23《幂函数》-(新人教版必修1)精品PPT课件

(3) 均是以自变量为底的幂；
a 一般地，函数 y xa 叫做幂函数(power function) ，
其中x为自变量， 为常数。 注意:幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式， 其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
指数函数：解析式 y a x ，底数为常数a，a>0，
2.3
幂
函
鹿邑三高 史琳
数
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那y=么x她 需要支付P = _w__元___ __P__是__w__的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = _a_²__
__S__是__a__的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = _a_³__
研究
1
y=x y x2 y x3 y x2 y x1
y= x0在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
1
y=x y x2 y x3 y x 2 y x1 y= x0
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 10 1 4 9 …
例1
如果函数 f ( x) (m2 m 1)xm2 2m3 是幂函数，
且 在 区 间 （ 0，+∞）内是减函数，求满足条件的
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y= x 0
-6
-4
-2
2
4
6
-1
-3 y=x -27 -8 -1 0 1 8
3
27
-4
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
2
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x 01
-2
1
-3 y x 2 0 1
24
22
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
(1,1)
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数．
说一说 判断正误
1 1.函数f(x)=x+ x 为奇函数. 2.函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.
3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数, 且在(-,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ) 上也是递增的.
4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数, 且在(-,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ) 上也是递减的.
… -27 -8 -1 0 1
1
y x2 … \
\ \01
y x1 … -1/3 -1/2 -1 \ 1
8 27 …
2 3…
1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 4
3
3
y=x
y=x 9 4 1 0 1 4
2
2
9
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x2
y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2 x -3 -2 -1 0 1 2 3
V是a的函数
y=x3
(长4)_如a__果_S_一12__个__正方a是形S场的地函的数面积为y=xS,12那么正方形的边
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度v=__t⁻_¹_k_m__/s___ v是t 的函数 y=x-1
以上问题中的函数具有y什 么xa 共同特征?
他们有以下共同特点： (1)都是函数； (2) 指数为常数.
a≠1，指数为自变量x；
幂函数：解析式
，底数为自变量x，
指数为常数α， α∈R；
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
1 (2) y x2
Байду номын сангаас
1
(4) y x 2
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
下面研究幂函数 y xa .
结合图象，研究性质：定义域、值域、
单调性、奇偶性、过定点的情况等。
(-1,-1)
-2
-3
-4
在第一象限内(-,2,4)
4
函数图象的变化 3
趋势与指数有什
么关系?
2
1
(-1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
y=x-1
y= x 0
2
4
6
在第一象限内， 当k>0时，图象随x增大而上升。 当k<0时，图象随x增大而下降
-4
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
1
y=x
y=x2 y=x3 y=x2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞）
非奇
奇 非偶
{y|y≠0}
奇
单调性
在R 上增
在（-∞，0]上减, 在R上 在［0，+∞）上增，增
在［0， 在（-∞，0)上减， +∞）上增在，(0，+∞)上减
公共点 (1,1)
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且 在区间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向 于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当 x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴；
-3
-4
不管指数是多少(-2,4) ,图象都经过哪
个定点?
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y= x 0
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
在第一象限内， 当k>0时，图象随x增大而上升。 当k<0时，图象随x增大而下降。
-3 图象都经过点（1，1） K>0时,图象还都过点(0,0)点
(4,2)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
1
y=x 2
(4,2)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
x -3 -2 - 1 2 3
-2
y x1
1
-3
-1/3 - - 1 1/ 1/
-4
1/2 1 2 3