2019中考复习数学分类检测：七 圆

优选文档2019 中考数学试题及答案分类汇编：圆一、选择题（天津3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=7cm，则⊙O1与⊙O2的地址关系是(A) 订交(B) 相离(C) 内切(D) 外切【答案】D。

【考点】圆与圆地址关系的判断。

【解析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距O1O2=7，依照圆与圆地址关系的判断可知两圆外切。

（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的地址关系是A、订交B、外切C、外离D、内含【答案】B。

【考点】两圆的地址关系。

【解析】依照两圆的地址关系的判断：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），订交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。

∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的地址关系是外切。

应选B。

3,（内蒙古包头3分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的均分线交AC于点D，则∠CDP等于A、30°B、60°C、45°D、50°【答案】【考点】角均分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。

【解析】连接OC，∵OC=OA，，PD均分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。

∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。

∵∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP=45°，即∠CDP=45°。

应选C。

（内蒙古呼和浩特3分）以下列图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为A.14B.15C. 32D. 23.优选文档【答案】B。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:圆（解析版）一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：。

故答案为：C。

【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。

2.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A. 2B.C.D.【答案】B【考点】圆周角定理，切线的性质【解析】【解答】解：连接OA∵∠ABC=30°弧AC=弧AC∴∠AOC=2∠ABC=60°∵AP是圆O的切线，∴OA⊥AP∴∠OAP=90°∴AP=OAtan60°=1× =故答案为：B【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。

3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A. πB. πC. 2πD. π【答案】A【考点】圆周角定理，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OC、OB，∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB∴∠A=180°-65°-70°=45°∵弧BC=弧BC∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°∵OB=OC在Rt△OBC中，∠OBC=45°∴OC=BCsin45°= =2∴弧BC的长为：故答案为：A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。

4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 4-【答案】A【考点】切线的性质，解直角三角形的应用，切线长定理【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，又∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，∴BD=CE，∵OD=OE，∴△ODB≌△OEC（SAS），∴OB=OC= BC=4，在Rt△ODB中，∴sin60°= ，即OD=OBsin60°=4× =2 ，∴⊙O的半径为2 .故答案为：A.【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS 得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.5.已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm2【答案】B【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥母线为R，圆锥底面半径为r，∵R=13cm，r=5cm，∴圆锥的侧面积S= ·2 r.R= ×2 ×5×13=65 （cm2）.故答案为：B.【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.6.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A. 60°B. 70°C. 72°D. 144°【答案】C【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C= (5−2)×180°=108°，∵CD=CB，∴∠CBD== (180°−108°)=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，故答案为：C.【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。

