《对数函数的概念》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

【教学设计·中学数学】《对数函数的概念》教学设计对数函数的概念一、教学目标：1.知识与技能理解对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关系.2.过程与方法从指数函数入手，引出对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系。

3.情感、态度与价值观增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数函数的价值，形成正确的价值观二、教学重点、难点重点：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化.难点：对数函数概念的理解；三、学法与教法1、学法：复习回顾，类比归纳，语言表达。

2、教法：探究讨论法。

四、教学设计（一）：复习（1）：函数的概念是什么？（2）：什么是一一映射？（设计目的：本节要学习对数函数，而对数函数是一个新的函数函数模型，所以必须从基本的函数概念入手对其进行分析。

）（二）：新知探究：1.引入在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y和分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数y=2x表示.在学习过程中我们已经把它推广到实数指数函数.那么如果分裂次数未知，细胞个数已知，完成下表（引导学生填表并观察，归纳出分裂次数x 与细胞个数y 之间的对应关系y x 2log =）2：探究一思考： 一般的指数函数y =a x (a >0,a ≠1)中的两个变量,能不能把y 当作自变量,使得x是y 的函数?指数函数y =a x (a>0,a ≠1),对于x 每一个确定值,y 都有唯一确定的值和它对应.并且当2121y y x x≠≠时，如图（1）。

就是说，指数函数反应的了数集R 与数集{y|y>0}之间的一一对应。

可见，对于任意y ∈(0,+∞)有唯一x ∈R 满足y =a x把y 当作自变量,x 是y 的函数，即)1,0(log ≠>=a a y x a图（1）函数)1,0(log ≠>=a a y x a 叫作对数函数，这里0.1,0>≠>y a a 自变量 习惯上，自变量用x 表示，所以这个函数就写成 )1,0(log ≠>=a a x y a我们把函数)1,0(log ≠>=a a x ya 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是),(),,0(+∞-∞+∞值域，a 叫作对数函数的底数。

对数的概念教学设计《对数的概念》本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点,在此之前，学生已经学习了指数、指数函数的内容，了解了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数是已知底数和幂值求指数的运算，两者是互逆的关系，对数的概念是学习对数函数的入门课，对数函数对于学生来说又是一个全新的函数模型，它是在指数函数的基础上，对函数类型的扩展，是本章的重点内容。

一、设计思路1、指导思想本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，为学习对数函数作好准备，起到了承上启下的作用.同时,也对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想有着很重要的意义。

2、教学目标根据教学大纲的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：（1）知识与技能①理解对数的概念；②掌握对数式与指数式的互化；③理解对数的性质.（2）过程与方法在概念理解的过程中，培养学生分析转化的意识和逆向思维能力.（3）情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受成果的喜悦.在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的好习惯.（4）现代教学手段：应用多媒体、几何画板等工具来展示对数与指数的关系，使学生对对数的概念有进一步的认识。

3、重难及难点重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。

难点：对数概念的理解；对数性质的理解。

4、教法和学法：教法：游戏教学法；引导发现法；讲练结合法；借助多媒体课件。

学法：自主学习；合作交流；思考探究。

在新课改的理念下，教师和学生的主体地位已经发生了改变，为了更好地体现以学生为主体的课堂教学。

二、教学准备教学资源上，制作课件，导学案，准备几何画板，三角板，彩色粉笔。

课堂教学中，注重师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识，充分调动学生的参与的积极性。

三、教学过程(一)游戏引入比一比，看谁算的又对又快：那么 ()25=的值为多少？设计意图：以游戏的形式教学，低起点，让学生在生动活泼的气氛中，不知不觉地体会对数运算与幂运算是互逆的，同时在()25=中遇到了困难，会激发学生的求知欲望。

北师大版高一数学必修一《对数函数的概念》说课稿（逐字稿）尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是对数函数的概念。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材《对数函数的概念》选自北师大版高中数学必修一第四章第三节第一课时，本节课的主要内容是：对数函数的概念。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生已经学习了指数和对数的互化，以及对数的基本运算，并且这一阶段高一学生具有较强的逻辑思维能力，教师在教学过程中要着重抓住这一特点。

三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.学生掌握对数函数的概念以及反函数的求法。

2.学生经过思考和讨论的过程，提高发现和解决问题的能力。

3.提升数学抽象、数学运算素养。

四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为掌握对数函数的概念。

教学难点为反函数的求法。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课良好的导入是激发学生求知欲与好奇心的有效方法，因此，我将出示关于细胞分裂的过程视频，请同学们写出分裂次数x与细胞总数y的函数关系。

即y=2x，请同学们思考一下，分裂出一万个细胞，需要经过多少次呢？就此引入本节课的主要内容。

《对数的概念》教学设计一、教材分析本节课是新课标高中数学必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备.同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.二、学情分析大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.三、设计思路学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动.本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.四、教学目标1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能.2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化.3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。

通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一.4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识.五、重点与难点重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化.难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解.课二、对数式与指数式的互化：（5分钟）幂底数← a →对数底数指数← b →对数幂← N →真数思考：①为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1？②是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a、b和N位置的不同，及它们的含义。

对数的概念【教学目标】1．理解对数的概念。

(重点)2．掌握指数式与对数式的互化。

(重点)3．掌握对数的基本性质。

(难点)【教学重难点】1．对数的概念。

2．指数式与对数式的互化。

3．对数的基本性质。

【教学过程】一、基础铺垫1．对数的定义(1)对数的有关概念(2)对数的底数a的取值范围是a>0，且a≠1．3二、新知探究1．指数式与对数式的互化 【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log1232＝－5；(5)lg 0.001＝－3；(6)ln e ＝1．[解] (1)log 21128＝－7；(2)log 327＝3；(3)log 100.1＝－1；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32；(5)10－3＝0.001；(6)e 1＝e 。

