2019-2020年宁波市海曙区九年级上册期末数学试卷(有答案)-可编辑修改

宁波市2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．已知抛物线221y ax x =+-与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是优弧BC 上一点，如果∠AOB ＝58º，那么∠ADC 的度数为（ ）A ．32ºB ．29ºC ．58ºD ．116º3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ） A ．45B ．34C ．43D ．354．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ）A ．3B ．31+C ．31-D ．23 5．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2 6．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−4D ．47．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．A ．三条边垂直平分线B ．三条中线C ．三条角平分线D ．三条高8．下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在六张卡片上分别写有13，π，1.5，5，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．5610．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sin B的值是（）A．45B．35C．43D．3411．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．73B．234+C．1433D．223312．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．AD ABAE AC=D．AC BCAE DE=13．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大B．S的值减小C．S的值先增大，后减小D．S的值不变14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π- B ．8433π- C ．8233π- D ．843π- 15．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．54B ．36C ．32D ．27二、填空题16．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．17．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________． 18．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．19．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____. 20．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m+2010的值为_____． 21．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．22．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.23．圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____. 24．如图，在ABC 中，62BC =+，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为________．25．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．26．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．27．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．28．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x … －1 0123 … y…－3 －3 －1 39…关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．29．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．30．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)三、解答题31．学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下：得分109876人数33211（1）计算这10名同学这次测试的平均得分；（2）如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）小明所在班级共有40人，他们全部参加了这次测试，平均分为7.8分．小明的测试成绩是8分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？32．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元，若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买2件，所买的每件服装的售价均降低6元.已知该服装成本是每件200元.设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y 元.（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多，并求出获利的最大值？33．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF 的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．34．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y 轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：①求二次函数的表达式；②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n 的值．35．2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？四、压轴题36．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠DPC是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）猜想回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数的关系，给出证明（提示：延长CP交⊙O 于点E）；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．37．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．（1）若ED＝BE，求∠F的度数：（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．38．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.39．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．40．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题目信息可知当y=0时，20a 21x x =+-，此时0<，可以求出a 的取值范围，从而可以确定抛物线顶点坐标的符号，继而可以确定顶点所在的象限. 【详解】解：∵抛物线2y a 21x x =+-与x 轴没有交点，∴2a 210x x +-=时无实数根； 即，24440b ac a =-=+<， 解得，a 1<-，又∵2y a 21x x =+-的顶点的横坐标为：2102a a-=->； 纵坐标为：()414104a a aa⨯----=<； 故抛物线的顶点在第四象限. 故答案为：D. 【点睛】本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据抛物线与x 轴无交点得出2a 210x x +-=时无实数根，再利用根的判别式求解a 的取值范围.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据垂径定理可得AB AC =，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC ，进而可得答案． 【详解】解：∵OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ， ∴AB AC =， ∴∠ADC=12∠AOB=29°. 故选B. 【点睛】此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴2222AB AC BC345=+=+=,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠C=90°,∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选：A.【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.4．B解析：B【解析】【分析】设AC、BD交于点E，过点C作CF⊥BD于点F，过点E作EG⊥CD于点G，则CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，设AB=2，则易求出CF3CEF∽△AEB，可得3EF CFBE AB==，于是设EF3x，则2BE x=，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x的代数式表示出CF、CD、DE、DG、EG的长，进而可得CG的长，然后利用正切的定义计算即得答案.【详解】解：设AC、BD交于点E，过点C作CF⊥BD于点F，过点E作EG⊥CD于点G，则CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，∴△CEF∽△AEB，设AB=2，∵∠ADB=30°，∴BD=3∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ， ∴CF=DF=BF =12BD =3， ∴32EF CF BE AB ==， 设EF =3x ，则2BE x =，∴()23BF CF DF x ===+， ∴()()2223226CD DF x x ==+=+，()()233223DE DF EF x x x =+=++=+，∴()()222232622EG DG DE x x ===+=+，∴()()226262CG CD DG x x x =-=+-+=，∴()62tan 312x EG ACD CG x+∠===+.故选：B.【点睛】本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值. 【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.【点睛】本题考查了二次函数的最值.6．B解析：B【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.8．A解析：A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形，需要注意的是轴对称图形是关于对称轴成轴对称；中心对称图形是关于某个点成中心对称．9．B【解析】【分析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有π，2共2个，∴卡片上的数为无理数的概率是21 =63.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.10．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB222268BC AC+=+10，∴sin B=84105 ACAB==．故选：A．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．11．C解析：C【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，∴易证AE ⊥BC ，∵A 、C 关于BD 对称，∴PA ＝PC ，∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB= ＝2，∵BD ＝∴PD ＝233⨯=∴点H 的横坐标b ，∴a +b ＝=； 故选C ．【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．D解析：D【解析】【分析】先求出∠DAE ＝∠BAC ，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；C、添加AD ABAE AC=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加AC BCAE DE=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．13．D解析：D【解析】【分析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=12|k|，所以S=2k，为定值．【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．C解析：C 【解析】 【分析】 连接OD ，根据勾股定理求出CD ，根据直角三角形的性质求出∠AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD ，在Rt △OCD 中，OC ＝12OD ＝2， ∴∠ODC ＝30°，CD ＝2223OD OC +=∴∠COD ＝60°， ∴阴影部分的面积＝260418223=2336023π⨯-⨯⨯π- ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．15．D解析：D【解析】【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠【详解】切线性质得到90BAO ∠=903654AOB ∴∠=-=OD OA =OAD ODA ∠=∠∴AOB OAD ODA ∠=∠+∠27ADC ADO ∴∠=∠=故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键二、填空题16．6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．解析：6【解析】【分析】取AB的中点E，连接OE，DE，OD，依据三角形中位线定理即可得到BC=2DE，再根据O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD-OE=3，即可得到BC的最小值等于6．【详解】解：如图所示，取AB的中点E，连接OE，DE，OD，由题可得，D是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵点D坐标为(4，3)，∴OD22345，∵Rt△ABO中，OE＝12AB＝12×4＝2，∴当O，E，D在同一直线上时，DE的最小值等于OD﹣OE＝3，∴BC的最小值等于6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形三条边的关系，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质以及三角形中位线定理．17．-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随解析：-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数222y x x -=-，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵−1≤x≤4，∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．【解析】【分析】分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析：9π 【解析】【分析】分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算S S 半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2，边长为30cm 的正方形ABCD 的面积=302=900cm 2，∴P （飞镖落在圆内）=100==9009S S ππ半圆正方形，故答案为：9π.【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．19．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可. 【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠解析：2m【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键. 20．2019【解析】【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5 m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解解析：2019【解析】【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴5m2﹣3m﹣1＝0，∴5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，∴15m﹣3m+2010＝3（5m﹣1m）+2010＝9+2010＝2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.21．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝(1)2n n+，∵当n＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4，∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 22．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红解析：5 8【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55 538= +故答案为: 58．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．23．216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算，解析：216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则π5180n ⨯=6π, 解得n=216.故答案为216°.【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．24．【解析】【分析】过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.【详解】过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．【点睛】本题考查勾股定解析：2【解析】【分析】过A 点作BC 的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求AC 的长.【详解】过A 作AD BC ⊥于D 点，设2AC x =，则2AB x =，因为45C ∠=︒，所以AD CD x ==，则由勾股定理得223BD AB AD x =-=，因为62BC =+，所以362BC x x =+=+，则2x =．则2AC =．【点睛】本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.25．【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再解析：23【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，∴PQ=OQ －OP=4根据垂径定理，PN=122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4在Rt △OND 中，∠O=45°∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r ∵圆C 与OB 相切于点M ，∴∠CMD=90°∴△CMD 为等腰直角三角形∴CM=DM=r ，22CM r =∴NC=ND －CD=42r根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2即()222422r r -+=解得：124223,4223r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）故答案为：23．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．26．【解析】【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的解析：60【解析】【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝12lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝12lr＝12×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝12lr是解题的关键．27．y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再解析：y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．故答案为：y=-5（x+2）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．28．－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3解析：－3【解析】【分析】首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．【详解】解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得3 1 3ca b c a b c-=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴y=x²+x-3,∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，∴x=122ba-±-±==−1±2，∵1x<0,∴1x=−1-2＜0，∵-4≤-3，∴3222 -≤-≤-，∴-≤ 2.5 -，∵整数k满足k＜x1＜k+1，∴k=-3，故答案为:-3．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式. 29．2【解析】【分析】根据根的判别式，令，可得，解方程求出b ＝﹣2a ，再把b 代入原方程，根据韦达定理：即可．【详解】当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根时，，即解析：【解析】【分析】根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣，再把b 代入原方程，根据韦达定理：12b x x a+=-即可． 【详解】当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根时， =0∆，即2220=0b a -，解得b ＝﹣a 或b ＝（舍去），原方程可化为ax 2﹣+5a ＝0，则这两个相等实数根的和为故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：12．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°7．（4分）把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（﹣2）2+1B．y＝（+2）2+1C．y＝（+4）2+1D．y＝（+4）2+58．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r 的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣2+2，﹣2}的最大值为（）A．2﹣2B．+1C．1﹣D．2+2二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝厘米．