正弦电流电路激励
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电路在正弦激励下非正弦稳态响应
电路在正弦激励下非正弦稳态的响应田社平1，孙盾2，张峰1(1上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200240；2浙江大学电气工程学院 杭州 310027)摘要：基于作者的教学实践，讨论了电路在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的各种情况。
零状态动态电路存在正弦稳态响应的充要条件为，响应的象函数Y (s )存在且仅存在一对共轭虚极点，而Y (s )的其它极点均位于复平面的开左半平面上。
通过实例说明了在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的情形。
电路本文的讨论对丰富正弦稳态电路分析的教学内容，加深学生对相关知识的理解，具有良好的助益。
关键词：正弦激励；非正弦稳态响应；电路 中图分类号： TM13 文献标识码 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping 1, SUN Dun 2, ZHANG Feng 1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College ofElectrical and Electronic Eng ，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China )Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary and sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s ) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s ) lie on the left open plane of the complex plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students' understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal excitation; non-sinusoidal steady-state response; circuit 处于正弦稳态的电路称为正弦稳态电路。
电路分析23
d e j t ) Re[ d ( A e j t )] Re(j A e j t ) Re( A dt dt
引理包含两个内容：取实部运算和求导可交 A e j t 对t的导数等于该函数与jω的 换；复数函数 乘积。
电 路 分 析 课 件
d e j t ) Re[ d ( A e j t )] Re(j A e j t ) Re( A dt dt d e j t ) d Re[ A e j( t ) ] Re( A m dt dt d [ Am cos( t )] dt Am sin( t )
t RC
UCm cos( t u )
(t 0)
Ｋ由初始条件确定
K uC (0) U Cm cos u
代入得到电容电压uC(t)的全响应为
uC (t ) [uC (0) UCm cos u ] e
t RC
UCm cos( t u )
t 0
相量法求微分方程特解的方法与步骤如下： 1. 用KCL，KVL和VCR写出电路方程(例如2b 方程，网孔方程，结点方程等)，以感兴趣的电压电 流为变量，写出n阶微分方程。
2. 用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将 n阶微分方程转换为复系数代数方程。 3. 求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电 流的相量表达式。 4. 根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的 瞬时值表达式。
电 路 分 析 课 件
§10－2
正弦稳态响应
一、正弦电流激励的RC电路分析
如图所示RC电路，电路达到稳定状态，在t=0 时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos( t+ψi)作用 于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。
第三章 正弦交流电路-1
一.电阻元件
i
根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流
成正比关系，即 i u R
图3-10
当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律
的相量表示式为 第（23）页
•
•
I
U
R
u
R
电阻元件
上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，
如图3-11所示。
设 i 2ISint
u 2USint 图3-11
电阻元件吸收的瞬时功率为
方法二: 运用矢量运算
Y I2m B
C I3m
10 50
I1m
A
5
0 60 30
X
i1 I1m OA矢量 i2 I2m OB矢量 i3 I3m OC矢量
根据矢量图
I3m 14.6
3 50 于是i3 14.6CoS(t 50)
+j
I3m
方法三.运用复数运算:
11.16
I1m 5e j30
只要有幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之
间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 Ie ji 表
示正弦电流 i 2ISint i ，并用下列记法
•
I Ie ji I i
(3-2)
