第1章传感器基础理论思考题与习题答案
1.1什么是传感器？（传感器定义）
解:能够感受规定的被测量并按照一定规律转换成可用输出信号的器件或装置,通常由敏感元件、转换元件和调节转换电路组成。
1.2传感器特性在检测系统中起到什么作用？
解：传感器的特性是指传感器的输入量和输出量之间的对应关系,所以它在检测系统中的作用非常重要。通常把传感器的特性分为两种：静态特性和动态特性。静态特性是指输入不随时间而变化的特性，它表示传感器在被测量各个值处于稳定状态下输入输出的关系。动态特性是指输入随时间而变化的特性，它表示传感器对随时间变化的输入量的响应特性。１．３传感器由哪几部分组成？说明各部分的作用。
解:传感器通常由敏感元件、转换元件和调节转换电路三部分组成。其中，敏感元件是指传感器中能直接感受或响应被测量的部分，转换元件是指传感器中能将敏感元件感受或响应的被测量转换成电信号的部分,调节转换电路是指将非适合电量进一步转换成适合电量的部分，如书中图1.1所示。
1.4传感器的性能参数反映了传感器的什么关系?静态参数有哪些?各种参数代表什么意义？
动态参数有那些？应如何选择？
解：在生产过程和科学实验中，要对各种各样的参数进行检测和控制,就要求传感器能感受被测非电量的变化并将其不失真地变换成相应的电量,这取决于传感器的基本特性，即输出—输入特性。衡量静态特性的重要指标是线性度、灵敏度,迟滞和重复性等。意义略(见书中）。动态参数有最大超调量、延迟时间、上升时间、响应时间等，应根据被测非电量的测量要求进行选择。
１．５某位移传感器，在输入量变化5ｍｍ时,输出电压变化为3０0mＶ,求其灵敏度。
解:其灵敏度
3
3
30010
60
510
U
k
X
-
-
??
===
??
1．６某测量系统由传感器、放大器和记录仪组成,各环节的灵敏度为:S1=0．2ｍＶ/℃、Ｓ２
=2.0V/mV 、S ３=５．０ｍｍ/Ｖ,求系统的总的灵敏度。
１.7某线性位移测量仪,当被测位移由4.5mm 变到 5.0ｍｍ时，位移测量仪的输出电压由３.5V 减至２.5V ,求该仪器的灵敏度。
解:该仪器的灵敏度为
25
.40.55.35.2-=--=S Ｖ／mm 1．8某测温系统由以下四个环节组成，各自的灵敏度如下:
铂电阻温度传感器： 0.45Ω/℃
电桥： ０．0２Ｖ／Ω
放大器 ： 100（放大倍数)
笔式记录仪:0.２c ｍ/V
求:(１)测温系统的总灵敏度；
(2)记录仪笔尖位移4ｃm 时,所对应的温度变化值。
解:
(1)测温系统的总灵敏度为
18.02.010002.045.0=???=S cm/℃
(2）记录仪笔尖位移4ｃm 时，所对应的温度变化值为
22.2218
.04==t ℃ 1.9有三台测温仪表，量程均为０~800℃，精度等级分别为2.5级、2．0级和１.5级，现要
测量5０0℃的温度，要求相对误差不超过２.５%，选那台仪表合理?
解：2.5级时的最大绝对误差值为２0℃，测量５００℃时的相对误差为４％;2.０级时的最大绝对误差值为１6℃，测量500℃时的相对误差为3.2%；1.5级时的最大绝对误差值为12℃，测量500℃时的相对误差为2.4%。因此,应该选用１.5级的测温仪器。
1．10某温度传感器为时间常数 T =3s 的一阶系统，当传感器受突变温度作用后,试求传感器
指示出温差的1/３和1/2时所需的时间。
解：设温差为A ，测此温度传感器受幅度为Ａ的阶跃响 应为（动态方程不考虑初态）
)e 1()(τt A t y --= 当A t y 31)(=
时,s 22.132ln 3=-=t 当A t y 21)(=时,s 08.22
1ln 3=-=t 1.11某传感器为一阶系统，当受阶跃函数作用时，在t ＝０时,输出为10m Ｖ;t →∞时,输出为
10０m Ｖ;在t =5ｓ时，输出为50m Ｖ，试求该传感器的时间常数。
解:由题意知：)e 1(10010)(τt
t y --+=
)e 1(10010505
τ--+=
)e 1(10010505τ--+=s 79.953ln 5=-=τ
第2章 应变式传感器思考题与习题答案
2.1试述金属电阻应变片与半导体电阻应变片的应变效应有什么不同?
