2014年高考数学题分类汇编 wen_函数与导数
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2014年全国各地高考试题分类汇编(理数)函数与导数(选择填空题)(2014安徽理数)6.设函数()f x ()x ∈R 满足()()πsin f x f x x +=+.当0x <π…时,则236f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭( )A .12 B C .0 D .12- 【解析】因为()()()()()2ππsin πsin sin f x f x x f x x x f x +=+++=+-=,所以()f x 的周期2πT =,又因为当0πx <…时,()0f x =,所以5π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭,即ππππsin 0666f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以π162f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以23πππ14π6662f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A .(2014北京理数)2.下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( )A .y =B .()21y x =- C .2x y -= D .()0.5log 1y x =+【解析】()21y x =-仅在[)1,+∞上为增函数,排除B ;122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为减函数,排除C ;因为0.5log t y =为减函数,1t x =+为增函数,所以()0.5log 1y x =+为减函数,排除D ;y =和1t x =+均为增函数,所以y =为增函数,故选A .(2014大纲理数)7.曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .1 【解析】因为()()111ee1e x x x y x x x ---'''=⋅+⋅=+,所以曲线在点()1,1处的切线斜率为21y x '==.故选C .(2014大纲理数)12.函数()y f x =的图像与函数()y g x =的图像关于直线0x y +=对称,则()y f x =的反函数是( )A .()y gx = B .()y g x =- C .()y g x =- D .()y g x =--【解析】因为()y g x =关于0x y +=对称的函数为()x g y -=-,即()1y g x -=--,所以()()1y f x g x -==--,对换x ,y 位置关系得:()1x y y -=--,反解该函数得()y g x =--,所以()y f x =的反函数为()y g x =--.故选D .(2014福建理数)4.若函数log a y x =()0,1a a >≠且的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )【解析】由题图可知log a y x =过点()3,1,所以log 31a =,即3a =.A 项,13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数,错误;B 项,3y x =符合;C 项,3y x =-在R 上为减函数,错误;D 项,()3log y x =-在(),0-∞上为减函数,错误.故选B .(2014福建理数)7.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…,则下列结论正确的是( )A .()f x 是偶函数B .()f x 是增函数C .()f x 是周期函数D .()f x 的值域为[)+∞-,1 【解析】作出()f x 的图像如图所示,可排除A ,B ,C ,故D 正确.(2014福建理数)14.如图所示,在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .【解析】因为e x y =与ln y x =互为反函数,故直线yx =两侧的阴影部分面积相等,只需计算其中一部分即可.如图,110101e d e e e e 10xxS x ===-=-⎰.所以()()1=2=2e 1=2e e 1=2S S S ⨯---⎡⎤⎣⎦阴影总阴影,故所求概率为22e P =.xAB .x-a(2014广东理数)10.曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为 . 【解析】55e x y -'=-,曲线在点()0,3处切线斜率05x k y ='==-,故切线方程为()350y x -=--,即530x y +-=.(2014湖北理数)6.若函数()(),f x g x 满足()()1d =01f x g x x -⎰,则称()(),f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数,给出三组函数:①()()11sin,cos 22f x xg x x ==;②()()1,1f x x g x x =+=-;③()()2,f x x g x x ==.其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3【解析】由①得()()111sin cos sin 222f xg x x x x ==,是奇函数,所以()()11d 0f x g x x -=⎰,所以①为区间[]1,1-上正交函数;由②得()()21f x g x x =-,所以()()()31121114d 1d 133x f x g x x x x x --⎛⎫=-=-=- ⎪-⎝⎭⎰⎰,所以②不是区间[]1,1-上的正交函数;由③得()()3f x g x x =,是奇函数,所以()()11d 0f x g x x -=⎰,所以①为区间[]1,1-上的正交函数. 故选C .(2014湖北理数)14.设()f x 是定义在()0,+∞上的函数,且()0f x >,对任意0,0a b >>,若经过点()()()(),,,a f a b f b -的直线与x 轴的交点(),0c ,则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数,记为(),fM a b ,例如,当()()10f x x =>时,可得(),2f a bM a b c +==,即(),f M a b 为b a ,的算术平均数. (1)当()()_____0f x x =>时,(),f M a b 为b a ,的几何平均数; (2)当()()_____0f x x =>时,(),f M a b 为b a ,的调和平均数ba ab+2; (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)【解析】(1)若(),f M a b 是a ,b的几何平均数,则c ()(),a f a,),()(),b f b -共线,00f a f b -+=f a f b=,所以可取()f x(2)若(),f M a b 是a ,b 的调和平均数,则2ab c a b =+,由题意知()(),a f a ,2,0ab a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭,()(),b f b -共线,所以()()22f x f b ab ab a ba b a b=--++,化简得()()f a f b a b =,所以可取()f x x =.(2014湖南理数)3.若()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且()()321f x g x x x -=++,则()()11f g +=( )A .3-B .1-C . 1D . 3 【解析】解法一:因为()()321f x g x x x -=++,所以()()321f x g x x x ---=-++,又由题意可知()()f x f x -=,()()g x g x -=-,所以()()321f x g x x x +=-++,则()()111f g +=,故选C .解法二:令()21f x x =+,()3g x x =-,显然符合题意,所以()()23111111f g +=+-=. 选C .(2014湖南理数)9.已知函数()()sin f x x ϕ=-,且()230d 0f x x π=⎰,则函数()f x 的图像的一条对称轴是( ) A .6x 5π=B .12x 7π=C .3x π=D .6x π= 【解析】由()()sin f x x ϕ=-,知函数()f x 的最小正周期为2π,且()230f x dx π=⎰,则点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数的对称中心,因此对称轴为56x k π=π+,k ∈Z .令0k =,则6x 5π=.故选A . (2014湖南理数)10.已知函数()21e 2xf x x =+-()0x <与()()2lng x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A.⎛-∞ ⎝ B.(-∞ C.⎛ ⎝ D.⎛⎝【解析】依题意,()()f x g x -=在0x >上有解,即()221e ln 2xx x x a -+-=++,得()1e ln 2x x a --=+,令()1e2xp x --=,()()ln q x x a =+,0x >,()10ln 2q a =<,得0a <<0a <时,()q x 的图像是将ln y x =的图像向右平移a 各单位而得,满足()()p x q x =在0x >上有解,所以a <B .(2014江苏)10.已知函数()21f x x mx =+-,若对于任意[],1x m m ∈+,都有()0f x <成立,则实数m 的取值范围是 .【解析】要满足()210f x x mx =+-<对于任意[],1x m m ∈+恒成立,只需()()0,10,f m f m ⎧<⎪⎨+<⎪⎩即()()22210,1110,m m m m ⎧-<⎪⎨+++-<⎪⎩解得0m <<.(2014江苏)11.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x=+(,a b 为常数)过点()2,5P -,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行,则a b +的值是 .【解析】因为2b y ax x =+,所以22b y ax x '=-,由题意可得45,274,42b a b a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ 所以3a b +=-.(2014江苏)13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[)0,3x ∈时,()2122f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 . 【解析】当[)0,3x ∈时,()()22112122f x x x x =-+=--,由()f x 是周期为3的函数,作出()f x 在[]3,4-上的图像,如图.由题意知方程()a f x =在[]3,4-上有10个不同的根.由图可知10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(2014江西理数)2.函数()()2ln f x x x =-的定义域为( )A .()0,1B .[]0,1C .()(),01,-∞+∞ D . (][),01,-∞+∞【解析】要使函数有意义,需满足20x x ->,解得0x <或1x >,故选C .(2014江西理数)3.已知函数()5xf x =,()2g x ax x =-()a ∈R .若()11f g =⎡⎤⎣⎦,则a =( )A .1B . 2C .3D . 1- 【解析】由已知条件可知:()()11151a f g f a -=-==⎡⎤⎣⎦,所以10a -=,得1a =.故选A .(2014江西理数)8.若()()122d f x x f x x =+⎰,则()1d f x x =⎰( )A .1-B .13- C .13 D .1【解析】设1()f x dx a =⎰,则2()f x x a =+,得()1220()2f x x x a dx =++⎰32223x x ax C ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1222423x a x a =++=+,所以13a =.故选B .(2014江西理数)13.若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是 . 【解析】令()e x f x -=,则()e x f x -'=-.令()00,P x y ,则()00e 2x f x -'=-=-,解得0ln 2x =-,所以ln20e e 2x y -=-==,所以点P 的坐标为()ln 2,2-.(2014辽宁理数)3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 【解析】由指数函数及对数函数的单调性易知13021-<<,221log log 103<=,112211log log 132>=,故选C .(2014辽宁理数)11.当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++…恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[]5,3-- B .96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .[]6,2--D .[]4,3-- 【解析】由题意知[]2,1x ∀∈-都有32430ax x x -++…,即3243ax x x --…在[]2,1x ∈-上恒成立.当0x =时,a ∈R .当01x <…时,233243341x x a x x x x--=--+….令()11t t x =…,()3234g t t t t =--+, 因为()()298101g't t t t =--+<…,所以()g t 在[)1,+∞上单调递减,()()()max 161g t g t ==-…, 所以6a -….当20x -<剎时,32341a x x x --+…,同理,()g t 在(],1-∞-上递减,在11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上递增. 因此()()min 1122g t g t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭…,所以2a -….综上62a--剟,故选C .(2014辽宁理数)12.已知定义在[]0,1上的函数()f x 满足:① ()()010f f ==;② 对所有[],0,1x y ∈,且x y ≠,有()()12f x f y x y -<-.若对所有[],0,1x y ∈,()()f x f y k -<恒成立,则k 的最小值为( )A .12 B .14C .12π D .18【解析】当x y =时,()()0f x f y -=.当x y ≠时,当12x y -…时,依题意有()()1124f x f y x y -<-…;当12x y ->时,不妨设x y <,依题意有()()()()()()01f x f y f x f f f y -=-+-()()()()()111101012222f x f f f y x y y x -+-<-+-=--…,又12y x ->, 所以()()11112224f x f y -<-⨯=.综上所述,对所有[],0,1x y ∈,都有()()14f x f y -<.因此,14k …,即k 的最小值为14.故选B .(2014辽宁理数)14.正方形的四个顶点()1,1A --,()1,1B -,()1,1C ,()1,1D -,分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是 .【解析】由对称性可知122310018=42433ABCD S S x dx x ⎛⎫-=-⨯= ⎪⎝⎭⎰阴影正方形,所以所求概率为82343=. (2014山东理数)3.函数()f x =的定义域为( )A .102⎛⎫ ⎪⎝⎭, B .()2+∞,C .()102,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭, D .[)1022⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦,,【解析】要使函数()f x 有意义,需使()22log 10x ->,即()22l o g1x >,所以2log 1x >或2log 1x <-.解之得2x >或102x <<.故()f x 的定义域为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2014山东理数)5.已知实数y x ,满足()01xya aa <<<,则下列关系式恒成立的是( )A .111122+>+y x B .()()22ln 1ln 1x y +>+ C . y x sin sin > D . 33y x > 【解析】因为x ya a <,01a <<,所以x y >,所以33x y >.(2014山东理数)6.直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .22 B .24 C .2 D .4【解析】由34,y x y x =⎧⎨=⎩得0x =或2x =或2x =-(舍).所以()232402142404S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. (2014山东理数)8.已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则k22x取值范围是( )A .102⎛⎫ ⎪⎝⎭, B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .()1,2D .()2+∞, 【解析】()1,2,3, 2.x x f x x x -⎧=⎨-<⎩…如图,作出()y f x =的图像,其中()2,1A ,则12OA k =.要使方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则函数()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点,由图可知,112k <<.(2014山东理数)15.已知函数()()y f x x =∈R ,对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足:对任意x I ∈,两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称,若()h x 是()g x =()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .【解析】函数()g x =2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意0x I ∈,都有()()()0002h x g x f x +=,即()()00,x f x 是点()()00,x h x 和点()()00,x g x 的中点,又()()h x g x >恒成立,所以直线()3f x x b =+与半圆()g x =0b >.即0,2,b >⎧>解之得b >b 的取值范围为()+∞.(2014陕西理数)3.定积分()12e d 0xx x +⎰的值为( ) A .e 2+ B .e 1+ C .e D .e 1- 【解析】()111002e d 1e 1e x x+=+-=⎰,故选C .(2014陕西理数)7.下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )A .()12f x x = B .()3f x x = C .()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .()3x f x =【解析】因为()()()f x y f x f y +=,所以()f x 为指数函数模型,排除A ,B ;又因为()f x 为单调递增函数,所以排除C ,故选D .(2014陕西理数)10.如图所示,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A .3131255y x x =-B .3241255y x x =-C .33125y x x =-D .3311255y x x =-+【解析】根据题意,所求函数在()5,5-上单调递减.对于A ,3131255y x x =-,所以()22133251255125y x x '=-=-,所以()5,5x ∀∈-,0y '<,所以3131255y x x =-在()5,5-内为减函数,同理可研究B ,C ,D 均不满足此条件,故选A .(2014陕西理数)11.已知42,lg a x a ==,则x =_______. 【解析】因为12424a==,所以12a =,所以1lg 2x =,即x = (2014四川理数)9.已知()()()ln 1ln 1f x x x =+--,()1,1x ∈-.现有下列命题:①()()f x f x -=-;②()2221x f f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭;③()2f x x ….其中的所有正确命题的序号是( ) A .①②③ B .②③ C .①③ D .①②【解析】()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x -=--+=-+--=-⎡⎤⎣⎦,①正确,()()222222211222ln 1ln 1ln ln 11111x x x x x f x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因为()1,1x ∈-,所以()()()()()222ln 12ln 12ln 1ln 121x f x x x x f x x ⎛⎫=+--=+--=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭,②正确.当[)0,1x ∈时,()()()1ln 1ln 1ln 1x f x x x x +=+--=-,22x x =,令()1l n 21xg x x x +=--,则()22201x g x x '=-…,所以()g x 在[)0,1上为增函数,所以()()00g x g =…,即()2f x x >>;当()1,0x ∈-时,()()()1ln 1ln 1ln 1x f x x x x +=--+=--,22x x =-,令()12l n 1xh x x x +=--,则()22201x h x x-'=<-,所以()h x在()1,0-上为减函数,所以()0h x >,即()2f x x >>.所以当()1,1x ∈-时,()2f x x …,③正确.故选A (2014四川理数)12.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[)1,1x ∈-时,()242,10, 01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩…剎,则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【解析】2311124212222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=-⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2014天津理数)4.函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是( )A .()0,+¥B .(),0-¥C .()2,+?D .(),2-?【解析】由240x ->得2x <-或2x >.又12log y u =为减函数,故()f x 的单调递增区间为(),2-∞-.故选D(2014天津理数)14.已知函数()23f x x x =+,x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为__________.【解析】首先作函数()23f x x x =+的图像,如图所示,(将抛物线()23f x x x =+在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴上方,原x 轴上方的图像不变).其次要将方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根, 等价转化为曲线()y f x =与折线1y a x =-恰有4个不同的公共点.最后结合图像,可将折线与曲线()y f x =有公共点的情况分类讨论:① 当0a ≤时,()y f x =与1y a x =-最多有2个公共点,不符合题意;② 当0a >时,又可分为折线1y a x =-左半支与曲线()y f x =有4个公共点.和折线1y a x =-左、右半支分别与曲线()y f x =有2个不同的公共点.如图所示,当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点1P 时,即方程()()231x x a x -+=--的10∆=,整理得,()230x a x a +-+=,所以()2134a a ∆=--2109a a =-+()()190a a =--=,解得1a =或9a =(舍).要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根,则需01a <<.当折线1y a x =-的左半支与曲线()y f x =相切于点2P 时,即方程()231x x a x +=-的20∆=,整理得,()230x a x a +-+=,所以()22340a a ∆=--=,解得1a =(舍)或9a =要使()1f x a x =-恰有4个互异的实数根,则需9a >.故实数a 的取值范围为()()0,19,+∞.(2014新课标1理数)3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是( )A .)