2015年高中数学竞赛试题及答案及答案

已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。

①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。

若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发 已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。

（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。

（-1/9； 9/4） 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案1．A ．解答：当a =2，b =C ：22221x y a b+=经过)；当曲线C ：22221x y a b +=经过点)时，即有22211a b+=，显然2,a b =-=上式。

所以“a =2，b =是“曲线C ：22221x y a b+=经过点)”的充分不必要条件。

2．B ．解答：由题意可知222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。

3． C ．解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n =(1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =-。

因此123cos ,n n <>=，即二面角M -CD 1-A 。

4．C ．解答：由,a b 满足的条件知13ba≤≤，所以2372252a b b a b a+=-≤++，当13(,)(,)22a b =取等号。

5． D ．解答：如图5-1所示， （1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,A P R C Q R B Q R ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==. 又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,ACBP RHB图5-1图5-2所以22221()124PQRABCBC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最大值为14. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+， 因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++， 当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.6. D ．(1)111(1)(21)(1)(1)(21)[(1)1](1)(21)(1)n nx a x x nx x x n x x x nx +-==-+++++-++++ 则20151111(1)(21)(20151)0(1)(21)(20151)k k a x x x x x x ==-<⇔+++>+++∑， 所以111111(1,)(,)(,)(,)234201320142015x ∈--⋃--⋃⋃--⋃-+∞， 经检验只有1160x =-符合题意。

2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2015-06-27）一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为A. 1169B. 367C. 362.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是A.B. C. R3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则A. A B >B. A B ≥C.A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程11cos n m C ρ=-θ表示的不同双曲线条数为A. 6B. 9C. 12D. 155.使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是A.B. D.6.设22{|,,}M x y x y Z =αα=-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为A. 4nB. 4n+1C. 4n+2D. 4n+3二、填空题（每个8分，共6题）7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：8.对任一实数序列123(,,,...)A =ααα，定义△A 为序列213243(,,,...)α-αα-αα-α，它的第n 项是1n n +α-α，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920α=α=，则1α的值为：9.满足使1[]2n I =+为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：11.记集合1234234{0,1,2,3,4,5,6},{|,1,2,3,4}7777i a a a a T M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2015年数是：12.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θ+-θ=≤θ≤π，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点②存在定点P 不在M 中的任一条直线上③对于任意整数(3)n n ≥存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）三、解答题（共4题，满分72分）13.（本小题满分16分）如图所示，AB 为Rt △ABC 的斜边，I 为其内心，若△IAB 的外接圆的半径为R ，Rt △ABC 的内切圆半径为r ，求证：(2R r ≥+.14.（本小题满分16分）如图，A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(,||1)AP BP AQ BQ R +=λ+λ∈λ> 求证：（Ⅰ）三点O 、P 、Q 在同一直线上；（Ⅱ）若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是k 1、k 2、k 3、k 4，则k 1+k 2+k 3+k 4是定值。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m >3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( )．A ．36 B ． 12C ． 33D ．63 4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为( )． A ． 1 B ．54 C ． 75D ． 2 5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( )．A ．12 B ． 13 C ． 14 D ． 156. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ )．A ．32-B ．512-C ．940-D ．1160- 7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( )． A ．1617 B ． 365 C ． 265 D ． 196538．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A第3题图MC 1B 1D 1A 1C D AB中的元素个数为( )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时，点M 的坐标为 ． 12．若22sin cos 161610xx+=，则cos 4x = .13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．14． 已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -=，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为 ．15．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b = 三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16． 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，右焦点为圆222:(3)7C x y -+=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>．四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，213221n n n a a a +=+-，*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<； （2）1221k k k x x x +++>>>；（3）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．。

2015年全国高中数学联赛（B 卷）（一试）一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x xa x f x，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围是2：已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值是4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得121100a a a a k >+⋅⋅⋅++的最小正整数k 的值是6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为7：设P 为椭圆13422=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,， 则1≥+j i OA OA 的概率为 二、解答题9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式； （2）如果存在实数c 使得c a ki i<∑=11对所有正整数k 都成立，求c 的取值范围10：（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值11：（本题满分20分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，存在经过点F的一条直线l 交椭圆于B A ,两点，使得OB OA ⊥，求该椭圆的离心率的取值范围（加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数c b a ,,都有：21)()()()()()(222222≥-+-+--+-+-a c c b b a ab c ac b bc a ，并确定等号成立的充要条件 2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，设I 为其内心，设D 为ABC ∆内的一个点，满足D C B I ,,,四点共圆，过点C 作BD 的平行线，与AD 的延长线交于E 求证：CE BD CD ⋅=23：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组)2015,,)(,,(>c b a c b a 满足：1,1,1++-ab c ac b bc a4：（本题满分50分）给定正整数)2(,n m n m ≤≤，设m a a a ,,,21⋅⋅⋅是n ,,2,1⋅⋅⋅中任取m 个互不相同的数构成的一个排列，如果存在{}m k ,,2,1⋅⋅⋅∈使得k a k +为奇数，或者存在整数 )1(,m l k l k ≤<≤，使得l k a a >，则称m a a a ,,,21⋅⋅⋅是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。

