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对数及其运算第2课时积、商、幂对数课堂导学三点剖析一、利用对数运算法那么计算问题85+lg 21; (2)log a n a +log a n a 1+log a n a1(a>0且a≠1); (3)2log 510+log 50.25;(4)2log 525+3log 264;(5)log 2(log 216).思路分析：要注意灵活运用对数运算法那么,要会正用法那么,也要会逆用法那么,更要会变形用法那么. 解：85+lg 21 =(lg12.5+lg 21)-lg 85 =lg(12.5×21)+lg 58 =lg(12.5×21×58) =lg10=1.(2)log a n a +log a n a 1+log a n a1 =n 1log a a-nlog a a n1-log a a =-n 1n n 1-=-n. (3)2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 552=2.(4)2log 525+3log 264=2log 552+3log 226=4log 55+18log 22=4+18=22.(5)log 2(log 216)=log 2(log 224)=log 24=log 222=2.温馨提示计算时要将式子中真数积、商、幂、方根运用对数运算法那么将它们化为对数和、差、积、商,然后化简求值;另一方面就是将式子中对数和、差、积、商运用对数运算法那么将它们化为真数积、商、幂、方根,然后化简求值.总之,要根据解题具体需要正用及逆用法那么,灵活地运用法那么.二、对数式条件求值问题【例2】lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45.思路分析：运用对数运算法那么变形lg 45,最后变为仅含lg2和lg3式子.解：lg 45=21lg45=21lg5×9 =21(lg5+lg9)=21lg 210+21lg32 =21(lg10-lg2)+lg3 =21(1-0.3010)+0.4771=0.8266. 温馨提示条件求值问题,关键是如何利用条件,条件直接用不上时,要变形后再用,或条件与所求值式子同时变形,找到共同点.三、对数运算法那么综合应用问题【例3】(1)化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg -+++; (2)lgx+lgy=2lg(x-2y),求证:logyx 2=4. (1)解法一:先采用“分〞方法. 原式=3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ==511. 解法二:采用“合〞方法. 原式=2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯==511. (2)证明:∵lgx+lgy=2lg(x -2y),∴lgxy=lg(x -2y)2.∴xy=(x -2y)2,即x 2-5xy+4y 2=0.∴x=4y 或x=y(舍去). ∴yx =4. ∴log 2y x =log 24=log 2(2)4=4.对数式化简两种方法.一是把真数分解质数,然后把对数分成假设干个对数代数和,最后进展化简;二是把同底对数之和合并成一个对数,对真数进展化简.这两种解题思路,便是我们解决对数式化简问题重要方法,在碰到这类问题时,要善于灵活地选用上面所讲方法. 各个击破类题演练1计算:(1); (2)21lg 493243-lg 8+lg 245. 解析：(1)= ==12lg 12lg =1. (2)21lg 493243-lg 8+lg 245 =21(5lg2-2lg7)43-×23lg2+21(2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5 =21lg2+21lg5=21(lg2+lg5) =21lg10=21. 变式提升1计算:(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2; (2)解析：(1)lg52+32lg8+lg5lg20+(lg2)2 =2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=3.(2)= ==21. 类题演练2lgx=m,lgy=n,求lg x -lg(10y )2值. 解析：lg x -lg(10y )2=21lgx-2lg 10y =21lgx-2(lgy-lg10)=21m-2n+2.3n =2,求log 38-log 336(用n 表示).解析：由3n =2,得n=log 32.∴log 38-log 336=log 323-log 362=3log 32-2log 36=3log 32-2log 32×3=3log 32-2(log 32+log 33)=log 32-2=n-2.类题演练3化简log 2487+log 21221-log 242. 解法一:把48、12、42分解质因数,再利用对数运算法那么,把log 2487,log 212,log 242拆成假设干个对数代数和,然后再化简.原式=21log 2+log 2(3×22)21-log 2(7×2×3) =21log 27-21log 23-2log 22+log 23+2log 2221-log 2721-log 2221-log 23 =21-log 22=21-. 解法二:由于所给对数底数一样,可以把各对数合并成一个对数,然后再化简计算. 原式=log 2=log 221=21-. 变式提升3证明(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=1.证明:(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2+2lg2lg5+(lg5)2=(lg2+lg5)2=(lg10)2=1.。
幂 函 数一、教材分析了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.二、教学目标1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.三、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律． 难点：幂函数的图象与性质的简单应用 重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣. 2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.四、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。
第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算【目标要求】1． 理解根式的概念。
2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。
3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。
4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。
【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a 9 D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4.将322-化为分数指数幂的形式为( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】 5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a。
