数理统计试题

<数理统计>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2 N 的简单随机样本，2已知，令161161i i X X ，则统计量164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。

2．设),(~2N X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则 的矩估计值为 。

3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。

4．已知2)20,8(1.0 F ，则 )8,20(9.0F 。

5． ˆ和 ˆ都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称 ˆ是比 ˆ有效的估计。

6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________。

7．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。

若假设检验问题为1H 1H 2120 ：＝：，则采用的检验统计量应________________。

9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x,x, …，x ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10 则在H 0成立的条件下，对显着水平α，拒绝域W 应为______________________。

11．设总体服从正态分布(,1)N ，且 未知，设1,,n X X L 为来自该总体的一个样本，记11nii X X n ，则 的置信水平为1 的置信区间公式是 ；若已知10.95 ，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

本科数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是数理统计中的基本概念？A. 总体B. 样本C. 变量D. 常数2. 随机变量X的概率分布函数F(x)满足什么条件？A. 非负B. 单调递增C. 右连续D. 所有选项3. 以下哪个统计量是度量数据离散程度的？A. 均值B. 方差C. 众数D. 标准差4. 假设检验中，拒绝原假设的决策规则是基于什么？A. p值B. 置信区间C. 样本均值D. 样本方差5. 以下哪项不是参数估计的方法？A. 最大似然估计B. 贝叶斯估计C. 插值估计D. 矩估计6. 两个独立随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)为0意味着什么？A. X和Y是独立的B. X和Y是相同的C. X和Y的方差为0D. X和Y的均值相等7. 以下哪项是描述总体分布特征的参数？A. 样本均值B. 样本方差C. 总体均值D. 总体方差8. 在回归分析中，如果自变量和因变量之间存在线性关系，那么回归系数的符号表示什么？A. 正相关B. 负相关C. 无相关D. 强相关9. 以下哪项是描述数据集中趋势的统计量？A. 极差B. 四分位数C. 变异系数D. 标准差10. 以下哪项是假设检验中的两类错误？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 抽样误差和非抽样误差D. 总体误差和样本误差二、填空题（每题2分，共20分）1. 统计学中的“大数定律”表明，随着样本量的增大，样本均值会______总体均值。

2. 如果随机变量X服从标准正态分布，则其概率密度函数为______。

3. 在统计学中，一个数据集的中位数是将数据集从小到大排列后位于______位置的数值。

4. 相关系数的取值范围是______。

5. 假设检验的原假设通常表示为______，备择假设表示为______。

6. 在回归分析中，如果回归系数为正，则表示自变量和因变量之间存在______关系。

7. 统计学中的“中心极限定理”说明，即使总体分布未知，只要样本量足够大，样本均值的分布将近似为______分布。

一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。

五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。

2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。

数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。

则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。

若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。

随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。

则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。

解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。

抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。

所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。

2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。

问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。

设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。

要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。

首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。

数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

一、X 服从),(2σμN ，2σ为已知，原假设和备择假设为0:0:10>↔=μμH H 用U 检验法进行检验，求该检验的势函数及犯第二类错误的概率. 96.1,65.1,05.0025.005.0===U U α (12分)二、X 的分布密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000),(11x x e x f x θθθ (1)求θ的最大似然估计量； (7分)(2)该估计量是否为θ的有效估计 (7分)三、n X X X ,...,21为来自),0(θ上均匀分布的样本，证明i n x n X X ≤≤=1)(max 是θ的充分统计量，并证明其为θ的无偏估计。

四、121,,...,+n n X X X X 为来自),(2σμN 的样本，2,n S X 分别为的样本均值和样本方差，求111+-+-n n n n S XX 的概率分布五、在某橡胶产品的配方中，考虑3种不同的促进剂和4种不同分量的氧化锌，各配方作2次实验．设在各水平的搭配下胶品的定强指标服从正态分布且方差相同， 已知5.17,75.4,13.82,58.38====E AXB B A Q Q Q Q 问促进剂、氧化锌分量以及它们的交互作用对定强指标有无显著影响．29.3)15,3(,49.3)12,3(,89.3)12,2(,3)12,6(,05.005.005.005.005.0=====F F F F α六．某电话交换台在一小时内接到电话用户呼叫次数按每分钟统计得到记录如下： 呼叫次数 0 1 2 3 4 5 6 >7频 数 8 16 17 10 6 2 1 0问电话交换台每分钟接到呼叫次数X 是否服从泊松分布． (14分)七、),(~2σμN X ，2σ未知，求μ的置信度为α-1的置信区间。

