五年级奥数分数应用题(一)教师版

1. 分析题目确定单位“1”2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题3. 抓住不变量，统一单位“1”一、知识点概述：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。

在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a 是b 的几分之几，就把数b 看作单位“1”．（2）甲比乙多18，乙比甲少几分之几？方法一：可设乙为单位“1”，则甲为19188+=，因此乙比甲少191889÷=.方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少1199÷=.二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。

例如：我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。

解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。

有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。

在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。

这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。

（三）、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。

工程问题（一）知识框架工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．（1） 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（2） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； （3） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（4） 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．一、工程问题基本题型【例 1】 甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了225小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 乙单独加工，每小时加工11181224-= 甲调出后，剩下工作乙需做21184(12)58245-⨯÷=时所以乙每小时加工零件84420255÷=(个)，则225小时加工2252605⨯=(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480(个)．【答案】480【巩固】 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。

用分数来解答的应用题叫做分数应用题， 数应用题有以下三种基本类型：求一个数是另一个数的几分之几；求一个数的几分之几是多少；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。

与百分数有关的应用题叫做百分数应用题。

分分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，他有其自身的特点和解题规律。

在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间 的对应是解题的关键。

实际上分数（百分数）应用题涉及的知识面广，数量关系变化多端， 有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，通过分析推理，弄清量与分率的对应关系， 将复杂的分数应用题转化为上述三种类型，然后依据有关的数量关系解答应用题。

在日常生活、生产当中会经常需要利用分数应用题的解题方法解决实际问题。

这两讲我们一起来探讨一下分数应用题的解题规律。

11 例1新华书店运来一批图书，第一天卖出总数的 丄多16本,第二天卖出总数的 -少882本,还余下67本。

这批图书一共多少本 ？分析：解答此题的关键是要找出实际数量的对应分率。

从含有倍数关系的句子可以看出 图书的总数为“单位 1”。

现在找出题中所给的数量与“单位1”之间的关系，见线段图：单佐（7本）_____ 亠 _____ tI 、金下6T 本1 1113 3 从图中可以看出卖出总数的 丄和1后，余下的分率是1 - 1 — 1=-，与-相对应的数 8 28 2 88量是（67 — 8 + 16），从而可以求这批图书。

1 1解答：（67 — 8 + 16） - 1— — - =200 （本）8 2答：这批图书共有200本。

说明：我们还可以通过另一种方法找出量率对应。

根据题意，我们可以列出下面的等式：1 1 总数的丄+ 16本+总数的 —— 8本+余下的67本=“单位1” 82将等式变形，量率分别放在等号的两边：11学科：奥数教学内容：第九讲分数应用题（一）16本一8本+余下的67本=“单位1 ”一总数的丄一总数的—8 21 1 3从上面的式子中可以看出，(67 —8 + 16)就是这批图书的1 —-—丄=3，因此列式为：8 2 81 1(67 —8 + 16) - 1 ——- =200 (本)8 2这种方法比较简单直观，思维比较顺畅，只要把题目的叙述翻译成等式即可。

五年级奥数经济问题（一）教师版2. 建立条件之间的联系,列出等量关系式。

3. 用解方程的方法求解。

4. 利用分数应该题的方法进行解题一、经济问题主要相关公式：=+售价成本利润,100%100%-=⨯=⨯售价成本利润率利润成本成本； 1=⨯+售价成本（利润率）,1=+售价成本利润率 其它常用等量关系：售价=成本×（1+利润的百分数）；成本=卖价÷（1+利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金×利率×期数；含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；二、经济问题的一般题型[1]直接与利润相关的问题：直接与利润相关的问题,无非是找成本与销售价格的差价。

[2]与利润无直接联系,但是涉及价格变动的问题：涉及价格变动,虽然没有直接提到利润的问题,但是最终还是转化成[1]的情况。

三、解题主要方法1．抓不变量[一般情况下成本是不变量]；2．列方程解应用题．摸块一,物品的出售问题 例题精讲知识点拨教学目标经济问题（一）（一）单纯的经济问题【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱,这些皮箱共卖了6300元。

这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？【考点】经济问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 6300-60×80=1500（元）【答案】1500【例 2】 某商品价格因市场变化而降价,当初按盈利27%定价,卖出时如果比原价便宜4元,则仍可赚钱25%,求原价是多少元？【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=,当初利润为：20027%54⨯=（元）所以原价为：20054254+=（元）【答案】254【例 3】 王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个,按照定价卖出了全部菠萝的45后,被迫降价为：5个菠萝只卖2元,直至卖完剩下的菠萝,最后一算,发现居然不亏也不赚,那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个．【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 降价后5个菠萝卖2元,相当于每个菠萝卖0.4元,则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元,由于最后不亏也不赚,所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等,而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍,所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元,开始的定价为：20.4 2.4+=元．【答案】2.4【例 4】 昨天和今天,学校食堂买了同样多的蔬菜和肉,昨天付了250元,今天付了280元,原因如图所示,那么,今天蔬菜付了 元。

