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振动物理力学答案第九章 振动思考题9.1 什么叫作简谐振动？如某物理量x 的变化规律满足)cos(q pt A x +=，A 、p 、q 均为常数，能否说x 作简谐振动？答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。
可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：若物体相对平衡位置的位移（角位移）x 满足动力学方程 02022=+x dtxd ω，且0ω由振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；若物体相对平衡位置的位移（角位移）x 满足运动学方程)cos(0αω+=t A x ，且0ω由振动系统本身性质决定，A 、ϕ由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。
以0x 和x v 0分别表示0=t 时物体的初始位移和初始速度，则式中 202020ωxv x A +=；α可由Ax 0cos =α、A v x 00sin ωα-=和000x v tg x ωα-=三式中的任意两个来决定。
上述运动学方程是动力学方程（微分方程）的解，A 、ϕ是求解时的待定积分常数。
三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。
可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。
如某物理量x 的变化规律满足)cos(q pt A x +=，A 、p 、q 均为常数，不能说x 作简谐振动。
因为常数p 必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且A 、q 是由系统初始条件决定的常数时，才可以说x 作简谐振动。
9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为θθ=sin ，为什么它的摆动不是简谐振动？答：对质量为m 的摆球，当摆角θ很大时，θθ≠sin ，其切向力θθτ⋅-≠-=mg mg f sin ，不是角位移θ的线性回复力。
由牛顿定律得：θθsin )(22mg dtl d m -=即 0sin 22=+θθl gdt d令lg =2ω，有 0sin 222=+θωθdt d 因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。
大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。
试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t 图和a--t图。
13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。
振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。
求运动方程就要设法确定这三个物理量。
题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式ω=2π确定。
振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解因ω=2π，则运动方程 T⎛2πt⎛x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛⎛T⎛根据题中给出的数据得x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]振子的速度和加速度分别为v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π] a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75πx-t、v-t及a-t图如图13-l所示π⎛⎛13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和4⎛⎛初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2分析可采用比较法求解。
将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。
运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。
解（l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。
（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。
物理振动试题及答案解析1. 简谐运动的振动周期与哪些因素有关？答案：简谐运动的振动周期与振子的质量以及弹簧的劲度系数有关，与振幅无关。
2. 什么是阻尼振动？其振动周期与自由振动相比有何不同？答案：阻尼振动是指在振动过程中受到阻力作用的振动。
与自由振动相比，阻尼振动的振动周期会变长。
3. 简述单摆的周期公式。
答案：单摆的周期公式为 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \)，其中 \( T \) 是周期，\( L \) 是摆长，\( g \) 是重力加速度。
4. 什么是共振现象？请举例说明。
答案：共振现象是指当驱动力的频率接近或等于系统的固有频率时，系统振幅急剧增大的现象。
例如，当行人在桥上行走时，如果步频与桥的固有频率接近，可能会引起桥梁的共振，导致桥梁剧烈振动甚至断裂。
5. 请解释为什么在声波传播中，频率越高的声波传播距离越短？答案：频率越高的声波波长越短，波长越短的声波在传播过程中更容易受到空气分子的散射作用，因此传播距离较短。
6. 什么是多普勒效应？请用物理公式表达。
答案：多普勒效应是指当波源和观察者相对运动时，观察者接收到的波频率与波源发出的频率不同的现象。
多普勒效应的公式为 \( f'= \frac{f(u + v)}{u + v \cos \theta} \)，其中 \( f' \) 是观察者接收到的频率，\( f \) 是波源发出的频率，\( u \) 是波源的速度，\( v \) 是观察者的速度，\( \theta \) 是波源和观察者之间的夹角。