【教师小结】利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的。

【跟踪训练】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

①35＝243；②⎝ ⎛⎭⎪⎫13m＝5．73；③log1216＝－4； ④ln 10＝2．303．[解] ①log 3243＝5；②log135．73＝m ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；④e 2．303＝10. 2．对数基本性质的应用【例2】 (1)求下列各式中x 的值。

①log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1；②log 2(log 3(log 4x ))＝0.[解] (1)①由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得⎩⎨⎧ 3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1.解得x ＝－2． ②由log 2(log 3(log 4x ))＝0可得log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3，所以x ＝43＝64．【教师小结】（1）对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0且a ≠1)。

《对数函数的概念》教学设计教学设计一、创设情境，提出问题问题情境：细胞分裂（多媒体演示）：问题1：细胞分裂的个数y 与分裂次数x 具有怎样的函数关系式？问题2：如果已知细胞分裂的个数y ，如何求它的分裂次数x ？请写出它的函数关系式.问题3：在问题2的关系式中，每输入一个细胞的个数y 的值，是否都能得到唯一一个分裂次数x 的值呢？这里是把y 看作自变量，x 为y 的函数.设计意图：设置情境的目的一是复习指数函数的概念，另外也回顾了指数与对数间的相互转化关系，为引入对数函数的概念做铺垫.二、建立模型，形成概念1.对数函数的概念：我们知道，给定正数a ，且1a ≠，指数函数x y a =是定义在R 上、值域为(0,)+∞的单调函数.所以对于每一个正数y ，都存在唯一确定的实数x ，使得x y a =.由函数的定义，x 就是y 的函数，称为以a 为底的对数函数，记作log a x y =.习惯上，将自变量写成x ，函数值写成y ，因此，一般将对数函数写成log a y x =（01a a >≠，且），其中a 称为底数.教师提出下面几个问题请学生思考：问题4：与指数函数x y a =相比较，对数函数log a x y =中a 的范围是什么，两个定义中a 的范围是否相同，为什么？问题5：log a x y =与x y a =中的x ，y 的相同之处是什么？不同之处是什么？ 问题6：x y a =与log a y x =中的x ，y 的相同之处是什么？不同之处是什么？ 我们可以得出：指数函数与对数函数之间的关系：指数函数x y a =与对数函数log a x y =刻画的是同对变量x ，y 之间的关系，所不同的是：①在指数函数x y a =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域为R ，值域为(0,)+∞；②在对数函数log a x y =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域为(0,)+∞，值域为R.像这样的两个函数就是互为反函数，也就是说对数函数log a x y =是指数函数x y a =的反函数，习惯上用x 表示自变量，那么指数函数x y a =的反函数就是log a y x =,log a y x =的反函数就是指数函数x y a =（01a a >≠，）.设计意图：这样设计的目的是让学生更好地理解指数函数与对数函数的内在联系.2.常用对数函数与自然对数函数.（1）我们称以10为底的对数函数lg y x =为常用对数函数.（2）我们称以无理数e 为底的对数函数lg y x =为自然对数函数.三、应用举例例1 （1）当124x =，，时，求对数函数2log y x =的函数值；（2）当0.1,1,10x =时，求对数函数lg y x =的函数值.学生自主完成.解：（1）由021=，得2log 10=；由122=，得2log 21=；由224=，得2log 42=.（2）由1100.1-=，得lg10=；由0101=，得lg10=；由11010=，得lg101=.例2 写出下列对数函数的反函数：（1）lg y x =；（2）13log y x =.分析：根据反函数的定义，对数函数的反函数是底数相同的指数函数，进行求解.解：（1）因为对数函数lg y x =的底数是10，所以它的反函数是指数函数10x y =.（2）因为对数函数13log y x =的底数是13，所以它的反函数是指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 例3 写出下列指数函数的反函数： （1）5x y =；（2）23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 分析：根据反函数的定义进行求解.解：（1）因为指数函数5x y =的底数是5，所以它的反函数是对数函数5log y x =.（2）因为指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的底数是23，所以它的反函数是对数函数23log y x =.设计意图：考虑到学生初次接触对数函数，为巩固学生所学知识，设置了三道例题，例1、例2、例3着重考查对数函数的基础知识及对数函数与指数函数的内在联系，既体现了数学的巩固性原则，又兼顾了因材施教的原则.四、巩固练习教材第108页练习第1，2，3，4题.五、课堂小结1.对数函数的概念.2.对数函数与指数函数的关系.六、布置作业教材第113页习题43-A组第1，2题.板书设计教学研讨在引入课题时，采用多媒体演示法；在新课探究中采用问题引导、活动探究、类比发现法；在形成技能时以训练法、探究研讨法为主教师通过创设问题情境，引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力在整个教学过程中，以学生看、学生想、学生议、学生练为主体在学生仔细观察、类比、想象的基础上，通过问题串的形式加以引导点拨，这样就能够唤起学生对原有知识的回忆，自觉找到新旧知识之间的联系，使新学知识更牢固，理解更深刻.教学时可让学生适当做一些练习，强化对对数函数的概念的理解.。