2015高中数学全国联赛b卷试题及答案一、选择题（每题8分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2+ax+b，且f(1)=0，f(3)=0，则a+b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：根据题意，f(1)=0，f(3)=0，代入函数f(x)=x^2+ax+b得1+a+b=0，9+3a+b=0，解得a=-6，b=5，所以a+b=-1。

2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2=3，且对于任意的正整数n，有an+1=2an+Sn，则数列{an}的通项公式为（）A. an=2^n-1B. an=2^nC. an=2^(n-1)D. an=2^n+1答案：A解析：由题意可得a2=2a1+a1=3，a3=2a2+a1=7，a4=2a3+a2=17，可得an=2^n-1。

3. 设f(x)=x^3-3x，g(x)=x^2-2x+3，若方程f(x)-g(x)=0的实根个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：f(x)-g(x)=x^3-x^2-3x-3=(x+1)(x^2-2x-3)=(x+1)^2(x-3)，所以方程f(x)-g(x)=0的实根个数为3。

4. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a^2+b^2+c^2=9，若三角形ABC的面积为S，则S的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由余弦定理可得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2+c^2=9，可得cosA+cosB+cosC=1/2，由正弦定理可得S=1/2bcsinA=1/4*sqrt(4b^2c^2-(b^2+c^2-9)^2)≤3，当且仅当b=c=sqrt(3)时取等号。

5. 设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，若f(-2)=0，f(1)=0，f(2)=8，则a+b+c的值为（）A. 0B. -4C. 4D. 8答案：C解析：由题意可得-8+4a-2b+c=0，1+a+b+c=0，8+8a+2b+c=8，解得a=1，b=-4，c=2，所以a+b+c=-1。

