2019-2020年高中数学 第三章 分期付款中的有关计算(1)教案

2019-2020学年高三数学复习分期付款中的有关计算（3）教学案旧人教版教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点：将实际问题转化为数学问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果教学过程：一、复习引入：研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析二、例题讲解例某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.（3）若1.28≈4.3，计算S（精确到1立方米）.分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，……成等差数列解：（1）设植树n年可将荒山全部绿化，则：100n+2)1(-nn×50=2200解之得n =8或n =－11（舍去）（2）1995年所植树，春季木材量为200 m 3，到2002年底木材量则增为200×1.28 m 3. 1996年所植树到2002年底木材量为300×1.27 m 3.……2002年所植树到年底木材量为900×1.2 m 3，则：到2002年底木材总量为： S =200×1.28+300×1.27+400×1.26+…+900×1.2 （m 3）（3）S =900×1.2+800×1.22+700×1.23+…+200×1.281.2S =900×1.22+800×1.23+…+300×1.28+200×1.29，两式相减得：0.2S =200×1.29+100（1.22+1.23+…+1.28）－900×1.2=200×1.29+100×12.1)12.1(2.172--－900×1.2=1812 ∴S =9060（m 3）三、练习：某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活)．(1)需几年可将此荒山全部绿化.(2)已知新植树苗每亩木材量为2ｍ3，树木每年的自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底木材总量为S ，求S 的最简表达式．选题意图：本题考查学生运用数列知识解决实际问题的能力．解：(1)设n 年可将荒山全部绿化 则3250502)1(100=⨯-+n n n 化简得n 2+3n -130=0, ∴n =10,n =-13(舍)．即10年可将荒山全部绿化．(2)由题意得：S =100×２×1.110＋150×２×1.19＋200×２×1.18＋…＋550×２×1.1即S ＝100（２×1.110＋３×1.19＋４×1.18＋…＋１１×1.1） ①∴1.1Ｓ＝100（２×1.111＋3×1.110＋４×1.19＋…＋１１×1.12） ②②-①得0.1Ｓ＝100（２×1.111＋1.110＋1.19＋…＋1.12－１１×1.1）]1.1111.11)1.11(1.11.1[10010211⨯---+=)1.1111.01.11.11.1(10021211⨯--+=＝100×1.111＋1000×1.112－1000×1.12－1000×1.12＝1000×1.112＋100×1.111－2000×1.12＝100×1.111（11＋１）—2420∴Ｓ＝12000×1.111－24200说明：第(1)题是等差数列求和，第(2)题是特殊数列求和，用“错位相减法”转化为等比数列求和．四、小结 解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。

第十一课时3.6.1 分期付款中的有关计算教学目标1．通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前n 项和公式的掌握；2．培养数学的应用意识.教学重点等差数列通项公式和前n 项和公式的应用教学难点利用等比数列有关知识解决实际问题.教学方法启发诱导教学过程(I)复习回顾师：近几天来，我们又学习了有关等比数列的下列知识：生：通项公式：)0,(111≠=-q a q a a n n前n 项和公式：)1(),1(11)1(111==≠--=--=q na S q qq a a q q a S n n n n (Ⅱ)讲授新课师：这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用，如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而 可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1．分期付款中规定每期所付款额相同。

2．每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金．例如：若月利率为0.8%，款 额a 元，过1个月增值为a(1+0.8%)＝1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+O.O08)＝1.0082a(元)3．各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和师：另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式．例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，第月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年货款全部付清时，其商品售价增值到了多少． 生：由于月利率为O.008，在购买商品后1个月时，该商品售价增值为： 5000(1+O.008)＝5000x1.O08(元)，出于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000x1.O08x(1+0.008)＝5000x1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000x1.00811x(1+O.008)＝5000x1.00812(元)师：我们再来看一看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何. 假定每期付款x 元.第1期付款(即购买商品后2个月)x 元时，过10个月即到款全部付清之时，则付款连同利息之和为：1.00810(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)x 元后，过8个月即到款全部付清之时，所付款连同利息之和为：1.O088 x(元)师：依此类推，可得第3，4，5，6，期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和． 生：可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.O086(元)，1.0084(元)，1.0082x(元)，x(元)师：如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.O084x+…1.O0810x ＝5000×1.O0812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)＝5000×1.O0812生：观其特点，可发现上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左边括弧是一个首 项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和．由此可得 1008.1)1008.1(008.15000008.15000008.11)008.1(11221212262--⨯⨯=⨯=--⋅x x 解之得x ≈880.8(元)即每次所付款额为880.8元,因此6次所付款额共为880.8×6＝5285(元)，它比一次 性付款多付285元．(Ⅲ)课堂练习生：选另一种方案作为练习，方案A ：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款．方案B ：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款．（Ⅳ）课时小结师：首先，将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识将问题解决，这是解决实际问题的基本步骤．(V ）课后作业一、熟练掌握解决分期付款问题的基本方法．二、1．预习内容：课本P 135-P 136。