答:金属电阻的应变效应主要是由于其几何形状的变化而产生的,半导体材料的应变效应则主要取决于材料的电阻率随应变所引起的变化产生的。
２.2试述金属电阻应变片直流测量电桥和交流测量电桥有什么区别?
答：它们的区别主要是直流电桥用直流电源,只适用于直流元件,交流电桥用交流电源,适用于所有电路元件。
2.３采用阻值为１2０Ω灵敏度系数K ＝2.0的金属电阻应变片和阻值为１20Ω的固定电阻组
成电桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大。当应变片上的应变分别为1με和100０με时,试求单臂、双臂和全桥工作时的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解:单臂时4
0U K U ε=，
所以应变为1μ时66
01024
10244--?=??==U K U εV, 应变为1000μ时应为33
01024
10244--?=??==U K U εV; 双臂时2
0U K U ε=，所以应变为１时660104210242--?=??==U K U εＶ, 应变为1000μ时应为33
01042
10242--?=??==U K U εV; 全桥时U K U ε=0,所以应变为1μ时60108-?=U V,
应变为１0０0μ时应为30108-?=U V 。
从上面的计算可知：单臂时灵敏度最低，双臂时为其两倍，全桥时最高,为单臂的四倍。
2.４采用阻值Ｒ＝120Ω灵敏度系数Ｋ＝２.0的金属电阻应变片与阻值Ｒ=12０Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为10Ｖ。当应变片应变为１00０με时,若要使输出电压大于１0mV ，则可采用单臂、半桥和全桥的哪种方式（设输出阻抗为无穷大）？
解：由于不知是何种工作方式,可设为n ，故可得：
10101023
0>??==-n
n U K U εmV 得ｎ要小于２,故应采用全桥工作方式。
2．5如题2.5图所示为一直流电桥，供电电源电动势E ＝3V,R ３＝R 4＝１00Ω,R 1和R 2为同型号的电阻应变片，其电阻均为50Ω,灵敏度系数K ＝２.０。两只应变片分别粘贴于等强度梁同一截面的正反两面。设等强度梁在受力后产生的应变为５000με，试求此时电桥输出端电压Ｕｏ。
题2.5图
解:此电桥为输出对称电桥,故15
21053223
0=???==-U K U εｍV 2.６有一吊车的拉力传感器如题２.６图所示,电阻应变片R 1、R 2、R 3、R 4等截面轴上，已知Ｒ１—R 4标称阻值为120Ω，桥路电压2Ｖ,物重m 引起R 1、R ２变化增量为１.2Ω。请画出应变片电桥电路,计算出测得的输出电压和电桥输出灵敏度,R 3、R 4起什么作用?
题２．6图
解:应变片电桥电路如书中图2.1４b),把Ｒ2与Ｒ４对换一下位置。
()μεε+=???? ???-?≈?????? ?
