2018数学高考一轮复习刺金四百题：第386—390题(含答案解析)

感知高考刺金301已知正数,x y 满足()()11124x y y x y x+=++，则xy 的最大值为 ．解：()()112424x yxy xy x y y x y x x y x y⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦ 解法一：令2,4x y u x y v +=+=，得42,77u v v ux y --== 则426142477777x y u v v u v u x y x y u v u v --⎛⎫+=+=-+≤ ⎪++⎝⎭当且仅当u v =，即3x y =时取得等号。

解法二：112424x y y x x y x y x y+=+++++令y t x =，则()2222115149211161442122414924924t t t t t t t t t t t t t t+++++++=+==++++++++ 令15142t m +=，则4215m t -=原式2211444242424249249215151515m mm m m m =+=+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122512251941964644761964428764476m m m m m=+=+≤+=++++ 当且仅当74m =，即13t =时取得等号感知高考刺金302设函数()()()()()0101111(),,(),1,222x n n n f x f x f x f x f x n n N-==-=-≥∈，则方程()()12n f x n n =+有 个实数根． 解：令1()()2n g n n =+，问题化为观察)(x f n 与)(n g 图像的交点有几个．由于)(0x f 是偶函数，故)(x f n 是偶函数，只要考虑 0x ≥时的交点个数．n =1时，)(1x f 的图像是把)(0x f 的图像下移12， 再把x 轴下的图像往上翻而得，1max 1()2f x =，有1个零点， 以零点为界，)(1x f 呈“减增”状态，最后趋于12，如图1，有2个交点；n =2时，)(2x f 的图像是把)(1x f 的图像下移212⎛⎫⎪⎝⎭，再把x 轴下的图像往上翻而得，2max 21()2f x =，有2个零点，以2个零点为界，)(2x f 呈“减增减增”状态，最后趋于212⎛⎫⎪⎝⎭，如图2，有22个交点；……n = n ≥2时，max 11()()()()22n n n f x g n n =>=+，且有12n -个零点以12n -个零点为界，)(x f n 呈“减增减增…减增”状态，最后趋于12n⎛⎫⎪⎝⎭，故)(x f n 的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有1222n n -⋅=个交点，再由对称性知x <0时，也有2n 个交点，故共有12n +个交点，从而原方程有12n +个实根感知高考刺金303已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．。

感知高考刺金371题若正数,a b 满足21a b +=，则222a b a b+--的最小值为 ． 解法一：分母复杂时采取换元。

令22,2a m b n -=-=，则问题变为已知3m n +=，求222m n m n--+的最小值。

22123123123212232332332m n m n n m m n m n m n m n --+⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=+-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当n =，即14a =，12b =时取得等号。

解法二：齐次化()()11242222222222421a b a b a b b a a b a b a a b b a b a b a b +=+=+=+--+-+-++++ 记b k a =，视为线段()210,0a b a b +=>>上的点与坐标原点连线的斜率()0,b k a=∈+∞ ()222221112344322242108121087474121082108k k k y k k k k k kk k k k k k k k ++=+=+=++++++++-++==-++++ 设744k t +=>，()2224911281670484944210877494911111442541442254tt y t t t t t t t t t t=-=--++-+⋅--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-≥=++++反思：这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的。

感知高考刺金372题在ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为 ． 解：由11sin 22ABC S ab C c c ∆==⋅得2sin ab C c =则2222222222cos AC BC AB AC BC AB b a c c ab C BC AC BC AC BC AC ab ab+++++++===⋅⋅ 2sin 2cos2sin 2cos 4ab C ab C C C C ab π+⎛⎫==+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4C π=时，取得等号。

