初三-几何证明之中位线题型

数学初中中位线题型中位线是指一个平面图形的任意两个顶点之间的中垂线的交点。

在初中数学中，中位线是一个重要的概念，也是一种常见的考试题型。

以下是一些常见的中位线题型：1. 求三角形中位线长度三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD 的长度。

解法：连接AE，将三角形ABC分成两个三角形，分别为三角形ABE和三角形ACE。

根据中位线的性质可知，AD是三角形ABE的中位线，因此AD=BE/2。

同理，AD也是三角形ACE的中位线，因此AD=CE/2。

由此可得：AD=(BE+CE)/2=BC/2。

2. 求四边形中位线长度四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。

解法：连接EH、FG，可将四边形ABCD分成两个三角形AEH和CFG。

根据中位线的性质可知，EF是三角形AEH和CFG的中位线，因此EF=1/2(EH+FG)。

根据四边形中位线定理可知，EH=1/2(AC+BD)、FG=1/2(AC-BD)，代入公式可得：EF=1/2(AC+BD-AC+BD)=BD。

3. 求平行四边形中位线长度平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。

解法：由于平行四边形的对角线互相平分，因此AC的中位线EF也平分平行四边形的对角线BD，即EF=1/2BD。

4. 求梯形中位线长度梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，求中位线EF的长度。

解法：连接AC，将梯形ABCD分成两个三角形ABC和ADC。

根据中位线的性质可知，EF是三角形ABC和ADC的中位线，因此EF=1/2(BD)，其中BD为梯形的上底和下底之差。

5. 求三角形中位线交点的坐标三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD、BE、CF的交点的坐标。

解法：根据中位线的性质可知，三角形ABC的中位线AD、BE、CF交于一点G，且AG=2/3AF、BG=2/3BD、CG=2/3CE。

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。

在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。

2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。

2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。

解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。

2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。

2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。

解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。

利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。

2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。

2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。

解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。

通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。

3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。

三角形中位线证明6种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多特性和性质。

三角形中位线是三角形内部一条特殊的线段，连接三角形两边中点的直线称为三角形中位线。

本文将介绍10条关于三角形中位线的证明方法，并对每一种方法进行详细阐述。

1. 三角形中位线长相等证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F，连接BE并延长至D，使得AD与CF相交于点G。

则有：CE=EA (连接AC的中点E)BF=FC (连接BC的中点F)EF=EF （共同边）在三角形BEF和CEF中，有EF、BE、FC互相平行，并按比例划分。

根据平行线定理，有BE/EF=BG/GF和FC/EF=CG/GF。

由此可得：BE/FC=BG/CG2BE/2FC=2BG/2CGAB/AC=BG/CG同理可证出，AC/BC=AH/HB和BC/AB=CI/IA。

即中位线长相等。

2. 三角形中位线堆垛证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。

则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。

由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。

同理可证出BE=CF，因此中位线堆垛。

3. 三角形中位线垂直证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。

则有：EF∥ABEB=FAEC=FC在三角形AEC和BFC中，有EC=FC，∠EAC=∠FBC，∠CAE=∠CBF。

由此可得：三角形AEC与三角形BFC全等（AAS）AE=BF。

连接EF并绘制ED⊥EF和FG⊥EF，分别交于点D和G。

则有：ED=GFEB=FC在三角形EBD和FCG中，有ED=FG，∠EDB=∠FGC，∠EBD=∠FCG。

由此可得：三角形EBD与三角形FCG全等（HL）BD=CG。

同理可证出AD=BG和AC=2DE，BC=2FG。

中位线垂直。

4. 三角形中位线和周长的关系证明：对于任意三角形ABC，连接AC的中点E和BC的中点F。

中位线定理的三种证明方法
中位线定理是平面几何中的重要定理，它指出三角形中连接一个顶点与对边中
点的线段叫做中位线，三角形的三条中位线交于同一点，这个点叫做三角形的重心。

下面将介绍中位线定理的三种证明方法。

第一种证明方法是向量法。

通过向量的线性组合和中点的定义，可以证明三角
形的三条中位线交于同一点。

我们可以假设三角形的顶点为A、B、C，对应的中
点为D、E、F，通过向量的线性组合可以得到三角形的三条中位线分别为
$\frac{A+B}{2}$、$\frac{B+C}{2}$、$\frac{C+A}{2}$，然后通过向量的运算可以
证明这三条线交于同一点，即三角形的重心。

第二种证明方法是中位线的性质法。

通过中位线的性质可以证明三角形的三条
中位线交于同一点。

中位线的性质包括中位线平行于底边、中位线的长度等于底边的一半等，通过这些性质可以得出三角形的三条中位线交于同一点的结论。

第三种证明方法是面积法。

通过三角形的面积公式和中位线的定义可以证明三
角形的三条中位线交于同一点。

我们可以利用三角形的面积公式S=1/2*底边*高，
将三角形分成三个小三角形，分别计算它们的面积，然后通过中位线的定义可以得出这三条线交于同一点的结论。

综上所述，中位线定理的三种证明方法分别是向量法、中位线的性质法和面积法。

每种方法都有其独特的角度和思路，通过不同的方式可以证明同一个结论，这也展示了数学的丰富性和多样性。

中位线定理在解决三角形相关问题时起着重要的作用，对于理解三角形的性质和性质的应用具有重要的意义。

三角形的中位线(一)三角形中位线的概念（1）如图,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;(2)对于△ABC来说,中线CD是由怎样的两点连接而成的?答:______________________________________________(3)若E为△ABC边上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时,线段DE称为△ABC的中位线。

