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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
完整版)解不等式组计算专项练习60题(有答案)1.解不等式组60题参考答案：1.解：由不等式①得2a-3x+1≥0，即x≤(2a+1)/3；由不等式②得3b-2x-16≥0，即x≤(3b-16)/2.又因为a≤4<b，所以2a+1≤9，3b-16≥8，所以x的取值范围为x≤3或x≥-11/2.2.解：由不等式①得x≤-1或x≥3；由不等式②得x≤4/3或x≥2.综合起来，x的取值范围为x≤-1或x≥3，或者4/3≤x≤2.3.解：由不等式①得x>(a+1)/2；由不等式②得x0，所以a/2>(a+1)/2，所以不等式组的解集为a/2<x<(a+1)/2.4.解：由不等式①得x≥1；由不等式②得x<3.所以不等式组的解集为1≤x<3.5.解：由不等式①得x≤-2；由不等式②得x>-3.所以不等式组的解集为-3<x≤-2.6.解：由不等式①得x>-1；由不等式②得x≤2.所以不等式组的解集为-1<x≤2.7.解：由不等式①得x≤-1；由不等式②得x≥-2.所以不等式组的解集为-2≤x≤-1.8.解：由不等式①得x>-3；由不等式②得x≤1.所以不等式组的解集为-3<x≤1.9.解：由不等式①得x>-1；由不等式②得x≤4.所以不等式组的解集为-1<x≤4.10.解：由不等式①得x-3.所以不等式组的解集为-3<x<2.11.解：由不等式①得x≥1；由不等式②得x<3.所以不等式组的解集为1≤x<3.1.由不等式组的①得x≥-1，由不等式组的②得 x<4，因此不等式组的解集为 -1≤x<4.2.由不等式①得x≤3，由不等式②得 x>0，因此不等式组的解集为0<x≤3.3.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.4.原不等式组可化为：x+45，x<-1.因此不等式组的解集为-3<x≤3.5.解不等式①得 x<5，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<5.6.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.7.解不等式①得x≥-1，解不等式②得 x<3，因此不等式组的解集为 -1≤x<3.8.解不等式①得 x<1，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<1.9.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.10.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.11.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.12.解不等式组的①得-∞<x<1，因为②中的不等式没有解，所以不等式组的解集为 -∞<x<1.13.解不等式①得x≥1，解不等式②得 x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.14.原不等式组可化为：x>-3，x≤3.因此不等式组的解集为-3<x≤3.15.解不等式组的①得 x<1，因为②中的不等式没有解，所以不等式组的解集为 -∞<x<1.16.解不等式①得 x<2，解不等式②得x≥-1，因此不等式组的解集为 -1≤x<2.17.解不等式①得x≥1，解不等式②得1≤x<4，因此不等式组的解集为1≤x<4.18.解不等式①得x≥-1，解不等式②得 x<3，因此不等式组的解集为 -1≤x<3.19.解不等式①得 x<1，解不等式②得x≥-2，因此不等式组的解集为 -2≤x<1.20.解不等式①得 x>-1，解不等式②得x≤4，因此不等式组的解集为 -1<x≤4.21.不等式①的解集为x≥1，不等式②的解集为 x<4，因此原不等式的解集为1≤x<4.22.解不等式①得 x<0，解不等式②得x≥3，因此原不等式无解。
中考数学复习《不等式与不等式组》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（）A．4>1B．3x−16<4C．1x<2D．4x−3<2y−72．下列不等式变形不正确的是（）A．若a>b，则a+c>b+c B．若a<b，则a−1<b−1C．若a>b，则3a>3b D．若a<b，则−a<−b3．不等式的解集x≥1在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．如果(m+3)x>2m+6的解集为x<2，那么m的取值范围是（）A．m<0B．m<−3C．m>−3D．m是任意实数5．关于x的不等式x﹣1＜a有3个非负整数解，则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．1＜a≤2 C．1≤a≤2 D．2＜a≤36．某超市花费1140元购进苹果100千克，销售中有5%的正常损耗，为避免亏本(其它费用不考虑)，售价至少定为多少元/千克？设售价为x元/千克，根据题意所列不等式正确的是（）A．100(1−5%)x≥1140B．100(1+5%)x≥1140C．100(1+5%)x≤1140D．100(1−5%)x≤11407．关于x的不等式组{x>2mx≥m−3的最小整数解为1，则m的取值范围是（）A．−3≤m<1B．0≤m<12C．3<m≤4D．0≤m<12或3<m≤48．关于x的不等式组{x−13≤1a−x<2恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（）A．2≤a<3B．2≤a≤3C．a<3D．2<a<3二、填空题9．若a>b，则a+2b+2（填“＞”或“＜”或“＝”）．10．不等式−x+4>1的最大整数解是．11．已知不等式4x −3a >−1与不等式2(x −1)+3>5的解集相同，则a 的值是 ． 12． 若关于x 的不等式组{x −a >3x+23−1>x−12无解，则a 的取值范围是 ． 13．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分不到3本，那么这些书共有 本． 三、解答题 14．解不等式(组)： （1）3x −5<2(2+3x)； （2）{2x −5<4x −66x −3≤6−3x．15．解不等式组{3x +2≤x +6①5x −4>−3x +20②，并利用数轴确定不等式组的解集．16．为引导学生“爱读书，多读书，读好书”，某校七(2)班决定购买A 、B 两种书籍.