北京师范大学南湖附属学校高三数学基础知识考试适应性训练10

1．函数x x y lg 42+-=的定义域是 ( )A ．]2,0[ B ．)2,0( C ．]2,0( D ．]2,1[2．“0a b <<”是“11a b>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在由正数组成的等比数列{}n a 中，12341,4a a a a +=+=，则45a a +=（ ）A ． 6B ．8C ．10D ．124．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是 ( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④5．已知偶函数()y f x =对任意实数x 都有(1)()f x f x +=-，且在[0,1]上单调递减，则( ) (A) 777()()()235f f f << (B) 777()()()523f f f <<(C) 777()()()325f f f << (D) 777()()()532f f f << 6．一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ．7．函数)1(log )(++=x a x f a x 在［0，1］上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为_______.8．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =＿＿9．在边长为1的正三角形ABC 中，12BD DC =，则AD CD ⋅的值等于 。

10.已知点F 、A 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅AB FB ，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B.3 C.231+ D.251+ 11. 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12 B.23 C.34D.4512. 一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. 8π3C. D. 16π313. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为（ ）A. 2 B.2 2 C.4 D.8 14.412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ） A.24- B.6- C.6 D.24 15.若,x y 满足约束条件0,40,0,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则3z x y =-（ ）A.有最小值-8，最大值0B.有最小值-4，最大值0C.有最小值-4，无最大值D.有最大值-4，无最小值16.为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A.向右平移π6个单位 B.向左平移π3个单位 C.向左平移π6个单位 D.向右平移π3个单位 17. 已知i 是虚数单位，则ii -+13＝ 18. 在二面角βα--l 中，,,,,βα⊂⊂∈∈BD AC l B l A 且,,l BD l AC ⊥⊥已知,1=AB 2==BD AC , 5=CD , 则二面角βα--l 的余弦值为 ▲19. 如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 、P 在单位圆上，且)54,53(-B ，α=∠AOB ，)0(πθθ<<=∠AOP ，OP OA OQ +=,四边形OAQP 的面积为S 。

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。

北京师范大学南湖附属学校高三数学 基础知识考试适应性训练61．若集合}32|{<<-=x x M ，1|{2+==x y y N ，R x ∈}，则集合=⋂N M （ ）A ．（+∞-,2）B ．（3,2-）C ．［3,1）D ．R2．已知等差数列}{n a 中，1697=+a a ，14=a ，则12a 的值是（ ）A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 3．设与是两个不共线向量，且向量λ+与)2(--共线，则实数λ的值等于（ ）A ．2B ．12 C ．2- D ．12- 4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若20=++c b a ，三角形面积 为310，o 60=A ，则=a （ ）A ．7 B ．8 C ．5 D ．6 5．已知向量)1,2(=，10=⋅，25||=+，则=|b （ ）A ．5 B ．10 C ．5 D ．256．下列函数中，在(0,)2π上有零点的函数是（ ）A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-C ．2()sin f x x x =-D ．22()sin f x x x π=- 7.命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是 ( )A ．122x -<<B ．142x -<<C ．132x -<<D ．06x <<8．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（ ）A ．3B ．1C ．-1D ．-39．方程3log 3x x =-+的解所在的区间是（ ）A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,)+∞10、复数z 满足iiz +=12 ,则复数z 的虚部是 （ ）A ． 1 B ． 1- C ．i D ．i - 11、已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ） ABC或 D12、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友l 本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种13、若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14、 已知0a >，二项式8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 1120,则此展开式中各项系数的和等于 ． 15.若f (x )，则f (x )的定义域为16、如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω= .17、一个盒子里装有4张卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子里则装有分别标有3,4,5,6四个数的4张卡片. 从两个盒子里各任取一张卡片.则取出的两张卡片上的数不同的概率为 18、若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则13a b+的最小值为 19、如图所示程序图运行的结果是 ．20、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .21、已知函数x x x f 2sin 262sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=π，R x ∈。