()(x g x f 是偶函数B .)()(x g x f 是奇函数C .)()(x g x f 是奇函数D .)()(x g x f 是奇函数 【解析】由题意可知()()f x f x -=-,()()g x g x -=,对于选项A ,()()f x g x -⋅-=()()f x g x --,所以()()f x g x 是奇函数,故A 项错误;对于选项B ,()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=,所以()()f x g x 是偶函数,故B 项错误;对于选项C ,()()()()f x g x f x g x --=-,所以()()f x g x 是奇函数,故C 项正确;对于选项D ,()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=,所以()()f x g x 是偶函数,故D 项错误.选C .(2014新课标1理数)11.已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为( )A .()+∞,2B .()2,-∞-C .()+∞,1D .()1,-∞-【解析】当0a =时,显然()f x 有两个零点,不符合题意.当0a ≠时,()236f x ax x '=-,令()0f x '=,解得10x =,22x a =.当0a >时20a >,所以函数()3231f x ax x =-+在(),0-∞与2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数,因为()f x 存在唯一零点0x ,且00x >,则()00f <,即10<,不成立.当0a <时,20a <,所以函数()3231f x ax x =-+在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,+∞上为减函数,在2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为赠函数,因为()f x 存在唯一零点0x ,且00x >,则20f a ⎛⎫>⎪⎝⎭,即3284310a a a ⋅-⋅+>,解得2a >或2a <-,又因为0a <,故a 的取值范围为(),2-∞-.故选C .(2014新课标2理数)8.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =,则a =( ) A .0 B .1 C .2 D . 3 【解析】11y a x '=-+,0x =时,12y a '=-=,所以3a =,故选D .x(2014新课标2理数)12.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦,则m 的取值范围是( )A .()(),66,-∞-+∞B .()(),44,-∞-+∞C .()(),22,-∞-+∞D .()(),11,-∞-+∞【解析】()πxf x m'=,所以()f x 得极值点为0x ,所以()0f x '=0π0x m =, 所以0πππ,2x k k m =+∈Z ,所以0m ,2x mk k =+∈Z ,又因为()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦,所以222m ππ22mk k m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ,k ∈Z ,即222132m k m ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,k ∈Z ,因为0m ≠,所以222132m k m -⎛⎫+< ⎪⎝⎭,k ∈Z ,又因为存在0x 满足()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦,即存在k ∈Z 满足上式, 所以222min312m k m ⎡⎤-⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以222312m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以2234m m ->,所以24m >,所以2m >或2m <-,故选C . (2014新课标2理数)15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减,()20f =.若()10f x ->,则x 的取值范围是 .【解析】因为()20f =,()10f x ->,所以()()12f x f ->,又因为()f x 是偶函数且在[)0,+∞上单调递减, 所以()()12f x f ->,所以12x -<,所以212x -<-<,所以13x -<<,所以()1,3x ∈-.(2014浙江理数)6.已知函数()32f x x ax bx c =+++,且()()()01233f f f <-=-=-…,则( )A .3c …B .36c <…C .69c <…D . 9c >【解析】由()()()()12,13f f f f -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩得37,413,a b a b -=⎧⎨-=⎩解得6,11.a b =⎧⎨=⎩则有()()12f f -=-=()3f - 6c =-,由()013,f <-…得69c <….故选C .(2014浙江理数)7.在同一直角坐标系中,函数()()()0,log aa f x xx g x x ==…的图像可能是( )A .B .C .D .【解析】因为0a >,所以()a f x x =在()0,+∞上为增函数,故A 错.在B 中,由()f x 的图像知1a >,由()g x 的图像知01a <<,矛盾,故B 错.在C 中,由()f x 的图像知01a <<,由()g x 的图像知1a >,矛盾,故C错.在D 中,由()f x 的图像知01a <<,由()g x 的图像知01a <<,相符,故选D .(2014浙江理数)10.设函数()21f x x =,()()222f x x x =-,()31sin 2π3f x x =,,0,1,2,,9999i ia i ==.记()()()()()()10219998k k k k k k k f a f a f a f a f a f a I =-+-++-,1,2,3k =.则( )A .123I I I <<B .213I I I <<C .132I I I <<D .321I I I << 【解析】[]0,1i a ∈ ,且0199a a a <<<,而()1f x 在[]0,1上为增函数,故有()()()1011199f a f a f a <<<,则()()()()111101211I f a f a f a f a =⎡-⎤+⎡-⎤++⎣⎦⎣⎦()()()()()()1991981991011101f a f a f a f a f f ⎡-⎤=-=-=⎣⎦.()2f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,而495012a a <<,且49501a a +=,即有()()249250f a f a =,故()()()()()()22120250249250251I f a f a f a f a f a f a =⎡-⎤++⎡-⎤+⎡-⎤++⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()29829925020250299f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤=-+-=⎣⎦()()2225020199f f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭()224950*********,199999999⨯⨯⨯==-∈.()3f x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,在3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数,即()3f x 在[]024,a a 上为增函数,在[]2549,a a 上为减函数.在[]5074,a a 上为增函数,在[]7599,a a 上为减函数.又()324148148sin πsin π399399f a =⋅=,()325150149sin πsin π399399f a =⋅=,则()()()3253243491981πsin πsin 399399f a f a f a >=⋅=,()35011001πsin πsin 399399f a =⋅=,即有()()349350f a f a =. ()3741148149sinπsin π399399f a =⋅=,()()3753741150151148πsin πsin π=sin 399399399f a f a =⋅=<.故有()()()()3031324325f a f a f a f a <<<<,()()()()325326349350f a f a f a f a >>>=,()()()350351374f a f a f a <<<,()()()374375399f a f a f a >>>.从而3I =()()()(){}()()()(){}3130325324325326349350f a f a f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤++⎡-⎤+⎡-⎤++⎡-⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()(){}374375398399f af a f a f a ⎡-⎤++⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()32530325350374350374399f a f a f a f a f a f a f a f a ⎡-⎤+⎡-⎤+⎡-⎤+⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()3253503743039923f a f a f a f a f a -+--=250π2100π2148πsin sin sin 399399399-+=2492π249249πsin πsin sin π2sin π-sin 39939939939999⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.而495πsin πsin9912>=,ππsinsin 9912<=,则3213I >>⎝⎭.所以213I I I <<.故选C (2014浙江理数)15.设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩…,若()()2f f a …,则实数a 的取值范围是 .【解析】当0a …时,()20f a a =-…,又()00f =,故由()()()2422f f a f a a a =-=-…,得22a …,所以0a剟当10a -<<时,()()210f a a a a a =+=+<,则由()()()()()22222f f a f a a a a aa =+=+++…,得210a a +-…,得a ,则有10a -<<.当1a -…时,()()210f a a a a a =+=+…,则由()()()()2222f f a f a a a a =+=-+…,得a ∈R ,故1a -….综上,a 的取值范围为(-∞.(2014重庆理数)12.函数())2log 2f x x =的最小值为_________.【解析】显然0x >,所以())()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅=()2221log log 42log 2x x ⋅+()22222111log log log 244x x x ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭….当且仅当x =时,有()min 14f x =-.。
2014高考函数与导数解答题汇编1.[2014·江西卷18] 已知函数f (x )=(x 2+bx +b )1-2x (b ∈R ). (1)当b =4时,求f (x )的极值;(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,13上单调递增,求b 的取值范围. 解:(1)当b =4时,f ′(x )=-5x (x +2)1-2x,由f ′(x )=0,得x =-2或x =0.所以当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-2,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,故f (x )在x =-2处取得极小值f (-2)=0,在x =0处取得极大值f (0)=4.(2)f ′(x )=-x [5x +(3b -2)]1-2x ,易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,-x1-2x<0, 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,有5x +(3b -2)≤0,从而53+(3b -2)≤0,得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,19.2.[2014·安徽卷18] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时 ,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 18.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3,x 2=-1+4+3a3,x 1<x 2,所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0; 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减,在⎝⎛⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增.(2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1.由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值. ②当0<a <4时,x 2<1.由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减, 所以f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值;当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值;当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值.3.[2014·北京卷18] 已知函数f (x )=x cos x -sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.(1)求证:f (x )≤0;(2)若a <sin xx <b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.18.解:(1)证明:由f (x )=x cos x -sin x 得f ′(x )=cos x -x sin x -cos x =-x sin x .因为在区间⎝⎛⎭⎫0,π2上f ′(x )=-x sin x <0,所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上单调递减.从而f (x )≤f (0)=0.(2)当x >0时,“sin x x >a ”等价于“sin x -ax >0”,“sin xx <b ”等价于“sin x -bx <0”.令g (x )=sin x -cx ,则g ′(x )=cos x -c .当c ≤0时,g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立.当c ≥1时,因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,g ′(x )=cos x -c <0,所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递减,从而g (x )<g (0)=0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立.当0<c <1时,存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2使得g ′(x 0)=cos x 0-c =0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0,π2上的情况如下:因为g (x )在区间(0,x 0)上是增函数,所以g (x 0)>g (0)=0.进一步,“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立”当且仅当g ⎝⎛⎭⎫π2=1-π2c ≥0,即0<c ≤2π.综上所述,当且仅当c ≤2π时,g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立;当且仅当c ≥1时,g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立.所以,若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1.4.[2014·福建卷20] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 20.解:方法一:(1)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x -a .又f ′(0)=1-a =-1,得a =2.所以f (x )=e x -2x ,f ′(x )=e x -2.令f ′(x )=0,得x =ln 2. 当x <ln 2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x >ln 2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.所以当x =ln 2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f (x )无极大值. (2)证明:令g (x )=e x -x 2,则g ′(x )=e x -2x . 由(1)得,g ′(x )=f (x )≥f (ln 2)=2-ln 4>0, 故g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0, 所以当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x .(3)证明:①若c ≥1,则e x ≤c e x .又由(2)知,当x >0时,x 2<e x . 故当x >0时,x 2<c e x .取x 0=0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .②若0<c <1,令k =1c >1,要使不等式x 2<c e x 成立,只要e x >kx 2成立.而要使e x >kx 2成立,则只要x >ln(kx 2),只要x >2ln x +ln k 成立. 令h (x )=x -2ln x -ln k ,则h ′(x )=1-2x =x -2x.所以当x >2时,h ′(x )>0,h (x )在(2,+∞)内单调递增.取x 0=16k >16,所以h (x )在(x 0,+∞)内单调递增.又h (x 0)=16k -2ln(16k )-ln k =8(k -ln 2)+3(k -ln k )+5k , 易知k >ln k ,k >ln 2,5k >0,所以h (x 0)>0. 即存在x 0=16c,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)对任意给定的正数c ,取x 0=4c ,由(2)知,当x >0时,e x>x 2,所以e x=e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22,当x >x 0时,e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22=1c x 2,因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)首先证明当x ∈(0,+∞)时,恒有13x 3<e x .证明如下:令h (x )=13x 3-e x ,则h ′(x )=x 2-e x .由(2)知,当x >0时,x 2<e x ,从而h ′(x )<0,h (x )在(0,+∞)上单调递减, 所以h (x )<h (0)=-1<0,即13x 3<e x .取x 0=3c ,当x >x 0时,有1c x 2<13x 3<e x .因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .5.[2014·湖北卷22] π为圆周率,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)求函数f (x )=ln xx 的单调区间;(2)求e 3,3e ,e π,πe ,,3π,π3这6个数中的最大数与最小数;(3)将e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.22.解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).因为f (x )=ln xx ,所以f ′(x )=1-ln x x 2.当f ′(x )>0,即0<x <e 时,函数f (x )单调递增; 当f ′(x )<0,即x >e 时,函数f (x )单调递减.故函数f (x )的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e ,+∞).(2)因为e<3<π,所以eln 3<eln π,πln e<πln 3,即ln 3e <ln πe ,ln e π<ln 3π. 于是根据函数y =ln x ,y =e x ,y =πx 在定义域上单调递增,可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中.由e<3<π及(1)的结论,得f (π)<f (3)<f (e),即ln ππ<ln 33<ln ee .由ln ππ<ln 33,得ln π3<ln3π,所以3π>π3;由ln 33<ln e e,得ln 3e <ln e 3,所以3e <e 3.综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e .(3)由(2)知,3e <πe <π3<3π,3e <e 3.又由(2)知,ln ππ<ln e e ,得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小.由(1)知,当0<x <e 时,f (x )<f (e)=1e ,即ln x x <1e.在上式中,令x =e 2π,又e 2π<e ,则ln e 2π<e π,从而2-ln π<e π,即得ln π>2-eπ.①由①得,eln π>e ⎝⎛⎭⎫2-e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2-2.723.1>2.7×(2-0.88)=3.024>3, 即eln π>3,亦即ln πe >ln e 3,所以e 3<πe .又由①得,3ln π>6-3eπ>6-e>π,即3ln π>π,所以e π<π3.综上可得,3e <e 3<πe <e π<π3<3π,即这6个数从小到大的顺序为3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π.6.[2014·湖南卷22] 已知常数a >0,函数f (x )=ln(1+ax )-2xx +2.(1)讨论f (x )在区间(0,+∞)上的单调性;(2)若f (x )存在两个极值点x 1,x 2,且f (x 1)+f (x 2)>0,求a 的取值范围.解:(1)f ′(x )=a1+ax -2(x +2)-2x (x +2)2=ax 2+4(a -1)(1+ax )(x +2)2.(*)当a ≥1时,f ′(x )>0,此时,f (x )在区间(0,+∞)上单调递增.当0<a <1时,由f ′(x )=0得x 1=21-a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2=-21-a a 舍去.当x ∈(0,x 1)时,f ′(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x )>0.故f (x )在区间(0,x 1)上单调递减,在区间(x 1,+∞)上单调递增.综上所述,当a ≥1时,f (x )在区间(0,+∞)上单调递增;当0<a <1时,f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0,21-a a 上单调递减,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21-a a ,+∞上单调递增.(2)由(*)式知,当a ≥1时,f ′(x )≥0,此时f (x )不存在极值点,因而要使得f (x )有两个极值点,必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1=21-a a 和x 2=-21-aa,且由f (x )的定义可知,x >-1a且x ≠-2,所以-21-a a >-1a ,-21-a a ≠-2,解得a ≠12.此时,由(*)式易知,x 1,x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点.