第四节 凸轮机构基本尺寸设计无论是作图法还是解析法，在设计凸轮廓线前，除了需要根据工作要求选定从动件的运动规律外，还需要确定凸轮机构的一些基本参数，如基圆半径b r 、偏距e 、滚子半径r r 等。
一般来讲，这些参数的选择除了应保证从动件能够准确地实现预期的运动规律外，还应当使机构具有良好的受力状况和紧凑的结构。
本节讨论凸轮机构基本尺寸设计的原则和方法。
一、移动滚子从动件盘形凸轮机构1. 压力角同连杆机构一样，压力角也是衡量凸轮机构传力特性好坏的一个重要参数。
所谓凸轮机构的压力角，是指在不计摩擦的情况下，凸轮对从动件作用力的方向线与从动件上力作用点的速度方向之间所夹的锐角。
对于图4-22所示的移动滚子从动件盘形凸轮机构来说，过滚子中心所作理论廓线的法线nn 与从动件运动方向之间的夹角α就是压力角。
（1）压力角与作用力的关系 由图4-22可以看出，凸轮对从动件的作用力F 可以分解成两个分力，即沿着从动件运动方向的分力F '和垂直于运动方向的分力F ''。
只有前者是推动从动件克服载荷的有效分力，而后者将增大从动件与导路间的摩擦，它是一种有害分力。
压力角α越大，有害分力越大。
当压力角α增大到某一数值时，有害分力所引起的摩擦阻力将大于有效分力F '，这时无论凸轮给从动件的作用力有多大，都不能推动从动件运动，即机构将发生自锁。
因此为减小侧向推力，避免自锁，压力角α应越小越好。
图4-22 凸轮机构的压力角（2）压力角与机构尺寸的关系 设计凸轮时，除了应使机构具有良好的受力状况外，还希望机构结构紧凑。
而凸轮尺寸的大小取决于凸轮基圆半径的大小。
在实现相同运动规律的情况下，基圆半径越大，凸轮的尺寸也越大。
因此，要获得轻便紧凑的凸轮机构，就应当使基圆半径尽可能地小。
但是基圆半径的大小又和凸轮机构的压力角有直接的关系。
下面以图4-22为例来说明这种关系。
图中，过滚子中心B 所作理论廓线的法线nn 与过凸轮轴心0A 所作从动件导路的垂线交于P 点，由瞬心定义可知，该点即为凸轮与从动件在此位置时的瞬心，且ϕωd ds v P A ==0。
于是，由图中BDP ∆可得220tan e r s e d ds s s e d dsb -+-=+-=ϕϕα （4-25） 式中，ϕd ds 为位移曲线的斜率，推程时为正，回程时为负。
式（4-25）是在凸轮逆时针方向转动、从动件偏于凸轮轴心右侧的情况下移动滚子从动件盘形凸轮机构压力角的计算公式。
当凸轮顺时针方向转动、从动件偏于凸轮轴心左侧或凸轮顺时针方向转动，从动件偏于凸轮轴心右侧时，仿照上述推导过程，可得压力角的计算公式为22tan e r s e d ds b -++=ϕα （4-26）综合以上两式，可以得出 22e s tg e d ds r b +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αϕ （4-27） 由式（4-27）可以看出，在其它条件不变的情况下，压力角α越大，基圆半径越小，亦即凸轮的尺寸越小。
因此，从使机构结构紧凑的观点来看，压力角α应越大越好。
（3）许用压力角 在一般情况下，总希望所设计的凸轮机构既有较好的传力特性，又具有较紧凑的结构。
但由以上分析可知，这两者是互相制约的，因此，在设计凸轮机构时，应兼顾两者统筹考虑。
为了使机构能顺利工作，规定了压力角的许用值[α]，在使α≤[α]的前提下，选取尽可能小的基圆半径。
根据工程实践的经验，推荐推程时许用压力角取以下数值：移动从动件，[α]=300~380，当要求凸轮尺寸尽可能小时，可取[α]=450；摆动从动件，[α]=450。
