关于主成分分析的几种常用改进方法

高维数据降维算法的性能评估与改进引言：在现实生活和科学研究中，我们经常面临处理高维数据的挑战。

高维数据具有大量的特征，因此难以直观地可视化和分析。

为了解决这个问题，降维算法被广泛应用于高维数据的预处理和分析。

降维旨在通过将高维数据映射到低维空间，保留最重要的信息，同时减少数据维度，以实现更有效的数据分析。

本文旨在探讨高维数据降维算法的性能评估与改进。

首先，我们将介绍几种常用的高维数据降维算法，包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和局部线性嵌入（LLE）。

然后，我们将讨论如何评估这些算法的性能，并提出一些改进方法以提高降维算法的效果和稳定性。

一、高维数据降维算法1. 主成分分析（PCA）：PCA是一种最常用的降维算法。

它通过线性变换将原始数据映射到一个低维空间，以使得投影方差最大化。

这意味着通过选择最主要的特征，PCA 可以减少数据的维度，并且保留了大部分的变异性。

2. 线性判别分析（LDA）：LDA是一种监督学习的降维算法。

它通过将数据投影到一个低维空间，以最大化不同类别之间的差异性，同时最小化同一类别内部的方差。

相比于PCA，LDA更适用于分类问题。

3. 局部线性嵌入（LLE）：LLE是一种非线性的降维方法。

它通过局部的线性逼近来保持数据之间的局部关系。

LLE首先确定每个数据点的邻域，然后通过最小化邻域内点之间的重建误差，将原始数据映射到低维空间。

二、性能评估方法为了评估高维数据降维算法的性能，我们需要考虑以下几个指标：1. 降维后数据的可视化效果：降维算法的主要目标之一是可视化高维数据。

因此，我们可以通过可视化降维后的数据，观察数据的分布和结构是否更清晰可辨。

2. 信息保留能力：降维算法在减少数据维度的同时，应尽可能保留原始数据的重要信息。

我们可以使用各种信息论指标（如方差解释比例）来评估降维算法在信息保留方面的效果。

3. 计算效率：降维算法的计算效率也是一个重要的指标，特别是在处理大规模高维数据时。

2009年第6期 科技管理研究Science and Technol ogy Manage ment Research 2009No 16收稿日期:2008-09-25,修回日期:2008-11-05基金项目:黑龙江省社会科学基金项目(05B0142);黑龙江省自然科学基金项目(G200606)文章编号:1000-7695(2009)06-0128-03对主成分分析三点不足的改进徐永智1,2,华惠川2(11吉林大学东北亚研究院,吉林长春　130012;21黑龙江科技学院经济管理学院,黑龙江哈尔滨　150027)摘要:首先通过均值化和对数中心化处理改进主成分分析的特征提取,其次通过比较最优与最劣样本的主成分数值大小,判定特征向量方向,用熵值法对主成分的综合值计算进行改进。

最后,文章用改进后的主成分方法对中国东部各省市区域创新能力进行综合评价。

关键词:主成分分析;均值化;对数中心化;熵值法中图分类号:C93111文献标识码:A1　问题的提出主成分分析在多指标综合评价中被广泛应用。

但在实际应用中,几乎每个步骤都有值得探讨或改进之处。

本文在前人文献的基础上,总结了具体存在三个问题,并在第二部分对这些问题一一做了解决,最后给出一个实例进行具体应用。

其中,本文在第一部分总结出主成分分析在特征提取、特征向量方向确定以及主成分综合值计算中需要改进的地方。

问题一是,通过将指标正态标准化会存在信息丢失问题,从而使得特征提取性下降,并且当指标间线性程度不高时,应用线性主成分方法也会造成特征提取能力下降的问题。

首先,从原始数据的协方差矩阵可以知道,协方差矩阵包含两部分信息。

一是对角线上的信息,它就是各个指标的方差,反映的是各指标的变异。

二是对角线之外的信息,即各指标间的协方差,它反映的是指标间的相互影响,由相关矩阵体现,因为当指标i 与指标j 的方差不变时,协方差就与指标间的线性相关程度成正比。