若购买A 种书籍1本和B 种书籍3本，共需要180元；若购买A 种书籍3本和B 种书籍1本，共需要140元. （1）求A 、B 两种书籍每本各需多少元?（2）该班根据实际情况，要求购买A 、B 两种书籍总费用不超过700元，并且购买B 种书籍的数量是A 种书籍的 32 ，求该班本次购买A 、B 两种书籍有哪几种方案?17．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元；（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？并求出最省钱的购买方案18．某校七年级组织学生外出进行研学活动，现有40座和45座两种客车可供租用，若租m 辆40座车，需要花费2000元租车费用，但有15人没有座位；若租m 辆45座车，则需要花费2200元租车费用，但最后一辆车人数超过5人，不足15人． （1）求m 的值和出行人数；（2）学校准备一共租m 辆车，若预算租车费用不超过2110元，且保证所有人都有座位可坐，一共有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，直接写出最少租车费用．参考答案1．B2．D3．B4．B5．B6．A7．B8．A9．＞10．211．312．a≥−213．2614．（1）解：∵3x−5<2(2+3x)∴3x−5<4+6x3x−6x<4+5−3x<9∴x>−3；（2）解：由2x−5<4x−6得：x>0.5由6x−3≤6−3x得：x≤1则不等式组的解集为0.5<x≤115．解：{3x+2≤x+6①5x−4>−3x+20②解不等式①得x≤2解不等式②得：x>3在数轴上表示不等式①、不等式②的解集如下图所示由图可知，不等式①、②的解集没有公共部分∴不等式组无解．16．（1）解：设A种书籍每本x元，B种书籍每本y元，由题意得{x +3y =1803x +y =140 解得： {x =30y =50答：A 种书籍每本30元，B 种书籍每本50元。
高一不等式练习题（打印版）# 高一不等式练习题## 一、选择题1. 若不等式\( a + b > c \)成立，且\( a > 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( b > -a \)B. \( b > c - a \)C. \( b > c \)D. \( b > a \)2. 对于任意实数\( x \)，下列不等式中哪个是恒成立的？A. \( x^2 \geq 0 \)B. \( x^2 + 1 \geq 1 \)C. \( x^2 + 1 \geq x \)D. \( x^2 - 1 \geq 0 \)## 二、填空题1. 若\( x \)是正数，那么\( \frac{1}{x} \)的取值范围是\_\_\_\_\_。
2. 若\( a \)和\( b \)是两个不同的正数，且\( a + b = 1 \)，则\( ab \)的最大值是 \_\_\_\_\_。
## 三、解答题1. 已知不等式\( 2x - 3 > x + 1 \)，求\( x \)的取值范围。
2. 已知不等式\( |x - 2| < 3 \)，求\( x \)的取值范围，并说明\( x \)的最小值和最大值。
## 四、证明题1. 证明不等式\( a^2 + b^2 \geq 2ab \)对任意实数\( a \)和\( b \)都成立。
2. 若\( a, b, c \)是正数，且\( a + b + c = 1 \)，证明\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。
## 五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为\( C(x) = 100 + 30x \)，销售价格为\( P(x) = 200 - 5x \)，其中\( x \)表示产品数量。
求利润最大时的产品数量。
2. 一个班级有50名学生，每个学生至少参加一项课外活动。
一元一次不等式组提高练习1、解不等式252133x -+-≤+≤-2、 求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+⎧⎪-≥-⎨⎪-+>⎩3、解不等式：（1） 0)2)(1(<+-x x （2）0121>+-x x4、对于1x ≥的一切有理数，不等式()12x a a -≥都成立，求a 的取值范围。
5、已知1x =是不等式组()()352,23425x x a x a x -⎧≤-⎪⎨⎪-<+-⎩的解，求a 的取值范围.6、如果35x a =-是不等式()11233x x -<-的解，求a 的取值范围。
7、若不等式组841,x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集为3x >，求m 的取值范围。
8、如果不等式组237,635x a b b x a-<⎧⎨-<⎩的解集为522x <<，求a 和b 的值。
9、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-622131m x m x 的解集是36+<m x ，求m 的取值范围。
10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内，求a 的取值范围。
11、已知关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩，的整数解共有3个，求a 的取值范围。
12、已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨-≥-⎩的整数解共有5个，求a 的取值范围。
13、若关于x 的不等式组2145,x x x a ->+⎧⎨>⎩无解，求a 的取值范围。
14、设关于x 的不等式组22321x m x m ->⎧⎨-<-⎩无解，求m 的取值范围15、若不等式组⎩⎨⎧<->a x a x 无解，那么不等式⎩⎨⎧<+>-11a x a x 有没有解若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说明理由16、若不等式组372,x x a a -≤⎧⎨-≥⎩有解，求a 的取值范围。
一元一次不等式（组）常见试题分类练习一、解法常见考题：2x y 1 3m, 1、已知方程组x 2 y 1 m① 的解满足 x ＋ y ＜ 0，求 m 的取值范围． ②x 2 y 4k , 2、已知y 中的 x ，y 满足 0＜y － x ＜ 1，求 k 的取值范围．2 x2k 1x 15x 3,3、若关于 x 的不等式组2只有 4 个整数解，求 a 的取值范围．2x 2 3x a4、关于 x 的不等式组x a 0,5 个，求 a 的取值范围．3 2x的整数解共有15、已知 a 是自然数，关于 3x 4 a, 的解集是 x ＞ 2，求 a 的取值范围．x 的不等式组2 0x6、若不等式组X+8 ＜ 4x － 1 的解集是 x ＞3，则 m 的取值范围是。