而f (x 1)+f (x 2)=ln(1+ax 1)-2x 1x 1+2+ln(1+ax 2)-2x 2x 2+2=ln[1+a (x 1+x 2)+a 2x 1x 2]-4x 1x 2+4(x 1+x 2)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=ln(2a -1)2-4(a -1)2a -1=ln(2a -1)2+22a -1-2.令2a -1=x .由0<a <1且a ≠12知,当0<a <12时,-1<x <0;当12<a <1时,0<x <1. 记g (x )=ln x 2+2x-2.(i)当-1<x <0时,g (x )=2ln(-x )+2x -2,所以g ′(x )=2x -2x 2=2x -2x2<0,因此,g (x )在区间(-1,0)上单调递减, 从而g (x )<g (-1)=-4<0.故当0<a <12时,f (x 1)+f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时,g (x )=2ln x +2x -2,所以g ′(x )=2x -2x 2=2x -2x2<0,因此,g (x )在区间(0,1)上单调递减,从而g (x )>g (1)=0.故当12<a <1时,f (x 1)+f (x 2)>0.综上所述,满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12,1.7.[2014·江苏卷19] 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:f (x )是R 上的偶函数.(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 30+3x 0)成立.试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论.19.解: (1)证明:因为对任意 x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )是R 上的偶函数.(2)由条件知 m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.令 t =e x (x >0),则 t >1,所以 m ≤-t -1t 2-t +1=-1t -1+1t -1+ 1对任意 t >1成立.因为t -1+1t -1+ 1≥2(t -1)·1t - 1+1=3, 所以 -1t -1+1t -1+ 1≥-13,当且仅当 t =2, 即x = ln 2时等号成立.因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-13.(3)令函数 g (x )=e x +1e x - a (-x 3+3x ),则g ′ (x ) =e x -1ex +3a (x 2-1).当 x ≥1时,e x -1e x >0,x 2-1≥0.又a >0,故 g ′(x )>0,所以g (x )是[1,+∞)上的单调递增函数, 因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是 g (1)= e +e -1-2a .由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 30+ 3x 0 )<0 成立, 当且仅当最小值g (1)<0,故 e +e -1-2a <0, 即 a >e +e -12.令函数h (x ) = x -(e -1)ln x -1,则 h ′(x )=1-e -1x . 令 h ′(x )=0, 得x =e -1.当x ∈(0,e -1)时,h ′(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调递减函数;当x ∈(e -1,+∞)时,h ′(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调递增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0; 当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时, h (x )<h (e)=0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立. 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e +e-12,e ⊆(1,e)时, h (a )<0,即a -1<(e -1)ln a ,从而e a -1<a e -1;②当a =e 时,e a -1=a e -1;③当a ∈(e ,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a -1>(e -1)ln a ,故e a -1>a e -1.综上所述,当a ∈⎝⎛⎭⎫e +e -12,e 时,e a -1<a e -1;当a =e 时,e a -1=a e -1;当a ∈(e ,+∞)时,e a -1>a e -1.8.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x -4(1+sin x )ln⎝⎛⎭⎫3-2x π.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t 1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ). 由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.9.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )=a e xln x +b e x -1x,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =e(x -1)+2.(1)求a ,b ;(2)证明:f (x )>1.21.解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞), f ′(x )=a e x ln x +a x e x -b x 2e x -1+b xe x -1.由题意可得f (1)=2,f ′(1)=e ,故a =1,b =2.(2)证明:由(1)知,f (x )=e x ln x +2x e x -1,从而f (x )>1等价于x ln x >x e -x -2e.设函数g (x )=x ln x ,则g ′(x )=1+ln x ,所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1e 时,g ′(x )<0;当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ,+∞时,g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0,1e 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫1e ,+∞上单调递增,从而g (x )在(0,+∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e =-1e . 设函数h (x )=x e -x -2e ,则h ′(x )=e -x (1-x ).所以当x ∈(0,1)时,h ′(x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h (x )在(0,+∞)上的最大值为h (1)=-1e .因为g min (x )=g ⎝⎛⎭⎫1e =h (1)=h max (x ),所以当x >0时,g (x )>h (x ),即f (x )>1.10.、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=e x -e -x -2x . (1)讨论f (x )的单调性;(2)设g (x )=f (2x )-4bf (x ),当x >0时,g (x )>0,求b 的最大值; (3)已知1.414 2<2<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).21.解:(1)f ′(x )=e x +e -x -2≥0,当且仅当x =0时,等号成立, 所以f (x )在(-∞,+∞)上单调递增.(2)g (x )=f (2x )-4bf (x )=e 2x -e -2x -4b (e x -e -x )+(8b -4)x ,g ′(x )=2[e 2x +e -2x -2b (e x +e -x )+(4b -2)]=2(e x +e -x -2)(e x +e -x -2b +2).(i)当b ≤2时,g ′(x )≥0,等号仅当x =0时成立,所以g (x )在(-∞,+∞)上单调递增.而g (0)=0,所以对任意x >0,g (x )>0.(ii)当b >2时,若x 满足2<e x +e -x <2b -2,即0<x <ln(b -1+b 2-2b )时,g ′(x )<0.而g (0)=0,因此当0<x <ln(b -1+b 2-2b )时,g (x )<0.综上,b 的最大值为2.(3)由(2)知,g (ln 2)=32-22b +2(2b -1)ln 2.当b =2时,g (ln 2)=32-42+6ln 2>0,ln 2>82-312>0.692 8;当b =324+1时,ln(b -1+b 2-2b )=ln 2,g (ln 2)=-32-22+(32+2)ln 2<0,ln 2<18+228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.11.、[2014·全国卷] 函数f (x )=ln(x +1)-axx +a (a >1).(1)讨论f (x )的单调性;(2)设a 1=1,a n +1=ln(a n +1),证明:2n +2<a n ≤3n +2.22.解:(1)易知f (x )的定义域为(-1,+∞),f ′(x )=x [x -(a 2-2a )](x +1)(x +a )2.(i)当1<a <2时,若x ∈(-1,a 2-2a ),则f ′(x )>0,所以f (x )在(-1,a 2-2a )是增函数; 若x ∈(a 2-2a ,0),则f ′(x )<0,所以f (x )在(a 2-2a ,0)是减函数; 若x ∈(0,+∞),则f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)是增函数.(ii)当a =2时,若f ′(x )≥0,f ′(x )=0成立当且仅当x =0,所以f (x )在(-1,+∞)是增函数. (iii)当a >2时,若x ∈(-1,0),则f ′(x )>0,所以f (x )在(-1,0)是增函数; 若x ∈(0,a 2-2a ),则f ′(x )<0, 所以f (x )在(0,a 2-2a )是减函数;若x ∈(a 2-2a ,+∞),则f ′(x )>0,所以f (x )在(a 2-2a ,+∞)是增函数. (2)由(1)知,当a =2时,f (x )在(-1,+∞)是增函数. 当x ∈(0,+∞)时,f (x )>f (0)=0,即ln(x +1)>2xx +2(x >0).又由(1)知,当a =3时,f (x )在[0,3)是减函数. 当x ∈(0,3)时,f (x )<f (0)=0,即ln(x +1)<3xx +3(0<x <3).下面用数学归纳法证明2n +2<a n ≤3n +2.(i)当n =1时,由已知23<a 1=1,故结论成立.(ii)假设当n =k 时结论成立,即2k +2<a k ≤3k +2. 当n =k +1时,a k +1=ln(a k +1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k +2+1>2×2k +22k +2+2=2k +3,a k +1=ln(a k +1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k +2+1<3×3k +23k +2+3=3k +3,即当n =k +1时,有2k +3 <a k +1≤3k +3,结论成立.根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立.12.[2014·山东卷] 设函数f (x )=e x x 2-k ⎝⎛⎭⎫2x +ln x (k 为常数,e =2.718 28…是自然对数的底数). (1)当k ≤0时,求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围. 20.解:(1)函数y =f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=x 2e x -2x e x x 4-k ⎝⎛⎭⎫-2x 2+1x =x e x -2e x x 3-k (x -2)x 2=(x -2)(e x -kx )x 3.由k ≤0可得e x -kx >0,所以当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,函数y =f (x )单调递减;x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,函数y =f (x )单调递增. 所以f (x )的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(2)由(1)知,当k ≤0时,函数f (x )在(0,2)内单调递减,故f (x )在(0,2)内不存在极值点; 当k >0时,设函数g (x )=e x -kx ,x ∈(0,+∞). 因为g ′(x )=e x -k =e x -e ln k , 当0<k ≤1时,当x ∈(0,2)时,g ′(x )=e x -k >0,y =g (x )单调递增, 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点.当k >1时,得x ∈(0,ln k )时,g ′(x )<0,函数y =g (x )单调递减; x ∈(ln k ,+∞)时,g ′(x )>0,函数y =g (x )单调递增. 所以函数y =g (x )的最小值为g (ln k )=k (1-ln k ). 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0,g (ln k )<0,g (2)>0,0<ln k <2,解得e<k <e22.综上所述,函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ,e 22. 13.[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N +,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n ∈N +,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明. 21.解:由题设得,g (x )=x1+x (x ≥0).(1)由已知,g 1(x )=x1+x ,g 2(x )=g (g 1(x ))=x 1+x 1+x 1+x =x1+2x ,g 3(x )=x 1+3x ,…,可得g n (x )=x 1+nx. 下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x 1+x ,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x 1+kx 1+x 1+kx =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N +成立. (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1+x )≥ax1+x恒成立. 设φ(x )=ln(1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a(1+x )2=x +1-a (1+x )2,当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x =0,a =1时等号成立), ∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x 恒成立(仅当x =0时等号成立).当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )<0, ∴φ(x )在(0,a -1]上单调递减, ∴φ(a -1)<φ(0)=0.即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0, 故知ln(1+x )≥ax1+x不恒成立. 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+nn +1,比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln(n +1).证明如下:方法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x 1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N +,则1n +1<ln n +1n .下面用数学归纳法证明.①当n =1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n =k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln(k +1).那么,当n =k +1时,12+13+…+1k +1+1k +2<ln(k +1)+1k +2<ln(k +1)+ln k +2k +1=ln(k +2),即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N +成立. 方法二:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x 1+x,x >0.令x =1n ,n ∈N +,则ln n +1n >1n +1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,……ln(n +1)-ln n >1n +1,上述各式相加可得ln(n +1)>12+13+…+1n +1,结论得证.方法三:如图,⎠⎛0n x x +1d x 是由曲线y =x x +1,x =n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积,而12+23+…+nn +1是图中所示各矩形的面积和,∴12+23+…+n n +1>⎠⎛0n xx +1d x =⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1-1x +1d x =n -ln (n +1),结论得证.14.,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数. (1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围. 21.解:(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ; 当a ≥e2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增,于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知,f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以12<a <e2.此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增.因此x 1∈(0,ln(2a )],x 2∈(ln(2a ),1),必有g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0. 由f (1)=0得a +b =e -1<2,则g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0,解得e -2<a <1. 当e -2<a <1时,g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a )). 若g (ln(2a ))≥0,则g (x )≥0(x ∈[0,1]),从而f (x )在区间[0,1]内单调递增,这与f (0)=f (1)=0矛盾,所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.故此时g (x )在(0,ln(2a ))和(ln(2a ),1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0,x 1]上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在[x 2,1]上单调递增. 所以f (x 1)>f (0)=0,f (x 2)<f (1)=0, 故f (x )在(x 1,x 2)内有零点.综上可知,a 的取值范围是(e -2,1).15.、[2014·天津卷] 设f (x )=x -a e x (a ∈R ),x ∈R .已知函数y =f (x )有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2. (1)求a 的取值范围;(2)证明:x 2x 1随着a 的减小而增大;(3)证明:x 1+x 2随着a 的减小而增大.20.解:(1)由f (x )=x -a e x ,可得f ′(x )=1-a e x . 下面分两种情况讨论:(i)a ≤0时,f ′(x )>0在R 上恒成立,可得f (x )在R 上单调递增,不合题意. (ii)a >0时,由f ′(x )=0,得x =-ln a .当x 变化时,f ′(x )这时,f (x )的单调递增区间是(-∞,-ln a );单调递减区间是(-ln a ,+∞).于是,“函数y =f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立:①f (-ln a )>0;②存在s 1∈(-∞,-ln a ),满足f (s 1)<0;③存在s 2∈(-ln a ,+∞),满足f (s 2)<0.由f (-ln a )>0,即-ln a -1>0,解得0<a <e -1.而此时,取s 1=0,满足s 1∈(-∞,-ln a ),且f (s 1)=-a <0;取s 2=2a +ln 2a,满足s 2∈(-ln a ,+∞),且f (s 2)=⎝⎛⎭⎫2a -e 2a +⎝⎛⎭⎫ln 2a -e 2a <0. 故a 的取值范围是(0,e -1).(2)证明:由f (x )=x -a e x =0,有a =x e x .设g (x )=xe x ,由g ′(x )=1-x e x ,知g (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.并且,当x ∈(-∞,0]时,g (x )≤0; 当x ∈(0,+∞)时,g (x )>0.由已知,x 1,x 2满足a =g (x 1),a =g (x 2).由a ∈(0,e -1)及g (x )的单调性,可得x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).对于任意的a 1,a 2∈(0,e -1),设a 1>a 2,g (ξ1)=g (ξ2)=a 1,其中0<ξ1<1<ξ2;g (η1)=g (η2)=a 2,其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0,1)上单调递增,所以由a 1>a 2,即g (ξ1)>g (η1),可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1,η1>0,得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1,所以x 2x 1随着a 的减小而增大.(3)证明:由x 1=a e x 1,x 2=a e x 2,可得ln x 1=ln a +x 1,ln x 2=ln a +x 2.故x 2-x 1=ln x 2-ln x 1=ln x 2x 1.设x 2x 1=t ,则t >1,且⎩⎪⎨⎪⎧x 2=tx 1,x 2-x 1=ln t ,解得x 1=ln t t -1,x 2=t ln tt -1,所以x 1+x 2=(t +1)ln t t -1.① 令h (x )=(x +1)ln xx -1,x ∈(1,+∞),则h ′(x )=-2ln x +x -1x (x -1)2. 令u (x )=-2ln x +x -1x ,得u ′(x )=⎝⎛⎭⎫x -1x 2.当x ∈(1,+∞)时,u ′(x )>0.因此,u (x )在(1,+∞)上单调递增,故对于任意的x ∈(1,+∞),u (x )>u (1)=0,由此可得h ′(x )>0,故h (x )在(1,+∞)上单调递增.因此,由①可得x 1+x 2随着t 的增大而增大.而由(2),t 随着a 的减小而增大,所以x 1+x 2随着a 的减小而增大.16.[2014·浙江卷] 已知函数f (x )=x 3+3|x -a |(a ∈R ).(1)若f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a ),m (a ),求M (a )-m (a ); (2)设b ∈R ,若[f (x )+b ]2≤4对x ∈[-1,1]恒成立,求3a +b 的取值范围.22.解:(1)因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3+3x -3a ,x ≥a ,x 3-3x +3a ,x <a ,所以f ′(x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x 2+3,x ≥a ,3x 2-3,x <a .由于-1≤x ≤1,(i)当a ≤-1时,有x ≥a , 故f (x )=x 3+3x -3a ,此时f (x )在(-1,1)上是增函数,因此,M (a )=f (1)=4-3a ,m (a )=f (-1)=-4-3a ,故M (a )-m (a )=(4-3a )-(-4-3a )=8. (ii)当-1<a <1时,若x ∈(a ,1),则f (x )=x 3+3x -3a .在(a ,1)上是增函数;若x ∈(-1,a ), 则f (x )=x 3-3x +3a 在(-1,a )上是减函数.