(二)三角形中位线定理1.已知;如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线BC称为第三边(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?(2)证明你的猜想.(3)用语言叙述三角形中位线定理:三角形的中位线__________第三边,且等于第三边的__________.2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边形BCGD),请你完成证明.证明:延长DE至G,使EG=DE,连接CG题型一:中位线-求线段的长度、角度1．如图所示，菱形中ABCD ，对角线相交于点O ，H 为边AD 上的中点，菱形的周长为36，则OH 长等于（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，且周长为36，∴3649AB =÷=，又∵O 为BD 中点，H 为AD 的中点，∴OH 为ABD △的中位线，∴1 4.52OH AB ==，故选：A．2．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于点D ，若3AE =，1DF =，则边BC 的长为()A．7B．8C．9D．10【答案】B 【详解】解：EF 是ABC 的中位线，3AE =，∴EF BC ∥，2BC EF =，3BE AE ==，EDB DBC ∴∠=∠，BD 平分EBC ∠，EBD DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，3ED BE ∴==，1DF = ，314EF ED DF ∴=+=+=，8BC ∴=，故选：B．3.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 的点B '处，折痕AD 交BC 点D ，第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若14BC =，MP MN +=．【答案】7【详解】解：把图补全如图所示：由折叠得：AM MD =，MN AD ⊥，AD BC ⊥，GN BC ∴∥，AG BG ∴=，∴GN 是ABC 的中位线，1114722GN BC ∴==⨯=，PM GM = ，7MP MN GM MN GN ∴+=+==，故答案为：7．4．如图，在ABC 中，52ACB ∠=︒，点D，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且90AFC ∠=︒，则FAE ∠的度数为（）A．52︒B．68︒C．64︒D．69︒【答案】C 【详解】解：∵点D，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，AE CE =，∴52AED ACB ==︒∠∠，∵90AFC ∠=︒，AE CE =，∴AFC △是直角三角形，∴AE EF =，∴180180526422AEF FAE EFA ︒-∠︒-︒∠=∠===︒，故C 正确．故选：C．5．如图，四边形ABCD 中，AD BC =，E，F，G 分别是AB，DC，AC 的中点．若64ACB ∠=︒，22∠=︒DAC ，则EFG ∠的度数为．【答案】21︒【详解】解：∵F 、G 分别是CD 、AC 的中点，∴FG AD ∥，12FG AD =，∴22FGC DAC ∠=∠=︒，∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴GE BC ，12GE BC =，∴64AGE ACB ∠=∠=︒，∴180116EGC ACB ∠=︒-∠=︒，∴22116138EGF ∠=︒+︒=︒，∵AD BC =，∴GF GE =，∴()1180138212EFG ∠=⨯︒-︒=︒；故答案为：21︒．题型二：中位线-求几何图形面积1．如图ABC 中，E，F 分别是AB ，AC 的中点，过F 作FG AB ∥交BC 于点G，若EF FG =，且 2.5EF =，4AC =，则阴影部分的面积为．【详解】解：如图，连接BF ，E，F 分别是AB ，AC 的中点， 2.5EF =，∴=25BC EF =，FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴=2AB FG ，G 是BC 的中点，EF FG =，∴BA BC =，F 是AC 的中点，∴BF AC ⊥，122AF AC ==，∴22225221BF AB AF =-=-=，∴14212212ABC S =⨯⨯= ， E，F 分别是AB ，AC 的中点，∴1212ABC S S == 阴影面积，故答案为：21．2．如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，F 是BC 边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC 的面积为18cm 2，则△DEF 的面积是cm 2【答案】4.5【详解】解：连接BE，∵点E 是AC 的中点，△ABC 的面积的为18cm 2，∴△AEB 的面积12=⨯△ABC 的面积＝9（cm 2），∵点D 是AB 的中点，∴△DEB 的面积12=⨯△AEB 的面积＝4.5（cm 2），∵D，E 分别是AB，AC 的中点，∴DE BC，∴△DEF 的面积＝△DEB 的面积＝4.5（cm 2），故答案为：4.5．3．ABC 中，点D、E、F 分别为边BC CA AB 、、的中点，作DEF ．若ABC 的面积是12，则DEF 的面积是（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，取BH 中点为G，连结DG，EM⊥DF 于M，∵D 、F 分别是ABC 的AB 、AC 边的中点，∴12DF BC =，DF∥BC，∵D、G 为AB、BH 中点，∴DG∥AH，且DG=12AH ，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=12AH ∵S △ABC=1122BC AH ⋅=∴111111132222424DEF ABC S DF EM BC AH BC AH S ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯=⨯⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△．故选择B．4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E，作BC 的垂线交BC 于点F，若AB CE ，且DFE △的面积为2，则BC 的长为（）A．B．5C．D．【答案】D 【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD，∵DE BC ∥，∴AE=CE，DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF AH ∥，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=12AH，∵△DFE 的面积为2cm 2，∴12DE•DF=2，∴DE•DF=4，∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，∴AB•AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB•2AB=16，（负值舍去），，=（cm），故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F 分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD 的面积为20，则△BEF 的面积为（）A．2B．94C．5D．9【答案】D 【详解】如图，连接AC，过点B 作EF 的垂线交AC 于G 点，交EF 于H 点，∵E、F 分别是AD、CD 的中点∴EF//AC，△ACD 中，AC 边上的高为2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∵△ABC 为等腰三角形∴△ABG 和△BCG 为等腰直角三角形∴AG＝BG＝12AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵S △ABC＝12·AB·BC=12ABCD 的面积为20∴S △ACD＝20－16＝4，∴16===424ABC ACD S BG S GH ，∴1=8GH BG =12，∴BH＝BG+GH＝92，又∵11==×8=422EF AC ，∴S △BEF ＝119··=×4×=9222EF BH ．故选：D．6．如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm．【答案】4【详解】解：取CG 的中点，∵点H 是CG 的中点，DE 是ABC 的中位线，∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =，在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF GDF HEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(SAS)DFG EFH ≌，∴FG FH =，EFH DGF S S = ，∵GH CH =，∴3FC FH =，∵CEF △的面积为212cm ，∴21124cm 3EFH S =⨯= ，∴2=4cm DGF S ，故答案为：4．题型三：中点四边形1．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形【答案】D【详解】解：连接BD 、AC 交于点O ，四边形EFGH 是菱形，∴EF FG GH HE ===，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，EF ∴是三角形ABD 的中位线，12EF BD ∴=，EF BD ∥，同理，12EH AC =，∥EH AC ，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 必定是对角线相等的四边形．故选：D．2．已知四边形ABCD 为菱形，点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E、F、G、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】C【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C．3．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B 【详解】解：顺次连接菱形ABCD 各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：12GF BD =且GF BD ∥，12EH BD =且EH BD ∥，EF AC ∥，∴EH FG =，EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，则EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形．故选：B．4．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C 【详解】解：如图所示，ABCD 是等腰梯形，E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，连接AC ，BD ，∵E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，∴HE AC ∥，12HE AC =，GF AC ∥，12GF AC =，同理：12EF BD =，∴HE GF =且HE GF ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵等腰梯形的两条对角线相等，即AC BD =，∴EH EF =，∴四边形EFGH 是菱形．故选：C．5．如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．若要使四边形EFGH 是矩形，则原四边形ABCD 必须满足条件（）．A．AB AD=B．AB AD ⊥C．AC BD =D．AC BD⊥【答案】D 【详解】如图，连接AC BD ，，∵E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，∴EF AC HG ，EH BD FG ∴四边形EFGH 为平行四边形，∴当EFGH 有一个角为直角时，即证明四边形EFGH 是矩形．∵当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形．故选D．6．如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E、G、F、H 得到四边形EGFH ，要使四边形EGFH 是菱形，可添如条件．【答案】AB CD =（答案不唯一）【详解】解：∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，∴11,22FH GE AB GF EH CD ====，∵四边相等的四边形是菱形，∴当AB CD =时，FH GE GF EH ===，此时四边形EGFH 是菱形；∴可添加的条件为：AB CD =；故答案为：AB CD =（答案不唯一）．题型四：与的中位线有关的证明1．如图在ABC 中，AB BC =，D、E、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．求证：四边形BDEF 是菱形．【答案】见解析【详解】证明： D、E、F BC 、AC 、AB 边上的中点111,,222BD DC BC AE EC AC AF BF AB ∴======且得到DE ，EF 是ABC 的中位线，∴DE AB ∥，FE BC ∥且11,22DE AB EF BC ==EF BD∴=∴四边形BDEF 是平行四边形AB BC= ∴BF BD=∴四边形BDEF 是菱形．2．已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，点M，N，P，Q 分别是,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形MNPQ 是矩形．【答案】见解析【详解】证明：设AC 与BD 交于点O，AC 与QM 交于点F，BD 与PQ 交于点E，∵AB AD =，CB CD =，∴点A 与点C 都在BD 的垂直平分线上，∴AC 是BD 的垂直平分线，即AC BD ⊥，∴90AOD ∠=︒，∵点M，N，N，P，Q 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴MQ BD ∥，PQ AC ∥，∴四边形OEQF 是平行四边形，又90AOD ∠=︒，∴四边形OEQF 是矩形，∴90MQP AOD ∠=∠=︒，同理：90QMN MNP ∠=∠=︒，∴四边形MNPQ 是矩形．3．已知：如图，在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，G，H 分别是OB ，OC 的中点，连接GH EF FG EH ，，，．求证：FG EH ∥．【答案】∵在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，∴EF 是ABC 的中位线，∴12EF BC EF BC =∥，，∵G，H 分别是OB ，OC 的中点，∴GH 是OBC △的中位线，∴12GH BC GH BC =∥，，∴EF GH EF GH =∥，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴FG EH ∥．4．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点依次连接起来，得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：如图①，连接AC ．∵E，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，12EF AC =．∵G，H 分别是CD ，AD 的中点，∴GH AC ∥，12GH AC =．∴EF GH ∥，EF GH =．∴四边形EFGH 是平行四边形．(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状（如图②），连接AC ，BD ，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由（参考小敏思考问题的方法解决）．(2)如图②，在（1）的条件下：①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明．②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．【答案】(1)是，见解析(2)①AC BD =，见解析；②AC BD⊥【详解】（1）四边形EFGH 是平行四边形，理由如下：∴EF AC ∥，12EF AC =，同理，HG AC ∥，12GH AC =，∴EF HG ∥，EF HG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）①当AC BD =时，四边形EFGH 是菱形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴12EF AC =，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴12GF BD =，∴当AC BD =时，EF FG =，∴平行四边形EFGH 是菱形；②当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴GF BD ∥，∴当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形；5．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O，E，F 分别是AB 、CD 的中点，且AC BD =．求证：OM ON =．【答案】如图所示，取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，G 、F 分别为AD 、CD 的中点，GF ∴是ACD ∆的中位线，12GF AC ∴=，同理可得，12GE BD =，AC BD = ，1122GF GE AC BD ∴===．GFN GEM ∴∠=∠，又EG OM ∥，FG ON ∥，OMN GEM GFN ONM ∴∠=∠=∠=∠，OM ON ∴=．6．（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见解析；（3）18米【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F ∠=∠，在ADE V 和CFE 中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ∴≌△△．AD CF ∴=，12DE EF DF ==．CF BD ∴∥，CF BD =．∴四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC ∴，DF BC =，又12DE DF = ，∴DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．题型五：构造三角形的中位线1．如图，在ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF CD ⊥交CD 延长线于点F，若8AC =，5BC =，则EF 的长为．【答案】1.5【详解】解：如图，延长AF ，交于点G，∵CD 是ABC 的角平分线，∴ACF GCF ∠=∠，∵AF CD ⊥，∴90AFC GFC ∠=∠=︒，在ACF △和GCF 中，ACF GCF CF CF AFC GFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ACF GCF ≌ ，∴8CG AC AF FG ===，，∴853BG CG CB =-=-=，∵AE EB AF FG ==，，∴EF 为ABG 的中位线，∴1 1.52EF BG ==，故答案为：1.5．2．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若6AC =，则AF =（）A．3B．2C．43D．94【答案】B 【详解】解：取BF 的中点H，连接DH ，∵BD DC BH HF ==，，∴12DH FC =，DH AC ∥，∴HDE FAE ∠=∠，在AEF △和DEH △中，AEF DEH AE DE EAF EDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AEF DEH ASA ≌△△，∴AF DH =，∴12AF FC =，∵6AC =，∴123AF AC ==，故选：B．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M、N 分别是AB AC 、的中点，延长BC 至点D，使12CD BC =．连接DM DN MN 、、．