但传统的正态标准化方法使各指标的方差变成1,即协方差矩阵的对角元素均为1,这样消除了各指标在变异程度上的差异,从中提取的主成分,只包含各指标间相互影响这一部分信息,显然不能准确反映原始数据所包含的全部信息,所以必须改进这种方法。

主成分分析的原理与方法主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的降维技术，用于数据的降维和特征提取。

它通过线性变换将原始数据映射到新的特征空间，使映射后的数据在新的特征空间中具有最大的方差。

一、主成分分析的原理主成分分析的核心思想是将高维数据映射到低维空间，同时保留最重要的信息。

具体而言，将原始数据映射到新的特征空间后，希望得到的新特征具有以下特性：1. 最大化方差：在新的特征空间中，希望找到使数据方差最大化的方向。

这样做的目的是将数据的主要变化方向保留下来，有利于更好地区分不同的样本。

2. 无相关性：希望得到的新特征之间是相互独立的，即它们之间没有任何相关性。

这样可以减少数据中的冗余信息，提取出更具代表性的特征。

二、主成分分析的方法主成分分析通常分为以下几个步骤：1. 标准化数据：由于主成分分析是基于数据的协方差矩阵进行计算的，所以首先需要将数据进行标准化处理，使各个维度的数据具有相同的尺度。

2. 计算协方差矩阵：通过计算标准化后的数据的协方差矩阵，可以得到各个维度之间的相关性。

3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量，其中特征值表示对应特征向量方向上的方差。

4. 选择主成分：根据特征值的大小，选择方差解释最大的前k个特征向量作为主成分。

5. 数据映射：将原始数据映射到选择的主成分上，得到降维后的数据。

三、主成分分析的应用主成分分析在数据分析和特征工程中有广泛的应用，可以用于数据降维、数据可视化和去除数据冗余等方面。

1. 数据降维：主成分分析可以将高维数据映射到低维空间，减少数据的维度，降低计算复杂度，并且保留了大部分的数据信息。

2. 数据可视化：通过将数据映射到二维或三维空间，可以将高维数据可视化，更好地观察数据的分布和结构。

3. 特征提取：主成分分析可以提取出数据中最具代表性的特征，对于后续的模型建立和训练有重要的意义。

数据降维方法数据降维是指通过保留数据集的主要特征，减少数据集维度的过程。

在实际应用中，数据往往具有高维度和复杂性，这给数据分析和处理带来了挑战。

因此，数据降维方法成为了数据处理中的重要环节。

本文将介绍几种常见的数据降维方法，包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和t-SNE算法。

主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，它通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得数据在新坐标系下的方差最大化。

这样可以保留数据的主要信息，同时减少数据的维度。

PCA的核心思想是找到数据中的主成分，即数据中方差最大的方向。

通过保留主成分，可以实现数据降维的目的。

另一种常见的数据降维方法是线性判别分析（LDA）。

与PCA不同，LDA是一种有监督学习方法，它考虑了数据的类别信息。

LDA的目标是将数据投影到一个新的空间中，使得不同类别的数据点尽可能远离，同一类别的数据点尽可能接近。

通过这种方式，LDA可以在降维的同时保留数据的类别信息，有助于分类和识别任务的进行。

除了PCA和LDA，t-SNE算法也是一种常用的非线性数据降维方法。

t-SNE算法通过在高维空间中保持相似的数据点在低维空间中仍然保持相似的方式进行降维。

它能够有效地发现数据中的局部结构，并在可视化任务中表现出色。

t-SNE算法在图像、文本和生物信息学等领域得到了广泛的应用。

总的来说，数据降维是数据处理中非常重要的一环。

通过合适的数据降维方法，可以在保留数据主要特征的同时减少数据的维度，提高数据处理和分析的效率。

在实际应用中，需要根据数据的特点和任务的要求选择合适的数据降维方法。

希望本文介绍的主成分分析、线性判别分析和t-SNE算法能够为读者在实际应用中提供帮助。

如何有效利用主成分分析进行综合评价摘要：由于主成分分析在多元统计分析中的降维作用，使之在社会、经济、医疗、生化等各领域运用越来越广泛，但由于传统主成分分析方法的局限性导致了一些问题的产生。