一、集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =（ ）A 、(1,2)B 、[1,2)C 、(1,2]D 、[1,2] 二、在△ABC 中，“A>B ”是 “sinA>sinB ”的（ ）A 、充分没必要要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也没必要要条件3、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A 、1y x =+B 、2y x =-C 、1y x =D 、||y x x = 4、若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，37sin 2=8θ，则sin θ=（ ）A 、35 B 、45 C 、74 D 、34 五、在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 取值范围为6、函数2()23f x x x =--的单调增区间为7、已知(,3)a x =--，(1,2)b x =-，若a b 和夹角为钝角，则x 的取值范围为8、已知2),2)44x y x y ππαα+=+-=-，则22x y +的值是 九、已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B AC U ）（为（ ） (A) {1,2,4} (B) {2,3,4} (C) {0,2,4} (D) {0,2,3,4}10、若数列{n a } 是公比为2的等比数列，且a 7 = 16 ，则5a =（ ）（A ） 1（B ）2 （C ） 4 （D ）811．已知3cos ,(,2)5x x ππ=-∈，那么tan x 等于（ ）A ．34- B ．43- C ．34 D ．4312．“a ，b ＞0”是“ab ≤222b a +”的 （ ）A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 13．若是等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝12，那么S 7 ＝（ ）A ．14 B ．21 C ．28 D ．3514．已知变量x ，y 知足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为（ ） .11 C1五、若(1)ai i -⋅为纯虚数，则实数a 的值为____________．16．若非零向量a ，b 知足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则 | b | = ．17．设()cos()(0)f x x ϕϕπ=+<<，若()'()+f x f x 是奇函数，则ϕ= ．18．在数列{}n a 中，有22111,1,0n n n a a a n a +==++>，则通项n a = ．19．函数]3,3[,tan sin 2)(ππ-∈++=x m x x x f 有零点，则m 的取值范围为__________． 20、某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，别离标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意掏出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴” “隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求别离取得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的散布列和数学期望．2一、已知函数23()sin cos 3cos (0)f x a x x a x a b a =⋅-++>（Ⅰ）写出函数的单调递减区间； （Ⅱ）设]20[π，∈x ，()f x 的最小值是2-，最大值是3，求实数,a b 的值．22、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。

1、函数322--=x x y 的定义域为 .2．函数x x y ln -=单调递增区间为 .3.设向量)3,1(=,)sin ,(cos θθ=，若//，则=θtan .4.已知31tan(),tan(),tan()5646ππαβαβ+=-=+那么=（ ）A ．16 B ． 723 C ．1318D ．13225.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．b a c >> D.a c b >>6.方程2sin 2sin 0x x a --=x R ∈在上有解，则a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1B ．),1(+∞-C ．]3,1[-D ．[)3,1-7.曲线122+=x y 在点)3,1(-P 的切线方程是 ( )A ．14--=x yB ．14-=x yC ． 74--=x yD ．74-=x y8.若函数2()21xf x m =++为奇函数，则实数m = . 9.已知函数1(),2()2(1),2xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则函数2(log 3)f 的值为___________ 10．已知函数()f x 在R 上可导，且2()2'(2)f x x xf =+，则()f x = ．11. 函数242x x y -=的极大值和极小值分别为 ( )A ．0, -1 B ．1, 0 C ．0, -3 D ．3, 012.已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3()0()(x a x a x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),3(+∞ B. （0,1） C. ]41,0( D. （1,3）13.已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α=( )（A ）-1（B）2-（C）2（D ）1 14.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为________．15.已知圆22:30(,C x y bx ay a b +++-=为正实数）上任意一点关于直线:20l x y ++=的对称点都在圆C 上，则13a b+的最小值为 ． 16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ． 17.函数()()22log ax x f a -=在)1,0(上为减函数，则实数a 的取值 范围 ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 B. )2,1( C. ]2,1( D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2118.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆 的离心率是( )A.54 B.53 C. 5219．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是20. 已知向量()(1,cos ,sin m x n x ωω==()0ω>，函数()f x m n =⋅，且()f x 图象上一个最高点的坐标为,212π⎛⎫⎪⎝⎭，与之相邻的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 是角A 、B 、C 所对的边，且满足222a c b ac +-=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围.21. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.22.如图，在多面体ABCD 中，DB ⊥平面ABC ，AE ∥BD ，且AB=BC=CA=BD=2AE=2。