感知高考刺金296题若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是 ．解：1236n n n a a a n ++++=-，12333n n n a a a n +++++=-两式相减得33n n a a +-=故数列单调递增，只需1234a a a a <<<即可31213332a a a a =---=-- 得不等式1111133322a a a a <<--<+ 解得1123,52a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭感知高考刺金297题已知,αβ均为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是 ．解：由sin cos cos sin sin sin ααβαββ-=化简得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 12tan βββββαββββ===≤=+++当且仅当tan β时取得等号感知高考刺金298题已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(n af n f n =++，则123a a a a +++⋯+=. 解：当n 为奇数时，1+n 为偶数，22(1)21=-+=--n a n n n当n 为偶数时，1+n 为奇数， 22(1)21=-++=+n a n n n∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ， 713=a ，……∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220162016a a a ++=感知高考刺金299题在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,AC A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为 ．解：依题意，只需过点M 作直线BN 的垂面即可垂面与正方体表面的交线即为动点P 的轨迹分别取11,CC DD 中点,G H ，易知BN ⊥平面AGHD过M 作平面AGHD 的平行平面''EFG H ，点P 所构成的轨迹即为四边形''EFG H ，其周长与四边形AGHD 的周长相等，所以点P 所构成的轨迹的周长为2点评：本题中面面的交线（截痕）即为动点P 的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转换。

感知高考刺金346题设非零向量,,a b c 满足a b a b +=- 且1a b a b c ==++= ，则a c a的取值范围是 ． 解：由a b a b +=- 得a b ⊥ ，且1a b == 又()1a b c c a b ++=---= ，即c OC = 的终点C 在以()a b OD -+= 的终点D 为圆心，1为半径的圆上cos a c c a θ= 就是c 在a 上的投影，显然[]2,0a c a∈- 感知高考刺金347题已知()222,0,,f x m x m m m x=++≠∈∈R R ，若1x y +=，则()()f y f x 的取值范围是 ．解：()()222222222222m y m f y my m f x mx m m x m ⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭==⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭()()f y f x 的取值范围问题等价于曲线1x y +=上的点(),P x y 与点2222,22m m A m m ⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭连线的斜率的范围问题．此时点A在()()y x x =∈-∞+∞ 上，由图可知：()()1f y f x ⎡∈⎢⎣感知高考刺金348题若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．解：如图，点G 在以AB 为直径的圆上运动，且由于点G 为ABC ∆的重心，所以3OC OG =故点G 在以O 为圆心，以32AB 长为半径的圆上运动，问题转化为圆上一点与线段AB 形成的张角问题。

如图，画一个最小圆，即CO AB ⊥时，其余的'C 都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当CO AB ⊥时，C ∠最大，即sin C 最大 此时由11sin 22ABC S AB CO AC BC C ∆=⋅=⋅⋅得3sin 5C = 或二倍角公式3sin 2sin cos 2225θθθ===感知高考刺金349题在ABC ∆中，过中线AD 中点E 作一直线分别交边AB ，AC 于,M N 两点，设AM xAB = ，()0AN yAC xy =≠ ，则4x y +的最小值为 ．解：因为D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+ 又因为E 为AD 中点， 所以11114444AE AB AC AM AN x y=+=+ 因为,,M E N 三点共线，所以11144x y+= 所以()11594444444y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当33,84x y ==时等号成立。

感知高考刺金371题若正数,a b 满足21a b +=，则222a b a b+--的最小值为 ． 解法一：分母复杂时采取换元。

令22,2a m b n -=-=，则问题变为已知3m n +=，求222m n m n--+的最小值。

22123123123212232332332m n m n n m m n m n m n m n --+⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=+-++≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当n =，即14a =，12b =时取得等号。

解法二：齐次化 ()()11242222222222421a b a b a b b a a b a b a a b b a b a b a b+=+=+=+--+-+-++++ 记b k a =，视为线段()210,0a b a b +=>>上的点与坐标原点连线的斜率()0,b k a=∈+∞ ()222221112344322242108121087474121082108k k k y k k k k k kk k k k k k k k ++=+=+=++++++++-++==-++++ 设744k t +=>，()()22249112816704849442108774949111114425414432254tt y t t t t t t t t t t=-=--++-+⋅--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-≥=-++++反思：这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的。

感知高考刺金372题在ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC ++⋅的最大值为 ． 解：由11sin 22ABC S ab C c c ∆==⋅得2sin ab C c =则2222222222cos AC BC AB AC BC AB b a c c ab C BC AC BC AC BC AC ab ab+++++++===⋅⋅ 2sin 2cos2sin 2cos 4ab C ab C C C C ab π+⎛⎫==+=+≤ ⎪⎝⎭当且仅当4C π=时，取得等号。

