【三明市5月质检】福建省三明市2014届高三5月质量检查(数学文)

2014年三明市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，那么复数(1i)i -等于A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i - 2．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则AB 为A ．{|0}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x >3．观察下列关于变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关4．命题：“0>∀x ，都有02≥-x x ”的否定是A ．0x ∀≤，都有20x x ->B ．0x ∀>，都有02≤-x x C ．0∃>x ，使得02<-x x D ．0x ∃≤，使得20x x -> 5．函数32()34f x x x =-+-的单调递增区间是 A ．(,0)-B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(2,)+ 6. 某程序框图如图所示，若输入2x π=，则该程序运行后输出的b a ,值分别是 A ．0,1 B. 1,1 C. 1,0 D. 0,7．直线0x y +=与圆22(2)4x y -+=相交所得线段的长度为A．2BC ．2 D．8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是A．1B ．2C．22+ D ．329．若y x ,均为区间)1,0(的随机数，则20x y ->的概率为 A ．81B ．41 C ．21D ．4310. 对于函数()f x 在定义域内的任意实数x 及(0)x m m +>，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>成立，则称函数()f x 为“Z 函数”.现给出下列四个函数：(0),()(0);x g x x ≥=<⎪⎩()()ln 0,()ln()0;x x u x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩1()h x x x =+；()cos v x x =. 其中是“Z 函数”的是A ．()g xB ．()h xC ．()u xD ．()v x正视图俯视图侧视图11．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则ED EB ⋅的取值范围是 A ．23[,3]16 B ．23[,2]16 C ．3[,3]2D ．[2,9] 12．设函数()f x 的导函数为()f x '，那么下列说法正确的是A.若()'0f x= ，则x 是函数()f x 的极值点B. 若x 是函数()f x 的极值点，则()'0f x=C. 若x 是函数()f x 的极值点，则()'f x 可能不存在D.若()'0f x =无实根 ，则函数()f x 必无极值点第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．在等差数列{}n a 中，若34=a ,则=7S ．14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为,,21e e 则12e e ⋅=______.15．已知0,0,a b >>若直线01:21=++y a x l 与直线03)1:22=+-+by x a l （互相垂直，则ab 的最小值是 ．16．定义(,)n F A B 表示所有满足{}12,,,n AB a a a =⋅⋅⋅的集合,A B 组成的有序集合对(,)A B 的个数．试探究12(,),(,),F A B F A B ⋅⋅⋅，并归纳推得(,)n F A B =_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从 高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份0.010.010.03试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分 布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6.（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数； （Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率. 18．（本小题满分12分）将数列{}n a 按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数125,,,a a a ⋯构成公差为d 的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成公比为q 的等比数列.若11=a ，43=a ，53a =. （Ⅰ）求q d ,的值； （Ⅱ）求第n 行各数的和T .19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，且22==AD DC ，2:1:=EC PE PC E 上一点，为，（Ⅰ）求证：；平面PAB DE //（Ⅱ）；平面求证：平面ABC PDB ⊥（Ⅲ） 若32==AB PD ，， 60=∠ABC ，求三棱锥ABC P -的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线22y px =（0p >）的准线与x 轴交于点(1,0)M -．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标； （Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB （直线与抛物线交于点A ，B ），使得三角形MAB 的面积1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a……PABECDMAB S D =？若存在，请求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设向量12(,),a a =a 12(,)b b =b ，定义一种向量积1212(,)(,)(,)a ab b ab a b⊗=⊗=a b ． 已知向量1(2,)2=m ，(,0)3π=n ，点),(00y x P 为x y sin =的图象上的动点，点),(y x Q为)(x f y =的图象上的动点，且满足OQ OP =⊗+m n （其中O 为坐标原点）． （Ⅰ）请用0x 表示OP ⊗m ；（Ⅱ）求)(x f y =的表达式并求它的周期；（Ⅲ）把函数)(x f y =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.设函数=)(x h t x g -)(()t ∈R ，试讨论函数)(x h 在区间[0,]2π内的零点个数.22．（本小题满分14分）已知函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件：1212ln()ln ln 2x x x x ⋅=⋅+.（ⅰ）求m 的值；（ⅱ）求证：点A ，B ，(,())P m f m 是三个不同的点，且构成直角三角形．2014年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．A 11．A 12．B 二、填空题：13．21； 14．1； 15．2； 16．3n． 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：样本的众数为75． ……………………………3分（Ⅱ）由频率分布直方图可得：第三组[50,60)的频率：0.012100.12⨯=， 所以6n =÷， ………………………………………………………………4分∴第四组[80,90)的频数：0.024105012⨯⨯=；第五组[90,100]的频数：0.01610508⨯⨯=； 用分层抽样的方法抽取5份得： 第四组[80,90]抽取：125320⨯=；第五组[90,100]抽取：85220⨯=． …………7分记抽到第四组[80,90)的三位同学为123,,A A A ，抽到第五组[90,100]的两位同学为12,B B则从5个同学中任取2人的基本事件有：1213111223(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A A2122(,),(,)A B A B ，313212(,),(,),(,)A B A B B B ，共10种．