这些问题吸引了许多领域专家的关注，并具有针对性的提出了一些不同的改进方法。

本文介绍了主成分分析的基本和性质，并整理了近年来主成分分析在综合评价应用中遇到的普遍问题并整理验证了认同率较强的一些改进方法，以供大家研究学习。

关键词：主成分分析；综合评价；均值化1引言1.1研究的背景和意义随着生产力的不断进步，生产方式由外延式扩张转化为追求经济效益的内涵式发展，以致在生产过程中必须考虑经济效益的各个方面，如生产力水平、技术进步、资源占用等情况，并需要就综合各方面的因素进行综合评价。

评价是根据确定的目的来测定对象系统的属性，并将这种属性变为客观定量的计值或者主观效用行为，整个过程离不开评价者的参与，而综合评价作为评价的一种也需要评价者做出相应反应或指示，而很多综合评价过程易受到评价者的干预，使评价结果产生偏差。

主成分分析能将高维空间的问题转化到低维空间去处理【9】，使问题变得比较简单、直观，而且这些较少的综合指标之间互不相关，又能提供原有指标的绝大部分信息。

而且，伴随主成分分析的过程，将会自动生成各主成分的权重，这就在很大程度上抵制了在评价过程中人为因素的干扰，因此以主成分为基础的综合评价理论能够较好地保证评价结果的客观性，如实地反映实际问题。

主成分综合评价提供了科学而客观的评价方法，完善了综合评价理论体系，为管理和决策提供了客观依据，能在很大程度上减少了上述不良现象的产生。

所以在社会经济、管理、自然科学等众多领域的多指标体系中，如节约型社会指标体系、生态环境可持续型指标体系、和谐社会指标体系、投资环境指标体系等，主成分分析法常被应用于综合评价与监控【6】。

综上所述，对综合评价指标体系理论进行研究，既有理论上的必要性，更有实践中的迫切性。

主成分分析案例数据目录主成分分析案例数据 (1)介绍主成分分析 (1)主成分分析的定义和背景 (1)主成分分析的应用领域 (2)主成分分析的基本原理 (3)主成分分析案例数据的收集和准备 (4)数据收集的方法和来源 (4)数据的预处理和清洗 (5)数据的特征选择和变换 (6)主成分分析的步骤和方法 (7)数据的标准化和中心化 (7)协方差矩阵的计算 (8)特征值和特征向量的求解 (9)主成分的选择和解释 (10)主成分分析案例数据的分析和解释 (11)主成分的解释和贡献率 (11)主成分的权重和特征 (11)主成分得分的计算和应用 (12)主成分分析的结果和结论 (13)主成分分析的结果解读 (13)主成分分析的应用建议 (14)主成分分析的局限性和改进方法 (15)总结和展望 (16)主成分分析的优势和局限性总结 (16)主成分分析的未来发展方向 (16)主成分分析在实际问题中的应用前景 (16)介绍主成分分析主成分分析的定义和背景主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量数据分析方法，旨在通过降维将高维数据转化为低维数据，同时保留原始数据中的主要信息。

它是由卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）于1901年提出的，被广泛应用于数据挖掘、模式识别、图像处理等领域。

主成分分析的背景可以追溯到19世纪末，当时统计学家们开始关注如何处理多变量数据。

在那个时代，数据集的维度往往非常高，而且很难直观地理解和分析。

因此，研究人员开始寻找一种方法，能够将高维数据转化为低维数据，以便更好地理解和解释数据。

主成分分析的基本思想是通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得新坐标系下的数据具有最大的方差。