天津市红桥区普通中学2019届初三中考数学复习圆专题综合训练题1. 如果两个圆心角相等，那么( )A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对2. 若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶13. 下列直线是圆的切线的是( )A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆的直径外端点的直线4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( )A．6πB．4πC．2πD．π5. 圆的内接梯形一定是________梯形．6. 如图，已知直线EF经过⊙O上的点E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，则直线EF和⊙O的位置关系是________．7. 已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm2，则扇形的圆心角是________°，扇形的弧长是________cm.(结果保留π)8. 如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.9. 如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.10. 120°的圆心角所对的弧长是12π cm，则此弧所在的圆的半径是________．11．如图，在4×4的方格中(共有16个方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．13．如图，若BC ︵的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A ＝________.14．如图，四边形ABCD 中，∠B 与∠1互补，AD 的延长线与DC 所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B ＝________.15. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B ＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，则∠ADC ＝________，∠CDE ＝________；16. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠AOC ＝100°，则∠D＝________，∠B ＝________；17. 四边形ABCD 内接于⊙O，∠A ∶∠C ＝1∶3，则∠A ＝________；18. 如图，梯形ABCD 内接于⊙O，AD ∥BC ，∠B ＝75°，则∠C＝________.19．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC∥DE，若弦BE ＝3，求弦CE 的长．20．如图，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．(1)求证：AM ︵＝BN ︵；(2)若C ，D 分别为OA ，OB 中点，则AM ︵＝MN ︵＝BN ︵成立吗？21. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠C ＝90°，∠D ＝90°，点O 是AB 的中点．求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上．22. 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm ，高为20 cm ，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？(结果精确到0.1 cm 2)23. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm 2. (1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？参考答案： 1—4 DBBB 5. 等腰 6. 相切7. 120 2π 8. 120° 9. 120° 10. 18 cm 11. .2π12. 2－12－14π13. 100° 50° 14. .120° 60°15. 180° 180° 100° 80° 16. 130° 50° 17. 45° 18. 75° 19. 320. (1)连接OM ，ON ，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出AM ︵＝BN ︵； (2)成立．21. 证明OA ＝OB ＝OC ＝OD 即可．22. 解：设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm ，则r ＝582π， l ＝（582π）2＋202≈22.03， S 纸帽侧＝πrl ≈12×58×22.03＝638.87(cm)，638．87×20＝12777.4(cm 2)，所以，至少需要12777.4 cm 2的纸． 23. 解：(1)如图所示：∵300π＝120πR2360，∴R＝30，∴弧长l ＝120×π×30180＝20π(cm)，(2)如图所示： ∵20π＝2πr ， ∴r ＝10，R ＝30，AD＝900－100＝202，∴S轴截面＝12×BC×AD＝12×2×10×202＝2002(cm2)，因此，扇形的弧长是20π cm，卷成圆锥的轴截面是200 2 cm2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A.B.C. D.2．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的交点（1x ，0），（2x ，0），且﹣1＜1x ＜0＜2x ，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＞a+c ；③a+b ＞k （ka+b ）（k 为常数，且k≠1）；④2c ＜3b ；⑤若抛物线顶点坐标为（1，n ），则2b ＝4a （c ﹣n ），其中正确的结论有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．23．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n 个“平行四边形数”和“正六边形数”分别为a 和b ，若a+b ＝103，则ab的值是( )A.619B.837C.1093D.12914．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．若周长为20，BD ＝8，则AC 的长是（ ）A.3B.4C.5D.65．分式方程的解是（ ）A.3B.-3C.D.96．若二次函数2(2)4y ax a x a =+++的图像与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，且121x x <<,则a 的取值范围是（） A ．2153a -<<- B ．103a -<< C ．203a <<D ．1233a << 7．一组数据2，3，8，6，x 的唯一众数是x ，其中x 是不等式组26070x x ->⎧⎨-<⎩的解，则这组数据的中位数是（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．88．计算11x -- 1xx -的结果为( ) A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣29．一个直角三角形两边长分别为3和4，则它的面积为( )A ．6B ．12C ．6或10D ．6或210．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ） A.开口向下B.对称轴是3x =C.最大值为0D.与y 轴不相交11．如图，点A （0，2），在x 轴上取一点B ，连接AB ，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、AB 于点M 、N ，再以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD 并延长交x 轴于点P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点P 的坐标为（ ）A ．（1，0）B ．0）C ．（230） D ．（0）12．如图，将一副三角板叠放在一起，使顶点A 在另一直角三角形的斜边DE 上，斜边BC 与直角边EF 在一直线上，则图中∠EAC 的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．65°D ．55°二、填空题13．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，随机地向△ABC 中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．14．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是3700AF =米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 地，此时观察目标C 的俯角是50，则这座山的高度CD 是________米（参考数据：sin500.77≈，cos500.64≈，tan50 1.20≈）15．关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是__________．16．如图，直线a ，b 与直线c ，d 相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4的度数为________．17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE=_________.18．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____． 三、解答题19．解不等式组()3151924x x xx ⎧-≤+⎪⎨-<⎪⎩，并写出它的所有整数解． 20．阅读下列材料，解决问题：12345678987654321这个数有这样一个特点：各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续的自然数），到数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们不妨称它为橄榄数．记第一个橄榄数为a 1＝1，第二个橄榄数为a 2＝121，第三个橄榄数为a 3＝12321……有趣的是橄榄数还是一个平方数，如1＝12，121＝112，12321＝1112，1234321＝11112……而且，橄榄数可以变形成如下对称式：1111⨯=2222121121⨯=++3333331232112321⨯=++++……根据以上材料，回答下列问题（1）11111112＝ ；将123454321变形为对称式：123454321＝ ．（2）一个两位数（十位大于个位），交换其十位与个位上的数字，得到一个新的两位数，将原数和新数相加，就能得到橄榄数121，求这个两位数．（3）证明任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除（m ＝1，2…9，n ＝1，2…9，m ＞n ） 21．某公司用100万元研发一种市场急需电子产品，已于当年投入生产并销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如图所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s （万元）． （1）请求出y （万件）与x （元/件）的函数表达式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s （万元）与x （元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值．22．如图，AB ⊥EF ，DC ⊥EF ，垂足分别为B 、C ，且AB ＝CD ，BE ＝CF ．AF 、DE 相交于点O ，AF 、DC 相交于点N ，DE 、AB 相交于点M ．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形； （2）求证：△ABF ≌△DCE ．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．24．解方程：213xx x+=-.25．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1 414．1900 15．k≥﹣4 16．110°17118．3 5三、解答题19．﹣2≤x＜1，整数解有﹣2、﹣1、0．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】()3151924x x xx ①②⎧-≤+⎪⎨-<⎪⎩， 解不等式①，得x≥﹣2， 解不等式②，得x ＜1，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1， ∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（1）55555555551234567654321,123454321⨯++++++++；（2）65，74，83，92；（3）任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的定义，直接可得：（2）设十位数字是x ，个位数字是y ，根据题意得到x+y=11，进而确定两位数； （3）根据数的规律求得a m 的各数位之和m 2，a n 的各数位之和n 2，然后因式分解证明结论. 【详解】（1）根据题中给出的定义，直接可得： 11111112＝1234567654321，123454321＝⨯++++++++5555555555123454321；（2）设十位数字是x ，个位数字是y ，x ＞y ， 10x+y+10y+x ＝11（x+y ）＝121， ∴x+y ＝11，∴这个两位数是65，74，83，92；（3）a m 的各数位之和1+2+3+…+m+（m ﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22m m m m +-+＝m 2， a n 的各数位之和1+2+3+…+m+（m ﹣1）+…+2+1＝(1)(1)22n n n n +-+＝n 2， ∴a m ，a n 的各数位之和的差为m 2﹣n 2＝（m+n ）（m ﹣n ）， ∵m ＞n ，∴m 2﹣n 2＝（m+n ）（m ﹣n ）能被m ﹣n 整除，∴任意两个橄榄数a m ，a n 的各数位之和的差能被m ﹣n 整除． 【点睛】本题考查新定义，字母表示数，自然数求和，因式分解；能够理解定义，熟练掌握因式分解，自然数求和方法是解题的关键．21．（1）y ＝160(48)28(828)x x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+≤⎩；（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元． 【解析】 【分析】（1）依据待定系数法，即可求出y （万件）与x （元/件）之间的函数关系式；（2）分两种情况进行讨论，当x ＝8时，s max ＝﹣20；当x ＝16时，s max ＝44；根据44＞﹣20，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元． 【详解】解：（1）当4≤x≤8时，设y ＝kx，将A （4，40）代入得k ＝4×40＝160， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝160x； 当8＜x≤28时，设y ＝k'x+b ，将B （8，20），C （28，0）代入得，820280k b k b +=⎧⎨+=''⎩， 解得k 1b 28=-⎧⎨='⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x+28，综上所述，y ＝160(48)28(828)x x x x ⎧⎪⎨⎪-+<≤⎩剟；（2）当4≤x≤8时，s ＝（x ﹣4）y ﹣160＝（x ﹣4）•160x ﹣100＝640x-+60，∵当4≤x≤8时，s 随着x 的增大而增大， ∴当x ＝8时，s max ＝640x-+60＝﹣20； 当8＜x≤28时，s ＝（x ﹣4）y ﹣80＝（x ﹣4）（﹣x+28）﹣80＝﹣（x ﹣100）2+44， ∴当x ＝16时，s max ＝44； ∵44＞﹣20，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解． 22．（1）△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可以证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形对应角相等可得∠A ＝∠D ，∠DEC ＝∠AFB ，所以△EOF 是等腰三角形，再根据等角的余角相等可得∠A ＝∠AMO ，∠D ＝∠DNO ，从而得到△AOM 与△DON 也都是等腰三角形；（2）由BE ＝CF ，可以证明EC ＝BF ，然后根据方法“边角边”即可证明△ABF 与△DCE 全等． 