湖南省长沙市高考模拟试卷(二模)数学文试题 Word版含解析

湖南省长沙市2021年高三文科数学第二次模拟考试试卷及答案科目:数学(文科)(试题卷)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名.准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上,并认真核对条形码的姓名.准考证号和科目.2.选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.本试题卷共5页.如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负.4.考试结束后,将本试题卷和答题一并交回.姓名准考证号绝密启用前长沙市教科院组织名优教师联合命制满分:150分时量:120分钟湖南省长沙市_年高三文科数学第二次模拟考试试卷说明:本卷为试题卷,要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合,则等于A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}2．复数=[来源:学_科_网]A．-4+2i B．4-2i C．2-4i D．2+4i3．已知,则下列关系中正确的是A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b4．一平面截一球得到直径为cm的圆面,球心到这个平面的距离是2cm,则该球的体积是A．12cm3 B.36cm3 C．cm3 D．cm35．等比数列中,公比,记(即表示数列的前n项之积),中值最大的是A．B．C．D．6．某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是A． B．C． D．湖南省长沙市_年高三文科数学第二次模拟考试试卷及答案阅读版 (可调整文字大小)。

考前模拟卷二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.51⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x 的展开式中x 的系数为（）A.15B.10C.5D.1【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式5151C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由5521551C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令521r -=，则2r =，所以x 系数为25C 10=.故选：B2.已知实数a ，且复数2i2ia z +=+的实部与虚部互为相反数，则复数z 对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的加减乘除四则运算化简复数z ，求得实部与虚部，依题求出a 的值，代入即得复数对应的点，判断即可.【详解】()()2i 2i 2i 224i2i 555a a a az +-++-===++，其实部为225+a ，虚部为45a -，依题有224055a a+-+=，解得6a =-，所以22i z =-+，其对应的点为()2,2-，位于第二象限.故选：B.3.在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=和π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，可得出答案.【详解】若sin cos A B =，则π2A B +=或π2A B -=，即π2C =或π2A B -=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的不充分条件若π2C =，则π2A B +=，则πsin sin()cos 2A B B =-=，所以在△ABC 中，“sin cos A B =”是“π2C =”的必要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.4.双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴垂线交双曲线于,A B 两点，1F AB 为正三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】利用点在双曲线上代入可得三角形的边长22b AB a=，再利用双曲线的性质构造离心率的齐次方程，求出即可.【详解】设()1,A c y ，代入双曲线方程可得22224221122221y x c a b y b a b a a --=⇒==，所以22b AB a =即正三角形的边长，所以正三角形的高为2222b a a⨯=，所以)222222322220c ac ac c a ac e a=⇒=⇒=-⇒-=⇒=，故选：C.5.已知四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，E 为PC 中点，则（）A.BE 平面PADB.PD ⊥平面ABCDC.平面PAB ⊥平面PADD.DE EB=【答案】C 【解析】【分析】由线面平行的性质判断A 错误；举反例判断B 错误；先证明PH AB ⊥，再由线面垂直得到AB ⊥平面PAD ，进而得到平面PAB ⊥平面PAD ，判断C 正确；由已知条件判断D 错误.【详解】A ：易知//BC 平面PAD ，因为BE BC B = ，且两条直线都在平面PBC 内，所以BE 不可能平行平面PAD ，故A 错误；B ：举反例，如图PH 垂直平面ABCD 时，由于PD PH P ⋂=，所以PD 不垂直，故B 错误；C ：作PH AD ⊥于点H ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PH AB ⊥，又AB AD ⊥，PH AD H ⋂=，且,PH AD 都在平面PAD 内，所以AB ⊥平面PAD ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，故C 正确；D ：没有任何条件可以证明DE EB =，故D 错误；故选：C.6.已知圆22:(1)(2)16C x y -++=，过点()0,1D 的动直线l 与圆C 相交于,M N两点||MN =直线l 的方程为（）A.4330x y +-=B.3440x y -+=C.0x =或4330x y +-= D.4330x y +-=或3440x y -+=.【答案】C 【解析】【分析】考虑直线l 与x 轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【详解】当直线l 与x 轴垂直时，易知直线l 的方程为0x =，22:(1)(2)16C x y -++=中令0x =得2(2)15y +=，解得2y =，故此时()22MN y ==-=，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，则圆心到直线的距离为d =MN ===，1d ∴==，解得43k =-，则直线l 的方程为413y x =-+，即4330x y +-=，综上可知直线l 的方程为0x =或4330x y +-=.故选：C.7.已知圆内接四边形ABCD 中，π2,,4AD ADB BD ∠==是圆的直径，2AC BD ⋅= ，则ADC ∠=（）A.5π12B.π2 C.7π12D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形ABCD 的几何性质，即可得所求.【详解】因为2AC BD ⋅=，所以()2AD DC BD +⋅= ，易知BD =，结合图形，2·242AD BD =⨯= ，90BCD ∠=︒，则242DC -= ，故DC = .所以在直角三角形BCD 中可得π3BDC ∠=，故7π12ADC ∠=.故选：C .8.若直线e 4eln40x y -+=是指数函数(0x y a a =>且1)a ≠图象的一条切线，则底数=a （）A.2或12 B.eC.D.e 【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为()()00,x f x ，根据导数的几何意义，列式运算求得a 的值.【详解】设切点坐标为()()00,x f x ，对函数x y a =，求导得ln x y a a '=，切线方程e 4eln40x y -+=化成斜截式为4e 44eln y x =+，由题设知000e ln 04e eln44x x a a x a ⎧=>⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，显然ln 0a >，即1a >，由0e 4ln x aa =，得04e eln4e4ln x a +=，即01ln4ln x a=+，即()00ln ln 01ln ln ln4ln ln4ln 4xx aa x a a a a =⋅+=+=⋅，即0ln ln ee 444ln xaa a a=⋅=⋅，化简得ln 44ln a a =，令ln 0a t =>，即44t t =，利用指数函数与一次函数的性质，可知1t =或12，即ln 1a =或12，解得e a =.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知,,a b c 是空间中三条不同的直线，,αβ是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）A.若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥B.若,a αβα⊥⊥，则aβC.若a ,b a ,c a α，则b α或c α.D.若,,a b a αβ⊥⊥ b ，则α β，【答案】ABC 【解析】【分析】由题意分别进行判断，错误的选项指明错误点.【详解】对A ，需要补上,b c 不平行才成立，否则a 可能与α相交或平行，故A 错误；对B ，若,a αβα⊥⊥，则a β∥或a β⊂，故B 错误；对C ，有可能b α⊂且c α⊂且b c P ，故C 错误；对D ，若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥，故D 正确.故选：ABC.10.对于事件A 与事件B ，若A B ⋃发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.()()2P BA P AB =∣∣C.事件A 发生的概率的范围为[]0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD 【解析】【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则()()()()30.72P A B P A P B P A ⋃=+==，所以()0.24,A P A =，故A 错误；对于B ，()()()()()()()()()1|,||22P AB P AB P AB P B A P A B P B A P A P B P A ====，故B 正确；对于C ，()()()()()()()()30.72,0.243P AB P A B P A P B P AB P A P AB P A ⋃=+-=-==+，若事件A 与事件B 互斥，则()0P AB =，此时()P A 取到最小值为0.24，若()()P A P B ⊆，此时()()(),P AB P A P A =取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，()0.3P A =，则()0.6P B =，由()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，得()()()0.30.60.720.18P AB P A P B =+-==⋅，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域和值域均为{}0,x x x ≠∈R ∣，对于任意非零实数,,0x y x y +≠，函数()f x 满足：()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，且()f x 在(),0∞-上单调递减，()11f =，则下列结论错误的是（）A.122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2023202311222i i f =⎛⎫ ⎪⎝=⎭-∑C.()f x 在定义域内单调递减 D.()f x 为奇函数【答案】BC 【解析】【分析】赋值法可判断A ，根据等比数列求和公式判断B ，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C ，由函数的特例可判断D.【详解】对于A ，令12x y ==，则()21121()[()]22f f f =，因1()02f ≠，故得1()2(1)22f f ==，故A 正确；对于B,由()()()()()()f x y f x f y f x f y ++=，令y x =，则2[()]1(2)()2()2f x f x f x f x ==，则111111()(2)()2222i i i f f f ++=⨯=，即111(2()22i i f f +=，故1{(2i f 是以1(22f =为首项，2为公比的等比数列，于是()2023202320241212122212i i f =-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭∑，故B 错误；对于D ，由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，令2y x =-，则()()()()()22f x f x f x f x f x --=+-①，把,x y 都取成x -，可得()()()()()222f x f x f x f x f x ----==-②，将②式代入①式，可得()()()()()22f x f x f x f x f x --=-+，化简可得()(),f x f x -=-即()f x 为奇函数，故D 正确；对于C ，()f x 在(),0∞-上单调递减，函数为奇函数，可得()f x 在()0,∞+上单调递减，但是不能判断()f x 在定义域上的单调性，例如()1f x x=，故C 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出(),()f x f x -的关系式即可判断奇偶性等.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数()πsin 23f x x x ϕ⎛⎫=++-⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称，则ϕ可以为__________.（写出一个符合条件的ϕ即可）【答案】π6-.（答案不唯一）【解析】【分析】因为函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，只需根据三角函数图象让2x =也为πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴即可.【详解】函数2y x =-的图象关于直线2x =对称，则只要πsin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称即可，所以()2πππ32k k ϕ+=+∈Z ，所以()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，如令0k =，可以取π6ϕ=-.故答案为：π6-13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，下顶点为A ，过,A F 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若直线l 的斜率为1，且83AB =，则椭圆C 的标准方程为__________.【答案】22142x y +=【解析】【分析】利用弦长公式求解参数，得到椭圆方程即可.【详解】设(),0F c ，由题意知，,b c a ==，直线l 的方程为y x c =-，与椭圆C 的方程联立化简得x cx -=2340，所以40,3A B x x c ==，故833B A AB x x c =-==，解得c =所以2b a ==，椭圆C 的方程为22142x y +=.故答案为：22142x y +=14.龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：12,,,m G G G ，记挑战每一个关卡()1,2,,k G k m = 失败的概率为k a ，其中()110,1,3k a a ∈=.游戏规则如下：从第一个关卡1G 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若2m =，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望()E X =__________；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第1k +关的概率总等于闯到第k 关()1,2,,1k m =-L 的概率的一半，则数列{}n a 的通项公式n a =__________,1,2,,n m = .【答案】①.53②.1122n -+【解析】【分析】若2m =，则X 得可能取值为1,2，分别求解概率，再求解数学期望()E X 即可；根据题意求解游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-，于是根据递推关系式可得数列{}n a 的通项公式.【详解】若2m =，则X 得可能取值为1,2，又()()1121,21333P X P X ====-=，所以()12512333E X =⨯+⨯=；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第k 关的概率为k P ；那么有()()()()()()121121111111k kk m a a a a P a a a ----=---- ，由112k k P P +=可得()1112k k k a a a +=-；即121k k k a a a +=-，对两边同时取倒数，可得1122k k a a +=-，即111222k k a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又112321a -=-=，故12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列，从而111122,,1,2,,22n n n n a n m a ---===+ .故答案为：53；1122n -+.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.若抛物线Γ的方程为24y x =，焦点为F ，设,P Q 是抛物线Γ上两个不同的动点.（1）若3PF =，求直线PF 的斜率；（2）设PQ 中点为R ，若直线PQ斜率为2，证明R 在一条定直线上.【答案】（1）±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦半径公式得到2P x =，求出(2,P ±，从而求出斜率；（2）法一：:2PQ y x t =+，联立抛物线方程，设()()1122,,,P x y Q x y ，得到两根之和，两根之积，得到122R y y y +==，求出答案；法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，得到21211242y y x x y y -==-+，从而确定12y y +=，得到122R y y y +==，得到答案.【小问1详解】()1,0,13P F PF x =+=，2P x \=，将2x =代入24y x =得，y =±(2,P ∴±所以21PF k ±==±-；【小问2详解】法一：设()()1122,,,P x y Q x y，:2PQ y x t =+，即x =，代入24y x =，得20y -+=，由韦达定理，有12y y +=故122R y y y +==，R在定直线y =上.法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意，21212221211242244y y y y y y x x y y --===-+-，故12y y +=，故122R y y y +==，R在定直线y =上.16.如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD，,2,4,AB AD AB AD PB CD PD ⊥=====，点E 为PB 中点，DE PC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知点F 为线段AB 的中点，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）连接BD ，可证PD BD =，从而得到DE PB ⊥，即有DE ⊥平面PBC ，可得DE BC ⊥，由222BC BD CD +=，可得BC BD ⊥，即可证明BC ⊥平面PBD ，即BC PD ⊥，再由222PB PD BD =+，得PD BD ⊥，从而证明PD ⊥平面ABCD ；（2）以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量为(m = ，表示出(1,0,EF = ，代入向量夹角公式，可得直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.