中考数学专题复习课件37

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题37 数据的分析【知识要点】考点知识一 数据的集中趋势算术平均数：简称平均数，记作“x̅”，读作“x 拔”。

公式：平均数= n 个数的和 个数 =nx x x n +⋅⋅⋅++21 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。

加权平均数概念：若n 个数1x ，2x ，…，n x 的权分别是1w ，2w ，…，n w ，则nn n w w w w x w x w x +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++212211，叫做这n 个数的加权平均数.【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数。

中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。

确定中位数的一般步骤：第1步：排序，由大到小或由小到大。

第2步：确定是奇个数据（n+12）或偶个数据（n 2个数和它后一个数(n 2+1)个数的平均数）。

第3步：如果是奇个数据，中间的数据就是中位数。

如果是偶数，中位数是中间两个数据的平均数。

众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。

众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。

平均数、中位数、众数的区别：1、平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,在现实生活中较为常用.但它受极端值的影响较大。

2、 当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势。

但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义。

3.中位数只需很少的计算,不受极端值的影响,这在有些情况下是一个优点。

考点知识二 数据的波动方差的概念：在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：求一组数据方差的步骤：先平均、再做差、然后平方、最后再求平均数。

专题37 正多边形和圆一、单选题1．如图所示，ABC 为O 的内接三角形，2,30AB C =∠=︒，则O 的内接正方形的面积（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【分析】 先连接BO ，并延长交⊙O 于点D ，再连接AD ，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得⊙ADB=30°，而BD 是直径，那么易知⊙ADB 是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD ，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．【详解】解：连接BO ，并延长交⊙O 于点D ，再连接AD ，如图，⊙⊙ACB=30°，⊙⊙BDA=30°，⊙BD 是直径，⊙⊙BAD=90°，在Rt⊙ADB 中，BD=2AB=4，⊙⊙O 的半径是2，⊙⊙O 的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，⊙正方形的边长=⊙S 正方形=8=．【点睛】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 2．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）A ．B ．C ．8D ．16【答案】B【分析】 由题可知，求解剩余部分拼成的五边形的面积，需要利用Rt⊙OBC ，求解正六边形面积和两个直角三角形面积；最后正六边形面积减去两倍Rt⊙OBC 的面积即可．【详解】依题意，如图，根据题意得：⊙BOC ＝30°，设BC ＝x ，则OB ＝2x ，OC =， ⊙2（x +2x ）＝12，解得x ＝2，⊙OC ＝⊙ 11222OBC S BC OC ∆=⨯⨯=⨯⨯=⊙ 正六边形的面积＝1212OBC S ∆⨯=⨯=⊙ 拼成一个四边形的面积为：2OBC S ∆⨯=⊙纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为：=故选：B ．本题考查正六边形的性质及面积求法，重点在于利用正六边形分解成12个全等直角三角形的方法． 3．如图，两个正六边形ABCDEF 、EDGHIJ 的顶点A 、B 、H 、I 在同一个圆上，点P 在ABI 上，则tan⊙API 的值是（ ）A ．B ．C ．2D ．1【答案】A【分析】 连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊙EI 于M ，证明90AIH ∠=︒，设HI JI JE a ===，求出AI 即可．【详解】解：如图，连接AE ，EI ，AH ，过点J 作JM ⊙EI 于M ．⊙ABCDEF 是正六边形，⊙⊙DEF ＝⊙F ＝120°，⊙F A ＝FE ，⊙⊙FEA ＝⊙F AE ＝30°，⊙⊙AED ＝90°，同法可证，⊙DEI ＝⊙EIH ＝90°，⊙⊙AED +⊙DEI ＝180°，⊙A ，E ，I 共线，设HI JI JE a ===，⊙JM ⊙EI ，⊙EM ＝MI， ⊙AI ＝2EI ＝a ，⊙⊙API ＝⊙AHI ，⊙tan⊙API ＝tan⊙AHI ＝AI HI＝a= 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题．4，这个正六边形的面积为（ ）A ．12B．C．D．【答案】B【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【详解】解：如图，连接OA 、OB ；过点O 作OG ⊙AB 于点G ．在Rt⊙AOG 中，OG =⊙AOG ＝30°，⊙OG ＝OA •cos 30°， ⊙OA 30OG cos ===︒2，⊙这个正六边形的面积＝6S ⊙OAB ＝612⨯⨯2=．