《对数的概念》教学设计教学设计一、温故知新，引入新课在第三章第一节中提到，经测算薇甘菊的侵害面积S （单位：2hm ）与年数t 满足关系式01.057t S S =⋅，其中0S （单位：2hm ）为侵害面积的初始值.现在，设经过t 年后，薇甘菊的侵害面积会增长到原来的5倍，可得001.0575t S S ⋅=，即1.0575t =.用什么样的方式表示出t 的值呢？我们经常会遇到这样的问题，已知底数和幂的值，怎样求指数呢？这就是这节课我们要研究的问题.设计意图：通过上一章第一节“薇甘菊”的实例引入课题，体现了指数与对数的关联性，为本节课抽象概括对数的概念做铺垫，提出我们要解决的问题，引发学生思考，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识，让学生体会到生活及科研中还有很多这样的例子，因此引出对数是必要的.二、抽象概括，形成概念对数的概念：一般地，如果a （0a >，且1a ≠）的b 次幂等于N ，即b a N =，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N b =.其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.在给出对数的概念后，教师要注意说明以下几点：①底数的限制：0a >，且1a ≠；②对数的书写格式；③符号“log ”同“+”“-等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号要写在数的前面.设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后学习对数函数时定义域的确定做准备.同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误.三、对数式与指数式的互化教师提出问题让学生思考：问题1：为什么对数的定义中要求底数0a >，且1a ≠？问题2：是否所有的实数都有对数呢？学生思考，小组讨论、交流.教师让学生展示、分享讨论交流的结果，并点评、指导.对于问题1：对于log a x N =，若0a <，则当N 为某些值时，x 值不存在.如：(2)log 8x -=不存在；若0a =，则（1）当0N ≠时，x 的值不存在，如0log 3（可以理解为0的多少次幂是3）不存在；（2）当0N =时，x 可以是除了0以外的任意实数，是不唯一的；当1a =时，（1）当1N ≠时，x 值不存在.如1log 3不存在；（2）当1N =时，x 可以是任意实数，是不唯一的.因此规定0a >，且1a ≠.对于问题2：负数和零没有对数.问题3：1log 1?log ?log ?a a a a a=== 因为01a =，由指数式与对数式的关系可知log 10a =；因为1a a =，由指数式与对数式的关系可知log 1a a =；因为11a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由指数式与对数式的关系可知1log 1a a=-. 问题4：你能根据对数的定义得到log a N a N =吗？这个式子根据对数的定义很容易得到，log a N a N =中a 的指数log a N 就相当于对数定义中的b .问题5：指数式b a N =，a =和对数式log (0,0,1)a Nb N a a =>>≠且是同种数量关系的三种不同表达形式，你能用一个表格表示吗？由此可见（1）开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；（2）弄清对数式与指数式的互化规则是掌握对数的意义及其运算的关键. 设计意图：让学生了解对数与指数、根式的关系，明确对数式与指数式、根式形式的区别，a ，b 和N 位置的不同，及它们的含义.互化体现了等价转化这个重要的数学思想.四、两个重要的对数1.常用对数：当对数的底数10a =时，通常称之为常用对数，并将10log N 简记为lg N .2.自然对数：以无理数e 2.718281=为底数的对数，称之为自然对数，并将e log N 简记为ln N .（在科学技术领域，常常使用以e 为底数的对数）注意：两个重要对数的书写.设计意图：强化这两个重要对数的记忆，为以后的解题以及换底公式的学习做准备.五、典型例题例1 将下列指数式改写为对数式：（1）35125=；（2）2384=；（3）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）21636-=. 分析：指数式与对数式的互化规则是“底数不变，左右交换”，两式均以a 为底，b ，N 两个字母在等号左右两边互换位置.解：由对数的定义，得（1）5log 1253=.（2）82log 43=.（3）12log 83=-.（4）61log 236=-. 教师找两名同学板演，一名同学做（1）（2）题，一名同学做（3）（4）题. 例2 将下列对数式改写成指数式：（1）2log 646=；（2）31log 481=-；（3）lg0.0013=-；（4）12log 42=-. 分析：根据指数式与对数式的互化规则进行改写.解：由对数的定义，得（1）6264=.（2）41381-=.（3）3100.001-=.（4）2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 给学生留几分钟让学生独立完成，然后找一名同学校对答案.设计意图：熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解，并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质.例3 求下列各式中x 的值：（1）3log 4x =；（2）51log 25x =；（3）35x =； （4）ln 1x =-；（5）log 642x =；（6）2log 32x =.分析：利用指数式与对数式的互化规则求式子中x 的值.解：由对数的定义，得（1）4381x ==.（2）215525x -==，所以2x =-. （3）3log 5x =.（4）11e ex -==. （5）264x =，又0x >，所以8x =.（6）2log 323=，所以3x =.教师简单引导，让学生独立完成，校对答案.设计意图：观察方程中未知数的位置的特点，体会指数式与对数式中各位置的量之间的关系.例4 求下列各式的值：（1）5log 25；（2）12log 32；（3）3log 103；（4）ln1；（5） 2.5log 2.5.分析：根据对数的定义求解，比如第（1）小题，实际上就是找5的几次幂等于25.解：（1）5log 252=.（2）12log 325=-.（3）3log 10310=.（4）ln10=.（5） 2.5log 2.51=.设计意图：理解对数的定义，熟悉对数的表示方法及含义.六、巩固练习教材第98页练习第1,2,3题.七、课堂小结1.对数的定义.2.指数式与对数式的互化.3.已知log a N b =的,,a b N 中的两个值，求第三个值.八、布置作业教材第98页习题41-A 组第1,2,3题.板书设计为底N 的对数，记作log a N b =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数2.对数式与指数式的互化3.两个重要的对数常用对数：当对数的底数10a =时，通常称之为常用对数，并将10log N 简记为lg N 自然对数：以无理数e 2.718281=为底数的对数，称之为自然对数，并将e log N 简记为ln N .（在科学技术领域，常常使用以e 为底数的对数）4.典型例题例1例2例3例45.课堂小结（1）对数的定义（2）指数式与对数式的互化（3）已知log a N b =的,,a b N 中的两个值，求第三个值教学研讨本教学设计先从第三章第一节的“薇甘菊”的实例出发，体现指数与对数的关联性，创设情境，激发学生对对数的兴趣；然后利用指数给出了对数的定义，之后对其进行必要的解释与说明，如符号、字母的含义与取值范围.指数式与对数式的互化是本节课的重点，通过典型例题让学生熟悉指数式与对数式的互化，同时也加深学生对对数定义的理解，例题的求解应把机会留给学生，教师不能代劳.本节两个重要的对数要求学生记忆，包括它们的符号表示及意义.对指数式b a N =a =和对数式log (0,0,1)a N b N a a =>>≠且这三个式子的理解与认识通过表格的形式进行对比，加深了学生对此的理解与认识.在学习对数的概念时，本教案设计了多个问题让学生思考、交流、讨论、展示、分享，让学生充分参与学习的过程，教师可以根据学生的情况设计更适合的问题进行引导.。