(8分) 八、n θ是θ的一个估计量，当∞→n 时有0ˆ,0ˆ→→n n D E θθ．证明nθˆ是θ的相合估计量，即0}ˆ{lim =≥-∞→εθθn n P 九、X 服从两点分布B(1．p)．n X X X ,...,21为其样本，参数p 的先验分布为),(γαβ．求p 的后验分布． (10分)。

一、 (满分12分）X X X n ,,,12是总体X 的随机样本， X 的密度函数为）（ ⎩≥⎨=><<∞⎧-λλλx f x e x x 0,0()0,0（1） 求X 的特征函数；（2） 利用X 的特征函数,求EX D X ,(); （3） 求∑==S X k k n1的概率密度函数. 二、(满分8分））（>X X X n n ,,,1122是总体μσN (,)2的随机样本，记 ，∑∑∑∑+--===-=-=-==+==+S S n n n n Y X Y X S X Y S X Y Z n Y Y k k n k k n k k k k n n n n 11,,(),()1111()121111*2*212112212*22*2222求统计量Z 的分布.三、 (满分14分）总体X 服从均匀分布θU (0,), X X X n ,,,12为其样本，(1) 证明，==+=+θθθn X n X X n n ,(1)2ˆˆˆ11()2(1)3都是未知参数θ的无偏估计; (2) 比较这三个估计量的优劣性.四、（满分14分）测得两批电子器材的电阻值(单位：Ω）分别为：A 批： 30， 32， 34， 36， 38， 42， 48， 52， 52， 56B 批： 31， 33， 37， 42， 46， 48， 53， 55， 56， 59设A 批器材的电阻μσX N ~(,),112B 批器材的电阻μσY N ~(,)222，而且总体相互独立.在显著性水平=α0.05下，能否认为两批器材的电阻的分布相同？ 五、（满分14分）X X X n ,,,12是总体X 的随机样本,X 的密度函数为他其）（ ⎩⎪⎨=>⎪<<⎧-θθθθf x x x 0,(;)0,01111（1）求未知参数θ的极大似然估计量θˆ; （2）证明θˆ是未知参数θ的UMVUE .六、（满分8分）将一颗骰子掷了120次,所得结果如下： 点数i 1 2 3 4 5 6 出现次数νi232718221416试在显著性水平=α0.05下,检验一颗骰子是否均匀、对称？七、 (满分16分）假定在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的数据如下：x s / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 μy m /7101316182123252730应用线性模型⎩⎨⎧=++εσεεεεN y a bx n ~(0,),,,,212为其样本.（1） 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；（3）预测腐蚀时间为=x s 6.50时，腐蚀深度y 0的范围-=a (10.95)； (4) 若要使腐蚀深度在20-26μm 之间，腐蚀时间应该如何控制（=α0.05）.八、 (满分14分) 某种型号的电池4批，分别为四个工厂所生产.各随机抽取5只电池样品，得它们的寿命如下：A 140 48 40 42 45 A 2 26 34 30 28 32 A 339 40 41 50 50 A 43634404035试在显著性水平=α0.05下,检验各批电池的平均寿命有无显著性的差异. 附注：计算中可能用到的数据如下：,，，，,,）（======Φ===χF F F r F t t (99) 4.03(1,8) 5.32,(3,16) 3.24.511.071(8)0.6319(99) 3.18(1.96)0.975,(18) 2.101,(8) 2.306,0.9750.950.950.950.050.9520.9750.975一、（满分12） 解：(1)X 的特征函数为())1)00()()|1()it xitxit xX e itt f x e dx edx it λλλφλλλ---∞∞---∞-∞====---⎰⎰（（（2）21222222221()1(0)(0)222()1(0)(0)1()X X X X X X i it i t EX i it t EX i DX EX EX φφφλλλλφφφλλλλλ----⎛⎫'''=-=== ⎪⎝⎭--⎛⎫''''''=-=== ⎪⎝⎭=-=，，；，，；.（3）S 的特征函数为S ()[()](1/)n n X t t it φφλ-==-所以），（λn Γ~ S ，其密度函数为.0,00,!1)(1S ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--y y n e y y f yn n ）（λλ 二、（满分8）解：根据抽样分布定理得，*2*22222121222*2*21212(1)(1)11~(,),~(,),~(1)~(1),,n S n S Y N Y N n n n n Y Y S S μσμσχχσσ----，并且，，相互独立.于是，212*2*212*2*2122~(0,)~(0,1)(1)(1)2~(22)21)(1)2Y Y N N n n S n S n n S n S σχσσ--+---+-，，相互独立. 由t 分布的定义得 ,~(16)~(22)t Z t n =-，即. 三、（满分14分）解： （1）X 的密度函数为X 的分布函数为 0,0(),01,x F x x x x θθθθ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩；)(n X 的密度函数为()11,0()[()]()0,n n n nX n x x f x n F x f x θθθθ--⎧<<⎪==⎨⎪⎩;;其他 ()1()01ˆ.1nn n nx n n EX n dx E E X n n θθθθθ+⎡⎤====⎢⎥+⎣⎦⎰， (1)X 的密度函数为(1)11(),0()[1()]()0,n n n X n x x f x n F x f x θθθθθ--⎧-<<⎪=-=⎨⎪⎩;；其他 1(1)2(1)0()ˆ(1)1n nx x EX n dx E E n X n θθθθθθ--⎡⎤===+=⎣⎦+⎰，. 3ˆ(2)2E E X EX θθ===. 所以，1()2(1)31ˆˆˆ,(1),2n n X n X X nθθθ+==+=都是θ的无偏估计量. 