故选：B【点睛】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．5．已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．B．2C D．4【答案】A【分析】利用正方形的性质结合勾股定理可得出正方形的边长．【详解】解：如图所示：⊙⊙O的半径为2，四边形ABCD是正方形，⊙OA＝OB＝2，⊙AOB＝90°，⊙AB＝=故选：A．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．6．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）A ．12B ．25C ．35D ．23【答案】A【分析】算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．【详解】解：如图，过点A 作AG BF ⊥于点G⊙ 六边形ABCDEF 为正六边形，⊙BAF=120∠︒，=60FAG ∠︒设正六边形的边长为a，则22aAG FG ==⨯=，BF=2⊙空白部分的面积为：13322ABF a S S ==⨯⨯=△空白正六边形的面积为：226S ==六⊙飞镖落在白色区域的概率为：12S P S ==空白六故选：A【点睛】本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键．7．已知正六边形ABCDEF内接于O，若O的直径为2，则该正六边形的周长是（）A．12B．C．6D．【答案】C【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形ABCDEF内接于O可得⊙AOB=60°，即可证明⊙AOB是等边三角形，根据O直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长．【详解】如图，连接OA、OB，⊙O的直径为2，⊙OA=1，⊙正六边形ABCDEF内接于O，⊙⊙AOB=60°，⊙OA=OB，⊙⊙AOB是等边三角形，⊙AB=OA=1，⊙该正六边形的周长是1×6=6，故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，正确得出⊙AOB=60°是解题关键．8．若正六边形的半径长为6，则它的边长等于（）A．6B．3C．D．【答案】A【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．【详解】正六边形的中心角为360660，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于6，则正六边形的边长是6．故选：A．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．9．如图，AB，AC分别为O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】 连接OB ，OC ，OA ，根据圆内接正三角形，正方形可求出AOB ∠，AOC ∠的度数，进而可求BOC ∠的度数，利用360BOC n︒∠=，即可求得答案． 【详解】如图：连接OB ，OC ，OA ，ABE △为圆内接正三角形3601203AOB ︒∴∠==︒ 四边形ACDF 为圆内接正方形 360904AOC ︒∴∠==︒ 1209030BOC AOB AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 若以BC 为边的圆内接正n 边形，则有36030BOC n ︒∠==︒ 12n ∴=故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于360n︒（n 为正多边形的边数）是解题关键．10．如图，圆内接正方形的边长为2，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4B．24π-C．2πD．2π+【答案】A【分析】设正方形的中心为O，连接OA，OB首先求出其长度，再根据阴影部分面积等于四个直径为2的半圆面积之和加上一个边长为2的圆的面积求解即可．【详解】解：设正方形的中心为O，连接OA，OB，由题意可得OA=OB，⊙AOB=90°，AB=2⊙在Rt⊙AOB中，⊙2221=42424 22ABS AB OAππππ⎛⎫⨯⨯+-⨯=+-=⎪⎝⎭阴影故选：A【点睛】本题考查正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）A．B．C．12D．24【答案】C【分析】如图，先求解正六边形的中心角AOB ∠，再证明AOB 是等边三角形，从而可得答案．【详解】解：如图，O 为正六边形的中心，,OA OB 为正六边形的半径，1360606AOB ∴∠=⨯︒=︒，2OA OB ==，AOB ∴为等边三角形，2AB ∴=，∴ 正六边形ABCDEF 的周长为62=12.⨯故选：.C【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．12．如图，有一个半径为4cm 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）．AB ．2cmC ．D ．4cm【答案】C【分析】 连接OA 、OB ，根据圆内接正六边形的性质得到⊙AOB 是等边三角形，作OC⊙AB 于C ，求得⊙AOC=30，由OA=4cm ，得到AC=2cm ，根据勾股定理求出=．【详解】如图，连接OA、OB，则⊙AOB是等边三角形，作OC⊙AB于C，⊙⊙AOB是等边三角形，⊙⊙OAB=60︒，⊙⊙AOC=30，⊙OA=4cm，⊙AC=2cm，=，故选：C．．【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．13．如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接AC，则BAC∠的度数是（）A．60︒B．50︒C．40︒D．30【答案】D【分析】连接BO、CO，根据正六边形的性质可求⊙BOC，再根据圆周角的性质可求BAC∠．【详解】解：连接BO、CO，在正六边形ABCDEF中，⊙BOC=3606︒=60°，⊙⊙BAC=12⊙BOC=30°， 故选：D ．【点睛】本题考查了正六边形的性质和圆周角的性质，连接半径，求圆心角是解题关键．14．