3.5对数函数5．1对数函数的概念5．2对数函数y＝log2x的图像和性质●三维目标1．知识与技能(1)理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像，通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质，提高分析推理的能力，培养数形结合的思想．(2)掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．(3)了解反函数的概念，会求指数函数或对数函数的反函数．2．过程与方法经历探究对数函数的图像与性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法．3．情感、态度与价值观在活动过程中培养学生的数学应用意识，感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质．●重点难点重点：对数函数的图像与性质以及它们的运用．难点：对数函数概念的形成和反函数的概念．本节的重点的突破方法是让学生动手做出函数y＝log2x的图像，调动学生积极主动地参与获得图像和性质的过程；难点的突破方法是借助于信息技术做出指数函数和对数函数的图像，观察他们之间的关系．●教学建议本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，并在教学过程中渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法．●教学流程通过教材中提出的细胞分裂问题得出对数函数的概念⇒通过对数函数中真数和底数的要求，完成例1及其变式训练⇒由指数函数和对数函数的关系得出反函数的概念，完成例2及其变式训练⇒作出函数y＝log2x的图像，利用图像研究函数的性质⇒根据函数y＝log2x的图像和性质，完成例3及其变式训练⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识(见学生用书第51页)课标解读1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系．2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数．(难点，易混点)3．会画具体函数的图像．(重点)对数函数的概念1．对于一般的指数函数y＝a x(a>0，a≠1)，你能用y表示x吗？【提示】根据对数的定义，得x＝log a y(a>0，a≠1)．2．问题1中的关系式中，x是y的函数吗？【提示】x是y的函数．3．在问题1的关系式中，以y代替x，以x代替y得到什么关系？【提示】y＝log a x(a>0，a≠1)．1．定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，x是真数，定义域是(0，＋∞)，值域是R.2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e.反函数【问题导思】函数y＝a x的定义域和值域与y＝log a x的定义域和值域有什么关系？【提示】对数函数y＝log a x的定义域是指数函数y＝a x的值域，对数函数y＝log a x的值域是指数函数y＝a x的定义域．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)是对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)的反函数；同时对数函数y ＝log a x(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数．函数y＝log 2x的图像和性质1．你能用描点法作出对数函数y＝log2x的图像吗？【提示】先列出x，y的对应值表：x (1)4121248…y＝log2x …－2－10123…再用描点法画出图像：2．如何由函数x＝log2y的图像得到函数y＝log2x图像？【提示】把函数x＝log2y的图像的坐标轴中的x轴、y轴的字母表示互换，但习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，所以再把图像翻转，使x轴在水平位置方向向右，y轴的方向向上，就得到函数y＝log2x图像．如下图所示：画函数y＝log2x的图像时，可以用常规的描点法作图，也可以先画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．如图所示．观察函数y＝log2x的图像可得：图像特征函数性质过点(1,0)当x＝1时，y＝0在y轴的右侧定义域是(0，＋∞)向上、向下无限延伸值域是R在直线x＝1右侧，图像位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图像位于x轴下方若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0函数图像从左到右是上升的在(0，＋∞)上是增函数(见学生用书第52页)对数函数的定义域(1)y＝1－x＋lg x；(2)y＝log(3－x)(x－2)．【思路探究】解答此类问题的关键是要考虑使y＝f(x)有意义的所有x所满足的条件，转化成求不等式解集问题．【自我解答】(1)由于⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x>0，即0<x≤1.所以函数的定义域是(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2>0，3－x >0，3－x ≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x <3，x ≠2，即2<x <3.所以函数的定义域是(2,3)．1．求有关对数函数的定义域时，务必关注对数的真数和底数的约束条件． 2．函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式．函数f (x )＝11－x ＋lg (1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【解析】 若函数f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，解得x >－1且x ≠1，故定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．【答案】 C求反函数求下列函数的反函数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝(45)x ；(3)y ＝log 13x ；(4)y ＝log 7x .【思路探究】 根据指数式与对数式的互化写出．【自主解答】 (1)指数函数y ＝10x ，它的底数是10，它的反函数是对数函数y ＝lg x . (2)指数函数y ＝(45)x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45x .(3)对数函数y ＝log 13x ，它的底数是13，它的反函数是指数函数y ＝(13)x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法：1．由y ＝a x (或y ＝log a x )解得x ＝log a y (或x ＝a y )．2．将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )． 3．由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域．求下列函数的反函数： (1)y ＝log 0.13(2x )； (2)y ＝πx .【解】 (1)由y ＝log 0.13(2x )， 得2x ＝0.13y ， ∴x ＝12·0.13yx ，y 互换得y ＝12·0.13x ，∴y ＝log 0.132x 的反函数为y ＝12·0.13x (x ∈R)．(2)y ＝πx 的反函数为y ＝log πx (x >0)．函数y ＝log 2x 的图像与性质2(1)若f (a )>f (2)，求a 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在x ∈上的最值．【思路探究】 可先作出y ＝log 2x 的图像，利用图像考查单调性解决问题． 【自主解答】 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数，若f (a )>f (2)，即log 2a >log 22，则a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．(2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈上的最小值为log 23，最大值为log 227.函数f (x )＝log 2x 是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )>0，求x 的取值范围．【解】 (1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， 又∵45>34，∴log 245>log 234.(2)log 2(2－x )>0即log 2(2－x )>log 21， ∵函数y ＝log 2x 为增函数， ∴2－x >1，即x <1. ∴x 的取值范围为(－∞，1).5.3 对数函数的图像和性质●三维目标1．知识与技能(1)理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质． (2)能初步运用对数的性质解决问题． 2．过程与方法让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质． 3．情感、态度与价值观(1)培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； (2)培养学生严谨的科学态度．●重点难点重点：掌握对数函数的图像和性质． 难点：利用对数函数的图像和性质解决问题．