??++?+?+-?++?+?+=K U R R R R U R R R R R R R R R R R R R R R R R R U U 2
233112223333334441111110
又因为μ较小,可忽略 V 01.0120
2.122220==?=≈R R U K U U ε
12
==U K v R ３、R 4可以进行温度补偿和减小非线性误差的作用。
2.７试述金属应变片产生温度误差的原因及减小或补偿温度误差的方法是什么？ 解:电阻应变片产生温度误差的原因:①敏感栅金属丝电阻本身随温度发生变化
②试件材料和电阻丝材料的线膨胀系数的影响
电阻应变片的温度补偿方法:通常有线路补偿法和应变片自补偿两大类。
１）电桥补偿是最常用的且效果较好的线路补偿法。电桥补偿法简单易行，而且能在较大的温度范围内补偿，但上面的四个条件不一满足,尤其是两个应变片很难处于同一温度场。
２）应变片的自补偿法是利用自身具有温度补偿作用的应变片。
2．8如题2．8图所示一受拉的优质碳素钢材，已知钢材的弹性模量Ｅ=F /Ｓ,E =２×ｌ011N ／m 2,应变片的电阻为120Ω，试用允许通过的最大电流为３0m Ａ的康铜丝应变片组成一单臂受感电桥。试求出此电桥空载时的最大可能的输出电压。
题2．8图
解：应变片所受应力：S
F E ==εσ 62311104.610210π102100--?=??? ??????==ES F ε
536max 103.24
10301202104.624---?=??????==U K U εV 2.９在题2.8中,若钢材上粘贴的应变片的电阻变化率为０.1％,钢材的应力为10ｋg/mm 2。 ①求钢材的应变及应变片的灵敏度系数。
解：4116
109.4102108.910-?=???==E σ
ε 04.210
9.4001.04=?=?=-R R K ε ②钢材的应变为300×10
－6时，粘贴的应变片的电阻变化率为多少? 解：000612.01030004.26=??==?-εK R
R 2.10有一电阻应变片初始阻值为120Ω,灵敏度K =2，沿轴向粘贴于直径0.04m 的圆形钢柱表
面,钢材的弹性模量E =2×l ０１
1N ／m 2，泊松比μ=0．3,当钢柱承受外力98×l03N 时。 求:
①该钢柱的轴向应变ε和径向应变εr ;
②此时电阻应变片电阻的相对变化量ΔR /R ；
③应变片的电阻值变化了多少欧?是增大了还是减少了?
④如果应变片是沿圆柱的圆周方向（径向）粘贴，钢柱受同样大小的拉力作用,此时应变片电阻的相对变化量为多少?电阻是增大了还是减少了? 解：①()42113
109.302.014.31021098-?=????===ES F E σ
ε 441017.1109.33.0--?-=??-=-=μεεr ②44108.7109.32--?=??==?εK R
R ③Ω?=???==?--241036.912010
9.32R K R ε 电阻是增大了。 ④()
Ω?-=?-?==?--441034.21017.12r K R R ε 电阻是减小了。
2.11一台采用等强度梁的电子秤，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片,做成秤重传感器，
如图题2.１1所示。已知l =１00ｍm,b =１１mm,t =３mm ，Ｅ＝2．1×１0４
N/m ｍ2，接入直流四臂差动电桥,供电电压6V ,当称重0．５kg 时,电桥的输出电压U ｏ为多大
?
题2.1１图
解：对于等强度梁,粘贴应变片处的应变为
()342333
201041.1101.21031011101008.95.066----?=?????????===E h b Fl E σε 1761041.123o =???==-U K U εｍV
第3章 电感式传感器思考题与习题答案
3.1试述影响差动变压器输出线性度和灵敏度的主要因素是什么？
解：影响差动变压器输出线性度和灵敏度的主要因素是：传感器几何尺寸、线圈电气参数的对称性、磁性材料的残余应力、测量电路零点残余电动势等。
３．2试述电涡流式传感器的灵敏度主要受哪些因素影响?它的主要优点是什么？
解：电涡流式传感器的灵敏度主要受导体的电导率、磁导率、几何形状，线圈的几何参数，激励电流频率以及线圈到被测导体间的距离等因素影响。电涡流式传感结构简单、频率响应宽、灵敏度高、测量范围大、抗干忧能力强,特别是有非接触测量的优点，因此在工业生产和科学技术的各个领域中得到了广泛的应用。
3.3试述自感式电感传感器的工作原理。
解：将非电量转换成自感系数变化的传感器通常称为自感式电感传感器,自感式电感传感器
又称为电感式传感器,它由线圈、铁心和衔铁三部分组成。当衔铁随被测量变化而移动时，铁心与衔铁之间的气隙磁阻随之变化，从而引起线圈的自感发生变化。因此，自感式传感器实质上是一个具有可变气隙的铁心线圈。
３．4试说明差动变压器（螺线管式）传感器的结构形式与输出特性。
解:螺线管式互感传感器它由初级线圈,两个次级线圈和插入线圈中央的圆柱形铁芯等组成。螺线管式差动变压器按线圈绕组排列的方式不同可分为一节、二节、三节、四节和五节式等类型,一节式灵敏度高，三节式零点残余电压较小,通常采用的是二节式和三节式两类。
理想的差动变压器输出电压与位移成线性关系,实际上由于线圈、铁心、骨架的结构形状、材质等诸多因素的影响，不可能达到完全对称，使得实际输出电压呈非线性状态，但在变压器中间部分磁场是均匀的且较强，因而有较好的线性段,此线性段的位移范围Δx约为线圈骨架的1／1０~１/４。提高两次级线圈磁路和电路的对称性,可改善输出电压的线性度。采用相敏整流电路对输出电压进行处理,可进一步改善互感式电感传感器输出电压的线性。3．５什么是零点残余电压,有哪些方法可以进行残余电压补偿？
解:差动变压器输出电压在零点总有一个最小的输出电压。一般把这个最小的输出电压称为零点残余电压,即指衔铁位于中间位置时的差动输出电压。残余电压补偿方法：
①提高差动变压器的组成结构及电磁特性的对称性;
②引入相敏整流电路，对差动变压器输出电压进行处理；
③采用外电路补偿。
３.6用差动变压器进行位移测量时采用那种电路形式可以直接由输出电压区别位移的大小和方向？
解: 采用差动整流电路和相敏检波电路进行测量。
３.7什么是电涡流效应?电涡流传感器可以进行哪些非电量参数测量？该传感器可将哪些物理量转换为电量进行输出?
