辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2. 已知复数z 满足(3−4i )z =25，则z =( )A. −3+4iB. −3−4iC. 3+4iD. 3−4i3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004. 甲、乙、丙、丁、戊和己6名在一次数学考试中，成绩各不相同。

甲、乙、丙、丁去问成绩，老师说“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”.则这6位同学的得分排名情况有( )A. 360种B. 288种C. 240种D. 192种5. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 106. 双曲线x 216−y 29=1的离心率为______A. 54B. 53C. 45D. 357.采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是()0347438636164780456911141695366146986371623326367797742467624281145720425332373227073607522452798973A. 14B. 16C. 20D. 268.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√29.若tanα=2，则sin2α=()A. −25B. −45C. 25D. 4510.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD是正方形，AB=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. 12B. √1010C. √105D. 1511.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx12.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a+bb+c=_____ ．14.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2√3，球O的体积为______.15.函数y=√4−2−x的值域是________________．16.已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左右焦点，P是直线l：y=x+m(m∈R)上一点，若|PF1|+|PF2|的最小值是4，则实数m=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BM⊥PD于点M．(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．18.某服装厂拟申报“质量管理示范企业”称号，先进行自查，自查方法如下：先随机抽取50件进行检验，假设每件服装不合格的概率为p(0<p<1)，且各件是否合格相互独立．(1)记50件服装中恰有一件不合格的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)以(1)中确定的p0作为p的值，已知质检部门规定：先从一批服装中随机抽取3件进行检验，若3件都合格，则可授予“质量管理示范企业”称号；若有2件合格，则再从剩下的服装中任意抽取一件进行检验，若检验合格，则也可以授予“质量管理示范企业”称号．(i)求该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率；(ii)若每件服装的检验费为1000元，并且所抽取的服装都要检验，记这批服装的检验费为ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望．(附：0.983≈0.9412，概率结果精确到0.001.)19.数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，S n为其前n项和，a1,a2,a5成等比数列，(Ⅰ)证明成等比数列；(Ⅱ)设a1=1,b n=a2n,求数列{b n}的前n项和T n．(x−1)2−x+lnx(a>0)20.设函数f(x)=a2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1<a<e，试判断f(x)的零点个数．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B ={x|x >2}； ∴A ∩B ={3,4}． 故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题． 由复数的运算法则求解即可． 解： 因为(3−4i )z =25， 所以z =253−4i =25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i ． 故选C ．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入． 解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元， 则2018年就医花费8000+4750=12750元， 根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元．故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查排列组合的相关知识，难度不大，由题意知乙所受限制最多，所以可以先限定乙的排列情况，其次是甲，最后根据全排列中“丙得分比丁高”的限制条件综合得到结果． 解：由题意知乙既不是最高分也不是最低分，所受限制最多，所以先排乙，且有4种情况； 再排甲，也有4种情况；剩下丙、丁、戊和己4名，全排列有A 44种情况，其中“丙得分比丁高”和“丙得分比丁低”的情况各占一半，所以“丙得分比丁高”的情况有12A 44种，所以“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”的得分排名情况有4×4×12A 44=192种， 故选D ．5.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题． 化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解． 解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+0=9． 故选：A ．6.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=5，可得离心率为：ca=54．故选A．利用双曲线方程求出离心率，渐近线方程，然后求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于容易题．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解：从下面随机数表的第一行第5列开始选取两个数字中小于或等于30的编号依次为16，11，14，26，24，20，则第6个个体的编号为20．故选C．8.答案：D解析：本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，∴x+2y≥2√2xy=4√2，当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．∴x+2y的最小值为4√2．故选D．9.答案：D解析：解：∵tanα=2，则sin2α=2sinαcosαsinα+cosα=2tanαtanα+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，连接AD 1，B 1D 1，则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成角， 由已知可得：AB 1=AD 1=√5，B 1D 1=2√2． ∴cos∠B 1AD 1=2×5×5=15． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为15． 故选：D ．由已知画出图形，找出异面直线AB 1与BC 1所成角，再由余弦定理求解． 本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．11.答案：D解析：本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题． 由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论． 解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后， 得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象， 故选：D ．12.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e 12x ，则g′(x)=f′(x)e 12x −12f(x)e 12x(e 12x )2=2f′(x)−f(x)2e 12x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：36π解析：本题考查三棱锥外接球问题，及球的体积，属于基础题．其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，∴(2R)2=PA2+PB2+PC2=36，∴R= 3，所以V=43πR3=43π×33=36π．故答案为36π．15.答案：[0,2)解析：本题考查函数值域，属于基础题．解：根据指数函数性质可知2−x∈(0,+∞)，所以−2−x∈(−∞,0)所以4−2−x∈(−∞,4)因为y=√4−2−x≥0，所以值域为[0,2)．故答案为[0,2)．16.答案：±√7 解析： 本题考查椭圆的概念与性质及直线与椭圆位置关系，属于中档题． 设P 点坐标，由椭圆方程得出F 1、F 2的坐标，由椭圆的性质可知当直线l 与椭圆C 相切时符合题意，联立方程组求出m 的值即可..解：∵|PF 1|+|PF 2|=√(x 0+1)2+y 02+√(x 0−1)2+y 02≥4，∴当P 点为直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23=1的切点时|PF 1|+|PF 2|最小， 将y =x +m 代入x 24+y 23=1得7x 2+8mx +4m 2−12=0，∴△=64m 2−28(4m 2−12)=0，解得m =±√7．故答案为±√7．17.答案：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ．∵AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM =B ，∴PD ⊥平面ABM ．∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD ．(2)解：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0，0)，P(0,0，4)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,4，0)．∵AM ⊥PD ，PA =AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,2，2)．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，由n ⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y +z =0，且x +2y =0，令z =1，得x =2，y =−1.