感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ，若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个，即左右两个函数的交点有且仅有三个， 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动，但是有规律的移动，“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的，而232y x =+的图象是确定不变的。

由322a x x+=-解得()11x a =- ()21x a =-+ 由32x x+=解得31x =-，43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限，一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >，故a =舍去综上，95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=，点O 为三角形外接圆的圆心，若OA xOB yOC =+，则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题，常用“作三点共线”的办法来解决。

由3A π=，得23BOC π∠=，不妨如图固定,,O B C 三点，因为ABC ∆是锐角三角形，所以点A 在'DC 上运动，取OB 的中点为'B()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ，于是作出了',',B C E 三点共线。

感知高考刺金396题 已知椭圆22221x y a b +=，12,F F 是椭圆的左、右焦点，,A C 是椭圆上关于x 轴对称的两点，B为短轴的端点，线段AB 恰好过右焦点，若1AB CF ⊥，则椭圆的离心率e = ．解：设()0,B b ，()2,0F c ，()2,BF c b =-，()22,F A BF c b λλλ==-，()(),,A A x c y c b λλ-=-即,A A x c c y b λλ=+=-，则(),C c c b λλ+ 所以12F C bk c c λλ=+，2F B bk c =-1212F C F B bb k kc c c λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪+⎝⎭2222cb c λ⇒=- 点A 在椭圆上，所以2222222222222211c c c b b c b c a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=化简得2245a c a e =⇒=感知高考刺金397题【2017新课标卷II,理14】若x,y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，,则z x y =+的最大值为____________。

解：第一步：由约束条件，画出可行域 ，如图先确定满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，的可行域，作出3条直线，围成一个三角形区域；第二步：把目标函数()0z ax by b =+≠化为a z y xb b =-+，作直线a y x b =- 将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，作直线y x =-； 第三步：平移直线a y x b =-，确定目标函数最值把直线y x =-进行平行,确定平移到什么位置截距最大,然后把该点坐标代入z x y =+求最大值.当z 取最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D （1，12），则z x y =+的最大值为23感知高考刺金398题【2017新课标卷II,理14】函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是____________． 解：()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 1x --+,由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1． 点评：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．感知高考刺金399题【2017全国Ⅱ，文8】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是____________。

感知高考刺金题
已知实数满足关系式，则的最小值是．
解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。

由或
所以
点评：这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性，所以不能直接用来
求的取值范围，所以改为用重要不等式来来做。

虽然答案正好一样，但做法要注意。

解法二：遇到结构，所以用代数的极化恒等式变形。

令，则问题转变为已知，求的最小值。

因为
所以还需要计算定义域，即
所以
解法三：设，则视为的两根
所以
所以或
当且仅当时取得最小值。

感知高考刺金题
已知点为圆与圆的公共点，圆，圆，若，，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为．
解：设，，则，
所以，即
同理
所以是方程的两个实根
所以
所以点的轨迹方程为
所以点到直线的最短距离为
感知高考刺金题
已知向量满足，，则的取值范围是．
解：（一）几何角度
由和可以画图，找到向量模长的几何意义。

解法一：基底法
因为
因为三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。

那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然两个
向量长度已知，适合做基底。

（这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就
不会是求最小值了。

）
所以由三点共线，且，可知
所以
解法二：解三角形
设，
则在与中运用余弦定理得
解得
又在中，利用三角形两边之和大于等于第三边得，即
所以
（二）代数角度
解法三：换元思想。

感知高考刺金341实数,,a b c 满足2225a b c ++=，则2687ab bc c -+的最大值为 ． 解：因为2296a b ab +≥，22828b c bc +≥-所以相加得2222999687a b c ab bc c ++≥-+即268745ab bc c -+≤当且仅当2223,,5a b a b c ==++=同时满足，即a b c ===-或a b c ==-= 点评：本题是三元均值不等式的问题，难点在于每个均值不等式的系数配凑。