上式中I• m不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它
一个专有名称——相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，
U
的正方向如图3-13(a)所示。
u,i
(b) 0
u
i
t
i ii
i
+ -- +
p- + + 储能 放能 储能 放能
根据楞次定律得出
u
eL
电路 正弦激励下一阶电路的响应
f 2 (t ) y f 2 (t )
时不变电路的延时不变性
f (t t 0 ) y f (t t 0 )
杜阿密尔积分(叠加积分): 适用于f(t)为解析表示式时计算电路的零 t 状态响应。
y f (t ) f (0) g (t ) f ( )g (t )d
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
4
uC (t ) Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
uS
K U0 U m sin
arctan RC
Um US 1 (RC )
2
求得全响应
uC (t ) (U 0 U m sin )e
duc 1 1 uc U s sin t dt RC RC
uS
则
齐次解: 特解: 完全解:
uCh (t ) Ke uCp (t ) Um sin( t )
st
uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
Ke st Um sin( t )
s 1 1 RC
(t )
C
uC
–
uC (0-)=0
线性电路的线性性质
1 RC i(t ) e (t ) R
t
如果
则 如果
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 y f 1 (t ) a2 y f 2 (t )
f (t ) y f (t )
则
f1 (t ) y f 1 (t )
iL
U (1 e R
S
Rt L
)
(t0)
16
正弦交流电知识点整理
正选交流电路+三相交流电知识点整理（1）1、正选交流电与直流电的区别所谓正弦交流电路，是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
交流发电机中所产生的电动势和正弦信号发生器所输出的信号电压，都是随时间按正弦规律变化的。
它们是常用的正弦电源。
在生产上和日常生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。
因此，正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。
直流电路：除在换路瞬间，其中的电流和电压的大小与方向(或电压的极性)是不随时间而变化的，如下图所示：正选交流电：正弦电压和电流是按照正弦规律周期性变化的，其波形如下图所示。
正弦电压和电流的方向是周期性变化的。
正弦量：正弦电压和电流等物理量。
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。
2、周期T与频率f周期T：正弦量变化一次所需的时间。
单位：秒（s）频率f：每秒内变化的次数。
单位：赫兹（Hz）两者关系：频率是周期的倒数 f=1/T高频炉的频率是200- 300kHz；中频炉的频率是500-8000Hz；高速电动机的频率是150-2000Hz; 通常收音机中波段的频率是530-1600kHz ，短波段是2.3-23MHz；移动通信的频率是900MHz和1800MHz; 在元线通信中使用的频率可高 300 GHz。
正弦量变化的其他表达方式：角频率正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示。
因为一周期内经历了 2π弧度(图 4.1.3) ，所以角频率为：上式表示 T，f,ω三者之间的关系，只要知道其中之一，则其余均可求出。
3、幅值与有效值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母来表示，如 i ， U 及 e 分别表示电流、电压及电动势的瞬时值。
瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，用带下标 m 的大写字母来表示，如Im， Um 及 Em 分别表示电流、电压及电动势的幅值。
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
任务一 认识正弦交流电【 正弦交流电路的基本概念和基本定律】
复数的引入
i 1
x21；
x 无解
我们引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
复数:A=a+bi
i21；
i表示电流
A=a+jb
18
复数的表示形式
代数表示:4种
几何表示
（1）直角坐标形式表示: Im
A=a+jb
b
实部 虚部
（2）极坐标形式表示:
0
A 复平面
a Re
A ry
模
幅角
（3）指数形式表示:
)A
6
π
)V
3
u2 =100
解：
2sin(100t 2π )V 3
I&1 =50
π 6
A
U&1 =100
π 3
V
U&2
=100-
2π 3
V
U 2
相量图
U 1
I 1
3
6
2 3
32
已知相量，求瞬时值。
例3：已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形式为：
i 、i I1 = 100 －60°A I2 = 10 30° A 求： 1 2
A B (a1 jb1) (a2 jb2 ) 实部与实部相减
例
(a1 a2 ) j(b1 b2 ) 虚部与虚部相减
(1) (4+j5)-(2+j3)
Im
几何表示 A
=(4-2)+j(5-3) =2+j2
A-B
(2) (m+jn )-(6 + j7) =(m-6)+j(n-7)
B
0
Re
电路 第二章 正弦交流电路(1)
11
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