所以,M (a )=max{f (1),f (-1)},m (a )=f (a )=a 3.由于f (1)-f (-1)=-6a +2,因此,当-1<a ≤13时,M (a )-m (a )=-a 3-3a +4;当13<a <1时,M (a )-m (a )=-a 3+3a +2.(iii)当a ≥1时,有x ≤a ,故f (x )=x 3-3x +3a ,此时f (x )在(-1,1)上是减函数,因此,M (a )=f (-1)=2+3a ,m (a )=f (1)=-2+3a ,故M (a )-m (a )=(2+3a )-(-2+3a )=4.综上,M (a )-m (a )=⎩⎪⎨⎪⎧8,a ≤-1,-a 3-3a +4,-1<a ≤13,-a 3+3a +2,13<a <1,4,a ≥1.(2)令h (x )=f (x )+b ,则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3+3x -3a +b ,x ≥a ,x 3-3x +3a +b ,x <a ,h ′(x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x 2+3,x >a ,3x 2-3,x <a .因为[f (x )+b ]2≤4对x ∈[-1,1]恒成立, 即-2≤h (x )≤2对x ∈[-1,1]恒成立,所以由(1)知,(i)当a ≤-1时,h (x )在(-1,1)上是增函数,h (x )在[-1,1]上的最大值是h (1)=4-3a +b ,最小值是h (-1)=-4-3a +b ,则-4-3a +b ≥-2且4-3a +b ≤2,矛盾.(ii)当-1<a ≤13时,h (x )在[-1,1]上的最小值是h (a )=a 3+b ,最大值是h (1)=4-3a +b ,所以a 3+b ≥-2且4-3a +b ≤2,从而-2-a 3+3a ≤3a +b ≤6a -2且0≤a ≤13.令t (a )=-2-a 3+3a ,则t ′(a )=3-3a 2>0,t (a )在⎝⎛⎭⎫0,13上是增函数,故t (a )>t (0)=-2, 因此-2≤3a +b ≤0.(iii)当13<a <1时,h (x )在[-1,1]上的最小值是h (a )=a 3+b ,最大值是h (-1)=3a +b +2,所以a 3+b ≥-2且3a +b +2≤2,解得-2827<3a +b ≤0;(iv)当a ≥1时,h (x )在[-1,1]上的最大值是h (-1)=2+3a +b ,最小值是h (1)=-2+3a +b ,所以3a +b +2≤2且3a +b -2≥-2,解得3a +b =0.综上,得3a +b 的取值范围是-2≤3a +b ≤0.17.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=a e 2x -b e -2x -cx (a ,b ,c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数,且曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线的斜率为4-c .(1)确定a ,b 的值;(2)若c =3,判断f (x )的单调性; (3)若f (x )有极值,求c 的取值范围.20.解:(1)对f (x )求导得f ′(x )=2a e 2x +2b e -2x -c ,由f ′(x )为偶函数,知f ′(-x )=f ′(x ),即2(a -b )(e 2x -e -2x )=0.因为上式总成立,所以a =b .又f ′(0)=2a +2b -c =4-c ,所以a =1,b =1.(2)当c =3时,f (x )=e 2x -e -2x -3x ,那么f ′(x )=2e 2x +2e -2x -3≥22e 2x ·2e -2x -3=1>0, 故f (x )在R 上为增函数.(3)由(1)知f ′(x )=2e 2x +2e -2x -c ,而2e 2x +2e -2x ≥22e 2x ·2e -2x =4,当且仅当x =0时等号成立. 下面分三种情况进行讨论:当c <4时,对任意x ∈R ,f ′(x )=2e 2x +2e -2x -c >0,此时f (x )无极值.当c =4时,对任意x ≠0,f ′(x )=2e 2x +2e -2x -4>0,此时f (x )无极值.当c >4时,令e 2x=t ,注意到方程2t +2t -c =0有两根t 1,2=c ±c 2-164>0,则f ′(x )=0有两个根x 1=12ln t 1,x 2=12ln t 2. 当x 1<x <x 2时,f ′(x )<0;当x >x 2时,f ′(x )>0. 从而f (x )在x =x 2处取得极小值.综上,若f (x )有极值,则c 的取值范围为(4,+∞).。
2014高考真题汇编函数与导数(二)1.[2014·山东卷] 直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2D. 42、[2014·福建卷] 如图1-4,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.图1-43.[2014·江西卷] 若f (x )=x 2+2⎠⎛01f (x )d x ,则⎠⎛01f (x )d x =( ) A .-1 B .-13 C .13D .1 4.[2014·湖南卷] 已知函数f (x )=sin(x -φ),且⎰320πf(x)d x =0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )A .x =5π6B .x =7π12C .x =π3D .x =π65.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ax 3-3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,-2)D .(-∞,-1)6.[2014·湖北卷] 若函数f (x ),g (x )满足⎠⎛-11f(x)g(x)d x =0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给出三组函数:①f(x)=sin 12x ,g(x)=cos 12x ;②f(x)=x +1,g(x)=x -1;③f(x)=x ,g(x)=x 2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .37.[2014·黄冈中学期末] 已知f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,f (x )=log 12(1-x ),则f ⎝⎛⎭⎫-20114=( ) A .-2 B.12C .1D .2 8.[2014·青岛期中] 若函数f (x )=3ax +1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则a 的取值范围是( )A .a >15B .a >15或a <-1C .-1<a <15D .a <-1 9.[2014·内江模拟] 已知函数f (x )=13x 3-12x 2+cx +d 有极值,则c 的取值范围为( ) A .c <14 B .c ≤14 C .c ≥14 D .c >1410.[2014·山东卷] 设函数f(x)=e xx2-k⎝⎛⎭⎫2x+ln x(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.11.[2014·重庆卷] 已知函数f(x)=a e2x-b e-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性;(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.12、[2014·湖南卷] 已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-2xx+2.(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.。
B11 导数及其运算21.[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln x +m x,m ∈R . (1)当m =e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值;(2)讨论函数g (x )=f ′(x )-x 3零点的个数; (3)若对任意b >a >0,f (b )-f (a )b -a<1恒成立,求m 的取值范围. 20.[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值.20.[2014·北京卷] 已知函数f (x )=2x 3-3x .(1)求f (x )在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切,求t 的取值范围;(3)问过点A (-1,2),B (2,10),C (0,2)分别存在几条直线与曲线y =f (x )相切?(只需写出结论)22.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值;(2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x .11.[2014·广东卷] 曲线y =-5e x +3在点(0,-2)处的切线方程为________.11.[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y =ax 2+b x(a ,b 为常数)过点P (2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行,则a +b 的值是________.21.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=a ln x +1-a 2x 2-bx (a ≠1),曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ;(2)若存在x 0≥1,使得f (x 0)<a a -1,求a 的取值范围. 20.[2014·山东卷] 设函数f (x )=a ln x +x -1x +1,其中a 为常数. (1)若a =0,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)讨论函数f (x )的单调性.19.[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图像上(n ∈N *).(1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f (x )的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .19.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=x 2-23ax 3(a >0),x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值; (2)若对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1,求a 的取值范围.B12 导数的应用21.[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.71828…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值;(2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,证明:e -2<a <1.15.[2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:(i)直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧.则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①直线l :y =0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y =x 3;②直线l :x =-1在点P (-1,0)处“切过”曲线C :y =(x +1)2;③直线l :y =x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y =sin x ;④直线l :y =x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y =tan x ;⑤直线l :y =x -1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y =ln x .15.①③④20.[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值.22.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值;(2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x .21.[2014·湖北卷] π为圆周率,e =2.71828…为自然对数的底数.(1)求函数f (x )=ln x x的单调区间; (2)求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.9.[2014·湖南卷] 若0<x 1<x 2<1,则( )A .e x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1B .e x 2-e x 1<ln x 2-ln x 1C .x 2e x 1>x 1e x 2D .x 2e x 1<x 1e x 29.C21.[2014·湖南卷] 已知函数f (x )=x cos x -sin x +1(x >0).(1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,有1x 21+1x 22+…+1x 2n<23. 11.[2014·江西卷] 若曲线y =x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x -y +1=0,则点P 的坐标是________.11.(e ,e)12.[2014·辽宁卷] 当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-5,-3] B.⎣⎡⎦⎤-6,-98C .[-6,-2] D .[-4,-3] 12.C11.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-2] B .(-∞,-1]C .[2,+∞) D .[1,+∞)11.D21.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=x 3-3x 2+ax +2,曲线y =f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.(1)求a ;(2)证明:当k <1时,曲线y =f (x )与直线y =kx -2只有一个交点.12.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ax 3-3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,-2)D .(-∞,-1)12.C.19.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=x 2-23ax 3(a >0),x ∈R . (1)求f (x )的单调区间和极值;(2)若对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1,求a 的取值范围.21.[2014·浙江卷] 已知函数f (x )=x 3+3|x -a |(a >0).若f (x )在[-1,1]上的最小值记为g (a ).(1)求g (a );(2)证明:当x ∈[-1,1]时,恒有f (x )≤g (a )+4.19.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=x 4+a x -ln x -32,其中a ∈R ,且曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y =12x . (1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.B14 单元综合19.[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:f (x )是R 上的偶函数.(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 30+3x 0)成立.试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论.10.[2014·江西卷] 在同一直角坐标系中,函数y =ax 2-x +a 2与y =a 2x 3-2ax 2+x +a (a ∈R )的图像不可能是( ).21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=π(x -cos x )-2sin x -2,g (x )=(x -π)1-sin x 1+sin x +2x π-1.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0; (2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π. 9.[2014·山东卷] 对于函数f (x ),若存在常数a ≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是() A.f(x)=x B.f(x)=x2C.f(x)=tan x D.f(x)=cos(x+1)9.D15.[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∈/B;④若函数f(x)=a ln(x+2)+xx2+1(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④。
函数专题2014年全国各地高考题导数大题汇总【2014全国新课标卷I 】设函数,ln )(1x be x ae x f x x-+=曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为.2)1(+-=x e y(1)求;,b a(2)证明.1)(>x f【2014全国新课标卷II 】已知函数.2)(x e e x f x x --=-(1)讨论)(x f 的单调性;(2)设)(4)2()(x bf x f x g -=,当0>x 时,0)(>x g ,求b 的最大值;(3)已知4143.124142.1<<,估计2ln 的近似值(精确到0.001).【2014全国大纲卷】 函数).1()1ln()(>+-+=a ax ax x x f (1)讨论)(x f 的单调性;(2)设11=a ,)1ln(1+=+n n a a ,证明:.2322+≤<+n a n n【2014湖南卷】已知常数0>a ,函数.22)1ln()(+-+=x x ax x f (1)讨论)(x f 在区间),0(+∞上的单调性;(2)若)(x f 存在两个极值点1x ,2x ,且0)()(21>+x f x f ,求a 的取值范围.【2014四川卷】已知函数1)(2---=bx ax e x f x ,其中R b a ∈,,71828.2=e …为自然对数的底数.(1)设)(x g 是函数)(x f 的导函数,求函数)(x g 在区间[]1,0上的最小值;(2)若0)1(=f ,函数)(x f 在(0,1)内有零点,求a 的取值范围.【2014浙江卷】 已知函数a x x x f -+=3)(3 )(R a ∈/(1)若)(x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(a M ,)(a m ,求)()(a m a M -; (2)设R b ∈.若[]4)(2≤+b x f 对[]1,1-∈x 恒成立,求b a +3的取值范围. 【2014浙江卷】π为圆周率,71828.2=e …为自然对数的底数.(1)求函数xx x f ln )(=的单调性; (2)求3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数中的最大数与最小数;(3)将3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.【2014陕西卷】设函数)1ln()(+=x x f ,)()(x f x x g '=,0≥x ,其中)(x f '是)(x f 的导函数.(1)令)()(1x g x g =,))(()(1x g g x g n n =+,N n ∈,求)(x g n 的表达式;(2)若)()(x ag x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设+∈N n ,比较++)2()1(g g …)(n g +与)(n f n -的大小,并加以证明.【2014江西卷】 已知函数x b bx x x f 21)()(2-++= ).(R b ∈(1)4=b 时,求)(x f 的极值;(2)若)(x f 在区间(0,31)上单调递增,求b 的取值范围. 【2014重庆卷】已知函数cx be ae x f x x --=-22)( ),,(R c b a ∈的导函数)(x f '为偶函数,且曲线)(x f y =在(0,)0(f )处的切线斜率为.4c -(1)确定b a ,的值;(2)若3=c ,判断)(x f 的单调性;(3)若)(x f 有极值,求c 的取值范围.【2014山东卷】 设函数)ln 2()(2x xk x e x f x +-= (k 为常数,71828.2=e …为自然对数的底数.) (1)当0≤k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2)若函数)(x f 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.【2014福建卷】已知函数ax e x f x -=)((a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线)(x f y =在点A 处的切线斜率为.1-(1)求a 的值及函数)(x f 的极值;(2)证明:当0>x 时,x e x <2;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当),(0+∞∈x x 时,恒有.2x ce x <【2014北京卷】已知函数x x x x f sin cos )(-=,.2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx (1)求证:0)(≤x f ;(2)若b x x a <<sin 对)2,0(π∈x 恒成立,求a 的最大值与b 的最小值. 【2014天津卷】 设x ae x x f -=)( )(R a ∈.已知函数)(x f y =有两个零点1x ,2x ,且.21x x <(1)求a 的取值范围;(2)证明:21x x 随着a 的减小而增大; (3)证明:21x x +随着a 的减小而增大.【2014江苏卷】已知函数x x e e x f -+=)(,其中e 为自然对数的底数.(1)证明:)(x f 是R 上的偶函数;(2)若关于x 的不等式1)(-+≤-m e x mf x 在(0,∞+)上恒成立,求实数m 的取值范围;(3)已知正数a 满足:存在[)+∞∈,10x ,使)3()(0300x x a x f +-<成立.试比较1-a e 与1-e a 的大小,并证明你的结论.2015年函数解答题汇编全国卷1理科已知函数f (x )=x 3+ax +14,g (x )=-lnx . (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线y =f (x ) 的切线;(Ⅱ)用min {},m n 表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )} (x >0),讨论h (x )零点的个数.全国卷2理科设函数f(x)=e mx +x 2-mx .(Ⅰ)证明:f (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x 1, x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)- f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围 全国卷2文科已知函数f (x )=ln x +a (1- x )(I )讨论f (x )的单调性; (II )当f (x )有最大值,且最大值大于2a-2时,求a 的取值范围. 北京理已知函数()1ln1x f x x +=-. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程;(Ⅱ)求证:当()01x ∈,时,()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭; (Ⅲ)设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈,恒成立,求k 的最大值. 北京文设函数. (1)求的单调区间和极值;(2)证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点. ()2ln ,02x f x k x k =->()f x ()f x ()fx (天津文已知函数4()4,,f x x x x R =-?其中*n N Î,且n 2³.(1)求()f x 的单调性;(2)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £; (3)若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ,,且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.重庆理 设函数23()()xx ax f x a R e +=∈ (1)若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)若()f x 在[3,)+∞上为减函数,求a 的取值范围;重庆文已知函数,其中,设是的导函数. (Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)证明:存在,使得恒成立,且在区间(1,)内有唯一解。