7. 请解释为什么在弹簧振子的振动过程中，振幅会逐渐减小？答案：在弹簧振子的振动过程中，振幅逐渐减小是因为存在阻力作用，如空气阻力或摩擦阻力，这些阻力会消耗振子的机械能，导致振幅减小。
8. 什么是机械波？请列举三种常见的机械波。
答案：机械波是指需要介质传播的波，其传播过程中介质的质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做振动。
第八章 振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。
· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅，为角频率，（t+）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位称为初相位。
· 简谐振动速度方程d ()d sin xv A t tωωϕ==-+ · 简谐振动加速度方程222d ()d cos xa A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x xx t tβω++= 其中，γ是阻尼系数，2mγβ=。
（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。
（2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。
（3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。
4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力· 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t t t mβωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。
高考物理力学知识点之机械振动与机械波图文答案一、选择题1．某质点做简谐运动的振幅为A,周期为T ,则质点在6T 时间内的最大路程是 A ．1.5A B ．A C ．0.5A D ．0.2A2．如图所示，从入口S 处送入某一频率的声音。
通过左右两条管道路径SAT 和SBT ，声音传到了出口T 处，并可以从T 处监听声音。
右侧的B 管可以拉出或推入以改变B 管的长度，开始时左右两侧管道关于S 、T 对称，从S 处送入某一频率的声音后，将B 管逐渐拉出，当拉出的长度为l 时，第一次听到最弱的声音。
设声速为v ，则该声音的频率（ ）A ．B ．C ．D ．3．一列波在传播过程中遇到一个障碍物，发生了一定程度的衍射，一定能使衍射现象更明显的措施是A ．增大障碍物尺寸，同时增大波的频率。
B ．缩小障碍物尺寸，同时增大波的频率。
C ．增大障碍物尺寸，同时减小波的频率。
D ．缩小障碍物尺寸，同时减小波的频率。
4．目前雷达发出的电磁波频率多在200MHz ～1000 MHz 的范围内，下列关于雷达和电磁波的说法正确的是 （ ）A ．真空中，上述频率范围的电磁波的波长在30m ～150m 之间B ．电磁波是由恒定不变的电场或磁场产生的C ．波长越短的电磁波，越容易绕过障碍物，便于远距离传播D ．测出从发射无线电波到接收反射回来的无线电波的时间，就可以确定障碍物的距离5．如图所示，一单摆在做简谐运动，下列说法正确的是A ．单摆的幅度越大，振动周期越大B ．摆球质量越大，振动周期越大C ．若将摆线变短，振动周期将变大D ．若将单摆拿到月球上去，振动周期将变大6．一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是（）①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大；②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小；③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率；④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率．A．①B．③C．①④D．②④7．下列说法正确的是（）A．物体做受迫振动时，驱动力频率越高，受迫振动的物体振幅越大B．医生利用超声波探测病人血管中血液的流速应用了多普勒效应C．两列波发生干涉，振动加强区质点的位移总比振动减弱区质点的位移大D．遥控器发出的红外线波长比医院“CT”中的X射线波长短8．如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
振动力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.对于任意初始激励，二自由度系统的响应都是两个主振型的叠加。
答案:正确2.如图所示的系统中，四个物体的质量均为m，由三根刚度系数均为k的弹簧连接，系统的刚度矩阵为：【图片】答案:3.如图所示两自由度系统，系统的固有频率分别为【图片】和【图片】。
系统的模态矩阵为：【图片】答案:4.如图所示两自由度系统，系统的固有频率分别为【图片】和【图片】，系统的模态矩阵为【图片】，系统存在初始条件【图片】和【图片】。
系统的响应分别为：【图片】答案:5.如图所示柔性悬臂梁，梁两端的物理边界条件为：【图片】答案:左端挠度为零、截面转角为零，右端弯矩为零、剪力为零6.一个无阻尼单自由度弹簧质量系统，在【图片】时间间隔内受到如图所示的突加的矩形脉冲力作用【图片】，已知系统的固有频率为【图片】。
采用杜哈梅积分所求得的系统响应为：【图片】答案:7.如图所示等截面梁，长度为l，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为【图片】。
集中质量为m，卷簧刚度为【图片】，直线弹簧刚度为【图片】。
【图片】为梁x位置的截面在t时刻的振动位移。
写出系统的动能和势能表达式：动能为（），势能为（）。
【图片】答案:_8.只有一个机械系统的全部元件即弹簧、质量块和阻尼都是非线性的，这个系统的振动才是非线性振动答案:错误9.单自由度线性振动系统有可能会有两个及以上的固有频率。
答案:错误10.粘性阻尼系统的运动微分方程是非线性的。