《分期付款》教学设计一、教学目标：1、让学生了解有关分期付款的知识，体会分期付款在生活中的作用。

2、通过联系生活中的实际问题，让学生将一个分期付款为背景的实际问题转化为数学问题，会根据利率求利息额和本息款。

3、通过解决现实生活中的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。

4、通过有关分期付款问题的解决，了解不同分期付款的利于弊，增强学生应用数学的意识。

二、教学重点、难点：1、会根据利率求利息额和本息款。

2、根据实际情况，合理地选择付款方式。

赵老师购买的一套房子价值30万元，首付10万元，以后每年付一定的数额，十年或五年付清购房的全部款项，但每年付款的同时还要付一定的利息，剩余额20万元的付款方式有三种：①每年付2万元，十年后全部付清，从第1年到第10年利息依次是5％，10％，15％，20％，25％，30％，35％，40％，45％，50％。

请填表：共付利息元，以这种方式购房共花元。

②每年付4万元，5年后全部付清，从第一年到第五年，每年利息额依次是5％，10％，15％，20％，25％，填表。

共付利息元，以这种方式购房共花元。

③剩余款20万元十年后一次付清，同时还要付50％的利息，共付利息元，以这种方式购房共花元。

例 2赵老师准备买辆汽车，就向银行贷款了2.4万元，以后逐月归还贷款，偿还贷款的方式有以下几种：①每月还款2000元，一年还清，每月要付的利息依次是3％、3.5%、4%、4.5%、5％、5.5％、6％、6.5％、7％、7.5％、8％、8.5％。

请填表：共还利息元，本息共还元。

②每月还款4000元，半年还清，每月要付的利息依次是3％、3.5%、4%、4.5%、5％、5.5％。

请填表：共还利息元，本息共还元。

③一年后一次还清2.4万元，要付利息8.5％，共还利息元,本息共还元.试一试按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表。

800元以内不纳税800—1300元超过800至1300元的部分按5％纳税。

湘教版高中高二数学必修四《分期付款问题中的有关计算》说课稿一、引言大家好，今天我将为大家介绍《分期付款问题中的有关计算》这一章节的教学内容。

本章主要涉及分期付款的相关概念和计算方法。

通过本节课的学习，学生将能够理解分期付款问题的本质，并掌握相关的计算技巧。

二、知识点概述在这一章节中，我们将学习以下几个重要的知识点：1.分期付款的定义和基本概念；2.利息、贷款利率和年利率的关系；3.分期付款问题中的等额本金和等额本息还款方法。

三、教学目标通过本节课的学习，学生应能够达到以下几个方面的教学目标：1.理解分期付款的概念和基本原理；2.掌握计算分期付款利息的方法；3.理解贷款利率和年利率之间的关系；4.掌握等额本金和等额本息还款方法的计算。