本节课重点的突破方法是让学生认识底数对函数值变化的影响，借助于信息技术，调动学生积极主动地参与获得性质的过程；在利用图像和性质解决问题时，尤其是比较大小时，对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性，教师应调整角色，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．●教学建议新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，在教育方式上，以学生为中心，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可．基于此，本节课重点采用问题探究和启发引导式的教学方法．从预习交流心得出发，到探索新问题，再到题后的回顾总结，一切以学生为中心，处处体现学生的主体地位，让学生多讨论、多分析、多思考、多总结，引导学生运用自己的语言阐述观点，加强理解，在生生合作、师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题的能力打下基础．本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性．●教学流程复习函数y＝log2x和y＝log12x的图像和性质，引出底数为a时函数图像问题⇒通过几何画板作出函数的图像，当底数变化时，直观感受图像的变化情况⇒归纳出对数函数的性质，借助性质解决比较大小问题，完成例1及其变式训练⇒根据函数的单调性解决解不等式问题，尤其对于底数含参数的情况进行分类讨论问题，完成例2及其变式训练⇒结合对数函数的性质，研究和对数函数有关的奇偶性和单调性问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第54页)课标解读1.掌握对数函数的图像和性质．(重点)2．掌握对数函数的图像和性质的应用．(难点)3．体会数形结合的思想方法.对数函数的图像和性质作出函数y＝log2x和y＝log12x的图像如下：1．函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？【提示】定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)．函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0；0<x<1时，y<0.单调性：在(0，＋∞)上是增函数．2．函数y＝log12x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？【提示】定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)，函数值变化情况：x>1时，y<0；x＝1时，y＝0；0<x<1时，y>0.单调性：在(0，＋∞)上是减函数．3．它们的图像有什么关系？【提示】关于x轴对称．a＞10＜a＜1 图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R图像过定点(1,0)当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0增区间：(0，＋∞)减区间：(0，＋∞)奇偶性：非奇非偶函数(见学生用书第54页)比较大小(1)log 2π与log 20.9；(2)log 20.3与log 0.20.3； (3)log 0.76,0.76与60.7.【思路探究】 (1)利用对数函数的单调性； (2)寻求中间量或利用函数图像； (3)一般先看正负，再利用中间量．【自主解答】 (1)∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log 2π>log 20.9. (2)∵log 20.3<log 21＝0，log 0.20.3>log 0.21＝0， ∴log 20.3<log 0.20.3.(3)∵60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1， log 0.76<log 0.71＝0， ∴60.7>0.76>log 0.76.1．比较两个对数值大小的方法：(1)单调性法：当底数相同时，构造对数函数利用其单调性来比较大小，如本题(1)； (2)中间量法：当底数和真数都不相同时，通常借助常数(常用－1,0,1)为媒介间接比较大小，如本题(2)；(3)分组法：当三个(或以上)数式比较大小时，可先据其正、负，大于1或小于1分为两组，然后再用单调性或图像或中间差法比较大小，如本题(3)．2．必要时，还可通过作差法、作商法对两式进行大小比较．(1)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b (2)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x【解析】 (1)a ＝log 23.6＝log 43.62，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上为增函数，且3.62>3.6>3.2，故选B.(2)∵log 12x <log 12y <log 121，且y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴x >y >1.故选D.【答案】 (1)B (2)D解对数不等式(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围； (2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【思路探究】 (1)把1变为对数的形式，利用对数的单调性求解；(2)求解过程中注意真数的范围．【自主解答】 (1)由log a 12>1得log a 12>log a a . ①当a >1时，有a <12，此时无解． ②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1. ∴a 的取值范围是(12，1)． (2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.解对数不等式应把握以下几点：1．方法：利用对数函数的单调性，将问题转化为一般不等式(组)求解．2．要遵循“定义域”优先的原则．解对数不等式要注意防止定义域的扩大．解题有两个途径，一是在变形过程中定义域发生变化，最后一定要验根；二是解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后不用验根．3．当底数是字母时，需要分类讨论底数的取值范围(1)满足不等式log 3x <1的x 的取值集合为________．(2)若log a 25<1，则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以0<x <3，因此x 的取值集合为{x |0<x <3}．(2)log a 25<1，即log a 25<log a a ， 当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，所以a >25，即a >1时，原不等式总成立； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，由log a 25<log a a 得，a <25，即0<a <25. 因此，a >1或0<a <25. 【答案】 (1){x |0<x <3}(2){a |a >1或0<a <25} 对数函数性质的综合应用已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．【思路探究】 先求函数的定义域，再利用有关定义去讨论其他性质．【自主解答】 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)∵f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．任设x 1<x 2∈(1，＋∞)，则x 2－x 1>0.令t 1＝x 1＋1x 1－1，t 2＝x 2＋1x 2－1. 则t 2－t 1＝x 2＋1x 2－1－x 1＋1x 1－1＝2x 1－x 2x 2－1x 1－1. ∵x 2－1>0，x 1－1>0，x 1－x 2<0，∴t 2－t 1<0，即t 2<t 1.当0<a <1时，log a t 2>log a t 1，即f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(1，＋∞)单调递增．当a >1时，log a t 2<log a t 1，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在(1，＋∞)单调递减．∵奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴当0<a <1时，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增．当a >1时，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减．1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性较简便．2．判断函数的单调性利用单调性的定义．3．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则单调性相反．求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间． 【解】 由6＋x ＋2x 2>0得2(x ＋14)2＋478>0，即函数定义域是R. 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为(－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14]． 又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数， ∴函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为(－∞，－14).。