第3节 函数的单调性与最值考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值 [常用结论与易错提醒]1.对勾函数y ＝x ＋ax(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数.2.设任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则①f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0)⇔f (x )在D 上单调递增； ②f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0)⇔f (x )在D 上单调递减.3.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )(3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以.(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间可以是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A.y ＝1x－xB.y ＝x 2－x C.y ＝ln x －xD.y ＝e x－x解析 对于A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数；B ，C 选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ′＝e x－1，而当x ∈(0，＋∞)时，y ′＞0，所以函数y ＝e x－x 在(0， ＋∞)上是增函数. 答案 A3.(2018·全国卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.答案 D4.函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是 .解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝lg u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f (x )在(－∞，0)上单调递减. 答案 (－∞，0)5.(2016·北京卷)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为 .解析 易得f (x )＝xx －1＝1＋1x －1， 当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝1＋12－1＝2. 答案 26.(2019·绿色评价联盟适考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x >0，则f (f (－3))＝ ，f (x )的最小值为 .解析 f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f (f (－3))＝f (3)＝2.由图象得f (x )min ＝f (－1)＝－1.答案 2 －1考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)(2019·嘉兴检测)已知函数f (x )＝log 4(4－|x |)，则f (x )的单调递增区间是 ；f (0)＋4f (2)＝ .解析 由f (x )＝log 4(4－|x |)得函数f (x )的定义域为(－4，4)，且函数y ＝4－|x |的单调递增区间为(－4，0]，则函数f (x )＝log 4(4－|x |)的单调递增区间为(－4，0].f (0)＋4f (2)＝1＋412＝3. 答案 (－4，0] 3(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， 因为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，所以f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上递增.规律方法 (1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1). (2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (一题多解)判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明.解 f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数. 证明如下：法一 设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a ).当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数. 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数.综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－a x2>0， 解得x >a 或x <－a (舍).令f ′(x )<0，则1－a x2<0，解得－a <x <a . ∵x >0，∴0<x <a .∴f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. 考点二 确定函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1，则f (f (3))＝ ，函数f (x )的最大值是 .解析 ①由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >1，－x 2＋2x ，x ≤1.所以f (3)＝log 133＝－1，则f (f (3))＝f (－1)＝－3， ②当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，得f (x )<0.当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f (x )≤1，综上可知，f (x )的最大值为1.答案 －3 1(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)且a ≤1.①当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；②若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 ①当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设1≤x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＞2， ∴0＜12x 1x 2＜12，1－12x 1x 2＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.②当x ∈[1，＋∞)时，x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则x 2＋2x ＋a >0对x ∈[1，＋∞)恒成立. 即a >－(x 2＋2x )在x ∈[1，＋∞)上恒成立.令g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，＋∞)， ∴g (x )在[1，＋∞)上是减函数，g (x )max ＝g (1)＝－3. 又a ≤1，∴当－3<a ≤1时，f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立. 故实数a 的取值范围是(－3，1].规律方法 (1)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图象法；⑤导数法.(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解.若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a ).若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b ).【训练2】 (2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，但与b 无关D.与a 无关，但与b 有关解析 因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，但与a 有关，故选B. 答案 B考点三 函数单调性的应用变式迁移【例3】 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是 .(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为 .解析 (1)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. (2)∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (log 19x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3.