x ＞ mx 9 5x 1, )．7、不等式组m1 的解集是 x ＞ 2，则 m 的取值范围是 (x(A) m ≤ 2(B) m ≥ 2 (C)m ≤ 1(D) m ≥ 18、关于 x 的不等式组x a 0, 5 个，求 a 的取值范围．3 2x的整数解共有19、若不等式组x ＋ 8<4x － 1x>m的解集为 x>3 ，则 m 的取值范围是 ________．x x ＋ 110、试确定实数 a 的取值范围，使不等式组2＋ 3 >0恰有两个整数解．5a ＋ 4 4x ＋ 3>3 x ＋ 1 ＋ a11、已知 a 是自然数，关于3x 4 a,x 的不等式组20 的解集是 x ＞ 2，求 a 的值．xx 15 3,x 12、若关于 x 的不等式组2 2x2ax3只有 4 个整数解，求a 的取值范围．二、最后一间房问题：1、若干名学生，若干间宿舍，若每间住 4 人将有 20 人无法安排住处；若每间住8 人，则有一间宿舍的人2、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分 3 件，则剩余 4 件，若前面每人分 4 件，则最后一人得到的玩具最多 3 件，问小朋友的人数至少有多少人？。
不等式(不等式组)提高经典练习题1.1) 3x-4x+8≥x-3x+32x+8≥-32x≥-11x≤11/22) x-3x+8+2/x-82/7+1≥05x^2-25x+12≤0x∈[2/5,3]2.1) x≤-1/2或x≥53x+2≤2x-4x≤-63x+1<2x+4x<32(x+1)>5-x3x>3x>1综上，x∈(1,5]2) 3x+2<2(x+2)x<24.x-2<m-3x^2m-3x^2-2x-1>03x^2-m+2x+1<0根据二次函数的图像可知，当a<1时，不等式无解；当a≥1时，不等式的解为m∈(-∞,2a+1)。
5.x+a-2x-4a≥0x≥2aax+5-3a≥0x≥(3a-5)/a综上，x≥max{2a,(3a-5)/a}，即x的解集为[x,∞)。
6.1) 7x-17<5x+132x<15x<7.52) 2x-ax=4x=(4+a)/2代入(1)得a≥-57.m-2-1-m=-3m/(3m-2)1/(3m-2)=1/(m-2)m≠2,5/38.当m≥2时，不等式的解为x∈(-∞,0)U(1,∞)。
当m<2时，不等式的解为x∈(-∞,0)U(1,(m-1)/(2m))。
9.1) -7≤2(1+3x)≤74≤3x≤24/3≤x≤2/32) 4x-10<3-3x7x<13x<13/73(1-x)>2(x+9)x>-25/75x+4>x^2*3.5+1.4x^2*3.5-5x-2.6≤01.2≤x≤1.911-2x≤3x+1x≥2综上，解集为[-4/3,2/3]∩(13/7,∞)。
10.-7≤x-m<7-2x14/3≤x<m+7/34个整数解可以是-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7. 因此，m∈[-17/3,-14/3]∪[1,4]。
高中数学联赛不等式专题练习（带答案详解）一、解答题1．已知a ，b 为正数，且a b2112a b a b+>>>+. 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证. 【详解】=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =再以2a b BC +=为斜边，2a bCD -=为直角边构造Rt BCD ，则BD ===最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE BC a b==='+， 由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a ba b+>>>+.2．已知：0a>，0b>，1a b+=.2≤.【答案】证明见解析.【分析】构造一个直角三角形，图所示）cos)2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b+=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222+=.①.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b+=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式.至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知αα=.cos)24πααα⎛⎫+=+≤⎪⎝⎭∴2≤成立.3．设x，y，0z>1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【答案】证明见解析. 【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑， 由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xy x y x xyxyz xxy++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥∴≥又13，所以()8445221x y z x y z +≥+∑, 所以原不等式成立.4．对每一个正整数2n ≥，求最大的常数n c 使得不等式1nn i i j i i jc a a a =<≤-∑∑对任意满足10nii a==∑的实数12,,,n a a a 成立．【答案】2n【详解】首先，我们证明2n n c ≤；若n 为偶数，设2n k =，取1121,1k k k a a a a a +=======-，此时21,2nii j i i jan a a k =<=-=∑∑．所以2122iji jn nii a ak n c k n a<=-≤===∑∑． 若n 为奇数，设21n k =+，取121221,11k k k ka a a a a k +++=======-+，此时1(1)121ni i k a k k k k ==++⋅=+∑，(1)1(21)1i j i j k a a k k k k k <⎡⎤⎛⎫-=++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑． 所以1(21)21222iji jn nii a ak k k nc k a<=-++≤===∑∑，所以对n +∈Z 均有2n n c ≤． 下面我们证明2n nc =满足条件，即12ni i j i i jn a a a =<≤-∑∑．