【小问1详解】连接BD .因为AB AD =，且AB AD ⊥，所以BD D =，因为PD =，所以PD BD =.因为E 是棱PB 的中点，所以DE PB ⊥.因为,,DE PC PC PB ⊥⊂平面PBC ，且PC PB P = ，所以DE ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以DE BC ⊥.由题意可得BC BD ==，则222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥.因为,BD DE ⊂平面PBD ，且BD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面PBD .因为PD ⊂平面PBD ，所以BC PD ⊥.因为,2PD BD PB AB ===，所以222PB PD BD =+，所以PD BD ⊥.因为,BD BC ⊂平面ABCD ，且BD BC B ⋂=，所以PD⊥平面ABCD .【小问2详解】以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,4,0C，(0,0,P，(E ，()2,1,0F从而(2,2,PB =- ，()2,2,0BC =-，(1,0,EF = 设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得(m = ，设直线EF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,6m EF m EF m EF α⋅====，所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为6.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 2π13,,,3a A b c ABC ==> 的内切圆圆I 的面积为3π.（1）求b c 、的值及cos ABC ∠；（2）若点D 在AC 上，且,,B I D 三点共线，试讨论在BC 边上是否存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ 若存在，求出点M 的位置，并求出DBM △的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）8,7b c ==，11cos 13ABC ∠=；（2）存在，位置见解析，10.【解析】【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出bc 与b c +的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出,b c ，最后由余弦定理解出cos ABC ∠即可；（2）由题意BI BM CI CM ⋅=⋅ ，配合切线长定理可解出BM ，再设角θ结合正弦定理解出BD ，最后由面积公式求得即可.【小问1详解】因为ABC 内切圆圆I 的面积为3π，可得圆I的半径为r =，则)()112π13sin ,262223ABC S b c bc bc b c =++=∴=++ ，所以1132b c bc +=-，由余弦定理得222π2cos 1693b c bc +-=，得2()169b c bc +-=，将1132b c bc +=-代入整理得：2()560bc bc -=，解得56,15,,8,7bc b c b c b c =∴+=>∴== .∴由余弦定理得：222137811cos 213713ABC ∠+-==⨯⨯.【小问2详解】记圆I 与BC 边切于点E ，根据切线长定理可求得6,7BE CE ==，若BI BM CI CM ⋅=⋅ ，则BE BM CE CM ⋅=⋅，即()6713BM BM =-，解得7BM =，所以在BC 边上存在点M ，使得BI BM CI CM ⋅=⋅ .依题意可知I 为内心，则BD 平分ABC ∠，记ABD DBC θ∠=∠=，则11cos cos213ABC ∠θ==，故23913cos ,sin 1313θθ====，在ABD △中，2πππ33ADB ∠θθ=--=-，由正弦定理得2ππsin sin sin 33BD AB c ADB θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，又π31513sin cos sin 732226c θθθ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，7395BD ∴=，11sin 72251310DBM S BM BD θ=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .18.已知函数()e x x f x =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：()e 1xf x ≤-；（3）设()()()22e 2e 41x xg x f x a a a =-+-+∈R ，若存在实数0x 使得()00g x ≥，求a 的最大值.【答案】（1）增区间为(),1-∞，减区间为()1,+∞；（2）证明见解析；（3）12.【解析】【分析】（1）求出()f x '，判断导数正负得到函数()f x 的单调区间；（2）利用分析法转化要证结论，要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，利用导数判断()h x 单调性，求出最大值即可得证；（3）()()22e2e 41x x g x f x a a =-+-+，分别讨论当102a ≤≤时和12a >时是否存在0x 使得()00g x ≥，即可求解.【小问1详解】()f x 的定义域为()1,ex x f x -='R ，所以当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),1∞-，减区间为()1,∞+.【小问2详解】要证()e 1x f x ≤-，即证e 1ex x x ≤-，令()e 1e x x x h x =-+，即证()0h x ≤，()21e e x xx h x -'-=，令()21e x m x x =--，则()212e 0x m x =--<'，所以()m x 在R 上单调递减，又()00m =，∴当0x <时，()()0,0m x h x '>>；当0x >时，()()0,0m x h x '<<.()h x ∴在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()00h x h ∴≤=，所以e 1e x x x ≤-，即()e 1xf x ≤-得证.【小问3详解】当102a ≤≤时，()()20242120g a a a a =-=-≥，即存在00x =满足题意；当12a >时，由（2）知，()()()2222e 2e 41e 1e 2e 41x x x x x g x f x a a a a =-+-+≤--+-+()()()()()2226112611221e 21e 4e 0244x x x a a a a a a a +-+-+⎛⎫=-++-=--+≤< ⎪⎝⎭，∴此时()0g x <恒成立，不满足题意；综上，所以a 的最大值为12.19.设数集S 满足：①任意x S ∈，有0x ≥；②任意x ，y S ∈，有x y S +∈或x y S -∈，则称数集S 具有性质P .（1）判断数集{}0,1,2,4A =和{}0,2,4B =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P .（i ）当5n =时，求证：1a ，2a ，…，n a 是等差数列；（ii ）当1a ，2a ，…，n a 不是等差数列时，求n 的最大值.【答案】（1）数集A 不具有性质P ，数集B 具有性质P ，证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】(1)根据性质P 的定义判断可得出结论(2)（i ）推导出10a =，再根据性质P 的定义推导出32532432a a a a a a a a -=--=-=从而证明（ii ）根据性质P 的定义得出12,,,n a a a ⋅⋅⋅在5n ≥均为等差数列，再令4n =进行验证，可以不是等差数列，所以得出n 的最大值.【小问1详解】证明：对于数集A ，41A +∉，41A -∉，所以数集A 不具有性质P ，对于数集B ，任意,x y B ∈，x y B -∈，所以数集B 具有性质P .【小问2详解】（i ）当5n =时，数集{}125,,,C a a a =⋅⋅⋅具有性质P ，55552a a a a +=>，所以55a a C +∉，即550a a C -=∈，因为123450a a a a a ≤<<<<，则10a =，又因为5453525a a a a a a a +>+>+>，所以5(2,3,4)i a a C i +∉=，则5(2,3,4)i a a C i -∈=，因为154535250a a a a a a a a =<-<-<-<，所以得542a a a -=，533a a a -=，524a a a -=，因为43425a a a a a +>+=，所以43a a C +∉，则43a a C -∈，又因为14340a a a a =<-<，所以432a a a -=或433a a a -=，因为533a a a -=，所以433a a a -=(舍去)，即432a a a -=，32532432a a a a a a a a -=--=-=，所以213243542a a a a a a a a a -=-=-=-=，即当5n =时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列.（ii ）若数集{}12,,,n C a a a =⋅⋅⋅且()11,2,,1i i a a i n +<=⋅⋅⋅-具有性质P ，按照(1)推导的方式得出5n ≥一般结论，具体如下：因为122n n n n n n a a a a a a a --+>+>>+> ，所以(2,3,,1)n i a a C i n +∉=- ，即(2,3,,1)n i a a C i n -∈=- ，因为11220n n n n n n a a a a a a a a --=<-<-<<-< ，所以1(2,3,,1)n i n i a a a i n +--==- ①，所以12n n a a a -=+，23n n a a a -=+，因为12131312n n n n n n n a a a a a a a a a ------+>+>>+>+= ，所以1(3,4,5,,2)n i a a C i n -+∉=- ，即1(3,4,5,,2)n i a a C i n --∈=- ，因为112131310n n n n n n a a a a a a a a ------=<-<-<<-< ，根据120n a a a ≤<<< ，分两种情况：第一种情况为122n n a a a ---=，133n n a a a ---=，…，133n n a a a ---=，第二种情况为12(3)n n k a a a k ---=≥，13(2)n i a a a i n --=≥-，先考虑第二种情况1223n n k n n a a a a a a ---=+≥+=，与题意矛盾，1332n i n n a a a a a a --=+≥+=，与题意矛盾，所以只能为第一种情况，可得1(3,4,,2)n i n i a a a i n ---==- ②，由①-②，得11(3,4,,2)n n n i n i a a a a i n -+---=-=- ，即12332221n n n n a a a a a a a a a ----=-==-==- ，即当5n ≥时，1a ，2a ，…，n a 是等差数列，当4n =时，434a a a +>，所以43a a C +∉，即43a a C -∈，由前面得出1434240a a a a a a =<-<-<，所以432a a a -=，423a a a -=，当322a a a -≠成立时，1a ，2a ，3a ，4a 不是等差数列，所以n 的最大值为4.【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：定义法：1(N )n n a a d n *+-=∈(d 为常数)等差中项法：122(N )n n n a a a n *++=+∈通项公式法：(N )n a an b n *=+∈（a ，b 为常数），但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法进行证明.。

湖南省长沙市高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以,故选B.2.已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，对应点的坐标为，故选A.3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】由题意，双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，可得，得，所以双曲线的离心率.4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为数据的平均数为：，数据的方差为，数据的方差为：故选C.5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】A【解析】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，∴的最小值为6故选：D6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.7.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x．故选：B．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半柱而形成的几何体.故该几何体的体积为.9.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,又由底面，所以,在直角中，，所以,根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，所以球的体积为，故选B.10.函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，若的图像关于点对称，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，函数的图像向左平移个单位长度后，则，又由的图像关于点对称，所以，，解得，.因为，所以，所以，令，，得，，即函数的单调递减区间是，故选C.11.分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.由余弦定理，得，整理得，即，所以，由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故，结合锐角，，则，，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.12.设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设函数，由当时，对于任意，都有，即对于任意，，由于，那么在上单调递减，而，在上单调递减，所以，，则，那么，或，结合，所以，故选C.二、填空题（每题5分，满分20分）13.已知函数，则______．【解析】，且，，，故答案为.14.已知两个单位向量和夹角为，则______．【答案】【解析】根据向量的数量积的运算公式，可得.15.已知四棱锥的底面边长都为2，，，且，是的中点，则异面直线与所成的角为_______．【答案】【解析】如图所示，连接与相交于，则，根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为或的补角，由题意，在中，，，，则，所以.16.已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______．【答案】39【解析】因为函数是连续的偶函数，所以直线是它的对称轴，从面直线就是函数图象的对称轴．因为，所以或．由，得，设方程的两根为n，n，所以；由，得，设方程的两根为，，所以，所以．故答案为：39．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列的前项和为，证明：.解：（1）因为，①，可得.②①-②得，即，所以为从第2项开始的等比数列，且公比，又，所以，所以数列的通项公式为.当时，满足上式，所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以得证.18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求的值；（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.解：（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.19.在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.（1）证明：∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）证明：在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD距离d＝，∴V D﹣AEF＝V F﹣ADE＝＝1．的.20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.解：（1）设点，，因为，点在直线上，所以，①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.21.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）证明：.(1) 解：，当时，，函数的单调增区间为，无减区间；当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。

2016-2017学年湖南省长沙市2017届高考模拟试卷（二）文科数学一、选择题：共12题1．已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算.因为,所以.2．已知复数，则A.的模为2B.的虚部为-1C.的实部为1D.的共轭复数为【答案】B【解析】本题主要考查复数的实部与虚部、复数的共轭复数与四则运算.，实部与虚部均为，模是，共轭复数是，故答案为B.3．已知命题，命题，则下列为真命题的是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查逻辑联结词、全称命题与特称命题真假的判断三角函数与指数函数，考查了逻辑推理能力. 命题，令x=1，则,故命题p 是假命题，因此命题是真命题；命题，令,则，命题q是真命题，命题是假命题，故命题是真命题.4．一个焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的方程与性质，考查了有相同渐近线的双曲线的方程的求法.由题意，设所求双曲线方程为,又一个焦点为(0,6),则,所以，则所求双曲线的方程为5．若，且为第三象限角，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查同角三角函数关系、两角和与差公式的应用.由题意因为为第三象限角，所以,则,所以6．已知函数的导函数为，且满足，则A. B.-1 C.1 D.【答案】B【解析】本题主要考查导数的运算与赋值法.,令x=1，则,所以7．已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.由三视图可知，在圆锥内挖去一个正四棱柱，则该几何体的体积V=.8．已知为的三个角所对的边，若，则A.2：3B.4：3C.3：1D.3：2【答案】C【解析】本题主要考查正弦定理、两角和与差公式，考查了转化思想.由正弦定理可得,则，则9．当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为A.6B.8C.14D.30【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序:n=4,k=1,S=0;S=2,k=2;S=6,k=3;S=14,k=4;S=30,k=5,此时不满足条件，循环结束，输出S=30.10．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若之间的空间距离为，则A.-1B.1C.D.【答案】D【解析】本题主要考查折叠问题、三角函数的图象与性质、二面角，考查了空间想象能力.由题意，设周期为T，则,则T=，则，则.11．已知定义在上的函数为增函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的单调性的应用，关键是利用单调性将不等式转化为关于的不等式.若，则，又由，则有，又由函数为增函数，则不等式恒成立可以转化为,解得.12．已知正方体，点分别是线段和上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得；②对于任意给定的点，存在点，使得；③对于任意给定的点，存在点，使得；④对于任意给定的点，存在点，使得.其中正确结论的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.