2012年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=U U C A C BA ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6【命题意图】本题主要考查集合的补集、交集运算，是容易题. 【解析】()()(){}=C =7,9U U U C A C B A B ,故选B.2.复数2-=2+i i A ．34-55iB ．34+55i C ．41-5i D ．31+5i 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算，是容易题.【解析】()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i ，故选A. 3. 已知两个非零向量,a b满足+=-a b a b ，则下面结论正确A ．//a bB ．a b ⊥C ．=a bD ．+=-a b a b【命题意图】本题主要考查平面向量运算，是简单题.【解析1】+=-a b a b ，可以从几何角度理解，以非零向量,a b为邻边做平行四边形，对角线长分别为+,-a b a b ，若+=-a b a b，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥ ，故选B.【解析2】已知得22+=-a b a b ，即2222-2+=+2+=0a ab b a ab b ab a b ∴∴⊥，故选B.4. 已知命题()()()()122121:,,--0p x x R f x f x x x ∀∈≥，则p ⌝是A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∃∈≤B ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∀∈≤C ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∃∈D ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∀∈【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题.【解析】全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()2121--0f x f x x x ≥”改为“()()()()2121--<0f x f x x x ”，故选C.5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．33!⨯ B ．()333!⨯ C ．()43!D ．9!【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题.【命题意图】每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!，故选C.6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式，是简单题.【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a ，故选B. 7.已知()sin -cos 0,αααπ∈，则tan α=A ．1- B．2-C．2D ．1【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数，是中档题. 【解析1】()sin -cos 0,αααπ∈，两边平方得1-sin 2=2,α()sin 2=-1,20,2,ααπ∈332=,=,24ππααtan =-1α∴，故选A. 【解析2】由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =-1ααα∴8. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．55【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．-1B ．23 C ．32D ．4 【命题意图】本题主要考查程序框图知识，是中档题.【解析】当=1i 时，经运算得2==-12-4S ； 当=2i 时，经运算得()22==2--13S ；当=3i 时，经运算得23==222-3S ； 当=4i 时，经运算得2==432-2S ；当=5i 时，经运算得2==-12-4S ；故选D. 从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 A ．16B ．13 C ．23 D ．45【命题意图】本题主要考查几何概型及应用意识.是中档题.【解析】如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==12-32S xy x x ≤，解得0<48<12x x ≤≤或，该矩形面积小于322cm 的概率为82=123，故选C.11. 设函数)(x f ()x R ∈满足()()()(),=2-f x f x f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x .又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题.【解析】由()()f x f x -=知,所以函数)(x f 为偶函数，所以()()()=2-=-2f x f x f x ，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，且()()0=0,1=1f f ，而()()=c o s g x x x π为偶函数，且()1130==-==0222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系下作出两函数在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，发现在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内图像共有6个公共点，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为6，故选B.12. 若[)0,+x ∈∞，则下列不等式恒成立的是A ．21++xe x x ≤ B2111-+24x x ≤C ．21cos 1-2x x ≥ D ．()21ln 1+-8x x x ≥【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.【解析】验证A ，当332=3>2.7=19.68>1+3+3=13x e 时，，故排除A ；验证B ，当1=2x 时，，3，而111113391-+===<22441648484848⨯⨯，故排除B ； 验证C ，令()()()21=cos -1+,'=-sin +,''=1-cos 2g x x x g x x x g x x ，显然()''>0g x 恒成立 所以当[)0,+x ∈∞，()()''0=0g x g ≥，所以[)0,+x ∈∞，()21=cos -1+2g x x x 为增函数，所以()()0=0g x g ≥，恒成立，故选C ；验证D ，令()()()()()2-311=ln 1+-+,'=-1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x ，令()'<0h x ，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算，是简单题.【命题意图】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ⨯⨯⨯⨯14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ____________．【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题. 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则由()+2+12+=5n nn a a a 得，222+2=5,2-5+2=0q q q q ，解得1==2q 或q 2，又由2510=a a 知，()24911=a q a q ，所以1=a q ，因为{}n a 为递增数列，所以1==2a q ，=2n n a15. 已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,-2，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点，是中档题.【解析】21=,'=2y x y x ，所以以点P 为切点的切线方程为=4-8y x ，以点Q 为切点的切线方程为=-2-2y x ，联立两方程的1-4x y =⎧⎨=⎩16. 已知正三棱锥-P ABC ，点,,,P A B C ,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题，是难题. 【解析】如图所示，O 为球心，'O 为截面ABC 所在圆的圆心，设===PA PB PC a ，,,PA PB PC 两两相互垂直，==AB BC CA ，所以'=3CO a ，'=3PO a ， 22+=3⎫⎪⎪⎝⎝⎭，解得=2a ，所以PO ，'=3OO 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角,,A B C 成等差数列。