15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C 内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与的关系式为R＝500+30，P＝170﹣2，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售只蛋糕的总售价为元（用含的代数式表示），并求y与的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（+1）（﹣3）与轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为：1．故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故此选项错误；C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°【分析】根据旋转的性质可得∠BAB'＝∠CAC'＝50°，即可求∠∠B′AC的度数．【解答】解：∵旋转∴∠BAB'＝50°，且∠BAC＝30°∴∠B'AC＝20°故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm ，则此圆弧长为（ ）A ．πcmB ．2πcmC ．4πcmD ．6πcm【分析】根据弧长公式l ＝进行解答．【解答】解：此圆弧长为l ＝＝cm ， 故选：B ．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan ∠ACB ＝，故选：B ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．6．（4分）如图，点P 为直径BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于C ，若的度数等于120°，则∠ACP 的度数为（ ）A ．40°B ．35°C ．30°D ．45°【分析】连接OC ，由的度数等于120°知∠AOC ＝60°，根据OC ＝OA 可得△AOC 是等边三角形，从而知∠ACO ＝60°，再根据PC 切⊙O 于C 知∠PCO ＝90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接OC ，∵的度数等于120°，∴∠BOC ＝120°，∴∠AOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，∴∠ACP＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．7．（4分）把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（﹣2）2+1B．y＝（+2）2+1C．y＝（+4）2+1D．y＝（+4）2+5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y＝（﹣2）2+3再向下平移2个单位，所得的图象解析式是：y＝（﹣2）2+1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD 的范围，即可解答．【解答】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为90°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，在Rt△ADE中，AE＝2DE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠DAE＝30°，进而解答即可．【解答】解：∵纸片ABCD为矩形，∴AB＝CD，∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，∴AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，而E为DC的中点，∴AE＝2DE，在Rt△ADE中，AE＝2DE，∴∠EAD＝30°，∴sin∠EAD＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意和图形可以得到∠BDC的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到∠BAC的三角函数值，即可解答本题．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，BC＝a厘米，CD＝b厘米，⊙O的直径为1厘米，∴sin∠BDC＝a，cos∠BDC＝b，tan∠BDC＝，∴sin∠BAC＝a，故①正确，cos∠BAC＝b，故②正确，tan∠BAC＝，故③错误，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r 的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，利用切线的性质得OA＝OB＝r，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝30°，则AP＝OA＝r，再利用四边形内角和计算出∠AOB＝120°，接着利用扇形面积公式得到S＝（﹣π）r2（r＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．【解答】解：过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，则OA＝OB＝r，∠APO＝∠BPO＝30°，∴AP＝OA＝r，∵∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S＝S四边形AOBP ﹣S扇形AOB＝2×r•r﹣＝（﹣π）r2（r＞0），故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象．12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣2+2，﹣2}的最大值为（）A．2﹣2B．+1C．1﹣D．2+2【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min{﹣2+2，﹣2}的最大值，本题得以解决．【解答】解：当﹣2+2≥﹣2时，解得，1﹣≤≤1+，∴当1﹣≤≤1+时，min{﹣2+2，﹣2}＝﹣2，此时，当＝1﹣时，﹣2取得最大值﹣2+2；当﹣2+2≤﹣2时，解得，≤1﹣或≥1+，∴当≤1﹣或≥1+时，min{﹣2+2，﹣2}＝﹣2+2，此时，当＝1﹣时，﹣2+2取得最大值﹣2+2；由上可得，min{﹣2+2，﹣2}的最大值为2﹣2，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵箱子里有7个白球、3个红球，∴从中随机摸出一球是白球的概率是＝．故答案为．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝10厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×25，解得c＝±10（线段是正数，负值舍去），∴c＝10cm，故答案为：10【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C 内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是3＜r＜4．【分析】根据勾股定理得到AC＝＝5，点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是3＜r ＜4．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴r的取值范围是3＜r＜4．故答案为：3＜r＜4【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d ＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为2．【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE 问题即可解决．【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；∵∠C＝90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）；由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，∴AB＝10；由切线的性质定理的：AF＝AE，BD＝BE；∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，∴R＝2，它的内切圆半径为2．【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理分析、判断、解答．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为20．【分析】连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到∠ABP＝∠AQC，证明△ABP∽△AQC，根据相似三角形的性质定理计算即可．【解答】解：连接QC，∵PQ与⊙A相切于点B，∴∠ABP＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠AQC＝90°，∴∠ABP＝∠AQC，又∠APB＝∠ACQ，∴△ABP∽△AQC，∴＝，∴AP•AQ＝AB•AC＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．【分析】连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP ∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长．【解答】解：连接PD，如图，∵∠ECD＝90°，∴DE为直径∴∠EPD＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝∠CED，∵∠AEB＝∠CDP，∴∠AEB＝∠CED，∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝5，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴Rt△ADP∽Rt△EAB，∴＝，即＝，∴AP＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；（2）由＝知y＝3，代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝×﹣×＝3﹣1＝2；（2）∵＝，∴y＝3，则原式＝＝．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是．【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．∵的度数为120°，AO＝BO，∴∠BOH＝×120°＝60°，∴AH＝BH＝，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．∵Rt△BOH中，OH＝1，∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，在Rt△OMC中，CM＝＝，∴CE＝ME+CM＝1+＝，∴立柱CE的长度为．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．【分析】作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，设CN＝，在Rt△BCE中利用正切定义得到BN＝CN＝，在Rt△ACN中，利用∠A的正切得到＝tan30°＝，解得＝700+700，然后计算CN+MN 即可．【解答】解：作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，则MN＝600，AB＝1400，∠NAC＝30°，∠NBC＝45°，设CN＝，在Rt△BCE中，∵tan∠NBC＝tan45°＝，∴BN＝CN＝，在Rt△ACN中，tan∠NAC＝，∴＝tan30°＝，解得＝700+700，∴CM＝CN+MN＝700+700+600＝700+1300．答：海底C点处距离海面DF的深度为（700+1300）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；（2）根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5，则得出CA＝10，CE＝13，进而得出CE＝18，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：连接OD，如图所示：∵AC为圆O的直径，∴∠CBA＝90°，又∵∠F＝90°，∴∠CBA＝∠F＝90°，∴AB∥EF，∴∠AMO＝∠EDO，又∵D为的中点，∴＝，∴OD⊥AB，∴∠AMO＝90°，∴∠EDO＝90°，∵EF过半径OD的外端，则EF为圆O的切线，（2）在Rt△ODE中，sin E＝＝，设OD＝OC＝OA＝5，∴CA＝10，OE＝13，∴CE＝18，∵EF∥AB，∴△ABC∽△ECF，∴＝＝【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．【分析】（1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；（2）根据相似三角形作图可得．【解答】解：（1）由勾股定理得BC＝＝、AB＝2、AC＝＝，∴BC：AB：AC＝：2：＝1：：，∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；（2）如图所示：【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与的关系式为R＝500+30，P＝170﹣2，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售只蛋糕的总售价为（﹣22+170）元（用含的代数式表示），并求y与的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？【分析】（1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做只蛋糕的成本可得y关于的解析式；（2）求出y＝1500时的值即可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）销售只蛋糕的总售价为（170﹣2）＝﹣22+170（元），根据题意，得：y＝（﹣22+170）﹣（500+30）＝﹣22+140﹣500，故答案为：（﹣22+170）；（2）当y＝1500时，得：﹣22+140﹣500＝1500，解得：1＝20、2＝50，∵≤40，∴＝20，即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；（3）y＝﹣22+140﹣500＝﹣2（﹣35）2+1950，∵a＝﹣2＜0，∴当＝35时，y取得最大值，最大值为1950，答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（+1）（﹣3）与轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．【分析】（1）分别代入y＝0、＝0求出与之对应的、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；（2）连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值，此题得解；（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO 上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长，此题得解．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（+1）（﹣3）＝0，解得：1＝﹣1，2＝3，∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）；当＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3，∴点C的坐标为（0，3）；∵抛物线与轴交于点（﹣1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为直线＝1．（2）连接CP、BP，如图1所示．在Rt△BOC中，BC＝＝．∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，∴CP＝BP＝BC＝，∴⊙P的半径为．（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣y）2]+[（0﹣1）2+（3﹣y）2]＝10，整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝1，y2＝2，∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°．（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．∵AC＝＝3，∠ACO＝45°，∴点C′的坐标为（3﹣3，0），∠AC′O′＝45°，∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣+3﹣3．∵点E在线段CO上，∴点F在线段C′O′上．过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值．∵△OC′F为等腰直角三角形，∴OF＝OC′＝（3﹣3）＝3﹣．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；（3）利用极限值法求出点D纵坐标；（4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．。

图像的对称轴是（，弓形高为，则弓形的弦答案第2页，总29页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5.如图，为直径的延长线上一点，切⊙于点，若，则（）A. B. C. D.6.如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=8，CD=6，则图中阴影部分面积为（）A.π–24B.9πC.π–12D.9π–67.下列事件中，属于不可能事件的是（）A.明天会下雨B.从只装有个白球的袋子中摸出红球C.抛一枚硬币正面朝上D.在一个标准大气压下，加热到水会沸腾8.若，则（）A.B.C.D.9.如图，三角形纸片的周长为，，⊙是的内切圆，玲玲用剪刀在⊙的左侧沿着与⊙相切的任意一条直线剪下一个，则的周长是（）A. B.第3页，总29页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C.D.根据位置不同而变化10.如图，在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若，则下列说法不正确的是()A. B. C. D.12.如图，是半圆的直径，为弧中点，点、分别在弦、上，且.若设，，则关于的函数图像大致是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释答案第4页，总29页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人得分一、填空题（共6题)1.如图，的两条中线，交于点，交于点，若，则.2.如图抛物线与直线相交于点、，与轴交于点，若为直角，则当的时自变量的取值范围是.3.如图，是⊙的直径，，为弧中点，点是⊙上一个动点，取弦的中点，则的最大值为.4.已知扇形的弧长为，半径为，则此扇形的圆心角为度.5.已知点是线段的黄金分割点，且，若，则长为.6.口袋里装有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同，从中任意拿出一支笔芯，则笔芯为黑色的概率是.评卷人得分二、计算题（共1题)7.计算：为，求旗杆的高，绕点逆时针方向旋转，在图相似且面积最大的格点、在同一圆上的格点，并用，答案第6页，总29页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………评卷人得分五、综合题（共5题)10.如图，在斜坡上按水平距离间隔50米架设电缆，塔柱上固定电缆的位置，离塔柱底部的距离均为20米.若以点为原点，以水平地面所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，已知斜坡所在直线的解析式为，两端挂起的电缆下垂近似成二次项系数为抛物线的形状.（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）求电缆近似成的抛物线的解析式；（3）小明说：在抛物线顶点处，下垂的电缆在竖直方向上与斜坡的距离最近。

宁波市2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．如图，矩形ABCD 中，3AB =，8BC =，点P 为矩形内一动点，且满足PBC PCD ∠=∠，则线段PD 的最小值为（ ）A ．5B ．1C ．2D ．32．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80° 3．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A ．9︰16B ．3︰4C ．9︰4D ．3︰16 4．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2 B ．m>-2C ．m≥-2D ．m≤-25．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k ＞﹣1且k≠06．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是( )A ．12DE BC = B ．AD AEAB AC= C ．△ADE ∽△ABCD ．:1:2ADEABCS S=7．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或69．已知52x y =，则x y y-的值是（ ） A ．12 B ．2C ．32D ．2310．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A ．5πB ．10πC ．20πD ．40π11．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（ ） A ．最小值―3 B ．最小值3 C ．最大值―3 D ．最大值312．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．-2B ．2C ．-3D ．313．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB ＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC的度数等于（ ）A ．50°B ．49°C ．48°D ．47°14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝7，D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD ＝1，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（ ）A ．3B ．3C ．7D ．715．下表是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分x ，y 的对应值： x… ﹣1﹣12 0 121322523 …y … 2 m ﹣1﹣74﹣2 ﹣74 ﹣1 142 …可以推断m 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．14D ．2二、填空题16．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）17．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ．若AC ＝2，则cosD ＝________.18．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，则m 满足的条件是_____. 19．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．20．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ． 21．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.22．把抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是__________． 23．若32x y =，则x y y+的值为_____． 24．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．25．抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为________．26．一元二次方程x 2﹣3x+2＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝______．27．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB=m （m 为整数），则整数m 的值为______．28．