高考数学分类汇编(文科) 函数1. 【2014高考安徽卷文第5题】设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则( )A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<2.【2014高考安徽卷文第11题】=++⎪⎭⎫⎝⎛54log 45log 81163343-_____3. 【2014高考安徽卷文第14题】若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数,且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π,则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . 4. 【2014高考北京卷文第2题】下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( ) A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x = 5.【2014高考北京卷文第6题】已知函数()x xx f 2log 6-=,在下列区间中,包含()x f 的零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+)6. 【2014高考北京卷文第8题】加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足的函数关系2p at bt c =++(a 、b 、c 是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟O 5430.80.70.5t p7.【2014高考大纲卷文第12题】奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f +=( )A .-2B .-1C .0D .18. 【2014高考福建卷文第8题】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示,则下列函数正确的是()9. 【2014高考福建卷文第15题】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.10. 【2014高考广东卷文第5题】下列函数为奇函数的是( )A.122x x -B.3sin x xC.2cos 1x +D.22xx + 11. 【2014高考湖北卷文第9题】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,x x x f 3)(2-=,则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为( )A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{27,1,3}-D.{27,1,3}--12. 【2014高考湖北卷文第15题】如图所示,函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ,)1()(->x f x f ,则正实数a 的取值范围是 .13. 【2014高考湖南卷文第4题】下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( )21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 14. 【2014高考湖南卷文第15题】若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数,则=a ____________.15. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-,若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <,则实数m 的取值范围为 .16. 【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[)0,3x ∈时,21()22f x x x =-+,若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .17. 【2014高考江西卷文第4题】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩,若[(1)]1f f -=,则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D 18.【2014高考辽宁卷文第3题】已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>19. 【2014高考辽宁卷文第10题】已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为( ) A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343-- C .1347[,][,]3434 D .3113[,][,]4334--20. 【2014高考辽宁卷文第16题】对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 21. 【2014高考全国1卷文第5题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数22. 【2014高考全国1卷文第15题】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.23. 【2014高考山东卷文第3题】函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为( )A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞24. 【2014高考全国2卷文第15题】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称,3)3(=f ,则)1(-f =________.25. 【2014高考山东卷文第5题】已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<,则下列关系式恒成立的是( ) A.33xy > B.sin sin x y > C.22ln(1)ln(1)x y +>+ D.221111x y >++ 26. 【2014高考山东卷文第6题】已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数,其中0,1)a a >≠的图象如右图,则下列结论成立的是( )A.1,1ac >> B.1,01a c ><< C.01,1a c <<> D.01,01a c <<<<27.【2014高考山东卷文第9题】对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是(A) ()f x x =(B) 3()f x x = (C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+28. 【2014高考陕西卷文第7题】下了函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是(A )()3f x x = (B )()3xf x = (C )()23f x x = (D )()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭29. 【2014高考陕西卷文第10题】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为(A )321122y x x x =-- (B )3211322y x x x =+- (C )314y x x =- (D )3211242y x x x =+-30. 【2014高考陕西卷文第12题】已知42a=,lg x a =,则x =________.31. 【2014高考四川卷文第7题】已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d=,则下列等式一定成立的是( )A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 32. 【2014高考四川卷文第13题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩,则3()2f = . 33. 【2014高考天津卷卷文第4题】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>34. 【2014高考天津卷卷文第12题】函数2()lg f x x =的单调递减区间是________.35. 【2014高考天津卷卷文第14题】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f ,若()x a x f y -=恰好有4个零点,则实数a 的取值范围是________36. 【2014高考浙江卷文第7题】已知函数c bx ax x x f +++=23)(,且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ,则( )A.3≤cB.63≤<cC. 96≤<cD.9>c37. 【2014高考浙江卷文第8题】在同一坐标系中,函数)0()(>=x x x f a,x x g a log )(=的图象可能是( )38. 【2014高考浙江卷文第15题】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ,若2))((=a f f ,则=a .39. 【2014高考浙江卷文第16题】已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ,1222=++c b a ,则a 的最大值为为_______.40. 【2014高考重庆卷文第4题】下列函数为偶函数的是( ).()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22x xC f x -=-.()22x x D f x -=+41. 【2014高考重庆卷文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在(内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )A.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43--42. 【2014高考上海卷文第3题】设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-,若(2)1f =,则(1)f = .43. 【2014高考上海卷文第11题】若2132)(x x x f -=,则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .44.【2014高考上海卷文第18题】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A )无论k ,21,P P 如何,总是无解 (B)无论k ,21,P P 如何,总有唯一解 (C )存在k ,21,P P ,使之恰有两解 (D )存在k ,21,P P ,使之有无穷多解45. 【2014高考上海文第20题】设常数0≥a ,函数aax f x x -+=22)((1)若a =4,求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=;(2)根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由.高考数学分类汇编(文科) 函数答案与详解1. 【2014高考安徽卷文第5题】设 1.13.13log 7,2,0.8a b c ===则( )A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<14.3. 【2014高考安徽卷文第14题】若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数,且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π,则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f .考点:1.函数的奇偶性与周期性;2.分段函数求值.4. 【2014高考北京卷文第2题】下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( ) A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =6. 【2014高考北京卷文第8题】加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足的函数关系2p at bt c =++(a 、b 、c 是常数),下图记录了三次实 验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟O5430.80.70.5t p【答案】B【解析】由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上,8. 【2014高考福建卷文第8题】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示,则下列函数正确的是()【答案】B 【解析】试题分析:由函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象可知,3,a = 所以,x y a -=,33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数,只有3y x =是增函数,选B .考点:幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.9. 【2014高考福建卷文第15题】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是__________.10. 【2014高考广东卷文第5题】下列函数为奇函数的是( )A.122x x-B.3sin x xC.2cos 1x +D.22xx + 【答案】A【解析】对于A 选项中的函数()12222xx x x f x -=-=-,函数定义域为R ,()()2222x x x x f x -----=-=- ()f x =-,故A 选项中的函数为奇函数;对于B 选项中的函数()3sin g x x x =,由于函数 31y x =与函数2sin y x =均为奇函数,则函数()3sin g x x x =为偶函数;对于C 选项中的函数()2cos 1h x x =+,定义域为R ,()()()2cos 12cos 1h x x x h x -=-+=+=,故函数()2cos 1h x x =+为偶函数;(学科,网)对于D 选项中的函数()22xx x ϕ=+,()13ϕ=,()312ϕ-=,则()()11ϕϕ-≠±,因此函数()22xx x ϕ=+为非奇非偶函数,故选A.【考点定位】本题考查函数的奇偶性的判定,着重考查利用定义来进行判断,属于中等题.11. 【2014高考湖北卷文第9题】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,x x x f 3)(2-=,则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为( )A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{27,1,3}-D.{27,1,3}--12. 【2014高考湖北卷文第15题】如图所示,函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ,)1()(->x f x f ,则正实数a 的取值范围是 .【答案】)61,0( 【解析】试题分析:依题意,⎩⎨⎧<-->1)3(30a a a ,解得610<<a ,即正实数a 的取值范围是)61,0(.考点:函数的奇函数图象的的性质、分段函数、最值及恒成立,难度中等.13. 【2014高考湖南卷文第4题】下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( )21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -=14. 【2014高考湖南卷文第15题】若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数,则=a ____________.15. 【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-,若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <,则实数m 的取值范围为 . 【答案】2(,0)2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得202m -<<. 【考点】二次函数的性质.16. 【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[)0,3x ∈时,21()22f x x x =-+,若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .17. 【2014高考江西卷文第4题】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩,若[(1)]1f f -=,则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D【考点定位】指数函数和对数函数的图象和性质.19. 【2014高考辽宁卷文第10题】已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为( ) A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343-- C .1347[,][,]3434 D .3113[,][,]4334--20. 【2014高考辽宁卷文第16题】对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 【答案】1- 【解析】试题分析:设2a b t+=,则2b t a =-,代入到22420a ab b c -+-=中,得()()2242220a a t a t a c --+--=,即221260a ta t c -+-=……①21. 【2014高考全国1卷文第5题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数22. 【2014高考全国1卷文第15题】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析:由于题中所给是一个分段函数,则当1x <时,由12x e-≤,可解得:1ln 2x ≤+,则此时:1x <;当1x ≥时,由132x ≤,可解得:328x ≤=,则此时:18x ≤≤,综合上述两种情况可得:(,8]x ∈-∞考点:1.分段函数;2.解不等式23. 【2014高考山东卷文第3题】函数1log 1)(2-=x x f 的定义域为( )A. (0,2)B. (0,2]C. ),2(+∞D. [2,)+∞ 【答案】C【解析】由已知22log 10,log 1,x x ->>,解得2x >,故选C . 考点:函数的定义域,对数函数的性质.24. 【2014高考全国2卷文第15题】偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称,3)3(=f ,则)1(-f =________.25. 【2014高考山东卷文第5题】已知实数,x y 满足(01)xy a a a <<<,则下列关系式恒成立的是( ) A.33xy > B.sin sin x y >C.22ln(1)ln(1)x y+>+ D.221111x y >++ 【答案】A【解析】由(01)x y a a a <<<知,,x y >所以,33x y >,选A .考点:指数函数的性质,不等式的性质.26. 【2014高考山东卷文第6题】已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数,其中0,1)a a >≠的图象如右图,则下列结论成立的是( )B.1,1ac >> B.1,01a c ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<<7.28. 【2014高考陕西卷文第7题】下了函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是(B )()3f x x = (B )()3xf x = (C )()23f x x = (D )()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析:A 选项:由()()3f x y x y +=+,()()333()f x f y x y xy =⋅=,得()()()f x y f x f y +≠,所以A 错误;B 选项:由()3x y f x y ++=,()()333x y x y f x f y +=⋅=,得()()()f x y f x f y +=;又函数()3xf x =是定义在R 上增函数,所以B 正确;29. 【2014高考陕西卷文第10题】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为(A )321122y x x x =-- (B )3211322y x x x =+- (C )314y x x =- (D )3211242y x x x =+-【答案】A 【解析】试题分析:由题目图像可知:该三次函数过原点,故可设该三次函数为32()y f x ax bx cx ==++,则2()32y f x ax bx c ''==++,由题得:(0)1f '=-,(2)0f =,(2)3f '= 即184201243c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩,所以321122y x x x =--,故选A .考点:函数的解析式.30. 【2014高考陕西卷文第12题】已知42a=,lg x a =,则x =________.31. 【2014高考四川卷文第7题】已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d=,则下列等式一定成立的是( )A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+32. 【2014高考四川卷文第13题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩,则3()2f = .33. 【2014高考天津卷卷文第4题】设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 【答案】C. 【解析】试题分析:因为2221122log log 21,log log 10,(0,1),a b c πππ-=>==<==∈所以b c a >>,选C.考点:比较大小34. 【2014高考天津卷卷文第12题】函数2()lg f x x =的单调递减区间是________. 【答案】(,0).-∞函数()y f x =与||y a x =有三个交点,故0.a >当0x >,2a ≥时,函数()y f x =与||y a x =有一个交点,当0x >,02a <<时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点,当0x <时,若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切,则由0∆=得:1a =或9a =(舍),因此当0x <,1a >时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点,当0x <,1a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点,当0x <,01a <<时,函数()y f x =与||y a x =有四个交点,所以当且仅当12a <<时,函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点. 考点:函数图像(zxxk )36. 【2014高考浙江卷文第7题】已知函数c bx ax x x f +++=23)(,且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ,则( )B.3≤c B.63≤<cC. 96≤<cD.9>c 【答案】C37. 【2014高考浙江卷文第8题】在同一坐标系中,函数)0()(>=x x x f a,x x g a log )(=的图象可能是( )38. 【2014高考浙江卷文第15题】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ,若2))((=a f f ,则=a . 【答案】2【解析】试题分析:若0≤a ,则01)1(22)(22>++=++=a a a a f ,所以2]22[22=++-a a ,无解;若0>a ,则0)(2<-=a a f ,所以22)(2)(222=+-+-a a ,解得2=a .故2=a .考点:分段函数,复合函数,容易题.39. 【2014高考浙江卷文第16题】已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ,1222=++c b a ,则a 的最大值为为_______.40. 【2014高考重庆卷文第4题】下列函数为偶函数的是( ).()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x D f x -=+41. 【2014高考重庆卷文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在(内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是( )B.91(,2](0,]42-- B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43-- 【答案】A.42. 【2014高考上海卷文第3题】设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-,若(2)1f =,则(1)f = .【答案】3【解析】由题意(2)121f a =+-=,则2a =,所以(1)11143f =-+-=. 【考点】函数的定义.44. 【2014高考上海卷文第11题】若2132)(x x x f -=,则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .44.【2014高考上海卷文第18题】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A )无论k ,21,P P 如何,总是无解 (B)无论k ,21,P P 如何,总有唯一解(C )存在k ,21,P P ,使之恰有两解 (D )存在k ,21,P P ,使之有无穷多解45. 【2014高考上海文第20题】设常数0≥a ,函数aa x f x x -+=22)( (3)若a =4,求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=;(4)根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由.【答案】(1)121()2log 1x f x x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭,(,1)(1,)x ∈-∞-+∞;(2)1a =时()y f x =为奇函数,当0a =时()y f x =为偶函数,当0a ≠且1a ≠时()y f x =为非奇非偶函数.【解析】试题分析:(1)求反函数,就是把函数式2424x x y +=-作为关于x 的方程,解出x ,得1()x f y -=,再把此。
