,()x M p x ∀∈,全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝.3．已知函数21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)e -∞- B ．(,0)-∞C ．(,0)e -D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】先对()f x 进行求导，然后分别讨论0a …和0<a 时的极值点情况，随后得到答案. 【详解】 由21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈得 ()()2()()=x x x x f x e a e e ae e a e e '=+--+-，当0a …时，0x e a +>，由()0f x '>，得x>1，由()0f x '<，得x<1.所以()f x 在x=1取得极小值，不符合；当0<a 时，令()0f x '=，得x=1或ln()a -，为使()f x 在1x =时取得极大值，则有ln()1a ->，所以a e <-，所以选A.【点睛】本题主要考查函数极值点中含参问题，意在考查学生的分析能力和计算能力，对学生的分类讨论思想要求较高，难度较大.4．正弦函数是奇函数，()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．大前提、小前提、结论都不正确【答案】C 【解析】分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案. 详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提是：()()sin 1f x x =+是正弦函数，因为该函数()()sin 1f x x =+不是正弦函数，故错误； 结论：()()sin 1f x x =+是奇函数，，故错误. 故选：C.点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.5．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2,b c ==，△ABC 的面S =，则a= （）A ．1BCD 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得12sinA cos A =,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得. 【详解】因为2b =，c =12S bcsinA ===，所以1 2sinA cos A =.所以2222215cos cos 144sin A cos A A A cos A +=+==.所以5cosA =， 5sin A =.所以222245229815a b c bccosA =+-=+-⨯=-=.故选A. 【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题. 6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，标准差也变为原来的a 倍；②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位； ③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若ξ位于区域()0,1的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6⑤在线性回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】逐个分析，判断正误．①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，标准差变为原来的a 倍；②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 越接近于0，两个变量的线性相关性越弱；④ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5；⑤在线性回归分析中，2R为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好． 【详解】①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，标准差变为原来的a 倍，错误； ②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，正确；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，③错误； ④ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，④错误；⑤在线性回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好；正确 故选B. 【点睛】本题考查的知识点有标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，比较综合，属于基础题． 7．设i 为虚数单位，则()6x i -的展开式中含4x 的项为（ ） A ．415x - B ．415xC ．420ix -D ．420ix【答案】A 【解析】利用二项展开式616()(0,1,,6)r r rr T C x i r -+=-=L ，当2r =时，对应项即为含4x 的项.【详解】因为616()(0,1,,6)r r rr T C x i r -+=-=L ， 当2r =时，242244366()15T C x i C x x =-=-=-.【点睛】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意21i =-，防止出现符号错误.8．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 A ．35B ．25C ．13D ．59【答案】D 【解析】 【分析】通过条件概率相关公式即可计算得到答案. 【详解】设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，而6()10P A =， 651()1093P A B ⋅=⨯=，故()5(|)()9P A B P B A P A ⋅==，故选D. 【点睛】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.9．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---L 等于（ ） A ．515m P - B ．1520mm P --C ．520m P -D ．620m P -【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--L L Q L L ()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=L .【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量， E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.11．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的所有项系数和是（ ）A ．0B ．1C ．256D ．512【答案】B 【解析】 【分析】令1x =，可求出展开式中的所有项系数和. 【详解】令1x =，则9121x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即展开式中的所有项系数和是1，故选B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( ) A ．恰有1件一等品 B ．至少有一件一等品 C ．至多有一件一等品 D ．都不是一等品【答案】C 【解析】 【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案． 【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某单位在3名男职工和5名女职工中，选取4人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______. 【答案】65. 【解析】 【分析】在没有任何限制的条件下，减去全是女职工的选法种数可得出结果. 【详解】由题意可知，全是女职工的选法种数为455C =，因此，男女职工都有的选法种数为448570565C C -=-=，故答案为5.本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.14．从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有_____不同的可能． 【答案】36 【解析】 【分析】由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果. 【详解】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为123431236C A =⨯=，故答案为36.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差. 【详解】 因为1325415355x ++++===，方差222222(13)(33)(23)(53)(43)25s -+-+-+-+-==.【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力. 16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。
南充市2019-2020学年高二下学期期末考试文科数学一、选择题：（每小题5分，共60分）1.抛物线y＝x2的焦点坐标是（）A.(12，0) B.(14，0) C.(0，12) D.(0，14)2.下列函数为偶函数的是（）A.y＝sinxB.y＝x3C.y＝e xD.y＝ln2x1+3.若cosα＝13，则cos2α＝（）A.－79B.－89C.79D.894.直线x3tcos45y tsin45=+︒⎧⎨=︒⎩(t为参数)的斜率是（）A.45°B.135°C.1D.－15.曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为（）A.x2＋(y－2)2＝4B.x2＋(y＋2)2＝4C.(x－2)2－＋y2＝4D.(x＋2)2＋y2＝46.下列命题中的假命题是（）A.∀x∈R，2x－1>0B.∀x∈N*，(x－1)2>0C.∃x0∈R，lgx0<1D.∃x0∈R，tanx0＝27.执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，x＝3，则输出y的值为（）A.16B.45C.48D.528.若函数f(x)＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(－∞，2]D.(－∞，2)9.若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 4＝（ ）A.9B.7C.5D.310.设F 1，F 2是双曲线x 2－23y ＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A.53 B.210 C.45 D.31511.函数f(x)＝()2sinx ln x 1+的部分图像大致为（ ）12.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的x ∈R ，都有f(x)>f'(x)，且f(2)＝－e 2，则不等式f(－lnx)<－1x 的解集为（ ）A.(21e ，＋∞) B.(1e ，＋∞) C.(0，21e ) D.(0，1e )二、填空题：（每小题5分，共20分。
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．32()32f x ax x =++,若4)1(=-'f ,则a 的值等于（） A ．319B ．316C ．313D ．310 2．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为12和45，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140 分以上的概率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．133．已知a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a4．若函数,0,()ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．[0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞5．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙6．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是（ ）7．对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥8．若22,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（ ） A ．77种B ．144种C ．35种D ．72种10．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种11．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知集合{|2}x P y y ==,2{|1}Q y y x ==-,则P Q =（ ）A ．[1,1]-B ．(0,)+∞C ．(,1][1,)-∞+∞ D ．(0,1]二、填空题：本题共4小题13．在正四棱锥P-ABCD 中，PA=2，直线PA 与平面ABCD 所成角为60°，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的大小为___________．215．在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅的值为________. 16．若离散型随机变量X 的分布列如下，则a =__________.X0 1P2a 22a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年四川省南充市数学高二(下)期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，侧棱长为3，点D 是侧面11BB C C 的两条对角线的交点，则直线AD 与底面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．22C ．32D ．12．