2019版步步高大一轮总复习专项突破练1

易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语A组专项基础训练(时间：30分钟)一、选择题1．已知集合P＝{y＝x2＋1}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N ＝{x|x≥1}，则() A．P＝M B．Q＝R C．R＝M D．Q＝N答案 D解析集合P是用列举法表示的，只含有一个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R是一切实数．集合M的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是() A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0答案 C解析由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是特称命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选C.3．“2a>2b”是“log2a>log2b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若2a>2b，只能得到a>b，但不能确定a，b的正负性，当0>a>b时，log2a，log2b均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2a>log2b”；若log2a>log2b，则可得a>b>0，从而有2a>2b成立．综上，“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件．4．已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为() A．m<4 B．m>4C．0<m<4 D．0≤m<4答案 A解析∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－mx＋1＝0无实数解，即Δ＝m－4<0，即m<4，选A.注意m<0时也表示A＝∅.5．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合A⊙B所有元素之积为() A．4 500 B．342 000C．345 600 D．135 600答案 C解析依题意，x，y的取值应为x＝1，y＝3；x＝1，y＝4；x＝2，y＝3；x＝2，y＝4.从而A⊙B＝{12,20,30,48}．故所有元素之积为12×20×30×48＝345 600.二、填空题6．设集合M＝{y|y＝2－x，x<0}，N＝{a|a＝b－1}，则M∩N＝________.答案{x|x>1}解析∵y＝2－x，x<0，∴M＝{y|y>1}，∴集合M代表所有大于1的实数；由于N＝{a|a＝b－1}，∴a＝b－1≥0，∴N＝{a|a≥0}，∴集合N代表所有大于或等于0的实数，∴M∩N代表所有大于1的实数，即M∩N＝{x|x>1}．7．设集合A、B是全集U的两个子集，则“A∪B＝B”是“∁U A⊇∁U B”的________条件．答案充要解析由Venn图知∁U A⊇∁U B⇔A⊆B，而A∪B＝B⇔A⊆B.8．设A，B为两个集合，给出下列三个命题：①A B是A∩B≠A的充要条件；②A B是A⊇B的必要条件；③A B是“存在x∈A，使得x∉B”的充要条件．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①③解析因为A⊆B⇔A∩B＝A，A⊆B⇔A∪B＝B，又原命题与它的逆否命题是等价的，所以①是真命题；对于②，由于A⊇B包含了A＝B的情形，而此时A⊆B成立，故②是假命题；对于③，它的正确性不言自明．9．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.答案－1－1解析 由A ＝B 知需分多种情况进行讨论，由lg(xy )有意义，则xy >0.又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1.此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.三、解答题10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且 p 是 q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10.由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .∵ p 是 q 的必要不充分条件，∴q 是p 是必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且qD ⇒/p ，∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10.即m ≥9或m >9.∴m ≥9.∴实数m 的取值范围为m ≥9.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；而若f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则0≤a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A.2．下列命题的否定中真命题的个数是 ( ) ①p ：当Δ<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R )无实根；②q ：存在一个整数b ，使函数f (x )＝x 2＋bx ＋1在[0，＋∞)上是单调函数；③r ：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1≥0不成立．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 由于命题p 是真命题，∴命题①的否定是假命题；命题q 是真命题，∴命题②的否定是假命题；命题r 是假命题，∴命题③的否定是真命题．故只有一个是正确的，故选B.3．已知集合M ＝{x |x ＝a 2－3a ＋2，a ∈R }，N ＝{x |y ＝log 2(x 2＋2x －3)}，则M ∩N ＝________. 答案 {x |x >1}解析 ∵a 2－3a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a －322－14≥－14， ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－14； 由x 2＋2x －3>0，即(x －1)(x ＋3)>0，解得x >1或x <－3，故N ＝{x |x >1或x <－3}．∴M ∩N ＝{x |x >1}．4．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2＝2}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，当A ∩B ≠∅时，则实数a 的取值范围是________，A ∩B ＝∅时，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1,3] (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 观察得集合A 表示的是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆上的点，B 表示的是直线x ＋y ＋a ＝0上的点，若满足A ∩B ≠∅，只需直线与圆相切或相交． 即满足不等式|a －1|2≤2，|a －1|≤2，－2≤a －1≤2， 即－1≤a ≤3.5．已知命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数x 均成立．如果命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 命题p 为真命题等价于ax 2－x ＋116a >0对任意实数x 均成立．当a ＝0时，－x >0，其解集不是R ，∴a ≠0.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－14a 2<0， 解得a >2，故命题p 为真命题等价于a >2.命题q 为真命题等价于a >2x ＋1－1x ＝2x x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切实数x 均成立． 由于x >0，∴2x ＋1>1，2x ＋1＋1>2，∴22x＋1＋1<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，当p真q假时实数a不存在；当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.。

考点提升练(一) 正确使用词语(包括熟语)1．下列各句中，加点的成语使用恰当的一项是 ( )A．就是在这样的一个贫困县，三个领导分坐三辆轿车去基层检查工作，一路上洋洋洒洒．．．．，好不气派。

B．连续晴朗了几天，气温也一点点回升了，连之前噤若寒蝉．．．．的鸟儿们也在枝头活跃了起来。

C．你的发言很有见地，作为抛砖引玉．．．．之篇，让我们深受鼓舞，也给了这次大会一个良好的开端。

D．昨晚那小偷胆子真大，趁屋主一家人熟睡之际，竟登堂入室．．．．，把现金和首饰给偷走了。

答案 A解析A项洋洋洒洒：形容文章或谈话内容丰富，连续不断。

也形容规模或气势盛大。

此处是第二层意思。

B项噤若寒蝉：像深秋的蝉那样一声不吭。

比喻因害怕有所顾虑而不敢说话。

此处望文生义。

C项抛砖引玉：比喻用粗浅的、不成熟的意见引出别人高明的、成熟的意见。

只能用作谦辞。

D项登堂入室：比喻学问或技能由浅入深，循序渐进，达到更高的水平。

用在此处不当。

2．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是 ( ) A．由于这次调整是在清醒地认识国情和全面地估量当前形势的基础上进行的，是在预见潜在危机还未爆发以前进行的，因此有充分的主动权，能够瞻前顾后．．．．、有条不紊、从容不迫地进行，能够避免许多不必要的混乱和损失。