若6AB =，则DN 的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 【详解】解：如图：连接CM∵M，N 分别是AB AC 、的中点，∴MN 是ABC 的中位线，∴12MN BC MN BC =，∥，∵12CD BC =，∴CD MN =，∵MN BC ∥，∴四边形NDCM 为平行四边形，∴DN CM =，∵90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，∴116322CM AB ==⨯=，∴3DN =．故选：C．4．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点，5DE =，3AC =，则AB 长为（）A．8.5B．8C．7.5D．7【答案】D 【详解】解：延长BD ，CA 交于点F，，∵AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，∴FAD BAD ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90ADF ADB ∠=∠=︒，在ABD △和AFD △中，FAD BAD AD AD ADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABD AFD △≌△，∴AB AF =，BD DF =，又E 为BC 中点，5DE =，∴210CF DE ==，又3AC =，∴7AF CF AC AB =-==．故选：D．5．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC的中点．(1)如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D，求证：1()2EF AC AB =-；(2)如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系：．【答案】(1)见详解(2)1()2EF AB AC =-【详解】（1）证明：如图1中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，∴,90BAE DAE AEB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵AE AE =，∴()ASA BAE DAE ≌，∴AB AD =，即ABD △是等腰三角形，∵BE AE ⊥，BE DE ∴=，BF FC = ，111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．（2）解：结论：1()2EF AB AC =-，理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．AE BP ⊥ ，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒，BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，AE BP ⊥ ，E ∴为BP 的中点，BE PE =∴，点F 为BC 的中点，BF FC =∴，111()()222EF PC AP AC AB AC ∴==-=-；故答案为1()2EF AB AC =-．6．已知：如图①所示，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC 相交，易证FG=12（AB+BC+AC）．（1）BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-；（2）1()2FG BC AC AB =+-【详解】解：（1）图②结论为：1()2FG AB AC BC =+-证明：分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K，在BAF ∆和BKF ∆中，ABD FBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =12FG HK ∴=又∵HK BK BH =-，BH=BC-CH=BC-AC，1()2FG AB AC BC ∴=+-（2）图3的结论为1()2FG BC AC AB =+-．证明：分别延长AF 、AG 交BC 或延长线于K 、H ,在BAF ∆和BKF ∆中，ABD DBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =，12FG KH ∴=又KH BC BK HC BC AC AB =-+=+- ．1()2FG BC AC AB ∴=+-．题型六：最值问题1．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，分别在AD 、BD 上取点P、Q （端点除外），连接PQ ，E、F 分别为AP 、PQ 的中点，连接EF，在P、Q 的运动过程中，线段EF 的最小值为（）A． 1.2B． 1.5D．2【答案】A 【详解】解：连接AQ ，∵E、F 分别为AP 、PQ 的中点，∴12EF AQ =，根据点到直线的距离可得当AQ BD ⊥时，AQ 最小，EF 也最小，∵矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴5BD ==，∵1122ABD S AB AD BD AQ =⋅=⋅ ，∴1134522AQ ⨯⨯=⨯⨯，∴125AQ =，∴min 1126255EF =⨯=，故选A．2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点N 是BC 边上一点，点M 为AB 边上的动点，点D、E 分别为CN，MN 的中点，则DE 的最小值是（）A．2B．125C．3D．245【答案】B 【详解】解：连接CM ，∵点D、E 分别为CN，MN 的中点，∴12DE CM =，∴当CM AB ⊥时，CM 最小，即DE 最小，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，∴10AB ===，∴CM 的最小值为245AC BC AB ⋅=，∴DE 的最小值为11225CM =，故选：B．3．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =分别是边CD BC ，上的动点，连接AE 和EF ，G，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（）B．2C．3D．1【答案】B 【详解】连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ==，∵G，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是AEF △的中位线，∴12GH AF =，当AF BC ⊥时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB ∠=︒，∵45B ∠=︒，∴ABF △是等腰直角三角形，∴22AF AB ==⨯，∴GH GH 故选：B．4．如图，矩形ABCD 的边24AB BC ==，，E 是AD 上一点，1DE =，F 是BC 上一动点，M、N 分别是AE EF 、的中点，则MN EN ＋的最小值是．【答案】52【详解】解：2AB = ，4BC =，1DE =，4AD BC ∴==，413AE AD DE =-=-=，延长AB 到A '，使2A B AB '==，连接A F '，则4AA '=，A F AF ¢=，当A '、F 、E 在同一直线上时，A F FE '+最小，最小值为A E '．在Rt AA E ' 中，5A E ==='，即AF FE +最小为5，N Q 、M 分别是EF 、AE 的中点，12NE EF =，=12NM AF ，MN EN ＋的最小值为15522⨯=．故答案为：52.题型七：找规律的问题1．如图所示，已知ABC 的面积为1，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，L ，依此类推，第2013个三角形的面积为（）A．12011B．12012C．201114D．201214【答案】D【详解】解：如图：过点A 作AG DE ⊥于G，交BC 于H，则AG GH =，D 、E、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，DE ∴、EF 、DF 分别为ABC 的中位线，12DE BC ∴=，12DF AC =，12EF AB =，12GH AH =，12ABC S BC AH =⋅ ，12DEF S DE GH =⋅ ，1144DEF ABC S S ∴== ，同理：第三个三角形的面积=21144DEF S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第四个三角形的面积14=第三个三角形面积314⎛⎫= ⎪⎝⎭，……，∴第2013个三角形的面积为201214，故选：D．2．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边的中点E，作ED AB ∥交AC 于点D，EF AC ∥交AB 于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作1S 取BE 边的中点1E ，作11E D FB 交EF 于1D ，11E F EF ∥交BF 于点1F ，得到四边形111E D FF ，它的面积记作2S ，…照此规律作下去，则2022S 的值为．【详解】∵E 是BC 中点，ED AB ∥，EF AC ∥，∴ED、EF 是△ABC 的中位线，∴ED=EF=AD=AF=12AB =12，∴四边形EDAF 是菱形，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC∴菱形EDAF 的高为1224⨯=，∴S 1=124⨯=8=32，同理，四边形111E D FF 也是菱形，FF 1=12BF =14，菱形111E D FF 的高为12，∴S 2=14，S 3=18……S n =212n +，∴20222202212S ⨯+==404523．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB＝12，AC＝20．以OB 和OC 为邻边作第一个平行四边形1OBB C ，对角线BC 与1OB 相交于点1A ；再以11A B 和1A C 为邻边作第二个平行四边形111A B C C ，对角线1A 与1B C 相交于点1O ；再以11O B 和11O C 为邻边作第三个平行四边形1121O B B C …依此类推．记第一个平行四边形1OBB C 的面积为1S ，第二个平行四边形111A B C C 的面积为2S ，第三个平行四边形1121O B B C 的面积为3S …则2020S 是（）A．2020962B．20201922C．20191922D．2021962【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD 矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，=＝16，∴矩形ABCD 的面积＝12×16＝192；∵四边形1OBB C 是平行四边形，OB＝OC，∴四边形1OBB C 是菱形，∴118BA CA ==，∴1OA 是△ABC 的中位线，∴1OA ＝12AB＝6，∴11212OB OA ==，∴平行四边形四边形1OBB C 的面积＝12×12×16＝12⨯192；根据题意得：四边形111A B C C 是矩形，∴第2个平行四边形111A B C C 的面积111AC A B =´＝8×6＝48＝212⎛⎫⎪⎝⎭×192；同理：第3个平行四边形12OB B C 的面积＝12×8×6＝24＝312⎛⎫⎪⎝⎭×192；．．．，∴第n 个平行四边形的面积是12n⎛⎫⎪⎝⎭×192，则2020S 是202012⎛⎫⎪⎝⎭×192＝20201922，故选：B．课后练习1．如图，已知四边形ABCD ，R，P 分别是DC BC ，上点，E，F 分别是AP RP ，的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减少C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长不能确定【答案】C【详解】解：如下图，连接AR ，E F 、分别是AP RP 、的中点，EF ∴为APR △的中位线，12EF AR ∴=，为定值，∴线段EF 的长不改变，故选：C．2．如图，在四边形ABCD 中，=AD BC ，E、F、G 分别是CD AB AC 、、的中点，若2080DAC ACB ∠︒∠︒=，=，则FEG ∠=．【答案】30︒【详解】解：∵AD BC =，E，F，G 分别是CD AB AC ，，的中点，∴GE 是ACD 的中位线，GF 是ACB △的中位线，11,,22GE AD GF BC ∴==,,,GF BC GE AD ∥∥80,20AGF ACB EGC DAC ︒︒∴∠=∠=∠=∠=,又AD BC = ,EFG FEG ∴∠=∠,()2018080120FGE FGC EGC ︒︒︒︒∠=∠+∠=+-= ,()1180302FEG FGE ︒︒∴∠=-∠=.故答案为：30︒．3．如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．4．如图，在ABC 中，D ，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，DC ，AB 四条边的中点，连接AD ，DE ，EF ，DG ，若ABC 的面积为16，则CEF △和ADG △的面积之和为．【答案】6【详解】解： 点D 是BC 的中点，ABC 的面积为16，182ABD ADC ABC S S S ∴=== ， 点G 是AB 的中点，142ADG ABD S S ∴== ， 点E 是AC 的中点，142EDC ADC S S ∴== ， 点F 是CD 的中点，122EFC EDC S S ∴== ，CEF ∴ 和ADG △的面积之和为6，故答案为：6．4．如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCFADFES S =四边形△．【答案】35【详解】解：取CD 中点G ，则EG 是ACD 中位线，∴1,2EG AD EG AD =∥，2AD BD = ，12BD AD EG ∴==,DFB EFG BDF EGF∠=∠∠=∠ ∴BDF EGF ≌，∴132DF FG CG BF EF CF DF ===∴=，，，设1BDF S ∆=，则3BCF CEF AEF S S S ∆∆∆===，2ADF S ∆=，∴35BCFADFE S S ∆=四边形，故答案为35．5．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，E、F 分别是边,CD BC 上的动点，连接AE EF 、，G、H 分别为AE EF 、的中点，连接GH ．若GH 的最小值为3，则BC 的长为．【答案】【详解】解：连接AF ，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH AF ∥，且12GH AF =，要使GH 最小，只要AF 最小，当AF BC ⊥时，AF 最小，∵GH 的最小值为3，∴6AF =，∵45B ∠=︒，∴45BAF ∠=︒，∴6BF AF ==，∴AB ==∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AB ==故答案为：6．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，D 是BC 的中点AE BE ⊥，5AB =，3AC =，则DE 的长为（）A．1B．32C．2D．52【答案】A【详解】延长AC 交BE 的延长线于点F ，如图，AE BE ⊥ ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，AE 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，ABE AFE ∴∠=∠，ABF ∴ 是等腰三角形，5AF AB ∴==，点E 是BF 的中点，532CF AF AC ∴=-=-=，DE 是BCF △的中位线，112DE CF ∴==．故选：A．7．如图，ABC 中，9cm,5cm AB AC ==，点E 是BC 的中点，若AD 平分,BAC CD AD ∠⊥，求线段DE 的长．【答案】2cm【详解】解：出如图，延长CD 交AB 于F ，由题意知，FAD CAD ∠=∠，90ADF ADC ∠=∠=︒，在ADF △和ADC △中，∵FAD CAD AD AD ADF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADF ADC △≌△，∴DF CD =，5AF AC ==，∴D 是CF 的中点，4BF AB AF =-=，又∵E 是BC 的中点，∴DE 是BCF △的中位线，∴122DE BF ==，∴DE 的长为2cm．8．如图，ABC 的周长为64，E ．F ．G 分别为AB ．AC ．BC 的中点，A '．B '．C '分别为EF ．EG ．GF 的中点，A B C ''' 的周长为16．如果ABC ．EFG ．A B C ''' 分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是．【答案】11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据三角形中位线定理分别求出第2个三角形的周长、第3个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，EF ∴、EG 、FG 都是ABC 的中位线，12EF BC ∴=，12EG AC =，12FG AB =，EFG ∴△的周长=164643222⨯==，即第2个三角形的周长是32，同理可得，第3个三角形的周长是211646416222⨯⨯==，⋯⋯，则第n 个三角形的周长是7116422n n --=⨯，故答案为：11642n -⨯9．如图，ABC 中，中线,BD CE 相交于O．F、G 分别为,BO CO 的中点．(1)求证：四边形EFGD (2)若ABC 的面积为12，求四边形EFGD 的面积．【答案】(1)见解析(2)4【详解】（1）证明：∵,BD CE 是ABC 的中线，F、G 分别为,BO CO 的中点，∴,ED FG 分别是,ABC OBC 的中位线，∴1,2ED BC ED BC = ，1,2FG BC FG BC =∥，∴,ED FG ED FG = ，∴四边形EFGD 是平行四边形；（2）解：∵,ED BD 分别是,ABD ABC 的中位线，又∵ABC 的面积为12，∴111123244BDE ABD ABC S S S ===⨯= ，∵四边形EFGD 是平行四边形，中线,BD CE 相交于O，F 为BO 的中点，∴O 为DF 的中点，∴113133EBF EFO EOD BDE S S S S ====⨯= ，1GOF GDO EFO EDO S S S S ==== ,∴44EFGD EFO S S == ，∴四边形EFGD 的面积为4．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF BE =，连接EC 并延长，使CG CE =，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ．(1)求证：四边形AFHD 为平行四边形；(2)若CB CE =，80BAE ∠=︒，30DCE ∠=︒，求CBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，BAE BCD ∠=∠，∵BF BE =，CG CE =，∴BC 是EFG 的中位线，∴BC FG ∥，12BC FG =，∵H 为FG 的中点，∴12FH FG =，∴BC FH ∥，BC FH =，∴AD FH ∥，AD FH =，∴四边形AFHD 是平行四边形；（2）解：∵80BAE ∠=︒，∴80BCD ∠=︒，∵30DCE ∠=︒，∴803050BCE ∠︒=︒=-，∵CB CE =，∴()118050652CBE CEB ︒∠=∠=︒-︒=．11．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O．2BD AD =，E，F，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．(1)求证：BE AC ⊥；(2)若2EF =，求EG 的长．【答案】(1)见解析(2)2EG =【详解】（1）解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，2BD BO =．由已知2BD AD =，BO BC ∴=．又E 是OC 中点，BE AC ∴⊥．（2）由（1）BE AC ⊥，又G 是AB 中点，EG ∴是Rt ABE 斜边上的中线．EG ∴=12AB又EF 是OCD 的中位线，EF ∴=12CD ．又AB CD =，2EG EF ∴==．12．如图，四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，(1)求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足,,PA PB PC PD APB CPD ==∠=∠，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD ，∵点E、H 分别为边AB AD 、的中点，∴1,2EH BD EH BD =∥,∵点F、G、分别为BC CD 、的中点，∴1,2FG BD FG BD =∥，∴EH FG EH FG =、∥，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：四边形EFGH 是菱形，理由如下：如图2，连接AC BD 、，。

