第二轮数学 专题六 直线与圆锥曲线的几何性质

直线方程与圆方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角，取值范围是0°≤α＜180°特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

（2）直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当 [)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意： 当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是1y y =。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因直线上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x ya b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）对1-5直线方程形式注意： ○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 具有共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

第15讲 圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线1．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系： ①在椭圆中：c 2＝a 2－b 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：①抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±p 2，0，准线方程为x ＝∓p2； ②抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±p 2，准线方程为y ＝∓p 2. 2．弦长问题 (1)弦长公式：设直线斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或 |AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.(2)过抛物线焦点的弦长：过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .小题速解——不拘一格 优化方法考点一 圆锥曲线的定义及标准方程[典例1] (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1通解：由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.优解：由4a ＝43，得a ＝ 3.a 2＝3，排除C 、D. 对于A ，c 2＝1，∴e ＝13＝33，适合题意，故选A. 答案：A(2)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．解析：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：61．圆锥曲线的定义是根本，它是标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．2．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，注意数形结合，提倡画出合理草图． 核心素养：重点提升数学抽象、直观想象素养，提高数形结合能力． [自我挑战]1．(2018·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点．设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1解析：选C.设双曲线的右焦点坐标为F (c ，0)(c ＞0)，则x A ＝x B ＝c ， 由c 2a 2－y 2b 2＝1可得：y ＝±b 2a ， 不妨设：A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 双曲线的一条渐近线方程为：bx －ay ＝0，据此可得：d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b2＝bc ＋b 2c ，则d 1＋d 2＝2bcc ＝2b ＝6，则b ＝3，b 2＝9，双曲线的离心率：e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋9a 2＝2， 据此可得：a 2＝3，则双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( ) A ．2 2 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.由题意得双曲线的右焦点为(3，0)，即抛物线的焦点为F (3，0)，则抛物线的方程为y 2＝12x ，抛物线的准线方程为x ＝－3，则点K 的坐标为(－3，0)．设点A 在抛物线的准线上的投影为点A ′，则AA ′⊥A ′K ，|AF |＝|AA ′|，又因为|AK |＝2|AF |，所以|AK |＝2|AA ′|，所以|AA ′|＝|A ′K |，设点A 的横坐标为x 0(x 0＞0)，则x 0＋3＝12x 0，解得x 0＝3. 考点二 圆锥曲线的几何性质[典例2] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B ．12C.13D ．14通解：如图，直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，①直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )，② ①与②联立解得：x ＝a ＋6c 5，y ＝35(a ＋c )，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋6c 5，35（a ＋c ）， ∴|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋6c 5－c 2＋325（a ＋c ）2 ＝25(a ＋c )，又∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴25(a ＋c )＝2c ， ∴a ＝4c ，∴e ＝c a ＝14.优解：由已知，|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c ，∠PF 2F 1＝120°， ∴P (2c ，3c )．又A (－a ，0) ∴k AP ＝3c 2c ＋a ＝36，解得a ＝4c ，∴e ＝c a ＝14.答案：D(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．通解：设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k （x －1）得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1.∵∠AMB ＝90°，∴k MA ·k MB ＝－1. 即y 1－1x 1＋1·y 2－1x 2＋1＝－1. 化简得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.优解：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2. 答案：2圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与圆锥曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．核心素养：重点提升直观想象和数学运算素养，提高数形结合和运算求解能力． [自我挑战]3．(2018·山东东营二模)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．