如图，正ABC 内接于半径是1的圆，则阴影部分的面积是（ ）A ．4π-B ．4π-C ．2π-D ．2π- 【答案】A【分析】设该圆的圆心为O ，连接OA 、OB ，延长AO 交BC 于点D ，根据题意可知：O 为ABC 的中心，OA=OB=1，⊙ABC=60°从而求出⊙1，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD 和BD ，然后根据垂径定理求出BC ，最后根据S 阴影=S 圆－S ⊙ABC 即可求出结论．【详解】解：设该圆的圆心为O ，连接OA 、OB ，延长AO 交BC 于点D ，⊙正ABC内接于半径是1的圆，⊙O为ABC的中心，OA=OB=1，⊙ABC=60°⊙⊙1=12⊙ABC=30°，AD⊙BC在Rt⊙ODB中，OD=12OB=12，=⊙AD=OA＋OD=32，⊙S阴影=S圆－S⊙ABC=21π－12 BC·AD=π－4故选A．【点睛】此题考查的是正多边形与圆、垂径定理、等边三角形的性质和直角三角形的性质，掌握正多边形中心的性质、垂径定理、等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键．15．公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正n边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为（）A ．360sin 2n n ︒⋅B ．3602sin n n ︒⋅C ．3602sin 2n n ︒⋅D ．360sin n n︒⋅ 【答案】A【分析】如详解图，先利用三角函数的知识把正n 边形的边长用含有n 的式子表达出来，求解出正n 边形的周长，再利用正n 边形的周长无限接近圆的周长即可求解．【详解】如图：36012n︒∠= ， 360sin 2a b n︒= 360sin 2a b n︒=， 则正n 边形的周长为：36022sin 2L an bn n︒== ， 圆的周长为：2L b π=， 由圆的内接正n 边形的周长无限接近圆的周长可得：3602sin22bn b n π︒≈ 整理得：360sin2n nπ︒≈ 故选：A ．【点睛】本题考查了极限的思想，抓住圆内接正n 边形的周长无限接近圆的周长是解题关键．16．如图，O 的内接正六边形ABCDEF 的边长为1，则BC 的长为（ ）A ．14πB ．13π C ．23π D ．π【答案】B【分析】如图（见解析），先根据圆内接正六边形的性质求出中心角60BOC ∠=︒，再根据等边三角形的判定与性质可得1OB OC BC ===，然后利用弧长公式即可得．【详解】如图，连接OB 、OC ，由题意得：1BC =，正六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，∴中心角360606BOC ︒∠==︒， 又OB OC =， BOC ∴是等边三角形，1OB OC BC ∴===，则BC 的长为60111803ππ⨯=， 故选：B ．【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握圆内接正六边形的性质是解题关键．17．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝，则⊙O的半径为（）A．2B C．D．【答案】C【分析】连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得⊙OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．【详解】解：如图，连接OM，⊙正六边形OABCDE，⊙⊙FOG＝120°，⊙点M为劣弧FG的中点，⊙⊙FOM＝60°，OM＝OF，⊙⊙OFM是等边三角形，⊙OM＝OF＝FM＝则⊙O的半径为．故选：C．【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．18．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 内接于O ，DC 、BC 交EF 于G 、H ，若正方形ABCD 的边长是4，则GH 的长度为( )A ．B ．CD 【答案】A【分析】 连接AC 交EF 于M ，连接OF ，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC 交EF 于M ，连接OF ，四边形ABCD 是正方形，90B ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径，ACD ∴∆是等腰直角三角形，AC ∴==OA OC ∴==AEF ∆是等边三角形，AM EF ∴⊥，30OFM ∠=︒，12OM OF ∴==CM ∴=45ACD ∴∠=︒，90CMG ∠=︒，45CGM ∴∠=︒，CGH ∴∆是等腰直角三角形，2GH CM ∴==故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．19．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB 作正方形ABCD ，将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转，使AB 与正八边形的另一边BC '重合，则正方形ABCD 与正方形A BC D '''重叠部分的面积为（ ）A 1B ．12CD 【答案】A【分析】 先计算出正八边形的内角⊙ABC′=135°，再利用旋转的性质得⊙ABC=⊙A′BC′=90°，⊙BA′D′=⊙BAD=90°，所以⊙ABA′=135°-90°=45°，则延长BA′过点D ，如图，然后利用正方形ABCD 与正方形A′BC′D′重叠部分的面积=S ⊙BDC -S ⊙DA′E 进行计算．【详解】 正八边形的内角(82)1801358ABC ︒'︒-⨯∠==，正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转，使BC 与正八边形的另一边BC '重合，90,90ABC A BC BA D BAD ∴∠=∠''=︒∠''=∠=︒．1359045ABA ∴∠'=︒-︒=︒．如解图，延长BA '至点D ，DC 与A D ''相交于点E ，,,11AB A B AB BD =∴'==='1A D ∴=．