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 .【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 (2)424f a b =++=2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ+的值为 . 【答案】2【解析】由条件知，2cos sin αα=，反复利用此结论，并注意到22cos sin 1αα+=，得2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin αααααααααα++=+=++-=+-= 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 .【答案】2015+1007i【解析】由已知得，对一切正整数n,有211(1)1(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=++++=++ 于是201511007(2)20151007z z i i =++=+ z 学科xx 网k4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .【答案】3422133(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥当t=12时，min 3()4PA PQ ⋅= 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 . 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EF GH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. z 学科xx 网k 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面 积为 . 【答案】247.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 【答案】9513[,][,)424w ∈+∞ 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb ==，而[,][,2],wa wb w w ππ⊆故题目条件等价于：存在整数()k l k l <，，使得222.22w k l w ππππππ≤+<+≤ ⑴当4w ≥时,区间[,2]w w ππ的长度不小于4π,故必存在k,l 满足(1)式. 当04w <<时，注意到[,2]0,8w w πππ⊆（），故仅需考虑如下几种情况: 5)2,22i w w ππππ≤<≤（此时15,24w w ≤≥且无解；59)2,22ii w w ππππ≤<≤（此时有95;42w ≤≤913()222iii w w ππππ≤<≤，此时有13913,4424w w ≤≤≤<得.综合)()(),i ii iii （、、并注意到4w ≥亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞. z 学科xx 网k8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为【答案】285下面计算0||:A 对任一四位数00,abc A b ∈可取0,19⋅⋅⋅，，，对其中每个b ， 由9b a <≤及9b c <≤知，a 和c 分别有9-b 种取法，从而992200191019||=(9)285.6b k b k ==⨯⨯-===∑∑A 因此()()285.N P N Q -=二、解答题（本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9. （本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 【解析】将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >由条件知，222,,x y z x y z +=+=故 2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+ 因此，结合均值不等式可得，4223321111113(2)3222444y y y y y y y y y +=++≥⋅⋅⋅=z= 当212=y y ，即312y =时，z 的最小值为3324.此时相应的x 值为3124，符合要求. 由于2,z c=log 故c 的最小值为32235log (2)log 3.43=- 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=---- 求1234a a a a +++的值.2231412113{,}{,24}{2,},82a a a a a a =--=-- z 学科xx 网k 结合1,a Q ∈只可能11.4a =±由此易知，123411,4,642a a a ==-==-，a 或者123411,4,642a a a =-==-=，a . 经检验知这两组解均满足问题的条件，故12349.4a a a ++=±+a11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（， 即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列知, 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（ 化简并整理得，12)(2)0m k x x -++=（假如m=k ，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件.因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，z 学科xx 网k12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即 由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（），化简得221,4k k >这等价于2||2k > 反之当m,k 满足（3）及2||2k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），21313()().(4)222t t t t⋅+=⋅+d= z 学科xx 网k考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1,3]上单调递减，故由（4）得，(3)(1),f d f <<即(3,2)d ∈.一．（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nnni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：[]2222111[]12()()(1)()(1)nnnni i j i n i i i j a a a n a ====++-≤+∑∑∑∑1,,[],1;[]1,,,122i i n ni i n εε=⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅=-即对取对取符合要求，[].)x x （这里，表示实数的整数部分1事实上，（）的左边为[][]222211[]1[]122(+)+()nn nni j i j nn i i j j a a a a ===+=+-∑∑∑∑[]2221[]12=2(+2)nni j n i j a a ==+∑∑）（[]2221[]122[]([]))(22n ni j n i j n n a a ==+≤∑∑）+2(n-（柯西不等式）[]2221[]12++=2[](+]))([]])2222n ni j ni j n n a a n ==+-=∑∑n 1n 1）2([（利用[ z 学科xx 网k[]2221[]12()([]n ni j n i j n a a x x ==+≤≤∑∑）+(n+1)（利用）[]221n+1(1.ni i a =≤∑（）），所以（）得证，从而本题得证 二、(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,满足对任意,i j A A S ∈,均有ij A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数)1121212={,}.,,k n s A A A A A A A B B B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅设，，在，，中除去，，，12,t C C C n s t ⋅⋅⋅--，，后，在剩下的个集合中，设包含 i k),n-s-t i a x ≤≤的集合有个（1由于剩下的个集合中1i A a 每个集合与的交非空，即包含某个，从而12+.k x x x n s t +⋅⋅⋅+≥--111max ,,i i kn s tx x x n s t k≤≤--=≥--不妨设则由上式知即在剩下的个集合中，1112(1,,),,i t n s tA C i t C C C k--⊆=⋅⋅⋅⋅⋅⋅包含a 的集合至少有个，又由于故，，都 11,a a 包含因此包含的集合个数至少为(1)+(2)n s t n s k t n s t t k k k k ---+--+=≥≥利用()nt s k≥≥利用 三、(本题满分50分)如图,ABC ∆内接于圆,O P 为BC 上一点,点K 在线段AP 上,使得BK 平分ABC ∠,过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ,连结BD 交圆Ω于点E ,连结PE 并延长与边AB 交于点F ,证明:2ABC FCB ∠=∠四、(本题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k :对任意正整数(1)1,2k n n -+不整除()!!kn n . 【解析】对正整数m,设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)(),(1)v m m s m =- z 学科xx 网k().s m m 这里表示正整数在二进制表示下的数码之和1)12)!)!2()(1),!!k n kn kn v k n n n -+≤-（（（由于不整除等价于即22(()!)(!),1kn v kn n v n -≥-进而由（）知，本题等价于 ≥求所有正整数k,使得s(kn)s(n)对任意正整数n 成立.(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅我们证明，所有符号条件的k 为2(2)()a S n S n n =一方面，由于对任意正整数成立，故2.a k =符合条件 22,0,1.a k k q a q =⋅≥另一方面，若不是的方幂，设是大于的奇数 )().)=2)(),a n S kn S n S kn S qn S qn <=下面构造一个正整数，使得（因为（（ ,)().mq m S m S q<因此问题等价于我们选取的一个倍数使得（ z 学科xx 网k212102,u u u u q q --<<由于故正整数的二进制表示中的最高次幂小于，由此2121(01),22t tu u lu ju i j i j t q qαα++--≤<≤-⋅⋅易知，对任意整数，数与的二进制表示中没有相同的项.210,20,1,,1)1tu lu t l t qαα+->⋅=⋅⋅⋅-又因为故（的二进制表示中均不包含，故(0,1,2,).a a =⋅⋅⋅综合上述的两个方面可知，所求的k 为2 z 学科xx 网k。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

（2）考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）1、“a=2，是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b+=∈≠经过点1)”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）A.m>1B.1<m<32C. 32<m<3D.m>33、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）B.124、若实数a ，b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）A.1B.54C.75D.25、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQRABCS S ∆∆的最小值为（ ）A.12B.13C.14D.156、已知数列{a n }的通项a n =(1)(21)(1)nxx x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于（ ）A.32-B.5-C.9-D.11-7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 （ ） A.1617B.365C.265D.196538、若集合A={(m ，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m ∈Z ， n ∈N *}，则集合A 的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(23)=1，则f(10003)=10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3－n 2，n ∈N *，则20151182ii a i =+-∑＝ 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点，点A(3，1)，M 是抛物线上的动点。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( A )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A.解答：当a =2， 2b =曲线C ：22221x y a b+=经过()2,1；当曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1时，即有22211a b+=，显然2,2a b =-=-也满足上式。

所以“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221x y a b+=经过点()2,1”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120o 的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( B )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m > 答案：B.解答：由题意可知：222(1)2(2)(1)(1)m m m m m m m m ++>+⎧⎨+>++++⎩解得312m <<。

3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点，则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C )．A ．36 B ． 12 C ． 33 D ．63答案：C.解答：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,)2D A C D M ，且平面1ACD 的法向量为1n =(1,1,1)，平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =-。

因此123cos ,3n n <>=，即二面角M -CD 1-A 的余弦值为33。