解: 电感线圈产生的磁力线经过金属导体时,金属导体就会产生感应电流,该电流的流线呈闭合回线,类似水涡形状，故称之为电涡流,这种现象称为电涡流效应。可用来测量位移、金属体厚度、温度等参数，并可用作探伤。可位移、厚度、转速、振动、温度等物理量转换为电
量输出。
3.8差动式自感传感器结构有什么优点，采用变压器式电桥电路,能否判断位移的方向，如不
能，则需采用何种电路?
解：差动式比单线圈式的灵敏度高一倍，对于差动变间隙式自感传感器的线性度也能得到明显改善。不能判断位移的方向,需采用整流电路或相敏检波电路。
3.9试述电感式传感器有哪些种类及其工作原理。
解:自感式传感器又叫电感式传感器，其有变间隙式、变面积式、螺线管式(变气隙导磁系数)三种结构类型。将非电量转换成自感系数变化,当衔铁随被测量变化而移动时，铁心与衔铁之间的气隙磁阻随之变化，从而引起线圈的自感发生变化。
３.10分析电感传感器出现非线性的原因,并说明如何改善？
解：电感式传感器即为自感式传感器，对于变间隙式自感传感器输出存在非线性误差。主要是因为被测量的变化引起传感器的参数发生变化,此变化参数在电感表达式的分母上。采用差动电路。
3.11图题3.11所示是一简单电感式传感器。尺寸已示于图中。磁路取为中心磁路，不记漏
磁，设铁心及衔铁的相对磁导率为104，空气的相对磁导率为1,真空的磁导率为4π×10-7H﹒m-１,试计算气隙长度为零及为2mm时的电感量。图中所注尺寸单位均为mｍ。
题3．１1图
解：计算时以中间位置的长度作为磁路长度的基准,当气隙长度为零时
()()()mH
38.51041014.3410302101560103015101510202103010101560200276
36
363
2
02=??????-+???++-?+???-=+∑
=
-------A A l W L i i i μδμ当气隙长度为２ｍm 时 ()()()mH
68.163.1138.51014.34103015102200
10410
14.341030210156010301510
151020210301010156020027
6
3276
363632
02
=+=?????+??????-+???++-?+???-=+∑
=----------A A l W L i i i μδμ 3.１2简述电涡流效应及构成电涡流传感器的可能的应用场合。
解:电感线圈产生的磁力线经过金属导体时,金属导体就会产生感应电流，该电流的流线呈闭合回线,类似水涡形状，故称之为电涡流，这种现象称为电涡流效应。电涡流式传感器的应用领域很广，可进行位移、厚度、转速、振动、温度等多参数的测量。
3．1３试说明如图所示的差动相敏检波电路的工作原理。
题3．13图
解:此电路的分析方法同图３.2２,文中给出了详细的分析过程。
３．１4题3．14图所示的差动电感式传感器的桥式测量电路,L 1、L 2为传感器的两差动电
感线圈的电感,其初始值均为L 0。R １、R 2为标准电阻,u 为电源电压。试写出输出电压ｕo 与传感器电感变化量△Ｌ间的关系。
题3.14图
解： 2
211o U L L U R R R U L L L L L L U ?=+-?-+?+?+= ３.15试分析图３．21ｃ)所示的全桥整流电路的工作原理。
解:电桥输出电压为U ab =U ac -U b ｃ。当衔铁位于零位时,I 1=I 2,Ｕａc =U bc ，故I ａb ＝0，U ab =0；当衔铁位于零位以上时，I 1>I 2，U ac >U ｂｃ，故I ab >0,Ｕａb >0;当衔铁位于零位以下时,I １＜Ｉ2，Ｕa ｃ＜U bc ，故I ａb <0,U ab ＜０。
第四章 电容式传感器思考题与习题答案
4.1电容式传感器有哪些类型?
