1.2.6一元二次方程根的情况-江苏省新沂市钟吾中学苏科版九年级数学上册导学案

第5课时一元二次方程的解法一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程重点：一元二次方程根与系数的关系难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值二、知识准备1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）当240b ac -≥时，X 1,2 =2、运用公式法解下例方程：（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 （3） x 2+3x+5=0三、学习内容1、情境创设1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x 2＋2x －8 = 0 ⑵x 2 = 4x －4 ⑶x 2－3x = －32、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？3、解下列方程：⑴x 2＋x －1 = 0 ⑵x 2－23x ＋3 = 0 ⑶ 2x 2－2x ＋1 = 04、通过解上述方程你能得出什么结论？探索一元二次方程的根的情况与b 2－4ac 的符号有什么关系？四、知识梳理1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）有两个不相等的实数根时，b 2－4ac有两个相等的实数根时， b 2－4ac没有实数根时，b 2－4ac2、反过来呢？3、方程的根与系数又有怎样的关系？五、达标检测1、不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2260x x +-=；（2）242x x +=；（3）x x 3142-=+（4）3x 2－x ＋1 = 3x （5）5（x 2＋1）= 7x （6）3x 2－43x =－4 2、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac=，所以方程的根的情况是.3、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定4、下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x 2=9B.4x 2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y 2+6y+7=05、方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b 2-4ac ＞0B. b 2-4ac ＜0C. b 2-4ac ≤0D. b 2-4ac ≥06、如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=.7、关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k =. 8、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m=,n=.9、若关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个相等的实数根，则m 满足___________。

教学目标:(1) 使学生能通过具体问题探求并掌握二次根式的性质：2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2) 会用二次根式的性质进行根式的化简.． (3) 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法。

教学重点：二次根式的性质的掌握.教学难点：二次根式的性质的应用.．教学方法：讨论法教学过程：一.情景创设1.在化简2(4)-时,李明同学的解答过程是22(4)44-==;张后同学的解答过程是2(4)4-=-. 谁的解答正确?为什么? 2．2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ ？ 二、探索活动1．请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律,再和同学们进行交流.2222242;(2)42;393;(3)93==-====-==; ……2．发现：当a ≥0时，2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ a,当a ＜0,2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ - a 3．明确 师生共同归纳可得:2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩4．比较2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩与()2a 的区别 三、实际应用，巩固新知1．尝试练习：（1）=4 __ （2）=-2)5.1( （3）=-2)1(x ____ （x ≥1）2．讨论. :⑴化简2)3(π-=____⑵求使2)3(-x = 3－x 成立的条件________⑶(a )2=2a 成立的条件________四、练习1.P 60 练习 1，22. 口答：（1）=25 （2）=-2)7( （3）94（4）=+-442x x （x ≤2） 五）拓展与延伸（1）．若b b -=-3)3(2+b=3，则（ ）A ．b>3B ．b<3C ．b ≥3D ．b ≤3（2）．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2（3）．已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a+1)2＋2(b-1)2 -|a-b| （4）．若2＜x ＜3，化简x x -+-3)2(2（5）已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+（6）、请你观察思考下列计算过程：∵121112= ∴11121= ∵123211112=∴11112321=因此猜想76543211234567898＝ 。

钟吾中学九年级（上）数学导学案（13 ）课题 一元二次方程小结与思考2课型 新授 章节 1学生活动教学补充学习目标：1.能够熟练解方程2.在用方程解决实际问题的过程中，提高抽象、概括、分析问题的能力。

一、思想方法的考查 1、待定系数法如果一元二次方程x 2＋ax ＋b= 0的两个根是0和—2，则a= 2 ；b= 0 。

2、换元法用换元法解分式方程21221x xx x --=-时，如果设21x y x-=，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是 ．3、整体法：(1) 已知ｍ是方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于 （ A ）A 、１B 、－１C 、0D 、2(2) 若（x+y ）(1-x-y)+6=0. 则x+y 的值为__3、-2__。

（3）()()010322222=-+-+y x y x ,则=+22y x ______5___。

应用数学思想及方法解决问题y 2-2y-1= 0把x+y 看作一个整体把x 2+y 2看作一个整体，注意取舍4、分类讨论（1）关于x 的方程．．2(2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根，求k 的取值范围。

（2）若等腰△ABC 的一边长为5a =，另两边长b 、c 恰好是方程2(21)60x k x k -++= 的两个根。

求△ABC 的周长和面积。

二、应用题考查例1、有n 支球队参加排球联赛，每对与其余各队比赛2场。

如果联赛的总场次是132，问共有多少支球队参加联赛？类似问题小结：（1）三（6）班共有n 名学生，共握手_n(n-1)÷2_次；（2）三（6）班共有n 名学生，互赠贺卡，共有_______n(n-1)_____张贺卡。

（3）n 个任意三点不在同一直线上的点共可作____n(n-1)÷2___条直线。

跟踪训练：在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了45次手，问参加这次聚会的人数是多少？例2、把一根长为80cm 的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形。