四、教学重点本节课的教学重点主要包括以下几个方面：1.分期付款的概念和基本原理；2.分期付款利息的计算方法；3.贷款利率和年利率的关系。

本节课的教学难点主要包括以下几个方面：1.等额本金和等额本息还款方法的计算；2.贷款利率和年利率之间的转换。

六、教学过程1. 分期付款的概念和基本原理首先，我们先来理解分期付款的概念和基本原理。

分期付款是指将一个大额消费分成若干期进行付款，每期付款包括本金和利息。

在分期付款过程中，利息是根据贷款利率和还款周期计算得出的。

2. 分期付款利息的计算方法接下来，我们将学习分期付款利息的计算方法。

分期付款利息的计算公式为：“利息 = 本金× 贷款利率× 还款周期”。

这个公式可以帮助我们计算出每期的利息金额。

3. 贷款利率和年利率的关系在分期付款问题中，我们常常需要将贷款利率和年利率进行转换。

贷款利率和年利率之间的关系可以使用公式：“年利率 = 贷款利率× 还款周期”来表示。

4. 等额本金和等额本息还款方法的计算最后，我们将学习等额本金和等额本息还款方法的计算。

等额本金还款方法是指每期还款金额相同，但利息逐期递减。

研究性课题:分期付款中的有关计算江门市新会第一中学〔529100〕张泳华[教学目的]：1．要求学生会将一个以分期付款为背景的实际问题转化为数学问题。

2．培养学生的合作意识，探究意识，提高运用已学的数学知识分析问题和解决问题的能力。

[教学重点]：引导学生分析和解决实际问题[教学难点]：将实际问题转化为数学问题。

即数学的建模过程[教学方法]：学生自主探索，教师启发引导[教学手段]：多媒体辅助教学[教学过程]：一．创设问题情境，引入课题任务1：请你作一回“少年包青天〞小张借了一万块给小王，小王承诺6个月后分3次还清，然而两人在还款方案上出现分歧，以下是他们各自的还款方案，试判断两个方案是否公平？方案1：小王认为，自己借了小张10000元，分3次还清，为公平起见就取平均数，也就是说，每次还给小张10000元，约为3333.3元。

3方案2：小张认为，自己借给小王10000元，假设钱存在银行6个月后因增值为1000×〔1+0.008〕6≈10489.7(月利率为0.8%，每月利息按复利计算)，为公平起见就取平均数，也就是说，小王每次应该还1000016元，约为3496.57元。

3学生思考、做出选择。

〔这里采用了网上投票的方式，可以直观的得到选择的结果，并判断学生的认识情况〕教师引导分析：分析还款的情形，从而得出这一类问题解决的关键：经6个月后10000元2个月后4个月后6个月后x x x无利息个月利息个月利息如下列图，“公平〞的本质是1000元及其六个月的利息，与分期所还款额连同利息之和相等。

同时，指出贷款购物,分期付款已深入我们生活。

再用电脑展示从互联网通过一些搜索引擎，如以及等搜索的有关分期付款的信息，让学生认识到网络上相关知识的丰富性，同时也意识到所研究的问题源于生活实际〔引题后教师板书〕。

二、新课教学1．给出预备知识，引导学生探索表达公平的最正确方案假设购置一件售价为 10000元的商品，要求在 6个月内将款全部还清，月利率为 0.8%，分3次付款，那么每次付款多少元？〔1〕通过情境 1分析分期付款的情况和规定 在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 分期付款中规定每期所付款额相同分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移 而不断增值； 各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购置到最后一次付款时的利息之和2〕复习有关复利计息按复利计算利息的一种储蓄，本金为存期为x ，本利和y 随存期x 变化的函数式为：元，每期利率为r ，设本利和为y ，x 期后的本利和为 y=a 〔1+r 〕x〔3〕等比数列有关知识a nq定义式：an1通项公式：a na 1q n1前n 项和公式： a 1(1q n )a 1a n q S n1 q1q2．分析、归纳。

