控制工程基础第四章

解:(1)确定开环零极点，画零极点分布图
零点： z=-1
极点： p1=0， p2=-2
(2)根轨迹起止点和分支数： 2
(3)实轴上的根轨迹
[S]
-2
-1
17
例
单位反馈控制系统的开环传递函数为
K*(s7)(s2) G(s) s2(s3)(s5)
试绘制K* 由零到无穷时系统的闭环根轨迹。
解:(1)确定开环零极点，画零极点分布图 零点： z1=-7， z2=-2 极点：p1,2=0，p3=-3， p4=-5
a(2n k m 1)2k3 13,
-1
交点：
n
m
pj zi
aj1nm i1
0(1j)(1j)02
3
3
20
例
某单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
K
ss1s2
开 环p1极 0,p点 21,p32 开 环 无实零 轴上的点 根轨迹
M [S]
s 1 0 , s 1 2 0
s 2 1 ,8 s 0 2 2 0
s 4
2
1
s 3 -2 s 2 0
s 1
s3 1 8 , 0 s3 2 1 80
s 41 , s 4 2 2
j1dpj i1dzi
3.由dD(s) 0 解出 s ds
利用幅值条件可以求出分离点(会合点)对应的K*值 25
例
某单位反馈系统的开环传递函数为
Gs
K
ss1s2
ss
K
1s
2

1
K ss 1 s2
[S]
dK dss1s20
ds ds
a
s 1 s 2 s s 2 s s 1 0 -2 -1 s 10
即3： s2+6s+2=0 解s得 1=-0.43， 3s2=-1.56(舍 7)
与 s1对 应 K *=s的 1s1+1s1+2
26
=0.43 × 03 .56 × 17 .56=0 7 .38
[S]
s s2
K1s
-2
0
K s s2
1 j 1 j2
1 j 1 j 2 2 2
K
N
K 1 2
10
4.2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数 根轨迹在[S]平面上的分支数=
闭环特征方程的阶数n
n个特征根随K变化会出现n条根轨迹
有 ：s2 2s0.250
与s1对应的
解 得 ： s1 2.12 s2 0.12
是 会 合点K* s12 3s1 3.25 1.23
舍 去
s1 1
28
例 已知系统的开环传递
函数绘制根轨迹
G(s)H(s)=s2K +3(ss+ +31.)25
4 出射角：
θ 1 = 1 + 8 ∠ (p 1 0 - z )- ∠ (p 1 - p 2 )
若s4位 于 根 轨 迹 上 ， 则足必 满
幅角条件，即 1 2 180，
N
s4一定在2，0的中垂线 MN上9 。
利用幅值条件可算出根轨迹上的某点处的K* 值
例 G ss0.5 K s1ss 2K 2sK s *2
M
如s： 1j点 幅值条件K* 1
=180 +116.57 -90 =206.57
由于对称性
K* 1.23
206.57
p1
[S]
会合点 -3
2.12 z116.57 -2 -1 0
2 206.57
p2
29
八、实轴上的分离点的分离角恒为 90 实轴上的会合点的会合角恒为 90
会合时，根轨迹 切线的倾角
终止于 z b 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j1
i 1
ib
其它零点到 z b 的向量夹角
24
七、根轨迹的分离点或会合点
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点，称 为根轨迹的分离点（或会合点）。
1.根轨迹 ⇒ d 方 K * 程 0 解s出 ds
n
2.由
1
m

1
解出 d
Im
动态性能分析:
[S] 1.K变化时的阻尼情况
K=0.5
2.最佳阻尼(0.707)对应
-2
-1
0
Re 的极点
3.可判断系统的型别从
K=1
而计算出稳态误差
K=-∞
6
4.1.2 根轨迹方程
反 馈 控 制 系 统 的递闭函环数 :传
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Gs 1GsHs
根 轨
其特征 1 方 G sH 程 s0为 迹
p1
z
-3 -2 -1
p2
[S]
0
30
九、根轨迹与虚轴的交点
说明s=jω满足特征方程,即:
1 G j H j 0
即 R 1 G j H e j j I 1 G m j H j 0
令 I R m 1 1 eG G jj H H jj 0 0 K 及 K
所有零点到 p a 的向量夹角
m
n
出射角： a 180 2k 1 i j
起始于 p a 的根轨迹在起点处
i 1
j1
ja
的切线与水平正方向的夹角
其它极点到 p a 的向量夹角
所有极点到 z b 的向量夹角
n
m
入射角： b 180 2k 1 j i
函数绘制根轨迹
G(s)H(s)=s2K +3(ss+ +31.)25
3求会合点：
根 轨 迹:s方 2K 3程 ss31.2 51
K s2 3s3.25 s1
d d K s2 s 3 s 1 s 1 s 2 2 3 s 3 .2 50
j 1
k0,1,2,
S平 面 上 所 有 满 足 幅件 角 条
的K点 由都0~是特 征 方 程 的 根
8
利用相角条件绘制根轨迹
例
Gss0.5Ks1

