湖南省娄底市双峰一中2020-2021学年高二上学期9月入学考试数学试题

2020-2021学年湖南省娄底市第一中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.【考点】本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】B【解析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【详解】解：因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，所以低于60分的人数频率为20(0.010.005)0.3⨯+=，所以该班的学生人数是1550 0.3=．故选B．本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．属于基础题. 3．若函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，直线6x π=是它的一条对称轴，则4f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】结合函数的图象与已知条件,求出函数的周期,确定,ωϕ得到函数的解析式，即可求出答案. 【详解】解：结合图像可知，当6x π=，此时函数取到最大值1，故541264T πππ=-=，∴T π=， 由2ππω=得2ω=，又“五点法”得5212πϕπ⨯+=，得6π=ϕ， 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴sin 2446f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin cos 266πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 故选C ． 【点晴】利用对称轴结合图象求出周期是本题的关键,考查计算能力,属于基础题. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，33S =则7a =（ ） A ．6B ．7C ．11D ．9【解析】根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程解首项与公差，最后再根据通项公式计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得5147a a d =+=①，31333S a d =+=②，①和②联立得11a =-，2d =， 所以71611a a d =+= 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查运算能力，是基础题.5．在ABC 中，D 是AB 边上靠近点A 的三等分点，E 是CD 的中点，则BE （ ） A ．5162AB AC -+ B ．5162AB AC - C ．1132AB AC - D ．1132AB AC -+ 【答案】A【解析】依题意可得23BD AB =-，根据平面向量的加减运算法则计算可得； 【详解】解：由已知可得23BD AB =-，BC AC AB =-， 因为E 是CD 的中点， 所以11251()22362BE BD BC AB AC AB AB AC ⎛⎫=+=-+-=-+ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题.6．已知在ABC 中，b =2c =，30C =︒，那么解此三角形可得（ ）A ．一解B ．两解C ．无解D ．解的个数不确定 【答案】B【解析】先由正弦定理得到60B =或120，再分析得到两解都满足题意得解. 【详解】1sin 2,sin sin sin 22b c b CB BC c=∴===． 所以60B =或120.,b c B C >∴>,所以两解都满足题意.故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的解的个数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知角α的终边上有一点()P ，则3πsin 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．79-C．13 D ．79【答案】C【解析】由角终边上点的坐标，可求出cos α=，结合诱导公式和二倍角公式，可求出3πsin22α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【详解】解：由题意知cos α==，则23π1sin 2cos 212cos 23ααα⎛⎫+=-=-= ⎪⎝⎭．故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解，考查了诱导公式，考查了二倍角公式.本题的易错点是计算.一般地，若已知角α终边上一点坐标(),P x y，则由sin cos tan y x ααα⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩可求三角函数值.8．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（ ） A ．19和2 B ．19和3C ．19和4D ．19和8【答案】C【解析】根据平均数和标准差的性质可得选项. 【详解】解：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，∴121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=，4=． 故选：C ． 【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199C ．200D ．201【答案】A【解析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <，当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <；又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．10．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan a b c B -+=，则角B 的值为（ ） A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 【答案】D【解析】先根据余弦定理进行化简，进而得到sin B 的值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后答案． 【详解】解：由()222tan a c b B +-=，∴222cos 22sin a c b Bac B+-=，即cos cos 2sin BB B=，因为B 为三角形的内角，所以cos 0B ≠，sin 0B >，∴sin B =，又在ABC 中，所以B 为3π或23π ， 故选:D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．11．已知向量(22cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( ) A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 【答案】D 【解析】【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π==+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项. 12．在数列{}n a 中，113a =，且(21)n n S n n a =-，通过求2a ，3a ，4a ，猜想n a 的表达式为（ ） A ．1(1)(1)n a n n =-+B ．12(21)n a n n =+C ．1(21)(21)n a n n =-+D ．1(21)(22)n a n n =++【答案】C【解析】由已知求得2111535a ==⨯，3113557a ==⨯，4179a =⨯，可以猜想得选项. 【详解】 解：由113a =，(21)n n S n n a =-，得222(221)S a =⨯-，即1226a a a +=， ∴2111535a ==⨯，333(231)S a =⨯-，即331115315a a ++=， ∴3113557a ==⨯，4179a =⨯， 由此猜想1(21)(21)n a n n =-+．故选C ．【点睛】本题考查由n n a S ，之间的关系式，求数列的前几项，猜想数列的通项公式，属于基础题.二、填空题13．设平面向量(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，若()//+a b c ，则实数m =__________ ．【答案】-1【解析】先由向量的线性运算求得向量a b +，再根据向量平行的坐标条件求得答案. 【详解】解：(2,1)a =-，(1,)b m =-，(1,2)c =-，∴(1,1)a b m +=-， ∵()//+a b c ，∴(1)2m --=， 解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量平行的坐标条件，属于基础题.14．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为__________．【答案】3【解析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】 解：3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144m m y ++++==，又回归直线必过样本点的中心(),x y ， 所以110.7 4.50.354m +=⨯+，所以3m =． 故答案为：3. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，解题关键是理解样本中心点在线性回归直线上，属于基础题．15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--，所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】在ACE △中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在BCF △中利用余弦定理可求得cos FCB ∠的值.【详解】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，6BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，向量2AB a b =-，3CD a b =+．（1）若a 与b 的夹角为60︒，求a b -的值；（2）若AB CD ⊥，求向量a 与b 的夹角θ的值．【答案】（1（2）120θ．【解析】（1）根据向量的模的计算公式直接计算即可得答案；（2）由向量AB CD ⊥得()()230a b a b -⋅+=，再结合已知化简求值即可.【详解】解：（1）21cos601a b ⋅=⨯⨯︒=．∴222||24213a b a a b b -=-⋅+=-+=． ∴3a b -=．（2）∵AB CD ⊥，∴·0AB CD =，即()()23a b a b -⋅+ 22253a a b b =+⋅-810cos 30θ=+-=．∴1cos 2θ=-，又[]0,180θ∈︒︒ ∴120θ．【点睛】 本题考查利用向量数量积求向量的模，根据向量垂直求向量夹角问题，考查运算能力，是基础题.18．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅ （1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期.（2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间.【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈ 解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【点睛】 本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知375,49a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n a n =- (2) 21n n T n =+ 【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组，求出首项与公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，得到11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，进而可求出前n 项和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意可得1125767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-；()2由()1得()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 从而1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型．20．《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：年龄x 20 30 40 50每周学习诗词的平均时间y 33.5 3.54 由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式：()1221ni i i n i i x y nx y b xn x ==-⋅=-∑∑，a y bx =-【答案】（1）35（2）0.03 2.45y x =+；4.25小时 【解析】（1）由题，列出不等式7879828180737778868055x +++++++++>，解得x 的取值范围，即可得到本题答案；（2）由()1221ni i i n i i x y nx y b xn x ==-⋅=-∑∑，a y bx =-，求得线性回归方程，然后令60x =，即可得到本题答案.【详解】（1）设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x +++++++++>， 6x ⇒<，即0,1,2,3,4,5x =，63105P ∴==； （2）()120304050354x =+++=， ()13 3.5 3.54 3.54y =+++=， 4490x y ∴=，又4120330 3.540 3.5504505i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 4222221203040505400i i x==+++=∑，25054900.035400435b -∴==-⨯， 3.50.0335 2.45a ∴=-⨯=，0.03 2.45y x ∴=+，60x ∴=时， 4.25y =.答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.【点睛】本题主要考查与平均数相关的计算以及线性回归方程的求法，属基础题.21．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b，求ABC 的面积；（2）若sin AC=2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【解析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.22．已知数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，11a =． （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）求数列2nn nb a =的前n 项之和n S ． 【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22n n S n +=-⨯+．【解析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到1111n n a a ，从而得解；（2）利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）依题意，11111n n n n a a a a ++==+，也即1111n n a a ，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知11(1)nn n a =+-=， 所以2n n b n =⨯，因此1231222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两边同乘以2得：234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 两式相减得：()123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⨯()112122(1)2212n n n n n ++-=-⨯=-⨯--，因此1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.。