《中位线》典型例题例1 如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF=∠DFE分析 欲证∠AEF=∠DFE ，由MN ⊥EF 想到延长BA 、CD 与NM 的延长线交于=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠E 的延长线交于、GN∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点，∴ 同理可得：又∵..,GNM GMN GN GM CD AB ∠=∠∴=∴=∵∥GN AB ,∥，∴.,Q GNM EPN GMN ∠=∠∠=∠∴,.MN EF Q EPN ⊥∠=∠又∴DFE AEF ∠=∠（等角的余角相等）说明 添辅助线是证明几何题的难点，尤其像本题要添多条辅助线，更为困难掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是在分析中自然添辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结例2 如图，C 为已知线段AB 外一点，以AC ，BC 为边，分别向ABC ∆的外侧作正方形ACFD 和正方形BCGE ，不论C 点的位置在AB 的同侧怎样变化，求证：（1）D ，E 到AB 所在直线的距离之和为定值；（2）线段DE 的中点M 为定点证明：（1）作AB D D ⊥'于，AB C C ⊥'于，AB E E ⊥'于∵DAC ∠-︒=∠+∠18021，且︒=∠90DAC∴︒=∠+∠9021∴AB D D ⊥'∴︒=∠+∠9031∴32∠=∠∴AD AC =∴D DA Rt C AC Rt '∆≅'∆∴D D C A '='同理：E E C B '='∴AB C B C A D D E E ='+'='+'（为定值）（2）过M 作AB MN ⊥于N∵ AB MN AB E E AB D D ⊥⊥'⊥',,，∴E E MN D D ''////∵ME DM =，∴E N N D '='∵ D DA C AC '∆≅'∆，∴D A C C '='∴E EB C BC '∆≅'∆∴E B D A E B C C '=''=',∴E B E N D A N D '-'='-'∴NB AN =即N 为AB 的中点（为定点） 又∵AB E E D D MN 21)(21='+'=（为定值）， ∴M 为定点分析本题综合考查了平行线等分线段定理，梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等，易错点是对定值、定点不理解，解题关键是作如图所示的四条辅助线。