B．姚萤的眼睛水灵灵的，一定是个聪明之至的女子，玲珑剔透．．．．，和刘嘉惠一样。

因为从来没有一桩木头是美丽的，世间最蛊惑人心的美丽应该属于眼睛，若不是灵气逼人，再完美的五官也不会有那样倾城的美丽。

C．听了如此无耻谰言，科比诺气冲斗牛．．．．般的挥舞着前肢，愤然道：“你个该死的混蛋，不仅污蔑我，禁锢了我的不灭魔体，还把我的灵魂束缚在那个恶心的癞蛤蟆身上。

”D．只从生活上无所不至．．．．地体贴对方，却不从思想上和工作上帮助对方进步，这是不对的；只注意对方的思想和工作，生活上却一点也不体贴对方，也是不对的。

答案 D解析A项瞻前顾后：形容做事以前考虑周密谨慎，也形容顾虑太多，犹豫不决。

Ⅰ.对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用它们．Ⅱ.对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用．第1课时 运动的描述考纲解读 1.知道参考系、质点、位移的概念，理解物体看成质点的条件和位移的矢量性.2.知道速度与加速度、平均速度和瞬时速度的区别，并理解二者间的关系．1． [对质点和参考系的理解]关于质点和参考系，下列说法正确的是( )A ．AK －47步枪子弹速度很快，杀伤力大，什么时候都能认为是质点B ．研究男子3米板跳水运动员何冲在空中的跳水动作时，不能把他看成质点C．研究物体的运动时不一定要选择参考系D．歼－15在“辽宁号”航母上的起飞速度大约为300 km/h，是相对航母甲板来说的答案 B2．[平均速度和瞬时速度的区别]关于瞬时速度和平均速度，以下说法正确的是() A．一般讲平均速度时，必须讲清楚是哪段时间(或哪段位移)内的平均速度B．对于匀速直线运动，其平均速度跟哪段时间(或哪段位移)无关C．瞬时速度和平均速度都可以精确描述变速运动D．瞬时速度是某时刻的速度，只有瞬时速度才能精确描述变速运动的物体运动的快慢答案ABD解析一般情况下，物体在不同时间(或不同位移)内的平均速度不同，但对于匀速直线运动，物体的速度不变，所以平均速度与哪段时间(或哪段位移)无关，故A、B均正确；平均速度只能粗略描述变速运动，只有瞬时速度才能精确描述变速运动的物体运动的快慢，故C错，D正确．3．[加速度和速度关系的理解]有下列几种情景，请根据所学知识选择对情景的分析和判断正确的说法() A．点火后即将升空的火箭，因火箭还没运动，所以加速度一定为零B．高速公路上沿直线高速行驶的轿车为避免事故紧急刹车．因轿车紧急刹车，速度变化很快，所以加速度很大C．高速行驶的磁悬浮列车，因速度很大，所以加速度也一定很大D．太空中的“天宫一号”绕地球匀速转动，其加速度为零答案 B1．质点用来代替物体的有质量的点叫做质点，研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点．2．参考系(1)为了研究物体的运动而假定不动的物体，叫做参考系．(2)对同一物体的运动，所选择的参考系不同，对它的运动的描述可能会不同．通常以地球为参考系．3．位移是位置的变化量，是从初位置指向末位置的有向线段．是矢量．(填“矢”或“标”) 4．速度物理学中用位移与发生这个位移所用时间的比值表示物体运动的快慢，即v ＝ΔxΔt ，其是描述物体运动快慢的物理量．(1)平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度，即v ＝xt，其方向与位移的方向相同．(2)瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度，方向沿轨迹上物体所在点的切线方向指向前进的一侧，是矢量．瞬时速度的大小叫速率，是标量．考点一 对质点和参考系的理解 1． 质点(1)质点是一种理想化模型，实际并不存在． (2)物体可看做质点的条件：研究物体的运动时，物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略． 2． 参考系(1)参考系可以是运动的物体，也可以是静止的物体，但被选为参考系的物体，我们都假定它是静止的．(2)比较两物体的运动情况时，必须选同一参考系．(3)选取不同的物体作为参考系，对同一物体运动的描述可能不同． 例1 下列情况下的物体可以看做质点的是( )A ．研究轨道上正在与“神州十号”对接的“天宫一号”飞船时B ．研究“八一”飞行队飞行表演的飞机时C ．放在地面上的木箱，在上面的箱角处用水平推力推它，木箱可绕下面的箱角转动时D ．研究“蛟龙号”下潜到7 000 m 深度过程中的速度时 答案 D对“理想化模型”的理解(1)理想化模型是分析、解决物理问题常用的方法，它是对实际问题的科学抽象，可以使一些复杂的物理问题简单化．(2)物理学中理想化的模型有很多，如“质点”、“轻杆”、“光滑平面”、“自由落体运动”、“点电荷”、“纯电阻电路”等，都是突出主要因素，忽略次要因素而建立的物理模型．突破训练12013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空.2013年6月13日13时18分与“天宫一号”实施了自动交会对接.20日上午，女航天员王亚平在聂海胜、张晓光协助下进行中国的首次太空授课.2013年6月26日08时，“神舟十号”安全返回．关于以上消息，下列说法正确的是() A．“神舟十号”飞船绕地球飞行一周，位移和路程都为零B．“11日17时38分”表示时刻C．在“神舟十号”与“天宫一号”实施自动交会对接的过程中，不可以把“神舟十号”看成质点D．对接后的“神舟十号”与“天宫一号”绕地球运动时，不能看做质点答案BC例2一只猴子静止在悬挂于天花板的细棒上，现使悬挂棒的绳子断开，猴子和细棒一起向下运动，甲说此棒是静止的，乙说猴子是向下运动的，甲、乙两人所选的参考系分别是() A．甲选的参考系是地球，乙选的参考系也是地球B．甲选的参考系是地球，乙选的参考系是猴子C．甲选的参考系是猴子，乙选的参考系是地球D．甲选的参考系是猴子，乙选的参考系也是猴子答案 C突破训练2中国是掌握空中加油技术的少数国家之一．如图1所示是我国自行研制的第三代战斗机“歼－10”在空中加油的情景，以下列的哪个物体为参考系，可以认为加油机是运动的()A．“歼－10”战斗机图1 B．地面上的房屋C．加油机中的飞行员D．“歼－10”战斗机里的飞行员答案 B解析空中加油时两飞机保持相对静止，以“歼－10”战斗机、加油机中的飞行员、“歼－10”战斗机里的飞行员为参考系，加油机都是静止的；以地面上的房屋为参考系，加油机是运动的，本题选B.考点二平均速度和瞬时速度的关系1．平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一段时间或一段位移相对应．瞬时速度能精确描述物体运动的快慢，它是在运动时间Δt→0时的平均速度，与某一时刻或某一位置相对应．2．瞬时速度的大小叫速率，但平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值，它与平均速度的大小没有对应关系．例3 如图2所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，在AB 、ABC 、ABCD 、ABCDE 四段轨迹上运动所用的时间分别是：1 s 、2 s 、3s 、4 s ．下列说法正确的是( )A ．物体在AB 段的平均速度为1 m/s B ．物体在ABC 段的平均速度为52m/s图2C ．AB 段的平均速度比ABC 段的平均速度更能反映物体处于A 点时的瞬时速度D ．物体在B 点的速度等于ABC 段的平均速度 解析 由v ＝xt可得：vAB ＝11m/s ＝1 m/s ，v AC ＝52m/s ，故A 、B 均正确；所选取的过程离A 点越近，其阶段的平均速度越接近A 点的瞬时速度，故C 正确；由A 经B 到C 的过程不是匀变速直线运动过程，故B 点虽为中间时刻，但其速度不等于ABC 段的平均速度，D 错误． 答案 ABC1.本题应该用平均速度的定义式v ＝xt求解．2．由v ＝xt可知t →0时的平均速度可看做某一时刻的瞬时速度．突破训练3 2012年8月6日在伦敦举行的奥运会100米决赛中，牙买加选手博尔特以9秒63获得金牌．在8月6日举行的110米栏决赛中，美国选手梅里特以12秒92的成绩夺得冠军，刘翔因伤退赛；8月10日，博尔特又以19秒32的成绩，夺得男子200米金牌．关于这三次比赛中的运动员的运动情况，下列说法正确的是 ( )A ．200米比赛的位移是100米比赛位移的两倍B ．200米比赛的平均速率约为10.35 m/sC ．110米栏比赛的平均速度约为8.51 m/sD ．100米比赛的最大速度约为20.70 m/s 答案 BC解析 200米赛道是弯道，100米赛道是直道，所以运动员跑200米路程时的位移小于200米，A 项错.200米比赛的平均速率为v ＝20019.32 m /s ≈10.35 m/s ，B 项对；同理C 项对．在100米比赛中，由于运动员在全程中并非做匀加速直线运动，故最大速度不等于平均速度的2倍，D项错误．考点三 速度、速度变化量和加速度的关系止开始加速，当加速度a 不断减小至零时，飞机刚好起飞，则此过程中飞机的( ) A ．速度不断增大，位移不断减小 B ．速度不断增大，位移不断增大 C ．速度增加越来越慢，位移增加越来越快 D ．速度增加越来越慢，位移增加越来越慢解析 飞机的加速度不断变小，但速度不断变大，只是增加变慢而已，速度变大时，位移增加变快，选项B 、C 正确． 答案 BC根据a 与v 方向间的关系判断物体是在加速还是在减速 (1)当a 与v 同向或夹角为锐角时，物体速度大小变大． (2)当a 与v 垂直时，物体速度大小不变．(3)当a 与v 反向或夹角为钝角时，物体速度大小变小．突破训练4 关于物体的运动，不可能发生的是( )A ．加速度大小逐渐减小，速度也逐渐减小B ．加速度方向不变，而速度方向改变C ．加速度和速度都在变化，加速度最大时，速度最小D ．加速度为零时，速度的变化率最大 答案 D解析 加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，当加速度为零时，物体的速度不再变化，速度的变化率为零，故D 不可能发生；速度增大还是减小，是由速度与加速度同向还是反向决定的，与加速度的大小及变化无关，故A 、B 、C 均有可能发生．1.用极限法求瞬时速度由平均速度公式v ＝ΔxΔt 可知，当Δx 、Δt 都非常小，趋向于极限时，这时的平均速度就可认为是某一时刻或某一位置的瞬时速度．测出物体在微小时间Δt 内发生的微小位移Δx ，然后可由v ＝ΔxΔt 求出物体在该位置的瞬时速度，这样瞬时速度的测量便可转化成为微小时间Δt 和微小位移Δx 的测量．例5 为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0 cm的遮光板，如图3所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个 光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间 为Δt 1＝0.30 s ，通过第二个光电门的时间为Δt 2＝0.10 s ，遮光板从图3开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt ＝3.0 s ．试估算： (1)滑块的加速度； (2)两个光电门之间的距离．解析 (1)遮光板通过第一个光电门的速度 v 1＝L Δt 1＝0.030.30 m/s ＝0.10 m/s遮光板通过第二个光电门的速度 v 2＝L Δt 2＝0.030.10m/s ＝0.30 m/s故滑块的加速度a ＝v 2－v 1Δt ≈0.067 m/s 2.(2)两个光电门之间的距离x ＝v 1＋v 22Δt ＝0.6 m.答案 (1)0.067 m/s 2 (2)0.6 m突破训练5 根据速度定义式v ＝Δx Δt ，当Δt 极短时，ΔxΔt就可以表示物体在t 时刻的瞬时速度，该定义应用了下列物理方法中的( )A ．控制变量法B ．