2021年高二9月入学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共120分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题．每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设a＞0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于( )A. B.- C. D. -2、如果sin x+cos x=-,且0<x<π,那么cot x的值是( )A.-B.-或-C.-D. 或-3、已知向量，则下列选项中与共线的一个向量为A． B． C． D．4、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a∩b或a,b异面②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有：A. 0个B. 1个 C .2个 D. 3个5、平面向量与的夹角为，，则A． B. C. 4 D. 126．一个容量为60的样本数据分组后,分组与频数如下:[10,20),6; [20,30),9; [30,40),12; [40,50),15; [50,60),12; [60,70),6, 则样本在[10,30)上的频率为A. B. C. D.7、某校五四演讲比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：90 86 90 97 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A.B. C. D.8、函数是A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数9、为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是A.36B.40C.48D.5010.设是将函数向左平移个单位得到的，则等于A.B.C.D.11函数y=3sin的单调递增区间是（）。

湖南省娄底市双峰县双峰一中2020—2021学年高二语文9月入学考试试题时量：150分钟满分：150分一、现代文阅读(24分）(一)论述类文本阅读（本题共3小题,9分）阅读下面的文字,完成1~3题。

科学思想的作用是惊人的。

在17、18世纪,科学思想的飞跃式发展引发了第一次工业革命，蒸汽机、火车等相继出现,带动了社会体系的全面革新。

借助强大的科技、经济和军事实力,英国迅速崛起成为当时的超级帝国。

19 世纪,法拉第电磁感应定律等科学规律陆续被发现，新发明层出不穷,人类进入了“电气时代”。

这一时期技术突飞猛进，并被迅速应用于工业生产，美国、德国在第二次工业革命中成为新兴的超级大国，国家实力大大增强。

20世纪四五十年代开始,人类进入了以核能、计算机、航天技术为标志的第三次工业革命。

这次工业革命的重大推动力量源自相对论、量子力学等重大科学理论思想,科学在推动生产力发展当中的作用越来越重要,对人类文明的影响也愈加深远。

然而,在客观规律和原理的探索、在科学理论的系统研究方面，我国古代并不占先机。

“科学"一词是在近代才从国外传到我国的.虽然我国古代“四大发明”闻名于世，但这些发明从本质上说仅限于“实用技术"层面，并不涉及“科学原理”或“科学思想”的层面。

比如古人制造火药，他们知道什么东西配对可以导致燃烧甚至爆炸,但是为什么会爆炸，爆炸的原理是什么，古人并不作探究。

后来火药技术传到西方,西方人深入研究找到了爆炸的原理，形成系统的科学思想理论，促进了西方世界生产、生活方式的巨大变革。

中国相对落后于正发生科学革命的西方国家，虽然这其中还有文化、社会制度等因素的复杂影响,但科学思想不彰无疑是近代中国落后于世界主要发达国家的重要因素.科学思想既指一种创新思维,也指具体科学门类中的理论成果。

作为一种思维方式,科学思想以逻辑思维、好奇心、批判性思考、想象力为特征，是对万事万物运行规律的无穷探索.科学思想的源头是基础研究。

湖南省娄底一中2020-2021学年高二数学上学期9月月考试题（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为A. 10B. 9C. 8D. 7某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是A. 45B. 50C. 55D. 603.若函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则A.B.C. D.4.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 6B. 7C. 11D. 95.在中，D是AB边上靠近点A的三等分点，E是CD的中点，则A. B. C. D.6.已知在中，，，，那么解此三角形可得A. 一解B. 两解C. 无解D. 解的个数不确定7.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.8.已知，，，的平均数为10，标准差为2，则，，，的平均数和标准差分别为A. 19和2B. 19和3C. 19和4D. 19和89. 若是等差数列的前n 项和，其首项，，，则使成立的最大自然数n 是A. 198B. 199C. 200D. 20110. 在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角B 的值为A. B. C. 或 D. 或11. 已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 最小正周期为D. 在上是增函数12. 在数列中，，且，通过求，，，猜想的表达式为A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设平面向量，，，若，则实数__________ ．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为，那么表中m 的值为__________．15. tan(),tan(),tan()5444αββα+=-=+=已知则__________ 16. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. （10）已知向量，满足，，向量，．若与的夹角为，求的值；若，求向量与的夹角的值．18. （12）已知。