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相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
电工学第4章
i1 i i2
i1与i2 同相 i1与i2 反相
i1 ωt o ψ1 ψ2 ϕ i i2 ωt
ψ2 o ψ1
注意：不同频率的正弦量比较无意义。 注意：不同频率的正弦量比较无意义。
[例题] 正弦电流 =100sin(6280t − π)mA,指出它的周期 例题] i , 4 频率,角频率幅值 有效值初相位画出波形图 , , , , . 解：Im =100mA i 100(mA) Im = 100=70.7mA I= 2 2 ω=6280rad/s oπ f = ω = 6280=1000Hz =1kHz 4 2π 2π T= 1 = 1 =0.001s=1ms f 1000 ψ=− π 4
4.1.2 幅值与有效值
幅值： 幅值：Im、Um、Em 有效值： 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的 有效值。 有效值。
幅值必须大写, 幅值必须大写, 下标加 m。
= I 2 RT ∫0 i R dt
T 2
交流
直流
则有
I =
Im 1 T 2 2 有效值必 = Imsin ωt dt = 2 须大写 T ∫0 Um Em 同理： 同理： U = E= 2 2 注意：交流电压、电流表的刻度、 注意：交流电压、电流表的刻度、数据为有效值
r ψ
a
A = r cos ψ + j r sin ψ = r (cos ψ + jsin ψ)
jψ
由欧拉公式: 由欧拉公式 cos ψ = e 可得: 可得 (3)
= cos ψ + jsin ψ 指数式 A = r ej ψ e
jψ
+e 2
−j ψ
ej ψ − e− j ψ , sin ψ = 2j
i1与i2 同相 i1与i2 反相
i1 ωt o ψ1 ψ2 ϕ i i2 ωt
ψ2 o ψ1
注意：不同频率的正弦量比较无意义。 注意：不同频率的正弦量比较无意义。
[例题] 正弦电流 =100sin(6280t − π)mA,指出它的周期 例题] i , 4 频率,角频率幅值 有效值初相位画出波形图 , , , , . 解：Im =100mA i 100(mA) Im = 100=70.7mA I= 2 2 ω=6280rad/s oπ f = ω = 6280=1000Hz =1kHz 4 2π 2π T= 1 = 1 =0.001s=1ms f 1000 ψ=− π 4
4.1.2 幅值与有效值
幅值： 幅值：Im、Um、Em 有效值： 有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的 有效值。 有效值。
幅值必须大写, 幅值必须大写, 下标加 m。
= I 2 RT ∫0 i R dt
T 2
交流
直流
则有
I =
Im 1 T 2 2 有效值必 = Imsin ωt dt = 2 须大写 T ∫0 Um Em 同理： 同理： U = E= 2 2 注意：交流电压、电流表的刻度、 注意：交流电压、电流表的刻度、数据为有效值
r ψ
a
A = r cos ψ + j r sin ψ = r (cos ψ + jsin ψ)
jψ
由欧拉公式: 由欧拉公式 cos ψ = e 可得: 可得 (3)
= cos ψ + jsin ψ 指数式 A = r ej ψ e
jψ
+e 2
−j ψ
ej ψ − e− j ψ , sin ψ = 2j
正弦交流电路公式总结
正弦交流电路公式总结
正弦交流电路中的主要公式和概念包括：
1. 周期和频率：
周期（T）：交变电流完成一次周期性变化（线圈转一周）所需的时间，
单位是秒（s），公式为T=2π/ω。
频率（f）：交变电流在1s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹（Hz）。
周期和频率的关系：T=1/f。
2. 正弦式交变电流的函数表达式（线圈在中性面位置开始计时）：
电动势e随时间变化的规律：e=Emsinωt。
负载两端的电压u随时间变化的规律：u=Umsinωt。
电流i随时间变化的规律：i=Imsinωt。
其中ω等于线圈转动的角速度，Em=nBSω。
3. 在纯电阻性电路中，当电路与电源之间不再有能量的交换时，电路呈电阻性。
以上内容仅供参考，如需更具体全面的信息，建议查阅电路学相关书籍。
《电路分析》正弦稳态交流电路相量的研究实验报告
《电路分析》正弦稳态交流电路相量的研究实验报告一、实验目的1．研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系。
2. 掌握单相正弦交流电路中电压、电流及功率的测量方法3. 理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。
二、实验原理1. 在单相正弦交流电路中，用交流电流表测得各支路的电流值，用交流电压表测得回路各元件两端的电压值，它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律。
2. RC串联电路，在正弦稳态信号U的激励下，U R与U C 保持有90º的相位差，即当R阻值改变时，U R的相量轨迹是一个半园。
U、U C与U R三者形成一个直角形的电压三角形，如图4.1所示。
R值改变时，可改变φ角的大小，从而达到移相的目的。
图4.13. 在感性负载两端并联电容，可以改善电路的功率因数（cosφ值）。
三、实验平台NI Multisim 14.0四、实验步骤与数据记录、处理1. 单相交流电路的基尔霍夫电压定律按图4.2所示调用元件，连接电路。
将万用表均选为交流电压档，开启仿真开关，记录各万用表显示的数值至表格4-1中，并保留截图。
验证电压的相量关系，是否符合电压三角形。
表4-1 电压相量测量2、RLC交流参数测量按图4.3所示调用元件，建立RLC电路。
正确接入功率表，将万用表分别选为交流电压挡和交流电流挡，开启仿真开关，记录各仪表显示的数值至表格4-2中，并保留截图。