假设法C ．微元法D ．极限法答案 D解析 在时间间隔Δt 较小的情况下，平均速度能比较精确地描述物体运动的快慢程度，Δt 越小，描述越精确，这里利用的是极限法.高考题组1． (2012·山东基本能力·64)假如轨道车长度为22 cm ，记录仪记录的信号如图4所示，则轨道车经过该监测点的速度为( )图4A ．0.20 cm/sB ．2.0 cm/sC ．22 cm/sD ．220 cm/s答案 C解析 由题图可知，轨道车通过该监测点用时1.0 s ，由v ＝ΔxΔt 知，v ＝22 cm/s ，C 项正确．2． (2011·天津·3)质点做直线运动的位移x 与时间t 的关系为x ＝5t ＋t 2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点( )A ．第1 s 内的位移是5 mB ．前2 s 内的平均速度是6 m/sC ．任意相邻的1 s 内位移差都是1 mD ．任意1 s 内的速度增量都是2 m/s答案 D解析 由匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，对比题给关系式可得v 0＝5 m/s ，a ＝2 m/s 2，则第1 s 内的位移是6 m ，A 错；前2 s 内的平均速度是v ＝x 2t ＝5×2＋12×2×222m/s ＝7 m/s ，B 错；Δx ＝aT 2＝2 m ，C 错；任意1 s 内的速度增量Δv ＝a Δt ＝2 m/s ，D 对． 模拟题组3．下列说法正确的是 ( )A ．加速度为零的质点一定处于静止状态B ．质点的加速度不变时，速度也一定不变C ．质点的加速度发生变化时，速度一定变化D ．质点做曲线运动时，它的加速度一定是变化的答案 C4． 一列火车在雨中自东向西行驶，车内乘客观察到雨滴以一定的速度竖直下落，那么车外站在月台上的人看到的雨滴是( ) A ．沿偏东方向落下B ．竖直落下C ．沿偏西方向落下D ．无法确定答案 C解析 参考系选好之后，就假定它静止不动，车内乘客以车为参考系，雨滴竖直下落，说明雨滴与车以相同的速度行驶，车外的人以地面为参考系，看到雨滴向西落下．5． 一质点沿直线Ox 方向做直线运动，它离开O 点的距离x 随时间t 的变化关系为x ＝6t－2t 3 (m)，它的速度v 随时间t 变化的关系为v ＝6－6t 2 (m/s)，则该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度、从t ＝0到t ＝2 s 间的平均速度、平均速率分别为( ) A ．－18 m/s 、－2 m/s 、6 m/sB ．－18 m/s ，－2 m/s 、2 m/sC ．－2 m/s 、－2 m/s 、－18 m/sD ．－18 m/s 、6 m/s 、6 m/s答案 A解析 由瞬时速度公式可得t ＝2 s 时的瞬时速度为v ＝(6－6×22) m/s ＝－18 m/s ，质点经时间1 s速度减为0，由x随时间t变化关系可知在t＝0到t＝2 s内发生的位移为Δx＝－4 m，所以t＝0到t＝2 s间的平均速度为v＝ΔxΔt＝－2 m/s；由x随时间t变化的关系可知在t＝0到t＝1 s内发生的位移为x1＝4 m，所以从t＝0到t＝2 s内通过的路程为s＝12 m，所以t＝0到t＝2 s间的平均速率为v′＝sΔt＝6 m/s，A对．(限时：30分钟)►题组1质点和参考系概念的理解1．以下情景中，加着重号的人或物体可看成质点的是()A．研究一列火车．．通过长江大桥所需的时间B．乒乓球比赛中，运动员发出的旋转球．．．C．研究航天员聂海胜．．．在太空舱挥动国旗的动作D．用北斗导航系统确定“辽宁号．．．”航母在大海中的位置时答案 D解析把物体看做质点的条件是：物体的大小或形状对研究的问题没有影响，或者对研究问题的影响可以忽略不计．研究火车通过长江大桥所需的时间不能把火车看成质点；“旋转球”上的不同点转动情况不同，故不能把它看成质点；研究航天员聂海胜在太空舱挥动国旗的动作时，不能把聂海胜看成质点；用北斗导航系统确定航空母舰在大海中的位置时，可以把“辽宁号”航母看成质点．故应选D.2．在研究物体的运动时，下列物体中可以当作质点处理的是() A．中国乒乓球队队员马林在第29届北京奥运会上获得男单金牌，在研究他发出的乒乓球时B．北京奥运会男子50米步枪三种姿势射击中，研究美国名将埃蒙斯最后一枪仅打了4.4环的子弹时C．研究哈雷彗星绕太阳公转时D．用GPS定位系统研究汽车位置时答案BCD解析乒乓球比赛中运动员发出的乒乓球有转动，这种转动不能忽略，所以不能把乒乓球看做质点；研究美国名将埃蒙斯最后一枪仅打了4.4环的子弹的运动时，由于子弹各部分的运动情况都相同，所以可以看做质点；研究哈雷彗星绕太阳公转时，可以忽略哈雷彗星的自转，也可以看做质点；用GPS定位系统研究汽车位置时，不需要考虑汽车各部分运动的差异，汽车可以看做质点，所以选项B、C、D正确．3．2013年8月15日消息，科学研究表明，在太阳系的边缘可能还有一颗行星——幸神星．这颗可能存在的行星是太阳系现有的质量最大的行星——木星质量的4倍，它的轨道半径是地球轨道半径的几千倍．根据以上信息，下列说法正确的是() A．幸神星质量太大，不能看做质点B．研究幸神星绕太阳运动，可以将其看做质点C．比较幸神星运行速度与地球运行速度的大小关系，可以选择太阳为参考系D．幸神星运行一周的位移要比地球运行一周的位移大答案BC解析物体能否看做质点与物体的质量无关，A错；幸神星的形状和大小相对其到太阳的距离来说属于次要的因素，因此可以看做质点，B对；比较两个物体运动速度的大小，要选择同一参考系，C对；幸神星运行一周的位移和地球运行一周的位移均为零，D错．4．两位杂技演员，甲从高处自由落下的同时乙从蹦床上竖直跳起，结果两人同时落到蹦床上，若以演员自己为参考系，此过程中他们各自看到对方的运动情况是() A．甲看到乙先朝上、再朝下运动B．甲看到乙一直朝上运动C．乙看到甲先朝下、再朝上运动D．甲看到乙一直朝下运动答案 B解析乙上升过程，甲、乙间距越来越小，故甲看到乙向上运动；乙下降过程，因甲的速度大于乙的速度，甲、乙间距仍然变小，故甲看到乙还是向上运动，只有B项正确．►题组2位移、平均速度和瞬时速度的理解5．下面描述的几个速度中，属于瞬时速度的是() A．子弹以790 m/s的速度击中目标B．信号沿动物神经传播的速度大约为10 m/sC．汽车上速度计的示数为80 km/hD．台风以360 m/s的速度向东北方向移动答案AC解析 790 m/s 是击中目标时刻的瞬时速度；信号沿动物神经传播是在一个过程内的平均速度；汽车速度计上显示的是瞬时速度；台风移动过程中速度的变化是很大的，360 m/s 是平均速度．6． 下面关于瞬时速度和平均速度的说法正确的是 ( )A ．若物体在某段时间内任一时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零B ．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定都等于零C ．匀速直线运动中，物体在任意一段时间内的平均速度等于它任一时刻的瞬时速度D ．变速直线运动中，物体在任意一段时间内的平均速度一定不等于它某一时刻的瞬时速度答案 AC解析 若物体在某段时间内任一时刻的瞬时速度都等于零，则物体静止，平均速度等于零，A 选项对；若物体在某段时间内的平均速度等于零，任一时刻的瞬时速度不一定都为零，例如物体做圆周运动旋转一周时，平均速度为零，任一时刻的瞬时速度都不为零，B 选项错；在匀速直线运动中，物体的速度恒定不变，任一时刻的瞬时速度都相等，都等于任意一段时间内的平均速度，C 选项对；在变速直线运动中，物体的速度在不断变化，某一时刻的瞬时速度可能等于某段时间内的平均速度，D 选项错．7． 一身高为H 的田径运动员正在参加百米国际比赛，在终点处，有一站在跑道终点旁的摄影记者用照相机给他拍摄冲线过程，摄影记者使用的照相机的光圈(控制进光量的多少)是16，快门(曝光时间)是160s ，得到照片后测得照片中运动员的高度为h ，胸前号码布上模糊部分宽度是ΔL .由以上数据可以知道运动员的( )A ．百米成绩B ．冲线速度C ．百米内的平均速度D ．冲线时160s 内的位移 答案 BD解析 由于无法知道运动员跑 100 m 经历的时间，故无法确定其平均速度和成绩，A 、C 错误；由题意可求出冲线时160 s 内运动员跑过的距离Δx ＝H h ΔL ，进一步求得160s 内的平均速度v＝Δx160，由于时间极短，可把这段时间内的平均速度近似看成是冲线时的瞬时速度，B、D正确．8．光电计时器是一种研究物体运动情况的常用计时仪器，其结构如图1甲所示，a、b分别是光电门的激光发射和接收装置，当有物体从a、b间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间，图乙中MN是水平桌面，Q是木板与桌面的接触点，1和2是固定在木板上适当位置的两个光电门，与之连接的两个光电计时器没有画出，让滑块d从木板的顶端滑下，光电门1、2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为2.5×10－2s和1.0×10－2s，小滑块d的宽度为0.5 cm.可测出滑块通过光电门1的速度v1＝________m/s，滑块通过光电门2的速度v2＝________ m/s.图1答案0.20.5►题组3加速度的理解和计算9．甲、乙两个物体在同一直线上沿正方向运动，a甲＝4 m/s2，a乙＝－4 m/s2，那么对甲、乙两物体判断正确的是() A．甲的加速度大于乙的加速度B．甲做加速直线运动，乙做减速直线运动C．甲的速度比乙的速度变化快D．甲、乙在相等时间内速度变化可能相同答案 B解析加速度的正、负表示方向，绝对值表示大小，甲、乙加速度大小相等，A错．甲的加速度与速度同向，所以做加速运动，乙的加速度与速度方向相反，所以做减速运动，B对．加速度大小表示速度变化的快慢，甲、乙速度变化一样快，C错．由Δv＝aΔt 可知在相等时间内，甲、乙速度变化大小相等，方向相反，D错．10．下列所描述的运动中，可能的有() A．速度变化很大，加速度很小B．速度变化方向为正，加速度方向为负C．速度变化越来越快，加速度越来越小D ．速度越来越大，加速度越来越小答案 AD解析 速度变化很大，根据Δv ＝a Δt ，如果Δt 很大，a 可以很小，故A 选项正确；a ＝Δv Δt ，其中Δv 与a 的方向一致，故B 选项错误；速度变化越来越快，即Δv Δt越来越大，也就是加速度越来越大，故C 选项错误；因速度的大小与加速度大小无直接关系，故D 选项正确．11．2012年广州春节焰火晚会农历正月初一在珠江河段琶洲会展中心的主会场和白鹅潭江面的分会场精彩上演．在焰火运动的过程中，以下说法中正确的是( ) A ．焰火的速度越大，加速度也一定越大B ．焰火的速度变化越快，加速度一定越大C ．焰火的加速度不断减小，速度一定越来越小D ．某时刻速度为零，其加速度一定为零答案 B解析 速度大小与加速度大小及变化无关，A 错；速度变化快，加速度一定大，B 对；焰火的加速度不断减小，但如果加速度方向与速度方向相同，则速度仍在增加，C 错；速度为零时，加速度可以不为零，D 错．12．一辆汽车从静止开始匀加速开出，然后保持匀速运动，最后匀减速运动，直到停止，下表给出了不同时刻汽车的速度：(1)(2)汽车通过的总路程是多少？答案 (1)11 s (2)96 m解析 (1)汽车匀减速运动的加速度a 2＝3－91m/s 2＝－6 m/s 2 设汽车从3 m/s 经t ′停止，t ′＝0－3－6s ＝0.5 s 故汽车从开出到停止总共经历的时间为10．5 s ＋0.5 s ＝11 s(2)汽车匀加速运动的加速度a 1＝6－31m/s 2＝3 m/s 2 汽车匀加速运动的时间t 1＝12－03s ＝4 s 汽车匀减速运动的时间t 3＝0－12－6s ＝2 s 汽车匀速运动的时间t 2＝11 s －t 1－t 3＝5 s 汽车匀速运动的速度为v ＝12 m/s 则汽车总共运动的路程s ＝v 2t 1＋v t 2＋v 2t 3＝⎝⎛⎭⎫122×4＋12×5＋122×2 m ＝96 m。