①连接A1D，则A1D⊥AD1,又因为DC⊥平面ADD1A1，所以DC⊥AD1，则AD1⊥平面CDA1，则AD1⊥EA 1因此，当点F与点D1重合时，对于任意给定的点，存在点，使得，故①正确；由①可知，②错误；③只有垂直在平面ADD 1A1内的射影时，，故③正确；④对于任意给定的点，只有平面ADD 1A1时④才正确，显然不存在点G使平面ADD1A1成立，故④错误.因此答案为C.二、填空题：共4题13．已知向量，若，则.【答案】3【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与数量积.由题意，，则14．向面积为的平行四边形内任投一点，则的面积小于的概率为.【答案】【解析】本题主要考查几何概型，确定的面积等于时，点M的位置是解决此时的关键.设边AB与CD之间的距离为h，CD=a，则S=ah，作平行于CD的直线，与边AD、BC的交点分别为E、F，设EF与CD的距离为d，当点M在EF上，且的面积等于时，,则,因此点M在EF与CD之间，即点M到CD的距离的范围是时，的面积小于，所以的面积小于的概率P=.15．若无论实数取何值时，直线与圆都相交，则实数的取值范围是.【答案】【解析】本题主要考查点、直线与圆的位置关系，直线过定点、定点在圆内是解决此题的关系. 直线过定点，因为无论实数取何值时，直线与圆都相交，所以定点在圆的内部，所以1+1+2+2+b<0，所以b<-6,故答案为.16．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分(1寸=10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.【答案】82【解析】本题主要考查等差数列的通项公式的应用.设《易经》中二十四节气晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130，a13=14.8,则d=，所以惊蛰晷影长为a6=a1+5d=82.三、解答题：共7题17．已知数列中，，且.(1)求的值及数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，求.【答案】(1)∵，且，∴，解得，∴，∴；(2)，，.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了累加法、转化思想与逻辑推理能力.(1)由递推公式，结合条件，先求出，再求出，即可求出的值，再利用累加法求解即可；(2)由(1)可得，化简可得，再利用等差数列的前n项和公式求解即可.18．如图，四边形为菱形，为与的交点，平面(1)证明：平面平面；(2)若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积(平面为底面).【答案】(1)因为四边形的菱形，所以，因为平面，所以，故平面，又平面，所以平面平面；(2)设，在菱形中，由，可得.因为，所以在中，可得.由平面，知为直角三角形，可得，由已知得，三棱锥的体积，故，从而可得，所以的面积为3，的面积与的面积均为，故三棱锥的侧面积为.【解析】本题主要考查线面与面面垂直判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)由题意，易证平面，则结论易得；(2)利用三棱锥的体积求出底面边长与高，再求出侧棱长，即可得出结论.19．在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期数据资料下表：(1)在散点图中号旧井位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归线方程为，求，并估计的预报值；(2)现准备勘探新井，若通过1、3、5、7号井计算出的的值(精确到0.01)相比于(1)中的值之差(即：)不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？(参考公式和计算结果：,)(3)设出油量与钻探深度的比值不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.【答案】(1)因为，回归直线必过样本中心点，则，故回归直线方程为，当时，，即的预报值为24；(2)因为，所以，，即，，均不超过10%，因此可以使用位置最接近的已有旧井；(3)由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：，共有10种，其中恰有2口是优质井的有，6种，所以所求恰有2口是优质井的概率是.【解析】本题主要考查频数分布表、散点图、回归分析及其应用、古典概型，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)求出平均数，由回归直线必过样本中心点，即可求解；(2)利用公式分别求出的值，结合(1),分别计算，即可得出结论；(3) 由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，先求出所有的基本事件，再从中找出所求事件所包含的基本事件，由古典概型的概率公式求解即可.20．已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率存在且不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值.(1)求椭圆的方程；(2)求的值.【答案】(1)∵的焦点为，∴，又∵，∴，∴椭圆的方程为；(2)由题意，存在且不为零，设直线方程为，联立方程组，消元得，∴，∴∴，∵为定值，∴，即，∴，∴的值为1或.【解析】本题主要考查椭圆与抛物线的方程与性质、平面向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了方程思想与转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由抛物线的焦点可得c的值，再由椭圆的离心率求解即可；(2)由题意，设直线方程为，联立椭圆方程，由韦达定理，化简，由题意，，可得结论.21．已知函数.(1)当为何值时，轴为曲线的切线；(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【答案】(1)设曲线与轴相切于点，则，即，解得：，因此，当时，轴是曲线的切线；(2)当时，，从而，∴在无零点，当时，若，则，，故是的零点；若，则，，故不是的零点，当时，，所以只需考虑在的零点个数，(i)若，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点；(ii)若，则在单调递减，在单调递增，故当时，取的最小值，最小值为.①若，即，在无零点；②若，即，则在有唯一零点；③若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点.综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质与零点，考查了分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 设曲线与轴相切于点，求导，由题意可得，求解可得结论；(2) 当时，，从而,即函数无零点；当x=1时，，，因此，分、两种情况讨论可得结论；当时，，所以只需考虑在的零点个数，分、、、进行讨论求解.22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求的长；(2)若点的极坐标为，求中点到的距离.【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，将代入曲线，得：，设点、点所对应的参数分别为，则，；(2)点对应的直角坐标为在直线上，中点对应的参数为，所以点坐标为，点到点的距离为.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、弦长公式、三角函数，考查了方程思想与参数的几何意义.(1)将极坐标方程化为,再利用公式,化简可得曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，由韦达定理，结合参数的几何意义求解即可;(2)由(1)求出点M的坐标，再将点P的极坐标化为直角坐标，即可得出结论.23．已知，函数的最小值为1.(1)求的值；(2)若，求实数的最大值.【答案】(1)法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴；法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴；(2)法一：∵恒成立，∴恒成立，，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为；法二：∵恒成立，∴恒成立，恒成立，，∴，即实数的最大值为.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式、基本不等式，考查了恒成立问题转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)法一：，前2个绝对值利用绝对值三角不等式，可得，则结论易得；法二：分，三种情况讨论，求出的最小值，则可得结论；(2)法一：易得恒成立，由(1)的结论，，展开化简，再利用基本不等式求解即可；法二：易得恒成立，又，则结论易得.。

一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =+->，{}2,B x x k k ==∈Z ，则()U B A ⋂=ð（）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}1,0,1,2,3-B【分析】解不等式可求得集合A ，结合补集定义可得U A ð，根据交集定义可得结果.【详解】由2230x x -->得：1x <-或3x >，即{1A x x =<-或}3x >，{}13U A x x ∴=-≤≤ð；{}2,B x x k k ==∈Z ，(){}0,2U A B ∴= ð.故选：B.2．设函数()()sin f x x ωϕ=+()0,0πωϕ><<，将函数()f x 的图象先向右平移π6个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与cos y x =图象重合，则（）A ．12ω=，π6ϕ=B ．12ω=，π3ϕ=C ．2ω=，5π6ϕ=D ．2ω=，π3ϕ=C【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与cos y x =图象重合，求得参数ω，ϕ，即得答案.【详解】将函数()f x 的图象先向右平移π6个单位长度后，得到πππsin sin 666y f x x x ωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到πsin 26y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于得到的函数的图象与cos y x =图象重合，故2ω=，()ππ2π,Z 62k k ωϕ-+=+∈，所以()5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，故选：C ．3．点P 在单位圆上运动，则P 点到直线l ：()()()131270x y λλλ++--+=（λ为任意实数）的距离的最大值为（）A ．231+B ．6C ．321+D ．5B【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离.【详解】将直线方程变形为l ：()()73210x y x y λ+-+--=，由703210x y x y +-=⎧⎨--=⎩,解得直线过定点()3,4Q ，P 在单位圆上运动,圆()0,0O ,圆的半径1r =故原点到直线l 距离的最大值为22345OQ =+=，则P 点到直线l 的距离的最大值为1156r OQ OQ +=+=+=.故选:B ．4．已知x ∈C ，下列选项中不是方程31x =的根的是（）A ．1B ．13i22+C ．13i22-+D ．13i22--B【分析】利用因式分解与复数的性质求根即可.【详解】因为31x =，x ∈C ，所以310x -=，即()()2110x x x -++=，解得1x =或1313i222x -±-==-±，故选项ACD 中是方程31x =的根，B 中不是.故选：B5．已知向量a 与b 的夹角为30︒，且3a = ，1b = ，设m a b =+ ，n a b =- ，则向量m 在n方向上的投影向量为（）A ．2nB ．nC ．3nD ．33n A【分析】根据投影向量公式求解即可.【详解】因为知向量a 与b 的夹角为30︒，且3a = ，331,3122b a b =⋅=⨯⨯= ，m 在n方向上的投影向量为()()2222222a b a b m n n a b n n n n n a a b b a b+-⋅-⋅=⋅=⋅=-⋅+- ．故选：A ．6．1360年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（）A ．12小时B ．23小时C ．34小时D ．78小时D【分析】设沙漏的底面半径为r ，高为h ，然后根据题求出当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙的体积，从而可求出漏下的沙子体积与总体积的关系，进而求得结果.【详解】设沙漏的底面半径为r ，高为h ，则沙的体积为213r h π，当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙形成的圆锥的高为12h ，底面半径为12r ，所以所剩余的沙的体积为221111132283r h r hππ⎛⎫⋅⋅=⨯ ⎪⎝⎭所以漏下的沙子体积为总体积的78，故记时时间为78小时．故选：D7．等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n 项和为n S ，且10a >，01q <<的等比数列{}n a 为例，先画出直线OQ ：y qx =，并确定x 轴上一点()11,0A a ，过点1A 作y 轴的平行线，交直线OQ 于点1P ，则111A P a q =．再过点1P作平行于x 轴，长度等于1a q 的线段12PM ，……，不断重复上述步骤，可以得到点列{}n P ，{}n M 和{}n A ．下列说法错误的是（）A ．2231A A a q=B ．||||n n n P A q OA =C ．点n A 的坐标为(),0n S D ．1||n n n P A S a =-D【分析】根据题设描述，确定题图中相关线段的数量关系，结合直线斜率定义、等比数列前n 项和判断各项的正误即可.【详解】选项A ，由题设及图象知：22323221||A A P M P M a q ===，故正确；选项B ，因为||||n n n P A OA 表示直线OQ :y qx =斜率，即为q ，故正确；选项C ，点n A 的横坐标为2111111111......n n n n OA A A A A a a q a q a q S --+++=++++=，故正确；选项D ，由||||||n n n n n n P A P M M A =+，而1||||n n n n OA P M S ++=，||n n OA S =，则1||n n n n P M S S +=-，又△1n n A A M 为等腰直角三角形，即11||||n n n n A M A A S a ==-，综上，11||n n n P A S a +=-，故错误．故选：D8．已知A ，B ，C ，D 是体积为205π3的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =，且三棱锥A －BCD 的体积为23，则线段CD 长度的最大值为（）A ．23B ．32C ．13D ．25B【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到π2ACB ∠=，且23ACB S = ，求出点D 到平面ABC 的距离，求出点D 所在球的截面的半径及三角形ABC 的外接圆半径，设点D 在平面ABC 上的投影为E ，当CE 最长时CD 最长，结合213=+=CE ，求出CD 长度的最大值.【详解】因为球的体积为205π3，故球的半径R 满足32054ππ33R =，故5R =，而4AB =，2AC =，23BC =，故222AB AC BC =+，故π2ACB ∠=，故1232232ACB S =⨯⨯= ，设点D 到平面ABC 的距离为h ，则123233h ⨯⨯=，故3h =，点D 在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为h R >，所以平面α与平面ABC 在球心的异侧，设球心到平面ABC 的距离为d ，而△ACB 外接圆的半径为122AB =，则541d =-=，故球心到平面α的距离为312-=，故截面圆的半径为541-=，设点D 在平面ABC 上的投影为E ，则E 的轨迹为圆，圆心为△ABC 的外心即AB 的中点，当CE 最长时CD 最长，此时213=+=CE ，故CD 长度的最大值为2232CE h +=.故选：B ．关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、多选题9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上是增函数，则（）A ．()f x 关于=1x -对称B ．()()4f x f x +=C ．11524f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()202310n f n ==∑BC【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D 选项，结合单调性得出C 选项.【详解】()f x 为偶函数，()()2f x f x -=-所以()()20f x f x -+=，所以()()20f x f x -++-=，所以()f x 关于点()1,0-对称，A 错误；又()()()42f x f x f x +=-+=，所以()()4f x f x +=，B 正确；因为()f x 在[]0,1上是增函数，所以11111522444f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=>=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；因为()()()()()()()()()()2013024012340f x f x f f f f f f f f -+=⇒+=+=⇒+++=，，所以()()()()()202311232n f n f f f f ==++=∑，而()2f 的值不确定，故D 错误.故选:BC ．10．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则下列说法正确的是（）A ．该多面体的表面积为623+B ．该多面体的体积为523C ．该多面体的平行平面间的距离均为2D ．过A 、Q 、G 三点的平面截该多面体所得的截面面积为332ABD【分析】根据该多面体结构特征即可求出表面积判断A ，利用割补法求体积判断B ，分别求解两平行平面的距离即可判断C ，利用平面性质找到截面图形，利用正六边形由六个正三角形组成求面积判断D.【详解】由题意，该多面体的面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的正三角形构成，故该多面体的表面积为22361816234⨯+⨯⨯=+，故A 正确；该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积，注意到该多面体的原正方体边长为2，所以()231212522832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，若该多面体平行平面为上下两个正方形所在的平面，则平行平面间的距离为2；若该多面体平行平面为两个正三角形所在的平行平面，如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，,EM EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点11,M N ，因为12C C MQ ⊥，22A C MQ ⊥，1222,C C A C ⊂平面1221A A C C ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，,MQ EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--,由正方体边长为2得216A C =，根据22E A MQ A EMQ V V --=，则22111222113132222322A M ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得2166A M =，根据对称性知2111A M N C =，所以112121116266263M N A C A M N C =--=-⨯=，此时平面EMQ 与平面BCG 的距离为263，即两个正三角形所在的平行平面间的距离为263，故C 错误；根据平面性质知，过A 、Q 、G 三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE ，故截面面积为23336142⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用i A 表示i 号箱有奖品（i ＝1，2，3，4），用j B 表示主持人打开j 号箱子j ＝2，3，4），下列结论正确的是（）A ．()114P A =B ．