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人教版八年级数学上册全册课件第十一章三角形第十一章三角形知识管理11.1 与三角形有关的线段11．1.1三角形的边学习指南学习指南本节学习主要解决以下问题：1．三角形的概念及三角形的分类此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第5、10题．2．三角形的三边关系此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第1、2、4题；【分层作业】中的第1、2、3、4、6、7、8、9题．知识管理1．三角形的概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．边、顶点、内角：如图11-1-1所示．图11-1-1记读法：顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．2．三角形的三边关系关系1：三角形两边的和第三边．关系2：三角形两边的差第三边．注意：通过三角形三边关系可判断三条线段能否构成三角形．3．等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形．腰、底：在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底．顶角：两腰的夹角叫做顶角．底角：腰和底边的夹角叫做底角．大于小于4．三角形按边的相等关系分类图11-1-2类型之一三角形的概念写出图11-1-3中所有的三角形及其边和角．图11-1-3【解析】先确定一条线段，再找出以这条线段为边的所有三角形，最后擦去这条线段，在剩下的图形中依次找出所有三角形．解：△ADE，边为AD，DE，EA，角为∠ADE，∠DEA，∠EAD；△ADB，边为AD，DB，BA，角为∠ADB，∠DBA，∠BAD；△ADF，边为AD，DF，F A，角为∠ADF，∠DF A，∠F AD；△ADC，边为AD，DC，CA，角为∠ADC，∠DCA，∠CAD；△DEB，边为DE，EB，BD，角为∠DEB，∠EBD，∠BDE；△DFC，边为DF，FC，CD，角为∠DFC，∠FCD，∠CDF；△ABC，边为AB，BC，CA，角为∠ABC，∠BCA，∠CAB.【点悟】找三角形时应按一定的规律，以边为线索找三角形或以角为线索找三角形，这体现了分类讨论的思想．类型之二三角形的三边关系A 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长可能是()A．6B．3C．2D．11【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的边长为6，故选A.1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm2．已知a ，b ，c 是三角形三边的长，则下列不等式中不成立的式子是()A ．a ＋b ＞cB ．a －b ＞cC ．b －c ＜aD ．b ＋c ＞aDB3．如图11-1-4，图中三角形的个数为()图11-1-4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】图中三角形有△ABD ，△ADC ，△ABC.C4．若一个三角形的三边长分别为2，3，x，则x的值可以为2(答案不唯一)(只需填一个数)．【解析】∵1＋2＝3，∴A 错误；∵1＋<3，∴B 错误；∵3＋4＜8，∴C 错误；∵4＋5＞6且6－4＜5，∴D 正确．1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．1，2，3C ．3，4，8D ．4，5，6D2．如图11-1-5，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一D点P，测得P A＝16m，PB＝12m，那么A，B间的距离不可能是()图11-1-5A．5m B．15m C．20m D．28m【解析】三角形的三边要满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，因此可以得出三角形的第三边大于其他两边之差，且小于其他两边之和，故第三边长在4m和28m之间．3．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角8形的周长为____．【解析】设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3－2＜x＜3＋2，即1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x＝3，∴这个三角形的周长为2＋3＋3＝8.4．等腰三角形两边长为4cm，6cm，求等腰三角形的周长．解：当腰长是4cm，底边长是6cm时，能构成三角形，则周长是4＋4＋6＝14cm；当腰长是6cm，底边长是4cm时，能构成三角形，则周长是4＋6＋6＝16 cm；所以等腰三角形的周长是14cm或16cm.5．指出图11-1-6中有几个三角形，并用字母分别表示出来．图11-1-6解：共8个，分别为△ABD，△ADC，△FBD，△BCE，△ABE，△ABF，△AEF，△ABC.6．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另外两边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则2x＋2x＋x＝20，解得x＝4，∴2x＝8，∴各边长为8cm，8cm，4cm；(2)当5cm为底边长时，腰长为7.5cm；当5cm为腰长时，底边长为10cm，因为5＋5＝10，所以不能围成三角形，故舍去；故能围成有一边长为5cm的等腰三角形，另外两边长为7.5cm，7.5cm.7．从长为9，6，5，4的四根木条中选其中三根组成三角形，则选法共有()A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种【解析】四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，知能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4.C8．已知三角形三条边的长分别为a ＋4，a ＋5，a ＋6，求a 的取值范围．解：由题意得⎩⎨⎧a ＋4>0，a ＋4＋a ＋5>a ＋6，解得a ＞－3.9．已知a，b，c为三角形的三边长．化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|－|c－a－b|－|a－b＋c|.解：∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|(b＋c)－a|＋|b－(c＋a)|－|c－(a＋b)|－|(a＋c)－b|＝b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＋b－a－c＝2c－2a.10．如图11-1-7，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D.