表4-2 RLC参数测量根据测量结果，计算RLC各参数，与实际值进行比较。
3、并联电路─电路功率因数的改善按图4.4所示调用元件，建立电路。
正确接入功率表，将万用表选为交流电流挡，开启仿真开关，记录各仪表显示的数值至表格4-3中。
改变电容的数值，记录各参数，观察功率因数的改变情况。
图4.4 功率因数改善电路表4-3 功率因数的改善五、实验结果总结1. 完成数据表格中的计算。
2. 根据实验数据，分别绘出电压、电流相量图，验证相量形式的基尔霍夫定律。
3. 画出功率因数随并联电容变化的曲线图。
正弦电压和电流
第25页/共31页
由此解得
用此式计算出正弦电流i(t)=Imcos( t+ψ)的方均根值，
称为正弦电流的有效值。具体计算如下
第26页/共31页
计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im 的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同 的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707 倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍。
图10-1
(a) 初相>0的情况 (b) 初相=0的情况
第4页/共31页
(c) 初相<0的情况
由于已知振幅Im ，角频率ω和初相i，就能够完全确
定一个正弦电流，称它们为正弦电流的三要素。与正弦电
流类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相u，
其函数表达式为
由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻 的数值称为瞬时值，因此式(10－1)和(10－2)又称为正弦电 流和正弦电压的瞬时值表达式。
和
画在一
个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正
弦电压电流的相位关系。
图 10-7
第22页/共31页
图 10-7
相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法 则求得几个同频率正弦电压或电流之和。
例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流I 的相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅约为12A， 初相约为124°。作图法的优点是简单直观，但不精确。
第20页/共31页
正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为
与此相似，对于正弦电流i2(t)= -10sin(314t+60)A可以
得到以下结果
三角公式 sinx=cos(x-90)
由此解得
用此式计算出正弦电流i(t)=Imcos( t+ψ)的方均根值，
称为正弦电流的有效值。具体计算如下
第26页/共31页
计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im 的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同 的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707 倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍。
图10-1
(a) 初相>0的情况 (b) 初相=0的情况
第4页/共31页
(c) 初相<0的情况
由于已知振幅Im ，角频率ω和初相i，就能够完全确
定一个正弦电流，称它们为正弦电流的三要素。与正弦电
流类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相u，
其函数表达式为
由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻 的数值称为瞬时值，因此式(10－1)和(10－2)又称为正弦电 流和正弦电压的瞬时值表达式。
和
画在一
个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正
弦电压电流的相位关系。
图 10-7
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图 10-7
相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法 则求得几个同频率正弦电压或电流之和。
例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流I 的相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅约为12A， 初相约为124°。作图法的优点是简单直观，但不精确。
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正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为
与此相似，对于正弦电流i2(t)= -10sin(314t+60)A可以
得到以下结果
三角公式 sinx=cos(x-90)
《电路分析》正弦信号激励的一阶电路
i(t) ih (t) ip (t) (8 43)
ih(t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为
ih (t)
Ke st
Rt
Ke L
t
Ke
式中=L/R是电路的时间常数，K是待定常数，由初始
条件和输入共同确定。
ip(t)是非齐次微分方程的特解，其形式为 ip (t) Im cos( t i )
t
f (t) [ f (0 ) f ()]e f () (t 0)
其中 RoC 或 L / Ro
只要能够计算出某个响应的初始值f(0+)，稳态值f()和
电路的时间常数 这三个要素，利用以上通用公式，就能