∴n⃗ =(2,−1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√63． ∴cos α=√33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ，由此能证明AM ⊥PD ．(2)以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，由此能求出直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．18.答案：解：(1)由题意得，f(p)=C 501p(1−p)49， 所以. 因为0<p <1，所以令f ＇(p)=0，得p =150=0.02因为当0<p <0.02时，f ＇(p)>0，当0.02<p <1时，f ＇(p)<0，所以f(p)的最大值点p 0=0.02.(2)(i)由(1)可知产品合格的概率为1−0.02=0.98，所以该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C 31×0.982×0.02×0.98≈0.998 ，(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3 000，4 000，则P(ξ=3000)=0.983+C 31×0.98×0.022+0.023≈0.942，P(ξ=4000)=C 32×0.982×0.02≈0.058所以ξ的分布列为ξ 3000 4000P 0.942 0.058所以E(ξ)=3 000×0.942+4 000×0.058=3 058(元).解析：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C501p(1−p)49，所以，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0．(2)(i)由p=0.02，由题意，该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C31×0.982×0.02×0.98计算可得．(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3000，4000，分别计算概率，列出分布列，得到期望．19.答案：(Ⅰ)证明：因为数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即为(a1+d)2=a1(a1+4d)，化简可得d=2a1，所以S1S9=a1(9a1+36d)=81a12，S3=3a1+3d=9a1，所以S1S9=S32，所以S1，S3，S9成等比数列；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，(Ⅱ)解：a1=1，则b n=a 2n所以数列{b n}的前n项和T n=(4+8+⋯+2n+1)−n−n=2n+2−4−n．=4(1−2n)1−2解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2a1，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，再由分组求和，结合等比数列的(Ⅱ)求出b n=a 2n求和公式，计算即可得到所求和．(x−1)2−x+lnx(a>0)，定义域(0,+∞)，20.答案：解：(1)∵f(x)=a2∴f′(x)=a(x−1)−1+1x =a(x−1a)(x−1)x，①当0<a<1时，令f′(x)>0可得，x>1a或x<1，令f′(x)<0可得，1<x<1a，∴函数f(x)单调递增区间(1a ,+∞)，(0,1)，单调递减区间(1,1a)；②a=1时，f°(x)>0恒成立，故函数在(0,+∞)上单调递增；③当a>1时，令f′(x)>0可得，x<1a或x>1，令f′(x)<0可得，1a<x<1，∴函数f(x)单调递增区间(1,+∞)，(−∞,1a )，单调递减区间(1a,1)；(2)若1<a<e，由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，∵f(1)=−1<0，f(1a )=a2−12a−lna−1，令g(a)=a2−12a−lna−1，1<a<e，则g′(a)=12+12a2−1a=(a−1)22a2>0恒成立，∴g(a)在(1,e)上单调递增，∴g(1)<g(a)<g(e)<0，即f(1a )=a2−12a−lna−1<0，∵x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，∴函数的图象与x轴只有一个交点即f(x)的零点个数为1．解析：(1)先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；(2)由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，然后判断出f(1)=−1<0，f(1a)=a 2−12a−lna−1<0及x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性．21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，所以p=4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0， 所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)， 消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0， 根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]， 所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1， ∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）含答案数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22（C ）2 （D ）2 2．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π7．使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b aa=+C ．()3310b a b aa ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为A ．3172B ．210 C ．132D ．310 11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）1612．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=，则C 的离心率e = .16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值； （II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值18．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，解析版）【名师简评】本套试卷全面考查了《考试大纲》所规定的考试内容，如第4、15、18题分别考查了程序框图、三视图、统计案例等新增内容的应用；第22、23、24题分别考查了选修系列4中的几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式证明等知识。

试卷充分重视主干知识的地位，考的宗旨对推动数学教学改革起到了良好的导向作用。

第I 卷一、选择墨：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，（1） 已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},(u ðB ∩A={9},则A=（A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}(2)设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则 （A ）31,22a b == (B) 3,1a b == (C) 13,22a b == (D) 1,3a b ==（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A ）12 (B)512(C)14 (D)16(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ， 满足n ≥m ，那么输出的P 等于（A ）1m n C -(B) 1m nA -(C) mn C (D) mn A（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 (B)43 (C)32(D)3（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =（A ）152 (B)314 (C)334(D)172(7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如 果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|= (A)43 (B)8 (C)83 (D) 16(8)平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于 (A)222|||()|a b a b -g (B) 222|||()|a b a b +g (C)2221|||()2|a b a b -g (D) 2221|||()2|a b a b +g(9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B)3 (C)312+ (D) 512+(1O)已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ(11)已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax=6的充要条件是 (A)220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- (B) 220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≤- (C) 220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- (D) 220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是(A)（0,62+） (B)（1,22）(C) (62-,62+） (D) （0,22）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则 A ．()01， B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cosx C．y＝﹣x2D．y＝x3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．7．（5分）设，是非零向量，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，B．C．D．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．