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)2x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．253．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．22m -≤≤B ．2m ≤-或2m ≥C ．2m ≤-D ．2m ≥4．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（ ）A ．[)110， B ．110⎛⎫+∞⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞⎥⎝⎦，， 5．即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是 A ．120 B ．96 C ．36 D ．246．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）A ．B ．1C ．D ．7．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 A ．14400种B ．518400种C ．720种D ．20种8．已知()()5212ax x +- 的展开式中，含2x 项的系数为70，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-10．若直线l 经过点(1,2)--，且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为 A ．3450x y --=B ．1x =-C ．3450x y --=或1y =-D ．3450x y --=或1x =-11．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交12．已知函数()22ln f x x ax =-，若α，β均在［1，4］内，且1βα-=，()()f f αβ=，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 20,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．24ln 2ln ,734⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ln 22,ln 243⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．242ln ,ln 2733⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．抛物线C:22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______. 14．某产品发传单的费用x 与销售额y 的统计数据如表所示： 发传单的费用x 万元 1 2 4 5 销售额y 万元10263549根据表可得回归方程ˆ9ˆyx a =+，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．15．已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。
四川省南充市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度()201241v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：m ）是（ ） A ．1620ln 4+ B ．1620ln5+ C ．3220ln 4+ D ．3220ln5+【答案】B 【解析】 【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程. 【详解】当汽车停止时，()2012401v t t t =-+=+，解得：4t =或2t =-（舍去负值）， 所以()()442002012412220ln 11s t dt t t t t ⎛⎫=-+=-++ ⎪+⎝⎭⎰1620ln5=+. 故答案选B 【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力. 2． “0m ≥”是“220x x m ++≥对任意x R ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可． 【详解】解：220x x m ++≥对任意x R ∈恒成立01m ⇔≤⇔≥，0m ≥推不出1m ≥， 10m m ≥⇒≥，∴“0m ≥”是“220x x m ++≥对任意x R ∈恒成立”的必要不充分条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D 【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==， 故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率. 4．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12B ．12-C ．18-D ．58【答案】C 【解析】 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x-=⇒= ()3112248h -'==- 故答案选C 【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力. 5．函数sin 2y x =在,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为（ ）A ．1B ．1-C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答案. 【详解】由sin 2y x =，得2cos 2y x '=，所以切线斜率2cos 213k π⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.6．曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C 【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线33y x x =-和直线y x =的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是 3322=2[(3)]2(4)00S x x x dx x x dx ⎰--=⎰-24212(2)2(84)804x x =-⎰=-=.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.7．若函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先得到101k k -=⇒=，()xxf x a a -=-，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】因为函数()(0x xf x ka a a -=->且1)a ≠在(,)-∞+∞上是奇函数，所以(0)0f =所以，101k k -=⇒=，()x xf x a a -=-又因为函数()xxf x a a-=-在(,)-∞+∞上是增函数，所以，1a >所以()()log (1),1a g x x a =+>，它的图象可以看作是由函数log a y x =向左平移一个单位得到，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性以及函数图象变换，熟记函数性质即可，属于常考题型.8．已知12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22xn-2y =1的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（ ）A B ．1 C ．2D ．12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到21||||,||||PF m n PF m n =+=-，根据勾股定理得到2||mn c =，计算得到答案.【详解】12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22x n-2y =1的公共焦点 故21212||,2||PF PF m PF PF n +=-=，故21||||,||||PF m n PF m n =+=-112PF F F ⊥，故()222||||(||||)4m n m n c +=-+即2||mn c =2121||||||c c c e e m n mn =⋅==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 9．函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系， ∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④，故选B ． 考点：变量间的相关关系11．设集合{}1,2,3,4,5,6A B ==，分别从集合A 和B 中随机抽取数x 和y ，确定平面上的一个点(),P x y =，记“点(),P x y =满足条件2216x y +≤”为事件C ，则()P C =（）A ．29B ．112C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】求出从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y 的基本事件总数，和满足点P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】∵集合A ＝B ＝{1，2，3，4，5，6}，分别从集合A 和B 中随机各取一个数x ，y ，确定平面上的一个点P （x ，y ）， 共有6×6＝36种不同情况，其中P （x ，y ）满足条件x 2+y 2≤16的有： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1）， （2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个， ∴C 的概率P （C ）82369==， 故选A ． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．12．某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：则下列结论正确的是（）附参照表：参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++A．在犯错误的概率不超过90%的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”C．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”D．有90%以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”【答案】C【解析】分析：根据列联表中数据，利用公式求得2 3.03K≈，参照临界值表即可得到正确结论.详解：由公式()()()()()22n d bcka b c d a c b d-=++++可得2 3.03K≈，参照临界值表，2.7063.030 3.841<<，∴090以上的把握认为，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”，故选C.点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bcKa b a d a c b d-=++++计算2K的值；(3) 查表比较2K与临界值的大小关系，作统计判断.二、填空题：本题共4小题13．在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：_____________________.(写出一条即可) 【答案】寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错【解析】 【分析】分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适． 【详解】分析残差能够帮助我们解决的问题是：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错； 故答案为：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错． 【点睛】本题考查线性回归方程中残差的作用，是基础题． 14．已知函数22log ? ,? 1()1?,? 1x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，若函数1()()12g x f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是____． 【答案】1(2,)2- 【解析】 【分析】根据题意，可得函数f （x ）的图象与直线y ＝12a +1有三个不同的交点，画出f （x ）的图象，结合图象求出实数a 的取值范围即可． 【详解】根据题意可得函数f （x ）的图象与直线y ＝12a +1有三个不同的交点， 当x≤1时，函数f （x ）max ＝f （﹣12）＝54，如图所示：则0＜12a +1＜54，所以实数a 的取值范围是﹣2＜a ＜12．故答案为（﹣2，12）．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．15．已知双曲线22122:1x y C a b-=l ，抛物线22:8C y x =的焦点为F ，点P为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则||PF =_________. 【答案】4 【解析】 【分析】由双曲线的离心率求出渐近线l 的方程，然后求出直线l 与抛物线的交点P 的坐标，可得PF ． 【详解】双曲线中，c a =222225c a b a a +==，2b a =，不妨设l 方程为2y x =， 由228y x y x =⎧⎨=⎩得0,0x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，即(2,4)P ，抛物线28y x =中4p =， ∴4242PF =+=． 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线的焦半径公式．属于中档题． 16．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题得高一学生数为600301500⨯，计算即得解. 【详解】由题得高一学生数为60030=121500⨯. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省南充市2020年高二(下)数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()()f x f x -=，当12x ≤≤时，()21x f x =-，则(2017)f =A ．