回程时，由于通常受力较小且一般无自锁问题，故许用压力角可取得大些，通常取[α]=700~800。
2. 凸轮基圆半径和偏距的确定如前所述，凸轮的基圆半径应在α≤[α]的前提下选择。
由于在机构的运转过程中，压力角的值是随凸轮与从动件的接触点的不同而变化的，即压力角是机构位置的函数。
只要使max α=[α]，代入式（4-27）就可以确定出凸轮的最小基圆半径和相应的偏距，即min b r 和e 之间满足22m in ][e s tg e d ds r b +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αϕ （4-28） 对式（4-28）可以用图解法或解析法求得min b r 和相应的e 值。
当取偏距0=e 时，对几种常用的从动件运动规律还可以制成min b r 的线图，也称诺模图，使用时可直接查找出相应的min b r 值。
下面介绍用图解法求解min b r 和e 值。
图4-23 图解法确定移动从动件盘形凸轮机构的基本尺寸图4-23a 所示为一偏置尖端移动从动件盘形凸轮机构在推程中的一个位置。
当凸轮逆时针回转与从动件在A 点接触时，从动件与凸轮之间的相对速度瞬心P 与凸轮轴心0A 的连线P A 0即代表该位置的ωv 值。
若已知此时的ωv 值，也可如图求出该凸轮机构在该位置的压力角A α。
为此，过接触点A ，在推杆的左边作出与其垂直的线段ωvAB =，再把所得的B 点与凸轮的轴心0A 相连接，则可得A ABA α-=∠900。
凸轮与从动件在不同接触点接触时有不同的压力角，如果使其最大压力角max α等于许用压力角][α，则可得到最小基圆半径和相应的偏距。
为此，可根据从动件的运动规律，求出推程中各位置的ωv 值，并画在相应的位移点上，如图4-23b 所示，可得到相应的线段22B A 、33B A 、44B A 、...。
过2B 、3B 、4B 、...点作角度][90αθ-= ，][α为推程许用压力角，可得一系列平行的直线，显然，凸轮的回转轴心0A 点的位置应选在此一系列直线中的最左边一条直线mm 上或它的左边。
同理，对回程同样作图，可得直线'22B A 、'33B A 、'44B A 、...。
过'2B 、'3B 、'4B 、...点作角度''][90αθ-= ，'][α为回程许用压力角，也可得一系列的平行直线，显然，凸轮的回转轴心0A 点的位置又应在此一系列直线中的最右边的一条直线''m m 上或它的右边。
综合推程和回程，0A 点应选在图示的阴影区域内。
若取直线mm 与''m m 的交点为0A 点，则10min A A r b =，0A 点至从动件移动方向的距离为偏距e 。
上述根据许用压力角确定的基圆半径是为了保证机构能顺利工作的凸轮最小基圆半径。
在实际设计工作中，凸轮基圆半径的最后确定，还需要考虑机构的具体结构条件。
例如，当凸轮与凸轮轴成一体时，凸轮的基圆半径必须大于凸轮轴的半径；当凸轮是单独加工、然后装在凸轮轴上时，凸轮上要作出轴毂，凸轮的基圆直径应大于轴毂的外径。
通常可取凸轮的基圆直径大于或等于轴径的（1.6~2）倍。
若上述根据许用压力角所确定的基圆半径不满足该条件，则应加大基圆半径。
在用计算机对凸轮廓线进行辅助设计时，通常是先根据结构条件初选基圆半径b r ，然后用式（4-25）或（4-26）校核压力角，若max α＞[α]，则增大基圆半径重新设计。