（5分）已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．（5分）已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．14．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD 的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为，sinα的最小值是．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，c＝1，求b．18．（12分）某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若，在线段C1A1上是否存在点F （F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF 的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b的最小值．2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cosx，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．【分析】由等差数列的性质得S8＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故选：D．5．【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．【解答】解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．【解答】解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“|+2|＝|﹣2|，则平方得||2+4||2+4•＝||2+4||2﹣4•，即4•＝﹣4•，得•＝0，即⊥，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的充要条件，故选：C．8．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：∵由函数图象可知T＝2×（﹣）＝π，∴ω＝2，∵x＝时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝．故选：D．9．【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．【分析】根据，可以得到a+b＝（a+b）×（），展开后再运用基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵，∴a+b＝（a+b）×（）＝1+1+≥2+2＝4，当且仅当时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．【解答】解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：+＝18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：＝3种；故P（A|B）＝＝；故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z＝x+y的最优解，代入坐标求得z＝x+y的最小值．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．由图可知，使目标函数z＝x+y取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标，∴z＝x+y的最大值为：4．故答案为：4．14．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x，可得a＝b，则c＝，∴e＝．故答案为：．15．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（）来表示即可求解．【解答】解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（）＝4×（2﹣）＝2．故答案为：2．16．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可．【解答】解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD ⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A1OP，设正方体的列出为2，则A1O＝，OC＝，A1C＝2，由题意可知P在C处时，cos∠A1OP＝＝﹣，此时sin∠A1OP＝，是最小值．故答案为：∠A1OP；．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝2sin2x﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，结合B为锐角，可得B＝，进而根据余弦定理即可求解b的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：＝sin2x ﹣[1+cos（2x+）]＝2sin2x﹣1，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，由题意可得B为锐角，可得B＝，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b＝＝＝1．18．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）求解即可．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝0.42．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II）由AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC＝2，由∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1，可得cos∠ACO＝，AO＝1．设＝λ（0＜λ＜1），可得F（﹣，λ，λ），＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），可得•＝•＝0．利用＝，解得λ．即可得出．【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，∵O为B1C的中点，E为AB的中点，∴OE∥AC1，∵OE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．∴OE⊄平面ACC1A1．（II）解：∵AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，∴AO⊥OB，AO⊥OB1，OB⊥OB1．∴以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设BC＝2，∵∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1∴cos∠ACO＝，∴AO＝1．∴B（，0，0），C（0，﹣1，0），C1（﹣，0，0），A（0，0，1），A1（﹣，1，1），∴E（，0，），设＝λ（0＜λ＜1），∴F（﹣，λ，λ），∴＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），∵＝（0，1，1），＝（﹣，1，0）．∴•＝•＝0．∴y+z＝0，﹣x+y＝0．取＝（1，，﹣）．∴＝＝，解得λ＝．∴＝．20．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以中点M（，），因为k OA＝＝k OM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|＝3，|BD|＝＝，所以＝，令t＝≥1，所以＝＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以最大值为1．21．【分析】（Ⅰ）将a＝0带入，求导得f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，进而可知存在x0，使得f′（x0）＝0，且f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，在x∈（x0，+∞）上单调递减，进一步可得x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，再求得f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，可得；设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y ＝a的交点横坐标为x4，可得，由此即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sinx﹣x2+2πx，定义域为R，则f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y ＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则，∵y＝（2+2π）x为增函数，∴；同理设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，则G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝G′（x）在R上为增函数，又G′（2π）＝0，∴当x∈（﹣∞，2π）时，G′（x）＜0，即G（x）在（﹣∞，2π）上单调递减，当x∈（2π，+∞）时，G′（x）＞0，即G（x）在（2π，+∞）上单调递增，∴G（x）≥g（2π）＝0，即（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y＝a的交点横坐标为x4，则，又y＝（2﹣2π）（x﹣2π）为减函数，则，故，∴a，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．整理得，化简得：（x＝±1）．直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把方程（x＝±1）转换为（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C（cosθ，2sinθ）到直线的距离d＝，当，所以．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．【解答】解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b＝∵，解得a＞1∴a+b＝a++3∴a+b≥2+3＝7当且仅当a﹣1＝，即a＝3时，等号成立，此时b ＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7。

2020届辽宁省锦州市高三质量检测数学（理）试题一、选择题 1．设集合，则（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由,得:, 解得:,因为集合，故选D.【考点】1、集合的表示；2、集合的并集及补集.2．已知复数2ia i +-（其中a R ∈， i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ）A. 2B. 12C. 12- D. 2-【答案】B【解析】()()()222212211i a i a a i i a i a a ++-+++==-++, 是纯虚数,所以210a -=，解得12a =，经检验满足，故选B.3．已知数列{}n a ，若点(),n n a （*n N ∈）在经过点()10,6的定直线上，则数列{}n a 的前19项和19S 的值为（ ）A. 190B. 114C. 60D. 120【答案】B【解析】∵点(),n n a (n ∈N ∗)在经过点(10,6)的定直线上， ∴a n −6=k (n −10),可得a 10=6,且数列{}n a 为等差数列。