数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=______. 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=f ⎝⎛⎭⎫-34+f ⎝⎛⎭⎫-76=-f ⎝⎛⎭⎫34-f ⎝⎛⎭⎫76=-316+sin π6=516. 2.、[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A .y =e -x B .y =x 3 C .y =ln x D .y =|x |2.B [解析] 由定义域为R ,排除选项C ,由函数单调递增,排除选项A ,D. 21.、、[2014·江西卷] 将连续正整数1,2,…,n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ,F (n )为这个数的位数(如n =12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F (12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p (n )为恰好取到0的概率.(1)求p (100);(2)当n ≤2014时,求F (n )的表达式;(3)令g (n )为这个数中数字0的个数,f (n )为这个数中数字9的个数,h (n )=f (n )-g (n ),S ={n |h (n )=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p (n )的最大值.21.解:(1)当n =100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p (100)=11192.(2)F (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n ,1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1107,1000≤n ≤2014.(3)当n =b (1≤b ≤9,b ∈N *),g (n )=0;当n =10k +b (1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N )时,g (n )=k ; 当n =100时,g (n )=11,即g (n )= ⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n ≤9,k ,n =10k +b ,11,n =100.1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N , 同理有f (n )= ⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n ≤8,k ,n =10k +b -1,1≤k ≤8,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,n -80,89≤n ≤98,20,n =99,100.由h (n )=f (n )-g (n )=1,可知n =9,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 所以当n ≤100时,S ={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 当n =9时,p (9)=0.当n =90时,p (90)=g (90)F (90)=9171=119.当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )=g (n )F (n )=k 2n -9=k 20k +9,由y =k20k +9关于k单调递增,故当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )的最大值为p (89)=8169.又8169<119,所以当n ∈S 时,p (n )的最大值为119. 3.[2014·山东卷] 函数f (x )=1log 2x -1的定义域为( )A .(0,2)B .(0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)3.C [解析] 若函数f (x )有意义,则log 2x -1>0,∴log 2x >1,∴x >2.B2 反函数5.[2014·全国卷] 函数y =ln(3x +1)(x >-1)的反函数是( ) A .y =(1-e x )3(x >-1) B .y =(e x -1)3(x >-1) C .y =(1-e x )3(x ∈R ) D .y =(e x -1)3(x ∈R )5.D [解析] 因为y =ln(3x +1),所以x =(e y -1)3.因为x >-1,所以y ∈R ,所以函数y =ln(3x +1)(x >-1)的反函数是y =(e x -1)3(x ∈R ).B3 函数的单调性与最值 2.、[2014·北京卷] 下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A .y =e -x B .y =x 3 C .y =ln x D .y =|x |2.B [解析] 由定义域为R ,排除选项C ,由函数单调递增,排除选项A ,D. 4.、[2014·湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A .f (x )=1x2 B .f (x )=x 2+1C .f (x )=x 3D .f (x )=2-x4.A [解析] 由偶函数的定义,可以排除C ,D ,又根据单调性,可得B 不对.19.、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:f (x )是R 上的偶函数.(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 30+3x 0)成立.试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论.19.解: (1)证明:因为对任意 x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ), 所以f (x )是R 上的偶函数.(2)由条件知 m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立.令 t =e x (x >0),则 t >1,所以 m ≤-t -1t 2-t +1=-1t -1+1t -1+ 1对任意 t >1成立.因为t -1+1t -1+ 1≥2(t -1)·1t - 1+1=3, 所以 -1t -1+1t -1+ 1≥-13,当且仅当 t =2, 即x = ln 2时等号成立. 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-13. (3)令函数 g (x )=e x +1e x - a (-x 3+3x ),则g ′ (x ) =e x -1ex +3a (x 2-1).当 x ≥1时,e x -1e x >0,x 2-1≥0.又a >0,故 g ′(x )>0,所以g (x )是[1,+∞)上的单调递增函数, 因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是 g (1)= e +e -1-2a .由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 30+ 3x 0 )<0 成立,当且仅当最小值g (1)<0, 故 e +e -1-2a <0, 即 a >e +e -12.令函数h (x ) = x -(e -1)ln x -1,则 h ′(x )=1-e -1x . 令 h ′(x )=0, 得x =e -1.当x ∈(0,e -1)时,h ′(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调递减函数;当x ∈(e -1,+∞)时,h ′(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调递增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0; 当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时, h (x )<h (e)=0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立. 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e +e-12,e ⊆(1,e)时, h (a )<0,即a -1<(e -1)ln a ,从而e a -1<a e -1;②当a =e 时,e a -1=a e -1;③当a ∈(e ,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a -1>(e -1)ln a ,故e a -1>a e -1.综上所述,当a ∈⎝⎛⎭⎫e +e -12,e 时,e a -1<a e -1;当a =e 时,e a -1=a e -1;当a ∈(e ,+∞)时,e a -1>a e -1.15.、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”; ②若函数f (x )∈B ,则f (x )有最大值和最小值;③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∈/B ;④若函数f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1(x >-2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B .其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④ [解析] 若f (x )∈A ,则函数f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得函数f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时函数f (x )没有最大值和最小值,故②错误.当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (x )+f (a 0)=b 0-g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.对于f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1(x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值,只有a =0,此时f (x )=xx 2+1(x >-2).易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤-12,12,所以存在正数M =12,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确21.、[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,证明:e -2<a <1.21.解:(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b ,所以g ′(x )=e x -2a . 当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当a ≥e2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ; 当12<a <e2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1), 所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增, 于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .(2)证明:设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知, f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 因此x 1∈(0,ln(2a )),x 2∈(ln(2a ),1),必有 g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0. 由f (1)=0有a +b =e -1<2,有 g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0. 解得e -2<a <1.所以,函数f (x )在区间(0,1)内有零点时,e -2<a <1.B4 函数的奇偶性与周期性 4.[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A .f (x )=x -1 B .f (x )=x 2+xC .f (x )=2x -2-xD .f (x )=2x +2-x4.D [解析] A 中,f (-x )=-x -1,f (x )为非奇非偶函数;B 中,f (-x )=(-x )2-x =x 2-x ,f (x )为非奇非偶函数;C 中,f (-x )=2-x -2x =-(2x -2-x )=-f (x ),f (x )为奇函数;D 中,f (-x )=2-x +2x =f (x ),f (x )为偶函数.故选D.14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=______. 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=f ⎝⎛⎭⎫-34+f ⎝⎛⎭⎫-76=-f ⎝⎛⎭⎫34-f ⎝⎛⎭⎫76=-316+sin π6=516. 5.[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A .2x -12x B .x 3sin xC .2cos x +1D .x 2+2x5.A [解析] 对于A 选项,令f (x )=2x -12x =2x -2-x ,其定义域是R ,f (-x )=2-x -2x=-f (x ),所以A 正确;对于B 选项,根据奇函数乘奇函数是偶函数,所以x 3sin x 是偶函数;C 显然也是偶函数;对于D 选项,根据奇偶性的定义,该函数显然是非奇非偶函数.9.、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x ,则函数g (x )=f (x )-x +3的零点的集合为( )A .{1,3}B .{-3,-1,1,3}C .{2-7,1,3}D .{-2-7,1,3}9.D [解析] 设x <0,则-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-3(-x )]=-x 2-3x . 求函数g (x )=f (x )-x +3的零点等价于求方程f (x )=-3+x 的解. 当x ≥0时,x 2-3x =-3+x ,解得x 1=3,x 2=1;当x <0时,-x 2-3x =-3+x ,解得x 3=-2-7.故选D. 4.、[2014·湖南卷] 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A .f (x )=1x2 B .f (x )=x 2+1C .f (x )=x 3D .f (x )=2-x4.A [解析] 由偶函数的定义,可以排除C ,D ,又根据单调性,可得B 不对. 15.[2014·湖南卷] 若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a =________.15.-32[解析] 由偶函数的定义可得f (-x )=f (x ),即ln(e -3x +1)-ax =ln(e 3x +1)+ax ,∴2ax =-ln e 3x =-3x ,∴a =-32.19.、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=e x +e -x ,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:f (x )是R 上的偶函数.(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e -x +m -1在(0,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围.(3)已知正数a 满足:存在x 0∈[1,+∞),使得f (x 0)<a (-x 30+3x 0)成立.试比较e a -1与a e -1的大小,并证明你的结论.19.解: (1)证明:因为对任意 x ∈R ,都有f (-x )=e -x +e -(-x )=e -x +e x =f (x ),所以f (x )是R 上的偶函数.(2)由条件知 m (e x +e -x -1)≤e -x -1在(0,+∞)上恒成立. 令 t =e x (x >0),则 t >1,所以 m ≤-t -1t 2-t +1=-1t -1+1t -1+ 1对任意 t >1成立.因为t -1+1t -1+ 1≥2(t -1)·1t - 1+1=3, 所以 -1t -1+1t -1+ 1≥-13,当且仅当 t =2, 即x = ln 2时等号成立. 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-13. (3)令函数 g (x )=e x +1e x - a (-x 3+3x ),则g ′ (x ) =e x -1ex +3a (x 2-1).当 x ≥1时,e x -1e x >0,x 2-1≥0.又a >0,故 g ′(x )>0,所以g (x )是[1,+∞)上的单调递增函数, 因此g (x )在[1,+∞)上的最小值是 g (1)= e +e -1-2a .由于存在x 0∈[1,+∞),使e x 0+e -x 0-a (-x 30+ 3x 0 )<0 成立,当且仅当最小值g (1)<0, 故 e +e -1-2a <0, 即 a >e +e -12.令函数h (x ) = x -(e -1)ln x -1,则 h ′(x )=1-e -1x . 令 h ′(x )=0, 得x =e -1.当x ∈(0,e -1)时,h ′(x )<0,故h (x )是(0,e -1)上的单调递减函数;当x ∈(e -1,+∞)时,h ′(x )>0,故h (x )是(e -1,+∞)上的单调递增函数. 所以h (x )在(0,+∞)上的最小值是h (e -1).注意到h (1)=h (e)=0,所以当x ∈(1,e -1)⊆(0,e -1)时,h (e -1)≤h (x )<h (1)=0; 当x ∈(e -1,e)⊆(e -1,+∞)时, h (x )<h (e)=0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1,e)成立. 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e +e-12,e ⊆(1,e)时, h (a )<0,即a -1<(e -1)ln a ,从而e a -1<a e -1;②当a =e 时,e a -1=a e -1;③当a ∈(e ,+∞)⊆(e -1,+∞)时,h (a )>h (e)=0,即a -1>(e -1)ln a ,故e a -1>a e -1.综上所述,当a ∈⎝⎛⎭⎫e +e -12,e 时,e a -1<a e -1;当a =e 时,e a -1=a e -1;当a ∈(e ,+∞)时,e a -1>a e -1.12.[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x +2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( )A .-2B .-1C .0D .112.D [解析] 因为f (x +2)为偶函数,所以其对称轴为直线x =0,所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x =2.又因为函数f (x )是奇函数,其定义域为R ,所以f (0)=0,所以f (8)=f (-4)=-f (4)=-f (0)=0,故f (8)+f (9)=0+f (-5)=-f (5)=-f (-1)=f (1)=1.15.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y =f (x )的图像关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________.15.3 [解析] 因为函数图像关于直线x =2对称,所以f (3)=f (1),又函数为偶函数,所以f (-1)=f (1),故f (-1)=3.5.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数5.C [解析] 因为f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),于是f (-x )·g (-x )=-f (x )g (x ),即f (x )g (x )为奇函数,A 错;|f (-x )|g (-x )=|f (x )|g (x ),即|f (x )|g (x )为偶函数,B 错;f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,即f (x )|g (x )|为奇函数,C 正确; |f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,即f (x )g (x )为偶函数,所以D 也错. 13.[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________. 13.1 [解析] 由题意可知,f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12f ⎝⎛⎭⎫-12=-4⎝⎛⎭⎫-122+2=1.B5 二次函数 10.[2014·江苏卷] 已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________.10.⎝⎛⎭⎫-22,0 [解析] 因为f (x )=x 2+mx -1是开口向上的二次函数,所以函数的最大值只能在区间端点处取到,所以对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0,只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0,f (m +1)<0,解得⎩⎨⎧-22<m <22,-32<m <0,即m ∈⎝⎛⎭⎫-22,0.14.、[2014·全国卷] 函数y =cos 2x +2sin x 的最大值为________.14.32 [解析] 因为y =cos 2x +2sin x =1-2sin x 2+2sin x =-2⎝⎛⎭⎫sin x -122+32,所以当sin x =12时函数y =cos 2x +2sin x 取得最大值,最大值为32.B6 指数与指数函数 5.[2014·安徽卷] 设a =log 37,b =21.1,c =0.83.1,则( ) A .b <a <c B .c <a <b C .c <b <a D .a <c <b5.B [解析] 因为2>a =log 37>1,b =21.1>2,c =0.83.1<1,所以c <a <b . 