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.29．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．30．若函数y ＝（m +1）x 2﹣x +m （m +1）的图象经过原点，则m 的值为_____．三、解答题31．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE=ED ；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC 的长．32．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx =++与x 轴交于()10A -，，()B 5，0两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线BC 上方抛物线上的一个动点，求△BPC 面积的最大值； （3）若点D 是y 轴上的一点，且以B,C,D 为顶点的三角形与ABC 相似，求点D 的坐标；（4）若点E 为抛物线的顶点，点F （3，a )是该抛物线上的一点，在x 轴、y 轴上分别找点M 、N ，使四边形EFMN 的周长最小，求出点M 、N 的坐标．33．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．（1）判断△FAG 的形状，并说明理由；（2）如图②若点E 与点A 在直径BC 的两侧，BE 、AC 的延长线交于点G ，AD 的延长线交BE 于点F ，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若BG ＝26，DF ＝5，求⊙O 的直径BC ．34．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积；（3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ． 35．如图示，AB 是O 的直径，点F 是半圆上的一动点（F 不与A ，B 重合），弦AD 平分BAF ∠，过点D 作DE AF ⊥交射线AF 于点AF .（1）求证：DE 与O 相切：（2）若8AE =，10AB =，求DE 长；（3）若10AB =，AF 长记为x ，EF 长记为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出AF EF ⋅的最大值. 四、压轴题36．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．37．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数23y x b =-+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．38．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34，CF=83．（1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AC 是⊙O 的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和．39．MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，4MN =，在劣弧MN 和优弧MN 上分别有点A,B （不与M,N 重合），且AN BN =，连接,AM BM .（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数； （2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.40．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 关于线段AB 的视角． 如图2，点Q 在直线l 上运动，当点Q 关于线段AB 的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l 关于线段AB 的“视角”．（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为度，x轴关于线段AB的视角为度；（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF ＝1，当直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，求k的值；（3）如图5，在平面直角坐标系中，P3，2），Q3，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，且关于线段PQ的视角为45°，求这条直线的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得∠BPC=90°，所以P点应该在以BC为直径的圆上，即OP=4，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决.【详解】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=3，∠BCD=90°,∴∠PCD+∠PCB=90°,∵PBC PCD∠=∠,∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠BPC=90°,∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，在Rt△OCD中，OC=118422BC,CD=3，由勾股定理得，OD=5，∵PD≥OD OP ,∴当P,D,O三点共线时，PD最小，∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1.故选：B.【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出P点的运动轨迹是解答此题的关键.2．D解析：D【解析】【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.3．B解析：B【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.考点：本题主要考查了相似三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方4．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m 值的范围. 【详解】解：抛物线的对称轴为直线221m x m∵10a =-<,抛物线开口向下，∴当x m < 时，y 的值随x 值的增大而增大， ∵当2x <-时，y 的值随x 值的增大而增大， ∴2m ≥- ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.5．D解析：D 【解析】∵一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac=4+4k ＞0，且k≠0． 解得：k ＞﹣1且k≠0．故选D ．考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．6．D解析：D 【解析】∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，AD AEAB AC =， ∴21()4ADE ABCS DE SBC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误. 故选D.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案． 【详解】 如图：由勾股定理得：AB=22222133AC BC ++＝＝ ，所以cosB=313BC AB ＝，sinB=21233AC AC tanB AB BC =＝，＝ ，所以只有选项C 正确； 故选：C ．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 8．D解析：D【解析】【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，∴CN AC AC CB=， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽， ∴CN MH AC CH=， ∴123516685k k k =-， 1k ∴=，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6．故选：D ．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．9．C解析：C【解析】【分析】设x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0），代入求值即可．【详解】 解：∵52x y = ∴x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0） ∴52322x y k k y k --== 故选：C ．【点睛】本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．10．B解析：B【解析】【分析】利用圆锥面积=Rr计算.【详解】Rr=2510，故选：B.【点睛】此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.11．A解析：A【解析】【分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.【详解】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n，∴n=-4+m，代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn+1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．12．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．要求熟练运用此公式解题．13．A解析：A【解析】【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，得到∠AOC＝100°，根据圆周角定理解答．【详解】连接OC，由题意得，OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝100°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝50°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．14．B解析：B【解析】【分析】如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解决问题．【详解】解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∵DE∥AB，∴CDCA＝CECB，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴'CDCA＝'CECB，∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC7，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝27，BC＝3AC＝21，∵DE∥AB，∴CDCA＝CECB，∴7＝21，∴CE＝3，∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝3∴E′H＝12CE′＝3，CH＝3HE′＝32，∴BH＝22BC CH-＝9214-＝53∴BE′＝HE′+BH＝33，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导．15．C解析：C【解析】【分析】首先根据表中的x、y的值确定抛物线的对称轴，然后根据对称性确定m的值即可．【详解】解：观察表格发现该二次函数的图象经过点（12，﹣74）和（32，﹣74），所以对称轴为x＝13222+＝1，∵511122⎛⎫-=--⎪⎝⎭，∴点（﹣12，m）和（52，14）关于对称轴对称，∴m＝14，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴．二、填空题16．不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、解析：不能【解析】【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，-3）与C、B共线，∴点A、B、C共线，∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．17．【解析】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形解析：1 3试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA=ACAB=26=13．故答案为13．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．18．【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠解析：2m【解析】【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.19．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接D解析：4 5【解析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF∴323x x DE x x DF∴45 DEDF,∴45 CECF.故答案为：4 5 .【点睛】本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.【解析】【分析】设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE为xm，如图：∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴，由题意知AB解析：60【解析】【分析】设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE为xm，如图：∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴AB DCBE CE=，由题意知AB=50,CD=15,CE=18,即，501518x=，解得x＝60，经检验，x=60是原方程的解，即高为50m的旗杆的影长为60m．故答案为：60．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例. 21．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红 解析：58【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55538=+ 故答案为:58． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 22．【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．【详解】抛物线向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是即故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函解析：22(1)2y x =+-【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律平移即可．【详解】抛物线22(1)1y x =-+向左平移2个单位长度再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的函数表达式是 22(12)13y x =-++-即22(1)2y x =+-故答案为：22(1)2y x =+-．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．23．．【解析】【分析】根据比例的合比性质变形得：【详解】∵，∴故答案为：.【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键． 解析：52． 【解析】【分析】 根据比例的合比性质变形得：325.22x y y ++== 【详解】 ∵32x y =， ∴325.22x y y ++== 故答案为：52. 【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键． 24．74【解析】【分析】利用加权平均数公式计算.【详解】甲的成绩=，故答案为：74.【点睛】此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 解析：74【解析】【分析】利用加权平均数公式计算.【详解】甲的成绩=70560290374523，故答案为：74.【点睛】此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键.25．8【解析】试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.由题意得，解得考点：本题考查的是二次根式的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x解析：8【解析】试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.由题意得，解得考点：本题考查的是二次根式的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点.26．1【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得：x1+x2=3，x1x2=2，所以x1+x2-x1x2=3-2=解析：1【解析】【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得：x 1+x 2=3，x 1x 2=2，所以x 1+x 2-x 1x 2=3-2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 27．6或7【解析】【分析】因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中，且AC+BC=8，即可求得，根据基本不等式，可得的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可解析：6或7【解析】【分析】 因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中222AB =AC BC +，且AC+BC=8，即可求得22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥2AB 的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可得出AB 可能的长度．【详解】 解：∵直径所对圆周角为直角，故ABC 为直角三角形，∴根据勾股定理可得，222AB =AC BC +，即22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，又∵AC+BC=8，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥∴0<AC BC 16⋅≤，代入22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅∴232AB 64≤≤，同时AB 要满足整数的要求，∴AB=6或7或8，但是三角形三边关系要求，任意两边之和大于第三边，故AB ≠8， ∴AB=6或7，故答案为：6或7．【点睛】本题主要考察了直径所对圆周角为直角、勾股定理、三角形三边关系、基本不等式，解题的关键在于找出AB 长度的范围． 28．2＋2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥O解析：23＋2【解析】【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×12＝2（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×32＝3km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD＋BD＝32（km），故答案为：32．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．29．10【解析】【分析】当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：∵∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．则OA解析：【解析】【分析】当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．则．故答案是：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解题关键．30．0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】∵函数经过原点，∴m（m+1）＝0，∴m＝0或m ＝﹣1，故答案为0或﹣1．【点解析：0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】∵函数经过原点，∴m （m +1）＝0，∴m ＝0或m ＝﹣1，故答案为0或﹣1．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．三、解答题31．（1）证明见解析；（2）2AC π=【解析】【分析】【详解】分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；（2）根据弧长公式解答即可．详证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ，∴AE=ED ；（2）∵OC ⊥AD ，∴AC BD = ，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴AC =7252180ππ⨯=． 点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．32．（1）245y x x =-++；（2）△BPC 面积的最大值为1258 ；（3）D 的坐标为（0，-1）或（0，-103）；（4）M （1117，0），N （0，115） 【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-5）=a （x 2-4x-5），即-5a=5，解得：a=-1，即可求解； （2）利用S △BPC =12×PH×OB=52（-x 2+4x+5+x-5）=12（x-52）2+1258，即可求解； （3）B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况，分别求解即可； （4）作点E 关于y 轴的对称点E′（-2，9），作点F （2，9）关于x 轴的对称点F′（3，-8），连接E′、F′分别交x 、y 轴于点M 、N ，此时，四边形EFMN 的周长最小，即可求解．【详解】解：（1）把()1,0A -，()5,0B 分别代入25y ax bx =++得：0=502555a b a b -+⎧⎨=++⎩∴14a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为：245y x x =-++．（2）如图，过点P 作PH ⊥OB 交BC 于点H令x =0，得y =5∴C （0，5），而B （5，0）∴设直线BC 的表达式为：y kx b =+∴505b k b =⎧⎨=+⎩ ∴15k b =-⎧⎨=⎩∴5y x =-+设245P m,m m -++（），则5H m,m -+（）∴224555PH m m m m m =-+++-=-+∴21552PBC Sm m =⨯⨯-+（） ∴255125228PBC S m =--+（） ∴△BPC 面积的最大值为1258． （3）如图，∵ C （0，5），B （5，0）∴OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB =45°∴AB =6，BC =52要使△BCD 与△ABC 相似 则有AB BC BC CD =或AB CD BC BC= ①当AB BC BC CD =时 5252= ∴253CD = 则103OD =∴D （0，103-） ② 当AB CD BC BC=时， CD =AB =6，∴D （0，-1）即：D 的坐标为（0，-1）或（0，-103） （4）∵245y x x =-++229y x +=--（） ∵E 为抛物线的顶点，∴E （2，9）如图，作点E 关于y 轴的对称点E'（﹣2，9），∵F （3，a ）在抛物线上，∴F （3，8），∴作点F 关于x 轴的对称点F'（3，-8），则直线E' F'与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N设直线E' F'的解析式为：y mx n =+则9283m n m n =-+⎧⎨-=+⎩ ∴175115m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线E' F'的解析式为：171155y x =-+ ∴1117M （，0），N （0，115）． 