2020—2021学年第一学期开学考试高二数学试题测试范围:数学必修二（第二，三,四章）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列选项中能得到平面a 〃平面3的是（）A.存在一条直线a, a//a,B.存在一条直线a, aua, a///?C.存在两条平行直线”，b, aua, buR, a///?, b//aD.存在两条异面直线〃，b, aua, buR, a///?, b//a2.若两个平而互相垂直，第一个平面内的一条直线“垂直于第二个平面内的一条直线〃，那么（）A.直线〃垂直于第二个平面B.直线b垂直于第一个平面C.直线a不一定垂直于第二个平面D. “必定垂直于过b的平而3.以力（1,3）, 8（-5,1）为端点的线段的垂直平分线的方程是（）A. 3x-y-8 = 0B. 3x + y + 4 = 0C. 3x-y+ 6 = 0D. 3% + y + 2 = 04.已知直线丘— y + 2=0和以M（3,—2）, N（2,5）为端点的线段相交，则实数人的取值范围为（）A.yB.C. D. k<-^>\5.两平行直线5x + 12y + 3 = 0与10% + 24y + 5 = 0间的距离是（）A.三B.去C.2D.13 13 26 266.直线5% + 12y - 8 = 0与圆（X - l）2 + （y+ 3）2 = 8的位置关系是（）・.A.相交且直线经过圆心C.相切B.相交但直线不经过圆心D.相离7 .若直线(1 + a)x +y + 1 = 0与圆％2 + y2 - 2% = 0相切，则实数a 的值为()A. 1 或 7B. 2 或一2C. 1D. -18 .已知圆M ：/ + y2-4y =。

，则加(工一1)2 +。

-1)2= i,则圆M 与圆N 的公切线条数是()A. 1B. 2C. 3D.49 .如图，在正方体A8CD - 4BiGDi 中，点E, F, G 分别是棱&BJ, 8%的中点，给出下列四个推断：①FG 〃平面力4。

湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第二次单元测试试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，则的虚部为A. 2B.C. 1D.3.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.4.已知空间三点1，，3，，5，在一条直线上，则实数k的值是A. 2B. 4C.D.5.5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种6.已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.7.在平行四边形ABCD中，已知，，，若，，则A. 2B.C. 3D.8.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.若，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.10.已知双曲线C过点且渐近线为，则下列结论正确的是A. C的方程为B. C的离心率为C. 曲线经过C的一个焦点D. 直线与C有两个公共点11.在正方体中，P，Q分别为棱和棱的中点，则下列说法正确的是A. 平面B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形C. 平面D. 异面直线与所成的角为12.已知函数有两个零点，且，则A. B.C. D. 的值随m的增大而减小三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线的准线方程为______；14.某班从4名男生和3名女生中选出3名志愿者，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．15.二项式的二项展开式中的常数项是________．16.已知函数，下列命题正确的有______写出所有正确命题的编号是奇函数；在R上是单调递增函数；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么k的最大值为2．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足．Ⅰ若，且p，q都为真命题，求实数x的取值范围；Ⅱ若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18.已知函数在与处有极值．求函数的解析式；求在上的最值．19.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，，，且，O为AC中点．Ⅰ证明：平面ABC；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．20.如图，互相垂直的两条公路AM，AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求点P在射线AM上，点Q在射线AN上，且PQ过点C，其中，记三角形花园APQ的面积为S．当DQ的长度是多少时，S最小？求S的最小值．要使S不小于，则DQ的长应在什么范围内？21.已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线的准线上，且椭圆C过点，直线与椭圆C交于A，B两个不同点．求椭圆C的方程；若直线的斜率为，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为，，求的值．22.已知函数．讨论的单调性；若恒成立，求a的取值范围．参考答案1-5 BADCD6-8 CBD9.【答案】BCD10.【答案】AC11.【答案】ABD12.【答案】BCD13.【答案】【解析】解：抛物线的标准方程为：，所以抛物线的准线方程为：．故答案为：．直接利用抛物线方程，转化求解准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．14.【答案】30【解答】解：7人选3人共有种选法，其中全为男生有种，全为女生有种，所以既有男生又有女生有种，故答案为30．15.【答案】15解：由题意得，的展开式的通项，令，二项式展开式中的常数项为，故答案为15．16. 【答案】【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于、，定义域是R，且，是奇函数；故正确；对于、若，则，故在R递增；故正确；对于、，令，令可得，，即方程有一根，，，则方程有一根在之间，故错误；对于、如果对任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，17. 【答案】解：Ⅰ，则命题p：实数x满足，解得，即命题p：，命题q：实数x满足，解不等式得，即命题q：，，q都为真命题，，即实数x的取值范围；Ⅱ由已知，，其中，解得，是p的必要不充分条件，，解得，即实数a的取值范围．【解析】【试题解析】本题考查复合命题真假的判断，充分条件必要条件，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，逻辑推理能力，属于中档题．Ⅰ分别解出两个命题的x的取值范围，再求两个范围的公共部分；Ⅱ分别解出两个命题的x的取值范围，再由q是p的必要不充分条件，得出参数a满足的不等式，解出a的取值范围．18. 【答案】解：，函数在与处有极值，，2是的两个实数根，解得，经检验，满足题目条件，；由可得．利用，解得，2．列出表格：由表格可知：当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值．又，．所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．【解析】本题考查了利用导数研究闭区间上的连续函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．，由于函数在与处有极值，可知，2是的两个实数根，代入即可解出；由可得利用，解得，列出表格：即可得出极值与区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．19. 【答案】解：Ⅰ证明：因为，且O为AC的中点，所以．又由题意可知，平面平面ABC，平面平面，且平面，平面ABC；Ⅱ解：以O为原点，OB，OC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意可知，，，，，，，，，则有：．设平面的一个法向量为，则有令，得，所以．．因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．【解析】【试题解析】本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决空间角问题，正确求平面的法向量是关键，属于中档题．Ⅰ证明，利用平面平面ABC，可得平面ABC；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式求出直线与平面所成角，根据因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，可得结论．20. 【答案】解：设，则．因为，得到，所以，所以．则，当且仅当时，等号成立．故当DQ的长度是时，S最小，且S的最小值为因为，所以，解得或．故要使S不小于，DQ的取值范围是，或．【解析】本题考查将实际问题转化成数学问题的能力，属于中档题．由于得出，利用三角形的面积公式表示出面积；再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得；由S不超过，建立不等式，从而可求DQ长的取值范围．21.【答案】解：抛物线的准线方程为，由题意知．设椭圆C的方程为．则由题意可得解得故椭圆C的方程为．直线的斜率为，且不过点，可设直线．联立方程组，消去y得．又设，，故有所以，所以为定值0．【解析】本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力，属于较难题．求出抛物线的准线方程为，推出焦点，故设椭圆C的方程为，根据点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程；直线的斜率为，且不过点，设直线，联立方程组，消y，设，，利用判别式以及韦达定理，表示，推出定值．22.【答案】解：易知，，当时对任意的恒成立；当时，若，得若，得，综上，当时在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．由，得恒成立，则恒成立，令，，则令，，则，在上单调递减，又，在上，即；在上，即，在上单调递增，在上单调递减，，故，即a的取值范围为．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值，考查学生分析转化能力，运算能力．求出，分和研究的根的情况，从而得到的符号，求得单调区间及其单调性；分离参数得到恒成立，令，，利用导数研究单调性，求得最大值即可．。