8.,,[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-2所示,则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),其函数图像不正确,故选B.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .c >a >b3.D [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .15.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.15.(-∞,8] [解析] 当x <1时,由e x -1≤2,得x <1;当x ≥1时,由x 13≤2,解得1≤x ≤8,综合可知x 的取值范围为x ≤8.5.,[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( ) A .x 3>y 3 B .sin x >sin yC .ln(x 2+1)>ln(y 2+1)D.1x 2+1>1y 2+15.A [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以x 3>y 3恒成立.故选A. 7.[2014·陕西卷] 下列函数中,满足“f (x +y )= f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A .f (x )=x 3B .f (x )=3xC .f (x )=x 12D .f (x )=⎝⎛⎭⎫12x7.B [解析] 由于f (x +y )=f (x )f (y ),故排除选项A ,C.又f (x )=⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数,所以排除选项D. 12.[2014·陕西卷] 已知4a =2,lg x =a ,则x =________.12.10 [解析] 4a =2,即22a =2,可得a =12,所以lg x =12,所以x =1012=10.7.、[2014·四川卷] 已知b >0,log 5b =a ,lg b =c ,5d =10,则下列等式一定成立的是( )A .d =acB .a =cdC .c =adD .d =a +c7.B [解析] 因为5d =10,所以d =log 510,所以cd =lg b ·log 510=log 5b =a ,故选B.9.、[2014·四川卷] 设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|P A |+|PB |的取值范围是( )A .[5,2 5 ]B .[10,2 5 ]C .[10,4 5 ]D .[25,4 5 ]9.B [解析] 由题意可知,定点A (0,0),B (1,3),且两条直线互相垂直, 则其交点P (x ,y )落在以AB 为直径的圆周上,所以|P A |2+|PB |2=|AB |2=10,即|P A |+|PB |≥|AB |=10. 又|P A |+|PB |=(|P A |+|PB |)2= |P A |2+2|P A ||PB |+|PB |2≤ 2(|P A |2+|PB |2)=2 5,所以|P A |+|PB |∈[10,2 5],故选B.4.[2014·天津卷] 设a =log 2π,b =log 12π,c =π-2,则( )A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >b >a4.C [解析] ∵a =log 2π>1,b =log 12π<0,c =1π2<1,∴b <c <a .B7 对数与对数函数 12.[2014·天津卷] 函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是________.12.(-∞,0) [解析] 函数f (x )=lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y =x 2单调递减,故x ∈(-∞,0).11.[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681-34+log 354+log 345=________.11.278 [解析] 原式=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234-34 +log 3⎝⎛⎭⎫54×45=⎝⎛⎭⎫23-3=278. 8.、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数.故选D.8.,,[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-2所示,则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),其函数图像不正确,故选B.13.、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=________.13.5 [解析] 在等比数列中,a 1a 5=a 2a 4=a 23=4.因为a n >0,所以a 3=2,所以a 1a 2a 3a 4a 5=(a 1a 5)(a 2a 4)a 3=a 53=25,所以log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 225=5.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .c >a >b3.D [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .6.,[2014·山东卷] 已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列结论成立的是( )图1-1A .a >1,x >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <16.D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a <1.∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数y =log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的,∴0<c <1.7.、[2014·四川卷] 已知b >0,log 5b =a ,lg b =c ,5d =10,则下列等式一定成立的是( ) A .d =ac B .a =cd C .c =ad D .d =a +c7.B [解析] 因为5d =10,所以d =log 510,所以cd =lg b ·log 510=log 5b =a ,故选B.9.、[2014·重庆卷] 若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是( ) A .6+2 3 B .7+2 3 C .6+4 3 D .7+4 39.D [解析] 由log 4(3a +4b )=log 2ab ,得3a +4b =ab ,则4a +3b=1,所以a +b =(a+b )⎝⎛⎭⎫4a +3b =7+4b a +3a b ≥7+2 4b a ·3a b =7+4 3,当且仅当4b a =3a b ,即a =4+2 3,b =2 3+3时等号成立,故其最小值是7+4 3.B8 幂函数与函数的图像 8.、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数.故选D.8.,,[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-2所示,则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),其函数图像不正确,故选B.15.[2014·湖北卷] 如图1-4所示,函数y =f (x )的图像由两条射线和三条线段组成. 若∀x ∈R ,f (x )>f (x -1),则正实数a 的取值范围为________.15.⎝⎛⎭⎫0,16 [解析] “∀x ∈R ,f (x )>f (x -1)”等价于“函数y =f (x )的图像恒在函数y =f (x -1)的图像的上方”,函数y =f (x -1)的图像是由函数y =f (x )的图像向右平移一个单位得到的,如图所示.因为a >0,由图知6a <1,所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,16.13.、[2014·江苏卷] x ∈[0,3)时,f (x )=⎪⎪⎪⎪x 2-2x +12.若函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.13.⎝⎛⎭⎫0,12 [解析] 先画出y =x 2-2x +12在区间[0,3]上的图像,再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方,利用周期为3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得f (x )在区间[-3,4]上的图像如下图所示,其中f (-3)=f (0)=f (3)=0.5,f (-2)=f (1)=f (4)=0.5.函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y =f (x )的图像与直线y =a 有10个不同的交点,由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0,12.15.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e -,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.15.(-∞,8] [解析] 当x <1时,由e x -1≤2,得x <1;当x ≥1时,由x 13≤2,解得1≤x ≤8,综合可知x 的取值范围为x ≤8.6.,[2014·山东卷] 已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列结论成立的是( )图1-1A .a >1,x >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <16.D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限,得该函数是减函数,∴0<a <1.∵图像与x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数y =log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的,∴0<c <1.B9 函数与方程6.[2014·北京卷] 已知函数f (x )=6x -log 2x ,在下列区间中,包含f (x )的零点的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,4)D .(4,+∞)6.C [解析] 方法一:对于函数f (x )=6x -log 2x ,因为f (2)=2>0,f (4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.方法二:在同一坐标系中作出函数h (x )=6x 与g (x )=log 2x 的大致图像,如图所示,可得f (x )的零点所在的区间为(2,4).7.[2014·浙江卷] 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,且0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( )A .c ≤3B .3<c ≤6C .6<c ≤9D .c >97.C [解析] 由f (-1)=f (-2)=f (-3)得⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧-7+3a -b =0,19-5a +b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =11, 则f (x )=x 3+6x 2+11x +c ,而0<f (-1)≤3,故0<-6+c ≤3,∴6<c ≤9,故选C.10.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +1-3,x ∈(-1,0],x ,x ∈(0,1],且g (x )=f (x )-mx -m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤-94,-2∪⎝⎛⎦⎤0,12B.⎝⎛⎦⎤-114,-2∪⎝⎛⎦⎤0,12C.⎝⎛⎦⎤-94,-2∪⎝⎛⎦⎤0,23D.⎝⎛⎦⎤-114,-2∪⎝⎛⎦⎤0,23 10.A [解析] 作出函数f (x )的图像,如图所示.函数g (x )=f (x )-mx -m 的零点为方程f (x )-mx -m =0的根,即为函数y =f (x )与函数y =m (x +1)图像的交点.而函数y =m (x +1)的图像恒过定点P (-1,0),由图易知有两交点的边界有四条,其中k PO =0,k P A =12,k PB =-2,第四条为过P 点的曲线y =1x +1-3的切线PC .将y =m (x +1)(m ≠0)代入y =1x +1-3,得mx 2+(2m +3)x +m +2=0,则由Δ=(2m +3)2-4m (m +2)=4m +9=0,得m =-94,即k PC=-94,所以由图可知满足条件的实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-94,-2∪⎝⎛⎭⎫0,12.15.[2014·福建卷] 函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数是________.15.2 [解析] 当x ≤0时,f (x )=x 2-2,令x 2-2=0,得x =2(舍)或x =-2,即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点. 当x >0时,f (x )=2x -6+ln x , 令2x -6+ln x =0,得ln x =6-2x .作出函数y =ln x 与y =6-2x 在区间(0,+∞)上的图像,则两函数图像只有一个交点,即函数f (x )=2x -6+ln x (x >0)只有一个零点. 综上可知,函数f (x )的零点的个数是2. 9.、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x ,则函数g (x )=f (x )-x +3的零点的集合为( )A .{1,3}B .{-3,-1,1,3}C .{2-7,1,3}D .{-2-7,1,3}9.D [解析] 设x <0,则-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-3(-x )]=-x 2-3x . 求函数g (x )=f (x )-x +3的零点等价于求方程f (x )=-3+x 的解. 当x ≥0时,x 2-3x =-3+x ,解得x 1=3,x 2=1;当x <0时,-x 2-3x =-3+x ,解得x 3=-2-7.故选D. 13.、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )=⎪⎪⎪⎪x 2-2x +12.若函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________.13.⎝⎛⎭⎫0,12 [解析] 先画出y =x 2-2x +12在区间[0,3]上的图像,再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方,利用周期为3,将图像平移至区间[-3,4]内,即得f (x )在区间[-3,4]上的图像如下图所示,其中f (-3)=f (0)=f (3)=0.5,f (-2)=f (1)=f (4)=0.5.函数y =f (x )-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y =f (x )的图像与直线y =a 有10个不同的交点,由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0,12.4.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2,x ≥0,2-x ,x <0(a ∈R ).若f [f (-1)]=1,则a =( )A.14B.12C .1D .2 4.A [解析] 因为f (-1)=21=2,f (2)=a ·22=4a =1,所以a =14.15.[2014·浙江卷] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2, x >0.若f (f (a ))=2,则a =________.15.2 [解析] 令t =f (a ),若f (t )=2,则t 2+2t +2=2 满足条件,此时t =0或t =-2,所以f (a )=0或f (a )=-2,只有-a 2=-2满足条件,故a = 2.21.[2014·全国卷] 函数f (x )=ax 3+3x 2+3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.21.解:(1)f ′(x )=3ax 2+6x +3,f ′(x )=0的判别式Δ=36(1-a ).(i)若a ≥1,则f ′(x )≥0,且f ′(x )=0当且仅当a =1,x =-1时成立.故此时f (x )在R 上是增函数.(ii)由于a ≠0,故当a <1时,f ′(x )=0有两个根;x 1=-1+1-a a ,x 2=-1-1-a a.若0<a <1,则当x ∈(-∞,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时,f ′(x )>0,故f (x )分别在(-∞,x 2),(x 1,+∞)是增函数;当x ∈(x 2,x 1)时,f ′(x )<0,故f (x )在(x 2,x 1)是减函数.若a <0,则当x ∈(-∞,x 1)或(x 2,+∞)时,f ′(x )<0,故f (x )分别在(-∞,x 1),(x 2,+∞)是减函数;当x ∈(x 1,x 2)时f ′(x )>0,故f (x )在(x 1,x 2)是增函数.(2)当a >0,x >0时,f ′(x )=3ax 2+6x +3>0,故当a >0时,f (x )在区间(1,2)是增函数.当a <0时,f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0,解得-54≤a <0.综上,a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫-54,0∪(0,+∞). 14.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x 2+5x +4|,x ≤0,2|x -2|,x >0.若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点,则实数a 的取值范围为________.14.(1,2) [解析] 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x |的图像,如图所示,当y =a |x |与y =f (x )的图像相切时,联立⎩⎪⎨⎪⎧-ax =-x 2-5x -4,a >0,整理得x 2+(5-a )x +4=0,则Δ=(5-a )2-4×1×4=0,解得a =1或a =9(舍去),∴当y =a |x |与y =f (x )的图像有四个交点时,有1<a <2.B10 函数模型及其应用 8.[2014·北京卷] 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p =at 2+bt +c (a ,b ,c 是常数),图1-2记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )图1-2A .3.50分钟B .3.75分钟C .4.00分钟D .4.25分钟8.B [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0.7=9a +3b +c ,0.8=16a +4b +c ,0.5=25a +5b +c ,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a =-0.2,b =1.5,c =-2,∴p =-0.2t 2+1.5t -2=-0.2(t -3.75)2+0.8125,即当t =3.75时,p 有最大值.10.[2014·陕西卷] 如图1-2所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )图1-2A .y =12x 3-12x 2-xB .y =12x 3+12x 2-3xC .y =14x 3-xD .y =14x 3+12x 2-2x10.A [解析] 由题意可知,该三次函数的图像过原点,则其常数项为0,不妨设其解析式为y =f (x )=ax 3+bx 2+cx ,则f ′(x )=3ax 2+2bx +c ,∴f ′(0)=-1,f ′(2)=3,可得c =-1,3a +b =1.又y =ax 3+bx 2+cx 过点(2,0),∴4a +2b =1,∴a =12,b =-12,c =-1,∴y =f (x )=12x 3-12x 2-x .B11 导数及其运算21.、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln x +mx ,m ∈R .(1)当m =e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值; (2)讨论函数g (x )=f ′(x )-x3零点的个数;(3)若对任意b >a >0,f (b )-f (a )b -a <1恒成立,求m 的取值范围.21.解:(1)由题设,当m =e 时,f (x )=ln x +ex ,则f ′(x )=x -e x 2,∴当x ∈(0,e)时,f ′(x )<0,f (x )在(0,e)上单调递减;当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(e ,+∞)上单调递增. ∴x =e 时,f (x )取得极小值f (e)=ln e +ee =2,∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )=f ′(x )-x 3=1x -m x 2-x3(x >0),令g (x )=0,得m =-13x 3+x (x >0),设φ(x )=-13x 3+x (x ≥0),则φ′(x )=-x 2+1=-(x -1)(x +1),当x ∈(0,1)时,φ′(x )>0,φ(x )在(0,1)上单调递增;当x ∈(1,+∞)时,φ′(x )<0,φ(x )在(1,+∞)上单调递减.∴x =1是φ(x )的唯一极值点,且是极大值点,因此x =1也是φ(x )的最大值点, ∴φ(x )的最大值为φ(1)=23.又φ(0)=0,结合y =φ(x )的图像(如图所示),可知①当m >23时,函数g (x )无零点;②当m =23时,函数g (x )有且只有一个零点;③当0<m <23时,函数g (x )有两个零点;④当m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述,当m >23时,函数g (x )无零点;当m =23或m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点;当0<m <23时,函数g (x )有两个零点.(3)对任意的b >a >0,f (b )-f (a )b -a <1恒成立,等价于f (b )-b <f (a )-a 恒成立.(*) 设h (x )=f (x )-x =ln x +mx -x (x >0),∴(*)等价于h (x )在(0,+∞)上单调递减. 由h ′(x )=1x -mx 2-1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m ≥-x 2+x =-⎝⎛⎭⎫x -122+14(x >0)恒成立, ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m =14,h ′(x )=0仅在x =12时成立, ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14,+∞.20.、[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 20.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3,x 2=-1+4+3a 3,且x 1<x 2,所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2).当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0; 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增.(2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值.②当0<a <4时,x 2<1,由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减,因此f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值;当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值; 当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值. 20.、[2014·北京卷] 已知函数f (x )=2x 3-3x . (1)求f (x )在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切,求t 的取值范围;(3)问过点A (-1,2),B (2,10),C (0,2)分别存在几条直线与曲线y =f (x )相切?(只需写出结论)20.