2020-2021学年北师大版初二数学上册难点突破02 勾股定理求最短路径长度问题(含解析)

北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习勾股定理（提高）【学习目标】1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以． 要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3． 与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【典型例题】 类型一、与勾股定理有关的证明 1、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上的点，求证：【答案与解析】证明：作等腰三角形底边上的高AE∵AB=AC ，AE ⊥BC∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°∴222222()()AD AB AE DE AE BE -=+-+2222AE DE AE BE =+--22DE BE =- ()()DE BE DE BE =+-BD CD =【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．类型二、与勾股定理有关的线段长2、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE 丄DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．【答案与解析】解：连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点，∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB与△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，则BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．举一反三：【变式】（2015春•天津校级期中）如图，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的长．【答案】解：∵PA⊥OA，∠C=30°，∴PC=2PA=4，∴BC=BP+PC=11+4=15，∵PB⊥OB，∠C=30°，设OB=x，则OC=2x，在Rt△BOC中，由勾股定理得：x2+152=（2x）2，解得，x=53，即OB=53，∴OP===14．类型三、与勾股定理有关的面积计算3、（2015•丰台区二模）问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积；思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．【思路点拨】（1）根据图形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3=4.5，故答案为：4.5；（2）如图2的△MNP，S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1=7，即△MNP的面积是7．【总结升华】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．举一反三：【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是（）A．17B．36C．77D．94【答案】C类型四、利用勾股定理解决实际问题4、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA ′=20米，BC ′==15（米），则：CC ′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键． 举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是15cm ．。

第一章勾股定理1. 探索勾股定理课题：探索勾股定理教学目标1、知识与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2、过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．3、情感态度与价值观在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．教学重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点：勾股定理的发现教学准备：多媒体课件三、教学过程第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ． 方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ． （4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2.3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力. 第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程） 练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？弦股勾?225100x1517意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容： 教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1．教科书习题1.1.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进a bcabc一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．五、教学设计反思（一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．。