−1B ．0C ．1D ．22．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( ) A ．()0,?+∞ B ．(),0-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞-3．函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k 的最小值为2，则双曲线的离心率为( )A B C D ．325．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π6．已知函数31()42f x x ax =++ ，则“0a > ”是“()f x 在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为( ) A ．92B ．4C ．52D ．98．定积分()1xx e +⎰的值为( )A ．eB ．12e +C ．12e -D ．1e +A ．1e -B ．1C ．2eD ．10310．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R =，则a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤-或1a ≥B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >11．设曲线2yx 及直线1y =所围成的封闭图形为区域D ，不等式组1101x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，则该点恰好在区域D 内的概率为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．3412．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x （单位：cm ）与体重y （单位：kg ）数据如下表： x165 165 157 170 175 165 155 170 y4857505464614359若已知y 与x 的线性回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，那么选取的女大学生身高为175cm 时，相应的残差为（ ） A ．0.96-B ．0. 96C ．63. 04D ． 4.04-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若函数1()sin 22asin 3f x x x x =--在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是_______.14．若x ∈R ，则“3x >”是“29x >”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填） 15．()()()3log ,02,0xx x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则19f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为________ 16．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设点()00,P x y 是抛物线2:4y x Γ=上异于原点O 的一点，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交（2）若06y =，直线AB 的斜率是3k ，求123111k k k +-的值； （3）若02y =，当0PA AB ⋅=时，B 点的纵坐标的取值范围．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(2,0)F -左顶点1(4,0)A -.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ） 已知(2,3)P ，(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.若APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（6分）将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为()1,2,3,4i i =的纸箱放入的小球编号为i a ，定义吻合度误差为1212X a a =-+-3434a a +-+- (1) 写出吻合度误差X 的可能值集合；(2) 假设1234,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差X 的分布列；(3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足37X <<，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；20．（6分）在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明. 21．（6分）已知函数()()4log 41xf x kx =++，()k R ∈是偶函数.（1）求k 的值;（2）解不等式()1f x ≥.22．（8分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b csin cos A a B a -=. (1)求角B 的大小；(2)若4b =，ABC ∆，求a c +的值..参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】通过函数关系找到函数周期，利用周期得到函数值. 【详解】由(1)(1)0f x f x ++-=，得(1)(1)f x f x +=--， 所以(2)-(1--1)-(-)f x f x f x +== ．又()()f x f x -=，所以(2)-()(4)()f x f x f x f x +=⇒+= ，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数 所以|(2017)(45041)(1)211f f f =⨯+==-= 故选C 【点睛】本题考查了函数的周期，利用函数关系找到函数周期是解题的关键. 2．D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可． 【详解】由240x ->可得2x <-或2x >，∴函数()f x 的定义域为()(),22,∞-∞-⋃+． 设()24t x x =-，则()t x 在(),2-∞-上单调递减，又函数12log y t =为减函数，∴函数()()212log 4f x x =-在(),2-∞-上单调递增， ∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 故选D ． 【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数()()y f g x =来讲，它的单调性依赖于函则函数()()y f g x =为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 3．A 【解析】 【分析】求得原函数的导数，令导数等于零，解出x 的值，并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值，并求得极值，由此得出正确选项. 【详解】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用12||||k k +的最小值为2，即可求得双曲线的离心率． 【详解】由题意，可设点(,)M p q ，(,)N p q --，(,)P s t ．∴22221p q a b -=，且22221s t a b-=． 两式相减得222222t q b s p a -=-．再由斜率公式得：22212222t q b k k s p a -==-． 122||||b k k a+ 根据12||||k k +的最小值为2，可知22ba=，所以a=b. 所以c =∴ce a==本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关 键． 5．C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C . 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 6．A 【解析】 f′(x)＝3x 2＋a ，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要7．A 【解析】 【分析】题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a 12+a 22=2c 2，由此能求出4e 12+e 22的最小值． 【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a 1，双曲线实轴为2a 2， 令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|=2a 2，① 由椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，③①2+②2，得|PF 1|2+|PF 2|2=4a 12+4a 22，④ 将④代入③，得a 12+a 22=2c 2，∴4e 12+e 22=2222124c c a a +=52+22212a a +21222a a ≥52+2=92． 故选A ． 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 8．C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理()()()()bba af x F x F b F a ==-⎰，可知()112012xx x e x e ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰求解，即可. 【详解】()11210001111110122222xx x e x e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰故选：C 【点睛】本题考查微积分基本定理，属于较易题.由题意求得导数21ln xy x-'=，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案. 【详解】由题意，可得21ln x y x -'=，当(0,)x e ∈时，0y '>，则函数ln xy x=单调递增；当(,)x e ∈+∞时，0y '<，则函数ln xy x =单调递减，所以函数的最大值为()1max ln ey f e e e-===，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩ ，选A. 点睛：形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a|＋|x －b|＞c(c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解. 11．C 【解析】分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.详解：由题意1231114(1)()133D S x dx x x -=-=-=-⎰，122E S =⨯=，∴42323D E S P S ===，故选C.点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案. 【详解】已知y 与x 的线性回归方程为ˆ0.8585.71yx =- 当175x =时：63.04y = 相应的残差为：6463.040.96-= 故答案选B 【点睛】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导数，根据()0f x '≥恒成立，设cos [1,1]t x =∈-，得到25430t at -+≥，分0,01,10t t t =<≤-≤<三种情况讨论，运用函数的单调性求得最值，即可得到a 的取值范围．【详解】由题意，函数1()sin 22asin 3f x x x x =--的导数为2()1cos 22cos 3f x x a x '=--， 由题意可得()0f x '≥恒成立，即21cos 22cos 03x a x --≥恒成立， 即有254cos 2cos 033x a x --≥， 设cos [1,1]t x =∈-，则2542033t at --≥，即24650t at --≤，当0t =时，不等式显然不成立； 当01t <≤时，则564a t t≥-， 又由()54f t t t=-在(0,1]上递增，可得1t =时，取得最大值1-， 可得61a ≥-，解答16a ≥-；当10t -≤<时，则564a t t≤-，又由()54f t t t=-在[1,0)-上递增，可得1t =-时，取得最大值1，1综上可得a 的取值范围是11[,]66-． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 14．充分不必要 【解析】 【分析】直接利用充要条件的判断方法判断即可． 【详解】“3x >”则“29x >”，但是“29x >”可得“3x >或3x <-”，所以“3x >”是“29x >”的充分不必要条件． 【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题． 15．14【解析】 【分析】 先求出f （19）319log ==-2，从而f （f （19））＝f （﹣2），由此能求出结果． 【详解】 ∵函数 f （x ）3020xlog x x x ⎧=⎨≤⎩，＞，， ∴f （19）319log ==-2， f （f （19））＝f （﹣2）＝2﹣214=．故答案为14．【点睛】本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用． 16．【解析】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，所以BE=CE. 取BC 中点F ， 连接EF ，则EF ⊥BC ，EF=2，，四面体ABCD 的体积，显然，当E 在AD 中点，即B 是短轴端点时，BE 有最大值为b=，所以.[评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大！当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天！三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）222）3（3）26y <-或210y > 【解析】 【分析】（1）因为()00,P x y ,设0y t =,则20=4x t ,由两点间距离公式可求得:2223(0)4tPQ t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭即可得出PQ 的最小值;（2）因为06y =,所以()9,6P ,设PA 的直线方程PA l :16(9)y k x -=-,将PA l 与2:4y x Γ=联立方程组,消掉x ,通过韦达定理,将点A 坐标用1k 表示同理可得到B 坐标.