辽宁理科1.(2012辽宁,理1)已知全集U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A ={0,1,3,5,8},集合B ={2,4,5,6,8},则(∁U A )∩(∁U B )=( ). A .{5,8} B .{7,9} C .{0,1,3} D .{2,4,6}B 由已知条件可得∁U A ={2,4,6,7,9},∁U B ={0,1,3,7,9},所以(∁U A )∩(∁U B )={7,9},故选B . 2.(2012辽宁,理2)复数2i 2i -+=( ). A .35-45iB .35+45iC .1-45iD .1+35iA 2i 2i-+=2(2i)(2i)(2i)-+-=244i i 5-+=35-45i ,故选A .3.(2012辽宁,理3)已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是( ). A .a ∥b B .a ⊥b C .|a |=|b | D .a +b =a -bB |a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2,|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,因为|a +b |=|a -b |,所以|a |2+2a ·b +|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2,即2a ·b =-2a ·b , 所以a ·b =0,a ⊥b .故选B .4.(2012辽宁,理4)已知命题p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则p 是( ). A .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C .∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D .∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0C 命题p 是一个全称命题,其否定为存在性命题,p :∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0,故选C .5.(2012辽宁,理5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ). A .3×3! B .3×(3!)3 C .(3!)4 D .9!C 完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有33A 种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有333333A A A 种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ,故选C . 6.(2012辽宁,理6)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ). A .58 B .88 C .143D .176 B 因为数列{a n }为等差数列,所以S 11=11111(a a )2+,根据等差数列的性质,若p +q =m +n ,则a p +a q =a m +a n 得,a 1+a 11=a 4+a 8=16,所以S 11=11162⨯=88,故选B .7.(2012辽宁,理7)已知sin α-cos α∈(0,π),则tan α=( ).A .-1B 2C 2D .1A 将sin α-cos sin 2α-2sin αcos α+cos 2α=2,即sin αcos α=-12,则22ααααsin cos sin cos +=2αα1tan tan +=-12,整理得2tan α+tan 2α+1=0,即(tan α+1)2=0, 所以tan α=-1.故选A .8.(2012辽宁,理8)设变量x ,y 满足x y 10,0x y 20,0y 15,-≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x +3y 的最大值为( ).A .20B .35C .45D .55D 不等式组表示的平面区域如图所示,则2x +3y 在A (5,15)处取得最大值,故选D .9.(2012辽宁,理9)执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是( ). A .-1 B .23C .32D .4 D 当i =1时,S =224-=-1; i =2时,S =221+=23; i =3时,S =2223-=32;i =4时,S =2322-=4;i =5时,S =224-=-1;i =6时,S =23;i =7时,S =32;i =8时,S =4;i =9时,输出S ,故选D .10.(2012辽宁,理10)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ). A .16B .13C .23D .45C 设AC =x cm (0<x <12),则CB =12-x (cm ),则矩形面积S =x (12-x )=12x -x 2<32,即(x -8)(x -4)>0,解得0<x <4或8<x <12,在数轴上表示为由几何概型概率公式得,概率为812=23,故选C .11.(2012辽宁,理11)设函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),且当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos (πx )|,则函数h (x )=g (x )-f (x )在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为( ).A .5B .6C .7D .8 B 由f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x )可知,f (x )是偶函数,且关于直线x =1对称,又由f (2-x )=f (x )=f (-x )可知,f (x )是以2为周期的周期函数.在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图,可知f (x )与g (x )的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有6个交点,即h (x )的零点个数为6.12.(2012辽宁,理12)若x ∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是( ). A .e x ≤1+x +x 2 B1-12x +14x 2C .cos x ≥1-12x 2D .ln (1+x )≥x -18x 2C 对于e x 与1+x +x 2,当x =5时,e x >32,而1+x +x 2=31,所以A 选项不正确;1-12x +14x 2,当x =14时51-12x +14x 2=5764<5所以B 选项不正确;令f (x )=cos x +12x 2-1,则f '(x )=x -sin x ≥0对x ∈[0,+∞)恒成立,f (x )在[0,+∞)上为增函数,所以f (x )的最小值为f (0)=0,所以f (x )≥0,cos x ≥1-12x 2,故C 正确;令g (x )=ln (1+x )-x +18x 2,则g '(x )=1x 1++14x -1,令g '(x )=0,得x =0或x =3.当x ∈(0,3)时,g '(x )<0,当x ∈(3,+∞)时,g '(x )>0,g (x )在x =3时取得最小值g (3)=ln 4-3+98<0,所以D 不正确.13.(2012辽宁,理13)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .38 由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,长方体表面积为2×(4×3+3×1+4×1)=38,圆柱的侧面积为2π,上下两个底面积和为2π,所以该几何体的表面积为38+2π-2π=38.14.(2012辽宁,理14)已知等比数列{a n }为递增数列,且25a =a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n = .2n 设数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则21a ·q 8=a 1·q 9,a 1=q ,由2(a n +a n +2)=5a n +1,得2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12,因为数列{a n }为递增数列,所以q =2,a 1=2,a n =2n .15.(2012辽宁,理15)已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为.-4 由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2),∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴212242y ,(-2)2y ,⎧=⎨=⎩①② ∴12y 8,y 2,=⎧⎨=⎩ ∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y '=x ,∴过点P 的切线斜率为y 'x 4==4. ∴过点P 的切线为:y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y 'x 2 =-=-2, ∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2), 即y =-2x -2. 联立y 4x 8,y 2x 2,=-⎧⎨=--⎩得x =1,y =-4,∴点A 的纵坐标为-4.16.(2012辽宁,理16)已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C,若PA ,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为.3正三棱锥P -ABC 可看作由正方体PADC -BEFG 截得,如图所示,PF 为三棱锥P -ABC 的外接球的直径,且PF ⊥平面ABC .设正方体棱长为a ,则3a 2=12,a =2,AB =AC =BC =S △ABC =12×2由V P -ABC =V B -PAC ,得13·h ·S △ABC =13×12×2×2×2,所以h3因此球心到平面ABC317.(2012辽宁,理17)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列. (1)求cos B 的值;(2)边a ,b ,c 成等比数列,求sin A sin C 的值.解:(1)由已知2B =A +C ,A +B +C =180°,解得B =60°,所以cos B =12.(2)解法一:由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据正弦定理得sin 2B =sin A sin C ,所以sin A sin C =1-cos 2B =34.解法二:由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据余弦定理得cos B =22a c ac 2ac+-,解得a =c ,所以A =C =B =60°,故sin A sin C =34.18.