解：电容式传感器分为变极距型、变面积型和变介质型三种类型。
４.2叙述电容式传感器的工作原理，输出特性。
解:电容式传感器是一个具有可变参数的电容器。多数场合下，它是由绝缘介质分开的两个平行金属板组成,如果不考虑边缘效应,其电容量为d A
c ε=，当被测参数变化使得c 中的A 、
d 或ε发生变化时，电容量C 也随之变化。如果保持其中两个参数不变,而仅改变其中一个参数,就可把该参数的变化转换为电容量的变化,通过转换电路就可转换为电量输出。
电容式传感器的类型不同，其输出特性也不同。变极距型的输出存在非线性误差,变面积型和变介质型的输出是线性的。
４.3为什么电感式和电容式传感器的结构多采用差动形式，差动结构形式的特点是什么? 解:因为差动形式的灵敏度比单圈式的灵敏度提高一倍,同时也可以减小非线性误差。
4.４电容式传感器的测量电路有哪些？叙述二极管双T 型交流电桥的工作原理。
解:电容转换电路有调频电路、运算放大器式电路、二极管双T 型交流电桥、脉冲宽度调制电路等。二极管双T 型交流电桥的工作原理见书中。
4.5试分析变面积式电容传感器和变间隙式电容的灵敏度?为了提高传感器的灵敏度可采取什么措施并应注意什么问题？
解:以变面积式电容传感器为例进行说明,如图所示是一直线位移型电容式传感器的示意图。
直线位移型电容式传感器
当动极板移动△x 后，覆盖面积就发生变化，电容量也随之改变，其值为 C =εｂ（ａ－△x ）/d =C ０-εｂ·△x /ｄ (１)
电容因位移而产生的变化量为
a x C x d
b C C C ?-=?-
=-=?00ε 其灵敏度为 d
b x C K ε-=??= 可见增加b 或减小d 均可提高传感器的灵敏度。
4．６为什么说变间隙型电容传感器特性是非线性的？采取什么措施可改善其非线性特征? 解:下图为变间隙式电容传感器的原理图。图中1为固定极板,2为与被测对象相连的活动极板。当活动极板因被测参数的改变而引起移动时,两极板间的距离d 发生变化，从而改变了
两极板之间的电容量C 。
设极板面积为A ，其静态电容量为d
A
C ε=,当活动极板移动x 后，其电容量为 22
011d
x d x C x d A C -+=-=ε （1) 当ｘ< ≈-d x 则)1(0d x C C += (2) 由式(1)可以看出电容量C 与x 不是线性关系,只有当 x <<ｄ时,才可认为是最近似线形关系。同时还可以看出，要提高灵敏度,应减小起始间隙d 过小时。但当d 过小时,又容易引起击穿，同时加工精度要求也高了。为此,一般是在极板间放置云母、塑料膜等介电常数高的物质来改善这种情况。在实际应用中,为了提高灵敏度，减小非线性,可采用差动式结构。 4.7有一平面直线位移差动传感器,其测量电路采用变压器交流电桥,如题4.７图所示。电容传 感器起始时b 1=b ２=b =２00mm ，ａ1＝a 2=20ｍm,极距d ＝2mm,极间介质为空气,测量电路u i =3ｓi ｎωt Ｖ,且u=u ｉ。试求当动极板上输入一位移量Δx =５mm 时,电桥输出电压u o 为多少？ 题４．7图 解：根据测量电路可得 t t u a x u C C u i i ωωsin 750sin 320500=?=?=?= m Ｖ 4.８变间隙电容传感器的测量电路为运算放大器电路，如题4．8图所示。Ｃ０=2０0pF ，传感器的起始电容量C ｘ0=20pF ，定动极板距离d 0=１.5m ｍ,运算放大器为理想放大器(即K→∞,Z i →∞）,Ｒf 极大，输入电压u i ＝５si ｎωｔＶ。求当电容传感动极板上输入一位移量△x =0.15m ｍ使d 0减小时,电路输出电压u o 为多少？ 题4.８图 解:由测量电路可得 t t u x d d C C u C C u i x i x ωωsin 45sin 515.05.15.12020000 0000-=?-?-=?--=-=V 4.9推导差动式电容传感器的灵敏度，并与单极式电容传感器相比较。 