这里其实是用待定系数法来确定系数。

2222226877ab ma nb bc pb qc c c ⎧≤+⎪-≤+⎨⎪≤⎩，故()()22226877ab bc c ma p n b q c -+≤++++因此768m p n q =+=+⎧⎪=⎨⎪⎩，解得9,1,8,2m n p q ====感知高考刺金342已知数列{}n a 的前n 项和为()11n n S n=-⋅，若存在正整数n ，使得()()10n n a p a p +--<成立，则实数p 的取值范围是 ．解：11a =-，22132a S S =-=因为()212111021k k S k --=-⋅<-，20k S > 故210k a -<，20k a >（即奇数项为负，偶数项为正） 又因为21211102121k k a a k k -+⎛⎫-=--< ⎪-+⎝⎭，222110222k k a a k k +⎛⎫-=-> ⎪+⎝⎭所以这个数列是震荡数列，奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减所以条件转化为存在正整数k ，使得212k k a p a -<<只要12122k k a a p a a -<<<<<<，即312p -<<感知高考刺金343已知,x y 为实数，且()()21x y x y +-=，则222x y +的最小值为 ．解法一：令,2x y a x y b +=-=，则2,33a b a b x y +-==，且1ab =所以222222296322339a b a b a ab b x y +-++⎛⎫⎛⎫+=+=≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法二：齐次化转函数求值域()()()()()222222222221522112212221x y t t t x y x y x y t t t t t t +++-+====-++-+---+--+ 令5t m -=，()22211111112542222222542211122m x y m m m m+=-+⋅=-+⋅≥-+++++=-+=感知高考刺金344题已知ABC ∆是单位圆O 的内接三角形，AD 是圆的直径，若满足2AB AD AC AD BC +=，则BC = ． 解：如图，因为AD 是圆O 的直径，所以2c o s A B A D A B A D B A D A B =∠= 同理2AC AD AC =（其实就是投影，点积转投影记得吗？） 所以222AB AC BC +=所以90BAC∠=，则BC 是直径，所以2BC =感知高考刺金345题已知正四面体ABCD P 是棱AB 上任意一点（不与,A B 重合），且点P 到面ACD 和面BCD 的距离分别为,x y ，则31x y+的最小值为． 2AO =所以如图作PH ⊥面BCD ，则在ABO ∆中，PH BP AO AB=得BP同理AP =所以AB BP AP =+=+=所以2x y +=所以313122x y x y x y ⎛⎫++=+⋅≥ ⎪⎝⎭。

感知高考刺金306如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，垂足为M ，PN ⊥OC ，，垂足为N ，则四边形OMPN 的周长的最小值为 ．解：如图，连BP ，则BP=1，设∠CBP =α，(0,2πα⎤∈⎥⎦， cos cos PE DB BP αα===，sin sin PD BP αα==∴2cos PN α=-，1sin PM α=-四边形OMPN 的周长()22cos 1sin 234L πααα⎡⎤⎛⎫=-+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当4πα=时，min 6L =-感知高考刺金307设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆1)1(22=+-y x 的位置关系是（ ）(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m 的变化而变化 解：22121212AB x x k x x x x -==+-，∴直线AB ：))((12121x x x x x y -+=-，即 0)()(2112121=+-+-+x x x x y x x x ，即0)(2121=--+x x y x x x ， 圆心()1,0到AB的距离d =，由韦达定理，m x x -=+21,m m x x -=221，∴22d == 取m =0，则d =0⇒相交；取m =2，则1d =>⇒相离，故选D感知高考刺金308 已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是 ．解：若11a -<<，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-+≤<--+-≤-=1,31,21,21,3)(x a x x a a x a x x a x x a x f ，其图像呈“剑”形，如图，对称轴为x =a ，则1102a -+== 同理，若1a <-时，对称轴是1x =-，∴123a a +=-⇒=- 若1a >时，对称轴是1x =，∴123a a -+=⇒=感知高考刺金309在ABC ∆中，若8,|2|6AB AC AB AC ⋅=-=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 解：在ABC ∆中延长AC 到D ，使A C C D =，所以2AD AC =，则已知变为16,||6AB AD AB AD ⋅=-=。