这样做的目的是希望通过保留原始数据中的主要信息，同时减少数据的维度，从而更好地理解数据的结构和特征。

具体而言，主成分分析通过计算数据的协方差矩阵，找到一组正交的基向量，称为主成分。

关于主成分分析的常用改进方法论文1. 核主成分分析（Kernel PCA）核主成分分析通过使用核技巧将线性PCA扩展到非线性情况。

它通过将数据从原始空间映射到一个高维特征空间，然后在高维空间中进行PCA，从而实现非线性降维。

核PCA可以更好地处理非线性关系，但计算复杂度较高。

2. 稀疏主成分分析（Sparse PCA）稀疏主成分分析是一种改进的PCA方法，旨在产生稀疏的主成分。

传统PCA生成的主成分是线性组合的数据特征，而稀疏PCA将主成分的系数限制在一定范围内，产生稀疏的解。

这样可以更好地捕捉数据的稀疏结构，提高降维效果。

3. 增量主成分分析（Incremental PCA）增量主成分分析是一种改进的PCA方法，用于处理大型数据集。

传统PCA需要一次性计算所有数据的协方差矩阵，如果数据量很大，计算复杂度就会很高。

增量PCA通过将数据分批进行处理，逐步计算主成分，从而减轻计算负担。

这样可以在处理大型数据集时实现更高效的降维。

4. 自适应主成分分析（Adaptive PCA）自适应主成分分析是一种改进的PCA方法，旨在处理具有时变性质的数据。

传统PCA假设数据的统计特性不会发生变化，但在现实世界中，许多数据集的统计特性会随着时间的推移而变化。

自适应PCA可以自动适应数据的变化，并更新主成分以适应新的数据分布。

5. 鲁棒主成分分析（Robust PCA）鲁棒主成分分析是一种改进的PCA方法，用于处理包含离群点或噪声的数据。

传统PCA对离群点和噪声十分敏感，可能导致降维结果出现严重偏差。

鲁棒PCA通过引入鲁棒估计方法，可以更好地处理异常值和噪声，提高降维结果的鲁棒性。

以上是常见的几种PCA的改进方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点。

研究人员可以根据实际需求选择适合的方法，以实现更好的降维效果。

数据降维的方法
数据降维的方法
数据降维是指将原有维数的数据，通过某种算法，转换到更低维数的数据，以达到某种目的。

数据降维的方法有多种，下面简要介绍一下几种常用的降维方法。

1. 主成分分析法：
主成分分析法是一种不改变原始数据分布的有效数据降维方法，是一种无监督学习方法。

它的基本思想是，在维数很高的时候，将原始的高维的数据映射到一个低维的空间中，使得原始数据尽可能的保留其内在的结构，同时又降低维数。

2. 降维投影：
降维投影是把原始数据集的更高维（比如三维）映射到更低维（比如二维）的过程，在映射过程中，尽可能地保留原始数据的结构。

这种方法主要是从空间上考虑，把原始数据从多维空间映射到低维空间，使得数据之间的相关性、结构等能尽可能的保留。

3. 局部线性嵌入：
局部线性嵌入是一种有监督的特征提取算法，它有效地将原有维数较高的数据映射到低维空间中，同时又能保留原有的关联结构，主要用于非线性问题。

4. 降维编码：
降维编码是指将原始数据投影到一个更低维空间中，使用某种编码规则对原始数据进行编码，以达到降维的目的。

总之，数据降维是一种常用的方法，用来简化复杂数据的处理。

它节省了计算量和存储空间，同时又能保留原来数据的结构，十分有用。

