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第四章一次函数一．函数1.函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了唯一的y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
也就是说，函数是两个变量之间的关系。
注意：（1）函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量y与x，可以说y是x的函数，不能说y是函数（2）函数是有顺序性的，如y=0.5x+3表示y是x的函数，而变形后的等式x=2y-6,则表示x是y的函数2.自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
3.函数的三种表示法列表法、关系式法（一定要是等式）、图像法【例1】下列关于变量x,y的关系式：①x-3y=1;②y=∣x∣;③2x-y2=9.其中y是x的函数的是，x是y的函数的是变式训练：1.下列关系式中哪些是函数，哪些不是？【例2】写出下列函数关系中自变量的取值范围【例3】写出y与 x的函数关系式并指出自变量的取值范围（1）一个长方形周长为24，一边长为x, 面积为y（2）一个长方形菜园，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，垂直于墙的一边为x，菜园的面积为y变式训练：1.写出下列函数关系式，并写出自变量的取值范围（1）周长为24的等腰三角形，它的底边长y与腰长x之间的函数关系（2）周长为24的等腰三角形，它的腰长y与底边长x之间的函数关系小测验（10分钟）1.下列四个图像中，不表示某一个函数图像的是（）2.设路程为s，速度为v，时间为t，当s=60时，t=60/v,在这个表达式中（）A. t是s的函数B. t是v的函数C. v是t的函数D. v是s的函数3.已知x-3y=6,若把y看成x的函数，则可表示为4.已知变量x与y有如下关系：①y=x ②y =∣x∣③∣y∣= x ④ x2-y=0 ⑤ x-y2=0，其中y是x的函数关系的有（填序号）5.对于圆的周长公式C=2πR , 其中自变量是，因变量是，常量是6.写出下列函数关系式中，自变量的取值范围二、一次函数与正比例函数1.正比例函数和一次函数的概念一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）正比例函数：y=kx（k≠0）一次函数有（填序号）变式训练：1.下列关系中符合正比例关系的是（）A.距离s一定时,速度v和时间tB.圆的面积s和半径rC.正方体的体积和棱长aD.正方形的周长C和它的边长a其中属于一次函数的是3.粮库有粮50t，每天运走5t，写出剩下的粮食P（t）与运粮天数t (天)的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
八年级下册数学一次函数知识点一次函数是中学数学中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将逐步介绍八年级下册数学中一次函数的基本概念、性质和解题方法。
一、一次函数的基本概念一次函数又称为线性函数，是指函数的表达式中只包含一次项和零次项，不含其他次数的项。
一次函数的一般形式可以表示为 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且 k 不等于零。
在一次函数中，x 是自变量，y 是因变量。
k 表示函数的斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b 表示函数的截距，决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
二、一次函数的性质1.斜率 k 的含义和性质斜率 k 反映了函数图像的倾斜程度。
当 k 大于零时，函数图像逐渐上升；当 k小于零时，函数图像逐渐下降；当 k 等于零时，函数图像是水平的。
2.截距 b 的含义和性质截距 b 决定了函数图像与 y 轴的交点位置。
当 b 大于零时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴上方；当 b 小于零时，函数图像与 y 轴的交点在 y 轴下方；当 b 等于零时，函数图像与 y 轴的交点在原点上。
3.函数图像的性质一次函数的图像是一条直线，它可以通过斜率 k 和截距 b 来确定。
当斜率 k 不等于零时，函数图像是一条斜线；当斜率 k 等于零时，函数图像是一条水平线；当截距 b 不等于零时，函数图像与 y 轴有交点；当截距 b 等于零时，函数图像通过原点。
三、一次函数的解题方法1.求函数图像与坐标轴的交点要确定一次函数图像与 x 轴的交点，只需将函数表达式中的 y 置为零，解方程得到 x 的值。
同样地，要确定一次函数图像与 y 轴的交点，只需将函数表达式中的x 置为零，解方程得到 y 的值。
2.求函数图像的斜率函数图像的斜率可以通过任意选取两个点，计算它们的坐标变化量，然后利用斜率的定义公式Δy/Δx 来求得。
3.求函数的表达式已知函数图像通过两个点A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂) 时，可以利用斜率公式k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 来求得斜率 k。