即可求得直线AB 的斜率是3k ,进而求得答案;（3）因为02y =,故(1,2)P .()11,A x y 、()22,B x y 两点抛物线上,可得211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,即可求得向量PA 和AB .由0PA AB ⋅=,可得到关于1y 和2y 方程,将方程可以看作关于1y 的一元二次方程, 因为1y R ∈且12y ≠,21y y ≠,故此方程有实根,240b ac ∆=->,即可求得B 点的纵坐标的取值范围. 【详解】（1） ()00,P x y 在2:4y x Γ=,设0y t =,则20=4x t由两点间距离公式可求得:PQ =令2t m =,()0m ≥∴PQ ====≥(当=4m 即=2t ±取等号) ∴PQ 的最小值（2）06y =,200:4y x Γ=,故()9,6P则PA 的直线方程PA l : 16(9)y k x -=- 将PA l 与2:4y x Γ=联立方程组,消掉x则:126(9)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩ ,得:21694y y k ⎛⎫-=-⎪⎝⎭化简为:211424360k y y k -+-=.由韦达定理可得:111114624366y k k y k ⎧+=⎪⎪⎨-⋅⎪⋅=⎪⎩ 解得:11146k y k -= 2114y x =,可得:()21121464k x k -=,故()2112114646,4k k A k k --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭同理可得:()2222224646,4k k B k k --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭AB 直线的斜率是()()()()212121212132222212121222221214646464644646464644k k k k y y k k k k k x x k k k k k k k k -------==-------=()()()()()()()2212212112122222121212122146464444412444646k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅--⋅--=⋅=+-----()121212121411433k k k k k k k k ==+-+-故:3121113k k k =+- 即1231113k k k +-=123111k k k ∴+-的值为3. （3）02y =,200:4y x Γ=,故(1,2)P()11,A x y ,()22,B x y 在()11,A x y 、()22,B x y 两点抛物线上∴ 211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴ 1121,24y PA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,222121,44y y AB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0PA AB ⋅=,故 2221211211,2,0444y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理可得:()()22212112112044y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()21212112142044yy y y y y y y --+⋅+--=∴ P 、A 、B 三点互不相同,故:12y ≠,21y y ≠可得:()()12121016y y y +++= 即:21212122160y yy y y ++++=∴ ()2121222160y y y y ++++= 此方程可以看作关于1y 的一元二次方程,1y R ∈且12y ≠,21y y ≠,故此方程有两个不相等的实根:()222(2)42160=y y +-+∴>∆ 即2222448640y y y ++--> ∴ 2224600y y --> 故:()()221060y y -+>解得: 26y <-或210y >∴B 点的纵坐标的取值范围: 26y <-或210y >.【点睛】在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.18． (Ⅰ)2211612x y +=；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（Ⅰ）根据条件依次求得a ，c 和b ，从而可得方程；（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ ，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为-k ，PA 的直线方程为y-3=k （x-2），PB 的直线方程为y-9=-k （x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB 的斜率为定值12. 详解：（Ⅰ）由题意可得，4a =，2c =由222a b c =+，得2224212b =-=所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，AP ，BP 的斜率之和为O ，设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设()11,A x y ()22,B x y ，PA 的方程为()32y k x -=-. 联立()223211612y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消y 得()()()2222348344912480k xk k x k k ++-++--=. 所以()12823234k k x k-+=+同理()22823234k k x k ++=+所以2122161234k x x k-+=+，1224834k x x k --=+. 所以()12212112412ABk x x k y y k x x x x +--===--. 所以AB 的斜率为定值12点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 19． (1) {0,2,4,6,8}.(2) 见解析(3)1681P = 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）根据题意知1311a a -+-与2411a a -+-的奇偶性相同，误差X 只能是偶数，由此写出X 的可能取值；（2）用列举法求出基本事件数，利用古典概型概率公式计算对应的概率值，写出随机变量X 的分布列；（3）利用互斥事件的概率公式计算()37P X <<= ()()46P X P X =+=79224243=+=，再利用对立事件的概率公式求解. 试题解析：(1) 由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以24,a a 中的奇数的个数与13,a a 中偶数的个数相同．因此，1311a a -+-与2411a a -+-的奇偶性相同，从而吻合度误差12341234X a a a a =-+-+-+-只能是偶数，又因为X 的值非负且值不大于1．因此，吻合度误差X 的可能值集合{}0,2,4,6,8.(2)用()1234,,,a a a a 表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为1234,,,a a a a ，则所有可能的结果如下:()()()1,2,3,41,2,4,31,3,2,4 ()()()1,3,4,21,4,3,21,4,2,3 ()()()2,1,3,42,1,4,32,3,1,4 ()()()2,3,4,12,4,3,12,4,1,3 ()()()3,1,2,43,1,4,23,2,1,4 ()()()3,2,4,13,4,2,13,4,1,2 ()()()4,1,2,34,1,3,24,2,1,3 ()()()4,2,3,14,3,2,14,3,1,2易得()1024P X ==，()3224P X ==，()7424P X ==， ()9624P X ==，()4824P X ==于是，吻合度误差X 的分布列如下:(3)首先，()37P X <<= ()()46P X P X =+= 24243=+= 由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为4216381P ⎛⎫==⎪⎝⎭【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20． (1) 26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b = (2) 猜想(1)n a n n =+，2(1)n b n =+，证明见解析 【解析】分析：（1）根据条件中n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，由此算出26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b =.（2）由（1）的计算可以猜想()1n a n n =+，()21n b n =+，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立. ②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立， 即()1k a k k =+，()21k b k =+.则当1n k =+时，()()212211k k k a b a k k k +=-=+-+ ()()23212k k k k =++=++，()()()()22221121221k k k k k a b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.由①②知，对一切*n N ∈都有()1n a n n =+，()21n b n =+成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 21．（1）12k =-（2）(({}22|log 2log 2x x x ≤-≥+或 【解析】 【分析】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-，根据对数的运算，即可求解；（2）由题()1f x ≥，根据对数的运算性质，得44210x x -⨯+≥，令20x t =>，转化为2410t t -+≥，利用一元二次不等式的解法和指数与对数的运算，即可求解． 【详解】（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-， 所以()()44log 41log 41xxkx kx -+==+-恒成立，化简得4log 42xkx =-，即2x kx =-，解得12k =-． （2）由题()1f x ≥，即()41log 4112xx +-≥，整理得44210x x -⨯+≥， 令20x t =>得2410t t -+≥，解得02t <≤-2t ≥+从而22x ≤-或22x ≥，解得(2log 2x ≤或(2log 2x ≥，原不等式解集为(({}22|log 2log 2x x x ≤≥或.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数、对数函数的运算性质，以及一元二次不等式的解法的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22． (1)3B π=;(2)a c +=【解析】分析：（1）根据正弦定理边化角，化简整理即可求得角B 的值.（2）由三角形面积公式，得4ac =，再根据余弦定理，即可求得a c +的值.详解：解：（1sin cos A a B a -=及正弦定理得：sin sin cos sin B A A B A -=()0,A π∈sin 0A ∴>，cos 1B B -=1sin 62B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，()0,B π∈，5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭66B ππ∴-=．即3B π=（1）解法二：因为0a >sin cos A a B a -=可得cos 1B A =-…… 1分由正弦定理得cos 1B A =-cos 1B B -=1sin 62B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，52,2,6666B k k Z B k k Z ππππππ∴-=+∈-=+∈或 2,2,3B k k Z B k k Z ππππ=+∈=+∈即或()0,B π∈，即3B π=（2）解法一：1sin 2ABC S ac B ∆=== 4ac ∴=，由余弦定理得：2222cos3b ac ac π=+-，22116242a c ∴=+-⨯⨯即2220a c +=，()2222202428a c a c ac ∴+=++=+⨯=，a c ∴+==（2）解法二：1sin 2ABC S ac B ∆=== 4ac ∴=，由余弦定理得：2222cos3b ac ac π=+-，22116242a c ∴=+-⨯⨯即2220a c +=，由22204a c ac ⎧+=⎨=⎩，得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩a c ∴+=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 第三步：求结果。