答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13或1<x <3 【变式迁移1】 在例题第(1)题中，条件不变，若设m ＝f (－12)，n ＝f (a )，t ＝f (2)，试比较m ，n ，t 的大小.解 由例题知f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 且32≤a <2，又－12<a <2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (a )<f (2)，即m <n <t . 【变式迁移2】 在例题第(2)题中，若条件改为：“定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减”，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集是 Ｗ. 解析 因为f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以f(log 19x )＞0等价于f (|log 19x|)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，所以|log 19x|＜12，即－12＜log 19x ＜12，解得13＜x ＜3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.【训练3】 已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4]D.[1，3]解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝1，于是－1≤f (x －2)≤1等价于f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. 答案 D基础巩固题组一、选择题1.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A.－2 B.2 C.－6D.6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.答案 C2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln(x ＋1)D.y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1，1)上不具备单调性.∴A，B ，C 不满足题意.只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上是减函数. 答案 D3.已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c . 答案 B4.定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )在区间[－2，2]上的最大值等于( )A.－1B.1C.6D.12解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C5.f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A.(8，＋∞) B.(8，9] C.[8，9]D.(0，8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B6.如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A.2 B.3 C.4D.－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称.又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C 二、填空题7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为 .解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38.已知t ∈R ，记函数f (x )＝|x ＋4x ＋2＋t |在[－1，2]的最大值为H (t )，若H (t )≥1，则t 的取值范围是 Ｗ. 解析 记u ＝x ＋4x ＋2，当x ∈[－1，2]时，u ∈[2，3]， 所以H (t )＝max{|2＋t |，|3＋t |}＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t ＋3＋t 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋t －（3＋t ）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋52＋12≥1，解得t ≤－3或t ≥－2.答案 (－∞，－3]∪[－2，＋∞)9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是 Ｗ.解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x >1，若f (f (1))＝4a ，则实数a ＝ ，函数f (x )的单调增区间为 Ｗ.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x >1，∴f (1)＝12＋1＝2，f (f (1))＝f (2)＝22＋2a .由f (f (1))＝4a ，∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.当x ≤1时，f (x )在(－∞，0]上递减，在[0，1]上递增，且f (1)＝2；当x >1时，f (x )＝2x＋2x 在(1，＋∞)上递增，令x ＝1时，2x＋2x ＝2＋2＝4＞f (1)，故f (x )的单调增区间为[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞). 答案 2 [0，＋∞)三、解答题11.已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值. (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25.12.已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1].(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－a2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 能力提升题组13.若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A.4 B.2 C.12D.14解析 当a >1时，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意. 当0<a <1时，则y ＝a x为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数.故a ＝14.答案 D14.已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( ) A.[0，3]B.(1，3)C.[2－2，2＋2]D.(2－2，2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2). 答案 D15.(2019·绍兴适应性考试)已知a ∈R ，函数f (x )满足：存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f (x )－a |≤|f (x 0)－a |，则f (x )可以为( ) A.f (x )＝lg x B.f (x )＝－x 2＋2x C.f (x )＝2xD.f (x )＝sin x解析 由a ∈R ，不妨设a ＝0，g (x )＝|f (x )|，则原问题可看成存在x 0>0，g (x )max ＝g (x 0)＝|f (x 0)|.对于A 选项，g (x )＝|lg x |，结合其函数图象知，g (x )存在最小值0，不存在最大值，排除A ；对于B 选项，g (x )＝|－x 2＋2x |＝|x 2－2x |，g (x )存在最小值0，不存在最大值，排除B ；对于C 选项，g (x )＝|2x|＝2x ，显然g (x )不存在最小值，也不存在最大值，排除C ；对于D 选项，g (x )＝|sin x |≤1，g (x )存在最大值，故选D.