【详解】（1）解：△EOF ，△AOM ，△DON ；（2）证明：∵AB ⊥EF 于点B ，DC ⊥EF 于点C ， ∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°， ∵CF ＝BE ， ∴CF+BC ＝BE+BC ， 即BF ＝C E…在△ABF 和△DCE 中， AB DC DCB BF CE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠ABC=∠， ∴△ABF ≌△DCE ， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明，常用的方法有“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”，本题证明得到BF ＝CE 是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）CD ＝5． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD ＝BC ，等量代换得到BC ＝EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论，（2）设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在菱形ABCD 中， ∴AD ∥BC 且AD ＝BC ， ∵BE ＝CF ， ∴BC ＝EF ， ∴AD ＝EF ， ∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AE ⊥BC ，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形.（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．x＝65.【解析】【分析】根据分式方程的解法求解即可. 【详解】去分母得：2x﹣6+x2＝x2﹣3x，解得：x＝65，检验x＝65是原方程的解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，注意根的验证.25．（1）BC （2）详见解析【解析】【分析】（1）延长AH、BC相交于点M，可证明△MCH∽△MBA，得出MH=AH，BM=2BC；由∠DOH=∠AOB=60°，∠ODH=∠OBA=60°，∠OHD=∠OAB=60°，可得△DOH是等边三角形，AE=OA-OE=OA-OD=2，得点E是OA的中点，根据“三线合一”可得BE的长度、BE⊥OA，根据勾股定理求出BM的长，而BC=12BM；（2）AB=OB，由（1）知，AE=OE=OD，可证BD=OB+OD=AB+AE．【详解】解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBAMH MC CH∴==MA MB AB∵CH＝2MH MC21∴===MA MB42∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DOH＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10 ∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°BE∴==在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2222∴+=10BM∴=BM∴=BC（2）∵△ABO为等边三角形∴AB＝OB由（1）知，AE＝OE＝OD∵BD＝OB+OD∴BD＝AB+AE【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质．这道题的关键是证明点E是OA的中点、BM=2BC．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题 1．若函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A.m ＞﹣2 B.m ＜﹣2 C.m ＞2 D.m ＜22．函数11y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤B ．2x ≤且1x ≠C ．x ＜2且1x ≠D ．1x ≠3．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cmB.10cmC.14cmD.无法确定5．下列选项中，可以用来证明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b“是假命题的反例是（ ） A ．a ＝﹣2，b ＝1B ．a ＝3，b ＝﹣2C ．a ＝0，b ＝1D ．a ＝2，b ＝16．某学校为了了解九年级体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数不少于20的频率为( )A ．0.1B ．0.17C ．0.33D ．0.97．如图，与的平分线相交于点P，，PB与CE交于点H，交BC于F，交AB于G，下列结论：①；②；③ BP垂直平分CE；④，其中正确的判断有（）A.①②B.③④C.①③④D.①②③④8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B在函数y＝kx（x＞0）的图象上，若∠C＝60°，AB＝2，则k的值为（）A B C．1 D．29．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP并延长，交BC于点Q．连接DP．将△ADP绕点A顺时针旋转90°至△ABP'．连结PP'，若AP=1，，，则正方形的边长为（）ABCD10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE的最小值是（）A.10B.8C.6D.411．如图，点A ，B 为反比例函数y=kx在第一象限上的两点，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若B 点的横坐标是A 点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k ﹣2，则k 的值为（ ）A ．43B ．83C ．143 D ．16312．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM 2=，N 是AC 上一动点，则DN MN +的最小值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，()()0,2,A B ，点C 是线段AB 上一点，将OCB ∆沿AB 翻折得到'B CB ∆，且满足'B C AO ∕∕. 若反比例函数y (0)kk x=>图象经过点C ，则k 的值为____.14．函数y =x 的取值范围是______．15．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是______． 16．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．17．如图所示，是一个运算程序示意图，若第一次输人k 的值为216，则第2019次输出的结果是______．18．如图，在△ABC 中，M 、N 分别为AC 、BC 的中点.若S △CMN =1，则S 四边形ABNM =________.三、解答题19．如图1，正方形ABCD 中，AB ＝5，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，以AE 为边，在线段AE 右侧作正方形AEFG ，连接CF 、DF ．设BE x =．(当点E 与点B 重合时，x 的值为0)，12DF y CF y ==，．小明根据学习函数的经验，对函数12y y 、随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x 与y 1、y 2的几组对应值；(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点12()()x y x y ，，，，并画出函数y 1，y 2的图象；(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为 cm ． 20．如图1，点D 、E 、F 、G 分别为线段AB 、O B 、OC 、AC 的中点． （1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）如图2，若点M 为EF 的中点，BE ：CF ：DG ＝2：3：MOF ＝∠EFO ．21．初三某班同学小代想根据学习函数的经验，探究函数32y x =-的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整： （1）函数32y x =-的自变量的取值范围是 ; （2）下表是函数y 与自变量x 的几组对应值：则m= ,n= ；（3）在平面直角坐标系xoy 中，补全此函数的图象:（4）根据函数图象，直接写出不等式322x x >--的解集 ; （5）若函数32y x =-与函数y ＝x ＋k 图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是 . 22．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径做⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ． （1）求证：FE ⊥AB ； （2）填空：当EF ＝4，35OA OF =时，则DE 的长为 ．23．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图，已知原阶梯式自动扶梯AB 的长为m ，坡角∠ABE ＝45°，改造后的斜坡自动扶梯坡角∠ACB ＝15°，求改造后的斜坡式自动扶梯AC 的长，（精确到0.1m ，参考数据；sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0，27）24．计算：（12）﹣1|+（π﹣3.14）0 25．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）判断四边形ACDF 的形状；（2）当BC=2CD 时，求证：CF 平分∠BCD ．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题1314．x≥-3 15．1316．-2 17．18．3三、解答题19．(1)见解析；(2)见解析；(3)2.59.【解析】【分析】（1）画图、测量可得；（2）依据表中的数据，描点、连线即可得；（3）由题意得出△CDF是等腰三角形时BE的长度即为y1与y2交点的横坐标，据此可得答案．【详解】(1)补全表格如下：(2)函数图象如下：(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为2.5906，故答案为：2.59．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握函数思想的运用及函数图象的画法、数形结合思想的运用．20．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，11DG BC,EF//BC,EF BC22==，则DG=BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE=2x，CF=3x，DG=，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF=90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM=FM，由等边对等角可得结论．【详解】解：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，∴DG 是△ABC 的中位线， ∴DG ∥BC ，DG ＝12BC ， 同理得：EF 是△OBC 的中位线， ∴EF ∥BC ，EF ＝12BC ， ∴DG ＝EF ，DG ∥EF ，∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）∵BE ：CF ：DG ＝2：3：∴设BE ＝2x ，CF ＝3x ，DG ， ∴OE ＝2x ，OF ＝3x ，∵四边形DEFG 是平行四边形，∴DG ＝EF ， ∴OE 2+OF 2＝EF 2， ∴∠EOF ＝90°， ∵点M 为EF 的中点， ∴OM ＝MF ， ∴∠MOF ＝∠EFO ． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．21．（1）x 2≠；（2）m=0.75,n= 3；（3）在平面直角坐标系xoy 中，补全此函数的图象见解析；（4）222x x 或<<<+；（5）2k >. 【解析】 【分析】（1）根据分母不能为0确定自变量的取值范围； （2）把x=-2,3分别代入32y x =-可求得m,n 的值； （3）把两组点分别顺次连接可得图象；（4）作出函数y=x-2的图象，得直线与32y x =-的交点的横坐标为.根据图象可得到不等式的解集；（5）直线y=x+k 与右边曲线总有一个交点，故可求当直线与左边曲线有一个交点时k 的值，将直线向上平移就会满足题中有三个交点的条件，从而得到k 的取值范围. 【详解】（1）根据分母不能为0得│x -2│≠0，解得： x 2≠ ；（2）将x=-2代入32y x =-，得y=0.75,即m=0.75; 将x=3代入32y x =-，得y=3,即n=3; 故答案为：m= 0.75 ,n= 3 ； （3）如图所示:（4）如图，作出函数y=x-2的图象，这条直线与32y x =-的交点的横坐标为观察图象可得，不等式322x x >--的解集为2x <或22x <<+. （5）由（4）的结论可知，直线y=x+k 与32y x =-的图象的右边的曲线总有一个交点，故考虑当x ＜2时，直线y=x+k 与32y x =-的图象的左边的曲线的交点情况. ∵x ＜2,∴32y x =-，列方程32x-＝x+k ， 整理得2(2)(32)0x k x k +-+-=，当240b ac =-=时，方程有唯一解，直线与左边曲线有一个交点，直线继续往上平移，会有两个交点. ∴()2(2)4320k k ---=解得122,2k k ==- (由图像知2k 不合题意舍去)所以当2k >-时，直线y=x+k 与32y x =-共有三个不同的交点.故答案为：2k >. 【点睛】本题主要考查函数与方程的结合，根的判别式的应用，根据定义作出函数的图象，利用数形结合思想是解决本题的关键.22．（1）详见解析；（2）6. 【解析】 【分析】(1)连接OD ，如图，先根据切线的性质得到OD ⊥DF ，然后利用等腰三角形的性质和平行线的判定证明OD ∥AB ，从而可判断EF ⊥AB ；(2)根据平行线分线段比例，由AE ∥OD 得35DE OA DF OF ==，然后根据比例性质可求出DE ． 【详解】(1)连接OD ，如图， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DF ， ∵OC ＝OD ， ∴∠C ＝∠ODC ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠B ＝∠ODC ， ∴OD ∥AB ， ∴EF ⊥AB ； (2)∵AE ∥OD ，∴35DE OA DF OF ==， 即345DE DE =+，解得DE ＝6， 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似比进行几何计算．也考查了等腰三角形的性质和切线的性质．23．改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为23.1米．【解析】【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．【详解】解：如图，过点A作AD⊥CE于点D，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝，∴AD＝AB•sin45°＝6（m）．在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝AD AC，∴AC＝AD6sin150.26︒=≈23.1（m），即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为23.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键．24．4【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可.【详解】解：原式＝4﹣2×2﹣1+1＝4﹣1+1＝4．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数的计算,这是基本知识点，应当熟练的掌握.25．（1）四边形ACDF是平行四边形；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF 是平行四边形；（2）先判定ACDF是平行四边形，可得FB=BC，再根据∠BCF=∠DCF=45°，即可得到答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：∵BC=2CD，ACDF是平行四边形，∴FB=BC，∴∠BCF=45°，∴∠DCF=45°，∴CF平分∠BCD．【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键在于利用全等三角形的性质进行求证.。