又()1112(1)n n ni j i j i j i j i ji j ii j ii j ia a a a a a n a a <=≠=≠=≠-=-≥-=--∑∑∑∑∑∑∑．因为10n i i a ==∑，所以0i j j ia a ≠+=∑．所以112(1)n ni j i i i i j i i a a n a a n a <==-≥-+=∑∑∑，得证．所以n c 的最大值为2n．5．已知正实数12,,,(2)n a a a n >满足121n a a a +++=．证明：23131212121222(1)n nn n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+--．【答案】证明见解析. 【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i jj j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以 231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+-()()3311(1)2ni i ia n a n =-≤-+-∑ 33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ． 由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111()(1)4(1)(1)=≤++--∑∑i iia a a a a a()()2131111411a a a a ⎛⎫=+⎪--⎝⎭∑ ()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．6．已知12,,,n a a a …为正实数(4)n ≥，且满足(1)j i ia ja i j i j n +≥+≤<≤，求证：()()()()12121n a a a n n +++≥+！．【答案】证明见解析 【详解】设ii a b i =，则有11(1)i j b b j i j i n +≤≥<≤+，命题即证1(1)(1)ni i b n =+≥+∏．（1）若对于所有(1)i i n ≤≤，有1i b i ≥，则11111(1)(1)1n n ni i i i i b n i i ===+⎛⎫+≥+==+ ⎪⎝⎭∏∏∏．（2）若存在某一个(1)i i n ≤≤，有1i b i<.设1i c b i=-，则有111111()j i b b i c j i j j +≥+-++≠=+，则11111(1)(1)11nni i i c i b c j c i==+-+≥⋅++++∏∏. 注意到21111111111(1)111c c i i i c c c i i i+-+-+=⋅≥++++++， 故只需证211111(1)11(1)n ni i n c c j j ==⎛⎫⋅+++=+ ⎪⎝⎭≥+∏∏， 即2111(1)11n i c jc j =⎛⎫++ ⎪ ⎪≥+ ⎪+ ⎪⎝⎭∏．又因为111111211cc c jj j++=+≥+++， 故()421244122111312121122212ni c c c c c c c j C C =⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪≥+≥++ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎭≥++⎝∏ 因此命题成立．7．求所有实数1,1,1x y z ≥≥≥满足：=【答案】22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 【详解】记2221,1,1x k y l z m =+=+=+，不妨0k l m ≤≤≤，k l m =++．平方整理得()2221(1)(1)0k lm kl km +-++-=，于是有11,ml m l k=+=， 所以210,,,1ll m k l l l ≠===+相应的222211,11y y yx k z m y y +-=+==+=-． 由x y ≤，即2321(1)(1)0y y y y y +-≤⇔-+≥，符合假设．由x z ≤，即()231(1)210y y y y y +--≤⇔-≥，又1y ≥，符合假设．综上，22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 8．已知12,,,0n a a a >，求证：()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++．【答案】证明见解析. 【详解】因为()()()2221232213132a a a a a a a a a ++=++++ ()222131324a a a a a a ≥+++()()221321222a a a a a a =+++()()122322a a a a =++，所以()()()()()()21232341212231n n a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭()()()()()()()()()1223233411222212231222222nn a a aa a a a a aa a a a a a a a a +++++≥++++， 当且仅当1324,a a a a ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅时等号成立． 以下配对柯西约分： 因为()()()22121212222a a a a a a ++≥=+，()()()22232323222a a a a a a ++≥=+，……，显然柯西不等式等号不成立．所以()()()()()()212323412122312n nn a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭>， 即()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++.9．在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值． 【答案】23【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．10．求常数C 的最大值，使得对于任意实数122020,,x x x ﹐均有20192120201()i i i i x x x Cx +=+≥∑．【答案】20194040- 【详解】定义数列{}n a 满足1110,()4(1)n n a a n a N ++=-∈=．