()3212P B A =C ．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱D ．要使获奖概率更大，用应该改选2号或者4号箱ABD【分析】根据古典概型判断A 选项，结合条件概率和全概率公式及贝叶斯公式分别判断B,C,D 选项.【详解】对于A 选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配，因此1A ，2A ，3A ，4A 的概率均为14，即A 正确；对于B 选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故()3212P B A =，故B 正确；对于C 、D 选项，方法一：奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故()3113P B A =，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故()3212P B A =，奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故()330P B A =，奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故()3412P B A =，由全概率公式可得：()()()433111111043223i i i P B P A P B A =⎛⎫==+++= ⎪⎝⎭∑，()()()1313311143143P A B P A B P B ⨯===，()()()232331131421843P A B P A B P B ⨯===>，故C 错误，D 正确.方法二：若继续选择1号箱，有奖品的概率为14，无奖品的概率为34，主持人打开了无奖品的3号箱，若不换号，则甲在1号箱获得奖品的概率依然为14，而在排除了3号箱有奖的情况下，2号或者4号箱获奖的概率会提高，因此为了增加中奖的概率，甲应该改选2号或者4号箱．故选：ABD ．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()()2,4P m n n m <射入，经过抛物线上的点()11,A x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（）A ．121=x x B ．点()11,A x y 关于x 轴的对称点在直线2l 上C ．直线2l 与直线=1x -相交于点D ，则A ，O ，D 三点共线D ．直线1l 与2l 间的距离最小值为4ACD【分析】设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，然后利用韦达定理即可求出12x x 和直线1l 与2l 间的距离，从而可确定AD 两项；表示出直线OA 和OD 的斜率即可确定C 项；假设B 项正确反推条件，从而可确定B 项.【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB 过抛物线的焦点()1,0F ，设直线AB 的方程为1x ty =+，将直线AB 的方程代入24y x =中，得2440y ty --=，所以由韦达定理得124y y =-，124y y t +=，所以221212144y y x x =⋅=，故选项A 正确；若点()11,A x y 关于x 轴的对称点在直线2l 上，则12y y =-，所以122y y ==，即2n =，不一定成立，故不合题意，选项B 错误；直线2l 与=1x -相交于点()21,D y -，所以直线OD 的斜率为2OD k y =-，又直线OA 的斜率为112211144OA y y k y y x y ====-，所以OD OA k k =，所以A ，O ，D 三点共线，故选项C 正确；直线1l 与2l 间的距离()22121212416164d y y y y y y t =-=+-=+≥，当0=t 时，d 取最小值4，故选项D 正确；故选：ACD.三、填空题13．已知()()()()()234501234512345x x x x x a a x a x a x a x a x +++++=+++++，则4a =___________．15【分析】根据题意，结合根据组合数的计算公式及性质，即可求解.【详解】由题意知()()()()()234501234512345x x x x x a a x a x a x a x a x +++++=+++++，根据组合数的计算公式及性质，要得到展开式中4x 的系数，则只有一个括号内取常数，其余的四个括号都取x ，所以41234515a =++++=．故答案为1514．设P 是双曲线221412x y -=右支上的一个动点，1F 、2F 为左、右两个焦点，在12PF F △中，令12PF F α∠=，21PF F β∠=，则tan:tan 22αβ的值为_________．13【分析】三角形的内角角平分线的交点为内切圆的圆心，根据双曲线的定义，结合三角形的内切圆的切线长的性质可得内切圆的其中一个切点必与双曲线的右顶点重合，最后再根据三角函数的定义表示出tan:tan 22αβ即可求解．【详解】由双曲线的方程221412x y -=，可得4c =，2a =，设12PF F △的内切圆C 在12F F ，1PF ，2PF 上的切点分别为D ，E ，F ，设切点D 的坐标为(,0)D m ，因为12121212PF PF EF EP FP FF EF FF DF DF -=+--=-=-()()22c m c m m a =+--==，即m a =，切点D 与双曲线的右顶点重合，1||DF c a ∴=+，2||DF c a =-，根据题意可得12PF F α∠=，21PF F β∠=，则两角的角平分线的交点一定为12PF F 的内心．如图所示，因此1tan 2CD F D α=，2tan 2CD F Dβ=，所以1tan:tan 223r c a c a a c r c a αβ--=⋅==++．故答案为1315．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(),,0,1a b c ∈，且1a b c ++=，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则213a b+的最小值为______．163/153【分析】先根据题意得出322a b +=，再结合基本不等式即可求得213a b+的最小值．【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为a ，得2分概率为b ，不得分的概率为c ，(),,0,1a b c ∈，且1a b c ++=，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则322a b +=，所以()21121142142163262632323233b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b =，即14b =，12a =时取等号，所以213a b+的最小值为163．故163．16．已知0a ≠，函数()x f x ae =，()ln g x a x b =+，若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则使不等式bm a<恒成立的最小整数m 的值是__________．3【详解】分析：求导，表述出公切线，从而会得到ba的一个表达式，构造函数，求导分析整理即可.详解：()()(),0xaf x aeg x x x''==>，设公切线在()f x 上的切点为()11,xx ae ，在()g x 上的切点为()22,x y ，()()1122x ak f x ae g x x ∴=='='=，12x x e -∴=，在()g x 上的切点为()11,xe ax b --+，∴切线方程为()111x x y ae ae x x -=-，把点()11,xe ax b --+代入切线方程：()11111x x x ax b ae ae e x --+-=-，化简可得11111x x be x x e a=+-+，构造函数()1x xh x e x xe =+-+，则()1xh x xe ='-，令()00010x h x x e '=-=即001xx e =，则()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，又12111022h e ⎛⎫=-'> ⎪⎝⎭，23221033h e ⎛⎫=-'< ⎪⎝⎭，01223x ∴<<，故()()0000000max 1x x xh x h x e x x e e x ==+-+=+，()2132122.1max 2.623e h x e ∴≈+<<+≈即2.1 2.6b a <<，又b m a>则使不等式bm a<恒成立的最小整数m 的值是3.故答案为3.点睛：不等式恒成立问题若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．四、解答题17．已知在ABC 中，2a b =，且12ABC S =△．(1)若4b =，求()tan A B +；(2)若π2C <，且3sin 5C =，求sin A ，sin B ．(1)377-或377(2)25sin 5A =，5sin 5B =【分析】（1）利用三角形面积公式可构造方程求得sinC ，根据同角三角函数关系可得tan C ，结合诱导公式可得结果；（2）利用三角形面积公式可构造方程求得,a b ，由余弦定理可求得c ，代入正弦定理中可求得结果.【详解】（1）当4b =时，28a b ==，1sin 16sin 122ABC S ab C C ∴=== ，解得：3sin 4C =；当C 为锐角时，27cos 1sin 4C C =-=，sin 37tan cos 7C C C ∴==，()()37tan tan πtan 7A B C C ∴+=-=-=-；当C 为钝角时，27cos 1sin 4C C =--=-，sin 37tan cos 7C C C ∴==-，()()37tan tan πtan 7A B C C ∴+=-=-=；综上所述：()37tan 7A B +=-或377.（2）2213sin sin 1225ABCS ab C b C b ==== ，25b ∴=，245a b ==，π2C <，24cos 1sin 5C C ∴=-=，由余弦定理得：22242cos 10080365c a b ab C =+-=-⨯=，解得：6c =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==得：345sin 255sin 65a C A c ⨯===，325sin 55sin 65b C Bc ⨯===.18．如图所示的在多面体中，,AB AD EB EC ==，平面ABD ⊥平面BCD ，平面BCE ⊥平面BCD ，点,F G 分别是,CD BD 中点.(1)证明：平面AFG //平面BCE ；(2)若,2,2,5BC BD BC BD AB BE ⊥====，求平面AFG 和平面ACE 夹角的余弦值.(1)证明见解析(2)31414【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明,（2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角.【详解】（1）如图，取BC 中点H ，连接EH ，因为EB EC =，所以EH BC ⊥，又因为平面BCE ⊥平面BCD ，平面BCE 平面BCD BC =，EH ⊂平面BCE ，所以EH ⊥平面BCD ，同理可得AG ⊥平面BCD ，所以//EH AG ，又因为AG ⊄平面,BCE EH ⊂平面BCE ，所以AG //平面BCE ，因为点,F G 分别是,CD BD 中点，所以//FG BC ，又因为FG ⊄平面,BCE BC ⊂平面BCE ，所以FG //平面BCE ，又因为,,AG FG G AG FG ⋂=⊂平面AFG ，所以平面AFG //平面BCE .（2）方法一：因为,//BC BD BC FG ⊥，所以FG BD ⊥，由（1）知,AG BD AG ⊥⊥平面,BCD GF ⊂平面BCD ，所以AG GF ⊥，所以,,GF GB GA 两两相互垂直，如图，以点G 为坐标原点，,,GF GB GA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为2,5AB BE ==，所以1,2,1GA GB EH BH ====，则()()()0,0,1,2,1,0,1,1,2A C E ，平面AFG 的一个法向量为()0,2,0DB =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =r，由()()2,1,1,1,0,2AC CE =-=-，得00n AC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩，解得322x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取2x =，得()2,3,1n =-，设平面AFG 和平面ACE 的夹角为θ，则6314cos cos ,14214n DB n DB n DB θ⋅====⨯，所以平面AFG 和平面ACE 的夹角的余弦值为31414.方法二：因为平面AFG //平面BCE ，所以平面AFG 和平面ACE 的夹角即二面角A CE B --.如图，过点A 作AM CE ⊥，垂足为点M ，过点M 作MN EC ⊥交BE 于点N ，则AMN ∠为二面角A CE B --所成平面角.在Rt BCG 中，225GC BG BC =+=，在Rt ACG 中，226AC AG GC =+=，在直角梯形AGHE 中，因为//AG EH ，2222CD DB CB =+=,所以1=22GH DC =，所以22(21)(2)3,AE =-+=在ACE △中，2224cos 230AC CE AE ACE AC CE∠+-==⋅⋅，所以1614sin 13030ACE ∠=-=，利用三角形等面积可得1sin 2ACE S AC CE ACE ∠=⋅⋅⋅ 11465230=⨯⨯⨯12AM CE =⋅⋅152AM =⨯⋅，所以14,5AM =145355EM =-=，因为23cos 2cos 15BEC BEH ∠∠=-=，所以5,3EN =4515MN =，过点N 作NP BC ⊥于2,13BN EN P BE BE =-=，则25,3BN =22,33BP BH ==44,33NP EH ==22133GP GB BP =+=，所以22413141333AN ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在AMN 中，14,3AN =14,5AM =4515MN =，所以1416143145459cos 1414452155AMN ∠+-==⨯⨯，所以平面AFG 和平面ACE 夹角的余弦值为31414.19．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．(1)求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)记21n nb n S =，求数列{}n b 的前2023项的和M ．(1)证明见解析(2)20232024【分析】（1）根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；（2）求出n b ，利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为()*N n n n n S T S T n +=⋅∈，当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅⇒=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，1111n n n S T S ---=-．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以111111111n n n n S S S S ---==+---，所以111111n n S S --=--所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列.（2）所以()11111n n n S =+-⨯=-，则1n n S n +=，因为()2111111n n b n S n n n n ===-++，故1111120231223202320242024M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．20．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高x 160170175185190儿子身高y170174175180186(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？(2)记 ˆˆ,(1,2,,)i i i ii y y y x a n e b i =-=--= ，其中i y 为观测值， i y 为预测值，i e 为对应(),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045i ii i i i i i i x x y x y ========∑∑∑∑()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑.(1) 0.589y x =+，178x <时，儿子比父亲高；178x >时，儿子比父亲矮，儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.(2)0；任意具有线性相关关系的变量10ni i e==∑ ，证明见解析【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高的残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.【详解】（1）由题意得160170175185+190170174175180+186176,=17755x y ++++++===，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为 0.589y x =+，令0.5890x x +->得178x <，即178x <时，儿子比父亲高；令0.5890x x --<得178x >，即178x >时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（2）由 0.589y x =+可得 12345=0.5160+89169,174,176.5,181.5,184y y y y y ⨯=====，所以51ˆ885i i y==∑，又51885i i y ==∑，所以()55551111=ˆ=ˆˆ0i i i i i i i i i ey y y y ====--=∑∑∑∑，结论：对任意具有线性相关关系的变量10ni i e==∑ ，证明 ()()111ˆˆˆn n ni i i i ii i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑11ˆˆˆˆ()0n ni i i i y b x na ny nbx n y bx ===--=---=∑∑21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1D -，且有两个顶点所在直线的斜率为12，过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，与y 轴交于点N ．(1)若AMD 的面积为65，求直线l 的方程；(2)设过原点O 且与直线l 平行的直线l '交椭圆于点P ，求证：2AM AN OP⋅为定值．(1)620x y ++=或20x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）先根据题中条件求出椭圆方程，设直线方程后联立椭圆方程得到弦长AM ，再求出点D 到直线AM 的距离，根据AMD 的面积为65可得k ，即可.（2）先表示出AM ，AN ，2OP ，后可证其为定值.【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()0,1D -，所以21b =，又椭圆有两个顶点所在直线的斜率为12，则12b a =，所以2a =，故椭圆方程为2214x y +=．由题意过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点M ，()2,0A -，可知直线的斜率存在，不妨设为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +++-=．设()11,M x y ，21216214k x k -=-+，所以2122814k x k -=+，故222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以2222222284412141414k k k AM k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，点()0,1D -到直线()2y k x =+的距离2211k d k+=+，因为AMD 的面积为65，所以1625AM d ⨯⨯=，即22221141621451k k k k ++⨯⨯=++，解得16k =-或1k =．所以直线l 的方程为()126y x =-+或2y x =+，即620x y ++=或20x y -+=．