(2012辽宁,理18)如图,直三棱柱ABC -A 'B 'C ',∠BAC =90°,AB =AC =λAA ',点M ,N 分别为A 'B 和B 'C '的中点. (1)证明:MN ∥平面A 'ACC ';(2)若二面角A '-MN -C 为直二面角,求λ的值.解:(1)证法一:连结AB ',AC ',由已知∠B AC =90°,AB =AC ,三棱柱ABC -A 'B 'C '为直三棱柱,所以M 为AB '中点. 又因为N 为B 'C '的中点, 所以MN ∥AC '.又MN ⊄平面A 'A CC ',AC '⊂平面A 'ACC ', 因此MN ∥平面A 'ACC '.证法二:取A 'B '中点P ,连结MP ,NP , 而M ,N 分别为AB '与B 'C '的中点, 所以MP ∥AA ',PN ∥A 'C ',所以MP ∥平面A 'ACC ',PN ∥平面A 'ACC '. 又MP ∩NP =P ,因此平面MPN ∥平面A 'A CC '. 而MN ⊂平面MPN ,因此MN ∥平面A 'ACC '.(2)以A 为坐标原点,分别以直线AB ,AC ,AA '为x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系O -xyz ,如图所示. 设AA '=1,则AB =AC =λ,于是A (0,0,0),B (λ,0,0),C (0,λ,0),A '(0,0,1),B '(λ,0,1),C '(0,λ,1),所以M λ1,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,N λλ,,122⎛⎫⎪⎝⎭.设m =(x 1,y 1,z 1)是平面A 'MN 的法向量,由m '0,m 0A M M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取m =(1,-1,λ).设n =(x 2,y 2,z 2)是平面MNC 的法向量,由n 0,n 0N C M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取n =(-3,-1,λ).因为A '-MN -C 为直二面角,所以m ·n =0,即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得19.(2012辽宁,理19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望E (X )和方差D (X ).附:χ2=211221221n (n n n n )n n n n -,将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=2112212211212n (n n n n )n n n n ++++-=2100(30104515)75254555⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=10033≈3.030.因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意X ~B 13,⎛⎫ ⎪,从而X 的分布列为E (X )=np =3×14=34,D (X )=np (1-p )=3×14×34=916.20.(2012辽宁,理20)如图,椭圆C 0:22x a+22y b=1(a >b >0,a ,b 为常数),动圆C 1:x 2+y 2=21t ,b <t 1<a .点A 1,A 2分别为C 0的左,右顶点,C 1与C 0相交于A ,B ,C ,D 四点.(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程; (2)设动圆C 2:x 2+y 2=22t 与C 0相交于A ',B ',C ',D '四点,其中b <t 2<a ,t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '的面积相等,证明:21t +22t 为定值. (1)解:设A (x 1,y 1),B (x 1,-y 1),又知A 1(-a ,0),A 2(a ,0),则直线A 1A 的方程为y =11y x a+(x +a ),①直线A 2B 的方程为y =11y x a--(x -a ).②由①②得y 2=21221y x a--(x 2-a 2).③由点A (x 1,y 1)在椭圆C 0上,故212x a+212y b=1.从而21y =b 2212x 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入③得22x a-22y b=1(x <-a ,y <0).(2)证明:设A '(x 2,y 2),由矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '的面积相等,得4|x 1||y 1|=4|x 2||y 2|,故2211x y =2222x y . 因为点A ,A '均在椭圆上,所以b 222112x x 1a ⎛⎫-⎪⎝⎭=b 222222x x 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由t 1≠t 2,知x 1≠x 2,所以21x +22x =a 2. 从而21y +22y =b 2, 因此21t +22t =a 2+b 2为定值.21.(2012辽宁,理21)设f (x )=ln (x +1ax +b (a ,b ∈R ,a ,b 为常数),曲线y =f (x )与直线y =32x 在(0,0)点相切.(1)求a ,b 的值;(2)证明:当0<x <2时,f (x )<9x x 6+.(1)解:由y =f (x )过(0,0)点,得b =-1.由y =f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y '|x =0=1ax 1⎛⎫+⎪+⎝⎭|x =0=32+a ,得a =0.(2)证法一:由均值不等式,当x >0时,x +1+1=x +2,故x 1+<x 2+1.记h (x )=f (x )-9x x 6+,则h '(x )=1x 1++2x 1+-254(x 6)+=2x 12(x 1)+++-254(x 6)+<x 64(x 1)++-254(x 6)+=32(x 6)216(x 1)4(x 1)(x 6)+-+++.令g (x )=(x +6)3-216(x +1),则当0<x <2时,g '(x )=3(x +6)2-216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数, 又由g (0)=0,得g (x )<0, 所以h '(x )<0.因此h (x )在(0,2)内是递减函数, 又h (0)=0,得h (x )<0. 于是当0<x <2时,f (x )<9x x 6+.证法二:由(1)知f (x )=ln (x +1)+x 1+-1.由均值不等式,当x >0时,2(x 1) 1+<x +1+1=x +2, 故x 1+<x 2+1.①令k (x )=ln (x +1)-x ,则k (0)=0,k '(x )=1x 1+-1=x x 1-+<0,故k (x )<0,即ln (x +1)<x .② 由①②得,当x >0时,f (x )<32x .记h (x )=(x +6)f (x )-9x ,则当0<x <2时, h '(x )=f (x )+(x +6)f '(x )-9 <32x +(x +6)1x 12x 1⎛+⎪++⎝⎭-9 =12(x 1)+[3x (x +1)+(x +6)(2+x 1+)-18(x +1)]<1x 3x (x 1)(x 6)318(x 1)2(x 1)2⎡⎤⎛⎫++++-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ =x 4(x 1)+(7x -18)<0.因此h (x )在(0,2)内单调递减, 又h (0)=0,所以h (x )<0,即f (x )<9x x 6+.22.(2012辽宁,理22)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O 和☉O '相交于A ,B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连结DB 并延长交☉O 于点E .证明:(1)AC ·BD =AD ·AB ; (2)AC =AE .证明:(1)由AC 与☉O '相切于A ,得∠CAB =∠ADB ,同理∠ACB =∠DAB , 所以△ACB ∽△DAB .从而A C A D=A B B D,即AC ·BD =AD ·AB .(2)由AD 与☉O 相切于A ,得∠AED =∠BAD , 又∠ADE =∠BDA ,得△EAD ∽△ABD . 从而A E A B=A D BD,即AE ·BD =AD ·AB .结合(1)的结论,AC =AE .23.(2012辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:(x -2)2+y 2=4.(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程,并求出圆C 1,C 2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. (1)解:圆C 1的极坐标方程为ρ=2,圆C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ.解ρ2,ρ4θcos =⎧⎨=⎩得ρ=2,θ=±3π,故圆C 1与圆C 2交点的坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,2,-3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)解法一:由x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(11故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y t,=⎧⎨=⎩t(或参数方程写成x 1,y y,=⎧⎨=⎩y 解法二:将x =1代入x ρθ,y ρθcos sin =⎧⎨=⎩得ρcos θ=1,从而ρ=1θcos .于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x 1,y θ,tan =⎧⎨=⎩-3π≤θ≤3π.24.(2012辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲已知f (x )=|ax +1|(a ∈R ),不等式f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}. (1)求a 的值;(2)若x f (x)-2f 2⎛⎫ ⎪⎝⎭≤k 恒成立,求k 的取值范围. 解:(1)由|ax +1|≤3得-4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |-2≤x ≤1}, 所以当a ≤0时,不合题意.当a >0时,-4a≤x ≤2a,得a =2.(2)记h (x )=f (x )-2f x 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则h(x)=1,x1,1 4x3,-1x,211,x,2⎧⎪≤-⎪⎪--<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩所以|h(x)|≤1,因此k≥1.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。