专题一勾股定理【知识网络】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF＝45°，求证：222AE BF EF +=.解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°．∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF＝EF′．在Rt△AEF′中，222AE F A F E ''+=，∴222AE BF EF +=．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：222BD AB BC =+.解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A 转至点C．点B 转至点E，连结BE．∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE 为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴222BC AB BD +=2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8又∵PB 2=1，BE 2=9∴PE 2+PB 2=BE 2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M 是△ABC 内部任意一点，于G ，于K ，于，BD=BE ，CE=CF ，求证：AD=AF ．图１图２(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM∵AB ⊥DM ∴○1∵∴○2∵∴○3把○1○2○3三式相加，得222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴△GAB ≌△HCG∴∠GAB=∠H ，AB=CH又∵AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴△ABG ≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a a AF a =+=+==∴又544a HF CH CF a a =+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC 的底边BC=20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD=16cm ，BD=12cm ，求△ABC 的周长.解：∵BC=20cm ，CD=16cm ，BD=12cm ，∴BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD ，在Rt △ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD)2=AD 2+162，解得AD=143，故△ABC 的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵点G、A 关于直线CD 对称，∴AI＝GI，AE＝GE．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角形GHB 中，∵GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴GB＝1000，即最短路程为1000米．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，即最短距离EP＋BP 也就是ED．∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，∴AD＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=．∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）．由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【巩固练习】一.选择题1.在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C；【解析】连接AC，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.3．在下列说法中是错误的（）A．在△ABC 中，∠C＝∠A 一∠B，则△ABC 为直角三角形．B．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形．C．在△ABC 中，若35a c =，45b c =，则△ABC 为直角三角形．D．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形．【答案】D；【解析】D 选项222224+≠，故不是直角三角形.4．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）A ．2900mB ．1200mC ．1300mD ．1700m 【答案】C；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（）A．ab =h 2B．a 2+b 2=h 2C．111a b h+=D．222111a b h +=【答案】D；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2=222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=．6．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于()A.25B.325C.2197D.405【答案】B；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325.7.已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（）A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+【答案】B；【解析】()()22141m m m -+=+.8.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）A.90B.100C.110D.121【答案】C；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．二.填空题9.如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．【答案】6；【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为直角三角形．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．【答案】3；【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD＝x，则DE＝BD＝x，AE＝AB＝6，CE＝4，CD＝8－x，在Rt△CDE中根据勾股定理列方程．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．【答案】14或4；【解析】当△ABC是锐角三角形时，BC＝9＋5＝14；当△ABC是钝角三角形时，BC＝9－5＝4. 12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP 的最小值是cm．【答案】5【解析】作E点关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP的最小值5.13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14BC，∴AC=4cm，PC=34BC=3cm，根据两点之间线段最短，AP=5.14．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为1米，∠B=90°，BC=4米，AC=8米，当正方形DEFH 运动到什么位置时，即当AE=米时，有DC 2=AE 2+BC 2．【解析】连接CD ，假设AE=x ，可得EC=8﹣x ．∵DE=1，∴DC 2=DE 2+EC 2=1+（8﹣x ）2，AE 2+BC 2=x 2+16，∵DC 2=AE 2+BC 2，∴1+（8﹣x ）2=x 2+16，x =4916.15.已知长方形OABC，点A、C 的坐标分别为OA=10，OC=4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．【答案】3，2，8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.16.如图所示，在△ABC 中，AB＝5，AC＝13，BC 边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.【答案】90°；【解析】延长AD 到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD．∴CM＝AB＝5AM＝2AD＝12在△ACM 中22251213+=即222CM AM AC +=∴∠AMC＝∠BAD=90°三.解答题17.如图所示，已知D、E、F 分别是△ABC 中BC、AB、AC 边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BD CD =，求：△ABC 的面积．【解析】解：∵32BD CD =，设BD＝3x ，则CD＝2x ，由AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，即AF＝3－2x ，AE＝4－3x ，∴3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴BC＝3x ＋2x ＝5又∵222345+=，即222AC AB BC +=∴△ABC 是直角三角形，∠A＝90°．∴1143622ABC S AB AC ==⨯⨯= △18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直．解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵BC=8cm ，∴BD=CD=BC=4cm ，∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ，∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ，∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19.有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ,①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，且与AB 重合,则CD ＝_________.图1图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，使点C 落在AB 中点H 上，点M、N 分别在AC、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.解：①3；②2AM ＋2BN ＝2MN证明：过点B 作BP∥AC 交MH 延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH 在△AMH 和△BPH 中∠A＝∠PBHAH＝BH ∠AHM＝∠BHP ∴△AMH≌△BPH ∴AM＝BP，MH＝PH 又∵NH⊥MP ∴MN＝NP∵BP∥AC，∠C＝90︒∴∠NBP＝90︒∴222NP BNBP =+∴2AM ＋2BN ＝2MN20.如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB＝6cm ，CD＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）；位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长；（2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC、AD 边的长．解：（1）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，BC＝x ，∴在图2中，AC＝BC－AB＝x －6，AD＝AC＋CD＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵在四边形ABCD 转动的过程中，BC、AD 边的长度始终保持不变，∴在图3中，BC＝x ，AC＝AB＋BC＝6＋x ，AD＝x ＋9．在△ACD 中，∠C＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得x ＝30．即BC＝30．∴AD＝39．【课后练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m【答案】C；2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为()A.15B.16C.17D.18【答案】C；【解析】距离为222815289AB =+=,AB=173.放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若两人行走的速度都是40m/min ，小红用15min到家，小颖用20min 到家，则小红和小颖家的距离为（）A.600mB.800mC.1000mD.不能确定【答案】C；【解析】OA=40×20=800m ，OB=40×15=600m ，在直角△OAB 中，AB=1000m .4.如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6B．12C．24D．30【答案】A；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5．下列三角形中，是直角三角形的是()A.三角形的三边满足关系a b c +=B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，41【答案】D；6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要()A.450a 元B.225a 元C.150a 元D.300a 元【答案】C；【解析】作高，求得高为15m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC 是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【答案】A；【解析】AC 2＝13，AB 2＝52，BC 2＝65，满足勾股定理.8.已知，如图长方形ABCD 中，AB＝3cm ，AD＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmB.42cmC.62cmD.122cm【答案】C；【解析】设AE＝x ，则DE＝BE＝9－x ，在Rt△ABE 中，.二.填空题9.根据下图中的数据，确定A=，B=，x=．【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可．10．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．【答案】8；11．如图，B，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．【答案】30；12．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132.13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是162cm ，则其中最大的正方形的边长为______cm ．【答案】4；【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.14．如图，平面上A、B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C 处有食物，已知点C 在A 的东南方向，在B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B 两地出发爬向C 处，速度都是30cm ／min.结果甲蚂蚁用了2min，乙蚂蚁2分40秒到达C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm .【解析】依题知AC＝60cm ，BC＝80cm ，∴AB 2＝602+802＝1002，AB=100cm ．15.小明要把一根长为70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm 的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．16．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．【答案】81；三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得：()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为：21346962x x x ⨯⨯==.18．如图，两个村庄A、B 在河CD 的同侧，A、B 两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．解：作A 点关于CD 的对称点A′，连结A′B，与CD 交点为O．222223(13)255A B A E BE A B ''=+=++='=所以铺设水管的总费用W 为20000×5＝100000＝10万元.19．如图，△ABC 中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB 到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD 的长．解：设BD＝x ，则CD＝30－x ．在Rt△ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++，解得x ＝5．所以BD＝5.20.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B '为CD 边上的点，C B '＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD，BC 边交于点M，N．求BN 的长.解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称，∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．∵正方形ABCD ，∴o 90C ∠=．∴222CN B C B N ''+=．∵C B '＝3∴222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN =.21.综合与实践21。