(0，1)D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选A.因为椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，所以m ＞0，n ＜0.且m ＋2－(－n )＝m －n ，解得n ＝－1.所以椭圆C 1的离心率e ＝1－－（－1）m ＋2＝1－1m ＋2＞ 1－12＝22， 又e ＜1，所以椭圆C 1的离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.4．(2018·高考北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．解析：(1)如图，连接AF 1，由正六边形的性质可知，△AF 2F 1为直角三角形，且∠AF 2F 1＝60°，∠AF 1F 2＝30°.所以在△AF 2F 1中，|AF 2|＝c ，|AF 1|＝3c .又由椭圆的定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .在Rt △AF 2F 1中，|AF 1|＝cos 30°|F 1F 2|， |AF 2|＝cos 60°|F 1F 2|， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋12|F 1F 2|， ∴(1＋3)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)由正六边形的性质可知，∠AOF 2＝60°， tan ∠AOF 2＝3＝nm ，又由双曲线的性质可知： ∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫n m 2＝1＋（3）2＝2. 答案：3－1；2大题规范——学会踩点 规范解答考点三 直线与圆锥曲线的简单综合[典例3] (2018·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，所以直线l 的方程为y＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0＞0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20）， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0， 解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，因此P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22. 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．优法：(点差法)在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解． 核心素养：提升数学运算，数学建模素养、重点提高运算求解能力． [自我挑战]5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F 1，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F 1A |＝|F 1D |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 1为正三角形． (1)求C 的方程．(2)抛物线在A 处的切线分别与x 轴、y 轴交于E ，F 两点，设AF →＝λAE →，求λ的值．解：(1)如图F 1⎝⎛⎭⎫p 2，0，当x A ＝3时， 点D ⎝⎛⎭⎫6－p 2，0⎝⎛⎭⎫6－p2＞0， 又因为|F 1A |＝|F 1D |， 所以3＋p2＝|6－p |，解得p ＝2或p ＝18(舍)，所以抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫t 24，t (t ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k ⎝⎛⎭⎫x －t 24，y 2＝4x ，整理得ky 2－4y －kt 2＋4t ＝0，因为直线与抛物线相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝0，Δ＝16－4k (4t －kt 2)＝16－16kt ＋4k 2t 2＝4(k 2t 2－4kt ＋4)＝0.k ＝2t ，所以AE 的方程：y －t ＝2t ⎝⎛⎭⎫x －t 24，即y ＝2t x ＋t 2，所以E ⎝⎛⎭⎫－t 24，0，F ⎝⎛⎭⎫0，t 2. AE →＝⎝⎛⎭⎫－t 22，－t ，AF →＝⎝⎛⎭⎫－t 24，－t 2. 因为AF →＝λAE →，所以⎝⎛⎭⎫－t 24，－t 2＝λ⎝⎛⎭⎫－t22，－t ， 所以⎩⎨⎧－t 24＝－λ·t 22，－t2＝－λ·t ，解得λ＝12，所以λ的值是12.1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B ．x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1 D ．x 227－y 29＝1解析：选B.由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以(－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，解得λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.2．如图，过抛物线y 2＝16x 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若F 为AC 的中点，则|AB |＝( )A.343 B ．383C.643D ．323解析：选C.解法一：不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－4，y 3)，直线l 的方程为y ＝k (x －4)(k ＞0)，则y 3＝－8k ，由F 为AC 的中点得x 1＝12，y 1＝8k ，即A (12，8k )，代入y 2＝16x ，可得k ＝ 3.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －4），y 2＝16x ，得3x 2－40x ＋48＝0，所以x 1＋x 2＝403.结合抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋8＝403＋8＝643.解法二：分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于P ，Q 两点，设准线与x 轴交于点R ，|BF |＝n ，则由抛物线的定义可得|BQ |＝|BF |＝n ，|AP |＝|AF |，因为F 为AC 的中点，所以|AP |＝2|FR |＝16，|AC |＝2|AP |，则|BC |＝2|BQ |＝2n ，所以|FC |＝3n ，|AF |＝16，所以3n ＝16，即n ＝163，所以|AB |＝4n ＝643.3．已知抛物线y 2＝8x的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C. 6D ．3解析：选A.依题意知抛物线的准线x ＝－2，代入双曲线方程得 y ＝±4a·4－a 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－2，4a 4－a 2.因为△F AB 是等腰直角三角形， 所以4a4－a 2＝4，求得a ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋16a ＝182＝3. 4．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5－22，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1解析：选C.