答案:错误11.无阻尼单自由度系统的振幅随时间变化答案:错误12.对于一个单自由度振动系统，假定系统受到简谐外部激励的作用，如下说法正确的是答案:系统的稳态响应是以外部激励的频率为振动频率进行振动的13.叠加原理适用于线性振动系统分析，也适用于非线性振动系统分析。
答案:错误14.如下说法是否正确：柔性悬臂梁的固有频率和模态函数可以通过梁的动力学方程求得。
振动物理力学答案第九章 振动思考题9.1 什么叫作简谐振动？如某物理量x 的变化规律满足)cos(q pt A x +=，A 、p 、q 均为常数，能否说x 作简谐振动？答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。
可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：若物体相对平衡位置的位移（角位移）x 满足动力学方程 02022=+x dtxd ω，且0ω由振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；若物体相对平衡位置的位移（角位移）x 满足运动学方程)cos(0αω+=t A x ，且0ω由振动系统本身性质决定，A 、ϕ由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。
以0x 和x v 0分别表示0=t 时物体的初始位移和初始速度，则式中 202020ωxv x A +=；α可由Ax 0cos =α、A v x 00sin ωα-=和000x v tg x ωα-=三式中的任意两个来决定。
上述运动学方程是动力学方程（微分方程）的解，A 、ϕ是求解时的待定积分常数。
三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。
可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。
如某物理量x 的变化规律满足)cos(q pt A x +=，A 、p 、q 均为常数，不能说x 作简谐振动。
因为常数p 必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且A 、q 是由系统初始条件决定的常数时，才可以说x 作简谐振动。
9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为θθ=sin ，为什么它的摆动不是简谐振动？答：对质量为m 的摆球，当摆角θ很大时，θθ≠sin ，其切向力θθτ⋅-≠-=mg mg f sin ，不是角位移θ的线性回复力。
由牛顿定律得：θθsin )(22mg dtl d m -=即 0sin 22=+θθl gdt d令lg =2ω，有 0sin 222=+θωθdt d 因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。
9.3 在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧。
答：将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子，用手表测出一定时间t ∆内的振动次数N ，确定振动频率tNf ∆=，从而确定f πω20=； 又mk=20ω，则可间接测量出物体的质量：22204f k k m πω==（质量在太空中不变）。
9.4 将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？答：设弹簧原长0l ，质量m 不变，竖直放置弹簧振子，平衡时，弹簧伸长l ∆，则F l k mg ∆==。
由胡克定律 l l YS F n ∆=0，对比可得其劲度系数0l YSk =。
当弹簧剪掉一半时，021l l ='，即k k 2='。
设原弹簧振子频率为1f ，剪后为2f ，则41.12:21212====mk m k f f ωω所以122f f =倍。
9.5 将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？答：由mk=0ω可知，当有乘客时，10m m k+=ω。
所以，当有乘客时，其固有频率会减小。
9.6 一弹簧振子（如图9.1）可不考虑弹簧质量。
弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。
现给你一根米尺，又允许你把滑块取下来，还可以把弹簧摘下来，你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率？答：（1）用米尺量出振子尺寸，计算体积，由材料密度可计算出振子质量m ；（2）测出弹簧原长0l ，竖直放置弹簧振子，挂物后平衡时测出弹簧长度l ，计算出弹簧伸长量0l l l -=∆。
在平衡位置，l k mg ∆⋅=，即可确定劲度系数lmgk ∆=； （3）计算出固有频率mk =0ω。
9.7 两互相垂直的简谐振动的运动学方程为 )cos(101αω+=t A x ，)cos(202αω+=t A y 。
若质点同时参与上述二振动，且 212παα=-，质点将沿什么样的轨道怎样运动？答：合振动的轨道方程为：1222212=+A y A x 。
轨道为以x 和y 为轴的椭圆。
由于212παα=-，故y 方向的振动比x 方向的振动超前2π，质点沿椭圆顺时针方向运动。
9.8 “受迫振动达到稳态时，其运动学方程可写作)cos(ϕω+=t A x ，其中A 和ϕ由初条件决定，ω即策动力的频率。
”这句话对不对？答：不对。
A 和ϕ并非由初条件决定，而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。
9.9 “策动力与固有频率相等，则发生共振。
”这句话是否准确？ 答：不准确。
共振有位移共振和速度共振之分。
常说的位移共振条件为2202βωω-=，即位移共振频率ω一般不等于振动系统的固有频率0ω；仅当无阻尼或阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率，但这时振幅将趋于无限大。
而速度共振的条件是0ωω=，即策动力的频率等于振动系统的固有频率。
习题9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。