选修4－1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应________的两个三角形________；②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；③三边对应成________的两个三角形________．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于____________．②相似三角形周长的比等于____________．③相似三角形面积的比等于________________________．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线________于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长________． (5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________． (6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________． (7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________． (8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角________；(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于点G ，E ，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．第1题图 第2题图2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________.4．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD ＝2，BD＝4，则EA＝________.第4题图第5题图5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB 相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .题型三 圆的切线的判定与性质例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE ⊥EB ，且AD ＝23，AE ＝6.(1)判断直线AC 与△BDE 的外接圆的位置关系； (2)求EC 的长．思维升华 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型四与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分](2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.[8分]由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.2.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DFAF.3. 如图所示，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，连结DB ，DE ，OC .若AD ＝2，AE ＝1，求CD 的长．4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．B组专项能力提升1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC 垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．答案要点梳理1．(1)平行线 相等 相等 (2)比例2．(1)①相等 相似 ②比例 相等 相似 ③比例 相似 (2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 两条直角边在斜边上的射影的乘积 4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直 (4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 夯基释疑1．8 2.a 2 3.120° 4.52 5. 6题型分类·深度剖析例1 (1)证明 ∵DE ⊥BC ，D 是BC 边上的中点， ∴EB ＝EC ，∴∠B ＝∠ECD ， 又AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴△ABC ∽△FCD . (2)解过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M ， ∵△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， ∴S △ABC S △FCD ＝(BC CD)2＝4， 又∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM， ∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152，∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 跟踪训练1 证明 在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB .∴∠BAC ＝∠BDC ， ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB . ∴EA DC ＝EDDB，即ED ·CD ＝EA ·BD . 例2 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .①∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACCD .又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝ACCD .②由①、②得EF DF ＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 跟踪训练2 证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.例3 解 (1)取BD 的中点O ，连结OE .∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE ＝∠OBE .又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ， ∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE . ∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线， 即直线AC 与△BDE 的外接圆相切．(2)设△BDE 的外接圆的半径为r . 在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2， 即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23， ∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°. ∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3.跟踪训练3 解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6， 所以AE ＝4，DE ＝2.又AE AC ＝ACAD，所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26， 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.例4 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE . 跟踪训练4(1)证明 连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ， ∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BMBD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 练出高分 A 组 1．证明(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP . 2．证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点， ∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ， ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ， ∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF . ∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ， 因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF.3．解 由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ， 所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD . 5．解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3， 且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ， 则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2. 又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA . ∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ， ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a . ∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6．(1)证明 由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ， 结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° . 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆． (2)解 由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆， 则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.B 组1．证明 ∵CM 2＝MN ·AM ， 又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . 2．证明 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ， ∴△AFE ∽△DNE ， ∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DEBF ，即AE ·BF ＝2DE ·AF .3．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切， 得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB . (2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ， ∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC . 4.(1)证明 连结DE ，则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°， ∠DEB ＋∠EDB ＝90°，∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ， 又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ，∴∠BDE ＝∠CDE ， ∴DE 是BC 的垂直平分线， 设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝1－34＝12，∴DH ＝32， ∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°，∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF 的外接圆半径为32.。