其中分数在[90,100]恰有1人有：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，共6种．∴所求概率：63105P == ． ………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）依题意得512a a d =+，312d ∴=+，所以1d =． ……………………………………………2分又321()a a q a d q ==+，2q =，所以qd ,的值分别为1,2． …………………………………6分（Ⅱ）记第n 行第1个数为A ，由（1）可知：1(1)A a n d n =+-=， ………………7分又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列， 所以第n行共有(2n -个数， ………………………………9分∴第n 行各数为以n 为首项，2q =为公比的等比数列， 因此其总数的和2121(12)212n n n T n n ---==--． …………………………12分19．解：（Ⅰ）2,//PE ADDE PA EC DC==∴，……2分 ,PAB DE 平面⊄ ,PAB PA 平面⊂；平面PAB DE //∴ ………………3分（Ⅱ）因为平面⊥PAC 平面ABC ，PE且平面PAC 平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ， ……………6分又⊂PD 平面PAC ，所以平面⊥PAC 平面ABC ．…………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知PD ⊥平面ABC ．法一：ABC ∆中，,3=AB ,60=∠ABC 3=AC ，由正弦定理ABC AC ACB AB ∠=∠sin sin ，得1sin 2ACB ∠=，因为AC AB >，所以ACB ABC ∠<∠，则6A C B π∠=，因此2CAB π∠=， …………8分△ABC 的面积233332121=⋅⋅=⋅=∆AB AC S ABC ． …………………………10分 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． …………………………12分法二：ABC ∆中，3=AB ，60=∠ABC 3=AC ，由余弦定理得：60cos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ，所以260AC -=，所以AC AC ==舍去）． …………………………………8分 △ABC 的面积233233232160sin 21=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆ BC AB S ABC ． ……………10分 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． ……………………12分20．解法一：（Ⅰ）由已知得：12p -=-，从而抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ． ……………………4分（Ⅱ）由题意，设:AB 1x ty =+，并与24y x =联立，得到方程：2440y ty --=， …………………………………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y ⋅=-．…………………7分121||(||||)2MAB MAF MBS S S S MF y y D D D =+=?∵120y y ⋅<，∴12||||y y +12||y y =-==， ……9分又||2MF =，∴122MAB S D =创=……………………………………10分解得1t = ， ………………………………………………………………11分故直线AB 的方程为：1x y =±+．即10x y +-=或10x y --=．…………………12分解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）当AB x ⊥轴时，||24AB p ==，11||||24422MAB S MF AB D =?创=， 不符合题意． ……………………………………………………………5分故设:AB (1)y k x =-（0k ¹），并与24y x =联立，得到方程：2222(24)0k x k x k -++=， ……………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k++=，121x x =． …………………7分12||=AB x x p ++224(1)=k k +， 点M到直线AB的距离为d ==， ………………9分∴221141||22MAB k S AB dk D +=?创（）== …………10分 解得1k = ， …………………………………………………………11分故直线AB的方程为：(1y x =±-．即10x y +-=或10x y --=． ………12分21．解：（Ⅰ）000011(2,)(2,sin )22OP x y x x ⊗==m ，……………2分（Ⅱ）OQ OP =⊗+m n ， 所以011(,)(2,sin )(,0)(2,sin )2332x y x x x x ππ=+=+，……………………4分 因此002,31sin ,2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即03,2sin 2,x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………………………………6分所以11()sin()226y f x x π==-，它的周期为4π． ………………………………8分（Ⅲ）)62sin(21)(π-=x x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递减， 又111(0),(),()43224g g g ππ=-==， ……………………………10分时，或当4141-21<≤=t t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内只有一个零点； 时，当2141<≤t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内有两个零点； 当14t <-或14t >时，函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内没有零点． …………………………12分22． 解：（Ⅰ）e()ln f x x x'=-， ……………………………………2分(1)e f '=-，又(1)e 1f =-， …………………………………………4分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(e 1)e(1)y x --=--，即e 2e 10x y +-+=． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）对于e ()ln f x x x'=-，定义域为(0,)+ ． 当0e x <<时，ln 1x <，e 1x -<-，∴e ()ln 0f x x x'=-<； 当e x =时，()110f x '=-=；当e x >时，ln 1x >，e 1x ->-，∴e ()l n 0f x x x '=->， ………………8分所以()f x 存在唯一的极值点e ，∴e m =，则点P 为(e,0)． …………………9分（ⅱ）若1e x =，则122ln ln 1x x x =+，122ln ln 2ln 2x x x ⋅+=+，与条件1212ln ln ln 2x x x x ⋅=⋅+不符，从而得1e x ¹．同理可得2e x ¹． ………………………………………………10分若12x x =，由1212l n l n l n 2x x x x ⋅=⋅+211(ln )2ln 20x x ⇒-+=，此方程无实数解， 从而得12x x ¹． ………………………………………………………11分由上可得点A ，B ，P 两两不重合．又1122(e,())(e,())PA PB x f x x f x ⋅=-⋅-121212(e)(e)(e)(e)(ln 1)(ln 1)x x x x x x =--+----121212(e)(e)(ln ln ln 2)x x x x x x =---+0=从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形． ………………………14分。