答案 D16.(一题多解)设函数f (x )＝1＋x ＋1－ax ，记M (a )为f (x )的最大值，则M (a )的最小值为 Ｗ.解析 法一 由题知当a ≤0时，f (x )无最大值，故a >0.由定义域知0≤x ＋1≤1＋1a ，令aa ＋1(x ＋1)＝cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，代入f (x )＝1＋x ＋1－ax ，则有f (x )＝1＋aacos α＋1＋a sin α＝2＋1a ＋a ·sin(α＋θ)，其中tan θ＝1a，且a >0，所以M (a )＝2＋1a＋a ≥2(当且仅当a ＝1时取到等号).法二 由题知当a ≤0时，f (x )无最大值，故a >0，令导函数f ′(x )＝12·11＋x －12·a1－ax ＝0，得唯一极大值点x ＝1a－1，所以M (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1a＋a ≥2(当且仅当a ＝1时取到等号). 答案 217.已知函数f (x )＝lg(x ＋ax－2)，其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋ax＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }. (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数. 则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞). 18.a ∈R ，设函数f (x )＝x |x －a |－x . (1)若a ＝3，求函数f (x )的单调区间；(2)若a ≤0，对于任意的x ∈[0，t ]，不等式－1≤f (x )≤6恒成立，求实数t 的最大值及此时a 的值.解 (1)当a ＝3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x <3，x 2－4x ＝（x －2）2－4，x ≥3， 函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3). (2)当a ≤0，x ∈[0，t ]时，x ≥a 恒成立，故f (x )＝x 2－(a ＋1)x . ①当a ≤－1时，a ＋12≤0，f (x )在[0，t ]上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6，即 t 2－(a ＋1)t ≤6，解得0＜t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242.令m ＝－(a ＋1)≥0，h (m )＝m 2＋24－m2＝12m 2＋24＋m在[0，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (0)＝6，即当a ＝－1时，t max ＝ 6. ②当－1<a ≤0时，a ＋12＞0，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a ＋12上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋12，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12＝－（a ＋1）24∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0，满足f (x )min ≥－1.当0＜t ≤a ＋1≤1时，f (x )max ＝f (0)＝0，满足题意，此时t max ＝1，a ＝0； 当t ＞a ＋1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－(a ＋1)t ，由题意得f (x )max ≤6， 即t 2－(a ＋1)t ≤6，解得a ＋1＜t ≤（a ＋1）＋（a ＋1）2＋242.令m ＝a ＋1，则0＜m ≤1，h (m )=m ＋m 2＋242在(0，1］上单调递增，所以h (m )max ＝h (1)＝3， 即当a ＝0时，t max ＝3. 综上所述，t max ＝3，此时a ＝0.。
3.2.2 对数函数课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域.(1)y=log 2(x 2-4x-5);(2)y=log 3(9-x 2); (3)y=32x log ; (4)y=)34(log 5.0-x .思路分析：(1)(2)题,用y=log a x 的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=log a x 中的x 的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.解：(1)∵x 2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.∴y=log 2(x 2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R .(2)由9-x 2>0,得-3<x<3,∴y=log 3(9-x 2)的定义域为{x|-3<x<3}.又知0<9-x 2≤9且y=log 3x 是增函数,∴y=log 3(9-x 2)≤log 39=2.∴y=log 3(9-x 2)的值域为(-∞,2］.(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,∴所求定义域是{x|x>0},值域为R .(4)要使函数y=)34(log 5.0-x 有意义,必须log 0.5(4x-3)≥0=log 0.51.∴0<4x -3≤1.∴43<x≤1. ∴所求定义域是{x|43<x≤1},值域为［0,+∞). 二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 310.3,log 20.8;(2)log a 5.1,log a 5.9;(3)log 67,log 76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.解：(1)由对数的性质,知 log 310.3>0,log 20.8<0,∴log 310.3>log 20.8.(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a 进行讨论.当a>1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9;当0<a<1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.(3)∵log 67>1,log 76<log 77=1,∴log 67>log 76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调区间.(1)证明:在(0,+∞)上任取x 1、x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(-log 51x 1)-(-log 51x 2)=log 51x 2-log 51x 1.又y=log 51x 在(0,+∞)上是减函数,有log 51x 2<log 51x 1, ∴log 51x 2-log 51x 1<0,即f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数.(2)解析：由x 2-1>0得x>1或x<-1,∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).令g(x)=x 2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减且f(x)=log 2x 为增函数.故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).温馨提示(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=log a x 的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x)=f ［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=log a (a-a x )(其中a>1),求它的定义域和值域.解析：根据题意a-a x >0,∴a x <a.