得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个 电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电 阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路 响应的方法，称为三要素法。
2. 动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基 本方法是建立电路的微分方程，并利用初始条件求解。对 于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为
f (t) fh (t) fp (t)
fh(t)是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应， 它与外加电源无关。fp(t)是非齐次微分方程的特解，其变化 规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应。
4. 三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶 电路以及含有几个开关的一阶电路。
5. 阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零 状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得。
6. 冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激励下的零 状态响应，线性非时变电路的冲激响应可以用阶跃响应对 时间求导数的方法求得。
§8－8 正弦信号激励的一阶电路
图8－49 RL串联电路
ih(t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为
ih (t)
Ke st
Rt
Ke L
t
Ke
式中=L/R是电路的时间常数，K是待定常数，由初始
条件和输入共同确定。
ip(t)是非齐次微分方程的特解，其形式为 ip (t) Im cos( t i )
t
f (t) [ f (0 ) f ()]e f () (t 0)
其中 RoC 或 L / Ro
只要能够计算出某个响应的初始值f(0+)，稳态值f()和
电路的时间常数 这三个要素，利用以上通用公式，就能
得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个 电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电 阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路 响应的方法，称为三要素法。
2. 动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基 本方法是建立电路的微分方程，并利用初始条件求解。对 于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为
f (t) fh (t) fp (t)
fh(t)是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应， 它与外加电源无关。fp(t)是非齐次微分方程的特解，其变化 规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应。
4. 三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶 电路以及含有几个开关的一阶电路。
5. 阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零 状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得。
6. 冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激励下的零 状态响应，线性非时变电路的冲激响应可以用阶跃响应对 时间求导数的方法求得。
§8－8 正弦信号激励的一阶电路
图8－49 RL串联电路
正弦交流电路
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
P=UI
=I2R=i U2/2RI
sint
Uu =IRR
u 2U sint
P1 Tpd t1Tuidt
T0
T0
大写 1 T 2UIsin2t dt
T0
1
T
UI(1cos2t)dtUI
T0
§ 3.4 理想电感元件上的正弦稳态响应
一、电压电流关系
即：瞬时值和相量满足基尔霍夫定律，有效值不满足
I1I2I30
I1
I3
I1-I2+I3= 0
I2
U 3
U 4
U 2 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U 1
U 5
U 6
例： i162si nt (3)0
i282si nt (6)0
求i=i1+i2
i
解： I 1 6 3 0 5 .1 9 j3 6
Im[Ime ji e jt ]
复指数函数中的一个复常数
复常数定义为正弦量的相量，记
为
Im
相量 的表示
Im 为“最大值”相量
Im Im eji Im i
I 为“有效值”相量 IIeji Ii
相量是一个复数
注意
1）相量可以代表一个正弦量，但不等于该
正弦量。
U 50ej15° 50
2
sin(
实部是余弦量 虚部是正弦量
则 I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
电工学I(电路与电子技术)[第二章正弦交流电路]山东大学期末考试知识点复习
第二章正弦交流电路2．1．1 正弦量的三要素及表示方法(1)正弦交流电路：如果在线性电路中施加正弦激励(正弦交流电压源或正弦交流电流源)，则电路中的所有响应在电路达到稳态时，也都是与激励同频率的正弦量，这样的电路称为正弦交流电路。