2021年高二数学上学期段考试卷（9月份）（含解析）一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为．2．（3分）已知点P（0，﹣1），点Q在直线x﹣y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y﹣5=0，则点Q的坐标是．3．（3分）已知点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，则直线l：ax+by=r2与圆C．4．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y﹣1=0对称，则k﹣m的值为．5．（3分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．6．（3分）已知动圆x2+y2﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0恒过一个定点，这个定点的坐标是．7．（3分）一直线过点M（﹣3，），且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为．8．（3分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为．9．（3分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离为1，则半径r的取值范围是．10．（3分）光线沿（y≥0）被x轴反射后，与以A（2，2）为圆心的圆相切，则该圆的方程为．11．（3分）直线l：x+y﹣3=0上恰有两个点A、B到点（2，3）的距离为2，则线段AB的长为．12．（3分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．13．（3分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是．14．（3分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0与直线x+2y﹣3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为．二、解答题（共6小题，满分0分）15．已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y﹣1=0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），求第三个顶点C的坐标．16．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线L：mx﹣y+1﹣m=0．①求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程．17．已知圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，设点p（x，y）是圆O1上的动点．①求P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最值，并求对应P点坐标；②分别求，y﹣x，（x+3）2+（y+4）2的最值．18．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，2），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．（Ⅰ）求实数a，b之间满足的关系式；（Ⅱ）求线段PQ的最小值．20．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P 点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．江苏省镇江市扬中二中xx学年高二上学期段考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值．解答：解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，∴，解得 a=1．故答案为 1．点评：本题考查两直线平行的条件，利用一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．2．（3分）已知点P（0，﹣1），点Q在直线x﹣y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y﹣5=0，则点Q的坐标是（2，3）．考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．分析：先设出Q点坐标，再根据题目中信息得关系式．解答：解：设Q（x，y），由题意，解得∴Q（2，3）点评：两直线垂直且斜率存在，则斜率的乘积为﹣1．3．（3分）已知点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，则直线l：ax+by=r2与圆C相交．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，求得a2+b2＞r2，求得圆心到直线l：ax+by=r2 的距离为d＜r，可得直线和圆相交．解答：解：∵点P（a，b）在圆C：x2+y2=r2外，∴a2+b2＞r2，故圆心到直线l：ax+by=r2 的距离为d=＜=r，即圆心到直线l：ax+by=r2 的距离小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．4．（3分）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y ﹣1=0对称，则k﹣m的值为4．考点：直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0的两个交点关于直线x+y﹣1=0对称，所以直线y=kx+1与直线x+y﹣1=0垂直，且直线x+y﹣1=0过圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心．这样直线y=kx+1与直线x+y﹣1=0垂直，斜率等于直线x+y﹣1=0的负倒数，直线x+y﹣1=0过圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心，则圆心坐标满足直线方程，就可求出k，m的值，解出k﹣m．解答：解：∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y ﹣1=0对称，∴直线y=kx+1与直线x+y﹣1=0垂直，且直线x+y﹣1=0过圆x2+y2+kx+my﹣4=0的圆心．∴k=1，解得，m=﹣3∴k﹣m=1﹣（﹣3）=4故答案为4点评：本题主要考查直线与圆的位置关系的判断，圆上两点一定关于直径所在的直线对称．5．（3分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是[0，2]．考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，=﹣1×0+1×2=2故和取值范围为[0，2]故答案为：[0，2]．点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．6．（3分）已知动圆x2+y2﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（1，1），或（，）．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：由已知得x2+y2﹣2=（2x+4y﹣6）m，从而，由此能求出定点的坐标．解答：解：x2+y2﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0，∴x2+y2﹣2=（2x+4y﹣6）m，∴，解得x=1，y=1，或x=，y=，∴定点的坐标是（1，1），或（，）．