高一数学新编教材（试验修订本）编入了“研究性课题：分期付款中的计算”.它的出现，不仅是为了解决数列的应用问题，更重要的是我们转变传统的教学观念，改进原有的教学方法和方式.为此，对这一课题的教学，我们进行了大胆的尝试.这一课题具有探究性和应用性的特点，我们紧紧把握教材的这一特点，将教学过程分成四个部分实施.1.课堂探究［师］在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式出售.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清，同时，又提供了下表中的几种付款方案，供顾客选择.注：规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算.（此表可制作成投影片）下面我们对每期的付款额和付款总额进行探究，表中要求，每月利息按复利计算，复利计算是指什么？［生］是指上月的利息，要计入下月本金.［师］请以本金为a元，月利率为0.8%，说明复利计算的含义.［生］本金a元过一个月，就增值为a（1+0.008）=1.008a（元），再过一个月，本金由1.008a元，增值为1.0082a（元）等等.［师］若顾客选择付款方案2，每期应付款多少元？这是一个列方程解应用题的问题，每期应付款可设为x 元，那么到底以什么建立等量关系，布列方程呢？［生］由顾客的分期付款总额与商家的收款额相等列方程. ［师］顾客的分期付款总额怎么计算呢？ ［生］求每期付款额的和. ［师］是6x 吗？为什么？［生］不是，因为每期付款的x 元到款付清时，应增值.［师］为了好理解，我们可按第6期、第5期，…，第1期的顺序，去找每期付款x 元到款付清时的表达式.第6期付款（最后一次付款）为x 元，这时款全部付清，这x 元增值吗？为什么？［生］不增值，因为这x 元相当于银行即存即取.［师］第5期付款的x 元到款全部付清时，是否增值？表达式是什么？第4期，…，第1期呢？［生］第5期付款的x 元要增值，增值为x （1+0.008）2,第4期，…，第1期付款的x 元都要增值，分别增值为x （1+0.008）4,…,x （1+0.008）10.［师］到此，所需方程能列出吗？方程是什么？［生］能列出，方程是x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000.［师］所列方程正确吗？商品当时的售价为5000元，一年后这5000元是否还是5000元呢？正确方程是什么？［生］方程不正确，这5000元同样也应增值，增值为5000×1.00812（元）.正确方程是：x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000×1.00812.［师］观察上述方程，等号左边有何特点，方程怎么解？x 等于多少？［生］等号左边是一个首项为x ，公比为1.0082的等比数列前6项的和，由等比数列求和公式得；[]262008.11)008.1(1--x =5000×1.00812,解得x =1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯≈880.8（元）［师］经过上面的探究可知，顾客每次付款应为880.8元，6次所付款共为880.8×6≈5285元，它比一次性付款多付285元（将结果填入前面的表中）［师］表中还有两种付款方案，请第一、二两组同学采用方案1，第三、四两组同学采用方案3继续探究，每期付款额，付款总额及付款总额与一次性付款额的差各是多少元？［学生］（不一会儿得到结果）： 方案1：每期付款额x =1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯⨯≈1775.8（元）付款总额为1775.8×3≈5327（元），比一次性付款多付327（元） 方案3：每期付款额x =1008.1008.0008.150001212-⨯⨯≈438.6（元）付款总额为：438.6×12≈5263（元），比一次性付款多付263（元）.［师］下面我们再对一般性问题进行探究.购买一件售价为a 元的商品，采用上述分期付款时，要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n （n 是m 的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是多少？由同学们推导得出每次付款额x 的计算公式x =1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++mn mmp p p a［师］上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题？［生］（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期的付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额到款全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等，是列方程的依据.2.社会调查课堂上，我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究，明白了分期付款是怎么一回事，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法，等等.分期付款这种运作方式在今天的商业活动中，应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算等等.要求同学们带着这些问题，根据自己的兴趣和研究对象组成了若干小组，走出课堂调查.有的小组来到了电脑专卖店，有的小组来到了商品房售房处，有的小组来到了银行，有的小组来到了保险公司，…，通过走访询问，现场考察，索取商家资料等.同学们获得了大量分期付款的信息资料.如“调查购房”小组获得了购房的各种办法，付款的多种方式，比较方案优劣的鉴别方法等资料；又如“调查购电脑”小组，先后走访了一些电脑城，获得了各商家的销售办法，分期付款的方式及付款的计算公式等.再如综合调查小组进行综合调查，获得了带有共性的销售办法，付款方式及计算公式等资料.通过社会调查，同学们学到了课本上学不到的知识，得到了从老师那里得不到的办法.3.信息处理各调查小组的信息自我处理详细情况（略）.4.成果展示各调查小组将信息材料提炼、探究、处理后的成果，写出调查报告，输入软盘，借用多媒体，以小组为单位，选定1～2人在全班边讲解边演示，生动地介绍了调查的基本情况、实用性分析、数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果，有待进一步探究的问题，在展示中允许学生提问，并由调查组的同学回答所提出的问题.最后教师总结，充分肯定学生的亲身体验和探究得到的成果，并指出今后努力的方向.摘自《中学数学》。

分期付款中的有关计算课题：分期付款中的有关计算（一）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什2．基本公式：1.等差数列的前n项和公式：n(a1+an)n(n-1)dSn=， Sn=na1+ 222．等比数列的前n项和公式：a1(1-qn)a-anq 当q≠1时，Sn= ① 或Sn=1 ② 1-q1-q当q=1时，Sn=na1特殊数列求和－－常用数列的前n项和：1+2+3+ +n=n(n+1) 21+3+5+ +(2n-1)=n2n(n+1)(2n+1) 6n(n+1)213+23+33+ +n3=[] 23．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法 12+22+32+ +n2=二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款；⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款；⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设为2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？ 22. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)=x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x， 1224681010000⨯1.0112⨯(1.012-1)解得x=＝1785.86 1.0112-15．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,m⎡⎤a(1+p)⎢(1+p)n-1⎥⎣⎦每月还款x元,月利率为p,则x= (1+p)m-1m6．验证并使用模型：10000⨯1.0112⨯(1.01-1)方案2中，x=＝888.49 121.01-112410000⨯1.01⨯(1.01-1)＝3607.62 方案3中，x=1.0112-17．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法; 研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。

