第一章 线性规划
1、
由图可得：最优解为
2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058
2442
12121x x x x x x
解：
由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2
⎪
⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≥-0
,23222212
121x x x x x x
解：
由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞
Maxz = 2x 1 +x 2
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x
由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2
3
21x x
max Z = 8.
12
12125.max 2328416412
0,1,2maxZ .j
Z x x x x x x x j =+⎧+≤⎪
≤⎪⎨
≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2
6将线性规划模型化成标准形式：
Min z=x 1-2x 2+3x 3
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束
321
321321321,0,05232
7x x x x x x x x x x x x
解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中
x 3’≥0,x 3’’≥0
Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0
,0,0'',0',0,05
232
'''7'''543321
3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
7将线性规划模型化为标准形式
Min Z =x 1+2x 2+3x 3
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束
，321
321321321,0063244
2392-x x x x x x x x x x x x
解：令Z’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥≤-=--=-++-=+++,
0,,,063244
2392-5421
32153214321x x x x x x x x x x x x x x x
x 2’=-x 2 x 3=x 3’-x 3’’ Z’ = -min Z = -x 1-2x 2-3x 3
()()⎪⎩
⎪⎨⎧-=--+=--+--=+-+-632442392-'
'3'3215'
'33'214'
'3'3'21x x x x x x x x x x x x x x
123123412358.maxZ=3x 3434540
643660,1,2,3,4,5j x x x x x x x x x x x j ++⎧+++=⎪
+++=⎨⎪
≥=⎩
10,2,max .
∴最优解为（0，0,0），目标函数Z=38
9用单纯形法求解线性规划问题：
Max Z =70x 1+120x 2
⎪
⎩⎪
⎨⎧≤+≤+≤+300
1032006436049212121x x x x x x
解： Max Z =70x 1+120x 2
⎪
⎩⎪
⎨⎧=++=++=++300
1032006436049521421321x x x x x x x x x
单纯形表如下
Max Z =3908.
12
1212112
3453451231241510.max 432+230005 2.54000500,0,,(,,0)2230005 2.5+4000500
0,1,2,3,4,5j
Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+⎧≤⎪
+≤⎪⎨
≤⎪⎪≥⎩≥⎧++=⎪
+=⎪⎨
+=⎪⎪≥=
解：引入松弛变量111222121min 5min 4(020501)43(02+0 2.5+00)3
,)max(4,3)4,30004000500,,500,2
51c z c z x x σσσσθ
=-=-⨯+⨯+⨯==-=-⨯⨯⨯===∴⎛⎫
==∴ ⎪⎝⎭检验数>0,max(对应的为换入变量.
为换出变量.
123451110500,0,2000,1500,0,4(020501)4500302000.
x x x x c z σ≤∴=====∴=-=-⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=非基变量检验数，得到最优解：x 目标函数的maxZ=4
max Z=10X1+6X2+4X3
X1+X2+X3+X4=100
10 X1+4X2+5X3+X5=600
2 X1+2X2+6X3+X6=300
X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0
得到初始单纯形表：
（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他
根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，
θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。
（3）重复（2）过程得到如下迭代过程
ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，
Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。
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