2）122222()()()()2()()2(2)(1)n n n n n nx n n EXn dx D X EX EX n n n θθθθ+===-=+++⎰， ()2122222(1)(1(1)(1)2()2()(2)(1)(2)(1)n nx x n EX n D X EX EX n n n n θθθθθ--===-=++++⎰，.10()0,x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，；其他()()2221()2(1)31ˆˆˆ()()()(1)()2(2)23n n n D D X D D n X D D X n n n n nθθθθθθ+===+===++，，所以，当1n >，132ˆˆˆ()()()D D D θθθ<<， 132ˆˆˆθθθ最有效，次之，效果最差. 四、（满分14）解：首先检验 2222012112:,:H H σσσσ=≠ 当0H 成立时， *21*22~(9,9)S F F S =拒绝域为 0,975(9,9) 4.03F F ≥= 或0.0251(9,9)0.2484.03F F ≤== 得 *2*21242,88,46,99.3333x S y S ====*21*220.8859S F S ==由于0.2480.8859 4.03F <=<，所以接受0H ，即认为两批器材的电阻的方差没有显著性差异.在此基础上检验012112:,:H H μμμμ=≠ 当0H 成立时，~(18)t t =拒绝域为 0.975||(18) 2.101t t ≥= 计算可得0.9242t ==- 由于||0.9242 2.101t =<，所以接受0H ，即认为两批器材的电阻的均值没有显著性的差异.综合以上，可以认为两批器材的电阻的分布相同. 五、（满分14分）解：(1) 11111()(;)()0nnk kn k k L f x x θθθθθ-====>∏∏，取对数得，11ln ()ln 1ln nk k L n x θθθ=⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∑令211ln ()ln 0n k k d n L x d θθθθ==--=∑ 解得 =11ˆln nkk x n θ=-∑ 所以，未知参数θ的极大似然估计量 11ˆln n k k X n θ-=-∑. (2) :(;)0f x θθ>｛｝=(0,1)与未知参数θ无关.[]11101211222202111(ln )ln 1(ln )ln 2ln 11ˆˆln ,()ln ttn nk k k k tE X xx dx e dt t E X xx dx e dt D X E E X D D X n n n θθθθθθθθθθθθθθθ--∞--∞==-===-===-=⎡⎤⎡⎤=-==-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰∑∑，，，，，2223222121ln 21);(ln )(θθθθθθθθ=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=X E X f E I 由于 21ˆ()()D nnI θθθ==， 所以，=11ˆln nkk X n θ=-∑是未知参数θ的有效估计量，也是未知参数θ的UMVUE . 六、（满分8分）解： 0111:(1,2,,6),:(1,2,,6)66i i H p i H p i ===不全是当0H 成立时， 26221()(5).k k k k np np νχχ=-=∑近似服从 拒绝域为 22210.95(5)=(5)11.071αχχχ-≥=经计算得 2621() 5.911.071k k k knp np νχ=-==<∑ 所以接受0H ，可以认为这个骰子是均匀、对称的. 七、（满分16）解：（1）21112111155,()82.5,19,()512,205.n nn k xx k k k k k n nyy k xy k k k k x x L x x y y n n L y y L x y nx y ========-====-==-⨯=∑∑∑∑∑.设a 和b 的最小二乘估计分别为aˆ和b ˆ，则 205ˆˆˆ 5.3333, 2.484882.5xy xx L ay bx b L =-==== 回归方程为 ˆˆˆ 5.3333 2.4848ya bx x =+=+. （2）0:,0:10≠=b H b H当0H 成立时， )2(~ˆˆ-=n t L bt xx e σ拒绝域为 1-/20.975||(2)(8) 2.306t t n t α≥-==计算可得，ˆ0.570839.541e t σ====,由于||39.541 2.306t =>，所以，拒绝0H ，认为回归效果显著．（３）当0 6.5x =时，ε++=00bx a y ，00ˆˆˆ21.4848y a bx =+= 由于, )2(~)(11ˆˆ2000--++-=n t Lxxx x n y yt e σ得到, αα-=-<-1)}2(|{|21n tt P所以，成本0y 的置信水平为α-1的预测区间为120012ˆˆˆˆ(2)(2).yt n y t n αασσ--⎛--+- ⎝代入数据计算可得，001122ˆ20.1ˆˆˆ((22.870e e y t n y t n αασσ----+-=，所以,当06x =.5，腐蚀深度0y 的置信水平为95.0的预测区间为20.10,22.87（）.（4）当腐蚀深度在20-26m μ之间，近似地有0.97511ˆˆ'(')(200.5708 1.96 5.3333) 6.35ˆ 2.4848e x y u a b σ=+-=+⨯-=0.97511ˆˆ''('')=(260.5708 1.96 5.3333)7.87ˆ 2.4848e x y u a bσ=---⨯-= 所以，腐蚀时间控制6.35~7.87s ，可以使腐蚀深度在20-26m μ之间. 八（满分14）、解：20,5,44321======n n n n n r)4,,2,1(:,:143210 ====k H H k μμμμμ不全相同．当0H 成立时， ),1(~1r n r F rn S r S F e A----=拒绝域为 10.95(1,)(3,16) 3.24F F r n r F α-≥--== ． 计算可得，1122111111111143,()48n n k k k k x x n S x x n =====-=∑∑2222222222112130,()40n n kk k k x xn S x x n =====-=∑∑3322333333113144,()122n n k k k k x x n S x x n =====-=∑∑4422444444114137,()32n n kk k k x xn S x x n =====-=∑∑24212==∑=rk kk e S n S 42211()5()625rA k k k k k S n x x x x ===-=-=∑∑由于 113.77 3.24Ae S r F S n r-==>-，所以拒绝0H ，即认为不同厂家的电池的平均寿命有显著性差异．。