故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。

采用解析二能够更快地得到答案。

(2)复数22i i-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。

复数的运算要做到细心准确。

(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b(C){0,1,3} (D)a +b =a -b【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

2012年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3}D．{2，4，6}2．（5分）复数=（）A． B．C．D．3．（5分）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）A．∥B．⊥C．||=||D．+=﹣4．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜05．（5分）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!6．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1767．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1 B．C．D．18．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．559．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．410．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．812．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为．16．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）P（K2≥k）0.050.01k 3.8416.6 35．20．（12分）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．21．（12分）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．2012年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3}D．{2，4，6}【分析】由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁U A）∩（∁U B）【解答】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，所以（C U A）∩（C U B）={7，9}故选B2．（5分）（2012•辽宁）复数=（）A． B．C．D．【分析】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果．【解答】解：===，故选A．3．（5分）（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）A．∥B．⊥C．||=||D．+=﹣【分析】由于||和||表示以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．【解答】解：由两个两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，||和||表示以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥．故选B．4．（5分）（2012•辽宁）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．5．（5分）（2012•辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4故选C6．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．7．（5分）（2012•辽宁）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1 B．C．D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα=2，求得sin2α=﹣1，可得2α的值，从而求得tanα 的值．【解答】解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，∴α=，tanα=﹣1．故选：A．8．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D9．（5分）（2012•辽宁）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．4【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【解答】解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4，第4次判断后循环，S=4，i=5，第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8，第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4．故选D．10．（5分）（2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选C11．（5分）（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f （2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．【解答】解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx），g′（x）=cos（πx）﹣πxsin（πx）；当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，g′（x）=πxsin（πx）﹣cos（πx）．注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，f（﹣）=f（）=，f（）=（2﹣）3=，g（﹣）=g（）=g（）=0，g（1）=1，g′（1）=1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．共有6个零点，故选B12．（5分）（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．【分析】对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；对于B，令x=1，，计算可得结论；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；对于D，取x=3，．【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h （x）≥0，∴；对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积．即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1﹣2×12π=38．故答案为：38．14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n．【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．【解答】解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．15．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为﹣4．【分析】通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标．【解答】解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．由x2=2y，则y=，所以y′=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2联立方程组解得x=1，y=﹣4故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．16．（5分）（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC ×h=S△PAB×PC=××2×2×2=△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×∴h==∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=故答案为三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB 的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．【分析】（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，解λ．【解答】（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）P（K2≥k）0.050.01k 3.8416.6 35．【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X∽B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2==≈3.03，因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由题意X∽B（3，），从而分布列为X0123P所以E（X）=np=3×=．D（X）=npq=3××=．20．（12分）（2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．【分析】（Ⅰ）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；（Ⅱ）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①直线A2B的方程为y=﹣（x﹣a）②由①×②可得：③∵A（x1，y1）在椭圆C0上，∴∴代入③可得：∴；（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等∴4|x1||y1|=4|x3||y3|∴=∵A，A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴x1≠x3．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．21．（12分）（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x＞0时，，∴①令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0∴ln（x+1）＜x，②由①②得，当x＞0时，f（x）＜记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9＜＜=∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0∴当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）（2012•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．【分析】（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB ∽△DAB，=，由此得到所证．（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，=，AE•BD=AD•AB，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．【解答】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，同理可得∠ACB=∠DAB，∴△ACB∽△DAB，∴=，∴AC•BD=AD•AB．（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，∴=，∴AE•BD=AD•AB．再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．23．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（Ⅱ）记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．。

