2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第三章 第四节 三角函数的图象与性质 含答案

反子
集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期
性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解
方向2：三角函数的奇偶性与周期性
【例4】(1)(20xx·广东省六校联考)已知A是函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为( )
5．函数f(x)＝3sin 在区间 上的值域为( )
A． B．
C． D．
解析当x∈ 时，2x－ ∈ ，sin ∈ ，故3sin ∈ ，即f(x)的值域为 。故选B。
答案B
6．函数y＝－tan 的单调递减区间为________。
解析因为y＝tanx的单调递增区间为 (k∈Z)，所以由－ ＋kπ<2x－ < ＋kπ，(k∈Z)，得 ＋ <x< ＋ (k∈Z)，所以y＝－tan 的单调递减区间为 (k∈Z)。
A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2
解析最小正周期T＝ ＝π，最大值A＝2－1＝1。故选A。
答案A
2．(必修4P40练习T4)下列关于函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在 上是增函数，在 及 上是减函数
答案D
4．(20xx·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称，则φ的值是______。
解析由函数y＝sin(2x＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称，得sin ＝±1，因为－ <φ< ，所以 < ＋φ< ，则 ＋φ＝ ，φ＝－ 。
答案－
三、走出误区
微提醒：①忽视定义域的限制出错；②不注意正切函数的定义域；③不化为同名函数以及同一个单调区间导致比较大小出错。
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在 上单调递减
解析A项，因为f(x)＝cos 的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；B项，因为f(x)＝cos 图象的对称轴为直线x＝kπ－ (k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，B项正确；C项，f(x＋π)＝cos 。令x＋ ＝kπ＋ (k∈Z)，得x＝kπ－ ，当k＝1时，x＝ ，所以f(x＋π)的一个零点为x＝ ，C项正确；D项，因为f(x)＝cos 的单调递减区间为 (k∈Z)，单调递增区间为 (k∈Z)，所以 是f(x)的单调递减区间， 是f(x)的单调递增区间，D项错误。故选D。
考点二三角函数的值域与最值
【例2】(1)已知函数f(x)＝cosxsin2x，则函数f(x)的最大值为________。
(2)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x，求f(x)在区间 上的最大值和最小值。
(1)解析(换元法)因为y＝f(x)＝cosxsin2x＝2cos2xsinx＝2(1－sin2x)·sinx＝2(sinx－sin3x)，
(2)函数y＝lg(sinx)＋ 的定义域为________。
解析(1)要使函数有意义，必须有 即 故函数的定义域为 。
(2)函数有意义，则 即
解得
所以2kπ<x≤ ＋2kπ(k∈Z)，
所以数的定义域为 2kπ<x≤ ＋2kπ，k∈Z。
答案(1)
(2)
1．三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式。
A． B． C． D．
(2)函数f(x)＝3sin ，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为( )
A． B．
C． D．
解析(1)f(x)＝sin ＋cos ＝ sin2 018x＋ cos2 018x＋ cos2 018x＋ sin2 018x＝ sin2 018x＋cos2 018x＝2sin ，故A＝f(x)max＝2，f(x)的最小正周期T＝ ＝ 。又存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，所以f(x2)＝f(x)max，f(x1)＝f(x)min，故A|x1－x2|的最小值为A× T＝ 。故选B。
解析函数f(x)＝2sin (ω>0)的最小正周期是4π，而T＝ ＝4π，所以ω＝ ，即f(x)＝2sin 。函数f(x)的对称轴为 ＋ ＝ ＋kπ，解得x＝ π＋2kπ(k∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标为 ＋ ＝kπ，解得x＝2kπ－ π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心 。故选B。
(2)(20xx·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A． B．
C． D．π
解析(1)因为y＝ sinx＋ cosx＝sin ，由2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，解得2kπ－ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)。所以函数的单调递增区间为 (k∈Z)，又x∈ ，所以单调递增区间为 。
2．三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
{x|x≠kπ＋ ，k∈Z}
图象
续表
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ 。
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把(ωx＋φ)看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解。
答案(1) (2)C
1．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数。
2．已知单调区间求参数范围的三种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式。
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解。
(2)利用三角函数的图象求解。
【变式训练】(1)函数y＝ 的定义域为________。
(2)函数f(x)＝ ＋tan 的定义域是________。
解析(1)
要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0。利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示。在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为 。
令t＝sinx，则y＝g(t)＝2(t－t3)，－1≤t≤1。
令g′(t)＝2(1－3t2)＝0，得t＝± 。
当t∈ 时，g′(t)<0，
g(t)在 上是减函数；
当t∈ 时，g′(t)>0，
g(t)在 上是增函数；
当t∈ 时，g′(t)<0，g(t)在 上是增函数。
由此，得y＝g(t)在t＝ 时取得最大值，最大值为 。故f(x)的最大值为 。
答案
(2)解因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝ sin ＋1，
当x∈ 时， ∈ 。
由正弦函数y＝sinx在 上的图象知，
当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f(x)取最大值 ＋1；
当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f(x)取最小值0。
综上，f(x)在 上的最大值为 ＋1，最小值为0。
3．函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)。
4．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 (k∈Z)内为增函数。
一、走进教材
1．(必修4P46A组T2,3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
(2)f(x)＝cosx－sinx＝ cos 。当x∈[0，a]时，x＋ ∈ ，所以结合题意可知，a＋ ≤π，即a≤ ，故所求a的最大值是 。故选C。
解析：f′(x)＝－sinx－cosx＝－ sin 。于是，由题设得f′(x)≤0，即sin ≥0在区间[0，a]上恒成立。当x∈[0，a]时，x＋ ∈ ，所以a＋ ≤π，即a≤ ，故所求a的最大值是 。故选C。
(2)因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin 是偶函数，所以－ ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，所以φ＝kπ＋ ，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝ 。
答案(1)B(2)C
1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝ ＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)。
【变式训练】(1)函数f(x)＝sin2x＋ cosx－ 的最大值是________。
(2)若函数f(x)＝(1＋ tanx)cosx，－ ≤x≤ ，则f(x)的最大值为( )
A．1B．2
C． D． ＋1
解析(1)f(x)＝sin2x＋ cosx－ ＝1－cos2x＋ cosx－ ＝－ 2＋1，cosx∈[0,1]，当cosx＝ 时，f(x)取得最大值1。
解析：sinx－cosx＝ sin ≥0，将x－ 视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－ ≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z)。所以定义域为 。
(2)依题意得 所以0<x≤2，且x≠kπ＋ (k∈Z)，所以函数f(x)的定义域是 。
答案(1)
(2)
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第三章 第四节 三角函数的图象与性质 含答案