⊙正方形ABCD 与正方形A BC D '''重叠部分的面积11111)1)122BDC DA E S S '=-=⨯⨯-⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆，把一个圆分成n 等分，依次连接各点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，也考查了正方形和正八边形的性质．20．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，过点O 作OM ⊥弦BC 于点M ，若O 的半径为4，则弦心距OM 的长为（ ）A ．BC ．2D ．【答案】A【分析】 如图，连接OB 、OC ．首先证明⊙OBC 是等边三角形，求出BC 、BM ，根据勾股定理即可求出OM ．【详解】解：如图，连接OB 、OC ．⊙ABCDEF是正六边形，⊙⊙BOC=60°，OB=OC=4，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙BC=OB=OC=4，⊙OM⊙BC，⊙BM=CM=2，在Rt⊙OBM中，2222OM OB BM=-=-=，4223故选：A．【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．21．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A．⊙ 3B C D．【答案】A【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．【详解】解：设此圆的半径为R，R ，它的内接正六边形的边长为R ，内接正方形和内接正六边形的周长比为：R ：6R ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．22．如图，正五边形ABCDE 和等边AFG 内接于O ，则GFD ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．12︒C ．15︒D ．20︒【答案】B【分析】 如图（见解析），先根据正五边形的内角和定理与性质可得108ABC BCD ∠=∠=︒，BC CD =，再根据三角形的内角和定理、等腰三角形的性质可得36CBD ∠=︒，从而可得72ABD ∠=︒，然后根据圆周角定理可得72AFD ABD ∠=∠=︒，最后根据等边三角形的性质可得60AFG =︒∠，据此即可得出答案．【详解】如图，连接BD ，五边形ABCDE 是正五边形，()521801085ABC BCD -⨯︒∴∠=∠==︒，BC CD =， 1(180)362CBD CDB BCD ∴∠=∠=︒-∠=︒， 72ABD ABC CBD ∴∠=∠-∠=︒，由圆周角定理得：72AFD ABD ∠=∠=︒，又AFG 是等边三角形，60AFG ∴∠=︒，726012GFD AFD AFG ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了正五边形的内角和与性质、等腰三角形和等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，通过作辅助线，利用到圆周角定理是解题关键．23．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转i 个45°，得到正六边形i i i i i OA B C D E ，则正六边形(2020)i i i i i OA B C D E i =的顶点i C 的坐标是（ ）A ．(1,B ．C ．(1,2)-D ．(2,1)【答案】A【分析】 如图，以O 为圆心，OC 为半径作,O 得到将边长为1的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转i 个45°，即把OC 绕点O 顺时针旋转i 个45°，2020C 与4C 重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解C 的坐标，利用4,C C 关于原点成中心对称，从而可得答案．【详解】解：如图，以O 为圆心，OC 为半径作,O将边长为1的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转i 个45°，即把OC 绕点O 顺时针旋转i 个45°，C 旋转后的对应点依次记为12,...C C ， 1周角＝360,︒OC ∴绕点O 顺时针旋转顺时针旋转8次回到原位置，20208252...4,÷=2020C ∴与4C 重合，4,C C 关于原点成中心对称，连接,CE正六边形OABCDE ，,120.DC DE CDE DEO EOA ∴=∠=∠=∠=︒30,90,60,DEC CEO COE ∴∠=︒∠=︒∠=︒1,OE =tan tan 60CE COE OE∴∠=︒==CE ∴= (,C ∴- 4,C C 关于原点成中心对称，((420201,,1,.C C ∴故选A ．【点睛】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 24．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．h R r =+B ．2R r =C ．4r a =D ．3R a = 【答案】C【分析】 将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ．【详解】如图所示,标上各点⊙AO 为R⊙OB 为r ⊙AB 为h，从图象可以得出AB=AO+OB⊙即h R r =+⊙A 正确⊙⊙三角形为等边三角形⊙⊙⊙CAO=30°⊙根据垂径定理可知⊙ACO=90°⊙⊙AO=2OC⊙即R=2r ⊙B 正确⊙在Rt⊙ACO 中，利用勾股定理可得⊙AO 2=AC 2+OC 2⊙即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⊙由B 中关系可得⊙()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得6=r a ⊙则3R a =⊙所以C 错误，D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．25．