3。

5。

1 对数函数的概念本节教材分析有了学习指数函数的图象和性质的学习经历,以及对数知识的准备，对数函数的概念的引入，便水到渠成。

对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受.三维目标1．知识技能：①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。

2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观：①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度。

教学重点:理解对数函数的定义，及会求对数与指数函数的反函数。

教学难点：求解反函数。

教学建议：1. 由学生阅读“问题提出"，感受研究对数函数的必要性。

也可以让学生收集这类问题，互相交流。

2. 由指数函数导出对数函数时要组织学生讨论研究“为什么把指数函数)1,0(≠>=a a a y x中的y 当作自变量，那么x 就是y 的函数？” “这个函数与原来的函数有什么关系？”以使学生理解对数函数的概念.3. 关于反函数，只要求学生理解诸如指数函数和对数函数互为反函数,通过例题，求一些具体的指数函数或对数函数的反函数.4. 组织学生，从对数函数的表达式分析它的某些性质，对比图象说明。

新课导入设计导入一:利用考古学家研究文物时的一组对应关系:P t 573021log=（P 是碳14的含量，t 是时间)引出课题。

导入二：通过指数函数,借助细胞分裂,转换研究角度,将指数函数中的自变量与因变量互换位置，得到一种新的函数—对数函数,教师直接点题。

尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

北师大版高中数学必修一对数函数概念说课稿教案做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

对数函数的概念各位老师你们好：今天我说课的题目是《对数函数的概念》,?现就教材、教法、学法、教学程序、板书五个方面进行说明。

一、说教材1、教材的地位、作用《对数函数的概念》是北师大版高中数学必修一第三章第?5?节的内容。

在此之前我们学习了指数函数与对数等内容，它为过渡到本节起着铺垫作用。

“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的基础知识.2、教育教学目标根据上述教材分析^p ，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标：①理解对数函数的概念；②理解对数函数与指数函数的关系。

（2）能力目标：①注重思考方法的渗透，培养学生以已知探求未知的能力②通过实例培养学生抽象概括能力、类比联想能力。

（3）情感目标：通过对《对数函数的概念》的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度。

3、教学重点、难点及关键重点：对数函数的概念。

在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明，才能有利于学生联系旧知识，学习新知识。

难点：指数函数与对数函数的关系。

关键：指数函数与对数函数的类比教学。

由指数函数过渡到对数函数，通过类比分析^p ，达到深刻地了解对数函数的概念，是掌握重点和突破难点的关键。

在教学中一定要使学生的思考紧紧围绕指数函数与对数函数的关系，同时在例题的讲解中，重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现出由浅入深，由易到难，由具体到抽象的特点，从而突出重点、突破难点。

二、说教法在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法；在新课探究中采用问题启导、活动探究、类比发现法；在形成技能时以训练法、探究研讨发为主。

对数函数一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉2log xy =的图象,②了解对数函数的反函数. 2．过程与方法让学生通过类比思想由指数函数的概念得出对数函数的概念 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数2log xy =的图象,2、难点：用对称性画2log xy =的图象,.四．教学过程 1．设置情境在科学上，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．3、研究对数函数的反函数提问：指数函数y=a x(a>0且≠1)和对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)有什么关系? 答：指数函数y=a x和对数函数y=log a x 刻画的是同一对变量 x, y 之间的关系， 但是，在指数函数y=a x中,x 是自变量, y 是x 的函数, 其定义域是R,值域是 (0,+ ∞)；在对数函数x=log a y 中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是 (0,+ ∞),值域是R 。

对数函数的概念【教学目标】通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。

【教学重难点】1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。

（重点）2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。

(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。

2．两类特殊的对数函数常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e。

3．反函数阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。

指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)是对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y ＝log a x(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。

二、新知探究1．对数函数的概念【例1】下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝log a x(a>0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝log x6(x>0，且x≠1)；(5)y＝log6x。

[解](1)中真数不是自变量x，不是对数函数。

(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。

(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数。

(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数。

(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。

【教师小结】判断一个函数是对数函数的方法2．求函数的反函数【例2】求下列函数的反函数。

(1)y ＝10x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ； (3)y ＝log 13x ； (4)y ＝log 2x 。

[解](1)由y ＝10x ，得x ＝lg y ，∴其反函数为y ＝lg x ；(2)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ，得x ＝log 45y ，∴其反函数为y ＝log 45x ； (3)由y ＝log 13x ，得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13y ，∴其反函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ； (4)由y ＝log 2x ，得x ＝2y ，∴其反函数为y ＝2x 。