1.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A.3f (1)<f (3)B.3f (1)>f (3)C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3) 答案 B解析 由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝f ′(x )x －f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3).故选B. 2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)答案 D解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1. 即k 的取值范围为[1，＋∞).3.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A.0B.1C.2D.无数个答案 A解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x， 由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1).将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ，解得a ＝1.5.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________.答案 [1，＋∞)解析 因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)max f (x 2)min. 因为g (x )＝e 2x e x ，所以g ′(x )＝e 2－x (1－x ).当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e.又f (x )＝e 2x ＋1x≥2e(x >0). 当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12， 又k >0，所以k ≥1.题型一 利用导数研究函数性质例1 (2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a 取得最大值，最大值为f⎝⎛⎭⎫1a＝ln1a＋a⎝⎛⎭⎫1－1a＝－ln a＋a－1.因此f⎝⎛⎭⎫1a＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x (x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立. 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此a 的取值范围为a ≥32.题型二 利用导数研究不等式问题例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立.(1)解 任意x ∈(0，＋∞)，有 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞)). f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e， 当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e， 当且仅当x ＝1时取到.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立. 思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解.(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1. (1)解 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x(x >0)， 则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2. 所以当x ≠1时，h ′(x )<0.而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0. 即f (x )>ln x x －1. 题型三 利用导数研究函数零点或图像交点问题例3 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数. 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x， 则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. ∵当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)， 则φ′＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0<m <23时，函数g (x )有两个零点. 思维升华 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合思想画草图确定参数范围.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.解(1)由已知得，f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R恒有f′(x)>0，此时f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).当a>0时，f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，此时f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a).(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数f(x)的图像有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，结合f (x )的单调性，可知m 的取值范围是(－3,1).(时间：70分钟)1.(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ∈R ). (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0. (2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数.由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－92，＋∞. 2.已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈[0，π2]. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x <b 对x ∈(0，π2)恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 解 (1)由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间(0，π2)上f ′(x )＝－x sin x <0， 所以f (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x>a ”等价于“sin x －ax >0”； “sin x x <b ”等价于“sin x －bx <0”. 令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立， 当c ≥1时，因为对任意x ∈(0，π2)，g ′(x )＝cos x －c <0， 所以g (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈(0，π2)恒成立. 当0<c <1时，存在唯一的x 0∈(0，π2)使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间(0，π2)上的情况如下：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立”当且仅当 g (π2)＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立； 当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈(0，π2)恒成立. 所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈(0，π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 3.某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与(x －214)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件. (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.解 (1)设5858－u ＝k (x －214)2， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k (10－214)2，解得k ＝2. ∴u ＝－2(x －214)2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11).(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9).令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减.∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.4.已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个.解 (1)a ＝2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1).令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值. 所以y ＝x 3＋x 2－x －2＝0的解只有一个.即y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点只有一个. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (x )的草图如图所示，h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a＝－527时恰有两个公共点. 5.已知函数f (x )＝x ＋a e x . (1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图像在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x ).(1)解 易得f ′(x )＝－x －(1－a )e x， 由已知得f ′(x )≥0对x ∈(－∞，2)恒成立，故x ≤1－a 对x ∈(－∞，2)恒成立，∴1－a ≥2，∴a ≤－1.(2)证明 a ＝0，则f (x )＝x e x . 函数f (x )的图像在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0).令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，x ∈R ，则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －001e x x -000(1)e (1)e .ex x x x x x +---= 设φ(x )＝(1－x )0e x －(1－x 0)e x ，x ∈R ， 则φ′(x )＝0-e x －(1－x 0)e x ， ∵x 0<1，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在R 上单调递减，而φ(x 0)＝0， ∴当x <x 0时，φ(x )>0，当x >x 0时，φ(x )<0， ∴当x <x 0时，h ′(x )>0，当x >x 0时，h ′(x )<0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴x ∈R 时，h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x ).。