(2)正弦交流电压或正弦交流电流等物理量统称为正弦量，它们的特征表现在变化的快慢、大小及初值3个方面，分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以称频率、幅值(或有效值)和初相位为正弦量的三要素。
(3)因为正弦量具有3个要素，它们完全可以表达对应的正弦量的特点和共性。
所以，只要能够反映出正弦的三要素，就可以找到多种表示正弦量的方法，其常见的表示方法如下。
①三角函数表示法和正弦波形图示法，比如正弦电压u=U m sin(ωt+φ)，其正弦波形如图2．1所示，但是正弦量的这两种表示方法都不利于计算。
②旋转矢量表示法，由于复平面上一个逆时针方向旋转的复数能够反映出正弦量的3个要素，因此可用来表示正弦量。
③相量及相量图表示法，由于正弦交流电路中的激励和响应均为同频率的正弦量，故可在已知频率的情况下，只研究幅值和初相位的问题。
这样，不仅可以用旋转矢量表示正弦量，而且也能把正弦量表示成复数(该复数与一个正弦量对应，称为相量)。
图2．1所示正弦电压的幅值相量和有效值相量分别为2．1．2 电路基本定律的相量形式将正弦量用相量表示有利于简化电路的分析和计算，其中电路分析的基本定律在频域中也是成立的，即为表2．1的电路基本定律的相量形式。
当用相量来表示正弦电压与电流，用复阻抗来表示电阻、电感和电容时，正弦交流电路的分析与计算也就类似于直流电路，复阻抗的串并联等效、支路电流法、叠加定理和戴维宁定理等分析方法均可应用。
为了研究复杂正弦交流电路中激励与响应之间的关系，以及研究电路中能量的转换与功率问题，就必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)元件在正弦交流电路中的特性(见表2．2)，以作为分析复杂正弦交流电路的基础。
第6章(3)正弦稳态电路的功率
1 T P = ∫ p (t )dt = UI cos ϕ = UI λ T 0
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
单位：瓦 (6.5-3)
在正弦稳态情况下，平均功率不仅与电压、电流的有 效值有关，而且与电压、电流的位相差有关。 式中 λ = cos ϕ 称为功率因数(power factor) ϕ = ϕu − ϕi 称功率因数角(power-factor angle) 通常所说的功率，都是指平均功率而言。平均功 率又叫有功功率(active power)。
Q = UI sin ϕ = UI sin ϕ Z
(6.5-27)
②Reactive Power in Terms of Z or Y : 对于不含 独立源的一端口，无功功率也可以 用阻抗或导纳计算。根据式(6.5-6)和(6.5-18)， (6.5-18)，即 2 * * (6.5-28a) Q = Im(UI ) = Im( ZII ) = I Im( Z ) = I 2 X (ω )
p (t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + 2ϕu − ϕ ) = UI cos ϕ + UI cos ϕ cos(2ωt + 2ϕu ) + UI sin ϕ sin(2ωt + 2ϕu )
(6.5-2) 上式中第一项始终大于(或小于、或等于零)，它是 瞬时功率中的不可逆部分；第二项是瞬时功率中的 可逆部分，其值正负交替，说明能量在外施电源和 二端网络之间来回交换。
第六章 正弦电路的稳态分析
注： i) 如果一端口只由R、L、C等无源元件组成，则功率 因数角φ＝阻抗角φZ，且|φZ|≤900，所以平均功率P≥0， 一端口吸收能量。根据能量守恒可知，P为一端口中电阻 元件所消耗的总功率（∵L、C元件不耗能）。 ii) 如果一端口除无源元件外尚有受控源(亦有功率因 数角φ＝阻抗角φZ)， |φZ|可能＞900。其平均功率P为负 值，说明该一端口对外提供能量。 iii) 如果一端口内含有独立电源，则功率因数角φ为 端口电压与端口电流的位相差。P可能为正，也可能为负 值。即一端口可能吸收能量，也可能对外提供能量。
正弦电压和电流
(3) 指数式
A r ejψ
(4) 极坐标式 A r ψ
A a jb r cos j r sin rej ψ r ψ
沈阳航空航天大学
由上可知： 复数由模和幅角两个特征来确定，而正弦量由幅值、角频率、初相
角三个特征来确定。在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的 正弦量，频率是已知的，可以暂不考虑。因此，一个正弦量由幅值(或有 效值)和初相位就可确定。比照复数和正弦量，正弦量可用复数表示。
沈阳航空航天大学
2. 正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量
+j
b
A
复数表示形式
r
设A为复数:
0
a
+1
(1) 代数式 A =a + jb
式中: a r cos ψ b r sin ψ
(2) 三角式
r ψ
a2 b2 arctan
b
a
复数的模 复数的辐角
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
i Im sin t
R
W1 I 2RT
I
T
W1 W2 I 2RT
T i2Rdt
0
直流
交流
I
1 T
T 0
Im2 sin2
ωt
dt
沈阳航空航天大学
Im 2
R
W2
T i2Rdt
0
iT
I 1 T i2dt
T0
有效值的定义式称为方均根值
同理 U Um 2
E Em 2
注意： 交流电压表、电流表测量的数据均为有效值。
沈阳航空航天大学
4.1 正弦电压与电流
设正弦交流电流：
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Um i R (t ) cos( t Ψ u ) R
i( t ) U m (1 R ) 2 (C) 2 cos( t Ψ u arctg(RC))
The branch voltage and current change at the same angular frequency!!!