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷 )数学 ( 供理科考生使用 )注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ｝，集合A=｛ 0,1,3,5,8 ｝，集合B=｛ 2,4,5,6,8 ｝，则 (C U A)(C U B) 为(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛ 0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8 ｝，所以C U A2,4,6,7,9 , C U B0,1,3,7,9 ，所以(C U A)(C U B) 为{7,9}。

故选B【解析二】集合(C U A)(C U B) 为即为在全集U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。

采用解析二能够更快地得到答案。

2i(2)复数i 234i 34(C) 143(A)5(B)i i(D) 1i55555【答案】 A【解析】2i(2i )(2i ) 3 4i34i，故选 A2i(2i )(2i )555【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。

复数的运算要做到细心准确。

(3)已知两个非零向量a， b 满足 | a+b|=| a b| ，则下面结论正确的是(A) a∥ b(B) a⊥ b(C){0,1,3}(D)a+b=a b【答案】 B【解析一】由 | a+b|=| a b| ，平方可得 a b=0,所以a⊥ b，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知| a+b| 与 | a b| 分别为以向量 a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为| a+b|=| a b| ，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥ b，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

2012年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•辽宁）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁U A）∩（∁U B）解答：解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，所以（C U A）∩（C U B）={7，9}故选B点评：本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则2．（5分）（2012•辽宁）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果．解答：解：===，故选A．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•辽宁）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）A．∥B．⊥C．||=|| D．+=﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论． 解答：解：由两个两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得， ||和||表示以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥．故选B ． 点评： 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题． 4．（5分）（2012•辽宁）已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≥0，则￢p 是（ ） A ． ∃x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≤0 B ． ∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≤0 C ． ∃x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0 D ． ∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0考点： 命题的否定． 专题： 简易逻辑． 分析：由题意，命题p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 解答： 解：命题p ：∀x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故¬p ：∃x 1，x 2∈R ，（f （x 2）﹣f （x 1））（x 2﹣x 1）＜0． 故选：C ． 点评：本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律． 5．（5分）（2012•辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ． 3×3! B ． 3×（3!）3 C ． （3!）4 D ． 9!考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题． 分析：完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可 解答：解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法； 第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法 故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4故选C点评：本题主要考查了分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，捆绑法计数的技巧，属基础题6．（5分）（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2012•辽宁）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．C．D．1考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由条件可得1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，从而求得tanα的值．解答：解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，α=，tanα=﹣1．故选A．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得α=，是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2012•辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55解答：解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选C点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题11．（5分）（2012•辽宁）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．8考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．解答：解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，g（）=g（）=0，作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．共有6个零点，故选B点评：本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大．12．（5分）（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；对于B，令x=1，，计算可得结论；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；对于D，取x=3，．解答：解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；故选C．点评：本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积．即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1﹣2×12π=38．故答案为：38．点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，判断三视图复原几何体的形状是解题的关键．14．（5分）（2012•辽宁）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（an+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．解答：解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）（2012•辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为﹣4．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标．解答：解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．由x2=2y，则y=，所以y′=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2联立方程组解得x=1，y=﹣4故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题．16．（5分）（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=2△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×∴h==∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=故答案为点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•辽宁）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C 成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．解答：解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分点评：本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．18．（12分）（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，解λ．解答：（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．点评：本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．19．（12分）（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女10 55合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）P（K2≥k）0.05 0.01k 3.841 6.635．考点：独立性检验的应用；频率分布直方图．专题：计算题；数形结合．分析：（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X∽B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可解答：解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2==≈3.03，因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由题意X∽B（3，），从而分布列为X 0 1 2 3P所以E（X）=np=3×=．D（X）=npq=3××=．点评：本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法，频率分布直方图的性质，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型20．（12分）（2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；（Ⅱ）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．解答：（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①直线A2B的方程为y=﹣（x﹣a）②由①×②可得：③∵A（x1，y1）在椭圆C0上，∴∴代入③可得：∴；（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等∴4|x1||y1|=4|x3||y3|∴=∵A，A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴x1≠x3．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．点评：本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．21．（12分）（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．解答：（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x＞0时，，∴①令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0 ∴ln（x+1）＜x，②由①②得，当x＞0时，f（x）＜记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9＜＜=∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0∴当0＜x＜2时，f（x）＜．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）（2012•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB，=，由此得到所证．（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，=，AE•BD=AD•AB，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．解答：证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，同理可得∠ACB=∠DAB，∴△ACB∽△DAB，∴=，∴AC•BD=AD•AB．（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，∴=，∴AE•BD=AD•AB．再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．点评：本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．23．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2012•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（Ⅱ）记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．。