单元检测七 圆(时间：120分钟 总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，量角器外缘边上有A ，P ，Q 三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠P AQ 的大小为( )A ．10° B．20° C．30° D．40°2．图中圆与圆之间不同的位置关系有( )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种3．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交4．如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相外切，⊙O 1的半径r 1＝1，⊙O 2的半径r 2＝2，⊙O 3的半径r 3＝3，则△O 1O 2O 3是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 5．如图，P A ，P B 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°，则∠BAC 的度数是( )A ．40° B．30° C．20° D．10°6．已知圆锥的底面半径为1 cm ，母线长为3 cm ，则圆锥的侧面积是( )A ．6 cm 2B ．3π cm 2C ．6π cm 2D ．3π2cm 27．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，已知弦心距OM ＝3，则此正六边形的边长为( )A ．3B ．4C ．5D ．68．在Rt△ABC 中，斜边AB ＝4，∠B＝60°，将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转60°，顶点C 运动的路线长是( )A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π39．如图是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6π cm ，高为18 cm ，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是( )A ．108π cm 2B ．1 080π cm 2C ．126π cm 2D ．1 260π cm 210．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A ，C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为(0,8)，则圆心M 的坐标为( )A ．(4,5)B ．(－5,4)C ．(－4,6)D ．(－4,5) 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连接BC ．若∠A＝26°，则∠ACB 的度数为__________．12．如图，宽为2 cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径为__________cm.13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，DC ，DB ．已知∠D＝30°，BC ＝3，则AB 的长是__________．14．如图，⊙O 1，⊙O 2的直径分别为2 cm 和4 cm ，现将⊙O 1向⊙O 2平移，当O 1O 2＝__________ cm 时，⊙O 1与⊙O 2相切．15．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是__________平方米(结果保留π)．16．如图，在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D ，E 在OB 上，点F 在AB 上，则阴影部分的面积为__________(结果保留π)．17．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径作⊙O，交BC 于E ，过点O 作OD∥BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，DC ．若∠DAO＝65°，则∠B＋∠BAD ＝____________.18．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则S 四边形ADCE ∶S 正方形ABCD 的值为__________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠A P C＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD．20．(6分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2＝BG·BF.21．(8分)已知在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上取一点E 使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于点H.(1)求证：AC⊥BH；(2)若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线P C方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，P Q的长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s.(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．23. (9分)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．(1)求证：AC平分∠BAD；(2)过点O 作线段AC 的垂线OE ，垂足为点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (3)若CD ＝4，AC ＝45，求垂线段OE 的长．24. (9分)如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，DA=DB ，∠C=∠DBC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，F 是⊙O 上的点，且AF BF .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若sin C ＝35，AE ＝32，求sin F 的值和AF 的长．25．(10分)如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且AC ＝CD ，∠ACD ＝120°.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．26．(10分)如图，BD 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝2，ED ＝4.(1)求证：△ABE∽△ADB； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF ＝BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．参考答案一、1.B 如图，由圆周角与圆心角的关系，可得∠BAP ＝35°，∠BAQ ＝15°， ∴∠PAQ ＝20°.故选B.2．A3．B 如图，过点C 作CD ⊥AB 于D .∵∠B ＝30°，BC ＝4 cm ， ∴CD ＝2 cm ，即点C 到AB 的距离等于⊙C 的半径． 故⊙C 与AB 相切，故选B.4．B 由题意，可得O 1O 2＝3，O 2O 3＝5，O 1O 3＝4. ∵32＋42＝52，∴△O 1O 2O 3是直角三角形．故选B. 5．C ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，OA ⊥PA .∴∠PAB ＝∠PBA ＝12(180°－∠P )＝70°，∠PAC ＝90°.∴∠BAC ＝∠PAC －∠PAB ＝20°. 6．B 7.D 8.B 9.D 10.D 二、11.32° 12.134如图，EF ＝8－2＝6(cm)，DC ＝2 cm ，设OF ＝R ，则OD ＝R －2.在Rt△ODF 中，OD 2＋DF 2＝OF 2，∴(R －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝R 2，∴R ＝134.13．6 14.1或315．36π 由题意可知△AOB 为直角三角形，tan α＝AO OB ，即43＝8OB，解得OB ＝6，所以底面⊙O 的面积为πR 2＝π·62＝36π. 16.58π－32如图，连接OF ，∵∠AOB ＝45°，∠CDO ＝90°， ∴OD ＝CD .又∵四边形CDEF 是正方形， ∴CD ＝EF ＝DE .设正方形的边长为x ，则OE ＝2x ，EF ＝x ，在Rt△OEF 中，OE 2＋EF 2＝OF 2，(2x )2＋x 2＝(5)2， 则x ＝1，∴S 阴影＝S 扇形AOB －S △COD －S 正方形CDEF ＝45360π(5)2－12×1×1－12＝58π－32.17．65° 18.58三、19.(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°，∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)解：如图，连接OB ，则OB ＝8，∠OBD ＝30°.又∵OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝12OB ＝4.20．证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，∴∠BCD ＝∠A . 又∠A ＝∠F ，∴∠BCG ＝∠F .又∠CBG ＝∠FBC ，∴△BCG ∽△BFC . ∴BC BG ＝BF BC.∴BC 2＝BG ·BF .21．解：(1)证明：连接AD (如图)，∵∠DAC ＝∠DEC ，∠EBC ＝∠DEC ， ∴∠DAC ＝∠EBC .又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°.∴∠DCA ＋∠DAC ＝90°.∴∠EBC ＋∠DCA ＝90°.∴∠BGC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCA )＝180°－90°＝90°. ∴AC ⊥BH .(2)∵∠BDA ＝180°－∠ADC ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝45°.∴BD ＝AD .∵BD ＝8，∴AD ＝8. 又∵∠ADC ＝90°，AC ＝10，∴DC ＝AC 2－AD 2＝102－82＝6. ∴BC ＝BD ＋DC ＝8＋6＝14.又∵∠BGC ＝∠ADC ＝90°，∠BCG ＝∠ACD ， ∴△BCG ∽△ACD .∴CG DC ＝BC AC.∴CG 6＝1410.∴CG ＝425. 连接AE .∵AC 是直径，∴∠AEC ＝90°. 又∵EG ⊥AC ，∴△CEG ∽△CAE . ∴CE AC ＝CG CE .∴CE 2＝AC ·CG ＝425×10＝84. ∴CE ＝84＝221.22．解：(1)直线AB 与⊙P 相切．如图，过P 作PD ⊥AB ，垂足为D . 在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°， ∵AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm. ∵P 为BC 中点，∴PB ＝4 cm.∵∠PDB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ， ∴△PBD ∽△ABC . ∴PD AC ＝PB AB ，即PD 6＝410. ∴PD ＝2.4(cm)．当t ＝1.2时，PQ ＝2t ＝2.4(cm)．∴PD ＝PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径．∴直线AB 与⊙P 相切． (2)∵∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径．∴OB ＝12AB ＝5 cm.连接OP ，如图．∵P 为BC 中点，∴OP ＝12AC ＝3 cm.∵点P 在⊙O 内部， ∴⊙P 与⊙O 只能内切． ∴5－2t ＝3或2t －5＝3. ∴t ＝1或4.∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4.23．解：(1)证明：连接OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥CD . 又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . ∴∠OCA ＝∠DAC .∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC .∴∠OAC ＝∠DAC .∴AC 平分∠DAB .(2)如图所示．(3)在Rt△ACD 中，CD ＝4，AC ＝45，∴AD ＝AC 2－CD 2＝(45)2－42＝8.∵OE ⊥AC ，OA ＝OC ，∴AE ＝12AC ＝2 5.∵∠OAE ＝∠CAD ，∠AEO ＝∠ADC ，∴△AEO ∽△ADC .∴OE CD ＝AE AD.∴OE ＝AE AD ×CD ＝258×4＝5，即垂线段OE 的长为 5. 24．(1)证明：∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA . 又∵∠C ＝∠DBC ，∴∠DBA ＋∠DBC ＝12×180°＝90°.∴AB ⊥BC .又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线． (2)解：如图，连接BE ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°. ∴∠EBC+∠C=90°. ∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°. ∴∠C=∠ABE.又∵∠AFE=∠ABE ， ∴∠AFE=∠C.∴sin ∠AFE=sin ∠ABE=sin C.∴sin ∠AFE=35.连接BF ，∴∠AFB=90°.在Rt △ABE 中，AB=AEsin ∠ABE=5 2.∵AF =BF ， ∴AF=BF=5.25．(1)证明：连接OC . ∵AC ＝CD ，∠ACD ＝120°， ∴∠A ＝∠D ＝30°. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝30°.∴∠OCD ＝∠ACD －∠ACO ＝90°. ∴CD 是⊙O 的切线． (2)解：∵∠A ＝30°， ∴∠COD ＝2∠A ＝60°.∴S 扇形OBC ＝60π×22360＝23π.在Rt△OCD 中，CD ＝OC ·tan 60°＝2 3. ∴S Rt△OCD ＝12OC ·CD ＝12×2×23＝2 3.∴图中阴影部分的面积为23－23π.26．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C .∵∠C ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D . 又∵∠BAE ＝∠EAB ， ∴△ABE ∽△ADB .(2)∵△ABE ∽△ADB ，∴AB AD ＝AE AB，∴AB 2＝AD ·AE ＝(AE ＋ED )·AE ＝(2＋4)×2＝12， ∴AB ＝2 3.(3)直线FA 与⊙O 相切，理由如下：连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝12＋(2＋4)2＝43，BF ＝BO ＝12BD ＝2 3.∵AB ＝23，∴BF ＝BO ＝AB ，可证∠OAF ＝90°， ∴直线FA 与⊙O 相切．。

2019年中考数学真题分类训练——专题十二：圆一、选择题1．（2019衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为A．1 B C D．22．（2019黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40 m，点C是AB的中点，且CD=10 m，则这段弯路所在圆的半径为A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m3．（2019衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm4．（2019甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=A．54°B．64°C．27°D．37°5．（2019重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为A．60°B．50°C．40°D．30°6．（2019台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为A．B．3 C．4 D．47．（2019福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB等于A．55°B．70°C．110°D．125°8．（2019舟山）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为A．2 B C D．1 29．（2019杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB= A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题10．（2019湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是__________．11．（2019安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．12．（2019台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为__________．13．（2019温州）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（EDF）上，若∠BAC=66°，则∠EPF等于__________度．14．（2019广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．15．（2019福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．求证：∠BAC=2∠CAD；16．（2019衢州）如图，在等腰△AB C中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线．17．（2019滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF ⊥AC，垂足为点F．求证：直线DF是⊙O的切线；18．（2019温州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．（2）当BE=4，CD38AB时，求⊙O的直径长．19．（2019金华）如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．（1）求BD的度数．（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．20．（2019绍兴）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长．请你解答．（2）以下是小明、小聪的对话：参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．21．（2019湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y=3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