八年级数学下册《一次函数》期末专题复习【基础知识回顾】一、 一次函数的定义: 一般的：如果y= （ ）即y 叫x 的一次函数特别的：当b=时，一次函数就变为y=kx(k ≠0)，这时y 叫x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】 二、一次函数的图象及性质：1、一次函数y=kx+b 的图象是经过点（0，b ）（-，0）的一条正比例函数y= kx 的图象是经过点 和 的一条直线 【名师提醒：图为一次函数的图象是一条直线，所以画函数图象只取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】 2、正比例函数y= kx(k ≠0当k >0时，其图象过 、 象限，时y 随x 的增大而 当k<0时，其图象过 、 象限，时y 随x 的增大而3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质 ①、k >0 b >0过 象限k >0 b<0过 象限 k<0 b >0过 象限 k<0 b >0过 象限4、若直线y= k 1x+ b 1与l1y= k 2x+ b 2平行，则k 1 k 2，若k 1≠k 2，则l 1与l 2【名师提醒：y 随x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】 三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母 与 的值 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的系数代入等设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b 中。
2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立。
《一次函数》课堂笔记
一、一次函数的概念：
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
二、一次函数的图象：
一次函数的图象是一条直线，当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限。
三、一次函数的性质：
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
四、一次函数的图象的应用：
通过观察图象可以解决一些实际问题，如时间、速度、路程等。
例如：某人以4千米/小时的速度匀速行走，他每走1千米所需的时间为y小时，则y与x 之间的关系式为y=4x。
五、实际应用：
通过实例让学生感受一次函数在生活中的应用，如购物、收费等。
例如：某超市的销售额为y万元，每件商品的售价为x元，则y与x之间的关系式为y=x-3（x≥50）。
六、解题方法：
1.理解一次函数的概念；
2.掌握一次函数的图象和性质；
3.会利用一次函数的图象解决实际问题；
4.会利用一次函数的性质解决较复杂的实际问题。
数学八年级下册一次函数
摘要：
一、一次函数的定义与性质
1.一次函数的定义
2.一次函数的性质
二、一次函数的图像与解析式
1.一次函数的图像
2.一次函数的解析式
三、一次函数的应用
1.函数与实际问题的联系
2.一次函数在实际问题中的应用
四、一次函数的学习意义与方法
1.一次函数的学习意义
2.一次函数的学习方法
正文：
数学八年级下册一次函数是初中数学中非常重要的内容。
一次函数是初中学生接触到的第一个基本函数，也是以后学习其他函数的基础。
一次函数的定义是指形如y=kx+b(k≠0,k、b为常数)的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。
自变量x的取值范围是全体实数，而因变量y的取值范围则是函数的值域。
一次函数的性质包括：函数图像是一条直线，函数的值随着自变量的增大而增大或减小；当x=0时，y=b，即函数图象与y轴的交点
为(0,b)。
一次函数的图像与解析式密切相关。
解析式是函数图像的数学表达式，而图像则是解析式的几何表示。
在数学中，我们可以通过解析式来绘制函数图像，也可以通过函数图像来推导解析式。
一次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，我们可以通过一次函数来描述物体的运动轨迹，也可以通过一次函数来预测未来的发展趋势。
在解决实际问题时，我们需要根据问题的具体情境，选择合适的一次函数模型，并通过计算或测量来确定函数的参数。
学习一次函数不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以提高我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
八年级数学一次函数
1．变量：在某一变化过程中，数值发生改变的量。
2．常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量。
3．自变量、函数、函数值：一般的，在某一变化过程中，如果有两个变量x、与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫作当自变量x为a 时的函数值。
4．函数的本质：函数反映的是某一变化过程中两个变量之间的关系。
5．函数两个变量之间的关系：在每一个函数中，两个变量之间是一一对应的关系，自变量
每取一个值，都有唯一的函数值与之对应。
6．确定函数中自变量的取值范围应遵循的规律：
（1）要使表达式有意义：
若函数的解析式是整式，自变量可取全体实数；
若函数的解析式是分式，分母的值不能为0；
若函数的解析式的指数为0，则底数不能为0；
若函数的解析式是偶次根式，被开方数（式）不能是负数；若函数的解析式是奇次根式，
被开方数（式）可取全体实数。
若几种情况同时出现，则应该分别求出各自的自变量取值范围，再取他们的公共部分。
（2）要使实际问题有意义。
7．函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的