（2）由（1）可知直线l 的方程为()2y k x =+，()0,2N k ，224114k AM k +=+，所以224421AN k k =+=+，设直线OP 的方程为y kx =，由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221440k x +-=，设()00,P x y ，则202414x k =+，则2202414k y k=+，所以22220024414k OP x y k +=+=+，故22222241211424414k k AM AN k k OP k +⨯+⋅+==++，因此2AM ANOP ⋅为定值．方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知函数()()1e ln xf xg x x -=-.(1)若函数()211ln e 2x g x x ax a x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，讨论()f x 的单调性；(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.①若函数()()1e ln x g x x x 1-=+，()()f m f n =，且m n ≠，证明1m n +<②若函数()2211e ln 2x g x x x x x x 1-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，证明()1ln 22f x +>(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得结果；（2）得到()()211ln ln 2f x x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若选①，不妨设0m n <<，则10,e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分两种情况讨论n ：分别当111e e n <≤-和111e n -<<时，利用导数可证不等式成立；若选②，利用导数证明ln 1x x -≥，21ln 2ln 2x x +->即可得证.【详解】（1）因为()211ln e 2x g x x ax a x -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()()211ln 2f x x ax a x =++-，()f x 的定义域为()0,∞+，()()()111x x a a f x x a x x++--'=++=.当1a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a <时，若()0,1x a ∈-，()0f x '<，()f x 单调递减；若()1,x a ∈-+∞，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上所述：当1a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a <时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，()f x 在(1),a -+∞上单调递增.（2）证明：选①因为()()11ln x g x x e x -=+，所以()ln f x x x =，()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln f x x '=+.当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.不妨设0m n <<，则10,e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()0f m f n =<，可知11e n <<.当111e e n <≤-时，1m n +<显然成立.当111e n -<<时，110,e n ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，由ln ln m m n n =，且10,e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知()()1ln ln e 0m m m m +=<，则ln m m m <-，ln ln m n m m n n n n +<-+=-+.设()()1ln x x x ϕ=-，11,1e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()ln 0x x ϕ'=->，()ϕx 在11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()11ln11x ϕ<-=，所以1m n +<成立.综上所述，1m n +<.选②()()211ln ln 2f x x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦.设()ln h x x x =-，则()1x h x x-'=.当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以()()min 11h x h ==，ln 1x x -≥，因此()222211111ln 2222x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+≥+≥⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立.设()2ln x x x ϕ=-，0x >，则()221x x x ϕ-'=.当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增.因此()min 2121ln 2ln 2222x ϕϕ⎛⎫+==-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而()()1ln 22f x x ϕ+≥≥，则()1ln 22f x +≥，因为212≠，所以()1ln 22x f x +=≥中的等号不成立，故()1ln 22f x +>.关键点点睛：第（2）问，选②时，利用导数证明ln 1x x -≥，21ln 2ln 2x x +->是解题关键.。

湖南省长沙市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是A．B．C．D．第(2)题若，设，则数列的前项和为（）A．B．C．D．第(3)题已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，与交于两点、，，为的准线上的一点，则的面积为（）A．18B．24C．36D．48第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．第(6)题（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为A．x±y="0"B．x±y=0C．x±="0"D．±y=0第(7)题设全集=A．{1,2}B．{3,4,5}C．{1,2,6,7}D．{1,2,3,4,5}第(8)题已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有( )．A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数=，下列结论不正确的是（）A．定义域为B．定义域为C．定义域为D．定义域为E．定义域为第(3)题已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（）A．B ．直线为曲线的一条对称轴C．若在单调递增，则D．曲线与直线有5个交点三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

2020年湖南长沙市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√35．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1+3a5＝12，则S7＝（）A．18 B．21 C．24 D．276．已知向量a→=（5，5），a→+2b→=（﹣3，11），则向量a→在向量b→方向上的投影为（）A．1 B．√22C．−√22D．﹣17．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π68．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n= 0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知双曲线C：x 2a −y24a=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a 10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．211．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．412．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x≤−1，log2(x+1)，−1＜x≤4，若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A ．(0，32)B ．(0，32]C ．（0，2）D ．（0，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足{0≤x −y ≤1，0≤x +y ≤1，则z ＝2x +y 的最大值为 ．14．已知α是锐角，且sin （α−π6）=13．则sin （α+π3）＝ ．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB ＝2．AD =√3，PA ⊥平面ABCD ，若直线PD 与平面ABCD 所成的角为60°，则PA ＝ ，该“阳马”外接球体积为 ．16．已知直线x ﹣my ﹣2＝0与抛物线C ：y 2=12x 交于A ，B 两点．P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的平行线交C 于点Q ，若以AB 为直径的圆经过Q ，则m ＝ ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45． （1）（i ）求直方图中的a ，b 值；（ii ）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，（α为参数），以坐y=2sinα标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣1|﹣2|x+1|．（1）解不等式f（x）≤0；（2）记函数f（x）的最大值为m，且a+b+c＝m，求证：（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，若A∩B＝{0，2），则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{0，1，2，3），B＝{﹣1，0，a}，A∩B＝{0，2），∴a＝2．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设i是虚数单位，若复数z满足z（1﹣i）＝i，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由z（1﹣i）＝i，得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为（−12，12），在第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知a=213，b=log213，c=log1312，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较大小．解：a=213＞1，b=log213＜0，c=log1312=log32∈（0，1），故b＜c＜a，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数单调性比较大小，属于基础试题．4．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：12×4×4×√32=34；解得S＝3√3：故选：C．【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+3a 5＝12，则S 7＝（ ） A ．18B ．21C ．24D ．27【分析】由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，化为a 1+3d ＝3＝a 4，利用性质可得：S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4． 解：由a 1+3a 5＝12，可得：4a 1+12d ＝12，∴a 1+3d ＝3＝a 4， ∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4＝21．故选：B ．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．已知向量a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），则向量a →在向量b →方向上的投影为（ ） A ．1B ．√22C ．−√22D ．﹣1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算，由a →和a →+2b →的坐标计算出向量b →，然后由平面向量数量积的定义可知，向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，再结合数量积的坐标运算即可得解．解：∵a →=（5，5），a →+2b →=（﹣3，11），∴b →=(−4，3)，∴向量a →在b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|=√(−4)2+32=−1，故选：D ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ＝sin（2x+φ），由题意可得，sin（φ−2π3）＝0，所以φ−2π3=kπ即φ=2π3+kπ，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ=−13π．故选：A．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简中的应用及正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．8．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn=22n+1(n= 0，1，2，⋯)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641*6700417，不是质数．现设a n＝log4（F n﹣1）（n＝1，2，…），S n表示数列{a n}的前n项和．若32S n＝63a n，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用数列的递推关系式，求出通项公式，然后通过等比数列求解数列的和，然后求解n即可．解：因为F n=22n+1(n=0，1，2，⋯)，所以a n＝log4（F n﹣1）=log4(22n+1−1)= log422n=2n﹣1，所以{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n=1(1−2n)1−2=2n﹣1．所以32（2n﹣1）＝63×2n﹣1，解得n＝6，故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的判断，数列求和，考查计算能力．9．已知双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的右焦点为F，点N在C的渐近线上（异于原点），若M点满足OF→=FM→，且ON→⋅MN→=0，则|MN|＝（）A．2a B．√5a C．4a D．2√5a【分析】画出图形，利用F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，然后转化求解即可．解：双曲线C：x 2a2−y24a2=1(a＞0)的一条渐近线y＝2x的斜率为：2，且b＝2a，F（√5a，0）．由题意可得：F是OM的中点，且ON⊥MN，作FH⊥ON于H，则|FH|=√5a1+4=2a，所以|MN|＝4a，故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，数形结合以及计算能力，是中档题．10．已知曲线y＝ae x﹣1绕原点顺时针旋转θ后与x轴相切，若tanθ＝2，则a＝（）A．12B．1 C．32D．2【分析】由题意可知，未转动前曲线与直线y＝2x相切，由此设切点为（x0，y0），求切点处导数，并令其为2，求出x0，即可求出a的值．解：由已知得：曲线y＝ae x﹣1与直线y＝2x相切．设切点为（x0，y0），因为y′＝ae x﹣1，所以ae x0−1=2①，又切点满足：ae x0−1=2x0②，①②两式联立解得：x0＝1，a＝2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和化简运算能力．属于中档题．11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，过AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l．下面给出了四个命题：这四个命题中，真命题的个数为（）①l∥AC；②BM⊥AC；③l和AD1所成的角为60°；④线段BM长度的最小值为√6．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，结合题意可得面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，可知①正确；只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，可知②错误；由题意，知∠A1C1B即为l和AD1所成角，由A1B＝BC1≠A1C1，得∠A1C1B≠60°，故③错误；当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，求得BM判断④错误．解：由ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得BD⊥平面A1ACC1，即平面A1ACC1为平面α，直线A1C1为l，则l∥AC，故①正确；由M∈l，即M∈A1C1，只有当M为A1C1的中点时，有BM⊥AC，当M在l上其它位置时，BM与AC不垂直，故②错误；由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即为l和AD1所成角，∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③错误；由A1B＝BC1=√22+42=2√5，可知当M是A1C1的中点时，BM⊥A1C1，此时线段BM取得最小值，且BM=√BB12+B1M2=√42+(√2)2=3√2，∴④错误．故只有①正确．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12．已知f(x)={2|x+2|−2，−4≤x≤−1，log2(x+1)，−1＜x≤4，若函数g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，32]C．（0，2）D．（0，2]【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解解：如图所示，作出f（x）的图象，令f（x）＝t显然t＝0不是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，若t＝﹣1是方程t2﹣mt﹣1＝0的解，则m＝0，此时t＝±1，结合图象可知不满足题意，所以g（x）＝f2（x）﹣mf（x）﹣1恰有5个零点等价于t2﹣mt﹣1＝0一个解在（﹣1，0），一个解在（0，2]，令h（t）＝t2﹣mt﹣1，则{h(−1)=m＞0h(0)=−1＜0h(2)=4−2m−1≥0，解可得，0＜m≤32．故选：B．【点评】本题主要考查了由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足{0≤x −y ≤1，0≤x +y ≤1，则z ＝2x +y 的最大值为 2 ． 【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．解：作出约束条件的可行域，如图：直线z ＝2x +y 经过可行域的A 时，z 取得最大值， 由{x +y =1x −y =1解得A （1，0），所以z 的最大值为：2×1+0＝2． 故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．14．已知α是锐角，且sin （α−π6）=13．则sin （α+π3）＝ √23 ．【分析】由已知结合同角基本关系及诱导公式进行化简即可求解．解：因为α是锐角，且sin （α−π6）=13． 所以−π6＜α−π6＜13π，cos （α−π6）=2√23， 则sin （α+π3）＝sin[（α−π6）+12π]＝cos （α−π6）=2√23，故答案为：2√2．