Feel Safe?
π Um CU m cos( t Ψ u ) R cos( t Ψ u ) 2 U m (1 R)2 (C )2 cos( t Ψ uarctg(RC ))
SCADA/EMS DTS
1. “+”、“－” of sinusoids
i (t ) i1 (t ) i2 (t )＋...＋in (t )
Two pains!
I m1 cos(t i1 ) I m 2 cos(t i 2 ) ...＋I mn cos(t in ) ?
2. Differentiation and integration of sinusoids
duC (t ) iC ( t ) C ? dt
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos( t+ )
1 U T
1 t i L (t) uL ( t )d ? L
iC(t) + _ i(t) iR(t) R C
u(t)
u R (t ) uC (t ) u(t ) U m cos(t Ψ u )
π iC (t ) CU m cos( t Ψ u ) 2
Charles Steinmetz (1865 ～1923)
乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e | A1 | j( θ 1θ 2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | θ 1 θ 2 | A2 |
除法：模相除，角相减。
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠ Im
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos( t+)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω
u, i u i
0
0 j= /2：
t
u, i u
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
t
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
/
tt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i(t)=Imcos( t+)
复数运算 (1)加减运算——采用代数形式 Im A2
图解法
若
则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
若 0
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
A1 A2 1 2
jθ 1
则:
A1 A2 A1 e j1 A2 e j 2 A1 A2 e j (1 2 )
Use complex number to represent sinusoids!!!
2.Review the complex number
Im b Im
A
b
A
|A|
0 a Re
0 a Re
A a jb
A | A | e
j
| A |
3.用复数表示正弦量
A( t ) I m e j( t )
1 f T
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路（正弦 稳态电路）称为正弦电路或交流电路。 (Sinusoidal Steady-State)
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 物 理 意 义 周期电流、电压有效值(effective value)定义
交流电
1. What is AC?
/
i
T
O
t
2. What is first， AC or DC？ 3. Why is AC?
a) Gegerator b) Voltage Transformer
第8章
重点：
相量法
1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
u( t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
4. 问题的解决
(1)正弦量的加减 j t R e ( I e ) 1 i1 (t ) I1m cos( t Ψ1 ) i2 (t ) I 2m cos( t Ψ 2 ) Re( I 2 e j t ) i(t ) i1 (t ) i2 (t ) R ?e( I 1 e jt ) Re( I 2 e jt )
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
U=380V，
Um537V。
8.3 向量法的基础
1. 问题的提出：
已知： u( t ) U m cos(t Ψ u ) 求解各支路电压、电流
+ _ i(t)
u(t)
R
C
du( t ) π 则 iC ( t ) C CU m sin( t Ψ u ) CU m cos( t Ψ u ) dt 2
u (t ) U m 则 iR (t ) cos( t Ψ u ) R R 则 i ( t ) iC ( t ) i R ( t )
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
, e
j
2
cos
j sin
I
j
8.2
1. 正弦量
瞬时值表达式：
正弦量
i
波形： T O
i(t)=Imcos( t+)
正弦量为周期函数
/
t
f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) :
8.1 复数
1. 复数及运算
复数A的表示形式 Im b 0 a A
A=a+jb
(j 1 为虚数单位)
Im b A |A|
Re
0
a
Re
A a jb
j
A | A | e j
A | A | e | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
def
T
0
u ( t )dt
2
1 I T
T
0
I cos ( t Ψ ) dt
2 m 2
T 0
T
0
cos ( t Ψ ) dt
2
1 cos 2( t Ψ ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
欧拉公式: I m cos(t ) jI m sin( t Ψ ) ej =cos +jsin
j( t Ψ )
Re[ A( t )] I m cos( t Ψ ) i(t)