四川省南充市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ）A ．１ BC ．２D ．【答案】B 【解析】1'21y x x=-=，则1x =，即()1,1P ，所以d ==B ． 2．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．2,10x R x ∀∈+≤ C ．200,10x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+≤【答案】D 【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得p ⌝为：200,10x R x ∃∈+≤，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题p ：,()x M p x ∀∈,全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝.3．已知函数21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．(,)e -∞- B ．(,0)-∞C ．(,0)e -D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】先对()f x 进行求导，然后分别讨论0a …和0<a 时的极值点情况，随后得到答案. 【详解】 由21()()(,)2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈得 ()()2()()=x x x x f x e a e e ae e a e e '=+--+-，当0a …时，0x e a +>，由()0f x '>，得x>1，由()0f x '<，得x<1.所以()f x 在x=1取得极小值，不符合；当0<a 时，令()0f x '=，得x=1或ln()a -，为使()f x 在1x =时取得极大值，则有ln()1a ->，所以a e <-，所以选A.【点睛】本题主要考查函数极值点中含参问题，意在考查学生的分析能力和计算能力，对学生的分类讨论思想要求较高，难度较大.4．正弦函数是奇函数，()sin(1)f x x =+是正弦函数，因此()sin(1)f x x =+是奇函数，以上推理（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．大前提、小前提、结论都不正确【答案】C 【解析】分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案. 详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提是：()()sin 1f x x =+是正弦函数，因为该函数()()sin 1f x x =+不是正弦函数，故错误； 结论：()()sin 1f x x =+是奇函数，，故错误. 故选：C.点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.5．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2,b c ==，△ABC 的面S =，则a= （）A ．1BCD 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得12sinA cos A =,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得. 【详解】因为2b =，c =12S bcsinA ===，所以1 2sinA cos A =.所以2222215cos cos 144sin A cos A A A cos A +=+==.所以5cosA =， 5sin A =.所以222245229815a b c bccosA =+-=+-⨯=-=.故选A. 【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题. 6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，标准差也变为原来的a 倍；②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位； ③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若ξ位于区域()0,1的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6⑤在线性回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】逐个分析，判断正误．①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，标准差变为原来的a 倍；②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 越接近于0，两个变量的线性相关性越弱；④ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5；⑤在线性回归分析中，2R为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好． 【详解】①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，标准差变为原来的a 倍，错误； ②设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位，正确；③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，③错误； ④ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，④错误；⑤在线性回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好；正确 故选B. 【点睛】本题考查的知识点有标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，比较综合，属于基础题． 7．设i 为虚数单位，则()6x i -的展开式中含4x 的项为（ ） A ．415x - B ．415xC ．420ix -D ．420ix【答案】A 【解析】利用二项展开式616()(0,1,,6)r r rr T C x i r -+=-=L ，当2r =时，对应项即为含4x 的项.【详解】因为616()(0,1,,6)r r rr T C x i r -+=-=L ， 当2r =时，242244366()15T C x i C x x =-=-=-.【点睛】本题考查二项式定理中的通项公式，求解时注意21i =-，防止出现符号错误.8．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 A ．35B ．25C ．13D ．59【答案】D 【解析】 【分析】通过条件概率相关公式即可计算得到答案. 【详解】设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，而6()10P A =， 651()1093P A B ⋅=⨯=，故()5(|)()9P A B P B A P A ⋅==，故选D. 【点睛】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大.9．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---L 等于（ ） A ．515m P - B ．1520mm P --C ．520m P -D ．620m P -【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数的定义可得出正确选项. 【详解】()()()()()()()()()()1231415162020!1516201231414!m m m m m m m m m m ⋅⋅--------==⋅⋅--L L Q L L ()()20!206!m m -=--⎡⎤⎣⎦，由排列数的定义可得()()()620151620m m m m P ----=L .【点睛】本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量， E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.11．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的所有项系数和是（ ）A ．0B ．1C ．256D ．512【答案】B 【解析】 【分析】令1x =，可求出展开式中的所有项系数和. 【详解】令1x =，则9121x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即展开式中的所有项系数和是1，故选B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题.12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( ) A ．恰有1件一等品 B ．至少有一件一等品 C ．至多有一件一等品 D ．都不是一等品【答案】C 【解析】 【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案． 【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某单位在3名男职工和5名女职工中，选取4人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______. 【答案】65. 【解析】 【分析】在没有任何限制的条件下，减去全是女职工的选法种数可得出结果. 【详解】由题意可知，全是女职工的选法种数为455C =，因此，男女职工都有的选法种数为448570565C C -=-=，故答案为5.本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.14．从0、1、2、3、4中取3个不同的数组成一个三位数，且这个数大于200，共有_____不同的可能． 【答案】36 【解析】 【分析】由题意得知，三位数首位为2、3、4中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果. 【详解】由于三位数比200大，则三位数首位为2、3、4中的某个数，十位数和个位数没有限制，因此，符合条件的三位数的个数为123431236C A =⨯=，故答案为36.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差. 【详解】 因为1325415355x ++++===，方差222222(13)(33)(23)(53)(43)25s -+-+-+-+-==.【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力. 16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为7。
2019-2020学年南充市高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，若向量，则它们之间的关系是()A. B. C. D.2.已知f(x)=a2−32x+1是R上的奇函数，则f(a)的值为()A. 76B. 13C. 25D. 233.已知f(x)=sin2(x+π4)+2若a=f(lg5)，b=f(lg15)，则a+b=()A. 3B. 4C. 5D. 64.某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关(若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会)，然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为12，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是()A. 316B. 332C. 532D. 1165.将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为()A. A43B. C43C. 34D. 436.已知圆C的圆心在双曲线E：x2−y23=1的右支上，圆C过双曲线E的右焦点F，且与直线x=−2相切，则圆C截x轴所得的线段长为()A. 1B. 2C. 4D. 87.已知(1+2x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，其中a0+a1+⋯+a n=243，则a01+a12+a23+⋯+a nn+1=()A. 182B. 1823C. 913D. 18298.3名男生和4名女生排在一起做操，要求男生不相邻，则不同的排法有()A. A 53B. A 53A 44C. A 33A 44D. A 43A 449.已知双曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为()A. 5y2−54x2=1 B. x 25 − y24=1 C. y25−x24=1 D. 5x2−54y2=110.函数f(x)=cosx⋅log21−x1+x的图象大致为()A. B.C. D.11.已知直线l经过点A(1,3)，B(−2,−5)，则直线l的斜率为()A. 83B. −83C. 2D. −212.定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，已知函数f(x)=2x3−x2+m是[0,a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A. (18,14) B. (116,18) C. (14,12) D. (16,14)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数Z1=1+i，Z2=3−i，则Z2Z1=______ ．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S21=63，则a3+a11+a19=______15.直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，则k的值为______ ．16.A−BCD是各条棱长都相等的三棱锥，那么AB和CD所成的角等于_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2+b2−c2=ab．(1)求角C的大小；(2)已知a=4，c=2√3，求△ABC的面积．18.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”．(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20−80年龄段的人口分布的概率．从该城市20−80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．19. 如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA//BG//DE，BG=14AF，DE=34AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．(1)求证：GC//平面ADEF；(2)求二面角C−GE−D的余弦值．20. 某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E：y2=2px，在抛物线上任意画一个点S，度量点S的坐标(x S,y S)，如图．(Ⅰ)拖动点S，发现当x S=4时，y S=4，试求抛物线E的方程；(Ⅱ)设抛物线E的顶点为A，焦点为F，构造直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，构造直线MT、NS.经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT//NS.请你证明这一结论．