北师大版高中必修15.1对数函数的概念教学设计一、教学目标本节课的教学目标是：1.了解对数函数的基本概念；2.掌握对数函数的性质和常用公式；3.能够解决简单的对数函数方程和不等式。

二、教学大纲1. 对数函数及其性质•对数函数的基本概念•指数函数与对数函数的关系•对数函数的性质•对数函数的图像与变化规律2. 对数函数的应用•对数函数在生活中的应用•对数函数解决实际问题3. 对数函数的运算•对数函数的公式•对数函数的运算规则•对数函数的分解与合并三、教学重点难点教学重点•对数函数的概念及其性质；•对数函数与指数函数的关系；•对数函数的公式和运算规则。

教学难点•解决实际问题的应用；•对数函数和指数函数的图像变化和关系。

四、教学方法本节课采用以下教学方法：1.讲授法：讲解对数函数的基本概念及其性质；2.实例分析法：结合实例讲解对数函数在生活中的应用；3.解题法：通过例题和习题解析，让学生掌握对数函数的运算方法；4.案例分析法：以实际案例为例，让学生学会解决实际问题。

五、教学过程设计1. 导入环节（5分钟）通过一个小游戏“猜数字”来引导学生理解指数函数和对数函数的概念。

•提供一个数字，让学生用不同的方式去表示它，如2的3次方、10的0.3次方等等；•引导学生发现以上表述中都蕴含一个共同的信息——幂指数；•引出指数函数的概念，并将其与对数函数相对比。

2. 讲授环节（35分钟）•讲解对数函数的定义和常用公式；•通过图像展示，讲解对数函数的性质和变化规律；•通过案例分析，讲解对数函数在实际问题中的应用。

3. 综合练习环节（20分钟）•根据所学知识，设计一些小练习，巩固对数函数及其运算规则的掌握；•鼓励学生提出问题和解答，加强对知识的理解。

4. 总结环节（5分钟）对学生的完成情况进行总结，强调本节课的重点、难点，概括相关知识点，加深对知识的理解。

六、教学反思本节课的教学目标、重点、难点都清晰明确，学生们也都积极参与课堂活动，但在讲解环节，我可能有些过于着重于理论知识，未能很好地将对数函数引入生活实际中。

对数的概念[教学目标]（1） 理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；（2） 明确指数式与对数式的关系，熟练掌握指数式与对数式的互化.[学习指导]（1） 理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；（2） 熟练掌握指数式与对数式的关系，能够进行指数式与对数式的互化，学会利用转化思想处理问题；（3） 掌握对数的运算性质和运算法则，理解推导法则的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言的转换能力，能处理数据、理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.[例题精析]例1.将下列指数式改写成对数式（1）62554=；（2）27133=-；（3）2059=；（4）45.0)21(=b . [分析]指数式N a b =与对数式N b a =log 中N b a ,,的关系：但都表示N b a ,,三个数之间的同一数量关系，这两种运算互为逆运算，在10≠>a a 且的条件下，它们可以相互转化.[解法]（1）4625log 5=；（2）3271log 3-=；（3）b =20log 5；（4）b =45.0log 21. 例2.把下列对数式改写成指数式（1）3125log 5=；（2）23log 31-=；（3）699.1log 10-=a .[分析]同例1.[解法]（1）12553=；（2）3)31(2=-；（3）a =-699.110.[评注]对对数中的b N ,作一些归纳说明：“N ”：指数式中的幂，对数式中的真数，在10≠>a a 且的前提下，它的值恒为正数；“b ”：指数式中的指数，对数式中的对数，在10≠>a a 且的前提下，b 可正、可负、可为零，即为一切实数.例3.求下列各式的值（1）4log 4；（2）1log 7.[分析]利用对数式与指数式的互化来解决.[解法]（1） 设x =4log 4，则14log ,1,444==∴=即x x .（2） 设x =1log 7，则01log ,0,17,1770==∴==即x x .[评注]通过例3可归纳出两个一般性的结论：（1）)10(1log ≠>=a a a a 且；（2）)10(01log ≠>=a a a 且.例4.求下列各式的值（1）64log 2；（2）27log 9.[分析]（1） 直接由指数等式得到对数值，或通过互化来解决；（2） 将对数式化成指数式再来求出对数值.[解法]（1）法一：由664log 64226==得.法二：设x =64log 2，则664log ,6642,64226==∴==即x x .（2）设x =27log 9，则2327log ,23,32,33932==∴=∴=即x x x . [评注]（1） 解法一当真数可用底数直接写成指数式时较方便；（2） 解法二当真数不可用已知底数直接写成指数式，利用对数式先化成指数式，再利用方程解出，更具有一般性.[本课练习]1.将下列指数式改写成对数式（1）332=；（2）10=π.2.把下列对数式改写成指数式（1）2100log 101-=；（2）38log 5.0-=.3.求下列各式中的x 并指出计算x 时是求幂、求对数、或是求方根（1）x =43；（2）10002=x ；（3）0001.010=x ；（4）x =91log 3. 4.利用计算器计算下列对数的值（结果保留4为小数）（1）4log 3；（2）2log 5；（3）2.1ln ；（4）6.0lg .5.已知R b N a a ∈>≠>,0,1,0（1）计算 ______;log ______;log ______;log ______;log 51352====-a a a a a a a a 归纳出______log =b a a ，请加以证明. （2）证明N a N a =log .[背景材料]可参考人民教育出版社、湖南教育出版社的数学教材中的相关内容.[教学建议]（1） 通过实例分析，使学生感受到引入“对数”概念的必要性；（2） 对数概念中，字母a 的条件“1,0≠>a a ”可视学生实际情况作介绍；（3） 对数的性质通过例题教学让学生加以概括和总结，并引起重视；（4） 对数的两个恒等式在习题中让学生分析证明，如何掌握对解决其它问题带来更多的方便；（5）常用对数和自然对数的概念也应想学生作适当的介绍；（6）让学生利用计算器求出对数值的近似值.。