2021年九年级数学中考复习分类专题：三角形中位线定理（二）一．选择题1．如图，屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则BC和DE的长分别等于（）A．2m，2m B．4m，2m C．2m，4m D．4m，4m2．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C 等于（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，D、E分别为AB、AC边上的中点，则DE的长为（）A．2 B．3 C．2D．45．如图，△ABC的周长为30，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．B．5 C．3 D．46．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形……，如此操作下去，那么，第6个三角形的直角顶点坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）7．如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．188．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，CF 平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4 B．5 C．5.5 D．69．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．8 B．6 C．4 D．510．如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则的值等于（）A．B．C．D．二．填空题11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D是AC边上的一点，且AD＝2，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE，连接BE并取BE的中点F，连接CF，则CF的长为．13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E是BC的中点，连结DE，且AB＝6，AC ＝10，则DE＝．14．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．15．在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为BC，AC的中点，连接DF、DE、EF，若△ABC 周长为6，则△DEF周长为．16．如图，四边形ABCD中，∠BMF+∠CNF＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，AB＝5，CD ＝12，则EF＝．三．解答题17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，中线AE与中线CD交于点O，AB＝6．（1）求证：AO：OE＝2：1；（2）求OC的长．18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．（1）求∠EDB的度数；（2）求DE的长．19．在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．（1）求证：DF＝BE；（2）若CF＝2，CE＝．求tan∠ADF．20．如图，已知AD与BC相交于E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；（3）若O为AB中点，求证：OF＝BE．21．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B 重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．（1）求证：BF＝FD；（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG＝DA，并说明理由．22．如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH 还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．参考答案一．选择题1．解：∵BC⊥AF，∠A＝30°，∴BC＝AB＝4m，∵BC、DE垂直于横梁AC，∴DE∥BC，又D是AB的中点，∴DE＝BC＝2m，即：BC＝4m，DE＝2m．故选：B．2．解：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABF，∴∠BFD＝∠DBF，∴DF＝DB＝BC＝3，故选：A．3．解：连接BD，∵E、F分别是AB、AD中点，∴BD＝2EF＝4，∵BD2+CD2＝25，BC2＝25，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴tan C＝＝，故选：A．4．解：∵AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝4，∵D、E分别为AB、AC边上的中点，∴DE＝BC＝2，故选：A．5．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝30﹣12＝18，∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，∴PQ＝DE＝3．故选：C．6．解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；第4个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；第5个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；第6个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；故选：A．7．解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选：B．8．解：∵∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝＝5，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC＝，EC＝AC＝，DE∥BC，∴∠FCM＝∠EFC，∵CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，∴∠FCM＝∠FCE，∴∠EFC＝∠FCE，∴EF＝EC＝，∴DF＝DE+EF＝4，故选：A．9．解：如图，连结DN，∵DE＝EM，FN＝FM，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝6，AB＝8，∴BD＝＝10，∴EF的最大值＝BD＝5．故选：D．10．解：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，∴∠BDC+∠DBE＝∠BDA+∠ABD＝90°，∴BE⊥CD，又∵F、G分别是线段BD和CE的中点，∴FH、GH分别是△BCD和△BCE的中位线，∴FH∥CD且FH＝CD，GH∥BE且GH＝BE，∴△HFG是等腰直角三角形，∴＝，∴＝．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2CM＝4，故答案为：4．12．解：延长AE、BC交于点H，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠HAC＝45°，AE＝AD＝2，∴CH＝AC＝BC，AH＝AC＝6，∴EH＝AH﹣AE＝4，∵BC＝CH，BF＝FE，∴FC＝EH＝2，故答案为：2．13．解：延长BD交AC于F，在△ADB和△ADF中，，∴△ADB≌△ADF（ASA）∴AF＝AB＝6，BD＝DF，∴FC＝AC﹣AF＝4，∵BD＝DF，BE＝EC，∴DE＝FC＝2，故答案为：2．14．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AB，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠BDE＝∠MAN＝90°，∴∠BDE＝∠A'EF，∴AB∥A'E，∴∠ABC＝∠A'EB，∴∠A'BC＝∠A'EB，∴A'B＝A'E，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AE′＝，∴AB＝；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，∴∠ACF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2；综上所述，AB的长为或2；故答案为：或2．15．解：∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点，∴DE＝BC＝4.5，DF＝AC，EF＝AB，∴△DEF的周长＝（AB+BC+AC）＝×6＝3．故答案为：3．16．解：连接BD，取BD的中点H，连接EH，HF，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EH∥AB，EH＝AB＝，HF∥CD，HF＝CD＝6，∴∠HEF＝∠BMF，∠HFE＝∠CNF，∵∠BMF+∠CNF＝90°，∴∠HEF+∠HFE＝90°，∴∠EHF＝90°，∴EF＝＝＝，故答案为：．三．解答题（共7小题）17．（1）证明：连接DE则DE是△ABC的中位线，DE∥AC，DE＝AC∴∠OAC＝∠OED，∠OCA＝∠ODE∴△OAC∽△OED∴AO：OE＝OC：OD＝AC：DE＝2：1（2）解：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝6 ∴CD＝AB＝3由（1）可知，OC：OD＝2：1∴OC＝CD＝2．18．解：（1）∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABC＝40°．（2）∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点，∵DE∥BC，∴E为AB的中点，∴DE＝AB＝6cm．19．（1）证明：∵F，E是AC，BC的中点，∴FE＝AB（中位线定理）；∵AD＝AB，∴AD＝FE，∵点F是AC中点，∴AF＝FC，又∠DAF＝∠CFE＝90°，∴△DAF≌△FEC，∴DF＝EC，∴DF＝BE；（2）解：∵CF＝2，CE＝，∴EF＝1，∴tan∠ADF＝tan∠CEF＝2．20．证明：（1）∵BD＝CD，∴∠BCD＝∠1；∵∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠2；∴CD∥AB．（2）∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠3．∵∠BCD＝∠2＝∠3，∴BE＝AE．且∠CDA＝∠BCD，∴DE＝CE．在△BDE和△ACE中，∵．∴△BDE≌△ACE（SAS）；（3）∵△BDE≌△ACE，∴∠4＝∠1，∠ACE＝∠BDE＝90°∴∠ACH＝90°﹣∠BCH；又∵CH⊥AB，∴∠2＝90°﹣∠BCH；∴∠ACH＝∠2＝∠1＝∠4，∴AF＝CF；∵∠AEC＝90°﹣∠4，∠ECF＝90°﹣∠ACH，又∵∠ACH＝∠4，∴∠AEC＝∠ECF；∴CF＝EF；∴EF＝AF；∵O为AB中点，∴OF为△ABE的中位线；∴OF＝BE．21．（1）证明：在Rt△AEB中，∵AC＝BC，∴CE＝AB，∴CB＝CE，∴∠CEB＝∠CBE．∵∠CEF＝∠CBF＝90°，∴∠BEF＝∠EBF，∴EF＝BF．∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°，∴∠FED＝∠EDF．∴BF＝FD；（2）解：由（1）BF＝FD，而BC＝CA，∴CF∥AD，即AE∥CF．若AC∥EF，则AC＝EF，∴BC＝BF．∴BA＝BD，∠A＝45°．∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°时，四边形ACFE为梯形；（3）解：作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．∵DG＝DA，∴DH＝DB．又F为BD中点，∴H为DF的中点．∴GH为DF的中垂线．∴∠GDF＝∠GFD．∵点G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°，∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．∴3∠EDF≤180度．∴∠EDF≤60度．又∠A+∠EDF＝90°，∴30°≤∠A＜90°．∴当30°≤∠A＜90°时，DE上存在点G，满足条件DG＝DA．22．（1）证明：如图1，连接AC，∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，∴EF∥AC，；HG∥AC，．∴EF GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH均为平行四边形．证明（以图2为例）：连接AC．在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，；在△DAC中，∵G、H分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，．∴EF平行且等于GH．∴四边形EFGH是平行四边形；23．（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，∵BE＝CE﹣BC，DE＝EF﹣DF，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．∵CG＝CF＝a，CA＝CD＝a，∴AG＝DF＝a，∴BM＝ME＝×a＝a．解法二：如答图1b．∵CB＝a，CE＝2a，∴BE＝CE﹣CB＝2a﹣a＝a，∵△ABM≌△FDM，∴BM＝DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM＝ME＝BE＝a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，AC＝CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM＝DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME＝AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF＝AG，∴BM＝ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE＝45°，∴∠ACD＝45°×2+45°＝135°∴∠BAC+∠ACF＝45°+135°＝180°，∴AB∥CF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM＝FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB＝DF，BM＝DM，∴AB＝BC＝DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE＝DE，∠BEC＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝∠DEF+∠CED＝∠CEF＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM＝DM，∴BM＝ME＝BD，故BM＝ME．。