则数列{}n a 的前19项和()191019a1a19191142S a +===.故答案为：114.4．直线m ： 40kx y ++=（k R ∈）是圆C ： 224460x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线n ，则直线n 被圆C 所截得的弦长为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆C ： 224460x y x y ++-+=整理得： ()()22222x y ++-=.直线m ： 40kx y ++=（k R ∈）是圆C 的一条对称轴,所以直线经过圆心()2,2-.2240k -++=，解得3k =.过点()0,3A 作斜率为1的直线3n y x =+：.圆心到直线的距离为d ==.圆的半径为r =所以直线n 被圆C 所截得的弦长为==故选C. 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，主视图和左视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A.203 B. 163 C. 86π- D. 83π- 【答案】A【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为2，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是3212021233-⨯⨯=，选A.6．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：由题意可知， ()f x 为奇函数，所以排除A 、B ，当01x <<时，()1cos 0f x x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C,故选D.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数与函数的图象.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的图象；属中档题；解答本题时要根据给定函数的解析式先判断函数的奇偶性，由奇偶性排除一部分选项，再根据给出的图象选项情况确定函数的基本性质，利用排除法确定正确的图象.7．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ）A. 336种B. 320种C. 192种D. 144种 【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论， 若只有甲乙其中一人参加,有134C192244CA =种情况； 若甲乙两人都参加,有2124C 144244CA =种情况， 则不同的发言顺序种数192+144=336种， 故选：A.8．设方程2ln 1x x =有两个不相等的实根1x 和2x ，则（ ） A. 120x x < B. 1201x x << C. 121x x > D. 121x x = 【答案】B【解析】方程2ln 1x x =有两个不等的实根1x 和2x ， 即为y =|ln x |和y =2x 的图象有两个交点， 如图可得设0<1x <1, 2x >1，由()12121212121122ln 222x x x x x x x x lnx lnx +-=+=-+=由0<1x <1, 2x >1,可得1222x x -<0, 122x x +>0， 即为()12ln x x <0,即有1201x x <<.故选：D.9．执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（ ）A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009 【答案】D【解析】执行如图所示的程序框图:1,0,1,1,1,12017n r s r s i ===+==<; 2,1,0,1,,22017n r s r s ==-=+≠<; 3,0,1,1,32017n r s r s ===-+≠<;4,1,0,1,2,42017n r s r s i ===+==<;……2016,1,0,1,42017n r s r s ===+=<;上述循环为一个周期，且i 表示1r s +=出现的次数，一个周期出现2次. 当2017n =时结束循环， 201750441=⨯+ 所有504211009i =⨯+=.故选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．已知三棱锥A BCO -， OA ， OB ， OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在底面BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的O 点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（ ）A. 52πB. 54πC. 32π+D. 3π+【答案】B【解析】因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动,另一个端点N 在△BCO 内运动(含边界)， 可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的18.表面积为18个球面和3个14圆面的和： 221154131844πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B.点睛：求组合体的表面积时要注意“面面俱到”，即必须将所有“露在外面”的面的面积加起来，还需注意重叠部分不再计入表面积.牢记球的表面积公式： 2S 4πR =,其中R 为球半径.11．已知1F ， 2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心， 2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)， 设一条渐近线方程为y =−ba x ,则F 1b =.设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b ,A 为F 1M 的中点， 又0是F 1F 2的中点,∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2. 故选：C. 点睛：平面解析几何小题常用的处理方法为数形结合，根据题中的条件在图中找到相应的几何关系，一般有：中位线定理，相似比，直角三角形的勾股定理，切线长定理，平行四边形等，根据几何关系建立代数式即可求解.12．已知函数()2x x f x e=， 0x ≠， e 为自然对数的底数，关于xλ=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ）A. 20,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()+∞ C. 2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D. 224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由()2x x f x e =得： ()()22222x x xx xe x e x x f x e e --=='，令220x x -=得： 120,2x x ==，易知0x <时()0f x '<， 02x <<时()0f x '>， 2x >时()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞递减，在()0,2递增，在()2,+∞递减，大致图象如图所示，当2x =时()242f e =，令t =2t tλ+=必须有一根小于2e ，一根大于2e ，当2t e =时， 2e e λ=+，而由2y t t =+的图象知，只须2e e λ>+时，方程2t t λ+=必有一根小于2e ，一根大于2e，故选C ．点睛：本题综合考查函数与方程，函数的零点、极值 、单调性，属于难题．解决此类问题的关键是方程2t tλ+=有什么样的根，原方程才有四个根，通过对()f x 的单调性性研究，做出大致图象，结合图象可知方程2t t λ+=必有一根小于2e ，一根大于2e，然后结合对号函数图像分析，当2e e λ>+时，能使程2t t λ+=有一根小于2e ，一根大于2e．二、填空题13．在边长为1的正方形ABCD 中， 2AE EB =， BC 的中点为F ， 2EF FG =，则EG BD ⋅=__________．【答案】14-【解析】如下图，建立坐标系， 1,03E ⎛⎫⎪⎝⎭, 43,34G ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , ()1,0B , ()0,1D ,则31,4EG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()1,1BD =- ,则()3111144EG BD ⋅=⨯-+⨯=- .【点睛】本题重点考察了向量数量积的运算，1.一般求向量数量积可用定义法求解，cos ,a b a b a b ⋅=，一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角；2.还可利用坐标法表示数量积1212a b x x y y ⋅=+，需建立坐标系解决问题，比如本题；3.还可将已知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量.14．设2cos a xdx π=⎰，则62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为__________（用数字作答）．【答案】160-【解析】20cos |120a xdx sinx ππ===⎰.66122a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式的通项公式为()()66621C 2C 1266rr r r r r r x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 令3r =，得常数项： ()333C121606-=-. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15．设实数x ， y 满足约束条件20,{26,1,2y x x y y -≤+≤≥则12x y+的最小值为__________．【答案】2【解析】实数x 、y 满足约束条件20,26,1,2y x x y y ⎧⎪-≤⎪+≤⎨⎪⎪≥⎩的可行域如图：可得A (32,3),B (14,12),C (114,12)，目标函数在线段AB 处取得最小值。

辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则AB =A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)-2. 设11iz i+=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A. -1B. iC. 1D. 43. 已知向量()2,1m x =，(),2n x =，命题1:2p x =，命题:q 0,λ∃>使得m n λ=成立，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为A. 3B. 12x xD. 25. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，如果(1)0.8413P ξ≤=，则(10)P ξ-<≤= A. 0.3413B. 0.6826C. 0.1587D. 0.07946.已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为A.3B.2D.7. 若函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，且()2,()0,f f αβαβ==-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是A. 5[2,2]()66k k k z ππππ-+∈ B. 2[2,2]()33k k k z ππππ-+∈ C. [,]()36k k k z ππππ-+∈D. 5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ 8. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为 A. 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =A. 5B. 4C. 3D. 210.已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为1-111.已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，0120BAC ∠=，则球O 的表面积为A ．52πB ．5πC ．4πD ．53π 12.已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，.设函数，则的零点的个数为A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（辽宁卷，解析版）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N=(A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5}【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B（2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - 【解析】211121212(12)(12)12i i i i i z --===++-+＝1255i - 【答案】D（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=23【答案】B(4) 已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A（6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS =（A ） 2 （B ）73 （C ） 83（D ）3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 ⇒ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++ 【答案】B (7)曲线y=2xx -在点（1，－1）处的切线方程为 （A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 【解析】y ’＝2222(2)(2)x x x x ---=--,当x ＝1时切线斜率为k ＝－2 【答案】D(8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23【答案】B（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 （A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23【答案】A10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

辽宁师范大学附属中学高三精品卷测试数学（理）命题人：高三数学备课组第Ⅰ卷( 60分)一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．设集合2222⎧⎫⎪⎪=≤≤⎨⎬⎪⎩⎭x A x，{}ln 0B x x =<，则A B =（ ） A ．11(,)22-B．1(0,)2 C ．1[,1)2 D ．1(0,]22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=（ ） A. 13i B. 13i - C. 1312i +D. 1213i +3．已知x ，y 满足约束条件 则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．12- B ．1 C ．4 D ．5 4.已知命题p:函数()1xf x x =-的图象的对称中心坐标为(1,1)；命题q ：若函数()g x 在区间[],a b 上是增函数，且()g x >0，则有()()()()()bag a b a g x dx g b b a -<<-⎰成立.下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝ 5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图 所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则 图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.46. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =A. 45B. 47C. 49D. 517．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力， 特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛． 由于爱好者众多，高三学生队队员指定由1班的6人、 2班的8人、5班的10人按分层抽样构成一个12人的 篮球队．首发阵容有5人组成，要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270C ．390D ．3008.在△ABC 中，三个内角A ，Β，C 所对的边为a ，b ，c ，若23ABC S =△，6a b +=，cos cos 2cos a B b Ac c+=，则c =( )A.27B.23C.4D.33 9.已知函数()()220162016log 120162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（ ） A 、1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C 、()0,+∞D 、(),0-∞10．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 11.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( ) A.π6 B.π3 C.66π D.33π 12．设函数()2xf x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-，若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =， 则 （ ）A ．0()()g a f b <<B ．()0()g a f b <<C ．()()0f b g a <<D ．()0()f b g a <<第Ⅱ卷(90分)二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知sin 0a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 ．14.如果满足60,12,ABC AC BC k ∠===的三角形ABC 有且只有一个，那么k 的取值范围是 .15．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=，则sin （α+）= ．16.如图，已知12,F F 是双曲线22221(a 0,0)y x b a b-=>>的上下焦点，过2F 点作以1F 为圆心，1|OF |为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为________.C 1B 1A 1CBA三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2632n n n S a a =++，且2a 是1a 和6a 的等比中项.()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 符合[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如22[log 3]1,[log 5] 2.==记25[log ]3n n a b +=，求数列2{2}n n b ⋅的前n 项和.n T 18. (本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1A B AC ⊥,且15A B AC ==，113AA BC ==,且12AB =。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（辽宁卷，含答案）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|-5<x<5},则M ∩N=(A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5}(C) {x|-5<x ≤5} (D) {x|-3<x ≤5}（2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - （3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 (4) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种 （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S = （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3 (7)曲线y=2xx -在点（1，-1）处的切线方程为 （A ）y=x-2 (B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = （A ）23- (B) - 12 (C) 23 (D) 12（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