对数函数教学目标1．使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质．2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解．3．通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识．教学重点与难点教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质．教学过程设计师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？生：若a b=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b．其中a为底数，N是真数．师：各个字母的取值范围呢？生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R，师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法．请将b p=M化成对数式．生：b p=M化为对数式是log b M=p．师：请将log c a=q化为指数式．生：log c a=q化为指数式是c q=a．师；什么是指数函数？它有哪些性质？（生回答指数函数定义及性质．）师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f （x）x与之对应，此反函数可记作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并写出反函数的定义域．师：好．为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域．师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=a x （a＞0，a≠1）的反函数．生：函数y=a x（a＞0，a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）．将指数式y=a x化为对数式x=log a y，所以函数y=a x（a＞0，a ≠1）的反函数为y=log a x（x＞0）．师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数．定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数．因为对数函数y=log a x是指数函数y=a x的反函数，所以要说明以下两点：（1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件．（2）指数函数的定义域为R，值域为R+．根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R．同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象．应该如何画对数函数的图象呢？生：用描点法画图．师：对．我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图．再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称．因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象．师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法．下边我们就利用这两种方法画对数函数图象．方法一（描点法）首先列出x，y值的对应表．因为对数函数的定义域为x＞0，因此可取x=1，2，3，4，…，请计算对应的y值．生：y=log21=0，y=log22=1，y=log23=1.59，y=log24=2．师：我们在分析对数函数值域时知y∈R．由上面所说的x值计算x … 1 2 3 4 …x …-3 -2 -1 0 1 1.59 2 …y=log2x … 1 2 3 10 …y=lgx …-1 -0.70 0 0.30 0.48 1 …x … 1 2 3 4 …… 3 2 1 0 -1 -1.59 -2 …方法二（图象变换法）师：我们讲函数与其反函数的图象关系时，说明了点（a，b）关于直线y=x的对称点的坐标是什么？生：是点（b，a）．关于直线y=x的对称点为（b，a）的方法描点，即可画出y=log2x，y=lgx，师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质．生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0．生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0．师：对．这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实．请继续分析．生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜师：对．由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0，反之亦然．当底数0＜a＜1时，看x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0，反之亦然．这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再继续分析．生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在（0，+∞）上递减．师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表．定义域（-∞，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）函数值变化情况当a＞1时，当a＞1时，当0＜a＜1时，当0＜a＜1时，单调性当a＞1时，a x是增函数；当a＞1时，logax是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数当0＜a＜1时，logax是减函数．图象y=a x的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称进一步巩固理解这些概念．例2求下列函数的定义域：生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=log a x2的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）．生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=log a（4-x）的定义域是（-∞，4）．师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么办？生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以3x-1≤1．师：对．他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域．例3 比较下列各组中两个数的大小：（1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8．师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小．生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小．师：对．针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小．请一名同学写出解题过程．生：（板书）解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以log23＜log23.5．师：好．请同学简答（2）中两个数的比较过程．并说明理由．生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8．师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小．例4 比较下列各组中两个数的大小：（1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32．师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小．生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7．师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第（2）组两个数的大小．生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，…师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大．怎么办？生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32．师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小．请同学们口答下列问题：练习1求下列函数的反函数：（1）y=3x（x∈R）；（2）y=0.7x（x∈R）；（3）y=log5x（x＞0）；（4）y=log0.6x（x＞0）．生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）．生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）．生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）．生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）．练习2指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由．生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0．生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0．生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0．生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0．练习3用“＜”号连接下列各数：0.32，log20.3，20.3．生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3．师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质．生：（复述）……师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆．对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果．例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子．补充题1．求下列函数的定义域：（x-1）2．2．比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7和log0.20.5；（2）log0.64和log7.11.2；（3）log0.50.6和log0.60.5；（4）log25和log34．（答案：1．（1）（-∞，-2）∪（3，+∞）；（2）[2，+∞）；（3）（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．2．（1）＜；（2）＜；（3）＜，提示：两个数与1比较；（4）＞，提示：两个数与2比较．）3．（选作）已知函数f（x）=log2（kx2-2x+k）的定义域是一切正实数，求k的取值范围．课堂教学设计说明1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授对数函数的定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既可揭示指数函数与对数函数之间的内在联系．又可以旧带新，便于学生记忆掌握．2．课本是根据互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性用这种对称变换的方法画函数图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的两个函数之间的关系的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照．但使用描点法画函数图象更为方便．两种画法可同时进行．分析画法之后，可以让学生自由选择画法，也可以安排某几行同学用描点法，另外几行同学用图象的对称变换画图．在黑板上让两名学生同时各用一种方法画出图象，或让学生用投影片用不同的方法画出图来，在投影仪上展示给大家看．总之，根据时间，能够把两种画法展示给学生更好．3．为了加大课堂密度，提高45分钟课堂效率，可采用投影仪或电脑等现代化教学手段，充分利用时间，但不能用它代替学生的思维过程，要让学生有动脑、动口、动手的机会，突出学生参与过程．4．要了解自己学生的程度，根据不同层次的教学对象制定教学方案，选择不同程度的例题和习题，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．。