如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，M 是边DE 上一点，则线段AM 的长可以是（）A ．1.4B ．1.6C ．1.8D ．2.2【答案】C【分析】连接AE，AD，过点F作FH⊙AE于点H，则AM的长介于AE和AD之间，分别求出AE，AD的长，再结合选项即可得到问题答案．【详解】解：连接AE，AD，，过点F作FH⊙AE于点H，⊙多边形ABCDEF是正六边形，⊙⊙AFE=⊙DEF=(6-2) ×180°÷6=120°，⊙⊙FEH=30°，⊙AEM=90°，⊙HF=12AF=12，=，＜AM＜2，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形，以及勾股定理等知识，熟记和正多边形有关的各种性质以及正确的添加出图形的辅助线是解题的关键．26．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．4πB ．4πC ．8πD ．4π 【答案】A【分析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正六边形的面积为：1462⨯⨯=， 六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：12164πππ+-=-，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 27．如图，AB 是O 的直径，O 的半径为2，AD 为正十边形的一边，且//AD OC ，则劣弧BC 的长为（ ）A ．πB ．32πC ．43πD ．65π 【答案】D【分析】 利用正十边形的中心角求法得⊙AOD=36º，再根据等腰三角形的性质及由平行线的性质求得⊙AOC 的度数，进而求得⊙BOC ，然后用弧长公式求解即可．【详解】⊙AD 为正十边形的一边， ⊙⊙AOD=36010=36º， ⊙OA=OD ， ⊙⊙OAD=⊙ODA=180362-=72º， ⊙AD⊙OC ，⊙⊙AOC=⊙OAD=72º，⊙⊙BOC=180º-⊙AOC=180º-72º=108º，⊙劣弧BC 的长为108261805ππ⨯=， 故选D ．【点睛】本题考查了正多边形的中心角、圆的定义、等腰三角形的性质、平行线的性质、弧长公式，熟练掌握基本图形的性质，会利用弧长公式求解弧长是解答的关键．二、填空题28．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O 的面积，那么O 的面积约是___．【答案】3【分析】设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，由正十二边形的性质得出30AOB ∠=，由直角三角形的性质得出1122AD OA ==，求出AOB 的面积1124OB AD ⨯==，即可得出答案． 【详解】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD OB ⊥于D ，如图所示：3601130,,1222AOB AD OB AD OA ∠∴==⊥∴==， AOB ∴的面积111112224OB AD =⨯=⨯⨯= ∴正十二边形的面积11234=⨯=， O ∴的面积≈正十二边形的面积3=，故答案为：3．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键．29．如图，在正五边形ABCDE 中，AC 为对角线，以点A 为圆心，AE 为半径画圆弧交AC 于点F ，连结EF ，则⊙1的度数为__．【答案】54°【分析】根据五边形的内角和公式求出⊙ABC ，根据等腰三角形的性质，三角形内角和的定理计算⊙BAC ，再求⊙EAF ，利用圆的性质得AE=AF ，最后求出⊙1即可．【详解】解：⊙五边形ABCDE 是正五边形，⊙⊙EAB ＝⊙ABC ＝()5-21805⨯︒＝108°， ⊙BA ＝BC ，⊙⊙BAC＝⊙BCA＝180-1082︒︒＝36°，⊙⊙EAF＝108°﹣36°＝72°，⊙以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，⊙AE＝AF，⊙⊙1＝180-722︒︒＝54°．故答案为：54°．【点睛】本题考查了正多边形的内角与圆，熟练掌握正多边形的内角的计算公式、和圆的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．30．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形)．若设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r：a=____；r：b=____；正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值是____．【答案】1：1 2 3：4【分析】根据圆内接正六边形的边长等于它的半径可得r与a比值，在由圆的半径和正六边形的半边及正六边形对角线的一半组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得r与b的比值；根据相似多边形的面积比是相似比的平方，由r：a与r：b 可求a：b，继而即可求解．【详解】连接OE，OG，OF，⊙EF=a，T1为正六边形，⊙⊙OEF为等边三角形，OE为圆O的半径r，⊙a：r=1：1，即r：a=1：1⊙，由题意可知：OG为⊙FOE的平分线，即⊙EOG=12⊙EOF=30°，在Rt⊙OEG中，OE=r，OG=b，⊙OE OG =r b=cos⊙EOG=cos30°，即r b⊙r ：2⊙，⊙由⊙⊙得，a ：2，且两个正六边形T 1，T 2相似，⊙S 1：S 2=a 2：b 2=3：4，故答案为：1：12；3：4．【点睛】本题考查正多边形与圆的有关知识，解题的关键是学会构造由正多边形半径，边心距、半边组成的直角三角形，掌握锐角三角函数，注意相似多边形的面积比即是相似比的平方．31．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．【答案】43π 【分析】 设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊙DE 于H ，根据正多边形的中心角公式求出⊙DOE ，求出OH 和正六边形ABCDEF 的面积，再求出⊙A ，利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积，即可得出结果．