§6.1数列的概念与简单表示法
最新考纲考情考向分析
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．2．数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类
有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
按项与项间的大小关系
分类递增数列a n＋1> a n
其中
n∈N＋递减数列a n＋1< a n
常数列a n＋1＝a n
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个
数列的通项公式． 知识拓展
1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，
则a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2，n ∈N ＋.
2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1.
若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n －1，
a n ≤a n ＋1.
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编
2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n
a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )
A.32
B.5
3 C.85 D.23
答案 D
解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝1
2，
a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝2
3
.
3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ .
答案 5n －4 题组三 易错自纠
4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N ＋，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是 ． 答案 (－3，＋∞)
解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，
得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)
因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是 ． 答案 30
解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，
2n －1，n ≥2，n ∈N ＋
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，
故a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
1．数列0，23，45，6
7，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝n －1
n ＋2(n ∈N ＋)
B ．a n ＝n －1
2n ＋1
(n ∈N ＋)
C ．a n ＝2(n －1)
2n －1(n ∈N ＋)
D ．a n ＝2n
2n ＋1(n ∈N ＋)
答案 C
解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．
2．数列－11×2，12×3，－13×4，1
4×5，…的一个通项公式a n ＝ .
答案 (－1)n 1
n (n ＋1)
解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n (n ＋1).
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋
1，k ∈N ＋处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式
典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则其通项公式为 ．
答案 a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，
6n －5，n ≥2，n ∈N ＋.
(2)(2017·南昌模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3(n ∈N ＋)，则{a n }的通项公式a n
＝ . 答案 (－2)n －
1
解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋1
3
，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又