2020年辽宁省⼤连市⾼考数学⼆模试卷（理科）（有答案解析）2020年辽宁省⼤连市⾼考数学⼆模试卷（理科）题号⼀⼆三总分得分⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.复数z=-1+i（i是虚数单位），则z的模为（）A. 0B. 1C.D. 22.已知全集U=R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩（?U B）=（）A. {-1，0，1}B. {-1，0，1，2}C. {x|x＜2}D. {x|-1≤x＜2}3.命题“?α∈R，sinα=0”的否定是（）A. ?α∈R，sinα≠0B. ?α∈R，sinα≠0C. ?α∈R，sinα＜0D. ?α∈R，sinα＞04.下列函数中，既是奇函数⼜在（-∞，+∞）上单调递增的是（）A. y=sin xB. y=|x|C. y=-x3D. y=ln（+x）5.已知等⽐数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，则数列{a n}的公⽐q=（）A. -1B. 1C. ⼠1D. 26.过椭圆+=1的中⼼任作⼀直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的⼀个焦点，则△PQF周长的最⼩值是（）A. 14B. 16C. 18D. 207.把标号为1，2，3，4的四个⼩球分别放⼊标号为1，2，3，4的四个盒⼦中，每个盒⼦只放⼀个⼩球，则1号球不放⼊1号盒⼦的⽅法共有（）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹⾓为30°，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.9.执⾏如图所⽰的程序框图，若输出结果为1，则可输⼊的实数x值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.设a=log43，b=log52，c=log85，则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. b＜a＜cD. c＜a＜b11.已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜⾓为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC 的斜率为（）A. -B.C. -3D. 312.函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，]B. （0，）C. （0，2]D. （0，2）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，则∠A=______．14.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x-1）＞f（x-2）的解集为______．15.已知各项都为正数的数列,其前n项和为,若,则______．16.A，B为单位圆（圆⼼为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上⼀动点，若=λ+（λ，µ∈R），则λ+µ的取值范围为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.已知函数f（x）=+（ω＞0），x1，x2是函数f（x）的零点，且|x2-x1|的最⼩值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）=，f（）=-，求cos（α-β）的值．18.某⼚包装⽩糖的⽣产线，正常情况下⽣产出来的⽩糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g）．（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率约为多少？（Ⅱ）该⽣产线上的检测员某天随机抽取了两包⽩糖，称得其质量均⼩于485g，检测员根据抽检结果，判断出该⽣产线出现异常，要求⽴即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．附：X～N（µ，σ2），则P（µ-σ≤X≤µ+σ）=0.6826，P（µ-2σ≤X≤µ+2σ）=0.9544，P（µ-3σ≤X≤µ+3σ）=0.9974．19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点．（Ⅰ）若E为AB1上的⼀点，且DE与直线CD垂直，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异⾯直线AB1与CD所成的⾓为45°，求直线DE与平⾯AB1C1成⾓的正弦值．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB⾯积的最⼩值．21.已知是函数的极值点．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ求证：函数存在唯⼀的极⼩值点,且参考数据：,其中e为⾃然对数的底数22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜⾓为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建⽴坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为ρ=2cosθ．在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜⾓为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB⾯积的最⼤值．23.已知函数f（x）=|x+1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞2x的解集；（Ⅱ）当不等式f（x）＞1的解集为R时，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=-1+i，∴|z|=．故选：C．由已知直接利⽤复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：?U B={x|x＜2}；∴A∩（?U B）={-1，0，1}．故选：A．进⾏交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：特称命题的否定是全称命题，∴?α∈R，sinα=0的否定为：?α∈R，sinα≠0，故选：B．直接利⽤特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sin x，为正弦函数，在（-∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于B，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于C，y=-x3，是奇函数但在（-∞，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y=ln x（+x），既是奇函数⼜在（-∞，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.答案：C 解析：解：根据题意，等⽐数列{a n}中，S4=2S2，则（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进⽽可得：q2=1，解可得q=±1，故选：C．根据题意，分析可得（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进⽽可得q2=1，解可得q的值，即可得答案．本题考查等⽐数列的前n项的性质以及应⽤，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了椭圆的简单⼏何性质，考查了椭圆定义的应⽤，体现了数学转化思想⽅法，是中档题．由题意画出图形，然后利⽤椭圆的对称性把△PFQ的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．【解答】解：如图，由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=2a由椭圆的对称性知|QF|=|PF1|，∴有|PF|+|QF|=2a，⽽|PQ|的最⼩值是2b，∵+=1，∴a=5，b=4，∴△PFQ的周长的最⼩值为2a+2b=2（a+b）=18故选：C．7.答案：A解析：解：由于1号球不放⼊1号盒⼦，则1号盒⼦有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放⼊剩下的三个盒⼦中，则2号⼩球有3种选择，3号⼩球还剩2种选择，4号⼩球只有1种选择，根据分步计数原理可得1号球不放⼊1号盒⼦的⽅法有?1=18种，故选：A．先确定1号盒⼦的选择情况，再确定2、3、4号盒⼦的选择情况，根据分步计数原理即可求解．本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．根据勾股定理得出圆锥的底⾯半径，代⼊侧⾯积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为6，母线与轴的夹⾓为30°，∴圆锥的底⾯半径为3，⾼为．圆锥的体积为：π×9×3=9π．故选：B．9.答案：B解析：解：根据题意，该框图的含义是：当x≤2时，得到函数y=x2-1；当x＞2时，得到函数y=log2x，因此，若输出的结果为1时，（1）若x≤2，得到x2-1=1，解得x=，（2）若x＞2，得到log2x=1，解得x=2，（舍去），因此，可输⼊的实数x的值可能为-，，共有2个．故选：B．根据程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解出关于x的⽅程f（x）=1，即可得到可输⼊的实数x值的个数．本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：∵，；∴a＞c；⼜，；∴c＞b；∴a＞c＞b；∴b＜c＜a．故选：B．根据换底公式即可得出，从⽽得出a＞c，容易得出，从⽽得出c＞b，这样即可得出a，b，c的⼤⼩关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．设B（x0，），表⽰出A点坐标，代⼊渐近线⽅程得出x0=，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得出OC的斜率．【解答】解：F（-c，0），设B（x0，），则A（，），把A点坐标代⼊⽅程y=-x可得=-?，整理可得x0=，∴A（-，），B（，），∴C（，），故k OC=，⼜直线BF的斜率为=tan30°=，∴=，∴k OC=3．故选D．12.答案：A解析：解：函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点等价于：函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，∵φ（1）=0，g（1）=0，∴函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯⼀交点为（1，0），⼜∵g′（x）=-e1-x-e x-1，且e1-x＞0，e x-1＞0，∴g′（x）=-e1-x-e x-1在R上恒⼩于零，即g（x）=e1-x-e x-1在R上为单调递减函数，⼜∵φ（x）=a sinπx（a＞0）是最⼩正周期为2，最⼤值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1的⼤致图象如图：∴要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）=πa cosπ=-πa，g′（1）=-e1-1-e1-1=-2，∴-πa≥-2，解得a，⼜∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故选：A．