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、对称点性质等知识点，其中（4），利用对称点性质求解是此类题目的一般解法，需要掌握．33．（1）△FAG 是等腰三角形，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）BC ＝523． 【解析】【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD ＝90°，∠C+∠CAD ＝90°，从而得到∠BAD ＝∠C ，然后利用等弧对等角等知识得到AF ＝BF ，从而证得FA ＝FG ，判定等腰三角形；（2）成立，同（1）的证明方法即可得答案；（3）由（2）知∠DAC ＝∠AGB ，推出∠BAD ＝∠ABG ，得到F 为BG 的中点根据直角三角形的性质得到AF＝BF＝12BG＝13，求得AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，根据勾股定理得到BD＝12，AB＝ABC＝∠ABD，∠BAC＝∠ADB＝90°可证明△ABC∽△DBA，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）△FAG等腰三角形；理由如下：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵AE AB=，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形．（2）成立，理由如下：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AGB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵AE AB=，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形．（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，∴∠BAD＝∠ABG，∴AF＝BF，∵AF＝FG，∴BF=GF，即F为BG的中点，∵△BAG为直角三角形，∴AF＝BF＝12BG＝13，∵DF＝5，∴AD ＝AF ﹣DF ＝13﹣5＝8，∴在Rt △BDF 中，BD 12，∴在Rt △BDA 中，AB ＝∵∠ABC ＝∠ABD ，∠BAC ＝∠ADB ＝90°，∴△ABC ∽△DBA ， ∴BC BA ＝AB DB ，12， ∴BC ＝523， ∴⊙O 的直径BC ＝523． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．34．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为513；（3）53、5、15、5)3【解析】【分析】（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 中，∴90B C D ∠=∠=∠=由折叠可得90D EFA ∠=∠=∵90EFA C ∠=∠=∴90CEF CFE CFE AFB ∠+∠=∠+∠=∴CEF AFB ∠=∠在ABF ∆和FCE ∆中∵AFB CEF ∠=∠，90B C ∠=∠=∴ABF ∆∽FCE ∆（2）解：过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠= ∵矩形ABCD 中，∴90D ∠=由折叠可得：90D EFA ∠=∠=，1DE EF ==，5AD AF ==∵90EGF EFA ∠=∠=∴90GEF GFE AFH GFE ∠+∠=∠+∠=∴GEF AFH ∠=∠在FGE ∆和AHF ∆中∵,90GEF AFH EGF FHA ∠=∠∠=∠=∴FGE ∆∽AHF ∆ ∴EF GF FA AH = ∴15GF AH= ∴5AH GF =在Rt AHF ∆中，90AHF ∠=∵222AH FH AF +=∴222(5)(5)5GF GF +-= ∴513GF = ∴EFC ∆的面积为155221313⨯⨯= （3）设DE=x ，以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则：①当点E 在线段CD 上时，∠DAE<45°，∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°，∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°，∴∠CEF<90°，∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，a,当∠EFC=90°时，如图所示:由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFE+∠EFC=90°，∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=34，由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，∴CF=AC-AF=34-5，在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，∴x2+（34-5）2=（3-x）2，解得x=5(345)-即：DE=5(345)-b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22AF AB-，∴CF=BC-BF=1，在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，（3-x）2+12=x2,解得x=53,即：DE=53；②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，。

2019-2020学年浙江省宁波市海曙区九年级上册期末数学试卷题号一二三四总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列图形中，中心对称图形有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如果ab =23，那么aa+b等于()A. 32B. 25C. 53D. 353.对于二次函数y=2(x+1)(x−3)，下列说法正确的是()A. 图像的开口向下B. 当x>1时，y随x的增大而减小C. 当x<1时，y随x的增大而减小D. 图像的对称轴是直线x=−14.如图所示，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是()A. ADDF =BCCEB. BCCE =DFADC. CDEF =BCBED. CDEF =ADAF5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为()A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°6.如果直线上一点到⊙O的圆心O的距离大于⊙O的半径，那么这条直线与⊙O的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能7.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120∘角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()A. (11−2√2)米B. (11√3−2√2)米C. (11−2√3)米D. (11√3−4)米8.若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是()A. πrc+2r B. πrc+rC. πr2c+rD. πrc2+r29.在平面直角坐标系中，直线y=−√33x+1分别与x轴、y轴交于B、C点，点A沿着某条路径运动，以点A为旋转中心，将点C逆时针方向旋转90°后，刚好落在线段OB上，则点A的运动路径长为()A. √62B. √6 C. √22π D. 2√210.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为()A. 9π−9B. 9π−6√3C. 9π−18D. 9π−12√311.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使平移后点M的对应点M′落在x轴上，平移后点B的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线对应的函数表达式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−112.如图，边长为正整数的正方形ABCD被分成了四个小长方形且点E，F，G，H在同一直线上(点F在线段EG上)，点E，N，H，M在正方形ABCD的边上，长方形AEFM，GNCH的周长分别为6和10.则正方形ABCD的边长的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 不能确定第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.正十边形一个内角度数为______．14.如图，矩形ABCD的宽AB=5，若沿其长边对折后得到的矩形与原矩形相似，则长边BC的长为__________．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(−1,2)和(1,0)，且与y轴相交于负半轴(1)给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0，其中正确结论的序号是；(2)给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1.其中正确结论的序号是．16.在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的红、蓝小球各一个，每次从袋中摸出一个小球记下颜色后再放回，摸球三次，“仅有一次摸到红球”的概率是______．17.在等腰△ABC中，AB=AC，如果cosC=1，那么tanA=______．418.(1)如图，∠AOE=∠BOE=15∘，EF//OB，EC⊥OB，若EC=2，则S△OFE=______．(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(−2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为______．(3)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=3，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=2，则sin∠BFD的值为．(4)已知点A(4,y1)，B(√2,y2)，C(−2,y3)都在二次函数y=(x−2)2−1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．(5)如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，则∠ACB的度数是。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列关于抛物线()=-+2y 2x 31有关性质的说法，正确的是（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为3x =- C ．其最大值为1 D ．当3x <时，y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据抛物线的表达式中系数a 的正负判断开口方向和函数的最值问题，根据开口方向和对称轴判断函数增减性.【详解】解：∵a=2>0，∴抛物线开口向上，故A 选项错误；抛物线的对称轴为直线x=3，故B 选项错误；抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值，没有最大值，故C 选项错误；因为抛物线开口向上，所以在对称轴左侧，即x<3时，y 随x 的增大而减小,故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，掌握图象特征与系数之间的关系即数形结合思想是解答此题的关键. 2．如图，在正方形ABCD 中，以BC 为边作等边BPC △，延长,BP CP 分别交AD 于点,E F ，连接,BD DP 、BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论： ①12AE CF =；②135BPD ∠=︒；③~PDE DBE ∆∆；④2ED EP EB =⋅；其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】A【分析】根据等边三角形、正方形的性质求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性质即可判断①；证得PC=CD ，利用三角形内角和定理即可求得∠PDC ，可求得∠BPD ，即可判断②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可证明△PDE ∽△DBE ，判断③正确；利用相似三角形对应边成比例可判断④． 【详解】∵△BPC 是等边三角形， ∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD 中，∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴RtABE Rt DCF ≅，∴1122AE BE CF ==；故①正确； ∵PC=CD ，∠PCD=30°， ∴∠PDC=∠CPD =()1180PCD 2∠︒-=()1180302︒-︒=75°， ∴∠BPD=∠BPC+ ∠CPD =60°+75°=135°，故②正确； ∵∠PDC=75°，∴∠FDP=∠ADC -∠PDC=90°- 75°=15°， ∵∠DBA=45°，∴∠PBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°， ∴∠EDP=∠EBD ， ∵∠DEP=∠DEP ，∴△PDE ∽△DBE ，故③正确； ∵△PDE ∽△DBE ， ∴EP EDED EB=，即2ED EP EB =，故④正确； 综上：①②③④都是正确的． 故选：A ． 【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．3．方程5x 2﹣2＝﹣3x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．5、3、﹣2 B ．5、﹣3、﹣2C ．5、3、2D ．5、﹣3、2【答案】A【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案． 【详解】解：5x 1﹣1＝﹣3x 整理得：5x 1+3x ﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣1． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分是解题关键．4．如图，⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B 的度数是（ ）A．15°B．25°C．30°D．75°【答案】C【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【详解】∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD-∠A=75°-45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在直径AB一侧的圆上（异于A，B两点），点E在直径AB另一侧的圆上，若∠E＝42°，∠A＝60°，则∠B＝（）A．62°B．70°C．72°D．74°【答案】C【分析】连接AC．根据圆周角定理求出∠CAB即可解决问题．【详解】解：连接AC．∵∠DAB＝60°，∠DAC＝∠E＝42°，∴∠CAB＝60°﹣42°＝18°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣18°＝72°，故选：C．【点睛】本题主要考察圆周角定理，解题关键是连接AC．利用圆周角定理求出∠CAB.6．某专卖店专营某品牌女鞋，店主对上一周中不同尺码的鞋子销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些37码的女鞋，影响该店主决策的统计量是（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数【答案】C【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：C．【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.7．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．310B．925C．920D．35【答案】A【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣﹣﹣∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴63P 2010==两次红， 故选A.8．现有两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是1、2、3，从每组牌中各摸出一张牌．两张牌的牌面数字之和等于4的概率是（ ） A ．29B ．13C ．59D ．23【答案】B【分析】画树状图列出所有情况，看数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】画树状图得：则共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和等于4的有3种结果， ∴两张牌的牌面数字之和等于4的概率为 39＝13， 故选：B ． 【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果． 9．对于反比例函数3y x=，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，﹣3） B ．图象在第二、四象限 C ．x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．x ＜0时，y 随x 增大而减小【答案】D【解析】试题分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析： A 、∵反比例函数3y x=，∴当x=1时，y=3≠﹣3，故图象不经过点（1，﹣3），故此选项错误； B 、∵k ＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C 、∵k ＞0，∴x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误； D 、∵k ＞0，∴x ＜0时，y 随x 增大而减小，故此选项正确． 故选D ．10．如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a的值为（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．13 D ．﹣13【答案】B 【分析】【详解】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根， ∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a ．∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0， 即a+1=0，解得，a=﹣1． 故选B11．如图，过反比例函数()0ky x x=>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S ∆=，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据2AOB S ∆=，利用反比例函数系数k 的几何意义即可求出k 值，再根据函数在第一象限可确定k 的符号.【详解】解：由AB x ⊥轴于点B ，2AOB S ∆=，得到122AOB S k ∆== 又因图象过第一象限, 122AOB S k ∆==，解得4k = 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义. 12．若点()()1122,,x y x y 、都是反比例函数6y x=-图像上的点，并且120y y <<，则下列结论中正确的是（ ） A ．12x x >B ．12x x <C ．y 随x 的增大而减小D ．两点有可能在同一象限【答案】A【分析】根据反比例函数的图象及性质和比例系数的关系，即可判断C ，然后根据120y y <<即可判断两点所在的象限，从而判断D ，然后判断出两点所在的象限即可判断B 和A ．【详解】解:∵6y x =-中,-6＜0, ∴反比例函数6y x=-的图象在二、四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大，故C 错误；∵120y y <<∴点()11,x y 在第四象限，点()22,x y 在第二象限，故D 错误； ∴12x x >，故B 错误，A 正确． 故选A ． 【点睛】此题考查的是反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质与比例系数的关系是解决此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题） 13．已知x-2y=3，试求9-4x+8y=_______ 【答案】-3【分析】将代数式变形为9-4（x-2y ），再代入已知值可得． 【详解】因为x-2y=3，所以9-4x+8y=9-4（x-2y ）=9-4×3=-3 故答案为：-3 【点睛】考核知识点：求整式的值．利用整体代入法是解题的关键． 14．点P(4，﹣6)关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 (﹣4，6)【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点P （4，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，6）， 故答案为：（﹣4，6）． 【点睛】本题考查了一点关于原点对称的问题，横纵坐标取相反数就是对称点的坐标． 15．已知：等边△ABC ，点P 是直线BC 上一点，且PC:BC=1:4,则tan ∠APB=_______，或【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，设等边△ABC 的边长为4a ，则DC=2a ，，PC=a ，分类讨论：当P 在BC 的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a ；当P 点在线段BC 上，即在P′的位置，则DP′=DC -CP′=a ，然后分别利用正切的定义求解即可．【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，AD=23a，PC=a，当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a，在Rt△ADP中，tan∠APD=2323 AD aDP==；当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，在Rt△ADP′中，tan∠AP′D=2323 AD aDP=='．故答案为：233或23．【点睛】本题考查解直角三角形；等边三角形的性质．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=______．【答案】2【分析】根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，故△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′的大小．【详解】解：根据旋转的性质，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，∴△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′2222'3332AP AP．故答案为32【点睛】本题考查了图形的旋转变化，旋转得到的图形与原图形全等，解答时要分清旋转角和对应线段．17．若a ，b 是一元二次方程22510x x -+=的两根,则11a b+=________. 【答案】25【分析】将11a b+通分变形为a b ab +，然后利用根与系数的关系即可求解. 【详解】∵a 、b 是一元二次方程22510x x -+=的两根 ∴25+=a b ，1ab = ∴11=25++=a ba b ab故答案为：25. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握12bx x a +=-，12c x x a=是解题的关键. 18．如果关于x 的方程x 2-5x + a = 0有两个相等的实数根，那么a=_____. 【答案】254【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于a 的等式，求出a 的值．【详解】∵关于x 的方程x 2-5x+a=0有两个相等的实数根， ∴△=25-4a=0，即a=254． 故答案为：254. 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知AD•AC ＝AB•AE ，∠DAE ＝∠BAC ．