阶段测评(七) 圆(A)(时间：120分钟 总分：120分)一、选择题(每题4分，共40分)1．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( C )A ．3B ．4C . 5D .72．(2015绍兴中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B ＝135°，则AC ︵的长( B )A ．2πB ．πC .π2D .π3,(第2题图)) ,(第3题图))3．(2016内江中考)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠BAC＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为( C )A ．π－4B .23π－1 C ．π－2 D .23π－24．(2016遵义中考)如图，半圆的圆心为O ，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB ＝30°，AC ︵的长是( D )A ．12πB ．6πC ．5πD ．4π,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2016泰安中考)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连接AE ，则S △ADE ∶S △CDB 的值等于( D )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．2∶36．(2016原创)如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为( D )A ．3B ．2C .13D . 5,(第6题图)),(第7题图))7．(2016临沂中考)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D ，C.若∠ACB＝30°，AB ＝3，则阴影部分的面积是( C )A .32 B .π6 C .32－π6 D .33－π68．(2016陕西中考)如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC.若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3,(第8题图)) ,(第9题图))9．(2015南京中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( A )A .133B .92C .4313 D ．2 510．(2015宁波中考)如图，用一个半径为30 cm ，面积为300π cm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r 为( B )A ．5 cmB ．10 cmC ．20 cmD ．5π cm二、填空题(每题4分，共16分)11．(2015盐城中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A ，B ，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是__3＜r ＜5__．12．(2015呼和浩特中考)一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为__12π__． 13．(2016宿迁中考)如图，在△ABC 中，已知∠ACB＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为2．,(第13题图)) ,(第14题图))14．(2016枣庄中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝．三、解答题(每题8分，共64分) 15．(2015山西中考)实践与操作： 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°.(1)尺规作图：作⊙C，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E.保留作图痕迹，不写作法．请标明字母； (2)在(1)所求作的图中，若BC ＝3，∠A ＝30°，求DE ︵的长． 解：(1)如图所示；(2)∵⊙C 切AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝∠DCE＝60°.∵在Rt △BCD 中，BC ＝3，∴CD ＝BC sin B ＝3×sin 60°＝332，∴DE ︵的长为60π×332180＝32π.16．(2014聊城中考)如图，AB ，AC 分别是半圆O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半圆O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F.(1)求证：PC 是半圆O 的切线；(2)若∠CAB＝30°，AB ＝10，求线段BF 的长．解：(1)提示连接OC ，证明△OAP≌△OCP，可推出PC 是半圆O 的切线； (2)BF ＝OF －OB ＝5.17．(2016临沂中考)如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC ＝∠CPB＝60°，AP ，CB 的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB ＝23，求PD 的长． 解：(1)∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC＝60°，∴∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形； (2)PD ＝4.18．(2016陕西中考)如图，AB 是⊙O 的弦，过点B 作BC⊥AB 交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，取AD 的中点E ，过点E 作EF∥BC 交DC 的延长线于点F ，连接AF 并延长交BC 的延长线于点G.求证：(1)FC ＝FG ； (2)AB 2＝B C·BG.证明：(1)∵EF∥BC，AB ⊥BG ， ∴EF ⊥AD ，又∵E 是AD 的中点， ∴F A ＝FD ，∴∠FAD ＝∠D，又知GB⊥AB，∴∠GAB ＋∠G＝∠D＋∠1＝90°， ∴∠1＝∠G，而∠1＝∠2， ∴∠2＝∠G，∴FC ＝FG ；(2)连接AC ，∵AB ⊥BG ，∴AC 是⊙O 的直径， 又∵FD 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴AC ⊥DF ，∴∠1＋∠4＝90°， 又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠3，而由(1)可知∠1＝∠G， ∴∠3＝∠G，∴△ABC ∽△GBA ，∴AB GB ＝CBAB ，∴AB 2＝BC·BG.19．(2015凉山中考)如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A ，B 两点，PC 交⊙O 于D ，C 两点． (1)求证：PA·PB＝PD·PC；(2)若PA ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．解：(1)连接AD ，BC ， ∵四边形ABDC 内接于⊙O， ∴∠PAD ＝∠PCB ，∠PDA ＝∠PBC， ∴△PAD ∽△PCB ，∴PA PC ＝PDPB ，∴PA ·PB ＝PC·PD；(2)提示：连接OD ，作OE⊥DC，垂足为E ，点O 到PC 的距离为3.20．(2015东营中考)已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的一点O 为圆心，以OA 为半径的圆交AC 于点D ，交AB 于点E.(1)求证：AC·AD＝AB·AE；(2)如果BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是OB 的中点，当BC ＝2时，求AC 的长．解：(1)连接DE ， ∵AE 是直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABC， ∵∠DAE ＝∠BAC， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AEAC，∴AC ·AD ＝AB·AE. (2)提示：连接OD ，AC ＝2BC ＝4.21．(2016咸宁中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F.(1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若BD ＝23，BF ＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π) 解：(1)BC 与⊙O 相切，理由如下： 连接OD.∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD ＝∠OAD. 又∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD ＝∠ODA， ∴OD ∥AC ，∴∠BDO ＝∠C＝90°， ∴BC 与⊙O 相切；(2)设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OB ＝r ＋2. 由(1)知∠BDO＝90°，∴OD 2＋BD 2＝OB 2，即r 2＋(23)2＝(r ＋2)2， 解得r ＝2.∵tan ∠BOD ＝BD OD ＝232＝3，∴∠BOD ＝60°.∴S 阴影＝S △OBD －S 扇形ODF ＝12×OD ×BD －60360×πr 2＝23－23π.22．(2016丽水中考)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连接CD ，求证：∠A＝2∠CDE； (3)若∠CDE＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．解：(1)连接OD ，BD ， ∵AB 是半圆O 的切线， ∴AB ⊥BC ，即∠ABO＝90°. ∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB， ∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO， ∴∠ABD ＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，∴∠ADO ＝∠ABO＝90°，∴AD 是半圆O 的切线； (2)由(1)知，∠ADO ＝∠ABO＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD. ∵∠DOC ＝180°－∠BOD，∴∠A ＝∠DOC. ∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°. ∴∠ODC ＋∠CDE＝90°.∵BC 是直径，∴∠ODC ＋∠BDO＝90°， ∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD，∴∠DOC ＝2∠BDO， ∴∠D OC ＝2∠CDE，∴∠A ＝2∠CDE； (3)∵∠CDE＝27°，由(2)，得∠DOC＝2∠CDE＝54°， ∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴lBD ︵＝n πR 180＝126×π×2180＝75π.。

山东省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆一．选择题（共20小题）1．（2020•东营）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（）A．πB．2πC．2 D．12．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+C．2+1 D．2﹣4．（2020•青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°5．（2020•泰安）如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．50°6．（2020•德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π7．（2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．158．（2020•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC 的长为（）A．4 B．4C．D．29．（2020•聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC ＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π10．（2020•聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m11．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．4B．2C．2 D．412．（2019•莱芜区）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．（2019•烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π14．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD15．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．1616．（2019•青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π17．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为（）A．πB．πC．2πD．3π18．（2019•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°19．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π20．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°二．填空题（共10小题）21．（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．22．（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D 循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是．23．（2020•菏泽）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为．24．（2020•青岛）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为．25．（2020•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝．26．（2020•泰安）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是．27．（2020•滨州）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．28．（2020•德州）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是度．29．（2020•聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是．30．（2019•莱芜区）用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是cm．三．解答题（共10小题）31．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的直径AB的长度．32．（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF ⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．33．（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．34．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE ⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．35．（2020•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E 作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．36．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．37．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．38．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．39．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．40．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．山东省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆一．选择题（共20小题）1．（2020•东营）用一个半径为3，面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为（）A．πB．2πC．2 D．1【答案】D【解答】解：根据圆锥侧面展开图是扇形，扇形面积公式：S＝πrl（r为圆锥的底面半径，l为扇形半径），得3πr＝3π，∴r＝1．所以圆锥的底面半径为1．故选：D．2．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【解答】解：连接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵点D为弦AC的中点，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°故选：C．3．（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+C．2+1 D．2﹣【答案】B【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．4．（2020•青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）A．99°B．108°C．110°D．117°【答案】B【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．故选：B．5．（2020•泰安）如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（）A．20°B．25°C．30°D．50°【答案】B【解答】解：连接OA，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠OBA＝50°，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝25°，故选：B．6．（2020•德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π【答案】A【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．7．（2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解答】解：如图所示：连接OD，∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．8．（2020•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC 的长为（）A．4 B．4C．D．2【答案】B【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选：B．9．（2020•聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC ＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【答案】B【解答】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．10．（2020•聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m【答案】C【解答】解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，所以其高为：＝（m），故选：C．11．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．4B．2C．2 D．4【答案】B【解答】解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，则∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝2，∵CD＝2，∴△DBC的面积＝CD•BH＝＝2，故选：B．12．（2019•莱芜区）如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【答案】B【解答】解：如图所示，连接BC、OD、OB，∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ACB＝70°，∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°，∴∠BCD＝30°，则∠BOD＝2∠BCD＝60°，又OD＝OB，∴△BOD是等边三角形，则图中阴影部分的面积是S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×22＝π﹣，故选：B．13．（2019•烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝，CE＝3，则的长为（）A．B．πC．πD．π【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥OC∥BE，∵OA＝OB，∴DC＝CE＝3，∵AD＝，∴tan∠ACD＝＝，∴∠ACD＝30°，∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC，∵AC＝＝＝2∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝π，故选：D．14．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．15．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解答】解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选：C．16．（2019•青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（）A．πB．2πC．2πD．4π【答案】B【解答】解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．17．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则劣的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【答案】C【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴劣的长＝＝2π，故选：C．18．（2019•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【答案】A【解答】解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．19．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π【答案】C【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．20．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．二．填空题（共10小题）21．（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ＝＝，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，∴OA＝＝6，在Rt△AOP′中，∠A＝30°，∴OP′＝OA＝3，∴线段PQ长度的最小值＝＝2，故答案为：2．22．（2020•潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D 循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是4039π．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．故答案为：4039π．23．（2020•菏泽）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为2﹣π．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OD，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠A＝∠AOB＝60°，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴OD＝OA•sin A＝，同理可知，△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴图中阴影部分的面积＝2×﹣＝2﹣π，故答案为：2﹣π．24．（2020•青岛）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，AB+AC＝16，的长为π，则图中阴影部分的面积为24﹣3﹣3π．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC＝120°，∴∠MON＝60°，∴∠MOB+∠NOC＝120°，∵的长为π，∴＝π，∴r＝3，∴OM＝ON＝r＝3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON＝30°，ON＝3，∴AN＝，∴AM＝AN＝，∴BM+CN＝AB+AC﹣（AM+AN）＝16﹣2，∴S阴影＝S△OBM+S△OCN﹣（S扇形MOE+S扇形NOF）＝3×（BM+CN）﹣（）＝（16﹣2）﹣3π＝24﹣3﹣3π．故答案为：24﹣3﹣3π．25．（2020•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝27°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵P A切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∵＝，∴∠B＝∠AOP＝27°．故答案为：27°．26．（2020•泰安）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是π﹣8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∵DC⊥BE于点C，∴CD＝OD＝4，OC＝＝4，∴BC＝8+4＝12，S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD＝×+2×﹣＝﹣8故答案为﹣8．27．（2020•滨州）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE＝AB，EG＝BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案为：．28．（2020•德州）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是120度．【答案】见试题解答内容【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为：120．29．（2020•聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．30．（2019•莱芜区）用一块圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个底面直径为10cm的圆锥形工件的侧面，那么这个圆锥的高是10cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆锥的母线长为l，则＝10π，解得：l＝15，∴圆锥的高为：＝10，故答案为：10三．解答题（共10小题）31．（2020•东营）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的直径AB的长度．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，∴AM2＝ME2+AE2，∴△AME是直角三角形，∴∠AEM＝90°，又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝4﹣r，ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2+OE2，∴r2＝32+（4﹣r）2，解得：r＝，∴AB＝2r＝．32．（2020•淄博）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF ⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）2cosα．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DP A（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．33．（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OB，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2，∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴的长度＝＝．34．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE ⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接BF，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF∥CE，连接OC，∵点C为劣弧的中点，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）连接OF，CF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点C为劣弧的中点，∴，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF＝S△COF，∴阴影部分的面积＝S扇形COF，∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S扇形FOC＝，即阴影部分的面积为：．35．（2020•威海）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E 作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∴EH⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．36．（2020•临沂）已知⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2．以O1为圆心，以r1+r2的长为半径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接O1A，O2A，O1A交⊙O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C．（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接AP，∵以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，∴O1P＝AP＝O2P＝，∴∠O1AO2＝90°，∵BC∥O2A，∴∠O1BC＝∠O1AO2＝90°，过点O2作O2D⊥BC交BC的延长线于点D，∴四边形ABDO2是矩形，∴AB＝O2D，∵O1A＝r1+r2，∴O2D＝r2，∴BC是⊙O2的切线；（2）解：∵r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，∴O1A＝，∴∠AO2C＝30°，∵BC∥O2A，∴∠BCE＝AO2C＝30°，∴O1C＝2O1B＝4，∴BC＝＝＝2，∴S阴影＝＝＝﹣＝2﹣π．37．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半径为5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD＝＝6，∵S△ADC＝AC•DE，∴DE＝＝＝．38．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴2∠1＝∠CAB．∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：过C作CH⊥BF于H，∵AB＝AC，⊙O的直径为4，∴AC＝4，∵CF＝6，∠ABF＝90°，∴BF＝＝＝2，∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，∴△CHF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴CH＝，∴HF＝＝＝，∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，∴tan∠CBF＝＝＝．39．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．40．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD、BD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴D为AC中点，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知BD是AC的中线，∴AD＝CD＝＝3，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∴BD＝＝＝，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，∵∠ADB＝∠CED＝90°，∴△CDE∽△ABD，∴，即＝，∴DE＝3．。