数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集0,1,2,3,4,5,6,7,{}8,9U =,集合0,1,3,8{}5,A =,集合2,4,5,8{}6,B =,则()()U U A B =痧（ ）A .{5,8}B .{7,9}C .{0,1,3}D .{2,4,6} 2.复数2i2i -=+（ ）A .34i 55-B .34i 55+C .41i 5-D .31i 5+ 3.已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A .a ∥bB .a ⊥bC .|a |=|b |D .a +b =a -b4.已知命题p ：12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≥,则p ⌝是（ ）A .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤；B .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤；C .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜；D .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜；5.一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （ ） A .33!⨯B .33(3!)⨯C .4(3!)D .9!6.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =（ ）A .58B .88C .143D .176 7.已知sin cos αα-(0,π)α∈,则tan α=（ ）A .1-B.2 C.2D .18.设变量x ,y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则23x y +的最大值为（ ）A .20B .35C .45D .559.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是（ ） A .1-B .23C .32D .410.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于322cm 的概率为 （ ） A .16 B .13 C .23D .4511.设函数()f x ()x ∈R 满足()()f x f x -=,()(2)f x f x =-,且当[0,1]x ∈时,3()f x x =.又函数()|cos(π)|g x x x =,则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（ ）A .5B .6C .7D .8 12.若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（ ）A .2e 1x x x ++≤ B211124x x -+ C .21cos 12x x -…D .21ln(1)8x x x +-…第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .14.已知等比数列{}n a 为递增数列,且2510a a =,212()5n n n a a a +++=,则数列{}n a 的通项公式n a = .15.已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,2-,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为 .16.已知正三棱锥P ABC -,点P ,A ,B ,C的球面上,若PA ,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为 . 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱ABC A B C '''-,90BAC ∠=,AB =AC AA λ'=,点M ,N 分别为A B '和B C ''的中点.（Ⅰ）证明：MN ∥平面A ACC ''；（Ⅱ）若二面角A MN C '--为直二面角,求λ的值.19.（本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（Ⅰ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=,20.（本小题满分12分）如图,椭圆0C ：22221x y a b+=（0a b >>,a ,b 为常数）,动圆1C ：2221x y t +=,1b t a <<.点1A ,2A 分别为0C 的左,右顶点,1C 与0C 相交于A ,B ,C ,D 四点. （Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆2C ：2222x y t +=与0C 相交于A ',B ',C ',D '四点,其中2b t a <<,12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等,证明：2212t t +为定值.21.（本小题满分12分）设()ln(1)f x x ax b =++（a ,b ∈R ,a ,b 为常数）,曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）证明：当02x <<时,9()6xf x x <+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,O 和O '相交于A ,B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连结DB 并延长交O 于点E .证明： （Ⅰ）AC BD AD AB =； （Ⅱ）AC AE =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,圆1C ：224x y +=,圆2C ：22(2)4x y -+=.（Ⅰ）在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆1C ,2C 的极坐标方程,并求出圆1C ,2C 的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆1C 与2C 的公共弦的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|1|f x ax =+()a ∈R ,不等式()3f x ≤的解集为{|21}x x -剎?. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若|()2()|2x f x f k -…恒成立,求k 的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)答案解析数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）)()U B 即为在全集集合，由此可快速得到答案，)()(){}7,9UUB A B ==?．由题已知全集}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{0,1,3,5,8A =的补集，再由交的运算求出()()U U A B 痧【答案】Ba b a b +=-，可以从几何角度理解，以非零向量a ，b 为邻边做平行四边形，a b +，a b -，若a b a b +=-，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥；也可由已知得22=a b a b +-，即22222+=+2+a ab b a ab b -，a b ⊥【提示】由于a b +和a b -表示以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再a b a b +=-可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．【考点】向量的线性运算．【解析】如图所示过点(5,15)A ，2+3x y 的最大值为55123数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）22⎣⎦【提示】对于A ，取x=3，32e 123>++；对于B ，令1x =，12，计算可得结论；对于C ，构造函数()21=cos 1+2g x x x -，()=sin +g x x x '-，()=1cos g x x ''-，从而可得函数()21=cos 1+g x x x -在[)0,+∞上单调增，故成立；333数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页）数学试卷 第15页（共21页）【提示】（1）在中，由角，，成等差数列可知，从而可得的值；（2）（解法一），由2=b ac ，1cos B =，结合正弦定理可求得sin sin A C 的值；=90，AB 中点．又因为设=(,,m x y '=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩得可取=(1,1,m -=(,,n x y z =0,=0nNC nMN ⎧⎪⎨⎪⎩得=(3,1,n λ--为直二面角，所以=0m n ，即-第18题图【提示】（1）法一，连接'AB ，'AC ，说明三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱，推出'MN AC ∥，然后证明MN ∥平面''AACC法二，取A B ''的中点P ，连接MP 、NP ，推出MP ∥平面A ACC ''，PN ∥平面A ACC ''，轴建立直角坐标系设(=,,m x y z 的法向量，'=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩，取=(1,1,)m -设=(,,)n x y z =0,=0n NC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩，取=(3,1,)n λ--，利用'A MN -为直二面角，所以=0m n ，解λ【考点】线面平行的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量．）表格见解析，没有理由认为“体育迷”与性别有关．13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而027【提示】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出2χ，13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．【考点】频率分布直方图，用样本估计总体，离散型随机变量的期望，方差．数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）【提示】（1）设出线1A A 的方程、直线2A B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆C 上，化简即可得到点的轨迹方程；+1)1<+1+1=x x 2542=(+6)2(x -【提示】（1）由()y f x =过(0,0)，可求b 的值，根据曲线()y f x =与直线2y x =在(0,0)与O 相切于=ABBD，即=AC BD AD AB （步骤二）与O 相切于，又=A D E B D A ∠∠，即=AE BD AD AB ，（步骤四）=AC AE （步骤五）【提示】（1）利用圆的切线的性质得=CAB ADB ∠∠，=ACB DAB ∠∠，从而有ACB DAB △∽△，=AC AB，由此得到所证． =AE BD AD AB ，再结合（=AC BD AD AB 可得，AC 【考点】圆的性质的应用．）π2,⎛⎫⎪【提示】（1）利用=sin y ρθ⎧⎨⎩，以及222x y ρ+=，直接写出圆1C 与圆2C 的极坐标方程，求出圆1C 与圆2C 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）．（2）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆与圆的公共弦的参数方程． 【提示】（1）先解不等式+13ax ≤，再根据不等式()3f x ≤的解集为21x x -≤≤，分类讨论，即可得到结论．数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2012年高考真题——理科数学（辽宁卷）复数(A)(B)(C) (D)【答案解析】A，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。