求证：△DAB ∽△EAC ．【答案】证明见解析【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB ∽△EAC ．【详解】证明：∵AD•AC＝AB•AE，∴AD AB AE AC=，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC．【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，正确理解三角形相似的判定定理是本题解题的关键．20．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．【答案】（1）49；（2）13【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．【详解】解：列表得：共有9种等可能结果，其中，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况；两辆车行驶方向相同有3种情况（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=49；（2）P（两辆车行驶方向相同）=31 93 =．【点睛】列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．21．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从4名同学(小明、小山、小月、小玉)中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．（1）“小刚被抽中”是___事件，“小明被抽中”是____事件(填“不可能”、“必然”、“随机)，第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是______；（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．【答案】（1）不可能；随机；14；（2）12．【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】(1) 小刚不在班主任决定的4名同学(小明、小山、小月、小玉)之中，所以“小刚被抽中”是不可能事件；“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片有4种等可能结果，其中小玉被抽中的有1种结果，所以第一次抽取卡片抽中是小玉的概率是14；故答案为：不可能、随机、14；(2)解：A表示小明，B表示小山，C表示小月，D表示小玉，则画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到C有6种，∴P(抽中小月)=61 122．【点睛】本题主要考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．解一元二次方程：x2+4x﹣5＝1．【答案】x2＝﹣5，x2＝2．【分析】利用因式分解法解方程．【详解】(x+5)(x﹣2)＝2，x+5＝2或x﹣2＝2，所以x2＝﹣5，x2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23．《厉害了，我的国》是在央视财经频道的纪录片《辉煌中国》的基础上改编而成的电影记录了过去五年以来中国桥、中国路、中国车、中国港、中国网等超级工程的珍贵影像．小明和小红都想去观看这部电影，但是只有一-张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1,2,3,4的四个球(除编号外都相同)，小明从中随机摸出一个球，记下数字后放回，小红再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5,则小明获得电影票，若两次数字之和小于5,则小红获得电影票．（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；（2）分别求出小明和小红获得电影票的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）小明获得电影票的概率38；小红获得电影粟的概率38．【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的等可能的结果数；（2）找出次数字之和大于5的结果数和两次数字之和小于5的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】解：（1）画树状图为：两个数字之和有2、3、4、5、3、4、5、6、4、5、6、7、5、6、7、8这16种等可能的结果数；（2）由树状图知，两个数字之和有16种等可能的结果数，两次数字之和大于5的结果有6种，∴小明获得电影票的概率63 168 ==两次数字之和小于5的结果有6种，∴小红获得电影粟的概率63 168 ==．综上，小明获得电影票的概率38，小红获得电影粟的概率38．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．(图中不添加字母和线段)【答案】△BPQ∽△CDP，证明见解析.【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP.【详解】△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．【点睛】此题重点考察学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键. 25．为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？【答案】（1）20%；（2）1728万元．【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程求解可得；（2）根据求得的增长率代入求得2020年的投入即可．【详解】解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．【点睛】本题考查的知识点是用一元二次方程求增长率问题，根据题目找出等量关系式是解此题的关键.26．如图，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=在第一象限内交于A 、B 两点，已知()1,A m ，()2,1B .（1）1k =__________，2k =____________________,b =____________________.（2）直接写出不等式21y y >的解集；（3）设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ,E 是y 轴上一点，求PED ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）11k =-，22k =，3b =.（2）01x <<或2x >.（3）当32x =时，S 有最大值，最大值为98【分析】（1）先求出反比例函数解析式，进而求出点A 坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接利用函数图象得出结论；（3）先设出点P 坐标，进而表示出△PED 的面积，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B （2，1）在双曲线22k y x=上， ∴k 2＝2×1＝2， ∴双曲线的解析式为y 2＝2x， ∵A （1，m ）在双曲线y 2＝2x 上， ∴m ＝1×2＝2，∴A （1，2），∵直线AB ：y 1＝k 1x ＋b 过A （1，2）、B （2，1）两点，∴1111221k b k b ⎧⎨⎩＋＝＋＝， ∴1113k b -⎧⎨⎩＝＝， ∴直线AB 的解析式为：y ＝−x ＋3；故11k =-，22k =，3b =故答案为：-1；2；3；（2）根据函数图象得，不等式y 2＞y 1的解集为0＜x ＜1或x ＞2；（3）设点(,3)P x x -+，且12x ≤≤， 则22113139222228S PD OD x x x ⎛⎫=⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭ 102-< ∴当32x =时，S 有最大值，最大值为98 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．27．已知：二次函数y =x 2+bx +c 经过原点，且当x =2时函数有最小值；直线AC 解析式为y =kx -4，且与抛物线相交于B 、C ．（1）求二次函数解析式；（2）若S △AOB ∶S △BOC =1：3，求直线AC 的解析式；（3）在（2）的条件下，点E 为线段BC 上一动点（不与B 、C 重合），过E 作x 轴的垂线交抛物线于F 、交x 轴于G ，是否存在点E ，使△BEF 和△CGE 相似？若存在，请求出所有点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =x 2-4x ；（2）直线AC 的解析式为y =x -4；（1）存在，E 点坐标为E (1．-1)或E (2，-2 ) ．【分析】（1）根据二次函数y=x 2+bx+c 经过原点可知c=0，当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2，故可求出b ，即可求解；（2）连接OB ，OC ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，根据13AOBCOB S S =得到13AB BC =，14AB AC =，由EB ∥DC ，对应线段成比例得到14BE AB CD AC ==，再联立y=kx-4与y=x 2-4x 得到方程 kx-4=x 2-4x ，即x 2-（k+4）x+4=0，求出x 1,x 2，根据x 1,x 2之间的关系得到关于k 的方程即可求解；（1）根据（1）（2）求出A,B,C 的坐标，设E （m ，m-4）（1＜m ＜4）则G （m ，0）、F （m ，m 2-4m ），根据题意分∠EFB=90°和∠EBF=90°，分别找到图形特点进行列式求解．【详解】解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 经过原点，∴c=0∵当x=2时函数有最小值 ∴221b -=⨯， ∴b=-4，c=0， ∴y=x 2-4x ；（2）如图，连接OB ，OC ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，∵13AOB COB S S= ∴13AB BC = ∴14AB AC = ∵EB ∥DC ∴14BE AB CD AC == ∵y=kx-4交y=x 2-4x 于B 、C∴kx-4=x 2-4x ，即x 2-（k+4）x+4=0∴248k k k x +++=，或248k k k x +-+=∵x B ＜x C∴EB=x B 248k k k +-+DC=x C 248k k k +++∴4•2482k k k +-+2482k k k ++ 解得 k=-9（不符题意，舍去）或k=1∴k=1∴直线AC 的解析式为y=x-4；（1）存在．理由如下：由题意得∠EGC=90°，∵直线AC的解析式为y=x-4 ∴A(0，-4 ) ，C（4，0）联立两函数得244y x xy x⎧=-⎨=-⎩，解得4xy=⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=-⎩∴B（1，-1）设E（m，m-4）（1＜m＜4）则G（m，0）、F（m，m2-4m）①如图，当∠EFB=90°，即CG//BF时，△BFE∽△CGE．此时F点纵坐标与B点纵坐标相等．∴F（m，-1）即m2-4m=-1解得m=1（舍去）或m=1∴F（1，-1）故此时E（1，-1）②如图当∠EBF=90°，△FBE∽△CGE∵C（4，0），A(0 ，4 )∴OA=OC∴∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE过B点做BH⊥EF，则H（m,-1）∴BH=m-1又∵∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE∴△BEF是等腰直角三角形，又BH⊥EF∴EH=HF，EF=2BH∴(m-4)- (m2-4m) =2(m-1)解得m1=1（舍去）m2=2∴E(2,-2)综上，E点坐标为E(1.-1)或E(2,-2)．【点睛】此题主要考查二次函数的图像及几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三角形及等腰三角形的性质．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形， 故选:D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．2．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】B【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误． 3．在平面直角坐标系中，将()1,4A -关于x 轴的对称点B 绕原点逆时针旋转90︒得到B '，则点B '的坐标是（ ）A ．()1,4--B ．()4,1-C ．()41-,D ．()4,1-- 【答案】C【分析】先求出点B 的坐标，再根据旋转图形的性质求得点B '的坐标【详解】由题意，()1,4A -关于x 轴的对称点B 的坐标为（-1，-4），如图所示，点B 绕原点逆时针旋转90︒得到B '，过点B’作x 轴的垂线，垂足为点C则OC=4，B’C=1，所以点B’的坐标为()41-,故答案选：C.【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的旋转，把握旋转图形的性质是解题的关键.4．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =【答案】D【分析】先将方程左边提公因式x ，解方程即可得答案．【详解】x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．5．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（ ）．A ．众数是6吨B ．平均数是5吨C ．中位数是5吨D ．方差是【答案】C 【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数6．如图，抛物线的图像交x 轴于点(20)A -，和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =，下列结论错误的是（ ）A ．02b a -<B ．0a b c +>C ．420a b c -+=D ．1ac b =-【答案】B【分析】A 根据对称轴的位置即可判断A 正确；图象开口方向，与y 轴的交点位置及对称轴位置可得0a >，0c <，0b >即可判断B 错误；把点A 坐标代入抛物线的解析式即可判断C ；把B 点坐标(),0c -代入抛物线的解析式即可判断D ； 【详解】解：观察图象可知对称性02b x a=-<，故结论A 正确， 由图象可知0a >，0c <，0b >， ∴0a b c+<，故结论B 错误； 抛物线经过(2,0)A -，420a b c ∴-+=，故结论C 正确，OB OC =，OB c ∴=-，∴点B 坐标为(,0)c -，20ac bc c ∴-+=，10ac b ∴-+=，1ac b ∴=-，故结论D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．7．若关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．-1B ．-3C ．3D ．6 【答案】C【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．【详解】∵关于x 的方程2220x x a -+-=有两个相等的实数根，∴()()22424120b ac a =-=--⨯⨯-=，解得：3a =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）A ．12B ．14C ．1D ．34【答案】A【解析】试题分析：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12． 故选A ．考点：概率公式．9．已知1x =是一元二次方程()21210m x x --+=的一个根，则m 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D 【分析】直接把x=1代入方程得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x=1代入()21210m x x --+= 得m-1-1+1=0，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（ ）A ．3.2B ．2C ．1.2D ．1【答案】C 【分析】先依据勾股定理求得AB 的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC ，故此点P 在以F 为圆心，以1为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP ⊥AB 时，点P 到AB 的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】如图所示：当PE ∥AB ．在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴2268+=10，由翻折的性质可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．∵PE ∥AB ，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD 有最小值．又∵FP 为定值，∴PD 有最小值．又∵∠A=∠A ，∠ACB=∠ADF ，∴△AFD ∽△ABC ． ∴AF DF AB BC =，即4108DF =，解得：DF=2.1． ∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．故选：C ．本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题 11．若反比例函数y=k x （k≠0）的图象经过点P （﹣2，3），则k 的值为（ ） A ．－2B ．12C ．6D ．－6 【答案】D【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【详解】∵反比例函数y=k x （k≠0）的图象经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-1．故选：D ．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．12．抛物线y ＝x 2﹣4x+2不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．【详解】解：y ＝x 2﹣4x+4﹣2＝（x ﹣2）2﹣2，即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；当y ＝0时，x 2﹣4x+2＝0，解得：x ＝2，即与x 轴的交点坐标是（，0）和（2，0），都在x 轴的正半轴上，a ＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y 轴的交点坐标是（0，2），即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限，故选：C ．【点睛】本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标二、填空题（本题包括8个小题）13．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则一元二次方程220x x m --+=的解为：_____.。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次三项式243x x -+配方的结果是（ ）A ．2(2)7x -+B ．2(2)1x --C ．2(2)7x ++D ．2(2)1x +-【答案】B【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．解：x 2-4x+3=x 2-4x+4-1=（x-2）2-1．故选B ．考点：配方法的应用．2．如图所示是滨河公园中的两个物体一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）A ．(3)(4)(1)(2)B ．(4)(3)(1)(2)C ．(4)(3)(2)(1)D ．(2)(4)(3)(1)【答案】C 【解析】试题分析：根据平行投影的特点和规律可知，（3），（4）是上午，（1），（2）是下午，根据影子的长度可知先后为（4）（3）（2）（1）．故选C ．考点：平行投影．3．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，若56ABD ∠=︒，则BCD ∠=（ ）．A ．32︒B ．34︒C ．44︒D ．46︒【答案】B 【分析】根据AB 是⊙O 的直径得出∠ADB ＝90°，再求出∠A 的度数，由圆周角定理即可推出∠BCD 的度数．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴在Rt △ABD 中，∠A ＝90°﹣∠ABD ＝34°，∵弧BD ＝弧BD ，∴∠BCD ＝∠A ＝34°，故选B ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．二次函数y=kx 2+2x+1的部分图象如图所示，则k 的取值范围是（ ）A ．k≤1B ．k≥1C ．k<1D ．0<k < 1【答案】D 【分析】由二次函数y=kx 2+2x+1的部分图象可知开口朝上以及顶点在x 轴下方进行分析.【详解】解：由图象可知开口朝上即有0<k ，又因为顶点在x 轴下方，所以顶点纵坐标224420,44ac b k a k--=<从而解得k < 1，所以k 的取值范围是0<k < 1. 故选D.【点睛】本题考查二次函数图像性质，根据开口朝上以及顶点在x 轴下方分别代入进行分析.5．如图，四边形ABCD 与四边形GBEF 是位似图形，则位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点FD ．点D【答案】B 【分析】根据位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.【详解】解:由图可知,对应边AG 与CE 的延长线交于点B ，∴点B 为位似中心故选B.【点睛】此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.6．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P=40°，则∠B 的度数为 （ ）A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°【答案】B 【解析】连接OA ，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.【详解】连接OA ，如图：∵PA 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP=90°，∵∠P=40°，∴∠AOP=90°-40°=50°，∴∠B=12∠AOB=25°， 故选B.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键. 7．如图，点A ，B ，C 都在O 上，若34C ∠=︒，则AOB ∠为（ ）A ．34︒B ．56︒C ．60︒D ．68︒【答案】D 【分析】直接根据圆周角定理求解．【详解】∵∠C=34°，∴∠AOB=2∠C=68°．故选：D ．【点睛】此题考查圆周角定理，解题关键在于掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 8．按如图所示的运算程序，输入的 x 的值为12，那么输出的 y 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】把1=2x 代入程序中计算，知道满足条件，即可确定输出的结果. 【详解】把1=2x 代入程序， ∵12是分数， ∴120=-=-<y x 不满足输出条件，进行下一轮计算； 把=2x -代入程序，∵2-不是分数∴()()22112122214044=--+=-⨯--⨯-+=>y x x 满足输出条件，输出结果y=4，故选D.【点睛】本题考查程序运算，解题的关键是读懂程序的运算规则.9．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,3)B -，与x 轴的交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，以下结论：①240b ac -=；②0a b c ++>；③20a b -=；④3c a -=．其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③【答案】B 【分析】根据二次函数的图象可逐项判断求解即可.【详解】解：抛物线与x 轴有两个交点，∴△>0，∴b 2−4ac>0，故①错误；由于对称轴为x=−1，∴x =−3与x=1关于x=−1对称，∵x=−3，y<0，∴x=1时，y=a+b+c<0，故②错误；∵对称轴为x=− 2b a=−1， ∴2a−b=0，故③正确；∵顶点为B(−1,3)，∴y=a−b+c=3，∴y=a−2a+c=3，即c−a=3，故④正确,故选B ．【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象交于(4,2)A --，(4,2)B 两点，当12y y >时，自变量x 的取值范围是( )A ．