阶段检测 7圆一、选择题 ( 本大题有10 小题，每题 4 分，共 40 分．请选出各小题中独一的正确选项，不选、多项选择、错选，均不得分)1．在公园的O处邻近有E、 F、G、 H 四棵树，地点以下图( 图中小正方形的边长均相等) 现计划修筑一座以O为圆心， OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为()A． E、 F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F第 1 题图第2题图第4题图第5题图第6题图2．以下图，AB是⊙O的直径，点 C 为⊙O外一点， CA， CD是⊙O的切线， A，D 为切点，连接 BD，AD.若∠ACD＝ 30°，则∠DBA的大小是 ()A． 15°B．30°C．60°D．75°3．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为()A． 1 B.3C．2D．23︵4．如图，圆 O经过五边形OABCD的四个极点．若 ABD＝ 150°，∠ A＝ 65°，∠ D＝ 60°，︵则BC的度数为什么？()A． 25°B．40°C．50°D．55°︵5．如图，有一圆O 经过△ABC的三个极点．若∠B＝75°，∠ C＝60°，且BC的长度为4π，则 BC的长度为什么？ ()A． 8B．82C．16D．1626．如图，△ ABC的极点均在⊙O上，若∠A＝ 36°，则∠BOC的度数为 ()A． 18°B．36°C．60°D．72°7．如图， I 是△ABC的心里， AI 的延伸线和△ABC的外接圆订交于点D，连接 BI 、 BD、DC.以下说法中错误的一项为哪一项()第 7 题图A．线段 DB绕点 D 顺时针旋转必定能与线段DC重合B．线段 DB绕点 D 顺时针旋转必定能与线段DI 重合C．∠ CAD绕点 A 顺时针旋转必定能与∠DAB重合D．线段 ID 绕点 I 顺时针旋转必定能与线段IB 重合8．已知∠BAC＝ 90°，半径为 r 的圆 O与两条直角边AB，AC都相切，设AB＝a( a＞ r ) ，BE 与圆 O相切于点 E. 现给出以下命题: ①当∠ABE＝ 60°时，BE＝3r ；② 当∠ABE＝90°时，BE＝ r ；则以下判断正确的选项是()A．命题①是真命题，命题②是假命题B．命题①②都是真命题C．命题①是假命题，命题②是真命题D．命题①② 都是假命题9．如图，正六边形ABCDEF中， P、 Q 两点分别为△ACF、△CEF的心里．若AF＝2，则PQ的长度为什么？ ()第 9 题图A． 1B．2C．23－ 2D．4－2310．如图， AB 是⊙O的直径， C， D 是⊙O 上的点，且OC∥BD， AD 分别与 BC，OC订交于点 E， F，则以下结论 :第10 题图①AD⊥BD；②∠ AOC＝∠AEC；③CB 均分∠ABD；④AF＝ DF；⑤BD＝ 2OF；⑥△ CEF≌△B ED，此中必定建立的是 ()A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤二、填空题 ( 本大题有 6 小题，每题 5 分，共 30 分 )11 ．如图，点A、 B、 C 在⊙O上， AC∥ OB，∠ BAO＝ 25°，则∠BOC的度数为____________________ ．第 11 题图第 12 题图第 13 题图12．将量角器按以下图的方式搁置在三角形纸板上，使极点 C 在半圆上，点A、 B 的读数分别为100°、 150°，则∠ACB的大小为度．13．如图，正方形ABCD内接于半径2 的⊙O，则图中暗影部分的面积为___________．为14．如图，在 Rt △ ABC中，∠ A＝90°，BC＝ 2 2. 以 BC的中点 O为圆心的圆分别与AB、︵AC相切于 D、E 两点，则 DE的长为 ____________________ ．第 14 题图15．如图，菱形第 15 题图ABCD，∠ A＝ 60°， AB＝ 4，以点第 16 题图B 为圆心的扇形与边CD相切于点E，扇形的圆心角为60°，点 E 是CD的中点，图中两块暗影部分的面积分别为S1，S2，则S2－S1＝________.116．如图，直线l : y＝－ 2x＋1 与坐标轴交于A，B 两点，点M( m， 0) 是 x轴上一动点，以点M 为圆心， 2 个单位长度为半径作⊙M，当⊙M 与直线l相切时，则m 的值为.三、解答题 ( 本大题有8 小题，第 17～ 20 题每题 8 分，第 21 题 10 分，第 22、23 题每题12 分，第 24 题 14 分，共 80 分 )17．如图， AB 是⊙O的直径， C，D 两点在⊙O上，若∠C＝ 45°.第17 题图( 1) 求∠ABD的度数；( 2) 若∠CDB＝ 30°， BC＝ 3，求⊙O的半径．18．如图，已知△ABC，∠ B＝ 40° .第18 题图( 1) 在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边 AB， BC，AC的切点 D，E，F( 保存印迹，不用写作法) ；( 2) 连接 EF， DF，求∠EFD的度数．19．已知△ABC，以 AB为直径的⊙O分别交 AC于 D，交 BC于 E，连接 ED，若 ED＝ EC.第19 题图( 1) 求证 : AB＝ AC；( 2) 若 AB＝ 4， BC＝2 3，求 CD的长．20．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过 OA的中点 C 作 FD∥OB，交⊙O于 D、 F 两点，︵且 CD＝3，以 O为圆心， OC为半径作 CE，交 OB于 E 点．第20 题图( 1) 求⊙O的半径 OA的长；( 2) 计算暗影部分的面积．21．已知 AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O上的动点，点 D 是线段 AB 延伸线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA.( 1) 当直线 CD与半圆 O相切时 ( 如图 1) ，求∠ODC的度数；( 2) 当直线 CD与半圆 O订交时 ( 如图 2) ，设另一交点为E，连接 AE，若 AE∥OC，求∠ODC 的度数．第21 题图22．如图，已知AB是⊙O的直径， AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延伸线于点 P，连接 BC.( 1)求证 : ∠PCA＝∠B；( 2)已知∠P＝ 40°， AB＝ 12cm，点 Q 在优弧 ABC上，从点 A 开始逆时针运动到点 C 停止( 点 Q与点 C 不重合 ) ，当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．第22 题图︵23．如图， AB为⊙O的直径，点 E 在⊙O上， C为 BE的中点，过点 C 作直线 CD⊥AE 于 D，连接 AC、 BC.第 23 题图( 1)试判断直线 CD与⊙O的地点关系，并说明原因；( 2)若 AD＝ 2， AC＝6，求 AB 的长．24．定义 : 数学活动课上，乐老师给出以下定义: 有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做平等四边形．理解 :( 1) 如图 1，已知 A、B、C在格点 ( 小正方形的极点) 上，请在方格图中画出以格点为极点， AB、BC为边的两个平等四边形ABCD；( 2) 如图 2，在圆内接四边形ABCD中， AB是⊙O的直径， AC＝ BD.求证 : 四边形 ABCD是平等四边形；( 3) 如图 3，点 D、B 分别在 x 轴和 y 轴上，且 D( 8， 0) ， B( 0， 6) ，点 A 在 BD边上，且AB＝ 2. 试在 x 轴上找一点 C，使 ABOC是平等四边形，请直接写出全部知足条件的 C 点坐标．第24 题图参照答案阶段检测7圆一、 1— 5. ADBBB6— 10. DDBCD二、 11.50 °12.2513. π － 214.π215.23 －π16．2－ 25或2＋ 25三、 17.(1) ∵∠ C＝ 45°，∴∠ A＝∠ C＝ 45°，∵ AB是⊙O 的直径，∴∠ ADB＝90°，∴∠ABD＝ 45°； (2)连接AC，∵ AB是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，∵∠ CAB＝∠ CDB＝30°，BC＝ 3，∴ AB＝ 6，∴⊙ O的半径为 3.第 17题图第 18 题图18．(1)如图，圆O即为所求．(2) 连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥ BC，因此∠ ODB＝∠ OEB ＝90°，又由于∠ B＝ 40°，因此∠ DOE＝ 140°，因此∠ EFD＝ 70° .19.(1) 证明 : ∵ED＝ EC，∴∠ EDC＝∠ C，∵∠ EDC＝∠ B，∴∠ B＝∠ C，∴ AB＝ AC；(2)1连接AE，∵ AB为直径，∴AE⊥ BC，由 (1)知 AB＝ AC，∴ BE＝CE＝ 2BC＝3，∵ CE·CB＝CD·CA，AC＝ AB＝ 4，∴3 3· 2 3＝ 4CD，∴ CD＝ .2第19 题图20(1)连接 OD，∵ OA⊥ OB，∴∠ AOB＝ 90°，∵ CD∥ OB，∴∠ OCD＝ 90°，在Rt△ OCD中，∵C 是 AO中点， CD＝3，∴ OD＝ 2CO，设 OC＝ x，∴ x2＋ (3) 2＝ (2x) 2，∴ x＝ 1，∴ OD＝2，∴⊙ O的半径为CO12. (2) ∵sin∠ CDO＝＝，∴∠ CDO＝30°，∵ FD∥ OB，∴∠ DOB＝∠ ODCOD2＝30°，∴ S 阴△ CDO扇形 OBD扇形 OCE130π ×2290π ·123π＝S ＋ S－ S＝2× 1× 3＋360－360＝2＋12.第20 题图21．(1) 如图 1，连接 OC，∵ OC＝ OA，CD＝OA，∴ OC＝CD，∴∠ ODC＝∠ COD，∵ CD是⊙O 的切线，∴∠ OCD＝ 90°，∴∠ ODC＝ 45°；(2) 如图 2，连接 OE.∵CD＝ OA，∴ CD＝ OC＝ OE ＝OA，∴∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4. ∵AE∥OC，∴∠ 2＝∠ 3. 设∠ ODC＝∠ 1＝ x，则∠ 2＝∠ 3＝∠4＝ x. ∴∠ AOE＝∠OCD＝ 180 ° － 2x. ∵∠6＝∠1＋∠2＝ 2x. ∵OE＝ OC，∴∠ 5 ＝∠6＝2x. ∵AE∥OC，∴∠ 4＋∠ 5＋∠ 6＝ 180°，即 :x ＋ 2x＋ 2x＝ 180°，∴x＝ 36° . ∴∠ ODC＝36° .第21 题图22． (1) 如图 1: 连接 OC，∵ PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝ 90°，∴∠ 1＋∠ PCA＝ 90°，∵AB 是⊙O的直径，∴∠ ACB＝ 90°，∴∠ 2＋∠ B＝ 90°，∵ OC＝ OA，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ PCA ＝∠ B；(2) ∵∠ P＝ 40°，∴∠ AOC＝ 50°，∵ AB＝12，∴ AO＝ 6，当∠ AOQ＝∠ AOC＝ 50°50π × 6 5π时，△ ABQ与△ ABC的面积相等，∴点 Q所经过的弧长＝180＝3，当Q在AB下方，∠BOQ＝∠ AOC＝ 50°时，即∠ AOQ＝ 130°时，△ ABQ与△ ABC的面积相等，∴点Q所经过的弧130π· 6 13π长＝180＝3，当Q在AB上方，∠ BOQ＝50°时，即∠ AOQ＝230°时，△ ABQ与△ ABC 的面积相等，∴点Q所经过的弧长＝230π ·6＝23π，∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，18035π13π23π动点 Q所经过的弧长为或或.333第22 题图︵23． (1) 相切，连接OC，∵ C 为 BE的中点，∴∠1＝∠ 2，∵ OA＝OC，∴∠ 1＝∠ ACO，∴∠2＝∠ ACO，∴ AD∥OC，∵ CD⊥AD，∴ OC⊥ CD，∴直线C D 与⊙O 相切；(2)方法1:连接CE，∵ AD＝2， AC＝6，∠ ADC＝ 90°，∴ CD＝222 AC－ AD＝2，∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD＝AD·DE，∴ DE＝1，∴ CE＝22︵CD＋ DE＝3，∵ C 为BE的中点，∴ BC＝ CE＝ 3，∵ AB为⊙O的直径，∴∠ ACB＝90°，∴ AB＝22方法 2: ∵∠ DCA＝∠ B，易得△ ADC∽△ ACB，AC＋ BC＝ 3.AD AC∴ ＝，∴ AB＝ 3.AC AB第23 题图24．(1) 如图 1: 四边形 ABCD为平等四边形；(2) 证明 : ∵AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB＝90°，∠ ACB＝ 90°，在Rt△ ADB和Rt△BCA 中，BD＝ AC，∴Rt △ADB≌ Rt△BCA，∴AD＝BC，BA＝ AB，又∵ AB 是⊙O的直径，∴ AB≠ CD，∴四边形 ABCD是平等四边形；(3) ∵D(8， 0) ，B(0 ，6) ，浙江省2019年中考数学总复习阶段检测7圆试题(含答案)50∴OD＝ 8， OB＝ 6，∴ BD＝223，当 OC＝AB 时， C 点OB＋ OD＝ 10，∵ AB＝ 2，∴ AD＝ 8，如图AE DE DA坐标为 (2 ，0) ，如图 4，当 AC＝ OB时， AC＝ 6，作 AE⊥OD于 E，则 AE∥OB，∴＝＝，OB DO DBAE DE8243222＝188即＝8＝，解得 AE＝， DE＝，∴ EC＝AC－ AE， OE＝ OD－ DE＝，则 OC＝ OE6105555 2626＋EC＝5，∴ C 点坐标为5， 0，∴四边形ABOC为平等四边形时， C 点坐标为 (2 ，0) 或26.， 05第24 题图。