芯衣州星海市涌泉学校分期付款教学目的1．通过分期付款中的有关计算稳固等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握；2．培养数学的应用意识.教学重点等比数列通项公式和前n项和公式的应用教学难点利用等比数列有关知识解决实际问题.教学过程1、讲授新课师：这节课我们一一共同来探究一下它在实际生活中的应用，如今，在社会主义场经济的调节之下，促销方式越来越灵敏，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购置一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵敏，可以一次性付款，也可以分期付款首先我们来理解一下何为分期付款也就是说，购置商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，详细分期付款时，有如下规定：(1)．分期付款中规定每期所付款额一样。

(2)．每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金．例如：假设月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)＝1.008a(元)，再过1个月那么又要增值为1.008a(1+O.O08)＝1.0082a(元)复利的计算银行按规定在一定时间是是结算利息一次,结息后即将利息并入本金,这种计算利息的方法叫做复利.复利的计算公式:其中a为本金,r为利率,n为存期.〔3〕各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购置到最后一次付款时的利息之和。

2、模型贷款为a 元,月利率为r,分n 个月还清.求每个月的还款额数。

设每次还款x 元,每次还款后欠款余额所组成的数列记为{an},那么有:令an=0另一思路：到贷款付清时,a 元贷款的本金与它的利息之和是多少呢每期还x 元.各期所付款额到贷款全部付清时也会产生利息(同样按月以复利计算).各月所付款与它的利息之和是多少呢 各月所付款额与它的利息之和第一次还x 元 第二次还x 元 第三次还x 元································ 第n-1次还x 元 第n 次还x 元根据到期归还贷款的含义,即各月所付款额连同到贷款付清时所生利息之和,等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和,计算每月应付款额.3、案例〔1〕某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算).假设贷款10000元,两年还清,月利率为0.4575%,那么每月应还多少钱呢1a a(1r)x=+-················ n n 1n 2a(1r)x(1r)x(1r)x(1r)x--+=+++++++na(1r)+n 1x(1r)-+n 2x(1r)-+n 3x(1r)-+x(1r)+x2n 1n x x(1r)x(1r)x(1r)a(1r)-+++++++=+〔2〕以贷款人民币10万元为例计算个人住房按揭贷款单位：元4、分组练习：方案A：分12次付清，即购置后1个月第一次付款，再过1个月第2次付款…购置后12个月第12次付款．方案B：分3次付清，即购置后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款．解：方案A方案B5、课时小结将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识将问题解决，这是解决实际问题的根本步骤．。

高中数学：数列在分期付款中的应用教案北师大版必修一、教学目标1. 让学生理解数列的概念，掌握数列的基本性质。

2. 让学生掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

3. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，如分期付款问题。

二、教学内容1. 数列的概念和基本性质。

2. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

3. 分期付款问题的数列模型。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，分期付款问题的数列模型。

2. 教学难点：分期付款问题的数列模型的建立和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数列的规律。

2. 运用多媒体辅助教学，直观展示数列的图像和性质。

3. 通过例题和练习，让学生巩固数列知识，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入：讲解数列的概念，通过生活中的分期付款实例引入数列模型。

2. 讲解数列的基本性质，如递增、递减等。

3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

4. 讲解分期付款问题的数列模型，引导学生从实际问题中建立数列模型。

5. 运用例题和练习，让学生巩固数列知识，提高解决问题的能力。

6. 总结本节课的主要内容和知识点，布置课后作业。

六、教学策略1. 案例分析：分析实际生活中的分期付款案例，让学生了解数列在分期付款中的应用。

2. 数列图表示：利用数列图表示分期付款的每一期还款额，帮助学生直观理解。

3. 分组讨论：让学生分组讨论分期付款问题的数列模型，促进学生之间的交流与合作。

七、教学步骤1. 数列概念讲解：详细讲解数列的概念，让学生理解数列的定义和特点。

2. 分期付款案例分析：分析具体分期付款案例，引导学生发现数列模型的规律。

3. 等差数列通项公式讲解：讲解等差数列的通项公式，让学生掌握等差数列的计算方法。

4. 等比数列通项公式讲解：讲解等比数列的通项公式，让学生掌握等比数列的计算方法。

5. 分期付款数列模型建立：引导学生根据分期付款案例建立数列模型，培养学生解决实际问题的能力。