又∵a>1,y=a x 是增函数,∴x<1.∵a x <a,且a x >0,0<a-a x <a,∴log a (a-a x )<1.∴函数y=log a (a-a x )的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.变式提升1求下列函数的定义域:(1)y=log 7x311 ;(2)y=)32lg(422-+-x x x ; (3)y=log (x+1)(16-4x). 解析：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-,031,0311x x 得x<31, ∴所求函数的定义域为{x|x<31}. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-+≥-.0)32lg(,032,04222x x x x x 即⎩⎨⎧±-≠-<≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-<-≤≥.51,63213213222x x x x x x x x x 或或或∴函数y=)32lg(422-+-x x x 的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-15-}. (3)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-.0,1,2,0,1,44110104162x x x x x x x x x 得∴y=log (x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1<x<2且x≠0}.类题演练2比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 213,log 513;(2)log 3π,log 20.8.解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=log 51x 的图象在y=log 21x 图象的上方, ∴log 513>log 213.(2)∵log 3π>log 31=0,log 20.8<log 21=0,∴log 3π>log 20.8.变式提升比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.解析：把lgm 看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm 进行讨论:当1>lgm>0,即1<m<10时,y=(lgm)x 在R 上是减函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x 在R 上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm )1.9<(lgm)2.1.类题演练3求函数f(x)=log 0.5(x 2-2x-3)的单调区间.解析：由x 2-2x-3>0得x>3或x<-1,令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.又f(x)=log0.5x是减函数,故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).变式提升3判断f(x)=log a(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0. 设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2). ∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.∴g(x1)>g(x2).又当a>1时,f(x)=log a x是增函数,∴f(x1)=log a g(x1)>log a g(x2)=f(x2).∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.同理可证,当0<a<1时,f(x)在(3,+∞)上是减函数.。
3.2.1 对数及其运算课堂探究探究一对数式与指数式的互化由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：10(2)log39＝2⇔32＝9；(3)log210＝x⇔2x＝10；(4)e3＝x⇔log e x＝3，即ln x＝3.答案：(1)lg 1 000＝3 (2)32＝9 (3)2x＝10 (4)ln x＝3探究二对数基本性质的应用1．对数恒等式a log a N＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．2．利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)log a x＝1⇔x＝a(a>0，且a≠1)．(2)log a x＝0⇔x＝1(a>0，且a≠1)．我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化．【典型例题2】(1)若log 3(lg x )＝1，则x ＝__________；(2)求值：4221(log 9log 5)2－＝__________.解析：(1)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3.∴x ＝103＝1 000. (2)原式＝2(log 29－log 25)＝22log 9log 522＝95. 答案：(1)1 000 (2) 95点评 在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如log a 1＝0，log a a ＝1，a log a M ＝M 等常用性质，另外要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验． 探究三 对数运算法则的应用对数运算法则的使用技巧及注意事项：1．“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log 24＋log 25＝log 220.2．“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，如log 295＝log 29－log 25. 3．各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0.4．注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则．5．要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义．【典型例题3】化简下列各式：(1)4lg2＋3lg5－lg 15；； (3)2log 32－log 3329＋log 38－55log 3. 思路分析：利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数．解：(1)原式＝lg 432515⨯＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4； (2)原式＝33lg 33lg 222lg 32lg 21+-+-＝()3lg321lg 212lg32lg 21+-+-＝32； (3)原式＝2log 32－(5log 32－2)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.点评 (1)注意对数运算法则的正用和逆用；(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等． 探究四 对数换底公式的应用1．应用换底公式表示已知对数的两个策略2．利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算．(2)常见的三种处理方式：①借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解．②借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值． ③利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率．【典型例题4】(1)计算lg12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 98的值； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.