专题07 圆的综合问题例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD 上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（）A．2 B． 5 C． 3 ＋1 D．2 2同类题型：1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：①若AD＝5，BD＝2，则DE＝25；②∠ACB＝∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cos F＝4148；则正确的结论是（）A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④同类题型：1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．（4）连结AE、AF，如图（5）所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆＝3 3：4π，以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以4 2 为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．同类题型：2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM＝13，则sin∠CBD的值等于（）A．32B．13C．2 23D．12同类题型：2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．同类题型：2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8例3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（）A．MN＝4 3 3B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切D．l1和l2的距离为2同类题型：3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．同类题型：3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋4 3 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12同类题型：3.3 已知AC ⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列图形中⊙O 与△ABC 的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O 的半径为ab a ＋b的是（ ） A ． B ． C ． D ．例4．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH的值为______________．同类题型：4.1如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作⊙M 的切线，切点为N ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，已知AE ＝5，CE ＝3，则DF 的长是_______________．同类题型：4.2 如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．DE 的长B ．BC 的长 C ．23 DE 的长D ．32DE 的长例5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连结BE ，BE ＝7 2 ．下列四个结论：①AC 平分∠DAB ；②PF 2 ＝PB ﹒PA ；③若BC ＝ 12OP ，则阴影部分的面积为74π－ 494 3 ；④若PC ＝24，则tan ∠PCB ＝ 34．其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③同类题型：5.1 如图，在半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．同类题型：5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F ，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若∠EOF ＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________．同类题型：5.3 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2π3B ．2 3－ π3C ．2 3－ 2π3D ．4 3－ 2π3同类题型：5.4 如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1 和半圆O 2 ，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF ＝2（EF 与AB 在圆心O 1 和O 2 的同侧），则由⌒AE ，FB，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______．EF，⌒参考答案例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD 上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（）A．2 B． 5 C． 3 ＋1 D．2 2解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP＋PB＝QP＋PB＝QB，根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵点A是半圆上的一个三等分点，∴∠ACD＝30°．∵B弧AD中点，∴∠BOD＝∠ACD＝30°，∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°，∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°．∵⊙O的半径是2，∴OB＝OQ＝2，∴BQ＝OB2＋OQ2＝2 2 ，即PA＋PB的最小值为22．选D．同类题型：1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：①若AD＝5，BD＝2，则DE＝25；②∠ACB＝∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cos F＝4148；则正确的结论是（）A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④解：①如图1，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵∠CAD ＝∠CBD ，∴∠BAD ＝∠CBD ，∵∠BDE ＝∠BDE ，∴△BDE ∽△ADB ，∴BD AD ＝DE BD ， 由AD ＝5，BD ＝2，可求DE=45， ①不正确；②如图2，连接CD，∠FCD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠FCD＝∠ABD，若∠ACB＝∠DCF，因为∠ACB＝∠ADB，则有：∠ABD＝∠ADB，与已知不符，故②不正确；③如图3，∵∠F＝∠F，∠FAD＝∠FBC，∴△FDA∽△FCB；故③正确；④如图4，连接CD ，由②知：∠FCD ＝∠ABD ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FCD ∽△FBA ，∴FC FB ＝FD FA， 由AC ＝FC ＝4，DF ＝3，可求：AF ＝8，FB ＝323， ∴BD ＝BF －DF ＝233， ∵直径AG ⊥BD ，∴DH ＝236， ∴FH ＝416， ∴cos F ＝FH AF ＝4148， 故④正确；故选：C ．同类题型：1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．（4）连结AE、AF，如图（5）所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆＝3 3：4π，以上结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，∴∠BMD＝90°，∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴∠BNF＝90°，∴∠BMD＝∠BNF＝90°，∴CD∥EF，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴BN＝MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四边形MEBF是菱形，故②正确；如图，连接ME，则ME＝MB＝2MN，∴∠MEN ＝30°，∴∠EMN ＝90°－30°＝60°，又∵AM ＝ME （都是半径），∴∠AEM ＝∠EAM ，∴∠AEM ＝12∠EMN ＝12 ×60°＝30°，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠MEN ＝30°＋30°＝60°，同理可求∠AFE ＝60°，∴∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r ，则MN ＝12 r ，EN ＝32 r ，∴EF ＝2EN ＝ 3 r ，AN ＝r ＋12r ＝32 r ，∴S △AEF ：S 圆＝（12×3r ×32r ）：πr 2＝3 3 ：4π，故④正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．选D ．同类题型：1.3同类题型：1.4例2．如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以4 2 为半径，过B 、C两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值为______________．解：作OF ⊥BC 于F ，则BF ＝CF ＝12 BC ＝2，如图，连结OB ，在Rt △OBF 中，OF ＝OB 2－BF 2＝(42)2－22＝27 ，∵∠BAC ＝45°，BC ＝4，∴点A 在BC 所对应的一段弧上一点，∴当点A 在BC 的垂直平分线上时OA 最大，此时AF ⊥BC ，AB ＝AC ，作BD ⊥AC 于D ，如图，设BD ＝x ，∵△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2BD ＝ 2 x ，∴AC ＝ 2 x ，在Rt △BDC 中，∵BC 2＝CD 2＋BD 2 ，∴42＝（2x －x ）2＋x 2 ，即x 2＝4（2＋ 2 ）， ∵12AF ﹒BC ＝12BD ﹒AC ， ∴AF ＝x ﹒2x4＝2 2 ＋2，∴AO ＝AF ＋OF ＝22＋2＋27 ，即线段OA 的最大值为22＋2＋27．同类题型：2.1 如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，OM ＝ 13，则sin ∠CBD 的值等于（ ） A ．32 B ．13 C ．2 23 D ．12解：连接AO ，∵OM ⊥AB 于点M ，AO ＝BO ，∴∠AOM ＝∠BOM ，∵∠AOB ＝2∠C∴∠MOB ＝∠C ，∵⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ＝13， ∴sin ∠CBD ＝sin ∠OBM ＝MO OB ＝131＝13则sin ∠CBD 的值等于13． 选B ．同类题型：2.2 如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC ＝30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点M ，且MP ＝OM ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______________．解：①根据题意，画出图（1），在△QOC 中，OC ＝OM ，∴∠OMC ＝∠OCP ，在△OPM 中，MP ＝MO ，∴∠MOP ＝∠MPO ，又∵∠AOC ＝30°，∴∠MPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°，在△OPM 中，∠MOP ＋∠MPO ＋∠OMC ＝180°，即（∠OCP ＋30°）＋（∠OCP ＋30°）＋∠OCP ＝180°，整理得，3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°．②当P 在线段OA 的延长线上（如图2）∵OC ＝OM ，∴∠OMP=（180°-∠MOC ）×12 ①，∵OM ＝PM ，∴∠OPM=（180°-∠OMP ）×12 ②，在△OMP 中，30°＋∠MOC ＋∠OMP ＋∠OPM ＝180°③，把①②代入③得∠MOC ＝20°，则∠OMP ＝80°∴∠OCP ＝100°；③当P 在线段OA 的反向延长线上（如图3），∵OC ＝OM ，∴∠OCP=∠OMC=（180°-∠COM ）×12①， ∵OM ＝PM ，∴∠P ＝（180°－∠OMP ）×12②， ∵∠AOC ＝30°，∴∠COM ＋∠POM ＝150°③，∵∠P ＝∠POM ，2∠P ＝∠OCP ＝∠OMC ④，①②③④联立得∠P ＝10°，∴∠OCP ＝180°－150°－10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．同类题型：2.3 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝12，AB ＝10，D 是AC 上一个动点，以AD 为直径的⊙O 交BD 于E ，则线段CE 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解：如图，连接AE ，则∠AED ＝∠BEA ＝90°，∴点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，∵AB ＝10，∴QA ＝QB ＝5，当点Q 、E 、C 三点共线时，QE ＋CE ＝CQ （最短），而QE 长度不变，故此时CE 最小，∵AC ＝12，∴QC ＝AQ 2＋AC 2 ＝13，∴CE ＝QC －QE ＝13－5＝8，选D ．例3． 如图，直线l 1∥l 2 ，⊙O 与l 1 和l 2 分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1 和l 2 上的动点，MN 沿l 1 和l 2 平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）A ．MN ＝ 4 33B ．若MN 与⊙O 相切，则AM ＝ 3C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切D ．l 1 和l 2 的距离为2解：A 、平移MN 使点B 与N 重合，∠1＝60°，AB ＝2，解直角三角形得MN ＝433，正确；B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM＝ 3 或33，错误；C、若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确；D、l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确．选B．同类题型：3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），∴AD＝AO＝2，连接CD ，设EF ＝x ，∴DE 2 ＝EF ﹒OE ，∵CF ＝1，∴DE ＝x (x ＋2) ，∵△CDE ∽△AOE ，∴CD AO ＝CE AE， 即12＝x ＋12＋x (x ＋2)， 解得x ＝23， S △ABE ＝BE ×AO 2＝2×(23＋1＋2)2＝113． 同类题型：3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝kx ＋4 3 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB ＝30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12解：∵直线l ：y ＝kx ＋4 3 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4gh (3) ），∴OB ＝4 3 ，在RT △AOB 中，∠OAB ＝30°，∴OA ＝3OB ＝3×4 3 ＝12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM ＝12PA ， 设P （x ，0），∴PA ＝12－x ，∴⊙P 的半径PM ＝12PA ＝6－12x ， ∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．故选：A ．同类题型：3.3 已知AC ⊥BC 于C ，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，下列图形中⊙O 与△ABC 的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O 的半径为ab a ＋b的是（ ） A ． B ． C ． D ．解：设⊙O 的半径为r ，A 、∵⊙O 是△ABC 内切圆，∴S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）﹒r ＝12ab ， ∴r ＝ab a ＋b ＋c； B 、如图，连接OD ，则OD ＝OC ＝r ，OA ＝b －r ，∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ，即∠AOD ＝∠C ＝90°，∴△ADO ∽△ACB ，∴OA ：AB ＝OD ：BC ，即（b －r ）：c ＝r ：a ，解得：r ＝aba ＋c ；C 、连接OE ，OD ，∵AC 与BC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，∴∠OEB ＝∠ODC ＝∠C ＝90°，∴四边形ODCE 是矩形，∵OD ＝OE ，∴矩形ODCE 是正方形，∴EC ＝OD ＝r ，OE ∥AC ，∴OE ：AC ＝BE ：BC ，∴r ：b ＝（a －r ）：a ，∴r ＝aba ＋b ；D 、解：设AC 、BA 、BC 与⊙O 的切点分别为D 、F 、E ；连接OD 、OE ； ∵AC 、BE 是⊙O 的切线，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠DCE ＝90°；∴四边形ODCE 是矩形；∵OD ＝OE ，∴矩形ODCE 是正方形；即OE ＝OD ＝CD ＝r ，则AD ＝AF ＝b －r ；连接OB ，OF ，由勾股定理得：BF 2＝OB 2－OF 2 ，BE 2＝OB 2－OE 2 ，∵OB ＝OB ，OF ＝OE ，∴BF ＝BE ，则BA ＋AF ＝BC ＋CE ，c ＋b －r ＝a ＋r ，即r ＝c ＋b －a 2 ．故选C ．例4．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ，CD 分别相交于点G ，H ，则EF GH 的值为______________．解：如图，连接AC 、BD 、OF ，设⊙O 的半径是r ，则OF ＝r ，∵AO 是∠EAF 的平分线，∴∠OAF ＝60°÷2＝30°，∵OA ＝OF ，∴∠OFA ＝∠OAF ＝30°，∴∠COF ＝30°＋30°＝60°，∴FI=r ﹒sin60°=32r ， ∴EF=32r ×2= 3 r ， ∵AO ＝2OI ，∴OI ＝12 r ，CI ＝r －12r ＝12r ， ∴GH BD ＝CI CO ＝12， ∴GH ＝12BD ＝r ， ∴EF GH ＝3r r＝ 3 ． 同类题型：4.1如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作⊙M 的切线，切点为N ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，已知AE ＝5，CE ＝3，则DF 的长是_______________．解：延长EF ，过B 作直线平行AC 和EF 相交于P ，∵AE ＝5，EC ＝3，∴AO ＝CE ＋OE ，即有，OE ＝EN ＝1，又∵△DMN ∽△DEO ，且MN=13DM ， ∴DE ＝3OE ＝3，又∵OE ∥BP ，O 是DB 中点，所以E 也是中点，∴EP ＝DE ＝3，∴BP ＝2，又∵△EFC ∽△PFB ，相似比是3：2，∴EF=EP ×35＝1.8， 故可得DF ＝DE ＋EF ＝3＋1.8＝4.8．同类题型：4.2 如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．DE 的长B ．BC 的长 C ．23 DE 的长D ．32DE 的长解：如图，作直径CF ，连接BF ，在Rt △CBF 中，sin ∠F ＝BC CF ＝BC 2； ∵BD ＝2AD ，EC ＝2AE ，∴AD ：AB ＝AE ：AC ＝1：3，又∵∠EAD ＝∠CAB ，∴△EAD ∽△CAB ，∴BC ＝3DE ，∴sin ∠A ＝sin ∠F ＝BC 2＝3DE 2＝32DE ． 选D ．例5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连结BE ，BE ＝7 2 ．下列四个结论：①AC 平分∠DAB ；②PF 2 ＝PB ﹒PA ；③若BC ＝ 12OP ，则阴影部分的面积为74π－ 494 3 ；④若PC ＝24，则tan ∠PCB ＝ 34．其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③解：①连接O C ．∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OC A ．∵PC 是⊙O 的切线，AD ⊥CD ，∴∠OCP ＝∠D ＝90°，∴OC ∥A D ．∴∠CAD ＝∠OCA ＝∠OA C ．即AC 平分∠DA B ．故正确；②∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠PCB ＋∠ACD ＝90°，又∵∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∴∠CAB ＝∠CAD ＝∠PC B ．又∵∠ACE ＝∠BCE ，∠PFC ＝∠CAB ＋∠ACE ，∠PCF ＝∠PCB ＋∠BCE ．∴∠PFC ＝∠PCF ．∴PC ＝PF ，∵∠P 是公共角，∴△PCB ∽△PAC ，∴PC ：PA ＝PB ：PC ，∴PC 2 ＝PB ﹒PA ，即PF 2 ＝PB ﹒PA ；故正确；③连接AE ．∵∠ACE ＝∠BCE ，∴⌒AE ＝⌒BE ，∴AE ＝BE ．又∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°．∴AB=2BE=2×7 2 ＝14，∴OB ＝OC ＝7，∵PD 是切线，∴∠OCP ＝90°，∵BC ＝12OP ， ∴BC 是Rt △OCP 的中线，∴BC ＝OB ＝OC ，即△OBC 是等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴S △BOC ＝4943 ，S _(扇形BOC )＝(60)/(360)×π×7^(2)＝(49)/(6)π， ∴阴影部分的面积为496π－4943 ；故错误； ④∵△PCB ∽△PAC ，∴PB PC ＝BC AC， ∴tan ∠PCB ＝tan ∠PAC ＝BC AC ＝PB PC， 设PB ＝x ，则PA ＝x ＋14，∵PC 2 ＝PB ﹒PA ，∴242 ＝x （x ＋14），解得：x 1 ＝18，x 2 ＝－32，∴PB ＝18，∴tan ∠PCB ＝PB PC ＝1824＝34；故正确． 故选C ．同类题型：5.1 如图，在半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．解：∵扇形OAB 的圆心角为90°，扇形半径为2，∴扇形面积为：90π×22360＝π（cm 2 ）， 半圆面积为：12×π×12＝π2（cm 2 ）， ∴S Q ＋S M ＝S M ＋S P ＝π2（cm 2 ）， ∴S Q ＝S P ，连接AB ，OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD ＝∠BOD ＝45°，∴S 绿色＝S △AOD ＝12×2×1＝1(cm 2)， ∴阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB －S 半圆－S 绿色＝π－π2－1＝π2－1(cm 2)． 同类题型：5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F ，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若∠EOF ＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________．解：设⊙O 与矩形ABCD 的另一个交点为M ，连接OM 、OG ，则M 、O 、E 共线，由题意得：∠MOG ＝∠EOF ＝45°，∴∠FOG ＝90°，且OF ＝OG ＝1，∴S 透明区域＝180π×12360＋2×12×1×1＝π2＋1， 过O 作ON ⊥AD 于N ，∴ON ＝12FG ＝122 ， ∴AB ＝2ON ＝2×122＝ 2 ， ∴S 矩形＝2×2＝22， ∴S 透光区域S 矩形＝π2＋122＝2(π＋2)8． 同类题型：5.3 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2π3B ．2 3－ π3C ．2 3－ 2π3D ．4 3－ 2π3解：连接OO ′，BO ′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO ′＝60°，∴△OAO ′是等边三角形，∴∠AOO ′＝60°，∵∠AOB ＝120°，∴∠O ′OB ＝60°，∴△OO ′B 是等边三角形，∴∠AO ′B ＝120°，∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠B ′O ′B ＝120°， ∴∠O ′B ′B ＝∠O ′BB ′＝30°，∴图中阴影部分的面积＝S △B ′O ′B －（S 扇形O ′OB －S △OO ′B ）＝12×1×23－（60﹒π×22360－12×2×3）＝23－2π3． 选C ．同类题型：5.4 如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1 和半圆O 2 ，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF ＝2（EF 与AB 在圆心O 1 和O 2 的同侧），则由⌒AE ，EF ，⌒FB ，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______．解：连接O 1O 2 ，O 1 E ，O 2 F ，则四边形O 1O 2 FE 是等腰梯形，过E 作EG ⊥O 1O 2 ，过FH ⊥O 1O 2 ，∴四边形EGHF 是矩形，∴GH ＝EF ＝2，∴O 1G ＝12， ∵O 1 E ＝1，∴GE ＝32， ∴O 1G O 1E ＝12； ∴∠O 1 EG ＝30°，∴∠AO 1 E ＝30°，同理∠BO 2 F ＝30°，53 4－π6．∴阴影部分的面积＝S矩形ABO2O1－2S扇形AO1E－S梯形EFO2O1＝3－。