不难用数学归纳法证明1()2n n a n nN +-∈=． 对于正整数i ，由22222111111111(1))04i i i i i i i i i i i i i a x x x a x x x x a x a ++++++++-++=++=≥， 得222111i i i i i i i x x x a x a x ++++≥-.上式两边对i 从1到2019求和，得2019201922222111202020002020112019()()4040ii i i i i i i i x x x a x a x a x x +++==+≥-=-=-∑∑． 另一方面，取11111,1,2,,201(9)2n n n n x n x x x n a n +++==-=-⋅=⋅⋅，可得20194040C ≤-． 故常数C 的最大值为20194040-． 11．设正整数2n ≥，非负实数12,,,n a a a ，满足11ni i a ==∑，求2211n n i i i i a i a i ==⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑的最大值.【答案】23224(1)27(1)n n n n +++ 【详解】注意到，对任意的1i n ≤≤，都有22(1)1n n n i n i++++≤， (这是因为上式等价于(1)()(1)0i n i n i i--++≥） 于是由均值不等式，()222222111114()()()(1)2nnnn i i i i i i i i n n a i a i a a i n n i ====+⎛⎫⋅=⋅ ⎪+⎝⎭∑∑∑∑ 32122(1)4(1)3n i i n n i a i n n =⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 32232222414(1)(1)327(1)n n n n n n n n ⎛⎫++++≤= ⎪++⎝⎭等号成立当且仅当2111(1),12n nni i i i i i n n i a a a i ===+==∑∑∑及2310n a a a -====，即1231212,,03(1)3(1)n n n n a a a a a n n -++======++时.综上，原式的最大值为23224(1)27(1)n n n n +++. 12．设正实数1299,,,a a a 满足对任意199i j ≤≤≤有i j ja ia i j +≥+，求证：()()()12991299100a a a +++≥!．【答案】证明见解析 【详解】 令(199)ii a b i i=≤≤，条件转化为对任意199i j ≤<≤有11i j b b i j +≥+．要证不等式即()()()1299111100b b b +++≥．若对任意199i ≤≤均有1i b i ≥，则左式99111100i i=⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭∏．否则恰存在一个i 使得1i b i <，记1i c b i=-，则对任意j i ≠，有1j b c j ≥+．于是左式9919911111111111j j j ic i c c c i j j c i≤≤=≠-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++∏∏． 即只需证：991121100111j c c j c i =⎛⎫ ⎪⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∏． ① 由Bernoulli 不等式知 ①式左端9999999911111110011001111j j j j j j j j c c c j j j j ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+⋅≥+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏． 显然99122111j j j c i=>>+-+∑，因此①式成立，即证原不等式成立． 13．已知12,,,n a a a R ∈，且满足222121n a a a +++=，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n 为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立. （1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112n n ni i i i i i i i a a a a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立. （2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a -----必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn ni i i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122aa a a a-++=，所以：23A 22ni i a a ==+≤≤=∑当且仅当12413110,,11a a a a a n n =======---或12413110,,11a a a a a n n ====-===--时等号成立.14．已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++. 【答案】证明见解析 【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤. 于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++. 则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立. 15．设1,2,3,,()k k a b k n =、均为正数，证明：（1）若112212n n n a b a b a b b b b ++⋯+≤++⋯+，则12121n b b bn a a a ≤；（2）若121n b b b +++=…，则1222212121n b b b n n b b b b b b n++≤+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】设()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞，令1()10f x x'=-=解得1x =. 