复数的运算要做到细心准确。

已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是(A) a∥b(B) a∥b(C){0,1,3}(D)a+b=ab【答案解析】B一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以a∥b，故选B二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以a∥b，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。

解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。

已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(B) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)0(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)0【答案解析】C命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定为(f(x2)f(x1))(x2x1)0，故选C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。

一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B) 3×(3！)3 (C)(3！)4(D) 9！【答案解析】C此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。

因此不同的坐法种数为，答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。

在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58(B)88(C)143 (D)176【答案解析】B在等差数列中，，答案为B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 2．复数2i 2i -=+( )A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5-D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos αα∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B．2-C．2D ．18．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23C ．32D ．410．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B211124x x ≤-+C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，CPA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的(2)1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，20．如图，椭圆C 0：22221xya b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6x f x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A222i(2i)44i i34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ．3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ．4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ． 6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ．7． A 将sin α－cos αsin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++，整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--；i ＝2时，22213S ==+；i ＝3时，232223S ==-；i ＝4时，24322S ==-；i ＝5时，2124S ==--；i ＝6时，23S =； i ＝7时，32S =；i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为 由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12． C 对于e x 与1＋x ＋x 2，当x ＝5时，e x ＞32，而1＋x ＋x 2＝31，所以A与211124x x -+，当14x =5=，21157124645x x -+=<，所以B 项不正确；令f (x )＝cos x ＋12x 2－1，则f ′(x )＝x －sin x ≥0对x ∈［0，＋∞)恒成立，f (x )在［0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为f (0)＝0，所以f (x )≥0，cos x ≥1－12x 2，故C 项正确；令g (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则11()114g x x x '=+-+，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3．当x ∈(0,3)时，g ′(x )＜0，当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在x ＝3时取得最小值g (3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D 项不正确．13．答案：38解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a 12·q 8＝a 1·q 9，a 1＝q ，由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12q =，因为数列{a n }为递增数列，所以q ＝2，a 1＝2，a n ＝2n．15．答案：－4解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴()212242, 22, y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩①②∴128,2,y y =⎧⎨=⎩ ∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为212y x =，∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为44x y ='=． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8． 又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．3解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC＝．122ABC S ∆=⨯=．由V P －ABC ＝V B －PAC ，得111222332A B C h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因此球心到平面ABC3．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =．(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34．解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =，根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ， 所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M M N ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0N C M N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ19．解：(1)人，从而2×2列联表如下：将2×2222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝13344⨯＝，D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=．20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，①直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．②由①②得22221221()y y x a x a-=--．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y ab+=．从而y 12＝b 2(1－212x a)，代入③得22221x y ab-= (x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上， 所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2．从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝(11x ++＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a＝0． (2)当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2， 12x <+． 记h (x )＝f (x )－96x x +， 则2154()1(6)h x x x '=+-++22546542(1)(6)4(1)(6)x x x x x +-<-++++＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++．令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0，所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0． 于是当0＜x ＜2时，9()6x f x x <+．证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)1．由均值不等式，当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2， 12x <+．①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++，故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <．记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9 ＜32x ＋(x ＋6)(11x ++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］＝4(1)xx +(7x －18)＜0．因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6x f x x <+．22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而A C AB A DB D=，即AC ·BD ＝AD ·AB ．(2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而A E A D A BB D=，即AE ·BD ＝AD ·AB ．结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ． 解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1)，(1，．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,x t y t =⎧-≤≤⎨=⎩(或参数方程写成1,,x y y y =⎧-≤≤⎨=⎩解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=．于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩．24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2．(2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ，则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。