解：以变极距式为例,在差动式平板电容器中，当动极板向上位移Δd 时，电容器C 1的间隙ｄ1变为ｄ0-Δd ，电容器Ｃ2的间隙ｄ２变为d 0+Δｄ,此时电容器C 1和Ｃ２的电容量分别为 0011d d C C ?-=,0021d d C C ?+= 因10< ? ??+?+?+?=-=? 50300021)(2)(22d d d d d d C C C C 略去高次项，则0 02d d C C ?=? 则差动电容式传感器的灵敏度Ｋ0为 002d d C C K =??= 与单极式电容传感器相比，其灵敏度提高一倍。 ４．10有一台变间隙非接触式电容测微仪,其传感器的极板半径r =4ｍm ，假设与被测工件的 初始间隙δ0=0.3ｍｍ,已知极板间介质为空气，空气介电常数ε０=8.8５×１0-1２F ／ m,试问 ①如果传感器与工件的间隙变化量Δδ=+10μm ，那么电容变化量为多少? ②如果测量电路的灵敏度K =100mV/pF ，则在Δδ=+1μm 时的输出电压为多少？ 解：（1）根据公式S S S d C d d d d d d εεε??=-=? -?-??,其中Ｓ=2r π (2)根据公式112k k δδ?=? ,可得到112k k δδ???==3 1001100.025 -??= ４.12根据电容式传感器的工作原理说明它的分类,电容式传感器能够测量哪些物理参量？ 解：电容式传感器是一个具有可变参数的电容器。多数场合下,它是由绝缘介质分开的两个平行金属板组成，如果不考虑边缘效应,其电容量为d A c ε=,当被测参数变化使得式中的A 、 d 或ε发生变化时，电容量C 也随之变化。如果保持其中两个参数不变，而仅改变其中一个参数,就可把该参数的变化转换为电容量的变化,通过转换电路就可转换为电量输出。根据传感器的工作原理可把电容式传感器分为变极距型、变面积型和变介质型三种类型。 电容式传感器不但广泛用于位移、振动、角度、加速度等机械量的精密测量,还应用于压力、压差、液面、料面、成份含量等方面的测量。 4.１3总结电容式传感器的优缺点，主要应用场合以及使用中应注意的问题。 解:优点:（1) 温度稳定性好(２) 结构简单(3) 动态响应好（4）可以实现非接触测量,具有平均效应。 缺点：（1)输出阻抗高,负载能力差(2)寄生电容影响大。 主要应用在非电量测量和自动检测中，电容传感元件的实际相对变化量与传感元件的固有电感(包括引线电感）有关。因此,在实际应用时必须与标定时的条件相同,否则将会引入测量误差。 4.14简述电容式传感器用差动脉冲调宽电路的工作原理及特点。 解:详细叙述见本章脉冲调宽调制电路。 ４.15有一个直径为2m、高5m的铁桶，往桶内连续注水,当注水数量达到桶容量的８0%时就应当关闭阀门,停止加水,试分析用应变片式或电容式传感器系统来解决该问题的途径和方法。 解:提示采用书中的圆筒式变介质式电容传感器可实现。 第五章压电式传感器思考题与习题答案 5.1什么是正压电效应?什么是逆压电效应？压电效应有哪些种类?压电传感器的结构和应 用特点是什么?能否用压电传感器测量静态压力？ 解：某些电介质在沿一定的方向受到外力的作用变形时，由于内部电极化现象同时在两个表面上产生符号相反的电荷，当外力去掉后，恢复到不带电的状态；而当作用力方向改变时，电荷的极性随着改变。晶体受力所产生的电荷量与外力的大小成正比。这种现象称为正压电效应。反之,如对晶体施加一定变电场，晶体本身将产生机械变形，外电场撤离，变形也随之消失，称为逆压电效应。 压电效应纵向压电效应和横向压电效应。压电材料有:石英晶体、一系列单晶硅、多晶陶瓷、有机高分子聚合材料。 结构和应用特点：在压电式传感器中，为了提高灵敏度，往往采用多片压电芯片构成一个压电组件。其中最常用的是两片结构；根据两片压电芯片的连接关系，可分为串联和并联连接，常用的是并联连接，可以增大输出电荷，提高灵敏度。 使用时,两片压电芯片上必须有一定的预紧力，以保证压电组件在工作中始终受到压力作用,同时可消除两片压电芯片因接触不良而引起的非线性误差，保证输出信号与输入作用力间的线性关系，因此需要测量电路具有无限大的输入阻抗。