当01x <<时，()()0,f x f x '>在()0,1内是增函数； 当1x >时，()()0,f x f x <在()1,+∞内是减函数； 故函数()f x 在1x =处取得最大值()10,ln 1f x x =≤-.（1）因为,0k k a b ≥，从而有ln 1k k a a ≤-，得()ln 1,2,k k k k k b a a b b k n ≤-=⋯， 求和得111ln k nnnb kk k k k k k a b b a ===≤-∑∑∑.因为11nnk k k k k a b b ==≤∑∑，所以1n 0l k nbk k a =≤∑，即1212ln()0n b b b n a a a ⋅⋅≤⋅，所以12121n b b bn a a a ⋯≤.（2）①先证12121n n b b b b nb b ≤令1(1,2,,)k k a k n nb ==.则11111nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑，于是由（1）得1212111()()()1nb b b nnb nb nb ≤， 即1212211nn b b b b b b nb n bn b+++≤=，所以12121n n b b b b nb b ≤⋯. ②再证122221212n b bbn n b b b b b b ≤+++.记21nkk S b ==∑，令(1,2,,)kk b a k n S ==，则211111n n nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1n b b bn b b b S S S≤.即121212nnb b b b b bn b b S S b +++==，所以122221212n b b n n b b b b b b b ⋯≤+++.综合①②，（2）得证. 16．给定整数2n ≥．设1212,,,,,,,0n n a a a b b b >，满足1212n n a a a b b b +++=+++，且对任意,(1)i j i j n ≤<≤，均有i j i j a a b b ≥+．求12n a a a +++的最小值．【答案】最小值为2n ． 【分析】 记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．结合222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，将2221112n ni i i j i i i j n S a a a a ==≤<≤⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑变成不等关系，求得最小值，并验证等号成立条件即可. 【详解】 解：记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．又222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，于是222111122221n ni i i j i j i i i j n i j n S a a a a a a nS n ==≤<≤≤<≤⎛⎫⎛⎫==+≥+≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑． 注意0S >，故2S n ≥． 另一方面，当2(1,2,,)i i a b i n ===时，条件满足，且2S n =．综上，12n S a a a =+++的最小值为2n ．17．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++ 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y zxy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭， 故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.18．设x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，求证：33311116xy yz zxx y y z z x ++++≥ . 【答案】证明见解析 【分析】由基本不等式+a b ≥. 【详解】因为x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，所以31682xy yz x y x+≥==（当且仅当24x y =，即x z =时取等号），31682yz xz y z y +≥==（当且仅当24y z =，即x y =时取等号），31682xz xy z x z+≥=（当且仅当24z x =，即y z =时取等号）， 所以333161616+++2+2+2xy yz xz yz xz xy x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y z ==取等号），所以33311116xy yz zx x y y z z x ++++≥，当且仅当x y z ==取等号. 【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式，关键在于构造基本不等式和满足基本不等式的条件，属于中档题.19．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）记1n n n d a S +=-，证明：1132n d <<【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先令n=1求出首项，再由前n 项的积的定义表示1111n n na a a ++-=-，进而整理化简，再由等差数列定义得证；（2）由（1）表示数列{}n a 的通项公式，进而由放缩法放缩2n T ，再由裂项相消法求n S ，最后再放缩不等式得证. 【详解】解析：（1）因为1n n T a =-，所以111a a =-，解得112a =. 由题可知11111n n n n nT a a T a +++-==-， 所以11111n n n a a a ++=--，即()1111111n n n a a a ++--=--，则111111n n a a +-=--. 所以11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，且首项1121a =-. （2）由（1）可知()1121111111n n n nn n a a a n n =+-⋅=+⇒-=⇒=-++，则111n n T a n =-=+. 