解：(1)原式＝lg 1525282⎛⎫÷⨯ ⎪⎝⎭－lg 9lg 8·lg 8lg 9＝lg10－1＝0. (2)方法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 18 5＝b .于是log 36 45＝1818log 45log 36＝()()1818log 95log 182⨯⨯＝81818log 9log 51log 2++＝18181log 9a b ++＝2a b a +-. 方法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝()18218log 9518log 9⨯＝18181818log 9log 52log 18log 9+-＝2a b a +-. 方法三：∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg18，lg 5＝b lg18.∴log 36 45＝lg 45lg 36＝()2lg 9518lg 9⨯＝lg 9lg 52lg18lg 9+-＝lg18lg182lg18lg18a b a +-＝2a b a +-. 点评 在解题过程中，根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用．探究五易错辨析易错点忽视底数的限制条件而致误【典型例题5】已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解：由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3.错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1.正解：由对数的性质，知22333030,31x x xx xx x⎧+=+⎪+⎨⎪++≠⎩ff且解得x＝1，故实数x的值为1.点评由对数的定义可知，对数log a N的底数a>0，且a≠1，真数N>0，因此我们在解题时一定要注意这些限制条件，如果忽视了这些条件，则很容易出错．。
学习目标 1.尝试将实际问题转化为函数模型.2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.3.会根据函数的增长差异选择函数模型．知识点一函数模型思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型．函数模型通常用来解释已有数据和预测．梳理一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表.类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50x B ．y ＝x 50C ．y ＝50xD ．y ＝log 50x (x ∈N ＋)答案 C解析 四个函数中，增长速度由慢到快依次是y ＝log 50x ，y ＝50x ，y ＝x 50，y ＝50x . (2)函数y ＝2x －x 2的大致图象为( )答案 A解析 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件． 反思与感悟 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x . 跟踪训练1 函数f (x )＝lg|x |x2的大致图象为( )答案 D解析 f (x )为偶函数，排除A 、B.当x ＞1时，y ＝lg|x |＝lg x ＞0，且增长速度小于y ＝x 2，所以随着x 的逐渐增大，lg|x |x 2越来越接近0且函数值为正数，故选D.类型二 函数模型应用 命题角度1 选择函数模型例2 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y 与售出商品的数量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数答案 D解析 四个函数中，A 的增长速度不变，B 、C 增长速度越来越快，其中C 增长速度比B 更快，D 增长速度越来越慢，故只有D 能反映y 与x 的关系．反思与感悟 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型．跟踪训练2 某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )答案 A命题角度2 用函数模型决策例3 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择： 甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息； 乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元) 解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86(万元)．故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利．反思与感悟 建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度．而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据．跟踪训练3 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N ＋)，旅游收费为y ，旅游原价为a . 甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a2(x ＋3)；乙旅行社收费：y ＝2a3(x ＋2)．∵2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a6(x －1)， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等． 当x ＞1时，甲旅行社更优惠．1．下列函数中随x 的增长而增长最快的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝2x答案 A2．能使不等式log 2x <x 2<2x 一定成立的x 的取值区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(4，＋∞)答案 D3．某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( ) A ．8℃ B ．78℃ C ．112℃ D ．18℃答案 B4．下面选项是四种生意预期的收益y 关于时间x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是( ) A ．y ＝10×1.05xB ．y ＝20＋x 1.5C ．y ＝30＋lg(x －1)D ．y ＝50 答案 A5．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg II 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( ) A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍 D ．ln 76倍答案 B解析 由题意，令70＝10lg I 1I 0，则有I 1＝I 0×107.同理得I 2＝I 0×106，所以I 1I 2＝10.1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型． (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型． (4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型． 2．函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．课时作业一、选择题1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x答案 B解析D增长速度不变，A、C增长速度越来越快，只有D符合题意．2．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x答案 D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a＞1时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a x＞x a＞log a x，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立．