八年级数学上册《探索勾股定理》知识点
北师大版
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点北师大版
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的
逆命题。

(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：
∠C=90° ∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°
可表示如下：BC= AB ∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示为： CD= AB=BD=AD
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边
上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

《勾股定理的应用》教学设计巨家中学崔盼丽一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、并能对一些空间图形进行展开．由于学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第３节．具体内容是运用勾股定理解决简单的实际问题．当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力．二、教学目标1．知识与技能：学生通过对圆柱体和长方体上最短路径的探究，掌握立体图形表面寻求最短路径的方法，并能对其灵活运用。

2．方法与过程：让学生参与对圆柱体表面最短路径的寻找后，并利用所探究的方法寻求长方体表面的最短路径，从而解决问题。

在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及体会数学转换的思想．3.情感、态度、价值观目标：通过活动体验学数学的快乐，增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验，并在合作学习中获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣，培养学生的合作、探究精神．三、教学重点与难点教学重点：利用勾股定理解决圆柱体与长方体上的最短距离。

教学难点: 圆柱体与长方体表面最短路径的寻找。

四、教法学法1．教学方法引导—探究—归纳本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程；（2）从学生活动出发，顺势教学过程；（3）利用由易到难的知识探究过程，突破难点．2．课前准备教具：教材、电子白板、多媒体课件．五、教学过程分析本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：归纳总结；第四环节：例题精讲；第五环节：课堂检测；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业．第一环节：情境引入内容：情景1：白板展示：提出问题：从小明家到外婆家走那条路最近？情景2：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？意图：通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：合作探究内容：学生分为8人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，得出蚂蚁可能爬行的路线后，然后让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．通过对圆柱体侧面上两点之间最短距离的探究，得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB ？在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=在学生讨论完圆柱体表面的最短路径后，继续讨论长方体表面的最短路径，由于学生已经掌握了将立体图形展开成平面图形后便可找到最短路径，所以首先将长方体展成平面图形后，得出共有三种爬行路径，然后利用勾股定理计算得出最短距离。