设B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F 2(c ，0)，A 2(a ，0)．所以B 2A 2→＝(a ，－b )，F 2B 1→＝(－c ，－b )．因为∠B 1PB 2为钝角，所以F 2B 1→与B 2A 2→的夹角为锐角，所以B 2A 2→·F 2B 1→＝－ac ＋b 2＞0，即a 2－c 2－ac ＞0.两边同时除以a 2并化简得e 2＋e －1＜0，解得－5－12＜e ＜5－12，又0＜e ＜1，所以0＜e ＜5－12.故选C.限时规范训练(十六)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B ．32C ．1D ．3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2，0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，知d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B ．33C.23D ．13解析：选A.由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13， ∴e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.3．(2018·河北唐山市二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点为F ，存在直线y ＝t 与椭圆C交于A ，B 两点，使得△ABF 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e ＝( ) A.22B ．2－1 C.5－1D ．12解析：选B.由题意得，当BF ⊥AB 时，△ABF 为等腰直角三角形，所以|FB |＝|AB |，∴b 2a ＝2c ，即b 2＝2ac ，∴a 2－c 2＝2ac ，∴1－e 2＝2e ，∴e 2＋2e －1＝0，∴e ＝±2－1，由于椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以e ＝2－1，故选B.4．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8通解：选D.过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D. 优解：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＞0，y 2＞0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.由双曲线方程x 23－y 2＝1，可求得其渐近线方程为y ＝±33x ，c ＝3＋1＝2，∴F (2，0)，如图，不妨设MN ⊥l 2，由l 1的方程y ＝33x 可知∠NOF ＝30°，则∠MON ＝60°，∴∠ONF ＝30°，∴|NF |＝|OF |＝2.在直角三角形OMF 中，∠MOF ＝30°， ∴|MF |＝12|OF |＝12×2＝1.∴|MN |＝|MF |＋|NF |＝1＋2＝3.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 7．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝____．解析：如图，在等边三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ， 所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫33p ，－p 2.又点B 在双曲线上， 故13p 23－p 243＝1.解得p ＝6. 答案：68．如图，已知椭圆C 1：x 2m ＋y 2＝1(m ＞1)，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝5，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与C 2的渐近线的两交点将线段AB 三等分，则m ＝________．解析：双曲线离心率5＝1＋b 2a 2，所以b a ＝2，双曲线渐近线方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 2＝m 1＋4m ，y 2＝(2x )2＝4m 1＋4m，故C 1与C 2的渐近线的两交点弦长为2x 2＋y 2＝25m 1＋4m，依题意可知25m 1＋4m ＝13×2m ，解得m ＝11. 答案：119．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12.点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l ：x ＋3y y ＋3＝0相切，则椭圆的方程为________．解析：∵c a ＝12，∴c 2b 2＋c 2＝14，∴b ＝3c . 设F (－c ，0)，B (0，3c )，∵k BF ＝3，∴k BC ＝－33，C (3c ，0)，且圆M 的方程为(x －c )2＋y 2＝4c 2. ∵圆M 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，∴|1×c ＋3×0＋3|1＋3＝2c ，解得c ＝1，b ＝3，a ＝2， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝1 三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，k ＞0，代入抛物线y 2＝4x 中得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，而Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16＞0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.∴|AB |＝ 1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4. ∴1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4＝8，解得k 2＝1， 即k ＝±1，又∵k ＞0，∴k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5（x 0＋1）2＝（x 0－y 0－1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 11．(2018·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12. 当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意． 所以，k 的值为－12. 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B 异于点A ，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．解：(1)设焦点F 的坐标为(－c ，0)．依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12， 解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34. 所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4. 由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ， 可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62， 故12·6m 23m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63. 所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。