数理统计考试试卷一、填空题（本题15分，每题3分）1、总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差________；2、设为取自总体的一个样本，若已知，则=________；3、设总体，若和均未知,为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________;4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于检验的拒绝域为2≤,则相应的备择假设为________;5、设总体,已知，在显著性水平0.05下,检验假设，，拒绝域是________。

1、；2、0.01;3、；4、；5、.二、选择题（本题15分，每题3分）1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。

（A）(B) (C）(D)2、设为取自总体的样本,为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（）。

（A）（B) （C）（D）3、设是来自总体的样本，存在, ，则( )。

(A）是的矩估计（B）是的极大似然估计（C）是的无偏估计和相合估计（D）作为的估计其优良性与分布有关4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为,在显著性水平下，检验的拒绝域为（）。

(A) （B)（C）（D)5、设总体，已知，未知,是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5。

69)，则取显著性水平时,检验假设的结果是（）。

（A）不能确定(B)接受(C）拒绝（D）条件不足无法检验1、B；2、D；3、C；4、A;5、B。

三、（本题14分）设随机变量X的概率密度为：，其中未知参数，是来自的样本,求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。

解：(1) ,令，得为参数的矩估计量。

（2)似然函数为：，而是的单调减少函数,所以的极大似然估计量为.四、(本题14分)设总体，且是样本观察值,样本方差，(1）求的置信水平为0.95的置信区间;(2）已知，求的置信水平为0。

95的置信区间；(，)。

解:（1)的置信水平为0。

95的置信区间为,即为(0。