北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）高三数学 2024.10命题人：曹絮 审题人：黎宁本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|3100}A x x x =−−<，{|10}B x x =−<，则(AB = )A ．{|15}x x <<B ．{|21}x x −<<C ．{|12}x x <<D ．{|51}x x −<<2．设0.50.533434(),(),log (log 4)43a b c ===，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<3．若实数a 、b 满足220a b >>，则下列不等式中成立的是( ) A ．a b > B ．22a b > C ．||a b >D ．2222log log a b >4．若函数1,0,()0,0,1,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⋅⎩则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知复数z 的共轭复数是1i +，则复数2zi−在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是增函数．若()(1)f lgx f >，则x 的取值范围是( ) A ．1(,1)10B ．1(0,)(10,)10+∞C ．1(,10)10D ．(0，1)(10，)+∞7．函数()()sin 2x x f x e e x −=+−在[2,2]−上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=( ) A ．4−B ．0C ．2D ．48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()()x f x g x e +=，则2()4()f x g x +的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．9．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为( ) A ．2mkB ．4mkC ．2m D ．4m 10．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=−'，则称数列{}n x 为牛顿数列．若1()f x x =，数列{}n x 为牛顿数列，且11x =，0n x ≠，数列{}n x 的前n 项和为n S ，则满足2024n S 的最大正整数n 的值为( ) A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．12．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．13．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且(1)0f −=．若对任意的1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，都有122121()()0x f x x f x x x −>−成立，则不等式()0f x >的解集是 ．14．已知函数2()(1)f x lg x ax =++在区间(,2)−∞−上单调递减，则a 的取值范围为 ． 15． 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于0x R ∈，令1()(1n n x f x n −==，2，3，)，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点，给出下列四个结论：①若()21f x x =−，则()f x 存在唯一一个周期为1的周期点； ②若()2(1)f x x =−，则()f x 存在周期为2的周期点；③若12,2()12(1),2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪−⎪⎩，则()f x 存在周期为3的周期点；④若()(1)f x x x =−，则对任意正整数n ，12都不是()f x 的周期为n 的周期点． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的公差； （2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．17．（本小题13分）已知函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−． （Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．18．（本小题14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等2050t <50t（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．（只需写出结论）19．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点的任一直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ，AN 与直线4x =分别相交于D ，E 两点，求证：以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，并求出定点．20.（本小题15分）已知函数2()222xf x e ax x =−−− （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）21.（本小题15分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,,n a a a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在k *∈N ，使得k a M >；（Ⅲ）求证：“11a =”是“存在m *∈N ，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． 11.3112．如：2−，1−，0（答案不唯一） 13．(1−，0)(1，)+∞14．(−∞，5]215． ①③④注： 15题不选、错选0分，少选3分，选全对5分三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分）解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意，2(12)18d d +=+， 解得1d =或0d =．（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为1n a =或n a n =． 由于22n a =或22n a n =，由等比数列前n 项和公式得2n S n =或12(12)2212n n n S +−==−−． 17．（本小题13分）解：（Ⅰ）函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−的定义域为(0,)+∞， 21(21)()()(2)12ax x a f x a x a x x+−'=−+−=， 因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以f '（1）0=，即(21)(1)0a a +−=，0a ，解得1a =，经检验知，当1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点，所以1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知(21)()()ax x a f x x+−'=，0a ，当0a =时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．综上，当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； 当0a >时，函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．18．（本小题14分） 解：（Ⅰ） 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．（Ⅱ） 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人， 所以，随机变量ξ的取值为0ξ=，1，2．所以02262815(0)28C C P C ξ===，1126283(1)7C C P C ξ===，2026281(2)28C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为：ξ∴的数学期望为(0)012287282E ξ==⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）X X <乙甲，22S S >甲乙．19．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −，所以1,22c a a ==，得b所以椭圆C 的方程：22143x y +=； （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标为(1,0)，由题直线斜率不为零，设直线l 方程为1x my =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题，联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(34)690m y my ++−=，所以12122269,3434m y y y y m m −−+==++，直线11:(2)2y AM y x x =++，得116(4,)2y D x +， 同理，直线22:(2)2y AN y x x =++，得226(4,)2y E x +，设x 轴上一点(,0)P t ，则116(4,)2y PD t x =−+，同理得：226(4,)2y PE t x =−+， 所以2121212126636(4,)(4,)(4)22(2)(2)y y y y PD PE t t t x x x x ⋅=−⋅−=−+++++， 因为1212(2)(2)(3)(3)x x my my ++=++，所以 22212222123636(9)(4)(4)(4)90(3)(3)9182736y y PD PE t t t my my m m m ⨯−⋅=−+=−+=−−=++−−++, 解得：43t −=±，即1t =或7t =，所以以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，定点分别为(1,0)，(7,0)．20. （本小题15分）（Ⅰ）因为函数2()222x f x ax x =−−−e ，所以'()222xf x ax =−−e ，故(0)0f =，'(0)0f = ，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = （Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==−−e ，则'()220xg x a =−>e故()g x 是R 上的增函数. 由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >. 即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)−∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.函数()f x 的最小值为(0)f ，由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a <<时，()f x 有两个零点.当1a =时，()f x 有一个零点；当1a >时，()f x 有两个零点.21. （本小题15分）（Ⅰ）若12a =，则数列{}n a 的前7项为2，1，1，2，2，3，1 （Ⅱ）证法一假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值 考虑数列{}n a 的前21M +项： 1a ，2a ，3a ，…，21M a + 其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅= 此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅱ）证法二假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤.由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值对任意的正整数m ，数列{}n a 中至多有M 项的值为m ，事实上若数列{}n a 中至少有1M +项的值为m ，其1M +项为12311,,,,,,M M M i i i i i i a a a a a a −+⋅⋅⋅，此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故数列{}n a 至多有2M 项，这与数列{}n a 有无穷多项矛盾. 故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅲ）充分性：若11a =，则数列{}n a 的项依次为1，1，2，1， 3，1，4，1，…，2k −，1，1k −，1，k ，1，…特别地，数列{}n a 的通项公式为,211,2n k n k a n k =−⎧=⎨=⎩，即1,2121,2n n n k a n k+⎧=−⎪=⎨⎪=⎩ 故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +== （2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立必要性：方法一假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立” 则数列{}n a 的前21k +项为k，211,1,2,1,3,1,4,...,1,2,1,1,1,k k k k−−−项，232,2,3,2,4,2,5,...,2,2,2,1,2,k k k k−−−项，253,3,4,3,5,3,6,...,3,2,3,1,3,k k k k −−−项，⋅⋅⋅，52,2,1,2,k k k k k −−−−项，31,1,k k k −−项，k后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,...,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，22,1,2,2,2,3,...,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，23,1,3,2,3,3,...,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，…2,1,,2,,3,...,,2,,1,,k k t k t k t k t k k t k k t k ++++−+−+项，…故对任意的1,2,3,...,2,1,s k k k =−−，*t ∈N2212(1)2112(1)2k t k s k t k sa k ta s ++−+−++−+=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m > ，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a +=有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a = 方法二 若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s =.由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+） 不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a −均小于等于s .则11k a +=.因为1k m −≥，所以11k k a a +−≥，即11k a −≥且1k a −为正整数，所以11k a −=.记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a −中恰有t 项等于1.假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ====，其中1211t i i i k <<<<=−，考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a −−−，因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a −−−中一定存在两项相等，将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。