首先，()()()22111112121n T n n n n n =>=-+++++.所以222111111111123341222n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又112n n a n ++=+，所以111112222n n n n d a S n n ++=-<+-=++. 其次，()()2221111112113212311422n T n n n n n n ⎛⎫=<=-=- ⎪++⎝⎭++-++. 所以2221111111111222235572123323n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111112212232322433n n n n n d a S n n n n +++⎛⎫=->-->+-= ⎪++++⎝⎭. 综上所述：1132n d <<.【点睛】本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法求和，属于难题.20．用适当的方法证明下列不等式： （1）若0x >，0y >，证明：22x y xyx y+≥+；（2）设a ，b 是两个不相等的正数，且111a b+=，证明：4a b +>．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）采用分析法证明，当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+，只需证2()4x y xy +≥，再根据重要不等式即可证明；（2）采用综合法证明，由题意得()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++，再根据基本不等式即可证明． 【详解】证明：（1）当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+， 则只需证：2()4x y xy +≥， 即证：2()40x y xy +-≥， 即证：2220x xy y -+≥，∵,x y R ∀∈，2222()0x xy y x y -+=-≥恒成立， ∴22x y xyx y+≥+成立； （2）∵0a >，0b >，111a b+=且ab ，∴()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+，∵a b ，∴不能取等号，即4a b +>．【点睛】本题主要考查不等式的证明方法，考查分析法与综合法证明不等式，考查基本不等式的应用，属于中档题．。
解不等式组计算专项练习60题(有答案)1.解不等式组专项练60题（附答案）2.解：2x+1≤3x，得x≥1；3x-16≥2x，得x≥16，综合得1≤x<16，即x∈[1,16)。
3.解：|a-1|<1，即-1<a-1<1，解得0<a<2；|a+2|<2，即-2<a+2<2，解得-4<a<-0.5.综合得-4<a<-0.5，0<a<2，即a∈(-4,-0.5)∪(0,2)。
4.解：x+1>0，即x>-1；x-3<0，即x<3，综合得-1<x<3，即x∈(-1,3)。
5.解：x-2≥0，即x≥2；2x+1≤3x-2，得x≥3，综合得x≥3，即x∈[3,∞)。
6.解：x+1>0，即x>-1；2x-3≤x+2，得x≤5，综合得-1<x≤5，即x∈(-1,5]。
7.解：x-3≥0，即x≥3；2x-1≤3x-4，得x≤3，综合得x=3.8.解：x+3>0，即x>-3；x-1≤0，即x≤1，综合得-3<x≤1，即x∈(-3,1]。
9.解：x+1>0，即x>-1；3x-2≤2x+8，得x≤10，综合得-1<x≤10，即x∈(-1,10]。
10.解：x-1≥0，即x≥1；x+2≥0，即x≥-2，综合得x≥1，即x∈[1,∞)。
11.解：x-3<0，即x<3；x-1≥0，即x≥1，综合得x∈(-∞,3)∩[1,∞)，即x∈[1,3)。
12.删除此段。
13.解：x-2>0，即x>2；x+1≤0，即x≤-1，综合得x∈(2.-1]。
14.解：x+3≥0，即x≥-3；3x-2≤2x+5，得x≤7，综合得-3≤x≤7，即x∈[-3,7]。
15.解：x+1>0，即x>-1；2x-5≥0，即x≥2.5，综合得x>2.5，即x∈(2.5,∞)。
一元一次不等式（组）常见试题分类练习一、解法常见考题：1、已知方程组⎩⎨⎧-=++=+②①my x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 2、已知⎩⎨⎧+=+=+122,42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 3、若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 4、关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 5、已知a 是自然数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的取值范围．6、若不等式组 X+8＜4x －1 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 。
x ＞m7、不等式组⎩⎨⎧+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥18、关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 9、若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋8<4x －1x>m 的解集为x>3，则m 的取值范围是________． 10、试确定实数a 的取值范围，使不等式组⎩⎨⎧ x 2＋x ＋13>0x ＋5a ＋43>43(x ＋1)＋a恰有两个整数解． 11、已知a 是自然数，关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值．12、若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围． 二、最后一间房问题：1、若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?2、一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人？。
3、把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