一、教学目标：1、知识目标：经历探究将一般的一元二次方程化为（x＋m）2= n（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义。

2、能力目标：会用配方法解一元二次方程。

3、情感目标：体会转化的思想方法。

二、教学重点：会用配方法解一元二次方程三、教学难点：不能直接开平方解一元二次方程转时，借助于配方法来解。

四、教学类型：新授。

五、教学过程：（一）、情境创设1、填空。

（在横线上填上适当的数，使之成为完全平方）⑴2x＋8x＋_____＝（x＋_____）2 ⑵2x－5x＋_____＝（x－_____）2思考：添上一个什么数，可化为完全平方？2、解一元二次方程（x＋3）2 = 5思考：如何解方程x2＋6x＋4 = 0呢?（二）探索活动2我们能否将方程x2＋6x＋4 = 0转化为（x＋m）2= n的形式呢？先将常数项移到方程的右边，得x2＋6x = －4即 x2＋2·x·3 = －4在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得x2＋2·x·3 ＋32 = －4＋32（x＋3）2 = 5解这个方程，得 x＋3 = ±5所以 x1 = ―3＋5 x2 = ―5（注：可以多举几例，综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论）由此可见，在左边不能直接变形为完全平方式时，只要加上一次项系数一半的平方，就可以配成完全平方式，然后就可以把它变形为（x＋m）2=n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

（三）例题教学1：例1、解下列方程：（1）x2＋3x－1 = 0 （2） 3 x2＋8x＋1 = 0小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、方程两边同时除以二次项系数；2、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；4、利用直接开平方法解之。

练习1、用配方法解下列方程：（1）x 2－4x ＋3 = 0 （2）－3 x 2＋4x ＋1 = 0 （3）281030x x --= 例2、将下列各式进行配方：⑴22x ＋8x ＋_____＝2（x ＋_____）2⑵32x －5x ＋_____＝3（x －_____）2例3、用配方法说明：对于任意实数x ，3x 2+2x-2的值不小于37-。

一元二次方程及其解法（直接开平方法）一、 做一做：1．问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.3．思考、讨论：这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点：（1）__________________________;（2）__________________________;（3）__________________________。

二、 一元二次方程的概念：上述两个整式方程中都只含有____________，并且未知数的____________，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。

其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

.三、 例题讲解与练习巩固1．例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x2．例2：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：1）y y =26 2）（x-2）(x+3)=8 3）2)2()43)(3(+=-+x x x3．例3： 方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4．例4：已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。

5．练习：1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4()()()()2311222-+=+--y y y y 2、关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？3、课本第81页练习四、思考：如何解方程022=-x 呢？思考：形如())0(2≥=+k k h x 的方程的解法。

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一元二次方程求根公式的推导创新是一个学生学习数学的灵魂，是学业成绩不断提高的不竭动力．因此，同学们在数学学习的过程中，要 怀疑权威—-书本和老师,不人云亦云．敢于对同一个问题要另辟途径,探求问题的存在规律，只有这样，我们的数学发展水平才能不断提高．比如，我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的，即：对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0）(1)方程两边同除以a 得：x 2+a b x+ac =0 （2)将常数项移到方程的右边得：x 2+a b x=﹣ac (3）方程两边同时加上（a b 2）2得：x 2+a b x+（a b 2)2=(a b 2）2﹣ac (4)左边写成完全平方式,右边通分得：（x +a b 2)2=2244aac b - 由a≠0得，4 a 2＞0，所以,当b 2－4ac≥0时，2244a ac b -≥0， 所以，x=aac b b 242-±- 除了上述推导方法外,不知道同学们是否思考过：还有其他方法吗？多思出智慧，多练出成绩．我们也可以这样推导：方法1:ax 2+bx+c=0(a≠0）方程两边同乘以4a 得：4 a 2x 2+4abx+4ac=0方程两边同时加上b 2得：4 a 2x 2+4abx+4ac+b 2=b 2把4ac 移到方程的右边得：4 a 2x 2+4abx+ b 2=b 2－4ac将左边写成完全平方式得：(2ax+b ）2= b 2－4ac当b 2－4ac≥0时，有： 2ax+b=±ac b 42-所以，2ax=﹣b±ac b 42-因为,a≠0所以，x=aac b b 242-±- 方法2:ax 2+bx+c=0（a≠0）移项得：ax 2+bx=﹣c方程两边同乘以a 得：a 2x 2+abx=﹣ac 方程两边同时加上（2b ）2得：a 2x 2+abx+（2b ）2=(2b )2﹣ac 整理得：(ax+2b )2=42b ﹣ac 即：(ax+2b ）2=442ac b - 当b 2－4ac≥0时, ax+2b =±242ac b - 即：x=a ac b b 242-±- 同学们，没有做不到,只怕想不到．对于任何问题，大家都要想一想：这个问题还有其他的解法吗？问题都可以得到圆满的解决．。

新苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》小结导学案一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程的概念（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

2、降次——解一元二次方程（1）直接开平方法（2）配方法①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。