故答案为：（1，1），或（，）．点评：本题考查动圆经过的定点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．7．（3分）一直线过点M（﹣3，），且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为x=﹣3，3x﹣4y+15=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由题意可得弦心距为3，再分所求的直线的斜率存在和不存在两种情况，分别求得直线的方程．解答：解：圆x2+y2=25的圆心为原点（0，0），半径等于5，当所求的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=﹣3，弦心距为3，故弦长为8，满足条件．当所求的直线的斜率存在时，设所求的直线的方程为y﹣=k（x+3），即 2kx﹣2y+6k+3=0．再根据弦心距d==3=，求得 k=，可得此时直线的方程为3x﹣4y+15=0，故答案为：x=﹣3，3x﹣4y+15=0．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．8．（3分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：曲线表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b 与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围．解答：解：曲线即 x2+y2=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得 =1，求得b=（舍去），或 b=﹣，数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（3分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离为1，则半径r的取值范围是（4，6）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5﹣r|＜1，解此不等式求得半径r的取值范围．解答：解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1，解得：4＜r＜6，则半径r的范围为（4，6）．故答案为：（4，6）点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法，列出关于r的不等式是解本题的关键．10．（3分）光线沿（y≥0）被x轴反射后，与以A（2，2）为圆心的圆相切，则该圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．考点：直线与圆的位置关系；与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：令入射光线的解析式，求出x的值为﹣2﹣，由物理知识可得反射角等于入射角，可得反射后的光线与入射光线关于直线x=﹣2﹣对称，根据入射光线的方程，求出反射线的解析式，再由反射后与圆相切，利用点到直线的距离公式求出圆心A到反射线的距离，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：直线x+2y+2+=0中，令y=0，解得x=﹣2﹣，则直线x+2y+2+=0关于直线x=﹣2﹣对称的方程为：2（﹣2﹣）﹣x+2y+2+=0，即x﹣2y+2+=0，∵光线发射后与圆相切，∴圆心A（2，2）到直线x﹣2y+2+=0的距离d==1=r，则圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有关于直线对称的直线方程的求法，直线与坐标轴的交点，点到直线的距离公式，以及会根据圆心和半径写出圆的标准方程，属于各学科间知识的综合应用题．11．（3分）直线l：x+y﹣3=0上恰有两个点A、B到点（2，3）的距离为2，则线段AB的长为2．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：首先利用点到直线的距离公式d=，然后根据等腰三角形的性质来确定线段AB的长度．解答：解：利用点到直线的距离公式d=则：点（2，3）到直线l：x+y﹣3=0的距离d=|AB|=2=2故答案为：2点评：本题考查的知识点：点到直线间的距离，等腰三角形的性质．12．（3分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．考点：圆方程的综合应用．专题：直线与圆．分析：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．解答：解：由题意可得，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，根据两圆圆心距d==|a|，可得2﹣1＜|a|＜2+1，即：＜|a|＜，∴﹣＜a＜﹣或＜a＜，故实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．点评：体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，体现了转化的数学思想，属于中档题．13．（3分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是4．考点：基本不等式；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离d=0，直线2ax﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为 2，设圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得 2=4，d=0，即直线2ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣2a﹣2b+2=0，a+b=1，则+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故式子的最小值为 4，故答案为 4．点评：本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．14．（3分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0与直线x+2y﹣3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则m的值为3．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：将直线和圆进行联立，利用根与系数之间的关系建立条件方程，利用韦达定理、两个向量垂直的性质，即可求出m的值．解答：解：由题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组求得消y得5x2+10x+4m﹣27=0，于是根据韦达定理得，x1+x2=﹣2，x1•x2=．∴y1•y2=•=[9﹣3（x1+x2）+x1•x2]=[9+6+]=．再根据OP⊥OQ，可得•=x1•x2+y1•y2=+=0，求得m=3，故答案为：3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．已知△A BC的一条内角平分线CD的方程为2x+y﹣1=0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1），求第三个顶点C的坐标．