课时2 物质的量浓度及其溶液的配制一、选择题1．用已准确称量过的氢氧化钠固体配制0.20 mol·L－1的氢氧化钠溶液250 mL，要用到的仪器是()①250 mL容量瓶②托盘天平③烧瓶④胶头滴管⑤烧杯⑥玻璃棒⑦试管⑧药匙A．①④⑤⑥B．①②④⑤C．①②④⑤⑥⑧D．全部解析由于只需要进行溶解、转移、洗涤和定容操作，故需用的仪器只是①④⑤⑥。

答案 A2．(2017·洛阳模拟)下列溶液中Cl－的物质的量浓度最大的是() A．200 mL 2.5 mol·L－1MgCl2溶液B．1 000 mL 2.5 mol·L－1NaCl溶液C．250 mL 1 mol·L－1AlCl3溶液D．300 mL 5 mol·L－1KClO3溶液答案 A3．下列溶液中，溶质的物质的量浓度不是1 mol·L－1的是() A．10 g NaOH固体溶解在水中配成250 mL溶液B．将80 g SO3溶于水并配成1 L的溶液C．将0.5 mol·L－1的NaNO3溶液100 mL加热蒸发掉50 g水的溶液D．标况下，将22.4 L氯化氢气体溶于水配成1 L溶液解析A项，c(NaOH)＝10 g40 g·mol－10.25 L＝1 mol·L－1；B项，c(H2SO4)＝80 g80 g·mol－11 L＝1 mol·L－1；C项，蒸发掉50 g水后，溶液的体积并不是50 mL，NaNO3的浓度也不是1 mol·L－1；D项，c(HCl)＝22.4 L22.4 L·mol－11 L＝1 mol·L－1。

答案 C4．下列叙述正确的是()A．将5.85 g NaCl晶体溶入100 mL水中，制得1 mol·L－1NaCl溶液B．将1体积c mol·L－1硫酸用水稀释为5体积，得到0.2c mol·L－1硫酸C．将25 g无水CuSO4溶于水配制成100 mL溶液，其浓度为1 mol·L－1D．将w g a% NaCl溶液蒸发掉w/2 g水，得到4a% NaCl溶液解析A项，NaCl溶于水后，溶液的体积大于100 mL，所得溶液中c(NaCl)小于1 mol·L－1；C项，CuSO4的物质的量大于0.1 mol，则c(CuSO4)大于1 mol·L －1；D项，若不析出晶体，得到的是2a%的NaCl溶液。

单元知识滚动练Unit 1 巩固落实Ⅰ.单词拼写1．We went to the party to celebrate his birthday and we also congratulated him on his success. 2．Many people hold a belief that the disease will be cured.3．When the sun’s rays hit the earth，a lot of heat is reflected back into space.4．The teacher was pleased to hear that his students had won the match.5．He is kind and helpful，so we all respect him.6．The student，who represented(代表) his school，came to greet us.7．Both of us have the qualities and virtues that are typical(典型的) of American actors.8．Tom has decorated (装饰)his room with some photos of sports stars.9．Do you fancy(想要)going to the dance on Saturday night?10．—People don’t care enough about the environment.—I think you are absolutely(完全地) right.Ⅱ.选词填空dress up，look forward to，take place，as if，figure out，in spite of，reflect on，out of respect，go off，set off11．Out of respect，the waitress asked him to sit by the window.12．He went on talking while I tried to figure out what it meant.13．The man was lying on the grass and reflected on what happened that day.14．In spite of these difficulties，I believe practice makes perfect.15．They talked as if they had been friends for a long time.16．As we all know，the Olympic Games take place every four years.17．The lights went off in several villages because of the storm.18．I’m looking forward to paying a visit to you next week.19．You don’t have to get dressed up for this party.20．We ought to set off at 7∶00，when the road is empty.Ⅲ.单句语法填空21．With the guide showing us around the scenic spots，we are sure to have a good time.22．I have been looking forward to having(have) a chance to pay a visit to Huangshan.23．We have a firm belief that quality must be at the very root and core of our business.24．The kids love her very much as if she were(be) their mother.25．It is true that the dog is the most useful and faithful(faith) animal in the world.26．On reflection(reflect)，we decided to buy that house.27．She says these activities at bedtime can get kids all excited and make it hard for them to calm down and sleep.28．I hope airlines can show more respect for passengers and improve service.29．She became the first woman to represent(represent) a South Wales mining valley.30．No matter where I go，I see people on their cellphones，messaging.Ⅳ.单句写作31．近几年，我的家乡发生了很大的变化。