北京师范大学南湖附属学校高三数学 基础知识考试适应性训练81．设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}A B =I , 则A B U 等于（ ）A ．{}2,5,7B ．{}1,2,5-C ．{}7,2,5-D ． {}1,2,52．在各项为正的等比数列{}n a 中，13a =，前三项和为21，则345a a a ++等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1893. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A.12 B.22 C.2 D.2 4．已知点 满足x+y ≤6，y>0，x-2y ≥0，则4y x -的最大值为（ ）A ．12- B .23- C.0 D.不存在 5．sin 235°－12sin 20°的值是________．6．函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>=,0,1,0,1ln x x x x x f 则()1->x f 的解集为________． 7. 若()1,2,a b a b a ==-⊥r r r r r , 则a r 与b r 的夹角为 （ ）A. 030 B. 045 C. 060 D. 0758.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．若M 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()()0MB MC MB MC -⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，20MB MC MA ++=u u u r u u u u r u u u r r ，则∆ABC 的形状为（ ）A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形10．椭圆2x 2+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是 ．11．已知(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，若255OA tOB -≤u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ． 12、数列{a n }满足2112333 (32)n n n a a a a -++++=，则n a = ． 13．已知函数),(,)(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式C x f <)(的解集为)6,(+m m ，则实数C 的值为 ．14.已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]23上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是15. 已知函数21)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