考点：两直线的夹角与到角问题；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：先求出点A关于于直线2x+y﹣1=0的对称点P的坐标，再根据点P在直线BC上，利用两点式求得BC的方程，再把BC的方程和CD的方程联立方程组，求得第三个顶点C的坐标解答：解：由题意可知：A（1，2）关于直线2x+y﹣1=0的对称点在直线BC上，设对称点为P（a，b），则由，解得：，所以l BC：即3x﹣4y﹣1=0．再由得C点的坐标为（．点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件．还考查了用两点式求直线的方程，求两条直线的交点，属于基础题．16．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线L：mx﹣y+1﹣m=0．①求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：①将直线l的方程变形提出m，根据直线方程的斜截式，求出直线恒过点（1，1），即可证明结论；②直线l截圆所得的弦最长时，一定过圆心；当弦长最短时，AC和直线L垂直，即可求得L的直线方程．解答：①证明：∵直线L：mx﹣y+1﹣m=0即为y=m（x﹣1）+1，∴直线l恒过（1，1），∵12+（1﹣1）2=1＜5，∴A（1，1）在圆C：x2+（y﹣1）2=5的内部，∴对m∈R，直线L与圆C总有两个不同的交点；②解：被圆截得的弦最长的直线一定过圆心，方程为y=1，它的圆心为C（0，1），由弦长最短，可得AC和直线L垂直，故直线l的方程为x=1．点评：判断直线与圆的位置关系，一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判断，有时也可转化为直线恒过的点来判断．17．已知圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，设点p（x，y）是圆O1上的动点．①求P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最值，并求对应P点坐标；②分别求，y﹣x，（x+3）2+（y+4）2的最值．考点：圆方程的综合应用．专题：综合题；直线与圆．分析：①求出圆心到直线l：x+y﹣1=0距离，即可求P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最值，从而求对应P点坐标；②利用=t，y﹣x=k，与圆方程联立，可得最值，求出（﹣3，﹣4）与（3，1）的距离为=，即可求出（x+3）2+（y+4）2的最值．解答：解：①圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心为（3，1），半径为1，圆心到直线l：x+y﹣1=0距离为，∴P点到直线l：x+y﹣1=0距离的最大值为，最小值为，过（3，1）与直线l：x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣2=0，与圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1联立，可得对应的P点坐标分别为．②设=t，则y=tx，代入圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，可得（x﹣3）2+（tx﹣1）2=1，∴（1+t2）x2﹣（6+2t）x+9=0，∴△=（6+2t）2﹣36（1+t2）=0，∴t=0或t=，∴的最大值为，最小值为0；设y﹣x=k，则代入圆O1：（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，可得（x﹣3）2+（x+k﹣1）2=1，∴2x2﹣（8﹣2k）x2+k2﹣2k+9=0，∴△=（8﹣2k）2﹣8（k2﹣2k+9）≥0，∴﹣2﹣≤k≤﹣2+，∴y﹣x的最大值为﹣2+，y﹣x最小值为﹣2﹣；（﹣3，﹣4）与（3，1）的距离为=，∴（x+3）2+（y+4）2的最大值为（+1）2=62+2；（x+3）2+（y+4）2的最小值为（﹣1）2=62﹣2．点评：本题考查圆方程的综合应用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．18．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；（Ⅲ）若动圆P过点N（﹣2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．考点：直线的一般式方程；圆的标准方程；轨迹方程．专题：压轴题．分析：（I）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（II）先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；（III）由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程．解答：解：（I）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为﹣3又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．3x+y+2=0．（II）由解得点A的坐标为（0，﹣2），因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．（III）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2，即|PM|﹣|PN|=2．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．因为实半轴长a=，半焦距c=2．所以虚半轴长b=．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．点评：本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法．19．如图，已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，2），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，Q为切点，且满足|PQ|=|PA|．（Ⅰ）求实数a，b之间满足的关系式；（Ⅱ）求线段PQ的最小值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（I）连结OP，根据圆的切线的性质得|PQ|2+|QO|2=|OP|2，即a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简得实数a，b间满足的等量关系；（II）当PO⊥l时，PO的长度最小，从而可得线段PQ长的最小值．解答：解：（Ⅰ）连接OP，∵PQ2=PO2﹣1=PA2，…（2分）∴a2+b2﹣1=（a﹣2）2+（b﹣2）2，即4a+4b﹣9=0．…（6分）（Ⅱ）设l：4x+4y﹣9=0，∵PQ2=PO2﹣1，∴∴当PO⊥l时，PO的长度最小，即（OP）min==，∴．…（11分）点评：本题给出单位圆和其外部一个定点A，求切线PQ满足|PQ|=|PA|时，实数a，b间满足的等量关系，并求线段长的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识，属于中档题．20．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P 点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．解答：解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．点评：本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．39243 994B 饋21467 53DB 叛34247 85C7 藇30313 7669 癩^t 37734 9366 鍦37288 91A8 醨33269 81F5 臵W29866 74AA 璪。