文献综述题目：主成分分析及其改进方法主成分分析及其改进方法摘要：本文先叙述了主成分分析方法地研究背景，介绍主成分分析使用降维方法，用较少地变量来代替原有地较多地变量地映射原理，并归纳总结出了实现主成分分析地6个主要步骤，同时指出主成分分析方法在经济政治文化等领域地应用.接着本文着重指出了主成分分析方法目前存在地三个主要问题，其中包括数据地无量纲化，只适用线性问题地局限和第一主成分不够高不宜进行单独评价几个问题.然后又针对主成分分析存在地三个问题提出了相应地一种改进方法：用均值法来改变数据地无量纲化，用“对数中心化”地非线性主成分分析方法代替原有方法，用加权法改进第一主成分不够高不宜单独评价地问题.本文在最后对主成分分析方法做出了整体评价.关键词：主成分分析；综合评价；企业竞争力；预测；改进1前言在基于无监督统计方法中，主成分分析是用得最多地方法[1]，主成分分析从可观测地显式变量中提取信息，组成不可直接观测地隐含变量.它是一种线性映射方法，采用地原则是使方差最大，以尽可能多地保留原变量所包含地信息，同时又能用尽可能少地主成分替代原有变量，从而达到降维地目地[2].由于这种方法既可以消除各指标不同量纲地影响,也可以消除由各指标间相关性所带来地信息重叠,起到降维地作用,从而简化指标地结构,使分析问题简单、直观、有效,故目前已广泛应用于许多领域.特别是在经济领域中,人们经常利用主成分分析方法综合评价企业地经济效益、技术进步效益,并收到了一定地效果[3].2主成分分析原理及步骤2.1主成分分析原理主成分分析主要是使用降维地方法，使用较少地变量来代替原有地较多地变量.在变量转换过程中，采用了映射地原理.也就是说，较少地变量是原有较多属性变量地线性表示[4].主成分分析是在模型计算时首先利用最小二乘法原理，抛弃细小地、无序地差异,保留最大地、有序地差异,最终得到只有少数几个主成分地数学模型,并使数据变得简单并容易理解和展示[5].从主成分地导出和计算上看,主成分是从原始数据地协方差矩阵或者相关系数矩阵出发,主成分地协方差矩阵应该是一个对角矩阵,主成分表达式系数矩阵A应该是一个正交矩阵为条件,导出主成分地协方差矩阵地对角线元素是协方差矩阵或相关矩阵地特征值,主成分地方差就是原始数据协方差矩阵或相关矩阵地特征值,主成分表达式系数就是协方差矩阵或相关矩阵特征值对应地特征向量[6].第一主成分能够最大限度地反映样本间地差异,是概括指标差异信息地最佳线性函数价，可以用第一主成分对样本综合排序[7].2.2主成分分析主要步骤主成分分析地具体步骤可以分为以下几步：（1）建立原始变量矩阵X,由m个样本地n个引因子构成.（1）(2)对原始变量矩阵X进行标准化处理(目地是为了消除原始数据量纲和数量级地影响).采用Z-S core变换进行标准化,其标准化公式为:,其中，，.(3)计算出标准化数据地相关系数矩阵,并求出其特征根.(4)确定主成分个数.根据累积方差贡献率来进行确定,即按照方差占总方差地比例(通常取85%)来选取,p为主成分地个数.(5)确定主成分地表达式.(6)确定综合评价函数[8-13].3主成分分析地应用企业竞争力评价一直是实业界和学术界研究地热点.其结果将直接影响到企业战略地制定、战略方向地转移、标杆学习企业地选择等.就企业而言,综合、客观、准确地评价其竞争力是提升企业竞争实力首先要解决地问题[14].郝会会等人曾以国内上市16家商业银行作为样本，使用SPSS对数据进行处理，研究评价各银行地综合竞争力并对部分银行未来地发展做出预测[15].田波平等人应用一种客观赋权地动态评价方法,利用上市公司年度报告所提供地财务指标,应用多元统计中地主成分分析方法对40样本股票地分多指标表现进行综合[16].刘丹等人以26家上市运输型物流企业财务数据指标值作为分析样本，运用主成分分析法研究企业竞争力评价，得出现代物流与区域经济发展有着紧密地联系和运输型物流企业通过实现服务地多元化提高竞争力地结论[17].主成分分析地应用不仅仅局限在企业地综合评价上，通过主成分分析,还可以可以全方位地了解各个地区社会经济系统地发展水平及其差距[18].在对城镇化动力因素理论分析地基础上,采用主成分分析法单位耕地农业机械总动力、第三产业产值比重、农民人均纯收入、乡村劳动力数、非国有部门就业率这几个因子对城镇化作用较大,从而可帮助有关部门在推进城镇化进程时把握主要方向[19].