但实际上这是不可能的，所以压电传感器不宜作静态测量，只能在其上加交变力,电荷才能不断得到补充，并给测量电路一定的电流。故压电传感器只能作动态测量。 5.2试述石英晶体Ｘ、Y、Ｚ轴的名称是什么?有哪些特征？ 解:电轴:Ｘ轴穿过六棱柱的棱线，在垂直于此轴的面上压电效应最强； 机械轴：Y轴垂直六棱柱面。在电场作用下，沿该轴方向的机械变形最明显; 光轴：Z轴晶体上、下晶锥项点连线重合，也叫中性轴，光线沿该轴通过时,无折射及压电效应。 当晶体受到沿X方向的压力作用时,晶体沿X方向将产生收缩，正、负离子相对位置随之发生变化。则在X轴的正向出现正电荷,在Ｙ、Ｚ轴方向则不出现电荷。 当晶体受到沿X方向的拉力作用时，则在X轴的正向出现负电荷，在Y、Ｚ方向则不出现电荷。 当石英晶体受到沿Ｙ轴方向的压力作用时，在X轴正方向的晶体表面上出现负电荷。同样,在垂直于Y轴和Z轴的晶体表面上不出现电荷。 当晶体受到沿Z轴方向的力(无论是压力或拉力）作用时，因为晶体在Ｘ方向和Ｙ方向的变形相同，正、负电荷中心始终保持重合,电偶极矩在X、Y方向的分量等于零。所以，沿光轴方向施加力,石英晶体不会产生压电效应。 5．3简述压电陶瓷特性,作为压电元件比较他与石英晶体有哪些特点？ 解：石英晶体整个晶体是中性的,受外力作用而变形时,没有体积变形压电效应，但它具有良好的厚度变形和长度变形压电效应。压电陶瓷是一种多晶体。原始的压电陶瓷材料并不具有压电性,必须在一定温度下做极化处理，才能使其呈现出压电性。所谓极化,就是以强电场使“电畴”规则排列,而电畴在极化电场除去后基本保持不变，留下了很强的剩余极化。当极化后的压电陶瓷受到外力作用时,其剩余极化强度将随之发生变化，从而使一定表面分别产生正负电荷。在极化方向上压电效应最明显。压电陶瓷的参数也会随时间发生变化老化，压电陶瓷老化将使压电效应减弱。 5.4说明电压放大器与电荷放大器的优缺点,各自要解决什么问题？ 解：传感器与电压放大器连接的电路其输出电压与压电元件的输出电压成正比，但容易受电缆电容的影响。传感器与电荷放大器连接的电路其输出电压与压电元件的输出电荷成正比,电缆电容的影响小。 5.5用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器振动，已知,加速度计灵敏度为５pＣ/g;电 荷放大器灵敏度为５0mV／pC,最大加速度时输出幅值2V,试求机器振动加速度。 解：g /m V 25050521=?=?=K K K g 4250 2000===?=K U a a U K 5.6为什么压电传感器通常都用来测量动态或瞬态参量? 解：如作用在压电组件上的力是静态力，则电荷会泄露，无法进行测量。所以压电传感器通常都用来测量动态或瞬态参量。 ５.7设计压电式传感器检测电路时应该考虑什么因素?为什么? 解：基本考虑点是如何更好的改变传感器的频率特性，以使传感器能用于更广泛的领域。 5.8压电式传感器测量电路的作用是什么？其核心是解决什么问题? 解：压电式传感器的产生的电量非常小,内阻很高。测量电路的作用是进行阻抗变换和放大,即要求测量电路的输入阻抗很高,输出阻抗很低，通常用高输入阻抗运放。其核心是要解决微弱信号的转换与放大，得到足够强的输出信号。 5.9一压电式传感器的灵敏度K 1=10ｐＣ/MPa ，连接灵敏度Ｋ２=０.008Ｖ/ｐC 的电放大器,所用的笔式记录仪的灵敏度K ３=２5ｍｍ/Ｖ,当压力变化Δp =8MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移为多少? 解:记录笔在记录纸上的偏移为S ＝10×０.008×２５×8＝16mm 5.1０已知电压前置放大器的输入电阻为100MΩ,测量回路的总电容为１00pF,试求用压电式 加速度计相配测量1Ｈz 低频振动时产生的幅值误差。 解:压电式传感器的实际输入电压幅值和理想输入电压幅值分别为： 2221)(i i i m im C R R dF U ωωω+=,i m im C dF U =∞)( 时间常数:s 01.0=?