第四讲 分数应用题一、量率对应 解答分数应用题首先应从分率入手找出单位“1”的量，如果单位“1”的量已知则用乘法解，如果单位“1”的量未知，则用除法解。

（1）已读了多少页？例1一本书30页，已读了52， （2）还剩下多少页？（3）已读的比剩下的少多少页？全书的分率：（ ）；已读的分率：（ ） 剩下的分率：（ ）；已读比剩下少的分率：（ ）练习1（1）白花多少朵？红花有60朵，白花比红花多61， （2）白花比红花多多少朵？（3）两种花一共有多少朵？ 红花的分率：（ ）；白花的分率：（ ）； 白花比红花多的分率；（ ）；两种花一共的分率：（ ）例2一辆汽车4小时行了全程的31，照这样的速度，再行几小时到达？练习2：六（1）班，男生比女生少8人，女生比男生多31，全班多少人？例3 小红看一本小说，第一天看总页数的121还多19页，第二天看的比总页数的81少17页，还余下93页，这本书共多少页?练习3一批木料，先用去总数的52，又用去总数的94，这时用去的比剩下的多21方，这批木料共多少方?二、抓不变量：解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变量，把不变的量看做单位1,将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位1的几分之几，再列式解答。

例1：晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的41，第二天看了的52，第二天比第一天多看了15页。

这本书共有多少页？练习1：有一批货物，第一天运了这批货物的41，第二天运的是第一天的53，还剩90吨没有运。

这批货物有多少吨？例2：甲数是乙数的32，乙数是丙数的43，甲、乙、丙的和是216。

甲、乙、丙各是多少？练习2：甲数是乙数的65，乙数是丙数的43，甲、乙、丙的和是152。

甲、乙、丙各是多少？例3：牛的头数比羊的头数多20%，羊的头数比牛的头数少几分之几？练习3：甲仓存粮的吨数比乙仓的少25%，乙仓存粮的吨数比甲仓多几分之几？例4：某工厂有三个车间，第一车间的人数占总人数的41，第二车间人数是第三车间的43。

第七讲 简单的分数应用题（一）一、基础知识：1、分数应用题的一般关系式是：表示单位“1”的量（标准量）×分率=分率的对应量。

2、解题思路：①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。

分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。

）单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。

②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×”。

表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。

③解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。

二、例题解析：（一）基本方法例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。

①一只鸡的重量是鸭的。

把( )平均分为3份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的2份，2/3对应的数量是（ ）。

②甲的相当于乙。

把( )平均分为5份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/5对应的数量是（ ）。

③现价是原价的。

把( )平均分为40份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/40对应的数量是（ ）。

现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。

④小红的书比小明少。

把( )平均分为8份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的7份，7/8对应的数量是（ ）。

小明的书对应的分率是（ ）。

例2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。

（1）白兔只数的125是黑兔的只数。

（2）已经修了公路全长的2110。

（3）二班植树棵数相当于一班的2110。

（4）今年棉花产量比去年增加85。

（4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜517。

（6）还剩这堆煤的157。

例3、小王买了一个本子和一支钢笔。

本子的价格是1 元，钢笔的价格比本子的价格多，钢笔的价格是多少元？例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。

一条裤子是一件上衣价格的2/3，一件上衣多少元？例5、商店运来一批水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的3/4，梨的筐数同时又是桔子的3/5。

- 1 -分数计算（一）学习提示：在分数四则混合运算中，按照四则运算的顺序进行计算的同时，如果能够根据数据特点灵活运用定律，可以使计算更简便、迅速。

这一点在一定程度上反映一个人智商的高低和知识掌握的灵活程度。

典型题解 例1 20111934113.00320919195÷⨯⨯ 分析 我们在五年级学过数的整除，看到209、119、195这样的数，不难想起7、11、13、19等质数，3.003好象与1001有关系，它可是有7、11、13这三个质因数，好象能约分，可以试一试。

2500193430032091191951000=⨯⨯⨯原式 250019217371113111971735131000⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ = 1太好了，约完分正好等于1。

看到一个数字，你能想起哪些数学知识，这也可以说是数感吧！ 例2 200412004200420052006÷+分析：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。

分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。

12006⨯÷+20042006原式=20042005 1200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 真好，又等于1。

聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 例3 131.87.919944.3 2.14⨯+⨯+⨯ 分析 算式是乘加乘的形式，有可能运用乘法分配律，第一个乘法算式与第三个乘法算式中分别有两个因数7.9和2.1，但是另一个因数不相同，可以把44.3拆成31.8与12.5的和后反复运用乘法分配律。

131.87.9199(31.812.5) 2.14⨯+⨯++⨯原式=- 2 -131.87.919931.8 2.112.5 2.14131.8(7.9 2.1)19912.5 2.1431819(8 1.25) 1.25 2.131819819 1.25 1.25 2.1318152 1.25(1921)31815250520⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯=+⨯++⨯=+⨯+⨯+⨯=++⨯+=++==怎么样，合理运用和、差、积、商的变化规律进行拆分、转化创造条件运用运算定律，可以使计算变的简单吧。