3【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．15．我国古代数学名著《九章算术•商攻》中，阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵．其一为阳马，一为鳖臑”．如图，在一个为“阳马”的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB＝2．AD=√3，PA⊥平面ABCD，若直线PD与平面ABCD所成的角为60°，π．则PA＝ 3 ，该“阳马”外接球体积为323【分析】以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，由此能求出该“阳马”外接球体积．解：由题意得∠PDA＝60°，则PA=√3AD=3，以AB，AD，AP为棱构造一个长方体，则该长方体的体对角线为其外接球的直径2R，即2R=√22+(√3)2+32=4，即R＝2，∴该“阳马”外接球体积为V=4πR3=43π×8=32π3．3故答案为：3，32π．3【点评】本题考查线段长、“阳马”的外接球的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知直线x﹣my﹣2＝0与抛物线C：y2=12x交于A，B两点．P是线段AB的中点，过P作x轴的平行线交C于点Q，若以AB为直径的圆经过Q，则m＝±2 ．【分析】设AB的坐标，直线与抛物线的方程联立求出两根之和，进而求出AB的中点P 的坐标，由题意求出Q的坐标，进而求出弦长|AB|，|PQ|，再由题意可得m的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由{x−my−2=0 y2=12x，整理可得2y2﹣my﹣2＝0，△＝m2+8＞0，y1+y2=m2，y1y2＝﹣1，所以AB的中点P（m 24+2，m4），则Q（m28，m4），即|PQ|=m28+2，又|AB|=√1+m2|y1﹣y2|=√1+m2√m24+4，所以√1+m2√m24+4=2（m28+2）即√1+m2=√m24+4，解得m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查抛物线的性质及以线段为直径的圆的性质，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学．某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程．该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程评分．其频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45．（1）（i）求直方图中的a，b值；（ii）若评分的平均值和众数均不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60，70）和[90，100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在[60，70）内的概率．【分析】（1）（i）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a，b．（ii）由频率分布直方图能求出评分的众数和评分的平均值，从而得到该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少一人评分在[60，70）的概率．解：（1）（i）由已知得（0.005+a+0.03）×10＝0.45，解得a＝0.01，又（0.015+b）×10＝0.55，∴b＝0.04．（ii）由频率分布直方图得评分的众数为85，评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15＝80，∴该校学生对线上课程满意．（2）由题知评分在[60，70）和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70）内的为2人，评分在[90，100）的有3人，记评分在[90，100]内的3位学生为a，b，c，评分在[60，70）内的2位学生这D，E，则从5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共10种，其中，评分在[90，100]内的可能结果为（a，b），（a，c），（b，c），共3种，∴这2人中至少一人评分在[60，70）的概率为P＝1−3=710．10【点评】本题考查频率、众数、平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．（1）求A；（2）若△ABC是锐角三角形，且a＝3．求cosCb的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出A的值．（2）利用正弦定理的应用和锐角三角形的角的范围的应用求出结果．解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b tan A＝（2c﹣b）tan B．∴sinB⋅sinAcosA =(2sinC−sinB)⋅sinBcosB，由于sin B≠0，所以sin A cos B＝2sin C cos A﹣sin B cos A，则：sin（A+B）＝2sin C cos A，即sin C＝2sin C cos A，由于sin C≠0，所以cos A=12，由于0＜A＜π，所以A=π3．（2）根据正弦定理asinA =b sinB，所以b＝2√3sinB．则：cosCb =cos(2π3−B)2√3sinB=−12cosB+√32sinB2√3sinB=4√3tanB+14．由于△ABC为锐角三角形，所以{0＜B＜π20＜C＜π2，即{0＜B＜π20＜2π3−B＜π2，所以π6＜B＜π2，所以tanB＞√33，即043tanB 14，所以0＜cosCb＜14，所以cosCb 的取值范围为（0，14）．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝2AC＝4，AB＝3，∠CAB＝90°．M是CC1的中点．（1）证明：平面A1B1M⊥平面ABM；（2）求四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积．【分析】（1）由已知求解三角形证明即A1M⊥AM，再证明AB⊥平面ACC1A1，得AB ⊥A1M，由直线与平面垂直的判定可得A1M⊥平面ABM，进一步得到平面A1B1M⊥平面ABM；（2）分别求出四棱锥M﹣ABB1A1的四个侧面三角形的面积，作和得答案．【解答】（1）证明：在矩形ACC1A1中，AM=A1M=√22+22=2√2，AA1＝4．则A1M2+AM2=AA12，即A1M⊥AM，又AB⊥AC，AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，则AB⊥平面ACC1A1，∵A1M⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1M，又AB∩AM＝A，∴A1M⊥平面ABM，∵A1M⊂平面A1B1M，∴平面A1B1M⊥平面ABM；（2）解：由（1）知，AB⊥AM，∴S△ABM=S△A1B1M=12×3×2√2=3√2．在△ABC中，BC=√22+32=√13，∴S△B1BM=12×√13×4=2√13，又S△A1AM=12×4×2=4．∴四棱锥M﹣ABB1A1的侧面积为2×3√2+4+2√13=6√2+4+2√13．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体侧面积的求法，是中档题．20．已知长轴长为2√2的椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且以F1、F2为直径的圆与C恰有两个公共点．（1）求椭圆C的方程；（2）若经过点F2的直线l与C交于M，N两点，且M，N关于原点O的对称点分别为P，Q，求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（1）由题意可得a 的值及b ＝c ，再由a ，b ，c 之间的关系求出b ，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得右焦点F 2的坐标，由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得四边形PQMN 为平行四边形，所以四边形的面积等于一个三角形面积的4倍，求出三角形OPQ 的面积，由均值不等式可得面积的最大值．解：（1）由题意可得2a ＝2√2，且b ＝c ，又c 2＝a 2﹣b 2，所以可得a 2＝2，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1； （2）由（1）可得右焦点F 2（1，0），再由题意可得直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程可得{x =my +1x 2+2y 2=2整理可得（2+m 2）y 2+2my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2， 由题意可得四边形MNPQ 为平行四边形，所以S ＝4S △OPQ ＝4×12×|OF 2|×|y 1﹣y 2|＝2×1×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√4m 2(2+m 2)2−4⋅−12+m 2=4√2√1+m 2(1+1+m 2)2=4√2√1(1+m 2)+11+m 2+2≤4√2√12+2=2√2， 当且仅当1+m 2=11+m 2即m ＝0时取等号， 所以四边形MNPQ 面积的最大值为2√2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及四边形的面积公式及均值不等式的应用，属于中档题．21．已知函数f(x)=−3cosx−1ax2，f′(x)为f（x）的导函数．2（1）若f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若x∈[0，π2]，求证：当a≤3时．f(x)+1x3+3≥0．2【分析】（1）先求f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，再求导g'（x），原问题可转化为g'（x）≤0在[0，π2]上恒成立，即a≥3cos x恒成立，于是求出y＝3cos x在[0，π2]上的最大值即可；（2）令h(x)=f(x)+1x3+3，原问题转化为证明h（x）≥0，求出h'（x），由于a≤23，所以h′(x)≥3sinx−3x+3x2，再令p(x)=3sinx−3x+32x2，再求导p'（x），2又令m（x）＝p'（x），又求导m'（x），并得出m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，因此m（x）在[0，π2]上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明h（x）≥h（0）＝0即可．解：（1）由题可知，f'（x）＝3sin x﹣ax，令g（x）＝3sin x﹣ax，则g'（x）＝3cos x﹣a，∵f'（x）在区间[0，π2]上单调递减，∴当0≤x≤π时，3cos x﹣a≤0，即a≥3cos x恒成立，2而当0≤x≤π时，3cos x∈[0，3]，2∴a≥3．（2）证明：令h(x)=f(x)+1x3+3，则h′(x)=f′(x)+32x2=3sinx−ax+32x2，2∵a≤3，∴h′(x)≥3sinx−3x+3x2，2令p(x)=3sinx−3x+3x2，则p'（x）＝3cos x﹣3+3x，2令m（x）＝3cos x﹣3+3x，则m'（x）＝﹣3sin x+3≥0，∴m（x）在[0，π2]上单调递增，即m（x）≥m（0）＝0，∴p'（x）≥0，∴p（x）在[0，π2]上单调递增，即p（x）≥p（0）＝0，则h'（x）≥0，∴h（x）在[0，π2]上单调递增，即h（x）≥h（0）＝0，也就是f(x)+1x3+3≥0．2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值、不等式恒成立问题，解题的关键是多次构造函数，并求导，判断新函数的性质，然后再逐层往回递推，考查学生的转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．一、选择题（α为参数），以坐22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosα，y=2sinα标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝1．（1）求C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标(ρ＞0，−π2＜θ＜π2)；（2）若曲线C3：θ＝β（ρ＞0）与C1，C2的交点分别为M，N，求|OM|•|ON|的值．【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C1的直角坐标方程，再由x ＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得极坐标方程；联立C1与C2的极坐标方程，即可得到交点坐标；（2）分别联立曲线C3和C1，C3和C2的极坐标方程，分别得到OM和ON的长度，再求值即可．解：（1）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）消去参数可得（x ﹣2）2+y 2＝4，即x 2+y 2﹣4x ＝0，又{x =ρcosθy =ρsinθ，则ρ2﹣4ρcos θ＝0， 即C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ．由{ρ=4cosθρcosθ=1，可得4cos 2θ＝1，又−π2＜θ＜π2，所以θ＝±π3，ρ＝2． 即C 1与C 2交点的极坐标为（2，π3），（2，−π3）． （2）由{θ=βρ=4cosθ，可得|OM |＝4cos β， 由{θ=βρcosθ=1，可得|ON |=1cosβ， 所以|OM |•|ON |＝4．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|﹣2|x +1|．（1）解不等式f （x ）≤0；（2）记函数f （x ）的最大值为m ，且a +b +c ＝m ，求证：（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥12．【分析】（1）由题意可得|2x ﹣1|≤2|x +1|，两边平方，化简整理，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得m ＝3，即a +b +c ＝3，再由三个数的完全平方公式，结合基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：f （x ）≤0即为|2x ﹣1|﹣2|x +1|≤0，即|2x ﹣1|≤2|x +1|，即为（2x﹣1）2≤4（x+1）2，化为12x≥﹣3，可得x≥−1，4}；则原不等式的解集为{x|x≥−14（2）证明：由f（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当x≤﹣1时，上式取得等号，则m＝3，即a+b+c＝3，又（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）＝3（a2+b2+c2）（当且仅当a＝b＝c＝1时取得等号），（a+b+c）2＝3，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝a2+b2+c2+2a+2b+2c+3所以a2+b2+c2≥13≥3+2×3+3＝12，则（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥12．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用：证明不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2024届模拟试卷（二）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()x f =的定义域是A ．[]2,2-B ．()2,2-C ．{}2,2x x x <->或D ．{}2,2-2.已知函数()y f x =的图象是下列四个选项图象之一，且其导函数()y f'x =的图象如图所示，则该函数的图象是A ．B ．C ．D ．3.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则该双曲线的渐近线方程为A ．34y x =±B ．43y x =±C ．45y x =±D ．54y x=±4.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于A ．2B ．2-C ．0D ．4-5.将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线π4x =对称，则ϕ的最小值为A ．3π4B ．1π2C ．3π8D ．1π86.为调查某地区中学生每天睡眠时间（单位：小时），采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为A ．0.96B ．0.94C ．0.79D ．0.757.在等腰△ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，则向量BD 在BA上的投影向量为A ．32BAB ．4BAC ．2BAD ．34BA8.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC （包括端点）上运动，则下列结论一定成立的是A ．三棱锥1A A PD -的体积大小与点P 的位置有关B ．1A P 与平面1ACD 相交C ．平面1PDB ⊥平面11A BC D ．1AP D C⊥二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有A ．2c cd<B ．a c b d -<-C ．ac bd<D ．0c d a b->10.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程占全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了四十二里路11.三棱锥A -BCD 的侧棱AB 垂直于底面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，三棱锥A -BCD 的体积43A BCD V -=，则A ．三棱锥A -BCD 的四个面都是直角三角形B ．2CD =C ．π2CDA ∠=D ．三棱锥A -BCD 外接球的体积三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复数范围内方程210x x ++=的解为.13.已知圆N ：22650x y y +-+=，直线1y =-，圆M 与圆N 外切，且与直线1y =-相切，则点M 的轨迹方程为.14.若m ，*n ∈N ，3m ≥，2n m +≥，则22111222A A A C A A mm m n m n m n ----=++.（请用一个排列数来表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.16.（本小题满分15分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A -PB -C 的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆G ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为63，右焦点为()，斜率为1的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -.（1）求椭圆G 的方程；（2）求△PAB 的面积.18.（本小题满分17分）某手机App 为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：每次抽奖中奖的概率为p ，n 次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有12的概率中积分奖，有12的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束.（1）若2n =，12p =，试求直到第3次才抽到现金奖的概率；（2）若19n =，0.01p =，X 表示抽到现金奖时的抽取次数.（ⅰ）求X 的分布列（用p 表示即可）；（ⅱ）求X 的数学期望()E X .（180.990.8345≈，结果四舍五入精确到个位数）19.（本小题满分17分）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，当0x ∆>，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处右可导；当0x ∆<，()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆是一个确定的值，则称函数()y f x =在点0x 处左可导.