2K
ss2

K
ss2
相角 s 条 s 2 件 1 8 2 k ： 1 0 试探法
11
二、根轨迹的对称性
-----对称于实轴
[S]
12
三、根轨迹的起点与终点
起点----开环极点 终点----开环零点 开环m<n 时，有(n-m)条终止于无穷远处
[S]
n4 m2
nm2
有2条根轨迹终止于 处
13
证明： G (s)H (s)K s s p 1 z 1 s s p 2 z2 s s p z n m 1
例 已知系统的开环传递
函数绘制根轨迹
GsHss2K * 3ss 3 1.25
解： 1 求开环极点
s2 3s 3.25 0 p1 1.5 j p2 1.5 j
开环零点 z=-1
(2) 实轴上的根轨迹
p1
z
-3 -2 -1
p2
[S]
0
27
例 已知系统的开环传递

2K s(s
2)
开环极点0，-2
闭环特征方程为 s22s2K0
闭环特征根为 s1,2 1 12K
5
s1,2 1 12K
KKKK====01∞0.，，5，，
sss1s111011,1,sj2sj221 ss22 11 jj
K=∞
K=1
目之和应为奇数。 可由相角条件证明
m
n
zi pj1802k1
i1
j1
k0,1,2,
Im
p2
×
[s]
×
×
p5
p4
○
×
z2
p1
○
z1 Re
×
p3
16
例4.2.1单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s) K*(s 1)
s(s 2)
试绘制K* 由零到无穷时系统的闭环根轨迹。
到获得nm个倾角为止
19
例4.2.2 控制系统的开环传递函数为
K* G(s)H(s)s(s22s2)
试求根轨迹的渐近线。
解:(1)确定开环零极点
零点： 无
极点： p1=0， p2 ,3=-1 ±j
(2)根轨迹起止点和分支数： 3
(3)实轴上的根轨迹 (4)渐近线： 3条
[S]
1
倾角：
-1
(2)根轨迹起止点和分支数： 4
(3)实轴上的根轨迹
[S]
-7
-5
-3 -2
18
五、根轨迹的渐进线
渐进线与实轴交点的坐
n
m
p j zi
a
j1
i1
nm
渐进线与实轴正向的夹
a

2 k 1
nm
标为： 极点之和减去 零点之和。
角 为 ： k依次取0，1，2，一直
m
n
幅角 s条 1 zi 件 s1 p j 18 2 k 0 1
i 1
j 1
m
n
推 广 a 1： 82 k 0 1i 1 p a i zi jj 1 a p a j p 2j3
ss p z1 1s s zp 2 2 ss zp m n K 1
起点K处 0，即
sp1sp2spn0
起点为p1： , p2,pn
终 点K处 ， 即
sz1sz2szm0
终 点 为z1： ,z2,zm
终止角：终止于开环共轭零点的根轨迹在终点处的 切线与水平线正方向的夹角。
p1
z1
p2
[S] 1
p3
2
[S]
1
z1
z2 2
22
p1 s1
[S]
1
起始角
z1
p3
p2
2
GsK s s p1z1 sspznm
s 当 1 s1 p 1 时 pi1 m 时 1 p 1 ， z is 1 则 1 p 1j n 2 1,p 即 1 p j 起 1始 8 2 k 0 角 1
3
4.1 根轨迹的基本概念
4当.1系.1统根某轨个迹参数（开环增益K）由零到无
穷大变化时， 闭环特征根(极点)在S平面上 移动的轨迹。
常规根轨迹：变化的参数为开环增益K
广义根轨迹（参量根轨迹）：变化的参数为 其它参数
4
例：了解开环增益与闭环特征根间的关系
单位反馈系统的开环传递函数
Gs K
s(0.5s 1)
或
写 G s 作 H s 1
方 程
相 : G 角 s H s 1 条 2 k 8 1 ( k 0 0 件 , 1 , 2 )
幅值 : G 条 sH s 件 1 7
若 G sH sK s s p 1 z 1 s s p 2 z2 s s p z n m
控制系统的根轨迹分析
第4章 根轨迹法
开环传递函数 → 闭环特征根 --图解法
反馈控制系统的基本性能，主要由系统 的闭环极点（即特征方程的根）的分布所决定
1948年 伊凡思提出 可以弥补高阶系统求闭环极点困难的缺陷
2
学习要点
• 根轨迹与根轨迹方程 • 根轨迹绘制法则 • 广义根轨迹 • 根轨迹法分析控制系统的性能
n=3,m=0,故有3条渐近线
渐进线与实轴交点的坐 标为

a

0


1
3

2
0

1
渐进线与实轴正向的夹 角为
a

2k
1180
3


60 , 180

a
-2 -1
[S]
0
21
六、根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角)
起始角：起始于开环共轭极点的根轨迹在起点处的 切线与水平线正方向的夹角。
K系统的开环根 开 轨环 迹增 K 增益 益
GsHs
K
Az1ejz1Azm ejzm Ap1ejp1Apn ejpn
GsH s1
m
n
相角条 件 zi pj180 2k1
i1
j1
幅值条件
m
Azi
K
i 1 n
1
Apj
14
当nm时的终点
满足 s s p z1 1 s s z p 2 2 s s z p m n K 1 0
而当 s时，上式可写为：
sm sn 0
即1 snm
0
终点n有 m条根轨迹趋于无
15
四、实轴上的根轨迹
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零点、极点数