(Ⅲ)为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在(Ⅱ)中，把“焦点F”改变为其它“定点G(g,0)(g≠0)”，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件，使得仍有“MT//NS”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．21. 已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b，c为常数且a，b，c∈Q)在x=e处的切线方程为(e−1)x+ey−e=0．(I)求常数a，b，c的值；(Ⅱ)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；(Ⅲ)求函数ℎ(x)=f(x)−1的单调递减区间，并证明：ln22×ln33×ln44×…lnnn<1n．x+ln(x−1)，设数列{a n}同时满足下列两个条件：①a n>0(n∈N∗)；22. 已知函数f(x)=32②a n+1=f′(a n+1)．(Ⅰ)试用a n表示a n+1；(Ⅱ)记b n=a2n(n∈N∗)，若数列{b n}是递减数列，求a1的取值范围．23. 已知向量a⃗=(k,1)，b⃗ =(−6,k−7)．(1)若a⃗⊥b⃗ ，求k的值；(2)若a⃗//b⃗ ，求|2a⃗−b⃗ |．【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：又因为．考点：本小题主要考查向量关系的判断．点评：两个向量的数量积为零，则两个向量垂直；两个向量满足，则两个向量平行．2.答案：A解析：解：∵函数f(x)是R 上的奇函数， ∴f(0)=0，得f(0)=a2−32=0， 得a =3，则f(x)=32−32x +1，则f(a)=f(3)=32−323+1=32−39=96−26=76， 故选：A ．根据函数奇偶性的性质利用f(0)=0求出a 的值，然后代入即可求解．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用f(0)=0是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：由已知f(x)=sin 2(x +π4)+2=52−12cos(2x +π2)=52+12sin2x ，又a =f(lg5)，b =f(lg 15)， 所以a +b =5+12sin(2lg5)+12sin(2lg 15)=5+12sin(2lg5)+12sin(−2lg5)=5； 故选：C ．首先对f(x)利用倍角公式化简为52+12sin2x ，又因为lg 15=−lg5，代入解析式得到所求． 本题考查了三角函数的倍角公式、诱导公式、互为倒数的两个正数的同底数的对数互为相反数；注意符号．4.答案：A解析：解：若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元， 概率为12×12×12×12=116．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，概率为C 41⋅(12)3⋅12(1−12)=18．综上，他116+18=316， 故选：A ．若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，求得此时的概率．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，求得此时的概率，再把这2个概率相加，即得所求．本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．5.答案：C解析：解：每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34． 故选：C ．每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法．本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m 个物品放到n 个不同的位置的方法有n m ，属于基础试题．6.答案：B解析：解：由题意，设圆心坐标为(a,b)，则{a 2−b 23=1a +2=√(a −2)2+b 2，∴a =3，b =±2√6，r =5，∴圆C 的方程为(x −3)2+(y ±2√6)2=25， 令y =0，可得x =2或4，∴圆C 截x 轴所得的线段长为4−2=2， 故选：B ．求出圆心坐标与半径，可得圆的方程，即可求出圆C 截x 轴所得的线段长．本题考查圆C 截x 轴所得的线段长，考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的性质，属于中档题．7.答案：B解析：解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B．(1+2x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，令x=1，可得3n=a0+a1+⋯+a n=243，解得n=5.利用(1+2x)5的通项公式可得a kk+1=2k∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先将4名女生排好，有A44种情况，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，有A53种情况，则共有A44A53种排法，故选：B．根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将4名女生排好，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步乘法计数原理，排列数公式，需要牢记常见问题的处理方法，如不相邻问题用插空法．9.答案：A解析：解：由于抛物线x2=4y的焦点F(0,1)双曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点F(0,1)，从而可得a2+b2=c2=1双曲线的实轴长是虚轴长的一半即a=12bb2=45,a2=15双曲线的方程为：5y2 −54x2=1由于抛物线x2=4y的焦点F(0,1)可得曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点F(0,1)，从而可得a2+b2=c2=1，由双曲线的实轴长是虚轴长的一半即a=12b，从而可求a，b，进而可求双曲线的方程．本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，要注意抛物线及双曲线的焦点位置，属于知识的简单运用．10.答案：A解析：解：由1−x1+x>0，解得−1<x<1．∴函数f(x)=cosx⋅log21−x1+x的定义域为(−1,1)．又f(−x)=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数．排除CD．又f(12)=cos 12⋅log 213<0，排除B ． 故选：A ．利用函数的奇偶性、单调性即可得出．本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：因为直线l 经过点A(1,3)，B(−2,−5)， 所以直线l 的斜率为−5−3−2−1=83． 故选：A ．由两点式直接代入求斜率即可． 本题考查两点式求斜率，属于基础题．12.答案：C解析：解：f(x)=2x 3−x 2+m 是[0,a]上的“双中值函数”， ∴f(a)−f(0)a=2a 2−a ，∵f′(x)=6x 2−2x ，∴6x 2−2x =2a 2−a 在[0,a]上有两个根， 令g(x)=6x 2−2x −2a 2+a ， ∴△=4+24(2a 2−a)>0， g(0)>0，即−2a 2+a >0，g(a)>0，即6a 2−2a −2a 2+a >0， a >16， 解得14<a <12． 故选：C ． 根据定义得出f(a)−f(0)a=2a 2−a ，由f′(x)=6x 2−2x ，得6x 2−2x =2a 2−a 在[0,a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a 的范围即可本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，熟练掌握方程根与对应函数零点之间的关系是解答的关键．13.答案：1−2i解析：解：∵Z 1=1+i ，Z 2=3−i ，则Z2Z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i2=1−2i，故答案为：1−2i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.答案：9解析：解：∵S21=63，∴21(a1+a21)2=21a11=63，∴3a11=9，∴a3+a11+a19=3a11=9，故答案为：9．先根据求和公式可得3a11=9，再根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．15.答案：1e解析：解：∵y=lnx，∴y′=f′(x)=1x，设切点为(m,lnm)，得切线的斜率为k=f′(m)=1m，即曲线在点(m,lnm)处的切线方程为：y−lnm=1m (x−m).即y=1mx+lnm−1，∵直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，∴1m=k，且lnm−1=1，即lnm=2，则m=e2，则k=1e2．故答案为：1e2．欲k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标是解决本题的关键．16.答案：．解析：试题分析：设A在底面BCD内的射影为O，则O为底面BCD的中心，所以，所以根据三垂线定理可知.所以AB和CD所成的角等于．考点：异面直线所成的角，三垂线定理．点评：因为此三棱锥是正四面体，它的相对棱是垂直的，所以AB与CD所成的角为直角．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵a2+b2−c2=ab，∵cosC=a2+b2−c22ab =12，………………………………………………………(3分)∵C∈(0,π)，∵C=π3..……………………………………………………………(5分)(2)由正弦定理得sinAa =sinCc，即sinA=a⋅sinCc=4√3223=1，∵A∈(0,π)，∴可得A=π2.………………………………………………………(8分)∴b=√42−(2√3)2=2，………………………………………………………(10分)∴S△ABC=12bc=12×2×2√3=2√3.……………………………………………(12分)解析：(1)由已知利用余弦定理可求cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C；(2)由正弦定理得sinA=1，结合范围A∈(0,π)，可得A=π2，利用勾股定理可求b，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解析：19.答案：(1)证明：∵FA//BG，BG⊂平面BGC，FA⊄平面BGC，∴FA//平面BGC，又∵AD//BC ，BC ⊂平面BGC ，AD ⊄平面BGC ， ∴AD//平面BGC ，又∵AF ∩AD =A ，AF 、AD ⊂平面ADEF ， ∴平面BGC//平面ADEF ， 又GC ⊂平面BGC ， ∴GC//平面ADEF ．(2)解：∵FA ⊥平面ABCD ，AB 、AD ⊂平面ABCD ， ∴FA ⊥AB ，FA ⊥AD ， 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD ，故以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB =AF =4，则BG =1，DE =3，∴G(4,0，1)，C(4,4，0)，E(0,4，3)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,3)， 设平面CGE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ·CG⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4y +z =0,−4x +3z =0,令y =1，则n⃗ =(3,1,4)． ∵FA//ED,FA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥ED ．∵AC ⊥BD,ED ∩BD =D,ED,BD ⊂平面BDEG ， ∴AC ⊥平面BDEG ．则平面DEG 的一个法向量为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0)． 设二面角C −GE −D 的大小为θ，由图得θ为锐角，∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AC|=√13=2√1313． ∴二面角C −GE −D 的余弦值为2√1313． 解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于一般题．(1)由已知条件得平面BGC//平面ADEF ，由此能证明GC//平面ADEF ．(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −GE −D 余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)把x S =4，y S =4代入y 2=2px ，得p =2，…(3分)因此，抛物线E 的方程y 2=4x.…(4分)(Ⅱ)因为抛物线E 的焦点为F(1,0)，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)， 依题意可设直线l ：my =x −1， 代入抛物线方程得y 2−4my −4=0， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4 ①…(6分) 又因为l AS ：y =y 1x 1⋅x ，l AT ：y =y 2x 2⋅x ，所以M(−1,−y 1x 1)，N(−1,−y2x 2)，所以MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2+y 1x 1)，NS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1+y 2x2)，…(7分) 又因为(y 2+y 1x 1)(x 1+1)−(y 1+y2x 2)(x 2+1)，…(8分)=(y 1−y 2)(y 12y 22−164y 1y 2)，②把①代入②，得(y 1−y 2)(y 12y 22−164y 1y 2)=0，…(10分)即(y 2+y 1x 1)(x 1+1)−(y 1+y 2x 2)(x 2+1)=0， 所以MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //NS⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT//NS.