4x >B ．40x -<<C ．4x <-或04x <<D ．40x -<<或4x >【答案】D 【解析】显然当y 1＞y 2时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，结合图形可直接得出结论．【详解】∵正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数22k y x =的图象交于A （-1，-2），B （1，2）点， ∴当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想是解题的关键．11．四张背面完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为( )A ．1B ．34C ．12D ．14 【答案】B【解析】以上图形中轴对称图形有菱形、等腰梯形、圆，所以概率为3÷4=34．故选B 12．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，那么一次函数y bx a =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：由二次函数图象，得出a ＞0，02b a->，b ＜0， A 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故A 错误；B 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故B 错误；C 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故C 错误；D 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.二、填空题（本题包括8个小题）13．抛物线y ＝x 2+2x 与y 轴的交点坐标是_____．【答案】（0，0）【解析】令x=0求出y 的值，然后写出即可．【详解】令x=0，则y=0，所以，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，0）．故答案为（0，0）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键． 14．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.【答案】7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 15．如图，已知菱形ABCD 中，∠B=60°，点E 在边BC 上，∠BAE=25°，把线段AE 绕点A 逆时针方向旋转，使点E 落在边CD 上，那么旋转角α的度数为______．【答案】60°或 70°．【分析】连接AC ，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC 是等边三角形．分两种情况：①将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°，点E 可落在边DC 上，此时△ABE 与△ABE 1重合；②将线段AE 绕点A 逆时针旋转70°，点E 可落在边DC 上，点E 与点E 2重合，此△AEC ≌△AE 2C ．【详解】连接AC ．∵菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠ACD=60°．本题有两种情况：①如图，将△ABE 绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点E 与点E 1重合，此时△ABE ≌△ABE 1，AE=AE 1，旋转角α=∠BAC=60°；②∵∠BAC=60°，∠BAE=25°，∴∠EAC=35°．如图，将线段AE 绕点A 逆时针旋转70°，使点E 到点E 2的位置，此时△AEC ≌△AE 2C ，AE=AE 2，旋转角α=∠EAE 2=70°．综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60度或70度．16．当m ______时，关于x 的方程22(1)2(1)10m x m x -+-+=有实数根．【答案】1<【分析】根据题意分关于x 的方程为一元一次方程和一元二次方程进行分析计算.【详解】解：①当关于x 的方程为一元一次方程时，有210m -=，解得1m =±，又因为1m =时，方程无解，所以1,1m m ≠=-；②当关于x 的方程为一元二次方程时，根据题意有2222(1)4(1)0m m =---≥，解得1m ； 综上所述可知：1m <.故答案为：1<.【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解答此题时要注意关于x 的方程为一元一次方程的情况.17．一种微粒的半径是1．11114米，这个数据用科学记数法表示为____．【答案】5410-⨯【解析】试题分析：科学计数法是指a×10n ，且1≤a ＜11，小数点向右移动几位，则n 的相反数就是几．考点：科学计数法18．在平面直角坐标系中，点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是_____．【答案】（﹣3，5）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得答案．【详解】点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的两个点的坐标变化规律，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A 型和B 型两行环保节能公交车共10辆，若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需400万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【答案】（1）购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．（2）购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【解析】（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，根据“A 型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题； （2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10-a ）辆，由“购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【详解】（1）设购买A 型公交车每辆需x 万元，购买B 型公交车每辆需y 万元，由题意得24002350x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得100150x y =⎧⎨=⎩， 答：购买A 型公交车每辆需100万元，购买B 型公交车每辆需150万元．（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10﹣a ）辆，由题意得100150(10)122060100(10)650a a a a +-⎧⎨+-⎩， 解得：283554a ≤≤， 因为a 是整数，所以a ＝6，7，8；则（10﹣a ）＝4，3，2；三种方案：①购买A 型公交车6辆，则B 型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元；②购买A 型公交车7辆，则B 型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元；③购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；购买A 型公交车8辆，则B 型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．20．在学校组织的科学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，其中相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分.马老师将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：请你根据以上提供的信息解答下列问题：（1）此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数是_______人；（2）补全下表中a 、b 、c 的值：平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一班87.6 b 90 106.24 二班 a 80 c 138.24（3）学校准备在这两个班中选一个班参加市级科学素养竞赛，你建议学校选哪个班参加？说说你的理由.【答案】（1）21；（2）87.6a =；90b =；100c =；（3）见解析.【分析】（1）根据条形统计图得到参赛人数，然后根据扇形统计图求得C 级的百分率，即可求出成绩在80分及以上的人数；（2）由上题中求得的总人数分别求出各个成绩段的人数，然后可以求得平均数、中位数、众数； （3）根据数据波动大小来选择.【详解】（1）由条形统计图知，参加竞赛的人数为：6122525+++＝(人)，此次竞赛中二班成绩在80分的百分率为：116%44%4%36%---=， ∴此次竞赛中二班成绩在80分及其以上的人数是：()2544%4%36%21⨯++=(人)，故答案为：21；（2）二班成绩分别为：100分的有2544%11⨯=(人)，90分的有254%1⨯=(人)，80分的有2536%9⨯=(人)，70分的有2516%4⨯=(人)，1001190180970487.625a ⨯+⨯+⨯+⨯==(分)， ∵一班成绩的中位数在第1132n +=位上， ∴一班成绩的中位数是：90b =(分)，∵二班成绩中100分的人数最多达到11个，∴二班成绩的众数为：100c =故答案为：87.6a =，90b =，100c =（3）选一班参加市级科学素养竞赛，因为一班方差较小，比较稳定.【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义以及各种统计图之间的相互转化的知识，在关键是根据题目提供的信息得到相应的解决下一题的信息，考查了学生们加工信息的能力．21．已知关于x 的方程x 2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．（1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0，得：1+m+m ﹣2=0，解得：m=12； （2）∵△=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．考点：根的判别式；一元二次方程的解．22．（2016山东省聊城市）如图，在直角坐标系中，直线12y x =-与反比例函数k y x =的图象交于关于原点对称的A ，B 两点，已知A 点的纵坐标是1．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线12y x =-向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C ，如果△ABC 的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．【答案】（1）18y x =-；（2）182y x =-+． 【解析】试题分析：（1）根据题意，将y=1代入一次函数的解析式，求出x 的值，得到A 点的坐标，再利用反比例函数的坐标特征求出反比例函数的解析式；（2）根据A、B点关于原点对称，可求出B点的坐标及线段AB的长度，设出平移后的直线解析式，根据平行线间的距离，由三角形的面积求出关于b的一元一次方程即可求解.试题解析：（1）令一次函数y=﹣12x中y=1，则1=﹣12x，解得：x=﹣6，即点A的坐标为（﹣6，1）．∵点A（﹣6，1）在反比例函数y=kx的图象上，∴k=﹣6×1=﹣12，∴反比例函数的表达式为y=﹣18x．（2）设平移后直线于y轴交于点F，连接AF、BF如图所示．设平移后的解析式为y=﹣12x+b，∵该直线平行直线AB，∴S△ABC=S△ABF，∵△ABC的面积为42，∴S△ABF=12O F•（x B﹣x A）=42，由对称性可知：x B=﹣x A，∵x A=﹣6，∴x B=6，∴12b×12=42，∴b=2．∴平移后的直线的表达式为：y=﹣12x+2.23．探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF．⑵方法迁移：如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．【答案】⑴EAF、△EAF、GF；⑵DE+BF=EF；⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．【分析】（1）根据正方形性质填空；（2）假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,结合正方形性质可得DE+BF=EF.⑶根据题意可得，当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．【详解】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假设∠BAD 的度数为，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF=∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE ，AF=AF∴△GAF ≌△EAF ．∴GF=EF ，又∵GF=BG+BF=DE+BF∴DE+BF=EF ．⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得DE+BF=EF ．【点睛】正方形性质综合运用.24．如图，正方形ABCD 的边长为9，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF ∠=︒.将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒，得到DCM ∆.（1）求证：EF FM =（2）当3AE =时，求EF 的长.【答案】（1）见解析；（2）7.1【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=41°，得到∠MDF=41°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=3，正方形的边长为9，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM 的长，设EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【详解】（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°．∵∠EDF=41°，∴∠FDM=∠EDF=41°，在△DEF和△DMF中，∵DE DMEDF MDF DF DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=MF；（2）设EF=x，则MF=x．∵AE=CM=3，且BC=9，∴BM=BC+CM=9+3=12，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，即62+(12﹣x)2=x2，解得：x=7.1，则EF=7.1．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．25．（1）解方程：x 2+4x-1＝0（2）已知α为锐角，若()3sin -15α=，求α的度数.【答案】（1）12x =- 22x =-（2）75°.【分析】（1）用公式法即可求解；（2）根据特殊角的三角函数求解即可.【详解】（1）∵()2244411200b ac =-=-⨯⨯-=>⊿，∴2x ===-∴12x =-， 22x =- ，（2）∵sin 60︒=， ∴1560α-︒=︒，∴75α=︒．【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程和利用特殊角的三角函数值求角的度值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.26．一个箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的，且这4瓶牛奶的外包装完全相同．（1）现从这4瓶牛奶中随机拿1瓶，求恰好拿到过期牛奶的概率；（2）现从这4瓶牛奶中不放回地随机拿2瓶，求拿到的2瓶牛奶中恰好有过期牛奶的概率．【答案】（1）14；（2）12 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）设这四瓶牛奶分别记为A 、B 、C 、D ，其中过期牛奶为A ，画树状图可得所有等可能结果，从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得 【详解】解：（1）任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是14， 故答案为：14； （2）设这四瓶牛奶分别记为A 、B 、C 、D ，其中过期牛奶为A ，画树状图如图所示，由图可知，共有12种等可能结果，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，∴抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为61 122=．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．解方程：2x2﹣4x+1＝1．【答案】x1＝1+22，x2＝1﹣22【分析】先把方程两边除以2，变形得到x2-2x+1=12，然后利用配方法求解．【详解】x2-2x+1=12，（x-1）2=12，x-1=±22，所以x1=1+22，x2=1-22．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点是点'B ，若点'B 、A 、C 在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的度数是（ ）A ．60B ．90C ．120D ．150【答案】D 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【详解】解：旋转角是'18030150BAB ∠=-=故选：D.【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 2．下列多边形一定相似的是（ ）A ．两个平行四边形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个正方形 【答案】D【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A 错误， 两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B 错误，两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C 错误，两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D 正确，故选D ．【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．3．某商务酒店客房有50间供客户居住．当每间房 每天定价为180元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为10890元?设房价定为x 元，根据题意，所列方程是( ) A ．()18020501089010x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ B ．()1805050201089010x x ⎛⎫+--⨯= ⎪⎝⎭C．1805050201089010xx-⎛⎫--⨯=⎪⎝⎭D．()18020501089010xx-⎛⎫--=⎪⎝⎭【答案】D【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】设房价定为x元，根据题意，得()18020501089010xx-⎛⎫--=⎪⎝⎭故选：D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．4．如图，在Rt ABC中，90ACB∠=︒，CD AB⊥，垂足为点D，如果32ADCCDBCC=△△，9AD=，那么BC 的长是（）A．4 B．6 C．213D．310【答案】C【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【详解】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴AD CDCD BD=，ADCCDBC ADC CD=，∴32ADCD=，即932CD=，解得，CD=6，∴966BD=，解得，BD=4，∴222264213CD BD++=，故选：C．此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．一元二次方程220200x +=的根的情况是( )A ．有两个相等的实根B ．有两个不等的实根C ．只有一个实根D ．无实数根【答案】D【分析】先求出24b ac -的值，再进行判断即可得出答案．【详解】解：一元二次方程x 2+2020=0中， 24b ac -=0-4×1×2020＜0，故原方程无实数根．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）24b ac -＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）24b ac -=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）24b ac -＜0⇔方程没有实数根． 6．如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD 1．∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ．本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若 1sin 2A =，则∠B 的度数是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 【答案】C【分析】根据特殊角的函数值1sin 302=可得∠A 度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B 度数． 【详解】解：∵1sin 302=， ∴∠A=30°，∵∠C ＝90°，∴∠B=90°-∠A=60°故选：C ．【点睛】此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键. 8．已知二次函数242y x x =-+，关于该函数在﹣1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值﹣1，有最小值﹣2B ．有最大值0，有最小值﹣1C ．有最大值7，有最小值﹣1D ．有最大值7，有最小值﹣2 【答案】D【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y ＝x 2−4x ＋2＝（x−2）2−2，∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，有最小值−2，当x ＝−1时，有最大值为y ＝9−2＝1．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．9．将二次函数2y x 4x 1=--化为()2y x h k =-+的形式，结果为( )A ．()2y x 25=++B ．()2y x 25=+-C ．()2y x 25=-+D ．()2y x 25=-- 【答案】D【分析】化22414441y x x x x =--=-+--，再根据完全平方公式分解因式即可.【详解】∵22414441y x x x x =--=-+--∴2(2)5y x =--故选D.【点睛】 解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：，注意当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方.10．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．0.25×10﹣5B ．0.25×10﹣6C ．2.5×10﹣5D ．2.5×10﹣6 【答案】D【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．【详解】解： 0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而60.0000025 2.510-=⨯．故选D ．11．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大后得到△DEF ，已知△ABC 与△DEF 的面积比为1：9，则OC ：CF 的值为（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：8D ．1：9【答案】A 【分析】利用位似的性质和相似三角形的性质得到22S ABC AC OC S DEF DF OF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用比例性质求出即可．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似， ∴22S ABC AC OC S DEF DF OF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝19， ∴13OC OC CF =+，∴12OC CF =， 故选A ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．12．下列事件中是必然发生的事件是（ ）A ．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B ．射击运动员射击一次，命中十环C ．在地球上，抛出的篮球会下落D ．明天会下雨【答案】C【解析】试题分析：A ．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A 错误； B ．射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B 错误；C ．在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C 正确；D ．明天会下雨是随机事件，故D 错误；故选C ．考点：随机事件．二、填空题（本题包括8个小题）13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出_____．【答案】4个小支干．【分析】设每个支干长出x 个小支干，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设每个支干长出x 个小支干，根据题意得：21x x 21++=，解得：1x 5(=-舍去)，2x 4=．故答案为4个小支干．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．若二次函数的图象与x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T 1，T 2，T 3……是标准抛物线，且顶点都在直线y=3x 上，T 1。

浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：12．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°7．（4分）把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（﹣2）2+1B．y＝（+2）2+1C．y＝（+4）2+1D．y＝（+4）2+58．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣2+2，﹣2}的最大值为（）A．2﹣2B．+1C．1﹣D．2+2二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．14．（4分）若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝4厘米，b＝25厘米，则c＝厘米．15．（4分）已知△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与的关系式为R＝500+30，P＝170﹣2，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售只蛋糕的总售价为元（用含的代数式表示），并求y与的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（+1）（﹣3）与轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）相似三角形的面积之比为2：1，则它们的相似比为（）A．4：1B．3：1C．2：1D．：1【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：若两个相似三角形的面积比为2：1，则它们的相似比为：1．故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水B．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1C．在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球D．在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、在标准大气压下，气温2°C时，冰融化为水，是必然事件，故此选项正确；B、任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1，是随机事件，故此选项错误；C、在只装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是随机事件，故此选项错误；D、在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似，是随机事件，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．3．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为（）A．30°B．50°C．20°D．40°【分析】根据旋转的性质可得∠BAB'＝∠CAC'＝50°，即可求∠∠B′AC的度数．【解答】解：∵旋转∴∠BAB'＝50°，且∠BAC＝30°∴∠B'AC＝20°故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．4．（4分）已知一条圆弧的度数为60°，半径为6cm，则此圆弧长为（）A．πcm B．2πcm C．4πcm D．6πcm【分析】根据弧长公式l＝进行解答．【解答】解：此圆弧长为l＝＝cm，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．5．（4分）如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C．D．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．6．（4分）如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC＝60°，根据OC＝OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO＝60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO＝90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接OC，∵的度数等于120°，∴∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，∴∠ACP＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．7．（4分）把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象解析式是（）A．y＝（﹣2）2+1B．y＝（+2）2+1C．y＝（+4）2+1D．y＝（+4）2+5【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．【解答】解：把抛物线y＝（+1）2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y＝（﹣2）2+3再向下平移2个单位，所得的图象解析式是：y＝（﹣2）2+1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．【解答】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为90°，故选：D．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，把矩形ABCD折叠，点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，则sin∠EAD等于（）A．B．C．D．【分析】根据折叠的性质得到AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，在Rt△ADE中，AE＝2DE，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠DAE＝30°，进而解答即可．【解答】解：∵纸片ABCD为矩形，∴AB＝CD，∵矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，∴AE＝AB，∠EAF＝∠FAB，而E为DC的中点，∴AE＝2DE，在Rt△ADE中，AE＝2DE，∴∠EAD＝30°，∴sin∠EAD＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．10．（4分）如图，四边形ABCD内接于直径为1厘米的⊙O，若∠BAD＝90°，BC＝a厘米，CD＝b厘米，则下列结论正确的有（）①sin∠BAC＝a，②cos∠BAC＝b，③tan∠BAC＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意和图形可以得到∠BDC的三角函数值，然后根据圆周角相等，即可得到∠BAC 的三角函数值，即可解答本题．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC，BC＝a厘米，CD＝b厘米，⊙O的直径为1厘米，∴sin∠BDC＝a，cos∠BDC＝b，tan∠BDC＝，∴sin∠BAC＝a，故①正确，cos∠BAC＝b，故②正确，tan∠BAC＝，故③错误，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（4分）如图，⊙O与∠α的两边相切，若∠α＝60°，则图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，利用切线的性质得OA＝OB＝r，根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝30°，则AP＝OA＝r，再利用四边形内角和计算出∠AOB＝120°，接着利用扇形面积公式得到S＝（﹣π）r2（r＞0），然后根据解析式对各选项进行判断．【解答】解：过O点作两切线的垂线，垂足分别为A、B，连接OP，如图，则OA＝OB＝r，∠APO＝∠BPO＝30°，∴AP＝OA＝r，∵∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣α＝180°﹣60°＝120°，∴S＝S四边形AOBP ﹣S扇形AOB＝2×r•r﹣＝（﹣π）r2（r＞0），故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数的图象．12．（4分）定义符号min{a，b}的含义：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，如min{1，﹣4}＝﹣4，min{﹣6，﹣2}＝﹣6，则min{﹣2+2，﹣2}的最大值为（）A．2﹣2B．+1C．1﹣D．2+2【分析】根据题意和题目中的新定义，利用分类讨论的方法，可以求得min{﹣2+2，﹣2}的最大值，本题得以解决．【解答】解：当﹣2+2≥﹣2时，解得，1﹣≤≤1+，∴当1﹣≤≤1+时，min {﹣2+2，﹣2}＝﹣2，此时，当＝1﹣时，﹣2取得最大值﹣2+2；当﹣2+2≤﹣2时，解得，≤1﹣或≥1+，∴当≤1﹣或≥1+时，min {﹣2+2，﹣2}＝﹣2+2，此时，当＝1﹣时，﹣2+2取得最大值﹣2+2；由上可得，min {﹣2+2，﹣2}的最大值为2﹣2，故选：A ．【点评】本题考查二次函数的性质、新定义、实数大小比较，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）箱子里有7个白球、3个红球，它们仅颜色不同，从中随机摸出一球是白球的概率是．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可． 【解答】解：∵箱子里有7个白球、3个红球，∴从中随机摸出一球是白球的概率是＝．故答案为．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（4分）若线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4厘米，b ＝25厘米，则c ＝ 10 厘米． 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c 2＝4×25，解得c ＝±10（线段是正数，负值舍去）， ∴c ＝10cm ， 故答案为：10【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．（4分）已知△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，r 为半径画圆，使得点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，则半径r 的取值范围是 3＜r ＜4 ．【分析】根据勾股定理得到AC ＝＝5，点A 在⊙C 外，点B 在⊙C 内，则r 的取值范围是3＜r ＜4．【解答】解：∵△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4， ∴AC ＝5，∴r的取值范围是3＜r＜4．故答案为：3＜r＜4【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．16．（4分）一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为2．【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF＝AE，BD＝BE问题即可解决．【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；其中AC＝8，BC＝6；连接OD、OF；则OD⊥BC，OF⊥AC；OD＝OF；∵∠C＝90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD＝CF＝R（R为⊙O的半径）；由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝36+64＝100，∴AB＝10；由切线的性质定理的：AF＝AE，BD＝BE；∴CD+CF＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4，∴R＝2，它的内切圆半径为2．【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理分析、判断、解答．17．（4分）如图，⊙A的圆心A在⊙O上，O的弦PQ与⊙A相切于点B，若⊙O的直径AC＝10，AB＝2，则AP•AQ的值为20．【分析】连接QC，根据圆周角定理、切线的性质定理得到∠ABP＝∠AQC，证明△ABP∽△AQC，根据相似三角形的性质定理计算即可．【解答】解：连接QC，∵PQ与⊙A相切于点B，∴∠ABP＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠AQC＝90°，∴∠ABP＝∠AQC，又∠APB＝∠ACQ，∴△ABP∽△AQC，∴＝，∴AP•AQ＝AB•AC＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为射线BC上一动点（不与C重合），△CDE的外接圆交AE于P，若CP＝CD，则AP的值为．【分析】连接PD，如图，利用圆周角定理证明∠EPD＝90°，∠CDP＝∠CED，再证明∠AEB＝∠CED，则可判断△ABE≌△DCE，所以BE＝CE＝BC＝3，再利用勾股定理计算出AE，然后证明Rt△ADP∽Rt△EAB，从而利用相似比可计算出AP的长．【解答】解：连接PD，如图，∵∠ECD＝90°，∴DE为直径∴∠EPD＝90°，∵CP＝CD，∴∠CDP＝∠CED，∵∠AEB＝∠CDP，∴∠AEB＝∠CED，∵AB＝CD，∠B＝∠ECD，∴△ABE≌△DCE，∴BE＝CE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝5，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴Rt△ADP∽Rt△EAB，∴＝，即＝，∴AP＝．故答案为．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了矩形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．三、解答题（第19题6分，第20、21题每题8分，第22、23、24题每题10分，第25题12分第26题14分，共78分）19．（6分）（1）tan60°﹣cos45°；（2）若＝，求的值．【分析】（1）将三角函数值代入计算可得；（2）由＝知y＝3，代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝×﹣×＝3﹣1＝2；（2）∵＝，∴y＝3，则原式＝＝．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握实数的运算与比例的基本性质．20．（8分）如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是．【点评】本题是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，主要考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．∵的度数为120°，AO＝BO，∴∠BOH＝×120°＝60°，∴AH＝BH＝，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．∵Rt△BOH中，OH＝1，∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，在Rt△OMC中，CM＝＝，∴CE＝ME+CM＝1+＝，∴立柱CE的长度为．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）如图，一艘潜水器在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子（即∠EAC＝30°），继续在同一深度直线航行1400米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°（即∠EBC＝45°）．求海底C点处距离海面DF的深度．（结果保留根号）．【分析】作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，设CN＝，在Rt△BCE中利用正切定义得到BN＝CN＝，在Rt△ACN中，利用∠A的正切得到＝tan30°＝，解得＝700+700，然后计算CN+MN即可．【解答】解：作CM⊥DF于M，交AB于N点，如图，则MN＝600，AB＝1400，∠NAC＝30°，∠NBC＝45°，设CN＝，在Rt△BCE中，∵tan∠NBC＝tan45°＝，∴BN＝CN＝，在Rt△ACN中，tan∠NAC＝，∴＝tan30°＝，解得＝700+700，∴CM＝CN+MN＝700+700+600＝700+1300．答：海底C点处距离海面DF的深度为（700+1300）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin E＝，求AB：EF的值．【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；（2）根据角E的正弦值，设出OD＝OC＝OB＝OA＝5，则得出CA＝10，CE＝13，进而得出CE ＝18，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：连接OD，如图所示：∵AC为圆O的直径，∴∠CBA＝90°，又∵∠F＝90°，∴∠CBA＝∠F＝90°，∴AB∥EF，∴∠AMO＝∠EDO，又∵D为的中点，∴＝，∴OD⊥AB，∴∠AMO＝90°，∴∠EDO＝90°，∵EF过半径OD的外端，则EF为圆O的切线，（2）在Rt△ODE中，sin E＝＝，设OD＝OC＝OA＝5，∴CA＝10，OE＝13，∴CE＝18，∵EF∥AB，∴△ABC∽△ECF，∴＝＝【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．24．（10分）我们定义：三边之比为1：：的三角形叫神奇三角形．（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；（2）请你在下列2×5的正方形网格中（图二）分别画出一个与（1）中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．【分析】（1）利用勾股定理分别计算出BC、AB、AC的长度，计算出三边的比例可得答案；（2）根据相似三角形作图可得．【解答】解：（1）由勾股定理得BC＝＝、AB＝2、AC＝＝，∴BC：AB：AC＝：2：＝1：：，∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；（2）如图所示：【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理与相似三角形的定义．25．（12分）有一家网红私人定制蛋糕店，她家的蛋糕经常供不应求，但每日最多只能做40只蛋糕，且每日做好的蛋糕全部订售一空．已知做只蛋糕的成本为R元，售价为每只P元，且R、P与的关系式为R＝500+30，P＝170﹣2，设她家每日获得的利润为y元．（1）销售只蛋糕的总售价为（﹣22+170）元（用含的代数式表示），并求y与的函数关系式；（2）当每日做多少只蛋糕时，每日获得的利润为1500元？（3）当每日做多少只蛋糕时，每日所获得的利润最大？最大日利润是多少元？【分析】（1）利用总售价＝销售单价×销售数量可得，再根据每日利润＝总售价﹣做只蛋糕的成本可得y关于的解析式；（2）求出y＝1500时的值即可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）销售只蛋糕的总售价为（170﹣2）＝﹣22+170（元），根据题意，得：y＝（﹣22+170）﹣（500+30）＝﹣22+140﹣500，故答案为：（﹣22+170）；（2）当y＝1500时，得：﹣22+140﹣500＝1500，解得：1＝20、2＝50，∵≤40，∴＝20，即当每日做20只蛋糕时，每日获得的利润为1500元；（3）y＝﹣22+140﹣500＝﹣2（﹣35）2+1950，∵a＝﹣2＜0，∴当＝35时，y取得最大值，最大值为1950，答：当每日做35只蛋糕时，每日所获得的利润最大，最大日利润是1950元．【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题的数量关系销售收入＝售价×数量的运用，二次函数的解析式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．26．（14分）如图，抛物线y＝﹣（+1）（﹣3）与轴分别交于点A、B（点A在B的右侧），与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．（1）直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求⊙P的半径；（3）点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；（4）E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．【分析】（1）分别代入y＝0、＝0求出与之对应的、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；（2）连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值，此题得解；（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F 为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF的长，此题得解．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（+1）（﹣3）＝0，解得：1＝﹣1，2＝3，∴点B的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（3，0）；当＝0时，y＝﹣（0+1）×（0﹣3）＝3，∴点C的坐标为（0，3）；∵抛物线与轴交于点（﹣1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为直线＝1．（2）连接CP、BP，如图1所示．在Rt△BOC中，BC＝＝．∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，∴CP＝BP＝BC＝，∴⊙P的半径为．（3）设点D的坐标为（1，y），当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，∴[（﹣1﹣1）2+（0﹣y）2]+[（0﹣1）2+（3﹣y）2]＝10，整理，得：y2﹣3y+2＝0，解得：y1＝1，y2＝2，∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°．（4）将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．∵AC＝＝3，∠ACO＝45°，∴点C′的坐标为（3﹣3，0），∠AC′O′＝45°，∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣+3﹣3．∵点E在线段CO上，∴点F在线段C′O′上．过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值．∵△OC′F为等腰直角三角形，∴OF＝OC′＝（3﹣3）＝3﹣．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；（3）利用极限值法求出点D纵坐标；（4）利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．。