=i i C R τ,s /rad 28.6π2=??=f ω 相对误差为:1)2(12)()()(22 2-+=∞∞-=i i i i im im im C R f C fR U U U ππωγ＝９3.7% 5．１1用压电式传感器测量最低频率为1Hz 的振动，要求在1Ｈｚ时灵敏度下降不超过5%， 若测量回路的总电容为５０0ｐＦ，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大。 解：()%5%100112≤?-+=ωτωτ γ s /rad 28.6π2=??=f ω 又 计算得:Ω=?≤ ?=M 968s 28.604.3i i i R C R τ 5.１２巳知压电式加速度传感器的阻尼比ξ=0.1，其无阻尼固有频率f 0=32k Ｈｚ，若要求传 感器的输出幅值误差在5%以内,试确定传感器的最高响应频率。 解:()[]()%5%1001411 222 2≤?-+-=n n ωωξωωγ ()[]()05 .114122 22=+-n n ωωξωω(取等号） ()()096.124=-n n ωωωω 解出 ()0485.02=n ω或()912.12=n ωω(舍去） 则 n n ωωω22.022.0H =?≈ 则 )kHz (04.73222.0H =?=f ５.13压电元件在使用时常采用多片串接或并接的结构形式，试述在不同接法下输出电压、 输出电荷、输出电容的关系，以及每种接法适用于何种场合。 解：1）在压电式传感器中,为了提高灵敏度,往往采用多片压电芯片构成一个压电组件。其中最常用的是两片结构;根据两片压电片的连接关系，可分为串联和并联连接。 ２）如果按相同极性粘贴，相当两个压电片(电容)串联。输出总电容为单片电容的一半，输出电荷与单片电荷相等，输出电压是单片的两倍;适合测量变化较快且以电压输出的场合；若按不同极性粘贴,相当两个压电片（电容）并联，输出电容为单电容的两倍，极板上电荷量是单片的两倍,但输出电压与单片相等,适合测量变化较慢且以电荷输出的场合。 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论 离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素； 7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}} 习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1. （2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表： 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 证明 设A 上定义的二元关系R 为： ＜＜x,y ＞, ＜u,v ＞＞∈R ?x y =u v ① 对任意＜x,y ＞∈A ，因为x y =x y ，所以 ＜＜x,y ＞, ＜x,y ＞＞∈R 即R 是自反的。 ② 设＜x,y ＞∈A ，＜u,v ＞∈A ，若 ＜＜x,y ＞, ＜u,v ＞＞∈R ?x y =u v ?u v =x y ?＜＜u,v ＞,＜x,y ＞＞∈R 即R 是对称的。 ③ 设任意＜x,y ＞∈A ，＜u,v ＞∈A ，＜w,s ＞∈A ，对 ＜＜x,y ＞, ＜u,v ＞＞∈R ∧＜＜u,v ＞, ＜w,s ＞＞∈R ?（x y =u v ）∧（u v =w s ）?x y =w s ?＜＜x,y ＞, ＜w,s ＞＞∈R 故R 是传递的，于是R 是A 上的等价关系。 3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使微积分课后题答案第九章习题详解
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