2019 年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1.（2019 年ft东省滨州市）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．2.（2019 年ft东省德州市）如图，点O 为线段BC 的中点，点A，C，D 到点O 的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC 的度数是（）A. 130 ∘B. 140 ∘C. 150 ∘D. 160 ∘【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．3.（2019 年ft东省菏泽市）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD，AD 分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A 成立；∴AD⊥OC，选项B 成立；∴AF＝FD，选项D 成立；∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立；故选：C．4.（2019 年四川省资阳市）如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．2 3 ⏜ ⏜5. （2019 年广西贵港市）如图，AD 是⊙O 的直径，AB =CD ，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是（）A. 40 ∘B. 50 ∘C. 60 ∘D. 70 ∘【考点】圆周角定理【解答】解：∵=，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴∠BPC= ∠BOC=50°， 故选：B ．6. （2019 年湖北省十堰市） 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交 CB 的延长线于点 E ，若 BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝ 13，则AE ＝（ ） A ．3B ．3C ．4D ．2【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理【解答】解：连接 AC ，如图，∵BA 平分∠DBE ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA ，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA ，∴AC ＝AD ＝5，∵AE ⊥CB ，3∴∠AEC＝90°，= 52‒ ( 13)2＝2 3．∴AE＝故选：D．7.（2019 年陕西省）如图，AB 是⊙O 的直径，EF、EB 是⊙O 的弦，且EF＝EB，EF 与AB 交于点C，连接OF．若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】圆内有关性质【解答】连接FB，得到FOB＝140°；∴∠FEB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°8.（2019 年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（）A.6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm【考点】垂径定理的应用【解答】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，∵AB=8，CD⊥AB，∴AD=4,点O、D、C 三点共线,AC2 ‒C E2∵CD=2，∴OD=r-2，在Rt△ADO 中，∵AO2=AD2+OD2，,即r2=42+（r-2）2，解得：r=5，故答案为：B.9.（2019 年甘肃省天水市）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【考点】菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D＝80°，1 1∴∠ACB＝2∠DCB＝2（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10.（2019 年甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【考点】圆周角定理【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．11.（2019 年湖北省襄阳市）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分OB 【考点】圆内有关性质【解答】解：∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD 中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP 中，AP＝OP，所以A 选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C 选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP 为△ACD 的中位线，∴CD＝2OP，所以 B 选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC 平分OB，所以D 选项的结论正确．故选：A．12.（2019 年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C 均在⊙O 上，当∠OBC＝40°时，∠A 的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．13.（2019 年甘肃省武威市）如图，点A，B，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【考点】圆周角定理【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB 的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．14.（2019 年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以BC为直径作半圆，交AB 于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．4﹣πC．D．2【考点】圆周角定理【解答】解：连接CD，∵BC 是半圆的直径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，∴△ACB 是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴阴影部分的面积＝×2 2 ＝2，故选：D．15.（2019 年内蒙古赤峰市）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，点D 是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆内有关性质【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．16.（2019 年西藏）如图，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB 于D，点E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB 等于（）A.1B．C．2 D．2【考点】勾股定理、垂径定理、圆周角定理【解答】解：∵半径OC⊥弦AB 于点D，∴＝，∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB 是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，则半径OB 等于：＝．故选：B．17.（2019 年海南省）如图，直线l1∥l2，点A 在直线l1 上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C 两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1 的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【考点】圆内有关性质【解答】解：∵点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2 于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．二、填空题1.（2019 年ft东省德州市）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD，垂足为⏜⏜E，= ，CE=1，AB=6，则弦AF 的长度为．【考点】圆周角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理【解答】解：连接OA、OB，OB 交AF 于G，如图，∵AB⊥CD，1∴AE=BE=2AB=3，设⊙O 的半径为r，则OE=r-1，OA=r，在Rt△OAE 中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，∵= ，∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG 中，AG2+OG2=52，①在Rt△ABG 中，AG2+（5-OG）2=62，②24解由①②组成的方程组得到AG= 5 ，48 48∴AF=2AG= 5 ．故答案为 5 ．⏜2.（2019 年湖北省随州市）如图，点A，B，C 在⊙O 上，点C 在优弧AB上，若∠OBA=50°，则∠C 的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．3.（2019 年黑龙江省伊春市）如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC，点D 在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB 的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．4.（2019 年江苏省泰州市）如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP＝3,过点A 作AP 的垂线交于⊙O 点B、C.设PB=x,PC=y,则y 与x 的函数表达式为．【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质【解答】如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点N，连接 BN，∵PN 是直径，∴∠PBN=90°.∵AP⊥BC,∴∠PAC =90°，∴∠PBN=∠PAC，又∵∠PNB=∠PCA，∴△PBN∽△PAC，PB PN∴ PA = PC ,x 10∴ 3 = y30∴y= x .30故答案为：y= x .三、解答题1.（2019 年上海市）已知：如图，AB、AC 是⊙O 的两条弦，且AB＝AC，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E，联结CD 并延长交⊙O 于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC 是菱形．【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，∵AB、AC 是⊙O 的两条弦，且AB＝AC，∴A 在BC 的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OD，∴O 在BC 的垂直平分线上，∴AO 垂直平分BC，C D E F O ∴BD ＝CD ；（2）如图 2，连接 OB ，∵AB 2＝AO •AD ，=∴AOAB ， ∵∠BAO ＝∠DAB ，∴△ABO ∽△ADB ，∴∠OBA ＝∠ADB ，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∴∠OAB ＝∠BDA ，∴AB ＝BD ，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC ＝BD ＝CD ，∴四边形 ABDC 是菱形．2. （2019 年江苏省苏州市）如图，AE 为 O 的直径，D 是弧 BC 的中点 BC 与 AD ，OD 分别交于点 E ，F .（1） 求证： DO ∥AC ；（2） 求证： DE ⋅ DA = DC 2 ;（3） 若 tan ∠CAD = 1,求sin ∠CDA 的值. 2A B【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数【解答】（1）证明：∵D 为弧 BC 的中点，OD 为 O 的半径∴ OD ⊥BC又∵AB 为 O 的直径∴ ∠ACB = 90︒∴ AC ∥OD（2） 证明：∵D 为弧 BC 的中点∴ CD = B D ∴ ∠DCB = ∠DAC∴ ∆DCE ∽∆DAC∴ DC = DE DA DC即 DE ⋅ DA = DC 2（3） 解：∵ ∆DCE ∽∆DAC ， tan ∠CAD = 12∴ CD = DE = CE = 1 DA DC AC 2设 CD = 2a ，则 DE = a ， DA = 4a又∵ AC ∥OD∴ ∆AEC ∽DEF∴ CE = AE = 3 EF DE所以 BC = 8 CE3又 AC = 2CE∴ AB = 10 CE3即sin ∠CDA = sin ∠CBA = CA = 3AB 53. （2019 年河南省）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 交AC 于点 D ，点 E 是上不与点 B ，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F ，连接 BE 并延长交 AC 于点 G ．（1） 求证：△ADF ≌△BDG ；（2） 填空： ①若 AB ＝4，且点 E 是的中点，则 DF 的长为 ； ②取的中点 H ，当∠EAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形．2【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值【解答】解：（1）证明：如图 1，∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝45°∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，∴∠DAF +∠BGD ＝∠DBG +∠BGD ＝90°∴∠DAF ＝∠DBG∵∠ABD +∠BAC ＝90°∴∠ABD ＝∠BAC ＝45°∴AD ＝BD∴△ADF ≌△BDG （ASA ）；（2）①如图 2，过 F 作 FH ⊥AB 于 H ，∵点 E 是的中点，∴∠BAE ＝∠DAE∵FD ⊥AD ，FH ⊥AB∴FH ＝FD∵＝sin ∠ABD ＝sin45°＝ ，∴ ，即 BF ＝ FD ∵AB ＝4，∴BD ＝4cos45°＝2，即 BF +FD ＝2 ，（ +1）FD ＝2 ∴FD ＝＝4﹣ 故答案为 ．②连接 OE ，EH ，∵点 H 是的中点， ∴OH ⊥AE ，∵∠AEB＝90°∴BE⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH 为菱形，∴BE＝OH＝OB＝AB∴sin∠EAB＝＝∴∠EAB＝30°．故答案为：30°4.(2019 年浙江省温州市)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点E 在BC 边上，且CA＝CE，过A，C，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F，作直径AD，连结DE 并延长交AB 于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG 是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB 时，求⊙O 的直径长．【考点】三角形的外接圆与外心、平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF 是⊙O 的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG 是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF 中，AF＝10，AC＝6，∴CF＝＝3 ，即⊙O 的直径长为3 ．5.（2019 年湖北省宜昌市）已知：在矩形ABCD 中，E，F 分别是边AB，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H，以EF 为直径作半圆O．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当＝时，tan∠AEF 的值是；（2）如图1，在△EFH 中，当FE＝FH 时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM＝FE，连接EM 交DC 于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF 的值．【考点】圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数【解答】解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O 为EF 中点，∴AO＝EF，∴点A 在⊙O 上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF 交HD 的延长线于点G，∵F 分别是边AD 上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M 作MQ⊥AD 于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM 为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．AC＝2 ，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【考点】圆内有关性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质【解答】解：（1）连接OA、OC，过O 作OH⊥AC 于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O 的半径为2．（2）证明：在BM 上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM 是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。