第2课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值典例 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知,当x ＜－2时,f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时,f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时,f ′(x )＜0；当x ＞2时,f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值,在x ＝2处取得极小值.命题点2 求函数的极值典例 (2017·泉州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ,e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴,求a 的值；(2)求函数f (x )的极值.解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ,得f ′(x )＝1－a e x . 又曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴,得f ′(1)＝0,即1－a e＝0,解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－a e x , ①当a ≤0时,f ′(x )＞0,f (x )为(－∞,＋∞)上的单调增函数,所以函数f (x )无极值.②当a ＞0时,令f ′(x )＝0,得e x ＝a ,即x ＝ln a ,当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0,所以f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增,故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值；当a ＞0时,f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ,无极大值.命题点3 根据极值求参数典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点,则实数c 的取值范围为_______.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1,由f ′(x )＝0有两个不同的根,可得Δ＝(－4c )2－12＞0,∴c ＞32或c ＜－32. (2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 C解析 函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根,由f ′(x )＝0有2个不相等的实根,得a ＜－2或a ＞2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根,得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解,又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103,所以2≤a ＜103, 综上,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝1或－1或0D.x ＝0答案 C解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3,∴由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0,得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x ＜－1时,f ′(x )＜0,当－1＜x ＜0时,f ′(x )＞0,当0＜x ＜1时,f ′(x )＜0,当x ＞1时,f ′(x )＞0,∴x ＝0,1,－1都是f (x )的极值点.(2)函数y ＝2x －1x 2的极大值是________. 答案 －3解析 y ′＝2＋2x 3,令y ′＝0,得x ＝－1. 当x ＜－1或x ＞0时,y ′＞0；当－1＜x ＜0时,y ′＜0.∴当x ＝－1时,y 取极大值－3.题型二 用导数求函数的最值 典例 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ,k ＜1e,求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值.解 f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. ①若k ＝0,则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.②若k ≠0,则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.(ⅰ)若k ＜0,则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减,(ⅱ)若k ＞0,由k ＜1e, 得1k ＞e,则x －1k＜0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立, 所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2＜0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.综上,当k ＜1e时,f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减, 所以f (x )min ＝f (e)＝1e＋k －1, f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1.引申探究本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”,则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值如何？ 解 由f (x )＝ln x －12x 2, 则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x, 因为当1e ≤x ≤e 时,令f ′(x )＞0,得1e≤x ＜1； 令f ′(x )＜0,得1＜x ≤e,所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f (x )max ＝f (1)＝－12. 思维升华 求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ,b )内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f (a ),f (b ).(3)将函数f (x )的极值与f (a ),f (b )比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.跟踪训练 设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5,若对任意的x ∈[－1,2],都有f (x )＞a ,则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，72 解析 由题意知,f ′(x )＝3x 2－x －2,令f ′(x )＝0,得3x 2－x －2＝0,解得x ＝1或x ＝－23, 又f (1)＝72,f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727, f (－1)＝112,f (2)＝7, 故f (x )min ＝72,∴a ＜72. 题型三 函数极值和最值的综合问题典例 (2018·珠海调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3,求f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值.解 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x . 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ,因为e x ＞0,所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同.又因为a ＞0,所以当－3＜x ＜0时,g (x )＞0,即f ′(x )＞0,当x ＜－3或x ＞0时,g (x )＜0,即f ′(x )＜0,所以f (x )的单调递增区间是(－3,0),单调递减区间是(－∞,－3),(0,＋∞).(2)由(1)知,x ＝－3是f (x )的极小值点,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1,b ＝5,c ＝5,所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0),单调递减区间是(－∞,－3),(0,＋∞),所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值,故f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者,而f (－5)＝5e5＝5e 5＞5＝f (0), 所以函数f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.跟踪训练 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ,a ＋5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是( ) A.[－5,0)B.(－5,0)C.[－3,0)D.(－3,0)答案 C解析 由题意,得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2),故f (x )在(－∞,－2),(0,＋∞)上是增函数,在(－2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,令13x 3＋x 2－23＝－23,得 x ＝0或x ＝－3,则结合图象可知,⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0).利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时,求函数f (x )在[1,2]上的最小值.思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f ′(x )＞0,f ′(x )＜0的解区间,并注意定义域.(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a ,要对参数a 进行分类讨论.规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x ＞0), ①当a ≤0时,f ′(x )＝1x－a ＞0,即函数f (x )的单调递增区间为(0,＋∞).[2分] ②当a ＞0时,令f ′(x )＝1x －a ＝0,可得x ＝1a, 当0＜x ＜1a 时,f ′(x )＝1－ax x＞0； 当x ＞1a 时,f ′(x )＝1－ax x＜0, 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a , 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[4分]综上可知,当a ≤0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,＋∞)；当a ＞0时,函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ,单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[5分] (2)①当1a≤1,即a ≥1时,函数f (x )在区间[1,2]上是减函数,所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[6分]②当1a ≥2,即0＜a ≤12时,函数f (x )在区间[1,2]上是增函数,所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[7分]③当1＜1a ＜2,即12＜a ＜1时,函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数,在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数.又f (2)－f (1)＝ln 2－a ,所以当12＜a ＜ln 2时,最小值是f (1)＝－a ； 当ln 2≤a ＜1时,最小值为f (2)＝ln 2－2a .[11分]综上可知,当0＜a ＜ln 2时,函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln 2时,函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[12分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较,确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )A.y ＝x 3B.y ＝ln(－x )C.y ＝x e －xD.y ＝x ＋2x答案 D解析 由题可知,B,C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中,函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A.283 B.6 C.263D.7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2),f (x )在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,所以f (x )的极大值为f (－2)＝283. 3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( )A.(－1,2)B.(－∞,－3)∪(6,＋∞)C.(－3,6)D.(－∞,－1)∪(2,＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6),由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根.∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0,即a 2－3a －18＞0.∴a ＞6或a ＜－3.4.(2017·哈尔滨调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B.1C.0D.不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x 且x ＞0. 令f ′(x )＞0,得x ＞1.令f ′(x )＜0,得0＜x ＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值,且f (1)＝12－ln 1＝12. 5.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10,则f (2)等于( )A.11或18B.11C.18D.17或18 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10,∴f (1)＝10,且f ′(1)＝0,又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时,函数在x ＝1处无极值,故舍去. ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16,∴f (2)＝18.6.(2018·河北三市二联)若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数,则函数f (x )在R 上的极小值为( )A.2b －43B.32b －23C.0D.b 2－16b 3 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2),∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数,∴－3＜b ＜1,则由f ′(x )＞0,得x ＜b 或x ＞2,由f ′(x )＜0,得b ＜x ＜2,∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43. 7.(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9,若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点,则实数a ＝______.答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知,－3是方程f ′(x )＝0的根,所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0,解得a ＝5.经检验,当a ＝5时,f (x )在x ＝－3处取得极值.8.函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值是正数,极小值是负数,则a 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a ),由f ′(x )＝0得x ＝±a ,当－a ＜x ＜a 时,f ′(x )＜0,函数单调递减；当x ＞a 或x ＜－a 时,f ′(x )＞0,函数单调递增,∴f (x )的极大值为f (－a ),极小值为f (a ).∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a ＞0且f (a )＝a 3－3a 3＋a ＜0,解得a ＞22. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 9.函数f (x )＝x e －x ,x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e解析 f ′(x )＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x ),令f ′(x )＝0,得x ＝1. 又f (0)＝0,f (4)＝4e 4,f (1)＝e －1＝1e, ∴f (1)＝1e为最大值. 10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值,若m ∈[－1,1],则f (m )的最小值为________. 答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ,由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0,即－3×4＋2a ×2＝0,故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ,由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,∴当m ∈[－1,1]时,f (m )min ＝f (0)＝－4.11.(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ,所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1,所以f ′(0)＝0,又因为f (0)＝1,所以曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y －1＝0.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1,则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,h ′(x )＜0, 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0, 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1, 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 12.(2018·武汉质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞,1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值. 解 (1)当x ＜1时,f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2), 令f ′(x )＝0,解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时,函数f (x )取得极小值f (0)＝0, 函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时,由(1)知,函数f (x )在[－1,0]和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减,在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增. 因为f (－1)＝2,f ⎝⎛⎭⎫23＝427,f (0)＝0, 所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时,f (x )＝a ln x , 当a ≤0时,f (x )≤0；当a ＞0时,f (x )在[1,e]上单调递增, 则f (x )在[1,e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时,f (x )在[－1,e]上的最大值为a ； 当a ＜2时,f (x )在[－1,e]上的最大值为2.13.已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13,则实数m 的值为________.答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ,可得f ′(x )＝x 2－2x －1, 令x 2－2x －1＝0,可得x ＝1±2. 当x ∈(1－2,1＋2)时,f ′(x )＜0, 即函数f (x )在(1－2,1＋2)上是减函数,即f (x )在[0,1]上为减函数,故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1),所以13－1－1＋m ＝13,解得m ＝2.14.(2018·贵州质检)设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |最小时,t 的值为________. 答案22解析 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t , 设f (t )＝t 2－ln t (t ＞0),则f ′(t )＝2t －1t ,令f ′(t )＝0,得t ＝22, 当0＜t ＜22时,f ′(t )＜0,当t ＞22时,f ′(t )＞0, ∴当t ＝22时,f (t )取得最小值.15.若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ,且M ＞0,则实数m 的取值范围是____________. 答案 ⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1解析 f ′(x )＝mx ＋(m －1)＝(m －1)x ＋m x(x ＞0),当m ≤0或m ≥1时,f (x )在(0,＋∞)上单调,此时函数f (x )无最大值.当0＜m ＜1时,令f ′(x )＝0,则x ＝m1－m ,∴当0＜m ＜1时,f (x )在⎝⎛⎭⎫0，m 1－m 上单调递增,在⎝⎛⎭⎫m 1－m ，＋∞上单调递减,∴当0＜m ＜1时,函数f (x )有最大值,最大值M ＝f ⎝⎛⎭⎫m 1－m ＝m ln m 1－m －m .∵M ＞0,∴m ln m1－m－m ＞0,解得m ＞e1＋e,∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1.16.已知函数f (x )＝12x 2＋mx ＋ln x .(1)若m ＝－3,讨论函数f (x )的单调性,并写出单调区间；(2)若f (x )有两个极值点x 1,x 2(x 1＜x 2),且m ≤－322,求f (x 1)－f (x 2)的最小值.解 (1)当m ＝－3时,f (x )＝12x 2－3x ＋ln x ,由题意知x ＞0,且f ′(x )＝x －3＋1x ＝x 2－3x ＋1x,令f ′(x )＞0,得0＜x ＜3－52或x ＞3＋52,令f ′(x )＜0,得3－52＜x ＜3＋52.因此函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－52和⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋52，＋∞上单调递增. (2)由题意知,f ′(x )＝x ＋m ＋1x ＝x 2＋mx ＋1x,则易知x 1,x 2为x 2＋mx ＋1＝0的两个根,且x 1＋x 2＝－m ,x 1x 2＝1, 所以f (x 1)－f (x 2)＝12x 21＋mx 1＋ln x 1－⎝⎛⎭⎫12x 22＋mx 2＋ln x 2 ＝12(x 21－x 22)＋m (x 1－x 2)＋ln x 1－ln x 2 ＝12(x 21－x 22)－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋ln x 1－ln x 2 ＝ln x 1x 2－12(x 21－x 22) ＝ln x 1x 2－12·x 21－x 22x 1x 2＝ln x 1x 2－12⎝⎛⎭⎫x 1x 2－x 2x 1. 记x 1x 2＝t ,由x 1＜x 2且m ≤－322知0＜t ＜1, 且f (x 1)－f (x 2)＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t , 记φ(t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (t ∈(0,1)),则φ′(t )＝2t －t 2－12t 2＝－(t －1)22t 2＜0,故φ(t )在(0,1)上单调递减. 由m ≤－322知(x 1＋x 2)2≥92,从而x 21＋x 22≥52,即x 21＋x 22x 1x 2≥52,故t ＋1t ≥52,结合0＜t ＜1,解得0＜t ≤12,从而φ(t )的最小值为φ⎝⎛⎭⎫12＝34－ln 2, 即f (x 1)－f (x 2)的最小值为34－ln 2.。