函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点等价于函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，由φ（1）=0，g（1）=0，可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯⼀交点为（1，0），g（x）的单调，根据单调性得到φ（x）与g（x）的⼤致图象，从图形上可得要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，则φ′（1）≥g′（1），即可解得实数a的取值范围．本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯⼀零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进⾏分析研究，属于难题．13.答案：解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊⾓的三⾓函数值，属于中档题．利⽤正弦定理化简已知的等式，再利⽤余弦定理表⽰出cos A，将化简后的式⼦整理后代⼊求出cos A 的值值，由A为三⾓形的内⾓，利⽤特殊⾓的三⾓函数值即可求出A的值．【解答】解：由正弦定理化简sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，得：a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cos A===，⼜∠A为三⾓形的内⾓，则∠A=．故答案为.14.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运⽤，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进⾏转化是解决本题的关键，为中档题．根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得f（|2x-1|）＞f（|x-2|），进⽽可得|2x-1|＞|x-2|，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意：当f（2x-1）＞f（x-2）时，即f（|2x-1|）＞f（|x-2|）?|2x-1|＞|x-2|，变形可得：4x2-4x+1＞x2-4x+4，解可得x＜-1或x＞1，即不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；故答案是（-∞，-1）∪（1，+∞）．15.答案：2n-1解析：【分析】本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列{a n}为单调递增的等差数列，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．n=1时，4a1=（a1+1）2，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，推导出（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，从⽽a n-a n-1=2，进⽽数列{a n}是⾸项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．【解答】解：∵各项都为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，4S n=（a n+1）2=，①∴n=1时，4a1=（a1+1）2=a12+2a1+1=0，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，②①-②，得：4a n=+2（a n-a n-1），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列各项都为正数，∴a n-a n-1=2，∴数列{a n}是⾸项为1，公差为2的等差数列，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1，且验证n=1时也成⽴，故答案为：2n-1．16.答案：[1，]解析：解：如图以圆⼼O为坐标原点建⽴直⾓坐标系，设A，B两点在x轴上⽅且线段AB与y轴垂直，∵A，B为单位圆（圆⼼为O）上的点，O到弦AB的距离为，∴点A（-，），点B（，），∴=（-，），=（，），即λ=（-，），µ=（，），∴=λ+µ=（，），⼜∵C是劣弧AB（包含端点）上⼀动点，设点C坐标为（x，y），∴，∵=λ+µ=（，）=（x，y），∴≤y=≤1，解得：1≤λ+µ≤，故λ+µ的取值范围为[1，]．以圆⼼O为坐标原点建⽴直⾓坐标系，设A，B两点在x轴上⽅且线段AB与y轴垂直，分别表⽰出A，B两点的坐标，求出、向量，即可表⽰出向量，由于C是劣弧AB（包含端点）上⼀动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出λ+µ的取值范围．本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建⽴直⾓坐标系，表⽰出各点坐标，属于中档难度题．17.答案：解：（Ⅰ）f（x）=+=sin2ωx-cos2ωx=2in（2ωx-），∵|x2-x1|的最⼩值为．∴=，即T==π，得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x-），∴f（）=sin（α+-）=sin（α+）=cosα=，f（）=sin（β--）=sin（β-π）=-sinβ=-，则sinβ=，⼜α，β∈（0，），∴sinα=，cosβ=，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．解析：（Ⅰ）利⽤⼆倍⾓公式和辅助⾓公式整理出f（x）=sin（2ωx-），根据周期求得ω；（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利⽤同⾓三⾓函数关系求出sinα，cosβ；代⼊两⾓和差余弦公式求得结果．本题考查三⾓函数解析式的求解及应⽤问题，关键是考查学⽣对于⼆倍⾓公式、辅助⾓公式、同⾓三⾓函数关系以及两⾓和差公式的掌握情况，考查学⽣的运算能⼒，属于常规题型．18.答案：解：（Ⅰ）设正常情况下，该⽣产线上包装出来的⽩糖质量为Xg，由题意可知X～N（500，52）．由于485=500-3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：P（X＜485）=；（Ⅱ）检测员的判断是合理的．因为如果⽣产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都⼩于485g的概率约为：0.0013×0.0013=1.69×10-6，⼏乎为零，但这样的事件竟然发⽣了，所以有理由认为⽣产线出现异常，检测员的判断是合理的．解析：（Ⅰ）由正常情况下⽣产出来的⽩糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g），要求得正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率，化为（µ-3σ，µ+3σ）的形式，然后求解即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都⼩于485g的概率⼏乎为零，即可判定检测员的判断是合理的．本题主要考查了正态分布中3σ原则，考查基本分析应⽤的能⼒，属于基础题．19.答案：（Ⅰ）证明：取AB中点M，连接CM，DM，有MD∥AB1，因为AC=BC，所以CM⊥AB，⼜因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以平⾯ABC⊥平⾯ABB1A1，⼜因为平⾯ABC∩平⾯ABB1A1=AB，所以CM⊥平⾯ABB1A1，⼜因为DE?平⾯ABB1A1，所以CM⊥DE，⼜因为DE⊥CD，CD∩DM=D，CD?平⾯CMD，CM?平⾯CMD，所以DE⊥平⾯CMD，⼜因为MD?平⾯CMD，所以DE⊥MD，因为MD∥AB1，所以DE⊥AB1，连接A1B交AB1于点O，因为ABB1A1为正⽅形，所以A1B⊥AB1，⼜因为DE?平⾯ABB1A1，A1B?平⾯AA1B1B，所以DE∥A1B，⼜因为D为BB1的中点，所以E为OB1的中点，所以=．（Ⅱ）如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AB=2a，由（Ⅰ）可知∠CDM=45°，所以AB1=2a，所以DM=CM=a，所以A（a，0，0），B1（-a，2a，0），C1（0，2a，a），D（-a，a，0），E（-a，a，0），所以=（-2a，2a，0），=（a，0，a），=（a，a，0），设平⾯AB1C1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=-1可得=（，，-1）．所以 cos＜＞===．所以直线DE与平⾯AB1C1所成⾓的正弦值为．解析：（Ⅰ）取AB中点M，连接CM，MD，证明DE⊥平⾯CMD，即可说明DE⊥AB1，由底⾯为正⽅形，可求得=；（Ⅱ）以M为坐标原点建⽴空间直⾓坐标系，求得各点的坐标，以及平⾯AB1C1的法向量为，根据线⾯所成⾓的正弦值的公式即可求解．本题主要考查线⾯垂直的证明、中位线定理以及利⽤空间向量求线⾯⾓的正弦值，考查了学⽣空间想象能⼒和计算能⼒，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意知，抛物线焦点为（0，），准线⽅程为y=-，焦点到准线的距离为2，即p=2；（Ⅱ）抛物线的⽅程为x2=4y，即y=x2，所以y′=x，设A（x1，y1），B（x2，y2），l1：y-=（x-x1），l2：y-=（x-x2），由于l1⊥l2，所以?=-1，即x1x2=-4，设直线l⽅程为y=kx+m，与抛物线⽅程联⽴，得x2-4kx-4m=0，△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m=-4，所以m=1，即l：y=kx+1，联⽴⽅程得，即M（2k，-1），M点到直线l的距离d==，|AB|=?=4（1+k2），所以S=?4（1+k2）?=4（1+k2）≥4．当k=0时，△MAB⾯积取得最⼩值4．解析：（Ⅰ）根据抛物线的性质即可得到结果；（Ⅱ）由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=-4，通过直线与抛物线⽅程联⽴，根据根与系数关系求得m；联⽴两切线⽅程，可⽤k表⽰出M，代⼊点到直线距离公式，从⽽得到关于⾯积的函数关系式，求得所求最值．本题考查抛物线的性质的应⽤、抛物线中三⾓形⾯积最值的求解，关键是能够将所求⾯积表⽰为关于斜率的函数关系式，从⽽利⽤函数最值的求解⽅法求出最值．21.答案：解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且，所以，即a=；此时，设g（x）=f′（x），则，则0＜x＜2 时g（x）为减函数．⼜，所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极⼤值点x=1，符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，g（4）=，g（2）＜0；所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）=0；当 2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；所以函数f（x）存在唯⼀的极⼩值点x0．⼜；所以，且满⾜；所以=；故函数f（x）存在唯⼀的极⼩值点x0，且0＜f（x0）＜．解析：本题考查利⽤函数极值与导数关系的综合应⽤问题，解决本题的关键是能够利⽤零点存在定理确定零点处理问题，从⽽可将证明问题转化为某⼀个区间内⼆次函数值域问题的求解，考查了学⽣基本计算能⼒以及转化与划归思想，属于难题．