专题02勾股定理的逆定理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）2222,21,221n n n n n ++++（n≥1，n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+（,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；一、单选题1．（2020ꞏ兴化市乐吾实验学校八年级月考）下列命题中，是假命题的是()A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形【答案】C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A.△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C=∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B.△ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2=a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．2．（2020ꞏ山西九年级专题练习）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（2020ꞏ广西防城港市ꞏ八年级期中）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC 形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】解：在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，BC ∵22212+=，∴△ABC 是直角三角形．故选B ．点睛：本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（2020ꞏ陕西九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米【答案】A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．5．（2019ꞏ全国八年级单元测试）如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【答案】B【解析】设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴πa 22 πb22πc22，化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．二、填空题6．（2020ꞏ江阴市敔山湾实验学校八年级月考）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________分米．【答案】；13或【解析】试题分析：把立体图展开可得①根据侧面展开图可由两点之间，线段最短，知AB最短，故根据勾股定理可求得AB=13分米；②根据立体图形可知把AC，BE向外展开，得到直角边长为5+1+=7，把中间凹面展开可得到直角边为6+2+2=10，=③同②的方式，得到两直角边分别为11和6，然后根据勾股定理求得最短距离为．考点：立体图形的侧面展开图，两点之间，线段最短，勾股定理7．（2019ꞏ，三角形的最大边上的高等于_____________.【解析】分析：根据勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据直角三角形的面积求解即可.，∴22212+==∴三角形是直角三角形∴1122高⨯点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形是解题关键.8．（2020ꞏ河北九年级其他模拟）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，90B ∠=︒，则四边形ABCD 的面积等于______，【答案】36【分析】先根据勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD △的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，3AB =，4BC =，90B ∠=︒∴5AC ===∵12CD =，13AD =∴在ACD △中，有2225+12=13即222AC CD AD +=∴ACD △是以AC 、CD 为直角边的直角三角形∴Rt ABC Rt ACDABCD S S S =+ 四边形1122AB BC AC CD =⋅+⋅113451222=⨯⨯+⨯⨯36=故答案是：36【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，能够将求不规则四边形的面积转化为求两个直角三角形的面积和是解题的关键．9．（2019ꞏ全国）如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是______；若将△ABP 的PA 边长改为，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为______．【解析】分析：根据当O 到AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理求出PM ，即可求出答案；将△ABP 的PA 边长改为另两边长度不变，根据(22222+=，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM 即可．详解：取AB 的中点M ，连OM ，PM ，在Rt △ABO 中，OM=12AB =1，在等边三角形ABP 中，无论△ABP 如何运动，OM 和PM 的大小不变，当OM ，PM 在一直线上时，P 距O 最远，∵O 到AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M 上，由勾股定理得：∴，将△AOP 的PA 边长改为，另两边长度不变，∵(22222+=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：，∴此时点睛：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PD的值是解此题的关键．三、解答题10．（2019ꞏ广东云浮市ꞏ八年级期末）学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD=4米，CD=3米，AD⊥DC，AB=13米，BC=12米.(1)若连接AC，试证明:OABC是直角三角形；(2)求这块地的面积.【答案】（1）见解析；（2）这块地的面积是24平方米.【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）∵AD=4，CD=3，AD⊥DC，由勾股定理可得：5==，又∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）△ABC 的面积-△ACD 的面积=115123422⨯⨯-⨯⨯=24（m 2），所以这块地的面积是24平方米.【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.反之也成立.11．（2020ꞏ全国）ABC ∆三顶点坐标()4,5A ，()1,3B -()1,2C -，通过运算，判断ABC ∆形状．【答案】ABC ∆是等腰直角三角形【分析】利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度，然后进行判断.【详解】AB ==AC ==BC ==AB BC ∴=且222AB BC AC +=ABC ∆∴是等腰直角三角形【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两点间的距离公式及勾股定理逆定理，能利用两点间的距离公式分别求出AB 、AC 、BC 的长度是解题关键.12．（2019ꞏ全国八年级课时练习）欲将一根长129cm 的木棒放在长、高、宽分别是40cm ，30cm ，120cm 的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．【答案】能【分析】先由勾股定理求得可以放最长的长度，再进行比较，即可得出结果．【详解】由22221203040130++=，得木箱的体对角线长为130cm ．∵130cm 129cm >，∴能放得进去．【点睛】考查了勾股定理的应用；解题关键是利用勾股定理计算出可以放最长的长度.13．（2020ꞏ全国八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，已知点C 的横坐标为3，AC 长为2，OC ，CB OA ⊥，垂足为B .请你判断AOC ∆的形状，并说明理由.【答案】直角三角形，理由见详解.【分析】根据勾股定理，先在Rt OBC 中算出BC 的长度，然后在Rt ABC 中算出AB 的长度，最后得出222AC OC AO +=，然后就可以确定这是直角三角形.【详解】∵点C 的横坐标为3，∴OB=3在Rt OBC 中：OB ⊥OA,OB=3,OC=,由勾股定理得：222BC OC OB =-=12-9=3,在Rt ABC 中：CB ⊥BA,23BC =,AC=2,由勾股定理得：222AB AC BC =-=4-3=1,∴AO=OB+AB=4,在AOC △中，,AC=2,AO=4,∴22AC OC +=4+12=16=2AO ,∴AOC △为直角三角形.【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题目条件逐一求出边长是解题的关键. 14．（2018ꞏ江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）在图1、图2的网格中，每个小四边形均为正方形，且边长是1．如果三角形的顶点均在网格交点处，我们称这样的三角形为格点三角形．下面的三角形均为格点三角形．（1）如图1，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）在图2的网格中，请你以DE为底边，画一个面积为7.5的等腰三角形．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形，理由见解析;(2)见解析.【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解可得；（2）先作出线段DE的中垂线，再在此直线上找到满足条件的格点，从而得出答案．【详解】解：（1）△ABC是等腰直角三角形.∵AC2＝BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）如图所示，△DEF即为所求．设所求三角形的高为h，∵∴17.52⨯=，∴h=2,∴腰长为，【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰三角形的性质、三角形的面积等知识点．15．（2019ꞏ全国）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②，【答案】以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°【解析】试题分析：两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a,b,c 关系，本题利用代入，因式分解，求出a,b,c 关系.试题解析：解法1：将①②两式相乘，得8b c a c a b a b c a b c bc ca ab+-+-+-++++=（）（）.即：()()()22222244b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0,即()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,()()()222222b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=0,即())22220b c a ab a b c abc ⎡-+--+⎣=,即()())220b c a c a b abc ⎡-+--⎣=,即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=,所以b ﹣c+a =0或c+a ﹣b =0或c ﹣a+b =0，即b+a=c 或c+a=b 或c+b=a ．90°．解法2：结合①式，由②式可得得1024-2(a 2+b 2+c 2)=14abc ,又由①式得（a+b+c ）2=1024，即a 2+b 2+c 2=1024﹣2（ab+bc+ca ），代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca )]=14abc ，即abc=16（ab+bc+ca ）﹣4096．（a ﹣16）（b ﹣16）（c ﹣16）=abc ﹣16（ab+bc+ca ）+256（a+b+c ）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．。