高考一轮数学步步高能力测试(1)1、已知集合},2{R x y y M x ∈==，则M = （ ）A 、}0{>=y y MB 、}0{≥=y y MC 、}{R y y M ∈=D 、}0,),({>∈=y R x y x M2、若函数123)(-+=x x f 的反函数的图象过P 点，则P 点的一个坐标为 （ ） A 、（2，5） B 、（1，3）C 、（5，2）D 、（3，1） 3、若c b a ,,成等比数列,则函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不能确定4、已知=+-∈=+ααπααπcos sin ),0,4(,2524)2sin(则 （ ） A ．51- B ．51 C ．－57 D ． 57 5、下列函数中是奇函数，且在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x x y 1-=B ．3x x y +=C ． x x y 22-=-D ．x x y +-=11lg6、已知)(21)(x x x f +=，那么=)]([x f f （ ） A 、)(21x x + B 、0 C 、⎩⎨⎧≤>-)0(0)0(x x x D 、⎩⎨⎧>≤)0(0)0(x x x 7、函数y=f(x)对于x 、y R ∈都有f(x+y)=f(x)+f(y)1-，当x>0时f(x)>1，并且f(3)=4，则 （ ）A 、f(x)在R 上是减函数，且f(1)=3B 、f(x)在R 上是增函数，且f(1)=3C 、f(x)在R 上是减函数，且f(1)=2D 、f(x)在R 上是增函数，且f(1)=28、在等比数列{}n a 中，2374π=a a ，则sin(83a a )= 。

9、对于定义在R 上的函数f(x)，有下述命题：① 若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图象关于点A （1，0）对称。

② 若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x) 为偶函数③ 若对∈x R ，有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的周期为2。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．命题p ：x ＝π是函数y ＝sin x 图象的一条对称轴；q ：2π是y ＝sin x 的最小正周期，下列复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q ，其中真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：由于命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是真命题，綈q 是假命题，因此①②③④中只有①③为真． 答案：C2．命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )． A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞0解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B3．ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案 C4．下列命题中是假命题的是( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：对A ，当m ＝2时，f (x )＝1x是幂函数且在(0，＋∞)上递减；对B ，由于Δ＝1＋4a >0，故f (x )＝ln 2x＋ln x －a 有零点；对C ，当α＝π4，β＝0时，有cos(π4＋0)＝cos π4＋sin0；对D ，当φ＝π2时，f (x )是偶函数，故D 是假命题． 答案：D5.“220a b +≠”的含义为（） A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0解析: 0,0022==⇔=+b a b a ,于是220a b +≠就是对0,0==b a 即b a ,都为0的否定, 而“都”的否定为“不都是”或“不全是”,所以应该是“,a b 不全为0”. 答案：A6．下列命题错误的是( )．A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0解析 依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假． 答案 C7．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0.q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )． A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]解析 (直接法)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1. 答案 A【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法. 二、填空题8．若命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案 －22≤a ≤2 29．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________． 解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，非p 为真． 答案：p ∨q ，綈p10.若∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使asinθ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为 .解析：∵∀a ∈(0，＋∞)，asin θ≥a ， ∴sin θ≥1，又sin θ≤1，∴sin θ＝1，∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴cos (θ－π6)＝sin π6＝12.答案：1211．令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立， 当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立， 当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1.答案 a ＞112．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞三、解答题13．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； 命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立． 若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； ∴0<a <1.又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即－2<a ≤2.∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤214．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．15．已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x ∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.16.已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a 的取值范围. 解析：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，|a2|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值范围为a>2或a<－2.。

重点题型研析1——分析推断题钱永健先生因在研究绿色荧光蛋白方面的杰出成就而获2008年诺贝尔奖。

在某种生物中检测不到绿色荧光，将水母绿色荧光蛋白基因转入该生物体内后，结果可以检测到绿色荧光。

由此可知( ) A．该生物的基因型是杂合的B．该生物与水母有很近的亲缘关系C．绿色荧光蛋白基因在该生物体内得到了表达D．改变绿色荧光蛋白基因的1个核苷酸对，就不能检测到绿色荧光思维建模答案 C第一步：关键信息的获取：认真审题，从题干中找准并提取关键信息，用波浪线做好标记。

第二步：知识信息的推断：充分利用题干中的关键信息并结合题目对应的生物学知识，利用因果关系等逻辑思维进行分析推断。

第三步：得出正确的结论：在分析推断的基础上得出合理科学的结论，再从结论入手逆向分析其推理的科学性和严密性。

1．某二倍体动物的某细胞内含10条染色体、10个DNA分子，且细胞膜开始缢裂，则该细胞( ) A．处于有丝分裂中期B．正在发生基因自由组合C．将形成配子D．正在发生DNA复制2．(2009·山东卷，2)细胞分化是奢侈基因选择性表达的结果。

下列属于奢侈基因的是( ) A．血红蛋白基因B．ATP合成酶基因C．DNA解旋酶基因D．核糖体蛋白基因实验技能突破1——鉴定类实验以热点材料(如假冒奶粉问题)为命题背景，主要考查教材中两大实验——生物组织中各种成分的鉴定和色素的提取与分离的相应考点。

12.实验拓展延伸(1)物质鉴定⎩⎪⎨⎪⎧勿需提取直接鉴定还原糖等→加试剂产生特 定颜色变化进行鉴定提取后再鉴定色素等→层析法分离鉴定(2)定量检测指标⎩⎪⎨⎪⎧还原糖、蛋白质、淀粉——颜色的深浅CO 2——变浑浊程度或速度色素——色素带的宽窄2004年4月安徽阜阳劣质奶粉事件曝光后，有关部门对 收缴的劣质奶粉进行了化验，发现不法商人为了降低成本，在 其中添加了大量糖类物质，让婴儿喜欢吃却无法得到足够的蛋 白质营养。

2008年9月，在我国爆发了婴幼儿奶粉受污染事件，导致食用了受污染奶粉的婴幼儿产生肾结石病症，其原因是奶粉中含有三聚氰胺，该物质结构式如图所示。