（Ⅰ）根f′（1）=0，求得实数a的值，通过导数验证函数单调，可知极值点x=1，满⾜题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的极⼩点值位于（2，+∞），此时f′（x）的零点位于x0∈，且x0为f（x）的极⼩点值点，代⼊f（x），f′（x），化简即可得f（x0）关于x0的⼆次函数，求解⼆次函数在区间上的值域即可证明结论．22.答案：解：（Ⅰ）由题可知，C1的直⾓坐标⽅程为：x2+y2-2x=0，设曲线C2上任意⼀点（x，y）关于直线y=x对称点为（x0，y0），∴，⼜∵，即x2+y2-2y=0，∴曲线C2的极坐标⽅程为：ρ=2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标⽅程为：θ=α，直线l2的极坐标⽅程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1=2cosα，，解得．∴==．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）=1，S△AOB取得最⼤值为：．解析：（Ⅰ）将C1化为直⾓坐标⽅程，根据对称关系⽤C2上的点表⽰出C1上点的坐标，代⼊C1⽅程得到C2的直⾓坐标⽅程，再化为极坐标⽅程；（Ⅱ）利⽤l1和l2的极坐标⽅程与C1，C2的极坐标⽅程，把A，B坐标⽤α表⽰，将所求⾯积表⽰为与α有关的三⾓函数解析式，通过三⾓函数值域求解⽅法求出所求最值．本题考查轨迹⽅程的求解、三⾓形⾯积最值问题的求解，涉及到三⾓函数的化简、求值问题．求解⾯积的关键是能够明确极坐标中ρ的⼏何意义，从⽽将问题转化为三⾓函数最值的求解．23.答案：解：（Ⅰ）a=-1时，f（x）=当x＜-1时，f（x）=-2x＞2x，即x＜0，此时x＜-1，当-1≤x≤1时，f（x）=2＞2x，得x＜1，∴-1≤x＜1，当x＞1时，f（x）=2x＞2x，⽆解，综上，f（x）＞2x的解集为（-∞，1）．（Ⅱ）f（x）=|x+1|+|x+a|≥|x+a-x-1|=|a-1|，即f（x）的最⼩值为|a-1|，要使f（x）＞1的解集为R，∴|a-1|＞1恒成⽴，即a-1＞1或a-1＜-1，得a＞2或a＜0，即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．解析：（Ⅰ）根据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从⽽分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；（Ⅱ）由绝对值三⾓不等式得到f（x）的最⼩值，则最⼩值⼤于1，得到不等式，解不等式求得结果．本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三⾓不等式的应⽤问题，属于常规题型．。

辽宁省2020年高考[理数卷]考试真题与答案解析一、选择题1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()U A B ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}2．若α为第四象限角，则A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块11．若2x －2y <3−x －3−y ，则A ．ln(y-x+1)>0B ．ln(y-x+1)<0C ．ln ∣x-y ∣>0D ．ln ∣x-y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存12n a a a {0,1}(1,2,)i a i ∈= 在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的m (1,2,)i m i a a i +== (1,2,)i m i a a i +== 最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，m m 12n a a a 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 的序列是1()(1,2,3,4)5C k k ≤=A ．B ．C ．D ．11010 11011 10001 11001二、填空题13．已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a –b 与a 垂直，则k=__________．14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．15．设复数，满足，，则=__________．1z 2z 12||=||=2z z 123i z z +=+12||z z -16．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．⊂则下述命题中所有真命题的序号是__________．①②③④14p p ∧12p p ∧23p p ⌝∨34p p ⌝∨⌝三、解答题（一）必考题17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C= sinBsinC ．ABC △（1）求A ；（2）若BC=3，求周长的最大值．ABC △18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，20160i i x ==∑2011200i i y ==∑，，．2021)8(0ii x x =-=∑2021)9000(i i y y =-=∑201)()800(i i i y y x x =--=∑（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i ) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．12211)(()()()iiini n i ini x y r x y x y x y ===----=∑∑∑2 1.414≈19．已知椭圆C 1：(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 222221x y a b+=的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且．43CD AB =（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|=5，求C 1与C 2的标准方程．20．如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1∥MN ，且平面（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，所成角的正弦值．21．已知函数2() sin sin2f x x x =（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；答案解析1.A2.D3.B4.C5.B6.C7.A8.B9.D 10.C 11.A 12.C 13．14．3615．16．①③④222317．解：（1）由正弦定理和已知条件得，①222BC AC AB AC AB --=⋅由余弦定理得，②2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅由①，②得.1cos 2A =-因为，所以.0πA <<2π3A =（2）由正弦定理及（1）得，23sin sin sin AC AB BCB C A===从而，.23sin AC B =23sin(π)3cos 3sin AB A B B B =--=-故.π33sin 3cos 323sin()3BC AC AB B B B ++=++=++又，所以当时，周长取得最大值.π03B <<π6B =ABC △323+18．解：（1）由已知得样本平均数，从而该地区这种野生动物数量的估计值20160120i iy y===∑为60×200=12000．（2）样本的相关系数(,)i i x y (1,2,,20)i = ．20120202211)()800220.94380900(0))((ii iii i ix y y x x r x y y ===--===≈⨯--∑∑∑（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设的方程为，其中.2C 24y cx =22c a b =-不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，,A C ,A B 2b a 2b a -,C D 2c ，故，.2c -22||b AB a=||4CD c =由得，即，解得（舍去），.4||||3CD AB =2843b c a =2322()c c a a ⨯=-2c a =-12c a =所以的离心率为.1C 12（2）由（1）知，，故，2a c =3b c =22122:143x y C c c+=设，则，，故.①00(,)M x y 220022143x y c c +=2004y cx =20024143x x c c+=由于的准线为，所以，而，故，代入①得2C x c =-0||MF x c =+||5MF =05x c =-，即，解得（舍去），.22(5)4(5)143c c c c --+=2230c c --=1c =-3c =所以的标准方程为，的标准方程为.1C 2213627x y +=2C 212y x =20．解：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以．又由已知得AA 1∥CC 1，1MN CC ∥故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ．所以平面A 1AMN ⊥平面．11EB C F （2）由已知得AM ⊥BC ．以M 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，为单位长，建立如MAMB 图所示的空间直角坐标系M-xyz ，则AB=2，AM=．3连接NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故．由（1）知平面A 1AMN ⊥23231,(,,0)333PM E =平面ABC ，作NQ ⊥AM ，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC ．设，则，(,0,0)Q a 22123234(),(,1,4())33NQ a B a a =----故．21123223210(,,4()),||3333B E a a B E =-----=故的普通方程为．2C 224x y -=（2）由得所以的直角坐标为．224,4x y x y +=⎧⎨-=⎩5,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P 53(,)22设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，0(,0)x 220059()24x x =-+解得．01710x =因此，所求圆的极坐标方程为．17cos 5ρθ=23．解：（1）当时，2a =72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式的解集为．()4f x ≥311{|}22x x x ≤≥或（2）因为，故当，即时，222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-2(1)4a -≥|1|2a -≥．所以当a≥3或a≤-1时，．()4f x ≥()4f x ≥当-1<a<3时，，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<所以a 的取值范围是．(,1][3,)-∞-+∞。