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第十二章 全等三角形一、全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
二、全等三角形的有关概念（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
对应顶点：点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 。
对应边：AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 。
对应角：∠A 与∠D ，∠B 与∠E ，∠C 与∠F 。
2、对应元素的确定方法（1）字母顺序确定法∠根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法 ∠公共边一定是对应边； ∠公共角一定是对应角； ∠对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∠两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“∠”表示，读作“全等于”。
如三角形∠ABC 和∠DEF 全等，记作∠ABC∠∠DEF 。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、全等三角形的性质（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
∵∠ABC∠∠DEF∴AB=DE ，AC=DF ，BC=EF （全等三角形的对应边相等）。
∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F （全等三角形的对应角相等）。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
四、三角形全等的判定（一）三角形全等的基本事实1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。
全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1. 全等图形：能够完全________ 的两个图形就是全等图形。
2. 全等图形的性质：全等多边形的_________ 、_______ 分别相等。
3. 全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。
同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。
这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。
二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（"边边边”或" _________ "）。
（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“ ______ ”）。
（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“”）。
（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“”）。
2. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“ ______ ”）•注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。
3. 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
（以上可以简称：全等三角形的对应元素相等）三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1. 确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2. 回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
人教版八年级数学上册第12章全等三角形的性质及判定（讲义、随堂测试、习题）➢ 课前预习1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形；②三棱柱上下底面的两个三角形；③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图．➢ 知识点睛1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示．2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________．➢ 精讲精练1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________．FEDC BAACB12O第1题图第2题图2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________．3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________，______________．4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________，E DB A______________．DCB A ODCA第4题图第5题图5. 如图，AD ，BC 相交于点O ，若AO =DO ，BO =CO ，则_______≌_______，理由是_________．6. 如图，若AD =CB ，AB =CD ，则___________≌___________，理由是_______________；若∠B =∠D ，∠BCA =∠DAC ，则 _________≌________，理由是__________．ABCD③②①第6题图第7题图7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（） A ．带①去 B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去8. 如图，AO =BO ，若加上一个条件________________________，则△AOC ≌△BOC ，理由是__________． OBC A21E BA第8题图第9题图9. 如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，则△ABE ≌△ACE ，理由是____________．10. 如图，AD ，BC 相交于点O ，∠A =∠C ，若加上一个条件_______________，则 △AOB ≌△COD ，理由是_________．O DCB A11. 如图，AB =AD ，∠1=∠2，如果要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________； 这个条件也可以是_______________，理由是____________； 这个条件也可以是_______________，理由是____________．21EDBAA B C DE F第11题图第12题图12. 如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ，若∠_____=∠_____，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________． 13. 如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是_________，因此DF =__________．FEDCBA14. 已知：如图，BC =DE ，∠B =∠D ，∠BAC =∠DAE ．求证：△ABC ≌△ADE ．EDCBA15. 已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．16. 已知：如图，AB =CD ，AB ∥CD ．求证：△ABD ≌△CDB ．DCBAEDA【参考答案】➢课前预习1.①能②能③不能；大小不相等④不能；大小不相等➢知识点睛1.不在同一直线上，首尾顺次相接，△2.能够完全重合，≌，对应边，对应角3.SAS，SSS，ASA，AAS➢ 精讲精练1. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠ACB =∠F2. AO =BO ，CO =CO ，∠A =∠B ，∠ACO =∠BCO3.AB =DE ，AC =DC ，BC =EC∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠ACB =∠DCE 4. AB =CD ，AC =CA ，BC =DA∠B =∠D ，∠BAC =∠DCA ，∠BCA =∠DAC 5. △AOB ，△DOC ，SAS6. △ABC ，△CDA ，SSS ；△ABC ，△CDA ，AAS7. C8. AC =BC ，SSS （答案不唯一） 9. BE =CE ，SAS （答案不唯一） 10. AB =CD ，AAS （答案不唯一）11. AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS 12. A ，D ，EF ，CF 13. △BCE ，SAS ，CE 14. 证明：如图，在△ABC 和△ADE 中BAC DAE B D BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△ABC ≌△ADE （AAS ） 15. 证明：如图，在△ADC 和△AEB 中A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共角）（已知）（已知） ∴△ADC ≌△AEB （ASA ） 16. 解：如图，DCBA21∵AB ∥CD ∴∠1=∠2在△ABD 和△CDB 中1 2 AB CD BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABD ≌△CDB （SAS ）全等三角形的性质及判定（随堂测试）1. 已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，___________，_________，对应角∠ABC =∠DEF ，__________，__________．第1题图第2题图2. 如图，∠BAD =∠CAE ，BC =DE ，若加上一个条件__________，则△ABC ≌△ADE ，理由是___________．3. 已知：如图，A ，F ，C ，D 在同一直线上，AC =DF ，AB ∥DE ，且AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ． 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路：要证全等，需要______组条件，其中必须有一组______． 由已知得，________=_________；________=_________． 根据条件_______________，得_________=___________． 因此，由__________可证两三角形全等． 【过程书写】 证明：如图，E DCBAEDB AF EDCBA【参考答案】1. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠C =∠F2. AC =AE ，SAS （答案不唯一）3. 梳理思路：3，边AC ，DF ；AB ，DE AB ∥DE ，∠A ，∠D SAS【过程书写】 证明：如图， ∵AB ∥DE ∴∠A =∠D在△ABC 和△DEF 中∴△ABC ≌△DEF （SAS ）全等三角形的性质及判定（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ．求证：△ACD ≌△CBE ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）ABC DEE DCB A由已知得，CD =BE ；根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角．由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ．发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中AC CB ACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）➢ 巩固练习1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论：①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第1题图第2题图2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．3. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角EDBA21F EDCBA形是_______________，理由是_________．第3题图第4题图4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．5. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（） A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS第5题图第6题图6. 要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD =BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长．判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（） A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAA7. 已知：如图，M 是AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：△AMC ≌△BMD ． 【思路分析】H G FE DCBAECD AB'A'OBA FED C B A21MDCBA① 读题标注：② 梳理思路：要证全等，需要______组条件，其中必须有一组_____相等．由已知得：_______=_______，_______=_______．根据条件_________________，得_______=_______．因此，由________可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图8. 已知：如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，且BC =EF ，AB ∥DE ，AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．【思路分析】① 读题标注：② 梳理思路：要证全等，需要_____组条件，其中必须有一组____相等． 由已知得：_______=_______，_______=_______．根据条件_________________，得_______=_______．因此，由__________可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图F D C B A➢思考小结1.两个三角形全等的判定有_____，_____，_____，_____，其中AAA，SSA不能证明三角形全等，请举反例进行说明．2.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B 间的距离．你能说明其中的道理吗？【参考答案】➢ 巩固练习1.B 2.AC =DF ，SAS ；∠B =∠E ，ASA ；∠A =∠D ，AAS 3.△BCD ≌△AED ，AAS 4.AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS 5.A 6.B 7. ①略②3，边∠1，∠2；∠C ，∠DM 是AB 的中点，AM ，BM AAS【过程书写】证明：如图，∵M 是AB 的中点∴AM =BM在△AMC 和△BMD 中1 2 C D AM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已证）∴△AMC ≌△BMD （AAS ）8. ①略②3，边BC ，EF ，AB ，DEAB ∥DE ，∠B ，∠ESAS【过程书写】证明：如图，∵AB ∥DE∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）➢ 思考小结1. SAS ，SSS ，ASA ，AAS AAA 反例：大小三角板SSA 反例：作图略2. 证明：如图，在△ABC 和△DEC 中AC DC ACB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△ABC ≌△DEC （SAS ）∴AB =DE （全等三角形对应边相等） 即DE 的长度就是A ，B 间的距离。