几何证明的基本方法三,构造中位线法（平行线法）2.（全等）如图，在K EBC中，BD平分/EBC，延长DE至点A，使得EA = ED，且Z ABE = Z C. 探究AB与CD的数量关系.第5页共5页3.如图，四边形ABCD , AB = CD , E、F分别为边AD、BC的中点，FE的延长线分别交CD、BA 的延长线于G、H.求证：/ H = Z CGF4.如图，在A ABC中，E是BC的中点，在AC上有一点D，且满足CD = AB，F是AD的中点，连结EF并延长交BA的延长线于点G .求证：AG = AF5.（全等）如图，等腰直角A ABC与等腰直角A BDE，P为CE中点，连接PA、PD . 探究PA、PD 的关系.（相似）如图，A ABC与A BDE中，/CAB = Z BDE = 90°，AC = k - AB，DE = k - DB，P为CE中点，连接PA、PD . 息探究PA、PD的数量关系.--2——6.如图，A AOB与A COD中，OA = OB , OC = OD , 别为CD和AB的中点⑴判断PE、PF的数量关系并证明；⑵猜想/EPF与ZAOB的关系并证明. 方法一：AAOB = Z COD. P为CB的中点，E、F分第5页共5页8.如图，A BAC与ADAE具有公共的顶点A，且/BAC = Z DAE , AB = AC , AD = AE ,点F、P、G 分别为DE、BE、BC的中点.连接PF、PG.猜想Z FPG与/BAC的数量关系，并说明理由.——3——9.如图，A BAC与A DAE具有公共的顶点A，且Z BAC = Z DAE，AB = k - AC，AE = k - AD，点F、P、G分别为DE、BE、BC的中点.连接PF、PG.猜想Z FPG与Z BAC的数量关系，并说明理由.10.⑴如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG > BC）取线段AE的中点P .探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.⑵如图2,将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.探究：线段PD、PF的关系，并加以证明. …AC = hBC， DE = k BE，尸为AD 的中点.11.如图，AA3C 与AD3石中，ZACB = ZDEB =90°⑴探究尸。