当函数()y f x =在点0x 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数()y f x =在点0x 处可导.（1）请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；（2）已知函数()22132e sin e ax f x x x x x +=--.（ⅰ）求函数()21esin e ax g x x x +=--在0x =处的切线方程；（ⅱ）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.2024届模拟试卷（二）数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DBAACBDCADACDABD2.B【解析】由()y f'x =的图象知，()y f x =为增函数，且在区间()1,0-上增长速度越来越快，而在区间()0,1上增长速度越来越慢.故选B ．3.A【解析】∵53c a =，∴222259a b a +=，∴43b a =.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为a y x b =±.∴所求双曲线的渐近线方程为34y x =±.故选A ．4.A【解析】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()()2f x f x =-，故()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()()24f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期为4的周期函数.则()()()3(202350533)42f f f f =⨯+==--=.故选A ．6.B【解析】初中生人数800m =，每天睡眠时间的平均数9x =，方差211s =；高中生人数1200n =，每天睡眠时间的平均数8y =，方差220.5s =.总的样本平均数8.4mx n y a m n +==+.总的样本方差()()22221220.94m s x a n s y a s m n⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==+.故选B ．7.D【解析】设AB AC x ==，由余弦定理可知22222cos1203BC AB AC AB AC x =+-⋅⋅︒=，∴BC =，30ABC ∠=︒，∵AD 平分∠BAC 且与BC 相交于点D ，△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 中点，2BD x =，由图可知向量BD 在BA 上的投影向量为BE ，3cos304BE BD x =︒= ，34BE BA = ，∴34BE BA =.故选D .8.C 【解析】对于选项A ，11A A PD P AA D V V --=．在正方体中，1BC ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 的距离不变，即三棱锥1P AA D -的高不变，又1AA D ∆的面积不变，因此三棱锥1P AA D -的体积不变，即三棱锥1A A PD -的体积与点P 的位置无关，故A 不成立；对于选项B ，由于11BC AD ∥，1AD ⊂平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ，所以1BC ∥平面1ACD ，同理可证1BA ∥平面1ACD ，又11BA BC B = ，所以平面11BA C ∥平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1A P ∥平面1ACD ，故B 不成立；对于选项C ，因为11A C BD ⊥，111A C BB ⊥，1BD BB B = ，所以11A C ⊥平面1BB D ，则111A C B D ⊥；同理11A B B D ⊥，又1111A C A B A = ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1B D ⊂平面1PDB ，所以平面1PDB ⊥平面11A BC ，故C 成立；对于选项D ，当B 与P 重合时，AP 与1D C 的夹角为π4，故D 不成立.故选C ．9.AD 【解析】因为0a b c d >>>>，所以0a b >>，0c d >>，对于A ，因为0c d >>，由不等式的性质可得2c cd <，故选项A 正确；对于B ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则3a c -=，3b d -=，所以a c b d -=-，故选项B 错误；对于C ，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac =-，2bd =-，所以ac bd =，故选项C 错误；对于D ，因为0a b >>，0d c <<，则ad bc <，所以c d a b >，故0c da b->，故选项D 正确.故选AD ．10.ACD【解析】设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，因为6378S =，所以166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第一天走了九十六里路，所以A 正确；对于B ，由于31192484a =⨯=，4813788>，所以B 不正确；对于C ，由于378192186-=，1921866-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；对于D ，456378192964842a a a ++=---=，所以此人后三天共走了四十二里路，所以D 正确.故选ACD ．11.ABD 【解析】∵AB BC ⊥，BC CD ⊥，构造如图所示的长方体，则AD 为三棱锥A -BCD的外接球的直径.设外接球的半径为R .∵1114223263A BCD V BC CD AB CD -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，∴2CD =，∴该长方体为正方体，∴AD =∴R =，∴外接球体积为34π3V R ==.故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.12x -=13.212x y=【解析】由题意得，直线l ：1y =-，且圆N ：()2234x y +-=，设点M 到直线l 的距离为r ，则点M 到l ＇：3y =-与点M 到点N 的距离相等，都是2r +，故点M 的轨迹是以N 为焦点，以l ＇为准线的抛物线，故方程为212x y =.14.2A mn -【解析】法一：直接计算，略.法二：实际意义：从n 个元素中选取m 个元素排列到m 个位置上去，对于两个指定的元素a ，b 进行分类，a ，b 都被选出来，有222A A m m n --种排法，a ，b 中有一个被选出来，有11122C A A m m n --种排法，a ，b 都没有被选出来，有2A mn -种排法，所以221112222A A A C A A A mm m mn m n m n n -----=++.法三：特值法试一试，如取3m =，7n =，再猜出排列数.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）()cos 2cos cos C A B C =+=-，22cos cos 10C C +-=，1cos 2C =，因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由外接圆半径2R =和正弦定理知1sin sin 2ABC S ab C A B ∆==，2ππsin sin 3sin 22236ABC S A B A A A A A ∆⎛⎫⎛⎫==-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当π3A =时，△ABC的面积最大值为16.【解析】（1）因为60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥．又AD PD D = ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ．因为PA ⊂平面PAD ，所以PA BD ⊥．（2）如图，以D 为坐标原点，射线DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz，则()1,0,0A，()B，()C -，()0,0,1P.()AB =-，()1PB =-，()1,0,0BC =- 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x z ⎧-+=⎪-=，因此可取n =.设平面PBC 的法向量为m ，则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取(0,1,m =-，则cos ,7m n <>==-，经判断，二面角A -PB -C 为钝角，故二面角A -PB -C的余弦值为7-.17.【解析】（1）由已知得c =3c a =，解得a =，又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22463120x mx m ++-=，①设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y （12x x <），AB 中点为()00,E x y ，则120324x x x m +==-，004my x m =+=，因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE AB ⊥，所以PE 的斜率为241334mk m -==--+，解得2m =，此时方程①为24120x x +=，解得13x =-，20x =，所以11y =-，22y =，所以AB =，又点()3,2P -到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==，所以1922PAB S AB d ∆=⋅=.18.【解析】（1）设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A ，则事件A 包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖，则()1111111222244P A =⨯⨯+⨯⨯=，所以直到第3次才抽到现金奖的概率为14.（2）（ⅰ）X 的可能取值为1，2，3，…，19，20，21.()112P X p ==，()()()()()2121111121222i i i P X i p p p p p p p ---==-⋅+-⋅=--，2i =，3， (19)()()()()18191811120111222P X p p p p ==-⋅+-⋅=-，()()()1919112111122P X p p ==-⋅⨯=-，所以X 的分布列为X 12…i …2021P 12p ()122p p -…()()21212i p p p ---…()18112p -()19112p -其中2i =，3，…，19.（ⅱ）()()()()()()12111112232121192222i E X p p p p p p i p p p -=⨯+⨯-+⨯--++⨯--++⨯ ()()()1719181112120(1)211222p p p p p --+⨯-+⨯-()()()()()()217181911212231411911011222p p p p p p p p ⎡⎤=+-+-+-++-+-+-⎣⎦ ，令()()()21723141191S p p p =+-+-++- ，则()()()()()23181213141191p S p p p p -=-+-+-++- ，作差得()()()17181112191p p pS p p ⎡⎤---⎣⎦=+--，所以()()()()()18182111192221222p p p p p S p p p p ⎡⎤----⎣⎦-=-+---，()()()()()()()181818192111192122110112222p p p E X p p p p p p p ⎡⎤----⎣⎦=+-+---+-+-()1811112192p p p p ⎛⎫=++---≈ ⎪⎝⎭，所以X 的数学期望()E X 约为19.19.【解析】（1）y x =，0x =为该函数的极值点，该函数在0x =处的左导数为1-，右导数为1，所以该函数在0x =处不可导.（2）（ⅰ）切线方程为0y =.（ⅱ）()()22213221e sin e e sin e ax ax f x x x x x x x x ++=--=--，因为当0x ≠时，20x >，故()f x 与()g x 同号，()21e sin e ax g x x x +=--，现考察()g x 的性质，由于()g x 为偶函数，只需分析其在()0,+∞上的性质即可，()212e sin cos ax g'ax x x x x +=--，()0,0g'=，()()222124e 2cos sin ax a a x x x x g''x +=+-+，()2e 20g 'a '=-，则必有()e 2002g''a =-≥，即1e a ≥.①否则，若()e 2002g''a =-<，即1ea <，则必存在一个区间()0,m ，使得()0g''x <，则()g'x 在()0,m 单调递减，又()00g'=，则()g'x 在区间()0,m 内小于0，则()g x 在()0,m 单调递减，又()00g =，故()g x 在区间()0,m 内小于0，故()f x 在区间()0,m 内小于0，则0x =不可能为()f x 的极小值点.②当1ea ≥时，()22111e e sin e e sin e x ax g x x x x x ++=----≥，令()211e esin e x h x x x +=--，()2112e sin cos e x e x h x x x 'x +=--，()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，易知2112e 224e e e x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,+∞上单调递增，对2cos sin y x x x =-+，2sin sin cos 3sin cos y'x x x x x x x =++=+，则3sin cos y'x x x =+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上大于0，故2cos sin y x x x =-+在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.故()2112e 224e 2cos sin e e x h x x x x ''x +⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.又()00h''=，故()0h''x ≥，故()h'x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h'=，故()0h'x ≥，故()h x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00h =，故()0h x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()21e sin e 0ax x x x g x h +=-->≥，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，由偶函数知π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x >，故0x =为()f x 的极小值点，所以a 的取值范围为1e a ≥.。

长沙市2024届高考适应性演练（二）数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2log 1M x x =<，{}210N x x =-<，则M N = （）A ．{}2x x <B ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C ．{}02x x <<D ．102x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭2．已知复数z 满足1z =，则34i z +-（i 为虚数单位）的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．73．已知π5sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45B ．45-C ．35D ．35-4．()422x x --的展开式中x 的系数是（）A ．8B ．8-C ．32D ．32-5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:14C x y -+=，若直线:0l x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（）A ．1B．C ．3D ．76．已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为（）A ．4B ．2C ．32D ．347．中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A ．19B ．527C ．481D ．82438．在边长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（含四条边），且tan 4tan APD EPB ∠=∠，则P 的轨迹长度为（）A ．π9B ．2π9C ．4π9D ．8π9二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，()()11f x f x +=-，()31f =，则（）A ．()11f -=B ．()()4f x f x =+C ．()()4f x f x =-D ．()1811k f k ==-∑10．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A 点走向B 点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝诺得到了错误的结论．设AB S =，这个人走的第n 段距离为n a ，这个人走的前n 段距离总和为n S ，则（）A ．*n ∀∈N ，使得()123n n S S a +-=B ．*n ∀∈N ，使得123n n a a +=C ．*n ∀∈N ，使得213nn S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．*n ∃∈N ，使得1nS S=11．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 的直线l 交抛物线E 于,A B 两点（点A 在第一象限），M 为线段AB 的中点．若24AF BF ==，则下列说法正确的是（）A ．抛物线E 的准线方程为83y =-B ．过,A B 两点作抛物线的切线，两切线交于点N ，则点N 在以AB 为直径的圆上C ．若O 为坐标原点，则2OM =D ．若过点F 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线于,C D 两点，则288AB CD ⋅=三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．二项式13nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W （单位：克）与脉搏率f （单位：心跳次数/分钟）的对应数据()(),1,2,,8i i W f i =⋅⋅⋅，根据生物学常识和散点图得出f 与W 近似满足kf cW =（,c k 为参数）．令ln i i x W =，ln i i y f =，计算得8x =，5y =，821214ii y==∑．由最小二乘法得经验回归方程为ˆ7.4ˆbx y=+，则k 的值为______；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值()1,2,,ˆ8i y i =⋅⋅⋅，若残差平方和()8210.28iii y y =-≈∑，则决定系数2R ≈______．（参考公式：决定系数 ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑）14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长均为4，60ABC ∠=︒，以A为球心，与侧面11CDD C 的交线长为______．四、解答题（本题共5小题，共77分。