【详解】解：设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊙DE 于H ，如图所示：⊙DOE ＝3606︒＝60°， ⊙OD ＝OE ＝DE ＝2，⊙OH⊙正六边形ABCDEF 的面积＝12＝ ⊙A ＝()621801206-⨯︒=︒， ⊙扇形ABF 的面积2120243603ππ⨯==，⊙图中阴影部分的面积43π=，故答案为：43π． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．32．如图，等边⊙ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 内接正十二边形的一边，CD=等于_________．【答案】252542π- 【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边⊙ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得⊙BOC，⊙BOD 的度数，则证得⊙COD是等腰直角三角形，并利用勾股定理求得圆的半径，最后利用S阴影=S扇形OCD-S⊙OCD 进行计算后即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，OD，⊙等边⊙ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，⊙⊙BOC＝13×360°＝120°，⊙BOD＝112×360°＝30°，⊙⊙COD＝⊙BOC−⊙BOD＝90°，⊙OC＝OD，⊙⊙OCD＝45°，⊙OC2+ OD2＝CD2．即2OC2=50，⊙OC=5，⊙S阴影=S扇形OCD-S⊙OCD=90251252555360242ππ-⨯⨯=-．故答案为：2525 42π-．【点睛】此题考查了正多边形与圆、扇形面积的计算等知识，掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用是解题的关键．三、解答题33．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．的余角34．如图，正五边形ABCDE内接于O，P为DE上的一点（点P不与点,D E重合），求CPD的度数．【答案】54°【分析】连接OC，OD．求出⊙COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接,OC OD．⊙五边形ABCDE是正五边形，⊙360725COD︒∠==︒，⊙1362CPD COD∠=∠=︒，⊙90°-36°=54°，⊙CPD∠的余角的度数为54°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．35．如图1，等边ABC内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．（1）可以证明CD垂直平分AB，写出AD与DB的数量关系：___．（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：⊙在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．⊙请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．【答案】（1）AD DB=；（2）⊙见解析，⊙见解析【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；（2）⊙结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；⊙如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．【详解】（1）AD DB=，⊙O为三角形的外心，⊙O为三角形三边中垂线的交点，又⊙三角形为等边三角形，⊙可得CD垂直平分AB，根据垂径定理可得：AD DB=；（2）⊙如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；⊙如图所示：（方法不唯一）【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．36．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中⊙MON 的度数（2）图2中⊙MON 的度数是 ，图3中⊙MON 的度数是（3）试探究⊙MON 的度数与正n 边形边数n 的关系是____【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360MON n︒∠=． 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得3603120BOC ，再根据圆内接正三角形的性质可得30OBM OCN ∠=∠=︒，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BOM CON ∠=∠，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得360904BOC ︒∠==︒，再根据（1）同样的方法可得90MON BOC ∠=∠=︒；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角360725BOC ︒∠==︒，再根据（1）同样的方法可得72MON BOC ∠=∠=︒；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．【详解】（1）如图，连接OB 、OC ，则OC OB =，ABC 是O 内接正三角形，∴中心角3603120BOC， ⊙点O 是O 内接正三角形ABC 的内心，⊙1130,3022OBM ABC OCN ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒， ⊙OBM OCN ∠=∠，在OMB △和ONC 中，BM CN OBM OCN OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。