横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。
8．画函数图像的一般步骤：第一步：列表，第二步：描点，第三步：连线。
9．函数的表示方法：列表法；图像法、解析式法。
10．点、函数关系式、函数图像间的关系：一般地，如果点的横坐标和纵坐标能够使解析
式成立，那么这个点一定在函数的图像上，否则，就不在函数的图像上。
反过来，只有函数图像
上的点的坐标才都满足函数的解析式。
11．判定函数增减性的方法：
（1）当图像由左向右逐渐增高时，就可以确定y随x的增大而增大。
（2）当图像由左向右逐渐降低时，就可以确定y随x的增大而减小。
用心爱心专心
1．正比例函数：一般地，形如y=kx(k为常数，k?0)的函数，称作正比例函数。
2．正比例函数图像的特点：
（1）是一条经过原点的直线。
（2） k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
3．正比例函数的隐含条件
（1）自变量x的指数是1。
（2）若解析式中含有常数项，即若y=kx+b是正比例函数，则b=0
4.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k?0)的函数，称作一次函数。
5．一次函数图像的特征：
（1）是一条经过（0，b）的直线。
（2）增减性：k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。
6．一次函数与正比例函数的关系：
（1）解析式间的关系：对于y=kx+b，当b=0时，即为y=kx,也就是说，正比例函数是一次函数的特例。
（2）图像间的关系：直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx沿y轴平移|b|个单位得到的（1）b〉0，向上平移；（2）b<0，向下平移。
7．直线y=kx+b的位置与k、b的关系
（1）当k>0且b>0时，图像经过第一、二、三象限。
（2）当k>0且b〈0时，图像经过第一、三、四象限。
（3）当k〈0且b>0时，图像经过第一、二、四象限。
（4）当k〈0且b〈0时，图像经过第二、三、四象限。
8.确定一次函数解析式的方法：将两个点的坐标分别代入y=kx+b，求出k、b 的值，解析式就确定了。
9．画一次函数图像应注意：
（1）不能忽略自变量的取值范围，特别在实际问题中自变量得取值范围决定了函数图像是
直线、射线、还是线段。
（2）若图像为射线或线段时，应注意端点是实心点还是空心点。
1．一元一次方程ax+b=0(a?0)与一次函数y=ax+b(a?0)的关系：
（1）一元一次方程ax+b=0(a?0)是一次函数y=ax+b(a?0)的函数值为0时的特殊情况。
（2）直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解。
用心爱心专心
2．一元一次不等式与一次函数的关系：
对于一次函数y=kx+b，它与横轴的交点为()。
当k>0时,不等式kx+b>0的解为x>:, 当k<0时,不等式kx+b>0的解为x<.
3．函数、方程、不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型：
i. 刻画运动变化的规律要用函数的模型。
ii. 刻画变化过程中同类量之间的大小要用不等式模型。
iii. 刻画运动变化过程中的某一瞬间要用方程模型。
解决实际问题时，要合理选用三种重要的数学模型。
1．二元一次方程与一次函数的关系：
1人在运动时心跳速率通常和人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，用b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么
b=0.8(220-a)
(1) 正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
(2) 如果在运动时一个50岁的老人10秒心跳次数是20次，他有危险吗？
（1）当a=16时，b=0.8(220-16)=163.2
所以正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分钟心跳的最高次数是163次。
(2) 当a=50时，b=0.8(220-50)=136
20×6=120
因为120<136，所以他没有危险。
2如图，直线y=kx+b经过点A(-3,-2),B(2,4),根据图形解答下列问题：（1）求k,b的值；（2）求不等式1.2x+1.6>0的解集（3）求不等式1.2x+1.6>4的解集；（4）求不等式6x+8<-10的解集.
用心爱心专心
用待定系数法求直线的解析式，利用横轴上的点的纵坐标为0的特点求直线与横轴的交点，再用一次函数、一元一次不等式间的关系解其他问题。
(1)将A(-3,-2),B(2,4)分别代入y=kx+b得解得“
(2)直线y=1.2x+1.6与横轴的焦点是（-.0）所以不等式1.2x+1.6>0的解集为x>-.
(3)从图中可以看出，当x>2时，y>4,所以不等式1.2x+1.6>4的解集为x>2
(4) 从图中可以看出，当x<-3时，y<-2,即1.2x+1.6<-2从而6x+8<-10,所以不等式6x+8<-10的解为x<-3
3 一次函数，y随x的增大而减小，求这个一次函数的解
析式。
抓住一次函数的概念及“ｙ随ｘ的增大而减小”对ｍ的值的限制，从而确定ｍ的值
由题意得ｍ＝－2
当ｍ＝－2时，ｙ＝－8ｘ
用心爱心专心
4 如果直线y＝kx＋ｂ经过第一、三、四象限，那么直线y＝bx＋k不经过第_______象限。
直线y=kx+b经过第一、三、四象限 ?可画图象判断出k＞0，b＜0。
由k＞0，b＜0可知直线y=bx+k经过第一、二、四象限，也就是不经过第三象限（如图）
不经过第三象限。
用心爱心专心。