3. 从动件偏置方向的选择由式（4-25）和式（4-26）可以看出，增大偏距e 既可使压力角的值减小也可使压力角的值增大，究竟是减小还是增大，取决于凸轮的转动方向和从动件的偏置方向。
需要指出的是，若推程压力角减小，则回程压力角将增大，即通过增加偏距e 来减小推程压力角，是以增大回程 压力角为代价的。
但是由于规定推程的许用压力角较小而回程的许用压力角较大，所以在设计凸轮机构时，如果压力角超过了许用值、而结构空间又不允许增大基圆半径，则可通过选取从动件适当的偏置方向来获得较小的推程压力角。
即若凸轮逆时针回转，使从动件轴线偏于凸轮轴心的右侧；若凸轮顺时针回转，使从动件轴线偏于凸轮轴心的左侧。
在这两种情况下，凸轮机构压力角的表达式均为式（4-25）。
4. 滚子半径的选择滚子从动件盘形凸轮的实际廓线，是以理论廓线上各点为圆心作一系列滚子圆，然后作该圆族的包络线得到的。
因此凸轮实际廓线的形状将受滚子半径大小的影响。
若滚子半径选择不当，有时可能使从动件不能准确地实现预期的运动规律。
下面以图4-24为例来分析凸轮实际廓线形状与滚子半径的关系。
图4-24滚子半径的确定图4-24a 所示为内凹的凸轮廓线，a 为实际廓线，b 为理论廓线。
实际廓线的曲率半径a ρ等于理论廓线的曲率半径ρ与滚子半径r r 之和，即r a r +=ρρ。
因此，无论滚子半径大小如何，实际廓线总可以根据理论廓线作出。
但是，对于图4-24b 所示的外凸的凸轮廓线，由于r a r -=ρρ，所以当ρ＞r r 时，a ρ＞0，实际廓线总可以作出；若ρ=r r 则a ρ=0，即实际廓线将出现尖点，如图4-24c 所示，由于尖点处极易磨损，故不能实用；若ρ＜r r ，则a ρ＜0，这时实际廓线将出现交叉，如图4-24d 所示，当进行加工时，交点以外的部分将被刀具切去，使凸轮廓线产生过度切削，致使从动件不能准确地实现预期的运动规律，这种现象称为运动失真。
图4-25 不同滚子半径对凸轮实际廓线的影响图4-25所示为同一理论廓线选用大小不同的两种滚子所形成的两种实际廓线。
由图中可以看出，由大的滚子所形成的实际廓线本身出现交叉，当加工制造凸轮时，交点以上的部分将被切去。
当使用这样的凸轮推动从动件工作时，滚子中心的轨迹将如图中的细实线所示，从而导致从动件不能准确地实现预期的运动规律。
而采用小的滚子所形成的实际廓线如图中虚线所示。
如果把凸轮的基圆半径加大，则凸轮理论廓线上各点的曲率半径将随之变大，当基圆半径增大到一定值时，用大的滚子也能得到不产生过度切割的实际廓线。
综上所述，凸轮实际廓线产生过度切削的原因在于其理论廓线的最小曲率半径min ρ小于滚子半径r r ，即min ρ-r r ＜0。
因此，为了避免凸轮实际廓线产生过度切割，可有两种方法。
一是减小滚子半径r r ，二是通过增大基圆半径来加大理论廓线的最小曲率半径min ρ。
为了防止凸轮实际廓线产生过度切削并减小应力集中和磨损，设计时一般应保证凸轮实际廓线的最小曲率半径不小于某一许用值[a ρ ]。
即][m in m in a r a r ρρρ≥-= （4-29） 一般取[a ρ]=3~5mm 。
由上式可以看出，一旦给定了工作许用的实际廓线曲率半径的最小值[a ρ]，只要求出理论廓线的最小曲率半径min ρ，就可以确定出滚子半径可取的最大值，即][m in a r r ρρ-≤。
由高等数学可知，由参数方程表示的曲线上任一点的曲率半径的计算公式为yx y x y x -+=2322)(ρ （4-30） 式中ϕd dx x= ，22ϕd x d x = ，ϕd dy y = ，22ϕd y d y = 。