专题07三角形中的中位线与中垂线模型【模型1】三角形中位线如图，已知D 、E 分别为AB 、AC 的中点，根据三角形中位线的性质，可得BC DE BC DE 21,//=且,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得ABC ADE S S ∆∆=41。

【模型2】梯形中位线如图，已知CD AB //，E、F 分别为梯形两腰AD、BC 的中点，根据梯形中位线的性质，可得)(21,////CD AB EF EF CD AB +=且,【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知DE 为ABC ∆的中位线。

【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法如图，在ABC ∆中，已知点D 为AB 的中点，通常情况下，过点D 作BC DE //，可知BC 为ADE ∆的中位线。

【模型3】中垂线模型如图，已知直线l 是AB 的垂直平分线，点A 是直线l 上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。

【例1】已知：ABC ∆中，D 为BC 的中点，AG 平分,BAC CG AG ∠⊥于G ，连结DG ，若6,4AB AC ==，求DG 的长．【答案】1DG =【分析】延长CG 交AB 于点E.根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG ，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=12BE=12（AB-AC ），从而得出DG 的长．【解析】解：延长CG 交AB 于点E ．AG 平分BAC ∠，CG AG ⊥于G ，CG EG ∴=，4AE AC ==，2BE AB AC ∴=-=，∵CG EG =，D 为BC 的中点，112DG BE ∴==．故答案为1DG =.【例2】如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点E 、F 分别为边BC 、DC 的中点，连接EF ，求证：EF ．【答案】见解析【分析】连接AC 、BD ，交于点O ，根据三角形的中位线定理知EF BO =，在菱形ABCD中，60ABC ∠=︒，易知60BCO ∠=︒，解直角三角形OBC 知2BC ,从而得证．【解析】证明：如图，连接AC 、BD ，交于点O ，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，12EF BD BO ∴==，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC BD ∴⊥，30CBD ∠=︒，60BCO ∴∠=︒，sin 60222BO BC BC BE ∴=⋅︒==⋅=，EF ∴=．【例3】已知：如图，在△ABC 中，D 在边AB 上．（1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC 2=AD·AB ；（2）若E 为CD 中点，∠ACD =∠ABE ，AB =3，AC=2，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解；(2)过C 作CF ∥EB 交AB 的延长线于F ，转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB 和AC 的值即可求解．【解析】(1)在ABC 和ACD △中，ACD ABC ∠=∠，∠A=∠A ，∴ABC ∽ACD △，∴AD AC AC AB=，∴2AC AD AB =⋅；(2)过C 作CF ∥BE 交AB 的延长线于F ，由于E 为CD 中点，∴BF=BD ，∠F=∠ABE ，∵ACD ABE ∠=∠，∴ACD F ∠=∠，∠A=∠A ，∴AFC △∽ACD △，∴AC AF AD AC=，∴2AC AD AF =⋅，∵2AC =，3AB =，则3AD BD =-，3AF AB BF BD =+=+，∴22(3)(3)BD BD =-+，解得：一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC 边的中点，1OE =，则AB 的长是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证明点O 为AC 的中点，而点E 是BC 边的中点，可证OE 为△ABC 的中位线，利用中位线定理解题即可．【解析】解：由平行四边形的性质可知AO =OC ，而E 为BC 的中点，即BE =EC ，∴OE 为△ABC 的中位线，OE =12AB ，由OE =1，得AB =2．故选B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE =2cm ，则AB 的长为（）A ．4cmB ．8cmC ．2cmD ．6cm【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得到OA =OC ，结合EC =EB ，得到OE 是△ABC 的中位线，根据中位线定理，得到AB =2OE 计算选择即可．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA =OC ，因为EC =EB ，所以OE 是△ABC 的中位线，所以AB =2OE ，因为OE =2，所以AB =4(cm)．故选A ．3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，若DE =4，则BC 等于（）A ．2B ．4C ．8D ．10【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解析】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，DE =4，∴BC =2DE =2×4=8，故选：C ．4．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，AE 平分BAD ∠交BC 于点.E 点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，则FG 的长为（）A ．32B 10C ．4D ．5【答案】B 【分析】由AE 平分∠BAD 得∠BAE =∠DAE ，根据矩形ABCD 可得△ABE 是等腰直角三角形，所以BE =AB =6，从而可求EC =2，连接DE ，由勾股定理得DE 的长，再根据三角形中位线定理可求FG 的长．【解析】解：连接DE ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，90BAD B C ∴∠=∠=∠=︒，6AB CD ==，8AD BC ==，AD ∥BC ，DAE AEB ∴∠=∠，AE ∵平分BAD ∠，45DAE BAE ∴∠=∠=︒，BAE AEB ∴∠=∠，6AB BE ∴==，2EC BC BE ∴=-=，222226210DE CE CD ∴=++=，点F 、G 分别为AD 、AE 的中点，FG ∴是ADE 的中位线，1102FG DE ∴==；故选：B ．二、填空题5．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 延长线上的一点，AD ＝24，点E 是BC 上一点，BE ＝10，连接DE ，M 、N 分别是AB 、DE 的中点，则MN ＝____．【答案】13【分析】连接BD ，取BD 的中点F ，连接MF 、NF ，由中位线定理可得NF 、MF 的长度，再根据勾股定理求出MN 的长度即可．【解析】连接BD ，取BD 的中点F ，连接MF 、NF ，如图所示∵M 、N 、F 分别是AB 、DE 、BD 的中点∴NF 、MF 分别是△BDE 、△ABD 的中位线∴11//,//,5,1222NF BE MF AD NF BE MF AD ====∵90ACB ∠=︒∴AD BC⊥∵//MF AD∴MF BC⊥∵//NF BE∴NF MF⊥在Rt MNF △中，由勾股定理得13MN ===故答案为：13．6．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC 的度数为________．【答案】135°【分析】连接BD ，根据三角形中位线定理得到EF ∥BD ，BD ＝2EF ＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC ＝90°，计算即可．【解析】解：连接BD ，∵E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，EF ＝2，∴EF ∥BD ，BD ＝2EF ＝4，∴∠ADB ＝∠AFE ＝45°，又∵BC ＝5，CD ＝3，∴BD 2+CD 2＝25，BC 2＝25，∴BD 2+CD 2＝BC 2，∴∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝135°，故答案为：135°．7．梯形ABCD 中，AB CD ，点E ，F ，G 分别是BD ，AC ，DC 的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG 的周长是______________．【答案】92【分析】连接AE ，并延长交CD 于K ，利用“AAS”证得△AEB ≌△KED ，得到DK=AB ，可知EF ，EG 、FG 分别为△AKC 、△BDC 和△ACD 的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG ，可求得答案．【解析】连接AE ，并延长交CD 于K ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE=∠DKE ，∠ABD=∠EDK ，∵点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．∴BE=DE ，在△AEB 和△KED 中，BAE DKE ABD EDK BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△KED （AAS ），∴DK=AB ，AE=EK ，EF 为△ACK 的中位线，∴EF=12CK=12(DC-DK)=12(DC-AB)，∵EG 为△BCD 的中位线，∴EG=12BC ，又FG 为△ACD 的中位线，∴FG=12AD ，∴EG+GF=12(AD+BC)，∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，∴EG+GF=3，FE=32，∴△EFG 的周长是3+32=92．故答案为：92．8．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，点F 分别是边BC ，边CD 上的动点，且BE ＝CF ，AE 与BF 相交于点P ．若点M 为边BC 的中点，点N 为边CD 上任意一点，则MN +PN 的最小值等于_____．101-【分析】作M 关于CD 的对称点Q ，取AB 的中点H ，连接PQ 与CD 交于点N'，连接PH ，HQ ，当H 、P 、N'、Q 四点共线时，MN+NP ＝PQ 的值最小，根据勾股定理HQ ，再证明△ABE ≌△BCF ，进而得△APB 为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH ，进而求得PQ ．【解析】解：作M 关于CD 的对称点Q ，取AB 的中点H ，连接PQ 与CD 交于点N '，连接PH ，HQ ，则MN '＝QN '，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠AEB ＝∠BFC ，∵AB ∥CD ，∴∠ABP ＝∠BFC ＝∠AEB ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠BAE +∠ABP ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴PH ＝112AB =，∵M 点是BC 的中点，∴BM ＝MC ＝CQ ＝112BC =，∵PH+PQ≥HQ，∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ==的值最小，∴PQ1，此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ1-的值最小，1-．9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP BC的长为_______．【答案】4【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=12FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【解析】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x，∵EM∥BF，∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，则△BFP≌△MEP（ASA），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ，∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．10．如图，梯形ABCD 中，90D ∠=︒，AB CD ，将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处．联结AE 、BE ，设BE 与边AD 交于点F ，如果4AB =，且12AEF ABF S S =△△，那么梯形ABCD 的中位线等于______．【答案】8【分析】由根据三角形的面积公式，由12AEF ABF S S =△△得12DE AB =，进而求得DE =2，从而求得底边EC 的长，于是可求得CD 的长，进而求得梯形ABCD 的中位线．【解析】解：过点B 作BM ⊥CE 于点M，如下图，∵AB CD ，90D ∠=︒，∴∠ADC =180°-∠A =180°-90°=90°，∵12AEF ABF S S =△△，∴122121AEF ABF DE AF DE AB AF AB S S === △△，∵4AB =，∴DE =2，∵BM ⊥CE ，∴∠BMD =90°，∴四边形ABMD 是矩形，∴DM =AB =4，∴EM =2+4=6，∵将线段CB 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在CD 延长线上的点E 处，∴BE =BC ，∵BM ⊥CE ，∴EC =2EM =12，∴CD =12-2=10，∴梯形ABCD 的中位线为：()14+10=72⨯，故答案为：8．11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．下列结论正确的是__________．（填序号）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③EA 平分GEF ∠；④FB 平分EFG Ð；⑤四边形BEFG 是菱形．【答案】①②③【分析】由中点的性质可得出EF CD ，且12EF CD BG ==，结合平行即可证得②结论成立，由2BD AD =2BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE =，2AO EO =，通过证APG EPG ≌D D 得出AG EG EF ==得出①成立，再证GPE FPE D @D 得出④成立，此题得解．【解析】解：令GF 和AC 的交点为点P，如图E 、F 分别是OC 、OD 的中点，EF CD ∴ ，且12EF CD =，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且AB CD =，AB EF∴FEG BGE \Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点，1122BG AB CD FE \===，在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EFG GBE SAS \D @D ，即②成立，EGF GEB\Ð=Ð，FE BG =，GF BE ∥\（内错角相等，两直线平行），2BD BC = ，点O 为平行四边形对角线交点，12BO BD BC \==，E 为OC 中点，BE OC ∴⊥，∴∠BEA =90︒，∵GF BE ∥，∴∠APG =∠BEA =90︒，GP AC \^，∵G 为AB 中点，∴1122GE AB CD EF ===，即①正确；∵GE =EF ，GP AC ⊥，∴EA 平分GEF ∠即③正确；另外，无法判断FB 平分EFG Ð和四边形BEFG 是菱形成立，故④⑤错误；综上所述，正确的有①②③，故答案为：①②③．12．如图，三角形纸片ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BF =2，CF =6，将这张纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合．若DE ∥BC ，BF =DF ，则△ADE 的面积为_____．【答案】【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质和30°直角三角形的性质求解即可．【解析】解：∵纸片沿直线DE 翻折，点A 与点F 重合，∴DE 垂直平分AF ．∴AD =DF ，AE =EF ．∵DE ∥BC ，∴DE 为 ABC 的中位线．∴DE =12BC =12(BF +CF )=12×(2+6)=4．∵BF =DF ，∴ BDF 为等边三角形．∴∠B =60°．在Rt AFB 中，∠BAF =30°，BF =2，∴AF∴四边形ADFE 的面积=12×DE ×AF =12∴ ADE 的面积=12故答案为：三、解答题13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：AHF BGF ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】连接BD ，取BD 的中点，连接EP ，FP ，根据三角形中位线定理即可得到PF=12AD ，PF ∥AD ，EP=12BC ，EP ∥BC ，进而得出∠AHF=∠BGF ．【解析】解：如图所示，连接BD ，取BD 的中点，连接EP ，FP ，∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴EP 是△BCD 的中位线，PF 是△ABD 的中位线，∴PF=12AD ，PF ∥AD ，EP=12BC ，EP ∥BC ，∴∠H=∠PFE ，∠BGF=∠FEP ，又∵AD=BC ，∴PE=PF ，∴∠PEF=∠PFE ，∴∠AHF=∠BGF ．14．如图所示，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BA 到D ，使12AD AB =，点E 是AC 的中点，求证：2BC DE =.【答案】见解析【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=12 AB，又由AD=12AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=12BC．所以DE=2BC.【解析】证明：取BC的中点F，连EF，AF，∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=12 AB，即EF∥AD，∵AD=12 AB，∴EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形；∴AF=DE.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，∴AF=12 BC，∵四边形AFED是平行四边形，∴BC=2DE.15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE=4cm，∠A=45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）【答案】菱形ABCD 的面积是22.7cm²，梯形DEBC 的中位线长是3.7cm ．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =DC =AB ，∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，∵∠A =45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴AE =DE =4，由勾股定理得，224442AD +=∴AB =42，∴菱形ABCD 的面积为DE ×AB =4×422，∵BE =42-4，CD =AD =42∴梯形DEBC 的中位线长（42-4+42÷2=42．答：菱形ABCD 的面积是22.7cm²，梯形DEBC 的中位线长是3.7cm ．16．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，OE 是△ABC 的中位线，连接AE 并延长，与DC 的延长线相交于点F ，且AF =AD ，连接BF .证明四边形ABFC 为矩形【答案】证明见解析【分析】先通过平行四边形及中位线的性质证明△ABE ≌△FCE ，从而得到四边形ABFC 为平行四边形，再结合等腰三角形的三线合一证明∠ACF =90°即可得到答案．【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AB =CD∴∠ABE ＝∠FCE ．∵OE 是△ABC 的中位线∴BE =CE在△ABE 和△FCE 中，ABE FCE BE CE BEA CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△FCE (ASA )∴AB =CF∴四边形ABFC 为平行四边形∴CF =CD又∵AF =AD∴∠ACF =90°∴四边形ABFC 为矩形17．已知：如图，在等边ABC ∆中，060ADE ∠=，且DE 交ABC ∆外角平分线CE 于点E.（1）当点D 为BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系；（2）当点D 不是BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系.【答案】（1）AD DE =，见解析.（2）AD DE =，见解析.【分析】（1）AD=DE ．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF 是等边三角形，再证明△AFD ≌△DCE 即可得到结论；（2）AD=DE ．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF 是等边三角形，再证明△AFD ≌△DCE 即可得到结论；【解析】（1）结论：AD=DE ，理由如下：如图:过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DF ∥AC ，∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴DF=BD ，∠BFD=60°，∵BD=CD ，∴DF=CD∴∠AFD=120°．∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，在△AFD 与△EDC 中，AFD DCE DF CD ADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AFD ≌△DCE （ASA ），∴AD=DE ；（2）结论：AD=DE ；理由如下：如图2，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，又∵DF ∥AC ，∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴BF=BD ，∠BFD=60°，∴AF=CD ，∠AFD=120°，∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ，∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD ，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC ，∴∠FAD=∠EDC ，在△AFD 和△DCE 中，DAF EDC AF CD AFD DCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AFD ≌△DCE （ASA ），∴AD=DE.18．ABC 中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将ABC 绕点A 顺时针旋转n°得到AEF ，E 与B 是对应点，如图1．（1）延长BC 、EF ，交于点K ，求证：∠BKE=n°；（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA 的面积；（3）如图3．当n=150时，取BE 的中点P 和CF 的中点Q ，直接写出2PQ的值．【答案】（1）见解析；（2）12+（3）8-【分析】（1）根据旋转的性质可得AEF B ∠=∠，利用三角形的外角性质可得BKE KPA AEF ∠=∠-∠，从而得到BKE BAE n ∠=∠=︒；（2）连CF ，作FH AC ⊥于H ，根据条件得到ACF ∆是等边三角形，则90EFC ∠=︒，从而根据CEF ACF CEFA S S S ∆∆=+四边形计算即可；（3）取CE 中点G ，连接PG ，QG ，构造△GPQ 为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN ⊥FA 于N 点，结合旋转的性质求解出sin15︒=最后在△GPQ 中运用“三线合一”的性质求解出PQ 的长度得出结论．【解析】（1）设CK 、AE 交于点P ，AEF ∆ 是ABC ∆旋转所得，AEF ABC ∴∆≅∆，AEF B ∠∠∴=，BKE KPA AEF ∠=∠-∠ ，BAE KPA B ∠=∠-∠，BKE BAE n ∴∠=∠=︒；（2）连CF ，作FH AC ⊥于H ，AEF ABC ∆≅∆ ，4EF BC ∴==，6AF AC ==，150AFE ACB ∠=∠=︒，ACF ∴∆是等边三角形，60AFC ∴∠=︒，1506090EFC AFE AFC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，11641222CEF S CF EF ∆∴=⋅=⨯⨯=，132AH AC == ，FH ===11622ACF S AC FH ∆∴=⋅=⨯⨯=12CEF ACF CEFA S S S ∆∆∴=+=+四边形（3）如图，取CE 中点G ，连接PG ，QG ，则PG ，QG 为△BCE 和△FCE 的中位线，∴122PG BC ==，122QG EF ==，△GPQ 为等腰三角形，根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE ，∠CEF=∠CGQ ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC ，∴在四边形ABCE 中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN ⊥FA 于N 点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt △CAN 中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，AN =∴NF=AN+AF=6+由勾股定理得：FC ==∴4CN sin CFN CF ∠==，即：sin15︒=此时，作GM ⊥PQ ，则根据“三线合一”知GM 平分∠PGQ ，∠MGQ=15°，PM=QM ，∴15242MQ GQ sin =︒=⨯= ，∴2PQ MQ ==∴228PQ ==-19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是线段AB 延长线上一动点，连结CE ．（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．①求证：CF=CE；②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．AF；（3）1【答案】（1（2）BM=2【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=1PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可2得出结论．【解析】（1）解：①证明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE．∵M为EF的中点，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．∵∠A=90°，∴FG AF，∴2BM，∴BM AF．（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR．∵Q为AP的中点，∴BQ=12 PR．∵CP=2，CR2244+42PR≥CR-CP=22，∴BQ的最小值为221．。