高考数学二模试卷（文科））一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x-5，x∈A}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {1，4}C. {2，4}D. {3，4}2.已知复数z=-，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. （-1，-1）B. （-1，1）C. （1，2）D. （1，-2）3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D.4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，…x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2，它们的平均数为′，方差为s′2，则′，s′2分别为（）A. 3+2，3s2+2B. 3，3s2C. 3+2，9s2D. 3+2，9s2+25.已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A. 9B. 8C. 7D. 66.已知θ∈（），则2cos=（）A. sinθ+cosθB. sinθ-cosθC. cosθ-sinθD. 3cosθ-sinθ7.已知抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为（）A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3πB. 4πC. 6πD. 8π9.在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∠PBC=60°，则三棱锥P-ABC外接球的体积为（）A. 100πB.C. 125πD.10.函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）（|θ|）的图象向左平移个单位长度后得函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于点（）对称，则g（x）的单调递减区间是（）A. [+2kπ，+2kπ]，k∈ZB. [+kπ，+kπ]，k∈ZC. [-+kπ，+kπ]，k∈ZD. [+kπ，+kπ]，k∈Z11.a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，函数f（x）=x2+c2-a2-ab有唯一零点，则的取值范围是（）A. （1，3）B. （）C. （）D. （1，2）12.设0＜m≤2，已知函数，对于任意x1，x2∈[m-2，m]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则=______．14.已知两个单位向量和夹角为120°，则（）=______．15.已知四棱锥P-ABCD的底面边长都为2，PA=PC=2，PB=PD，且∠DAB=60°，M是PC的中点，则异面直线MB与AP所成的角为______．16.已知定义在R上的偶函数y=f（x+2），其图象连续不间断，当x＞2时，函数y=f（x）是单调函数，则满足f（x）=f（1-）的所有x之积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n，若数列的前n项和为T n，证明：T n＜1．18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到的等比数列．（1）求a，b的值；（2）若将年龄在[30，50）内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．19.在四棱锥M-ABCD中，平面MAD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2，AM=AD=3，MD=3，E，F分别为线段BC，MD上一点，且CE=1，DF=．（1）证明：AM⊥BD；（2）证明：EF∥平面MAB，并求三棱锥D-AEF的体积．20.设D是圆O：x2+y2=16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x=8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21.已知函数f（x）=1+ln x-ax2．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）证明：xf（x）＜•e x+x-ax3．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），其中，∈k∈Z．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，点P（-1，2），求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.已知函数f（x）=|x-1|（1）解不等式f（x-2）+f（x+2）≥8（2）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0．求证：．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={-2，1，4，7}；∴A∩B={1，4}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：z=-=-1+i，=-1-i，对应点到坐标为（-1，-1），故选：A．根据复数的运算，化简得z=-1+i轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由题意，双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，焦距为8，可得，得，所以双曲线的离心率e=．故选：D．根据题意，列出方程组，求得a，b，c的值，再利用离心率的计算公式，即可求解．本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确列出方程组，求得a，b，c的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平均数公式可得=（x1+x2+…+x100），s2=[（x1-）2+（x2-）2+……+（x100-）2]，进而分析数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2的平均数与方差，即可得答案．本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，应该熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．【解答】解：根据题意，数据x1，x2，…x100的平均数为，方差为s2；若3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x100+2的平均数为′，则′=[（3x1+2）+（3x2+2）+……+（3x100+2）]=3+2，方差s′2=[（3x1+2-3-2）2+（3x2+2-3-2）2+……+（3x100+2-3-2）2]=9s2，故选：C．5.【答案】A【解析】解：由题意，作出约束条件所表示的可行区域（如图所示），目标函数z=x+2y，可化为，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得A（1，4），所以目标函数的最大值为z=1+2×4=9，故选：A．作出约束条件所表示的可行区域，结合图形确定目标的最优解，代入即可求解．本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为θ∈（），则sinθ＞cosθ，用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，可得2cos=2cosθ+=2cosθ+sinθ-cosθ=sinθ+cosθ．故选：A．由θ∈（），则sinθ＞cosθ，再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，即可得到答案．本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，可得，可得p=1，故选：B．利用抛物线的定义，转化列出方程求出p，即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，是基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．在三棱锥P-ABC中，求得BC=5，又PC⊥底面ABC，所以PC⊥BC，在直角△PBC中，求得PB=10，进而得到三棱锥P-ABC外接球的直径，得到R=5，利用体积公式，即可求解．【解答】解：由题意知，在三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，所以BC=5，又由PC⊥底面ABC，所以PC⊥BC，PC⊥AC，在直角△PBC中，BC=5，∠PBC=60°，所以PB=10，PC=5，故PA==，由，故PA⊥AB，根据球的性质，可得三棱锥P-ABC外接球的直径为2R=PB=10，即R=5，所以球的体积为V===，故选：B．10.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+）（|θ|）的图象向左平移个单位长度后，得函数g（x）=2sin（2x++θ+）=2sin（2x+θ+）的图象，再由函数g（x）的图象关于点（）对称，∴θ+=kπ+，k∈Z，∴θ=，得到函数g（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．故选：C．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得θ的值，再利用正弦单调性求得g（x）的减区间．本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及合理、准确应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意，函数f（x）为偶函数且有唯一零点，则f（0）=0，所以c2=a2+ab．由余弦定理，得：c2=a2+b2-2ab cos C=a2+ab，整理得：b2-2ab cos C=ab，即b-2a cos C=a，所以=1+2cos C，由正弦定理，得：sin B-2sin A cos C=sin A，即：sin（A+C）-2sin A cos C=sin A，所以：sin C cos A-sin A cos C=sin A，所以：sin（C-A）=sin A，所以：C-A=A，或C-A+A=π（舍），故：C=2A，结合锐角△ABC，3A+B=π，则0＜π-3A＜，0＜2A＜，所以＜A＜，由=1+2cos C，又因为＜C=2A＜，所以：1＜=1+2cos C＜2，即的取值范围是（1，2）．故选：D．由f（0）=0，可得c2=a2+ab，再利用余弦定理，得：b-2a cos C=a，再由正弦定理，得：sin（C-A）=sin A，求得C=2A，结合锐角△ABC，求得：＜C＜，根据=1+2cos C，即可求解的取值范围．本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值．利用12.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数分析函数的最值，注意分析g（x）=x3-12x+50的最值．根据题意，设g（x）=x3-12x+50，求出其导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析其单调性，结合m的范围分析可得g（x）在[m-2，m]上为减函数，进而可得函数在[m-2，m]上也为减函数，据此求出f（x）在[m-2，m]上的最大值与最小值；结合题意分析可得必有f（x）max-f（x）min≤1，即f（m-2）-f（m）=-≤1，变形解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）=x3-12x+50，其导数g′（x）=3x2-12=3（x2-4），当x＜-2时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（-∞，-2）上为增函数，当-2≤x≤2时，g′（x）≤0，即函数g（x）在[-2，2]上为减函数，当x＞2时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（2，+∞）上为增函数，又由0＜m≤2，则[m-2，m]⊂[-2，2]，则在[m-2，m]上，g（x）为减函数，又由0＜m≤2，则函数在[m-2，m]上也为减函数，则f（x）max=f（m-2）=，f（x）min=f（m）=，若对于任意x1，x2∈[m-2，m]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1，则有f（x）max-f（x）min≤1，即f（m-2）-f（m）=-≤1，变形可得：3m2+2m-8≥0，解可得：m≤-2或m≥，又由0＜m≤2，则m的取值范围为[，2]；故选：B．13.【答案】-1【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（-）=-+2=，=f（）=log=-1．推导出f（-）=-+2=，从而=f（），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：根据向量的数量积的运算公式，可得（）=+=1•1•cos120°+1=．故答案为：．根据向量的数量积的运算公式，即可求解（）的值，得到答案．本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15.【答案】30°【解析】解：如图所示，连接AC与BD相交于N，则MN∥PA，根据异面直线所成角的定义，可得MB，AP所成的角为∠NMB或∠NMB的补角，由题意，在△MNB中，NB=1，MN=，BN⊥MN，则tan∠NMB=，∴∠NMB=30°，故答案为：30°．根据异面直线所成角的定义，可得则MB，AP所成的角为∠NMB或∠NMB的补角，在△MNB中即可求解．本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16.【答案】39【解析】解：因为函数y=f（x+2）是连续的偶函数，所以直线x=0是它的对称轴，从面直线x=2就是函数y=f（x）图象的对称轴．因为，所以或．由，得x2+3x-3=0，设方程的两根为n，n，所以x1x2=-3；由，得x2+x-13=0，设方程的两根为x3，x4，所以x3x4=-13，所以x1x2x3x4=39．故答案为：39．由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算即可求得最终结果．本题主要考查函数的对称性，分类讨论的数学思想，韦达定理的应用等知识，属于中等题．17.【答案】（1）解：因为a n+1=2S n+3，①所以{a n}为从第2项开始的等比数列，且公比q=3，又a1=3，所以a2=9，所以数列{a n}的通项公式a n=3n（n≥2）．当n=1时，a1=3满足上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=3n．（2）证明：由（1）知b n=log3a n=log33n=n，所以，所以=得证．【解析】（1）利用a n+1=2S n+3，①a n=2S n-1+3．②，①-②得{a n}为从第2项开始的等比数列，且公比q=3，然后求解通项公式．（2）通过裂项消项法转化求解数列的和，证明即可．本题考查数列递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（1）由题意得：，解得a=400，b=100．（2）由题意可知在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为a1，a2，a3，有2人是消费主力军，分别记为b1，b2，记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件A，从这5人中抽取2人所有可能情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．符合条件A的有7种，分别为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），∴这2人中至少有一人是消费潜力军的概率P=．【解析】（1）由频率分布表和等比数列的性质列出方程组，能求出a，b．（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为a1，a2，a3，有2人是消费主力军，分别记为b1，b2，利用列举法能求出这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．本题考查等差数列、随机事件所包含的基本事件、古典概型及概率计算公式等等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：证明：（1）∵AM=AD=3，MD=3，∴AM2+AD2=MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND=1，∵CE=1，∴CE=ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵=，∴FN∥AM，∵FN∩EN=N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD=MD，AM=3，∴F到平面ABCD的距离d=，∴V D-AEF=V F-ADE==1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD．（2）推导出CE=ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由V D-AEF=V F-ADE，能求出三棱锥D-AEF的体积．20.【答案】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，∴x0=x，|y0|=|y|．①∵点D在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16，将①式代入②式即得曲线C的方程为x2+y2=16，即+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2=48，直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3=+=+=2k-3•=2k-3•=2k-1，2k2=2•=2k-1．∴k1+k3=2k2．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．【解析】（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，故a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：要证xf（x）＜•e x+x-ax3，即证x lnx＜•e x，也即证＜，令g（x）=•（x＞0），则g′（x）=，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g（x）最小值=g（2）=，令k（x）=，则k′（x）=，故k（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故k（x）最大值=k（e）=，∵＜，故k（x）＜h（x），即ln x＜，故xf（x）＜•e x+x-ax3．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证＜，令g（x）=•（x＞0），令k（x）=，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证明结论．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程y=（x+1）tanα+2，其中α≠kπ+，k∈Z，曲线C2的直角坐标方程（x-1）2+（y-2）2=1，（2）将代入（x-1）2+（y-2）2=1，化简得t2-4t cosα+3=0，因为△＞0，所以cos2α＞，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1+t2=4cosα，t1t2=3＞0，|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2-2|PA||PB|=（|t1|+|t2|）2-2|t1||t2|=（t1+t2）2-2t1t2=16cos2α-6∈（6，10]．所以|PA|2+|PB|2的取值范围是（6，10]．【解析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线C1的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C2的直角坐标过程．（2）将直线l的参数方程代入曲线C2，利用韦达定理和参数t的几何意义，即可求解，得到答案．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x-1|那么f（x-2）+f（x+2）=|x-3|+|x+1|≥8，∴或或解得：x≥5或x≤-3；∴原不等式的解集为{x|x≥5或x≤-3}；（2）要证．只要证|ab-1|＞|a|•||．即|ab-1|＞|b-a|，只要证|ab-1|2＞|b-a|2作差：|ab-1|2-|b-a|2=a2b2-2ab+1-b2+2ab-a2=a2b2+1-b2-a2=（a2-1）（b2-1）∵|a|＜1，|b|＜1，∴（a2-1）（b2-1）＞0即|ab-1|＞|b-a|成立故得．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法和证明．属于中档题．（1）利用零点分段即可求解；（2）由．可得|ab-1|＞|a|•||．|ab-1|＞|b-a|，平方后作差即可证明；。