3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数．5．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系式为：P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为( ) A.12小时 B.59小时 C ．5小时 D ．10小时答案 C解析 由题意知前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k ，∴0.1＝e －5k ，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，∴－kt ＝ln 0.01，∴⎝⎛⎭⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10.∴至少还需要过滤5小时才可以排放． 6．向高为H 的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是( )答案 B解析 水深h 为自变量，随着h 增大，A 中V 增长速度越来越快，C 中先慢后快，D 增长速度不变，只有B 中V 增长速度越来越慢． 二、填空题7．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为________双． 答案 800解析 要使该厂不亏本，只需10x －y ≥0， 即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800.8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000. ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，从而Mm＝e 6－1. 9．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只． 答案 300解析 把x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得a ＝100，故函数关系式为y ＝100log 2(x ＋1)， 所以当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只．10．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________． 答案 y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋解析 已知本金为a 元，利率为r ，则1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )， 2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2， 3期后本利和为y ＝a (1＋r )3，…x 期后本利和为y ＝a (1＋r )x ，x ∈N ＋. 三、解答题11．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤几次．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解 设原有杂质为a ，经过x 次过滤后杂质为y ，则y ＝a ×(1－20%)x ＝a 0.8x . 由题意得ya<5%，即0.8x <5%，所以x lg 0.8<lg 0.05，即x >lg 0.05lg 0.8≈13.4，因此至少需要经过14次过滤才能使水中杂质减少到原来的5%以下．12．某企业生产A ，B 两种产品．根据市场调查与市场预测知A 产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示．(注：图中的横坐标表示投资金额，单位为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产．问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润为多少万元？解 (1)设投资了x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题意知f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝k 2x (k 2≠0)． 由题图可知f (2)＝1，所以k 1＝12，由g (4)＝4，得k 2＝2.故f (x )＝12x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元． 设企业利润为y 万元， 则y ＝f (x )＋g (10－x )＝12x ＋210－x (0≤x ≤10)．令10－x ＝t ，则y ＝10－t 22＋2t ＝－12(t －2)2＋7(0≤t ≤10)．当t ＝2时，y max ＝7，此时x ＝10－4＝6.所以当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为7万元． 13．某纪念章从2015年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单元：天)的数据如下：(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③y ＝a log b x . (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．解 (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ＝ax ＋b 和y ＝a log b x 显然都是单调函数，不满足题意，∴函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系． (2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝90，100a ＋10b ＋c ＝51，1 296a ＋36b ＋c ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26.∴当x ＝20时，y 有最小值26.故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元． 四、探究与拓展14．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高 B ．乙食堂的营业额较高 C ．甲、乙两食堂的营业额相同11 D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a ＞0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m (m ＋8a )，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2＞0，所以y 1＞y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．15．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元．假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润，生产成本(a 元)与饼干质量成正比，包装成本(b 元)与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试求出该种饼干1 000克装的合理售价． 解 设饼干的质量为x 克，则其售价y (元)与质量x (克)之间的函数解析式为y ＝(mx ＋n x )(1＋0.2)，由题意得1.6＝(100m ＋100n )(1＋0.2)，即43＝100m ＋10n . 又3＝(200m ＋200n )(1＋0.2)．即2.5≈200m ＋14.14n ，∴0.167≈5.86n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≈0.028 4，m ≈1.05×10－2， ∴y ≈(1.05×10－2x ＋0.028 4x )×1.2，当x ＝1 000时，y ≈13.7.∴估计这种饼干1 000克装的售价为13.7元．。
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1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