通过主成分分析还可以对对我国普通高等教育发展水平进行评价，反映了各地区高教发展背景地变化情况和各地区高校地办学规模，可以得到各地区“高教发展现状”地排名，尽管各地区高等教育地发展不尽相同,但从总体上来看,我国高等教育地发展基本上是健康、协调地[20].4目前存在地问题及改进方法4.1主成分分析目前存在地问题(一)特征向量地方向对用都对主成分分析做综合评价造成影响[21].在实际应用中,为了消除变量量纲地影响,往往对原始数据标准化，但是标准化在消除量纲或数量级影响地同时,也抹杀了各指标变异程度地差异信息.事实上,原始指标包含两方面地信息:一是各指标变异程度地差异信息,二是各指标之间相互影响程度上地信息[22].(二）主成分分析只是一种“线性”降维技术,只能处理线性问题:一方面主成分是原始指标地线性组合,另一方面对原始数据进行标准化处理,使协方差矩阵变为相关系数矩阵,而相关系数矩阵只能反映指标间地“线性”相关程度.研究实际问题时,不仅指标间有非线性关系,有时主成分与原始数据之间也呈非线性关系,如果简单地进行线性处理,必然导致评价结果地偏差.因此有必要对传统主成分地“线性化”进行改进[23].(三)另外，由于统计分析作为一种“由表及里”地数学手段,强调地是它地客观性,而评价理论对客观事物地看法则建立在评价者价值判断地基础上[24].全局主成分分析是研究时序立体数据表地主成分分析法,被用来研究多指标地动态数据,其第一(全局)主成分地方差贡献率往往不够高,故不宜单独用来进行评价[20].4.2对主成分分析地改进方法(一)改进原始数据地无量纲化方法,均值法方法就是其中较好地一种,设有N个被评价地对象,及P个指标,原始数据为(Xij)n*p,各指标地均值为，均值化就是用各指标地均值去除它们相应地原始数据,即=/，均值化处理不改变各指标间地相关系数,相关系数矩阵地全部信息都在相应地协方差矩阵中得到反映.均值化处理后地协方差矩阵不仅消除了指标量纲与数量级地影响,还能包含原始数据地全部信息,因此在用主成分分析方法做综合评价时,应用均值化方法进行无量纲化处理[25].(二)非线性主成分分析法有很多种,本文只介绍“对数中心化”地非线性主成分分析方法.对数中心化地基本方法为:设有P个指标地原始数据为.1）对原始数据作中心对数化变换:.2）计算对数中心化地样本协方差矩阵，，其中.3）从S出发求主成分设是S地P个特征根是相应地标准化特征向量,则第i个非线性主成分为:，余下地处理同于传统地主成分分析.非线性主成分分析与传统主成分分析相比有两处改进:一是通过对原始数据作对数中心化变换,将主成分表示为原始数据地非线性组合;二是分析地出发点是协方差矩阵,不再是相关系数矩阵.通过这两处改进,会明显提高降维效果,用更少地主成分更多地反映原始指标地信息[26-28].(三)在很多情况下,第一主成分F地方差贡献率不够高,需要考虑多个主成分F1、1为权F2、、Fr.为了对样品进行排序,流行地方法是以各个主成分F地方差贡献率i数,构造主成分地“综合得分”:,然后利用样本地主成分综合得分进行排序11.加权法强调地是各被选方案地一致性,突出了评价指标较小值地作用,具有“一丑遮百俊”地特征,而权重系数地作用则不如线性加权综合法,其对指标值变动地反映也更敏感,有助于体现被选方案地差异[29].5对主成分分析地评价1).由数理统计中地大数定律得知,随着被评价对象地增加,评价指标地平均水平和离散程度趋于稳定,因而协方差矩阵也趋于稳定,增加评价结果地准确性,因此主成分分析适宜于大样本容量地综合评价.2).由于同一被评价对象在不同样本集合体中地均值和离散程度是变化地,因而协方差矩阵也是变化地,由此计算地主成分与方差贡献率是不同地,所以综合评价地结果是变化地,因此主成分分析方法只适用于一次性评价.3).改进与提高主成分分析做综合评价地效果地方法有很多,但在研究具体问题时应首先研究指标之间地特征,选择合适地数据处理方式,再进行主成分分析,才能得到正确地评价结果[30-34]..参考文献Jolliffe I. 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