2012年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3}D．{2，4，6}2．（5分）复数=（）A．B．C．D．3．（5分）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）A．∥B．⊥C．||=||D．+=﹣4．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜05．（5分）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!6．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1767．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1 B．C．D．18．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．559．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．410．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．812．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为．16．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．20．（12分）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．21．（12分）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．2012年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3}D．{2，4，6}【分析】由题已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，可先求出两集合A，B的补集，再由交的运算求出（∁U A）∩（∁U B）【解答】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，所以（C U A）∩（C U B）={7，9}故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则2．（5分）复数=（）A．B．C．D．【分析】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果．【解答】解：===，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．3．（5分）已知两个非零向量，满足|+|=|﹣|，则下面结论正确的是（）A．∥B．⊥C．||=||D．+=﹣【分析】由于||和||表示以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．【解答】解：由两个两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，||和||表示以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．再由|+|=|﹣|可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥．故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．4．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．5．（5分）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！=3!4故选：C．【点评】本题主要考查了分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，捆绑法计数的技巧，属基础题6．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【分析】根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1 B．C．D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα=2，求得sin2α=﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．【解答】解：∵已知，∴1﹣2sinαcosα=2，即sin2α=﹣1，故2α=，∴α=，tanα=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得α=，是解题的关键，属于基础题．8．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选：D．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．4【分析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【解答】解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4，第4次判断后循环，S=4，i=5，第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8，第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4．故选：D．【点评】本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．10．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题11．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈[0，]，x∈[]时，g（x）的解析式，推出f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．【解答】解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx），g′（x）=cos（πx）﹣πxsin（πx）；当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，g′（x）=πxsin（πx）﹣cos（πx）．注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1）=1，f（﹣）=f（）=，f（）=（2﹣）3=，g（﹣）=g（）=g（）=0，g（1）=1，g′（1）=1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．共有6个零点，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大．12．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．【分析】对于A，取x=3，e3＞1+3+32，；对于B，令x=1，，计算可得结论；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数在[0，+∞）上单调增，故成立；对于D，取x=3，．【解答】解：对于A，取x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=1时，左边=，右边=0.75，不等式成立；x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；对于D，取x=3，，所以不等式不恒成立；【点评】本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38．【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积．即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1﹣2×12π=38．故答案为：38．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，判断三视图复原几何体的形状是解题的关键．14．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=2n．【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．【解答】解：∵，∴，∴a1=q，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为﹣4．【分析】通过P，Q的横坐标求出纵坐标，通过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标．【解答】解：因为点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．由x2=2y，则y=，所以y′=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2联立方程组解得x=1，y=﹣4故点A的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题．16．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC ×h=S△PAB×PC=××2×2×2=△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×∴h==∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=故答案为【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，本题也可以运用法向量的投影解决，属中档题．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB 的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根据余弦定理cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分【点评】本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=λAA′，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．【分析】（I）法一，连接AB′、AC′，说明三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，推出MN∥AC′，然后证明MN∥平面A′ACC′；法二，取A′B′的中点P，连接MP、NP，推出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，然后通过平面与平面平行证MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，设AA′=1，推出A，B，C，A′，B′，C′坐标求出M，N，设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，通过，取，设=（x 2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，取，利用二面角A'﹣MN ﹣C为直二面角，所以，解λ．【解答】（I）证明：连接AB′、AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，NP∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP=P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（II）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（），N（），设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，由，得，可取，设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，由，得，可取，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2=0，解得λ=．【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中．第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明．19．（12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于X∽B（3，），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2==≈3.03，因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由题意X∽B（3，），从而分布列为所以E（X）=np=3×=．D（X）=npq=3××=．【点评】本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法，频率分布直方图的性质，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型20．（12分）如图，已知椭圆C0：，动圆C1：．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆C2：与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．【分析】（Ⅰ）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；（Ⅱ）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为①直线A2B的方程为y=﹣（x﹣a）②由①×②可得：③∵A（x1，y1）在椭圆C0上，∴∴代入③可得：∴；（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等∴4|x1||y1|=4|x3||y3|∴=∵A，A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴x1≠x3．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．【点评】本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．21．（12分）设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x＞0时，，∴①令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0∴ln（x+1）＜x，②由①②得，当x＞0时，f（x）＜记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9＜＜=∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0∴当0＜x＜2时，f（x）＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造法的运用，考查不等式的证明，正确构造函数是解题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；（Ⅱ）AC=AE．【分析】（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB ∽△DAB，=，由此得到所证．（II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD，=，AE•BD=AD•AB，再结合（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．【解答】证明：（I）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，同理可得∠ACB=∠DAB，∴△ACB∽△DAB，∴=，∴AC•BD=AD•AB．（II）∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，∴=，∴AE•BD=AD•AB．再由（I）的结论AC•BD=AD•AB 可得，AC=AE．【点评】本题主要考查圆的切线的性质，利用两个三角形相似得到成比列线段，是解题的关键，属于中档题．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（Ⅱ）记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．。