（1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：（2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？9、若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?三、方案选择问题：1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好2、暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折；乙旅行社的优惠条件是：家长，学生都按八折收费。
假设这两位家长至带领多少名学生去旅游，他们应该选择甲旅行社？四、方案设计问题1、为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．(1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？2、某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾?3、在“5·12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务．某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A，B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按板房型号甲种板材乙种板材安置人数A型板房54 m226 m2 5B型板房78 m241 m28问：这400间板房最多能安置多少灾民?4、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：竖式纸盒(个) 横式纸盒(个)x正方形纸板(张) 2(100-x)长方形纸板(张) 4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)如果做一个竖式纸盒的费用为2元，做一个横式纸盒的费用为1元，如何安排设计方案，使得生产费用最少？5、某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配Ａ、Ｂ两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧。
已知搭配一个Ａ种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个Ｂ种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆。
（1）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；（2）若搭配一个Ａ种造型的成本是200元，搭配一个Ｂ种造型的成本是360元，试说明（1）种哪种方案成本最低，最低成本是多少元？6、某公司在A、B两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元；从B地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从A地运往甲地x台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为y元．(1)请填写下表，并写出y与x之间的函数关系式；(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省?24、荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元，通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．7、为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？8、在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B 两类学校各有几所．9、重庆市政府为响应党中央建设社会主义新农村和节约型社会的号召，决定资助部分农村地区修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源。
红星村共有360户村民，村里得到34万元的政府资助款，准备再从各户筹集一部分资金修建A型、B型沼气池共20个。
两种型号沼气池每个修建费用、可供使用的y 万元。
（1）试用含x的代数式表示y；（2）试问有几种满足以上要求的修建方案？（3）平均每户村民筹集500元钱，能否满足所需费用最少的修建方案。
10.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。
现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。
经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？11.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若使总收入不低于15.6万，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？12.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？13、火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，现计划用50节Ａ、Ｂ两种型号的车厢将这批货物运到北京，已知每节Ａ型车厢的运费是0.5万元，每节Ｂ型车厢的运费是0.8万元；甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节Ａ型车厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节Ｂ型车厢。
按此要求安排Ａ、Ｂ两种货厢的节数，共有几种方案？请人设计出来，并说明哪一种方案的运费最省？14、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产Ａ、Ｂ两种产品共50件，已知生产一件Ａ种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利700元，生产一件Ｂ产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利1200元要求安排Ａ、Ｂ两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种生产方案获总利润最大？。