湖南省双峰县双峰一中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理科）试题一、选择题（60分）1．设命题p ：对x e R x x ln ,>∈∀+，则p ⌝为（ ） A ．00ln ,0x e R x x <∈∃+ B ．x e R x x ln ,<∈∀+ C ．00ln ,0x e R x x ≤∈∃+ D ．x e R x x ln ,≤∈∀+ 2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = A.-1 B.0 C.1 D.63．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是（ ）A．[]6,1- D5．数列{}n a 满足122,1,a a ==并且则数列的第100项为（ ） A6．当0,0>>y x ，时，y x +的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．167．如图所示，C ，D ，B 三点在地面上的同一直线上，DC a =，从,C D 两点测得A 点的仰角分别为β，()ααβ>，则A 点离地面的高为 （ ）AC 8．下列函数中，最小值为2的是（ ）A ．33x x y -=+C9．在ABC ∆中是角,,A B C 成等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件10和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为A ．a =﹣8，b =﹣10B ．a =﹣4，b =﹣9C ．a =﹣1，b =9D ．a =﹣1，b =211．下列命题中，假命题是（ ）A ．“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数cos y x =的一个周期”B ．“0m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的充分不必要条件C ．“若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题D ．“任意()0,a ∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定12．已知函数()y f x =的定义域的R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()(f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足（*n N ∈），且1(0)a f =，则下列结论成立的是（ ） A ．20132016()()f a f a > B ．20142015()()f a f a > C ．20162015()()f a f a < D ．20142015()()f a f a <二、填空题（20分）1345,A ∠则14．求与椭圆229545x y +=有共同的焦点，且经过点M （2，）的椭圆的标准方程是 。