（3）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•将a、b、c代入求根公式x=a2ac 4bb2-±-（b2-4ac≥0）就得到方程的根．（4）分解因式法：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。

（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：①⊿=b 2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；②⊿=b 2－4ac =0 方程有两个相等实数根；③⊿=b 2－4ac ＜0 方程没有实数根；④⊿=b 2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：①不解方程，判别方程根的情况；②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a ≠0。

*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ， 那么ac x x a b x x =-=+2121, （2）应用：①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到：2122122212)(x x x x x x -+=+212212214)()(x x x x x x -+=-()|a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0，两根互为相反数；当⊿≥0且21x x =1，两根互为倒数。

钟吾中学九年级（上）数学导学案（1）课题一元二次方程课型新授章节 1.1学生活动教学补充【导预疑学】(一)预学导航1.认识学习目标：（1）通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步使学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型。

（2）通过观察归纳一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式。

2.把握学习重点：（1）对一元二次方程概念的理解（2）灵活运用一元二次方程概念解题（二）预学成果预习作业：阅读书本P80-81，回答下列问题1．像这样，只，且的整式方程叫做一元二次方程。

2．关于x的一元二次方程的一般形式是：。

其中叫做二次项．叫一次项．叫做常数项。

a叫做，b叫做。

注意：一元二次方程的一般形式中二次项系数a ≠0不能漏。

预学质疑：通过本节课的预习，你对一元二次方程的概念理解还有哪些疑惑？预学检测：1．一正方形桌面的面积是22m，求它的边长是多少？（列出方程即可）2．如图，矩形花园一面靠墙，另三面所围的栅栏的总长度是19m。

如果花园的面积是242m，求花园的长和宽。

（列出方程即可）上述问题所列方程是一元二次方程吗？提高学生自主学习的能力只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的ax2+bx+c=0(a≠0)ax2 :二次项bx :一次项c :常数项a叫做二次项系数，b叫做一次项系数x2=2设花园的宽为x(19-2x)x=24【导问研学】 问题一：如何识别一元二次方程？ 活动： 下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程。

（1）0122=+x （2）02=++c bx ax （3）02112=-+x x（4）1222-=+x x x （5）3)1(22=+x 问题二：如何将一元二次方程化为一般形式，并准确说出二次项系数．一次项系数和常数项？ 活动：将下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并分别指出他们的二次项系数．一次项系数和常数项。

（1）222=-x x （2）214x x =+ (3)1322+-=x x （4）2)3(-=+x x 问题三：如何确定方程中字母的取值？ 活动：k 为何值时，关于x 的方程03)1()1(22=--+-x k x k ： （1）是一元二次方程？ （2）是一元一次方程？【导法慧学】 1．一元二次方程与一元一次方程联系是什么？2．一元二次方程的认识的关键是什么？师生共同分析学生板演关于x 的一元二次方程(1) (5)(1) x 2-2x-2=0a=1 b=-2 c=-2(2) x 2-4x-1=0 a=1 b=-4 c=-1(3)2x 2+3x-1=0a=2 b=3 c=-1(4)x 2+3x+2=0 a=1 b=3 c=2k ≠±1k=-1【导评促学】 1．把方程(21)(2)53x x x +-=-整理成一般形式后，得＿＿＿， 其中一次项系数为＿＿＿。

一元二次方程复习一、教学目标：1、能明确目前有几种常见的方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

2、能活用上述解法解一元二次方程。

二、教学重点：灵活运用各种一元二次方程的解法。

三、教学类型：习题课四、教学过程：1．到目前为止，我们学过的一元二次方程的解法有几种？直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法2．求一元二次方程的根的方法的选用（1）先看方程的形式，若形式上能用直接开平方，则用直接开平方解方程（如第3题中的（1）（2）两题）；若形式上能用因式分解法中的提公因式法，则用因式分解法中的提公因式法解方程（如第3题中的（3）题）。

注意：此时一般不去括号（2）若形式上不能使用以上两种方法，则有括号去括号，有分母去分母，化为一般式。

若化为一般式后，能用因式分解法（主要是十字相乘法），则优先选择用此种方法（如第3题中的（4）（5）（6）三题）；反之用求根公式法（如第3题中的（7）题）。

（3）若题中要求用配方法，则用配方法解方程，否则一般不用（如第3题中的（8）题）。

3．用适当的方法解下列方程：（1）036)12(42=-+x （2）0)1(9)12(422=--+x x（3） 63)2(2+=+x x （4）8)2(=+x x（5）3)27(-=-x x （6）1)2(-=-x x（7）4)2(=+x x （8）022212=--x x （用配方法）4．用适当的方法解下列方程：（1）08)13(212=--x （2）03)3(=+--x x x（3）6)5(-=+x x （4）21)67(=+x x（5）1)2(=+x x （6）08722=--x x （用配方法）（7）03)(2)(222=----x x x x （用换元法）5、拓展延伸（1）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t 2。

现有一铁球从离地面19.6m 高的建筑物顶部作自由下落，到达地面需要的时间是 。