【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．C ED B A【例2】 在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． CE DB A【例3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．三角形的中位线【例4】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．CM FE NDB A【例5】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC BD <．E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GNM FE DCBA【例6】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【例8】 如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．LPMD CBA【例9】 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： （1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．【例10】 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE的中点．（1）求证MB MC =． （2）设B A D C A E ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EMDCBA【例11】 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA【例12】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．A CDM FE NB【例13】 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．F图3图2图1F N MDCE B ANMDCE BAHF (N )DM C E BA（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)．（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【例14】 如图，AE AB ⊥，BC CD ⊥，且AE AB =，BC CD =，F 为DE 的中点，FM AC ⊥．证明：12FM AC =．NM FEDCBA【例15】 如左下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且()12EF AB CD =-．FECDBA【例16】 等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．Q P R O D CB A【例17】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =． FA DE CB【例18】 在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM MH =，FM MH ⊥；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH ∆是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，F M H ∆还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图1EHF G(N)DC(M)BA图2M NHG FEDC BA图3NHG M FEDCB A【例19】 如图，已知ABC ∆，线段BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠、AG BE ⊥，AH CF ⊥，H 、G 为垂足，求证：GH BC ∥．HGFCBAE【例20】 已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．QPEF MN HCBA。

前 言
共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。

关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。

1动手操作法2相似法3倍长法4平行法5翻折法
目录 CONTENTS
6作高法7构造法8旋转法9统一法10反证法
目录 CONTENTS
类型一：动手操作法
类型五：作高法
类型六：构造法
类型八：旋转法
总结
初中数学中的几何变换包括：平移、旋转、轴对称。

我把这些方法分成了十种不同的类型，其中运用这三种变换都能达到证明的目的。

因为有中点，所以倍长法与作高法和构造法都能构造全等三角形，并且还能自动生成对顶角，平行法相当于就是把线段进行平移，也能构造全等三角形，并生成对顶角，因此平行法、倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转，从而顺利地寻找到证明思路与方法。

这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就在AE=EC，且A、E、C在同一条直线上。

我们应该认真研究初中数学几何知识，发现其本质与联系，就能对几何证明达到融会贯通、运用自如的地步。

要让学生对几何证明进行全方位地探求，抓住问题的全貌以及与问题相关的其他因素，进行多角度、多层次的思考与研究，唯有这样，我们才能使学生的思路更加宽广，思维更加灵活，培养出具有创造性思维能力的学生。

中考加油。

三角形的中位线例题精讲例1如图1，D、E、F分别是△ABC三边的中点．G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值.例2如图2，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点．AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：()12MF AC AB=-.例3如图3，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E．且12CE CD=.求证：∠ACB=2∠B.FED CBA图1 图2 图3 图4 图5巩固基础练1. 已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长等于( )A .1 B. 2 C. 4 D. 82. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么△PDE面积是△ABC'面积的( )A .12B.13C.14D.183. 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，则EF与AB+CD的关系是( )A .2EF AB CD=+ B. 2EF AB CD>+ C. 2EF AB CD<+ D. 不确定4. 如图5，AB∥CD，E、F分别是BC、AD的中点，且AB=a,CD=b，则EF的长为.图6 图7 图8 图9 图105. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG=.6.(呼和浩特市中考题)如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为.7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长.8. 如图8，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE.9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD.求证：CD=2EC.10.如图10，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点.求证：(1)DE∥AB; (2)()12DE AB AC=+.提高过渡练1. 如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，则MD的长为( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是( )A. E P>FHB. EP=FHC. EP<FHD.不确定4. 如图14，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，交AB于E,若AB=5，则DE的长为.5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.图11 图12 图13 图14 图156. 已知在△ABC中，∠B=600，CD、AE分别为AB、BC边上的高，DE=5，则AC的长为.7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.图16 图17 图18 图19 图20顶级超强练1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27 图28。

中位线的证明方法
中位线，是指连接一个三角形的一个顶点与对边中点的线段，即将一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段。

中位线有许多重要的性质和应用，其中之一就是可以证明中位线的长度相等。

要证明中位线的长度相等，可以使用反证法。

假设存在一个三角形ABC，其中位线AD的长度不等于BE的长度。

我们假设AD的长度大于BE的长度，即AD > BE。

由于AD是AC 的中位线，所以AD = 1/2 * AC；类似地，BE是BC的中位线，所以BE = 1/2 * BC。

由于AD > BE，所以1/2 * AC > 1/2 * BC，即AC > BC。

接下来，我们将证明AC > BC导致矛盾。

根据三角形的性质，三角形的两边之和大于第三边，即AC + BC > AB。

由于AC > BC，所以AC + BC > AB。

但是，根据三角形ABC的定义，AC是AB的一条边，BC是AB的另一条边，所以AC + BC = AB。

因此，AB > AB，这是不可能的。

因此，我们得出结论，假设AD的长度大于BE的长度是错误的。

同样的推理，假设AD的长度小于BE的长度也是错误的。

所以，中位线AD的长度必然等于BE的长度。

中位线长度相等的证明方法有多种，上面只是其中一种常用的方法。

通过使用反证法，我们可以证明中位线的长度相等，这对于解决一些与中位线相关的问题是非常有帮助的。

中位线不仅仅是一个三角形的一条线段，它还具有许多重要的性质和应用，可以在几何学和实际生活中发挥重要作用。

专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。

位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。

培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。

中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。

它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。

中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。

一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。

让我们回顾一下中位线的定义。

中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。

为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。

设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。

根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。

现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。

设交点为D。

根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。

我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。

然后我们来看三角形ADM和三角形BND。

根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。

根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。

根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。

因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。

同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。

我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。

根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。

我们可以得出结论：CD || AB。

根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。

因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。

代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。

我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。

根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。