…(11分)(Ⅲ)设抛物线E ：y 2=4x 的顶点为A ，定点G(g,0)(g ≠0)，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x =−g 于M 、N 两点，则MT//NS.…(14分) 解析：(Ⅰ)把x S =4，y S =4代入y 2=2px ，得p ，即可求出抛物线E 的方程；(Ⅱ)设直线l ：my =x −1，代入抛物线方程，求出M ，N 的坐标，可得MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、NS ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，证明MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //NS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出结论；(Ⅲ)设抛物线E ：y 2=4x 的顶点为A ，定点G(g,0)(g ≠0)，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x =−g 于M 、N 两点，则MT//NS ．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．21.答案：解：(I)由f(x)=ax +blnx +c 知，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a +bx ，又f(x)在x =e 处的切线方程为(e −1)x +ey −e =0，而切线(e −1)x +ey −e =0的斜率为−e−1e，所以有f′(e)=a +be =−e−1e，即(b −1)+(a +1)e =0，由a ，b ，c ∈Q ，得a =−1，b =1，(否则e =1−b a+1∈Q 矛盾)，又有切线方程知，f(e)=2−e ，得出c =1，∴a =−1，b =1，c =1(Ⅱ)由(1)知f(x)=−x +lnx +1(x >0)，因此，g(x)=x 2+mf(x)=x 2−mx +mlnx +m (x >0)， 所以g′(x)=2x −m +m x=1x(2x 2−mx +m) (x >0)．要使函数g(x)在(1,3)内不是单调函数，则函数g(x)在(1,3)内一定有极值， 而gg′(x)=1x (2x 2−mx +m)，所以函数g(x)最多有两个极值． 令d(x)=2x 2−mx +m (x >0)．(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根， 即d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有且仅有一个根，又因为d(1)=2>0，当d(3)=0时，即m =9时，d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有且仅有一个根x =32，当d(3)≠0时，应有d(3)<0，即2×32−3m +m <0，解得m >9.所以有m ≥9． (ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有两个根， 即二次函数d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有两个不等根，(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有两个根， 即二次函数d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有两个不等根，所以{△=(−m)2−4×2×m >0d(1)=2−m +m >0d(3)=2×32−3m +m >01<m 4<3，解得：8<m <9．综上，实数m的取值范围是m≥8．(Ⅲ)由ℎ(x)=f(x)−1得：ℎ(x)=−x+lnx(x>0)，所以ℎ′(x)=1−xx，令ℎ′(x)≤0，即1−xx≤0，得：x≥1，即ℎ(x)的单调递减区间为[1,+∞)．事实上，由函数ℎ(x)=−x+lnx(x>0)在[1,+∞)上单调递减可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)，即−x+lnx<−1，亦即lnx<x−1对一切x∈(1,+∞)都成立，不等式两边同时除以x，亦即0<lnxx <x−1x对一切x∈(1,+∞)都成立，所以ln22×ln33×ln44×…lnnn<12×23×34×⋅⋅×n−1n=1n解析：(I)题目给出了函数在x=e处的切线方程，则知道了f′(e)，再由切线过切点三个式子联立可求常数a，b，c的值；(Ⅱ)根据函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数，说明该函数在区间(1,3)内一定有极值，求出函数的导函数为g′(x)=1x(2x2−mx+m)，此导函数等于0可转化为二次方程2x2−mx+m=0，然后分该方程有一个实数根和两个实数根分类讨论，对每一种情况结合二次函数的图象列式可求m的范围；(Ⅲ)把f(x)代入后求出函数ℎ(x)的导函数，由导函数小于等于0求得函数ℎ(x)的减区间为[1,+∞)，根据函数在[1,+∞)上是减函数，则lnx<x−1对一切x∈(1,+∞)都成立，两边同时除以x后得0<lnx x <1−xx对一切x∈(1,+∞)都成立，再利用放缩法证明不等式．本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数在某区间(a,b)内存在极值，则函数在该区间内不是单调函数，考查了函数在某点处取得极值的条件，函数在某点处取得极值，则函数在该点处的导数等于0，反之，函数在某点处的导数等于0，该点不一定是极值点，训练了利用放缩法证明不等式．此题具有一定难度22.答案：解：(Ⅰ)求导函数f′(x)=32+1x−1，∵a n+1=f′(a n+1)，∴a n+1=32+1a n．(Ⅱ)a3=32+1a2，a4=32+1a3=32+132+1a2=32+2a23a2+2，令a4<a2，得2a22−3a2−2>0，∴(2a2+1)(a2−2)>0，∵a2>0，∴a2>2，则32+1a1>2，得0<a1<2．以下证明：当0<a1<2时，a2n+2<a2n，且a2n>2．①当n=1时，0<a1<2，则a2=32+1a1>32+12=2，a4−a2=32+1a3−a2=32+132+1a2−a2=13a2+6 2(3a2+2)−a2=−6a22+9a2+62(3a2+2)=−3(2a2+1)(a2−2)2(3a2+2)<0，∴a4<a2．②假设n=k(k∈N∗)时命题成立，即a2k+2<a2k，且a2k>2，当n=k+1时，a2k+2=32+1a2k >32+12=2，a2k+2=32+1a2k+1=32+132+1a2k>2a2k+4−a2k+2=13a2k+2+6 2(3a2k+2+2)−a2k+2=−3(a2k+2+1)(a2k+2−2)2(3a2k+2+2)<0∴a2k+4<a2k+2，即n=k+1时命题成立，综合①②，对于任意n∈N∗，a2n+2<a2n，且a2n>2，从而数列{b n}是递减数列．∴a1的取值范围为(0,2)．说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：a2k+4−a2k+2=13a2k+2+62(3a2k+2+2)−13a2k+62(3a2k+2)=4(a2k+2−a2k)(3a2k+2+2)(3a2k+2)<0解析：(Ⅰ)求导函数，利用a n+1=f′(a n+1)，可用a n表示a n+1；(Ⅱ)先通过特殊性，猜想0<a1<2，再用数学归纳法进行证明．本题考查数列递推式，考查求参数的范围，解题的关键是先猜后证，属于中档题．23.答案：解：(1)因为向量a⃗=(k,1)，b⃗ =(−6,k−7)，a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =−6k+k−7=0，解得：k=−75；(2)若a⃗//b⃗ ，则k(k−7)+6=0，解得k=1或k=6；因此k=1时，2a⃗−b⃗ =(2k+6,9−k)=(8,8)，因此|2a⃗−b⃗ |=√64+64=8√2；k=6时，2a⃗−b⃗ =(2k+6,9−k)=(18,3)，所以|2a⃗−b⃗ |=√324+9=3√37．解析：(1)根据两向量垂直时，数量积为0，列方程求得k的值；(2)由平面向量的共线定理，列方程求出k的值，再求向量的模长．本题考查了平面向量的坐标运算与共线和垂直的应用问题，是基础题．。
2019-2020学年四川省南充市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．抛物线y＝x2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）2．下列函数为偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．3．若cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．直线（t为参数）的斜率是（）A．45°B．135°C．1D．﹣15．曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2＝4B．x2+（y﹣2）2＝4C．（x﹣2）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝46．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x0∈R，lgx0＜1D．∃x0∈R，tan x0＝27．执行如图的程序框图，若输入n＝3，x＝3，则输出y的值为（）A．16B．45C．48D．528．若函数f（x）＝2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）9．若等差数列{a n}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a4＝（）A．5B．6C．7D．810．设F1，F2分别为双曲线x2﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上的点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．5B．2C．4D．311．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的x∈R，都有f'（x）＞f（x），且f（2）＝﹣e2，则不等式f（﹣lnx）＜﹣的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．（0，）二、填空题（共4小题）.13．若复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i是虚数单位），则复数z＝．14．设函数，则f（﹣3）＝．15．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为．16．已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5．（1）求tan C；（2）求△ABC中的最长边．19．某汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料．第几年1234优惠金额x/万元1 1.1 1.3 1.2销量y/辆22243127（1）求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）若第5年优惠金额为8500元，估计第5年的销量y（单位：辆）的值．参考公式：＝＝，＝．20．已知函数f（x）＝x2﹣2alnx．（1）当a＝时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆E：+＝1的顶点，且两曲线的交点到y轴的距离为1．（1）求抛物线C和椭圆E的方程；（2）过抛物线C焦点的直线l与C交于A，B两点，若|AB|＝10，求l的方程．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．用分析法证明：+＞2+．23．已知﹣3+2i是关于x的方程2x2+px+q＝0的一个根，求实数p、q的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y＝x2的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．2．下列函数为偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．【分析】结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）＝f（x），即可判断解：A：y＝sin x，则有f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x为奇函数B：y＝x3，则有f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x）为奇函数，C：y＝e x，则有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数．D：y＝ln，则有F（﹣x）＝ln＝f（x）为偶函数故选：D．3．若cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．4．直线（t为参数）的斜率是（）A．45°B．135°C．1D．﹣1【分析】直接利用直线的参数方程和三角函数的关系式的应用求出结果．解：根据直线（t为参数）得到直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为k＝tan45°＝1，故选：C．5．曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2＝4B．x2+（y﹣2）2＝4C．（x﹣2）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝4【分析】曲线的极坐标方称即ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，化简可得结论．解：曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，化简为x2+（y﹣2）2＝4，故选：B．6．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x0∈R，lgx0＜1D．∃x0∈R，tan x0＝2【分析】根据含有量词的命题的真假判断方法进行判断即可．解：对于A，∀x∈R，2x﹣1＞0，正确，对于B，当x＝1时，（x﹣1）2＝0，此时∀x∈N+，（x﹣1）2＞0错误，对于C，当0＜x＜10时，lgx＜1，则∃x0∈R，lgx0＜1正确，对于D，tan x的值域为R，∴∃x0∈R，tan x0＝2正确，故选：B．7．执行如图的程序框图，若输入n＝3，x＝3，则输出y的值为（）A．16B．45C．48D．52【分析】首先分析程序框图，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的y．解：模拟程序的运行，可得n＝3，x＝3，y＝1，i＝2满足条件i≥0，执行循环体，y＝5，i＝1满足条件i≥0，执行循环体，y＝16，i＝0满足条件i≥0，执行循环体，y＝48，i＝﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出y的值为48．