已知刚体质量为m ，其重心C 和轴O 间的距离为h ，刚体对转动轴线的转动惯量为I 。
问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。
解：设刚体静止时，OC 沿竖直方向，振动系统处于平衡位置。
若将刚体偏离平衡位置，使OC 与竖直方向夹一小角ϕ，然后将刚体由静止释放，刚体就围绕平衡位置作微小摆动。
以ϕ表示OC 的角坐标或相对于平衡位置的角位移，以z τ表示重力矩，则ϕϕτ⋅-≈-=hmg hmg z sin （因ϕ很小，ϕϕ≈sin ）重力矩z τ与角位移ϕ成线性关系，并与角位移符号相反，为线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的微小摆动是简谐振动。
由转动定律得：ϕϕhmg dt d I -=22令Ihmg =2ω，则 0222=+ϕωϕdt d 所以，刚体简谐振动的固有频率Ihmg=0ω。
9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m ，弹簧的劲度系数为k 1和k 2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率。
解：设物m 处于平衡位置时，1k 弹簧伸长1l ；2k 弹簧伸长2l ，则2211l k l k =。
取平衡位置为坐标原点O ，建立O —X 坐标系。
当物m 受扰动向X 轴正向位移x 时，物m 受力：21F F F +=)()(2211x l k l x k -++-=所以， F kx x k k -=+-=)(21由牛顿定律 F 22dtxd m =得x k k dtxd m )(2122+-= 令 mk k 2120+=ω，则弹簧的振动微分方程可表示为： 02022=+x dtx d ω 所以，固有频率 mk k 210+=ω。
9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m ，弹簧的劲度系数为k 1，若在振子和弹簧k 1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。
问串联上的弹簧的劲度系数k 2应是 k 1的多少倍？解：1k 弹簧振子的频率：mk 11=ω 若使1k 串2k 弹簧振子的频率：mk m k mk m k =====44212111112ωω故1k 串2k 后的等效劲度系数为41k k =时，可满足要求。
取振子m 静止时（平衡位置）为坐标原点O ，建立O —X 坐标系。
在平衡位置时，1k 弹簧伸长1l ；2k 弹簧伸长2l ，且 mg l k l k ==2211。
当振子m 位移x 时，1k 弹簧伸长（1l +1x ）；2k 弹簧伸长（2l +2x ）。
设 x x x =+21。
(1)则振子m 受的弹力可表示为 )()(111222x l k x l k f +-=+-=。
1122x k x k =∴ (2)因此，振子m 所受合力：kx x k x l k mg F -=-=+-=22222)( ……………（3） 联立（1）（2）（3）得2121k k k k k +=取41k k =，则412121k k k k k =+，解得 312k k =。
9.2.4 单摆周期的研究。
（1）单摆悬挂于以加速度a 沿水平方向直线行驶的车厢内。
（2）单摆悬挂于以加速度a 上升的电梯内。
（3）单摆悬挂于以加速度a （a<g ）下降的电梯内。
求此三种情况下单摆的周期。
摆长为l 。
解：（1）以非惯性系车厢为参照系，建立自然坐标系。
以摆球为研究对象，摆球受重力g m、张力T 、惯性力a m f -=。
在平衡位置O 处：g m +T +f=0水平方向：0sin =-ma T α 竖直方向：0cos =-mg T α由此得摆球在平衡位置时摆线与竖直方向夹角α满足 ga tg =α。
当摆球偏离平衡位置的角位移为θ时，由牛顿定律得（切向）22)cos()sin(dtd ml ma mg θθαθα=+++-由于θ很小，取1cos ,sin ≈≈θθθ，上式整理为22)sin (cos )cos (sin dtd l a g θαθααθα=⋅-+⋅+-又 gatg =α，ααcos sin a g =∴，22sin ag a +=α，22cos ag g +=α，在切向的牛顿定律可表示为：02222=++θθl a g dt d令 la g 2220+=ω， 则单摆的振动微分方程可表示为：02022=+θωθdtd 。
所以，周期 2222ag l T +==πωπ。
（2）以加速度a 上升的电梯为参照系，摆球受重力g m、张力T 、向下的惯性力a m f-=。
在平衡位置O 处，摆线在竖直方向，有g m +T +f=0。
当摆球偏离平衡位置的角位移为θ时，由牛顿定律得（切向）22cos sin dtd ml ma mg θθθ=+-由于θ很小，取θθ≈sin ，上式整理为：022=++θθl ag dtd 令 lag +=20ω，所以，周期 ag lT +==πωπ220。
（3）同理可求出加速度a （a<g ）下降的电梯内单摆的振动周期为ag lT -=π2。
9.2.5 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为s /1013。
设想各原子间彼此以弹簧连接。
、一摩尔银的质量为108g 且包含231002.6⨯个原子。
现仅考虑一例原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。
解：设一列原子中的某个原子质量为m ，且231002.6108.0⨯=m ㎏，其平衡位置为O ，建立O —X 坐标系，考察该列原子水平方向的振动。
当该原子偏离平衡位置位移为x 时，在x 方向受力： kx 2-由牛顿定律得 kx dtxd m 222-=即0222=+x m k dt x d m ， 振动频率mk 220=ω 由题意s f /10230==πω，而mkf 221π=所以m N m f k /3541002.6108.0102)2(21232622≈⨯⨯⨯=⋅⋅=ππ 9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m ，物体质量为20g ，现将弹簧自平衡位置拉长22cm 并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s ，求该振子的运动学方程（SI ）。