图11-1-7(1)图中有几个三角形？(2)求证：AB＋AC>PB＋PC.(1)解：图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．(2)证明：∵AB＋AD>BD，PD＋CD>PC，∴AB＋AD＋PD＋CD>BD＋PC，∴AB＋AD＋PD＋CD>PB＋PD＋PC，∴AB＋AC>PB＋PC.知识管理11．1.2三角形的高、中线与角平分线学习指南学习指南本节学习主要解决以下问题：1．三角形的高、中线与角平分线的概念此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第1、2、4题；【分层作业】中的第1、3、5题．2．三角形的高、中线与角平分线的应用此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第2、4、6、7、8题．知识管理1．三角形的高、中线与角平分线的概念高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：三角形的高、中线与角平分线均指，而垂线是，角平分线是．线段直线射线2．三角形的重心及面积公式重 心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．面积公式：S ＝12ah (a 是三角形的边，h 是这条边上的高)． 规 律：三角形一边上的中线把三角形面积两等分．类型之一三角形的高、中线与角平分线的概念如图11-1-8所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，给出下列结论：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高．其中正确结论的个数是()B图11-1-8A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由∠1＝∠2得AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①不正确；同样BE虽然经过边AD的中点G，但BE也不是△ABD内的线段，所以②也不正确；由于CH⊥AD于H，所以CH是△ACD的边AD上的高，所以③是正确的．故选B.【点悟】三角形的角平分线、中线、高是三角形中的三种重要的线段，掌握它们的概念是关键．类型之二三角形的面积如图11-1-9所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC ＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°.试求：图11-1-9(1)AD的长；(2)△ABE的面积；(3)△AEC和△ABE的周长的差．【解析】 (1)直角三角形的面积等于两条直角边的积的一半，又等于斜边与斜边上的高的积的一半；(2)BE ＝CE ＝12BC ，所以△ABE 的面积是△ABC 的面积的一半；(3)△AEC 的周长与△ABE 的周长之差为AC ＋CE ＋AE －(AB ＋BE ＋AE )＝AC －AB .解：(1)S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×6×8＝24 cm 2. 又∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝24 cm 2，BC ＝10 cm ， ∴AD ＝4.8 cm.(2)S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD ＝14BC ·AD ＝12 cm 2. (3)C △AEC －C △ABE ＝AC ＋CE ＋AE －(AB ＋BE ＋AE )＝AC －AB ＝8－6＝2 cm.【点悟】(1)利用面积关系可以求直角三角形斜边上的高；(2)三角形一边上的中线把三角形的面积两等分．1．[2015·长沙]过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是()A B CDA2．如图11-1-10，已知∠1＝∠2，则AH 必为△ABC 的()图11-1-10A ．角平分线B ．中线C ．一角的平分线D．角平分线所在的射线A3．如图11-1-11，图中共有个三角形，若BC ＝CD ＝DE ，则AC ，AD 分别是，的中线．图11-1-11【解析】图中共有6个三角形，它们分别是△ABC ，△ACD ，△ADE ，△ABD ，△ACE ，△ABE .因为BC ＝CD ，所以AC 是△ABD 的中线；因为CD ＝DE ，所以AD 是△ACE 的中线．6△ABD △ACE4．如图11-1-12，AD，AM，AH分别是△ABC的角平分线、中线和高．图11-1-12(1)因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠ ＝∠ ＝12∠ ； (2)因为AM 是△ABC 的中线，所以 ＝ ＝12； (3)因为AH 是△ABC 的高，所以∠ ＝∠ ＝90°. BAD CAD BAC BM CM BC AHB AHCC 1．下列说法不正确的是() A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部2．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是() AA．中线B．角平分线C．高D．以上答案均正确【解析】因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．3．如图11-1-13，在△ABC 中，BD 为角平分线，BE 为中线．如果AC ＝12cm ，则AE ＝；如果∠ABC ＝80°，则∠ABD ＝．图11-1-136cm 40°4．[2016·丹阳期中]如图11-1-14，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角6形有个．【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线BC上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．5．如图11-1-15，已知△ABC，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.图11-1-15解：如答图所示．6．如图11-1-16，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．图11-1-16解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15－6－4＝5.7．如图11-1-17所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．(1)作出△ABD的边BD上的高；(2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积；(3)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．图11-1-17解：(1)如答图所示，AE即为所求作的高；。