故选：C．8．若函数f（x）＝2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【分析】求f′（x）＝6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可设g（x）＝6x2﹣6mx+6，法一：讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，此时求出m的范围即可．解：f′（x）＝6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）＝6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；法一：（1）若△＝36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；（2）若△＝36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：解得m≤2；∴m＜﹣2，∴综上得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]；法二：问题转化为m≤x+在（1，+∞）恒成立，而函数y＝x+≥2，故m≤2；故选：C．9．若等差数列{a n}的前5项的和S5＝25，且a2＝3，则a4＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】由题意可得，，解方程即可求解a1，d，然后由a4＝a1+3d 可求另解：由等差数列的求和公式可得，＝5a3可求a3，由等差数列的定义可得d＝a3﹣a2，代入a4＝a3+d即可求解解：由题意可得，∴a1＝1，d＝2∴a4＝a1+3d＝7故选C另解：由等差数列的求和公式可得，＝5a3＝25∴a3＝5∴d＝a3﹣a2＝2∴a4＝a3+d＝7故选：C．10．设F1，F2分别为双曲线x2﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上的点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．5B．2C．4D．3【分析】由题意可得P在右支上，运用双曲线的定义和余弦定理、三角形的面积公式，计算可得所求值．解：P是该双曲线上的点，且3|PF1|＝4|PF2|，可得P为右支上一点，即有|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，可得|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝2c＝4，cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝＝，则△PF1F2的面积为×8×6×＝3．故选：D．11．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的概念可判断出函数f（x）为奇函数，于是排除选项C；当x∈（0，π）时，f（x）＞0，排除选项D；最后根据f（x）的零点个数，即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项C；当x∈（0，π）时，sin x＞0，ln（x2+1）＞ln1＝0，所以f（x）＞0，排除选项D；令f（x）＝0，则sin x＝0，所以f（x）的零点不止4个，排除选项A，故选：B．12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的x∈R，都有f'（x）＞f（x），且f（2）＝﹣e2，则不等式f（﹣lnx）＜﹣的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（0，）D．（0，）【分析】令g（x）＝，再研究函数g（x）的单调性来转化不等式进行求解．解：令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，g（x）在R递增，而g（2）＝﹣1，不等式f（﹣lnx）＜﹣，即＜﹣1，即＜﹣1即g（﹣lnx）＜g（2），则﹣lnx＜2，解得：x＞，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i是虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简求值．解：由z（1+i）＝1﹣i，得．故答案为﹣i．14．设函数，则f（﹣3）＝4．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣3）＝f（﹣1）＝f（1），又由解析式求出f（1）的值，综合即可得答案．解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（﹣3）＝f（﹣1）＝f（1），当x＞0时，f（1）＝1+3＝4，则f（﹣3）＝4；故答案为：4．15．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为1．【分析】根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a＝0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．解：∵圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心是（﹣1，2）圆心在直线3x+2y+a＝0上，∴﹣3+2+a＝0，∴a＝1故答案为：116．已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为2x+y﹣2＝0．【分析】设直线AB的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式可得．解：依题意可设直线AB的方程为：x＝ty+1，代入y2＝2x得y2﹣2ty﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣2，y1+y2＝2t，∴k OA+k OB＝+＝+＝＝＝﹣2t，∴﹣2t＝1，解得t＝﹣，∴直线AB的方程为：x＝﹣+1，即2x+y﹣2＝0．故答案为：2x+y﹣2＝0．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【分析】（1）根据题意，由直线过点P的坐标以及倾斜角，结合直线参数方程的定义可得答案；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，可得关于t的方程，由根与系数的关系可得t1t2的值，结合t的实际意义即可得答案．解：（1）因为直线l经过点P（1，1），倾斜角所以直线l的参数方程为，即（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入圆的方程得：，即，则t1t2＝﹣2，所以|t1t2|＝2，即P到A，B两点的距离之积为2．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5．（1）求tan C；（2）求△ABC中的最长边．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理，两角和的正切函数公式即可求解．（2）由tan C＝﹣3＜0，可得C为钝角，c为△ABC中的最长边，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin C的值，由正弦定理可解得c的值，即可得解．解：（1）∵，，∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝﹣3．（2）∵tan C＝﹣3＜0，∴C为钝角，A，B均为锐角，c为△ABC中的最长边，∵，，a＝5，∴＝，＝﹣3，解得sin A＝，sin C＝，∴由正弦定理，可得＝，解得c＝．19．某汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料．第几年1234优惠金额x/万元1 1.1 1.3 1.2销量y/辆22243127（1）求出y关于x的线性回归方程＝x+；（2）若第5年优惠金额为8500元，估计第5年的销量y（单位：辆）的值．参考公式：＝＝，＝．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝0.85求得y值即可．解：（1），．＝＝＝30，＝﹣8.5．∴y关于x的线性回归方程为；（2）在中，取x＝0.85，解得＝17．故第5年优惠金额为8500元时，估计第5年的销量为17辆．20．已知函数f（x）＝x2﹣2alnx．（1）当a＝时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，求出函数的最小值g（a）即可．解：（1）a＝时，f（x）＝x2﹣lnx（x＞0），f′（x）＝2x﹣，f（1）＝1，f′（1）＝1，故f（x）在（1，1）处的切线方程是：y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0；（2）求导函数，可得f′（x）＝2•（x＞1），①a≤1，x≥1，则f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）min＝f（1）＝1；②a＞1，x≥1，令f′（x）＝0，可得x＝，当x∈[1，）时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，∴x＝时，f（x）min＝a﹣alna∴g（a）＝．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆E：+＝1的顶点，且两曲线的交点到y轴的距离为1．（1）求抛物线C和椭圆E的方程；（2）过抛物线C焦点的直线l与C交于A，B两点，若|AB|＝10，求l的方程．【分析】（1）由椭圆的方程可得椭圆在x轴上的顶点坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而求出抛物线的方程，联立抛物线与椭圆的方程可得横坐标的值，再由椭圆可得m的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得参数的值，进而求出直线l的方程．解：（1）由椭圆E：+＝1可得椭圆在x轴的顶点（±2，0），由题意可得＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x；联立抛物线与椭圆的方程整理可得mx2+32x﹣4m＝0，解得x＝，由x＞0，可得x＝，由题意可得1＝，解得m＝，所以椭圆的方程为：+＝1；所以抛物线的方程为y2＝8x；椭圆的方程为：+＝1；（2）由（1）可得抛物线的焦点F（2，0），由题意可得直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝ty+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程，整理可得y2﹣8ty﹣16＝0，则y1+y2＝8t，x1+x2＝t（y1+y2）+4＝8t2+4，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以|AB|＝x1+x2+p＝8t2+4+4＝10，解得t＝±，所以直线l的方程为：2x+y﹣4＝0或2x﹣y﹣4＝0．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．用分析法证明：+＞2+．【分析】寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要6+7+2＞8+5+4，即证＞2，即证42＞40．【解答】证明：要证+＞2+，只要证6+7+2＞8+5+4，只要证＞2，即证42＞40．而42＞40 显然成立，故原不等式成立．23．已知﹣3+2i是关于x的方程2x2+px+q＝0的一个根，求实数p、q的值．【分析】把﹣3+2i代入方程2x2+px+q＝0的一个根，化简根据复数相等即可得出．解：∵﹣3+2i方程2x2+px+q＝0的一个根，∴2（﹣3+2i）2+p（﹣3+2i）+q＝0，即（10﹣3p+q）+（2p﹣24）i＝0．∴，解得。
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“11x -<”是38x <的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知全集U R =，集合{|31}A x x =-≤≤，{|22}B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ） A ．{|32}x x -≤<- B ．{|32}x x -≤<C ．{|21}x x -≤≤D ．{|12}x x x 或≤≥3．已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(0,)e B ．(,)e +∞ C ．(0,2)e D ．(2,)e +∞4．已知，，，成等差数列，，，成等比数列，则（ ） A ．B ．C ．或D ．或5．的值为( )A ．2B ．0C ．-2D ．16．)323012331x a a x a x a x -=+++，则()()220213a a a a +-+的值为（ ）A ．2B ．-2C ．8D ．-87．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( ) A ．14B ．23C ．13D ．128．复数7413iz i=+－在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 、B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为2M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 6C 63D 6210．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．展开式中的常数项为（ ）A ．第5项B ．第5项或第6项C ．第6项D ．不存在12．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16二、填空题：本题共4小题 13．已知22334422,33,4433881515+=+=+=，若8888a a+=（*a N ∈），则a =______． 14．若过抛物线28y x =的焦点，且倾斜角为3π的直线交抛物线于A ，B ，则AB =__________． 15．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）16．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，左焦点为1F ，点()03Q c ，（c 为半焦距）.P 是双曲线C 的右支上的动点，且1PF PQ +的最小值为6.则双曲线C 的方程为_____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