浙江省宁波市海曙区19-20九上期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列图形中是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若x+yy =53，则xy等于()A. 32B. 83C. 23D. 583.对于二次函数 y=(x−1)2+2的图象，下列说法正确的是()．A. 开口向下B. 顶点坐标是(1,2)C. 对称轴是x=−1D. 与x轴有两个交点4.如图，已知AB//CD//EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的是()A. AC：AE=2：5B. AB：CD=2：5C. CD：EF=2：5D. CE：EA=5：75.如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是()A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°6.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(3,4)，半径为5，那么y轴与⊙P的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都不是7.图 ①是一个地铁站入口的双翼闸机.如图 ②，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30∘当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A. (54√3+10)cmB. (54√2+10)cmC. 64cmD. 54cm8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A. 3步B. 5步C. 6步D. 8步9.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(−2,5)的对应的坐标是()A. (2,5)B. (5,2)C. (2,−5)D. (5,−2)10.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为()A. 9π−9B. 9π−6√3C. 9π−18D. 9π−12√311.已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是()A. 154B. 92C. 132D. 15212.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是()A. 9cm2B. 16cm2C. 21cm2D. 24cm2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.正六边形每个内角的度数是____________．14.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E，F分别在AD，BC上，若矩形ABFE∽矩形BCDA，则BF的长为________．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A(−3,0)，对称轴为直线x=−1，给出四个结论：①b2>4ac；②2a+b=0；③a+b+c=0；④若点B(−5,y1),C(6,y2)为函数图象上的两点，则y1<y2.其中正确结论是_____________ .(写上你认为正确的所有序号)16.完全相同的3个小球上面分别标有数−2、−1、1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)，两次摸到的球上数之和是负数的概率是______．17.在△ABC中，AB=AC，BC=12，已知圆O是△ABC的外接圆，且半径为10，则BC边上的高为______．18.如图，已知抛物线y=√33x2+2√33x−√3与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D.M为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得以D、M、C为顶点的三角形与△DME 全等，则点M的坐标为___ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.某数学兴趣小组想测量电视塔的高度，如图，该小组在电视塔BC前一座楼房顶A处观测到电视塔最高点B的仰角为65°，电视塔最低点C的俯角为30°，楼顶A与电视塔的水平距离AD为90米，求电视塔BC的高度．(结果精确到1米，参考数据√2≈1.41，√3≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）20.计算：cos230°+sin245°−tan60°⋅tan30°21.从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．(1)若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是______；(2)若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．22.已知抛物线y=2x2+bx+c经过点(1,0)，(0,3)．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)将抛物线y=2x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．23.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D。

2019-2020学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1.若,则的值是A. B. C. D.2.将抛物线y=3x2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,那么得到的抛物线的表达式为A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-33.如果两个相似三角形的面积比是1∶2,那么它们的周长比是A.1∶2B.1∶4C.1∶D.2∶14.在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则k的取值范围是A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤15.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AC平分∠BAD,CE∥DA交AB于点E.若CE为△ABC 的中线,则的值是A.B.C.D.6.已知sin α<cos α,那么锐角α的取值范围是A.30°<α<45°B.0°<α<45°C.45°<α<60°D.45°<α<90°7.如图,某渔船在码头P的南偏东45°的方向上,且与码头P的距离P A为50海里,捕鱼作业完成后,沿正北方向行驶到位于码头P的北偏东30°方向上的B处,此时渔船与码头P之间的距离PB的值为A.50海里B.100海里C.50海里D.100海里8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置可能是9.如图,D是等边△ABC的边AB上的一点,且AD∶CD=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D 重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE∶CF=A.B.C.D.10.如图,已知边长为4的正方形ABCD和直角边长为2的等腰直角△EFG,它们的边EG,AB 位于同一条直线l上.开始时,点E与点A重合,直角边AF与边AD重合,正方形ABCD固定不动,然后把△EFG自左向右沿直线l平移,移出正方形ABCD外(点G与点B重合)停止.设△EFG的平移距离是x,两个图形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是11．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝8，CD＝6，则图中阴影部分面积为（）A．π﹣24B．9πC．π﹣12D．9π﹣612．如图，AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，点E、F分别在弦AC、AB上，且∠CFE＝45°，若设BF＝x，AE＝y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意摸出一支笔芯，则摸出黑色笔芯的概率是．14．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝．（用根号表示）15．已知扇形的弧长为4πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为度．16．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝．17．如图抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB 为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是．18．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为弧AB中点，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则CD的最大值为．三、解答题（第19题6分，第20、21题8分，第22、23、24题10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．计算：sin30°+2cos245°﹣tan60°．20．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为37°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为12m，求旗杆的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）21．2018年6月，宁波全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是红色：有害垃圾；蓝色：可回收垃圾；绿色：厨余垃圾；黑色：其他垃圾．（1）居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，问他能正确投放垃圾的概率是．（2）居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入其他垃圾桶．问：两袋垃圾都投放错误的概率？请画出树状图或列表说明理由．22．（10分）如图，已知⊙O的半径OC垂直于弦AB，点P在OC的延长线上，AC平分∠P AB．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝20，sin P＝，求PC．23．（10分）如图是5×5的正方形网格，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°得到△AB1C1，在图①中作出△AB1C1；（2）在图②中作一个与△ABC相似且面积最大的格点△A2B2C2；（3）在图③中找出三个与点A、B、C在同一圆上的格点，并用D1，D2，D3标注．24．（10分）如图，在斜坡上按水平距离间隔50米架设电缆，塔柱上固定电缆的位置P，Q 离塔柱底部的距离均为20米，若以点O为原点，以水平地面OC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，已知斜坡OE所在直线的解析式为y＝x，两端挂起的电缆下垂近似成二次项系数为抛物线的形状．（1）点P的坐标为，点Q的坐标为；（2）求电缆近似成的抛物线的解析式；（3）小明说：在抛物线顶点处，下垂的电缆在竖直方向上与斜坡的距离最近，你是否认同？请计算说明．25．（12分）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形．（1）如图①，已知四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形，若AC＝6，BD＝8，则S四边形ABCD ＝；（2）如图②，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线交于点E，若+＝180°，①求证：四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形；②作OM⊥BC于M，请猜想AD与OM之间的数量关系，并推理说明．26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4）．（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为10，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图②），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交1于点P（如图③），设Q为⊙M上一动点，则在点Q运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．【解答】解：A、明天会下雨是随机事件，故A不符合题意；B、从只装有8个白球的袋子中摸出红球是不可能事件，故B符合题意；C、抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故C不符合题意；D、在一个标准大气压下，加热到100℃水会沸腾是必然事件，故D不符合题意；故选：B．2．【解答】解：∵2a＝3b，∴＝，故选：D．3．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1是顶点式，∴对称轴为：直线x＝2．故选：B．4．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，∴sin A＝＝．故选：C．5．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝4cm，OD＝10cm，∴OC＝6cm，又∵OB＝10cm，∴Rt△BCO中，BC＝＝8cm，∴AB＝2BC＝16cm．故选：C．6．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，＝＝，＝＝，＝（）2＝，∴＝，故A、B、D选项正确，C选项错误，故选：C．7．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c中a＝1＞0，∴抛物线开口向上，有最小值．∵x＝﹣＝3，∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵由二次函数图象的对称性可知3﹣2＜4﹣3＜3﹣1，∴y1＞y3＞y2．故选：B．8．【解答】解：连接OC．∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A＝35°，∴∠DOC＝∠A+∠OCA＝70°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠DOC＝20°，故选：A．9．【解答】解：设E，F，G，H分别是直线AC，AB，MN，BC与⊙O的切点．由切线长定理可知：CE＝CH，BH＝BF．ME＝MG，NG＝NF，∵AC+AB+BC＝22cm，BC＝6cm，∴AC+AB＝16cm，AE+AF＝10cm，∴△AMN的周长＝AM+AN+MG+NF＝AM+ME+AN+NF＝AE+AF＝10cm，故选：A．10．【解答】解：①三点确定一个圆，错误，应该的不在同一直线上的三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，正确．③相等的圆心角所对的弦相等，错误，条件是在同圆或等圆中；④三角形的内心到三边的距离相等，正确，故选：B．11．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥CD于F，由垂径定理得，AE＝AB＝×8＝4，CF＝CD＝×6＝3，由勾股定理得，OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，∴AE＝OF，OE＝CF，在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（SAS），∴∠AOE＝∠OCF，∵∠OCF+∠COF＝90°，∴∠AOE+∠COF＝90°，∴∠AOB+∠COD＝2（∠AOE+∠COF）＝2×90°＝180°，把弧CD旋转到点D与点B重合．∴△ABC为直角三角形，且AC为圆的直径；∵AB＝8，CD＝6，∴AC＝10（勾股定理），∴阴影部分的面积＝S半圆﹣S△ABC＝π×52﹣×6×8＝π﹣24；故选：A．12．【解答】解：如图，连接点B、C，∵AB是半圆O的直径，C为弧AB中点，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠CF A＝∠CBA+∠FCB＝45°+∠FCB，∴∠FCB＝∠CF A﹣45°，又∵∠EF A＝∠CF A﹣∠CFE＝∠CF A﹣45°，∴∠FCB＝∠EF A，∵∠EAF＝∠FBC＝45°，∴△AEF∽△BFC，∴＝，设AB＝d，AF＝d﹣x，BC＝AB＝d，∴＝，∴y＝﹣x2+x，∴函数图象为过点（0，0）的抛物线，故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．【解答】解：因为3支红色笔芯，2支黑色笔芯，所以从中任意摸出一支笔芯，摸出黑色笔芯的概率是．故答案为14．【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC，∴AC2＝2（2﹣AC），整理得，AC2+2AC﹣4＝0，解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．故答案为：﹣1+．15．【解答】解：∵l＝，l＝4πcm，r＝6cm，∴4π＝＝，解得n＝120°．故答案为120．16．【解答】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝＝1，即AF＝FD，∴EF为△ADC的中位线，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴＝＝，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FG＝6．故答案为6．17．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），∴DC＝4，抛物线关于y轴对称，∴AC＝CB，∵∠ACB为直角，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝DC＝4，∴B（4，3），把B，C点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，故抛物线解析式为：y＝x2﹣1，当y＝0时，0＝x2﹣1，解得：x1＝﹣2，x2＝2，故当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．18．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为弧AB中点，∴OC⊥AB，在Rt△OCK中，∵∠COA＝90°，OC＝2，OK＝AO＝，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝，∴CD＝+，∴CD的最大值为+，故答案为：+．三、解答题（第19题6分，第20、21题8分，第22、23、24题10分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．【解答】解：原式＝×+2×（）2﹣×＝+1﹣＝+1．20．【解答】解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝，∴tan37°＝，∴，∴AD＝9m，在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝，∴tan45°＝，∴BD＝12m，∴AB＝AD+BD＝12+9＝21（m）．答：旗杆的高度是21m．21．【解答】解：（1）他能正确投放垃圾的概率是，故答案为：．（2）记有害垃圾为A，可回收垃圾为B，厨余垃圾为C，其他垃圾为D，由表可知共有12种等可能结果，其中两袋垃圾都投放错误的有7种结果，∴两袋垃圾都投放错误的概率为．22．【解答】解：（1）连接OA，∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC∵AC平分∠P AB∴∠P AC＝∠BAC∵OC垂直于弦AB，∴∠BAC+∠OCA＝90°∴∠P AC+∠OAC＝90°∴OA⊥P A，且OA是半径∴P A是⊙O的切线；（2）∵sin P＝＝，∴设OP＝5x，OA＝3x，∵OP2﹣OA2＝AP2＝400∴x＝5∴OA＝OC＝15，OP＝25∴PC＝OP﹣OC＝1023．【解答】解：（1）△AB1C1如图所示．（2）△A2B2C2如图所示．（3）D1，D2，D3如图所示．（答案不唯一）24．【解答】解：（1）∵塔柱上固定电缆的位置P，Q离塔柱底部的距离均为20米，∴P（0，20），∵OC＝50，斜坡OE所在直线的解析式为y＝x，∴CE＝10，∴Q（50，24），故答案为：（0，20），（50，30）；（2）如图，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，把P（0，20），Q（50，30），代入，得：，解得：b＝﹣，c＝20，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20；（3）不认同，理由：∵抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝15，设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于点M，与斜坡交于点G，则MG＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m，∴在抛物线顶点处，下垂的电缆在竖直方向上与斜坡的距离不是最近．25．【解答】解：（1）如图①，记AC与BD交点为E，∵四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形，∴AC⊥BD，垂足为E，则S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝AC•DE+AC•BE＝AC•（DE+BE）＝AC•BD＝×6×8＝24，故答案为：24．（2）①如图②，连接OA，OB，OC，OD，∵+＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠ACD＝∠AOD，∠BDC＝∠BOC，则∠ACD+∠BDC＝（∠AOD+∠BOC）＝90°，∴∠DEC＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是⊙O的奇妙四边形；②OM＝AD．理由如下：如图③，连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，∵OE⊥AD，∴AE＝DE，∵∠BOC＝2∠BAC，而∠BOC＝2∠BOM，∴∠BOM＝∠BAC，同理可得∠AOE＝∠ABD，∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD＝90°，∴∠BOM+∠AOE＝90°，∵∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠OBM＝∠AOE，在△BOM和△OAE中，∵，∴△BOM≌△OAE（AAS），∴OM＝AE，∴OM＝AD．26．【解答】解：（1）∵抛物线解经过知A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣8），∴﹣4＝16a，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝；（2）当x＝10时，y＝，∴点D的坐标为（10，6），如图①，连结BD，作BH⊥AD于H，∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴AD＝，BD＝，∵S△ABD＝，∴BH＝2，∴sin∠BDH＝，∴∠BDH＝45°，（3）①如图②，连接MA，MB，∵∠ADB＝45°，∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，∵MA＝MB，MH⊥AB，∴AH＝BH＝HM＝5，∴点M的坐标为（3，5）⊙M的半径为；②如图③，连接MQ，MB，∵过点B作⊙M的切线交1于点P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝5，∵，∴，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴，∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．。