北京师范大学南湖附属学校高三数学基础知识考试适应性训练4 Word 版无答案1、设集合A ={(,)|46}x y x y +=，{(,)|327},B x y x y =+= 则=⋂B A ( ) A ．{12}x y ==或 B ．{(1,2)} C ． {1,2} D ．(1,2)2、已知复数11222i,34i,z z m z z =+=-若为实数，则实数m 的值为（ ） A. 2 B. －２ C.23 D ．23- 3、阅读右图的程序框图, 若输出S 的值等于16, 那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ） A ．5>i ? B ．6>i ? C ．7>i ? D ．8>i ? 4、设R x ∈, 那么“0<x ”是 “3≠x ”的（ ）A ．充分不必要条B ．必要不充分条C ．充要条D ．既不充分又不必要条件 5、如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ( ) A ．27 B ．30 C ．33 D ．3 6、已知随机变量X 的分布列如右表，则)(X D =（ ） A ．0.4 B ．1.2 C ． 1.6 D ．27、若实数x ，y 满足不等式组 3020350x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，x 2＋y 2的最大值是 ．8、在圆034222=-+++y x yx 上，且到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数y x ,都有)12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)2(f ．10、函数12log (32)y x =-的定义域是（ ）A ．[1,)+∞ B ．2(,)3+∞ C ． 2[,1]3 D ．2(,1]311、函数1()lg(2)3f x x x =-+-的定义域是_______________________． 12、已知抛物线21:,4C y x =则过其焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为 （ ）A ．94B ．178C ．5D ．413、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个 “正交线面对”。

北京师范大学南湖附属学校高三数学基础知识考试适应性训练8 Word 版无答案1．设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}A B =I , 则A B U 等于（ ）A ．{}2,5,7B ．{}1,2,5-C ．{}7,2,5-D ． {}1,2,52．在各项为正的等比数列{}n a 中，13a =，前三项和为21，则345a a a ++等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1893. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A.12B. 2D.2 4．已知点 满足x+y ≤6，y>0，x-2y ≥0，则4y x -的最大值为（ ）A ．12- B .23- C.0 D.不存在 5．sin 235°－12sin 20°的值是________．6．函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>=,0,1,0,1ln x x x x x f 则()1->x f 的解集为________． 7.若()1,a b a b a ==-⊥r r r r r , 则a r 与b r 的夹角为（ ）A. 030 B. 045 C. 060 D. 075 8.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．若M 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()()0MB MC MB MC -⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，20MB MC MA ++=u u u r u u u u r u u u r r ，则∆ABC 的形状为（ ）A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形10．椭圆2x 2+y 2=1上的点到直线y=3x-4的距离的最小值是 ．11．已知(2,2),(2,1)A B ，O为坐标原点，若OA tOB -u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ． 12、数列{a n }满足2112333 (32)n n n a a a a -++++=，则n a = ． 13．已知函数),(,)(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式C x f <)(的解集为)6,(+m m ，则实数C 的值为 ．14.已知函数()log (2)a f x x a =-在区间12[,]23上恒有()0f x >，则实数a 的取值范围是15. 已知函数21)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

北京师范大学南湖附属学校高三数学基础知识考试适应性训练3 Word 版无答案1、若0,0,,x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =+的最大值是3，则a 的值是 . 2、一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次成等比数列的概率为3、某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为4、设R b a ∈,，则使b a >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．33b a > B.ba 11< C ．22b a > D ．0)(log 2>-b a 5、已知等差数列}{n a 中，882=+a a ，则该数列前9项和=9S6、若413sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23cos 等于__________ 7、已知向量a 与b 的夹角为120°，且5||,2||==b a ，则=⋅-a b a )2(______________8、数列}{n a 的前n 项和为n S ,213n n S a =-,则______________n a = 9、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）()A 12 ()B 11 ()C 8 ()D -110、从0,4,6中选两个数字,从 3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为( ) A.56 B. 96 C. 36 D.36011、函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域是________ 12、已知复数z=1- i ，则2z z-=___________ 13、在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=4，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是____14、设动圆M 与y 轴相切且与圆C :0222=-+x y x 相外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ▲ ）A ．24y x =B ．24y x =-C ．24y x =或0(0)y x =<D ．24y x =或0y =15、44)1()1(x x +⋅-的展开式中2x 项的系数是 ▲ .16、设中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，离心率为2，且过点（5,4），则其焦距为 ▲17、已知双曲线()222104x y b b -=>的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为 ． 18、在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边为a,b,c ，已知b c A b a 3,sin 2==，（1）求B 的值；（2）若三角形ABC 的面积为32，求a,b 的值。