解:(1)由f (x )=2x 3-3x 得f ′(x )=6x 2-3.令f ′(x )=0,得x =-22或x =22. 因为f (-2)=-10,f ⎝⎛⎭⎫-22=2,f ⎝⎛⎭⎫22=-2,f (1)=-1, 所以f (x )在区间[-2,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫-22= 2. (2)设过点P (1,t )的直线与曲线y =f (x )相切于点(x 0,y 0),则y 0=2x 30-3x 0,且切线斜率为k =6x 20-3, 所以切线方程为y -y 0=(6x 20-3)(x -x 0), 因此t -y 0=(6x 20-3)(1-x 0),整理得4x 30-6x 20+t +3=0, 设g (x )=4x 3-6x 2+t +3,则“过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”. g ′(x )=12x 2-12x =12x (x -1).当x 变化时,g (x )与g ′(x )的变化情况如下:所以,g (0)=t +3是g (x )的极大值,g (1)=t +1是g (x )的极小值.结合图像知,当g (x )有3个不同零点时,有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)=t +3>0,g (1)=t +1-0,解得-3<t <-1.故当过点P (1,t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切时,t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点A (-1,2)存在3条直线与曲线y =f (x )相切; 过点B (2,10)存在2条直线与曲线y =f (x )相切; 过点C (0,2)存在1条直线与曲线y =f (x )相切. 22.、[2014·福建卷] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 22.解:方法一:(1)由f (x )=e x -ax , 得f ′(x )=e x -a .又f ′(0)=1-a =-1,得a =2. 所以f (x )=e x -2x ,f ′(x )=e x -2. 令f ′(x )=0,得x =ln 2.当x <ln 2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >ln 2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 所以当x =ln 2时,f (x )有极小值,且极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4, f (x )无极大值.(2)证明:令g (x )=e x -x 2,则g ′(x )=e x -2x . 由(1)得,g ′(x )=f (x )≥f (ln 2)=2-ln 4>0, 即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0, 所以当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x .(3)证明:对任意给定的正数c ,取x 0=1c ,由(2)知,当x >0时,x 2<e x .所以当x >x 0时,e x >x 2>1cx ,即x <c e x .因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)证明:令k =1c (k >0),要使不等式x <c e x 成立,只要e x >kx 成立.而要使e x >kx 成立,则只需要x >ln(kx ), 即x >ln x +ln k 成立.①若0<k ≤1,则ln k ≤0,易知当x >0时,x >ln x ≥ln x +ln k 成立. 即对任意c ∈[1,+∞),取x 0=0, 当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x .②若k >1,令h (x )=x -ln x -ln k ,则h ′(x )=1-1x =x -1x ,所以当x >1时,h ′(x )>0,h (x )在(1,+∞)上单调递增.取x 0=4k ,h (x 0)=4k -ln(4k )-ln k =2(k -ln k )+2(k -ln 2), 易知k >ln k ,k >ln 2,所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1),取x 0=4c ,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)证明:①若c ≥1,取x 0=0, 由(2)的证明过程知,e x >2x ,所以当x ∈(x 0,+∞)时,有c e x ≥e x >2x >x , 即x <c e x .②若0<c <1,令h (x )=c e x -x ,则h ′(x )=c e x -1. 令h ′(x )=0得x =ln 1c.当x >ln 1c 时,h ′(x )>0,h (x )单调递增.取x 0=2ln 2c,则h (x 0)=c e2ln 2c -2ln 2c=2⎝⎛⎭⎫2c -ln 2c , 易知2c -ln 2c>0,又h (x )在(x 0,+∞)内单调递增,所以当x ∈(x 0,+∞)时,恒有h (x )>h (x 0)>0, 即x <c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x <c e x . 11.、[2014·广东卷] 曲线y =-5e x +3在点(0,-2)处的切线方程为________.11.5x +y +2=0 [解析] ∵y ′=-5e x ,∴所求切线斜是k =-5e 0=-5,∴切线方程是y -(-2)=-5(x -0),即5x +y +2=0.11.[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y =ax 2+bx (a ,b 为常数)过点P (2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行,则a +b 的值是________.11.-3 [解析] 易知y ′=2ax -bx 2.根据题意有⎩⎨⎧-5=4a +b2,4a -b 4=-72,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2, 故a +b =-3.23.、[2014·江苏卷] 已知函数f 0(x )=sin xx (x >0),设f n (x )为f n -1(x )的导数,n ∈N *.(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2+π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值;(2)证明:对任意的n ∈N *,等式⎪⎪⎪⎪nf n -1⎝⎛⎭⎫π4+π4f n ⎝⎛⎭⎫π4=22都成立.23.解: (1)由已知,得f 1(x )=f ′0(x )=⎝⎛⎭⎫sin x x ′=cos x x -sin xx2,于是f 2(x )=f 1′(x )=⎝⎛⎭⎫cos x x ′-⎝⎛⎭⎫sin x x 2′= -sin x x -2cos x x 2+2sin xx3, 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2=-4π2,f 2⎝⎛⎭⎫π2=-2π+16π3.故2f 1⎝⎛⎭⎫π2+π2f 2⎝⎛⎭⎫π2=-1.(2)证明:由已知得,xf 0(x )=sin x ,等式两边分别对x 求导,得f 0(x )+xf 0′(x )=cos x , 即f 0(x )+xf 1(x )=cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2.类似可得2f 1(x )+xf 2(x )=-sin x =sin(x +π), 3f 2(x )+xf 3(x )=-cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +3π2,4f 3(x )+xf 4(x )=sin x =sin(x +2π).下面用数学归纳法证明等式nf n -1(x )+xf n (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +n π2对所有的n ∈N *都成立.(i)当n =1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立,即kf k -1(x )+xf k (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +k π2.因为[kf k -1(x )+xf k (x )]′=kf k -1′(x )+f k (x )+xf k ′(x )=(k +1)f k (x )+xf k +1(x ),⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x +k π2′=cos ⎝⎛⎭⎫x +k π2·⎝⎛⎭⎫x +k π2′=sin ⎣⎡⎦⎤x +(k +1)π2,所以(k +1)f k (x )+xf k +1(x )=sin ⎣⎡⎦⎤x +(k +1)π2, 因此当n =k +1时,等式也成立.综合(i)(ii)可知,等式nf n -1(x )+xf n (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +n π2对所有的n ∈N *都成立.令x =π4,可得nf n -1⎝⎛⎭⎫π4+π4f n ⎝⎛⎭⎫π4=sin ⎝⎛⎭⎫π4+n π2(n ∈N *),所以⎪⎪⎪⎪nf n -1⎝⎛⎭⎫π4+π4f n ⎝⎛⎭⎫π4=(n ∈N *).21.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=a ln x +1-a 2x 2-bx (a ≠1),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ;(2)若存在x 0≥1,使得f (x 0)<aa -1,求a 的取值范围. 21.解:(1)f ′(x )=ax +(1-a )x -b .由题设知f ′(1)=0,解得b =1, (2)f (x )的定义域为(0,+∞),。
2014年高考数学题分类汇编函数与导数一、选择题1.【2014·全国卷Ⅰ(理3,文5)】设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】C2. 【2014·全国卷Ⅰ(理6)】如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为( )【答案】C3. 【2014·全国卷Ⅰ(理11,文12)】已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为( )A .(2,+∞)B .(-∞,-2)C .(1,+∞)D .(-∞,-1)【答案】B4. 【2014·全国卷Ⅱ(理8)】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 5【2014·全国卷Ⅱ(理12)】设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦,则m 的取值范围是( )A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞ 【答案】C 。
【解析】.2.||,34∴34)]([,2||||,3)]([3πsin3)(2222020020C m m m m x f x m x x f m x x f 故选解得,,即的极值为><++≥+∴≤=±= 6.【2014·全国卷Ⅱ(文3)】函数()f x 在0x=x 处导数存在,若p :f ‘(x 0)=0;q :x=x 0是()f x 的极值点,则(A )p 是q 的充分必要条件(B )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (C )p 是q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】C7.【2014·全国卷Ⅱ(文11)】若函数()ln f x kx x =-在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )(A )(],2-∞- (B )(],1-∞- (C )[)2,+∞ (D )[)1,+∞ 【答案】D8. 【2014·全国大纲卷(理7)】曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .1 【答案】C9. 【2014·全国大纲卷(理12)】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称,则()y f x =的反函数是( )A .()y g x =B .()y g x =-C .()y g x =-D .()y g x =-- 【答案】D10.【2014·全国大纲卷(文5)】函数1)(1)y x =>-的反函数是( ) A .3(1)(1)x y e x =->- B .3(1)(1)xy e x =->- C .3(1)()x y e x R =-∈ D .3(1)()xy e x R =-∈ 【答案】D11.【2014·全国大纲卷(文12)】奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f +=( )A .-2B .-1C .0D .1 【答案】D12. 【2014·山东卷(理3)】函数()f x =(A )1(0,)2(B )(2,)+∞(C )1(0,)(2,)2+∞(D )1(0,][2,)2+∞13.【2014·山东卷(文3)】函数()f x =的定义域为( )(A) (0,2)(B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【答案】C14.【2014·山东卷(理5)】已知实数,x y 满足x y a a <(01a <<),则下列关系式恒成立的是 (A )221111x y >++(B )22ln(1)ln(1)x y +>+ (C )sin sin x y > (D )22x y >15.【2014·山东卷(文5)】已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<,则下列关系式恒成立的是(A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 【答案】A16.【2014·山东卷(文6)】已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数,其中的图象如右图,则下列结论成立的是(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<【答案】D17.【2014·山东卷(文9)】对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是(A) ()f x =(B) 3()f x x =(C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+【答案】D18.【2014·山东卷(理6)】直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为(A )B )C )2(D )419.【2014·山东卷(理8)】已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =,若()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是(A )1(0,)2(B )1(,1)2(C )(1,2)(D )(2,)+∞20.【2014·安徽卷(理6)】设函数()(f x x R ∈)满足()()f x f x sinx π+=+.当0x π≤≤时,()0f x =,则236f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .12B C .0 D .12- 【解析】⑴由条件知:23555551551132sin 2sin sin 066666626622f f f f f πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++++=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选A ;21.【2014·安徽卷(文、理9)】若函数()12f x x x a =+++的最小值3,则实数a 的值为( ) A . 5或8 B . 1-或5 C . 1-或4- D . 4-或8 【答案】D .22.【2014·安徽卷(文5)】设3log 7a =, 3.32b =, 3.30.8c =,则( ) A. b a c << B. c a b << C. c b a << D. a c b << 【答案】B23.【2014·浙江卷(理6,文8)】已知函数32()f x x ax bx c =+++ 且0(1)(2)(3)3f f f ≤-≤-≤-≤,则( )A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c1842(1)(2)(3)12793a b c a b cf f f a b c a b c -+-+=-+-+⎧-=-=-⇒⎨-+-+=-+-+⎩解: 611a b =⎧⇒⎨=⎩ 0(1)369f c <-≤⇒<≤ 24.【2014·浙江卷(理7,文8)】在同意直角坐标系中,函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是( )00(1,1)0(0,0)(1,1)1,()a a x x a A B a g x a <≠⎧⎪>>⎨⎪⎩,,恒过解:幂函数恒过、,显然排除、可知递减矛盾舍图像随着增大越翘01,()C a g x D <<可得此时递增矛盾舍去,故选25.【2014·浙江卷(理10)】设函数21)(x x f =,),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=,99,,2,1,0,99 ==i ia i ,记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ,.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 22111211132991...19999999999999999i i i I --⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯⇒=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解:2211299(21)2999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2250(980)1009821992999999I +⨯=⨯⨯=<⨯⨯故 3110219998sin 2sin 2sin 2sin 2...sin 2sin 23999999999999I ππππππ⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭12574(2sin 22sin 2)139999ππ=->213I I I <<故 26.【2014·北京卷(理2)】下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ).A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x=+27.【2014·北京卷(文2)】下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 【答案】B 。
2014年全国高考数学试题汇编二(函数与导数)★(2014年安徽卷)若函数()f x 是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为(1)()sin x x f x xπ-⎧=⎨⎩(01)(12)x x ≤≤<≤,则2941()()46f f += .(答案:516) ★(2014年北京卷)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( ) A xy e -=B 3y x = C ln y x = D ||y x =★(2014年山东卷)函数()f x =的定义域为( )A (0,2)B (0,2]C (2,)+∞D [2,)+∞★(2014年湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( ) A 21()f x x=B 2()1f x x =+C 3()f x x =D ()2xf x -=★(2014年江苏卷)已知函数()xxf x e e -=+,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:()f x 是R 上的偶函数; (2)若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立,求实数m 的取值范围;(3)已知正数a 满足:存在0[1,)x ∈+∞,使得3000()(3)f x a x x <-+成立.试比较1a e -与1e a-的大小,并证明你的结论.★(2014年四川卷)已知函数2()1xf x e ax bx =---,其中a ,b R ∈, 2.71828e =为自然对数的底数.(1)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值; (2)若(1)0f =,函数()f x 在区间(0,1)内有零点,证明:21e a -<<. ★(2014年重庆卷)下列函数为偶函数的是( ) A ()1f x x =-B 2()f x x x =+C ()22x xf x -=-D ()22x xf x -=+★(2014年广东卷)下列函数为奇函数的是( )A 1()22xx f x =-B 3()sin f x x x =C ()2cos 1f x x =+D 2()2xf x x =+ ★(2014年湖北卷)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()3f x x x =-,则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为( )A {1,3}B {3,1,1,3}--C {2-D {2-★(2014年湖南卷)若3()ln(1)xf x e ax =++是偶函数,则a = .(答案:32-) ★(2014年全国卷)奇函数()f x 的定义域为R .若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f +=( )A 2-B 1-C 0D 1★(2014年新课标全国卷Ⅱ)偶函数()y f x =的图像关于直线2x =对称,(3)3f =,则(1)f -= .(答案:3)★(2014年全国新课标卷Ⅰ)设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A ()()f x g x 是偶函数 B |()|()f x g x 是奇函数C ()|()|f x g x 是奇函数D |()()|f x g x 是奇函数★(2014年四川卷)设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10(),01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩,则3()2f = .(答案:1)★(2014年江苏卷)已知函数2()1f x x mx =+-,若对于任意[,1]x m m ∈+,都有()0f x <成立,则实数m 的取值范围是 .(答案:(2-) ★(2014年全国卷)函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.(答案:32) ★(2014年安徽卷)设log 7a =, 1.12b =, 3.10.8c =,则( )A b a c <<B c a b <<C c b a <<D a c b <<★(2014年福建卷)若函数log a y x =(0a >且1a ≠)的图象如图12-所示,则下列函数图象正确的是( )图1。
2014年高考数学试题汇编 导数一.选择题1。
(2014大纲)曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .1 【答案】C . 2。
(2014浙江)已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f ( )A.3≤c B 。
63≤<c C 。
96≤<c D. 9>c C3。
(2014陕西)定积分1(2)x x e dx +⎰的值为( ).2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4. (2014湖南)已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A 。
56x π=B 。
712x π= C 。
3x π= D.6x π=5(2014山东)直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为(A )22(B )42(C)2(D )46. (2014新课标II )设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a = A 。
0 B. 1 C 。
2 D. 3 【答案】 D..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 7. (2014江西)若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰( )A 。
1- B.13- C 。
13D 。
1 【答案】B 【解析】设()1m f x dx=⎰,则2()2f x x m=+,()111123011()2()2233f x dx x f x dx dx x mx m m =+=+=+=⎰⎰⎰,所以13m =-.8。
2014年高考数学题分类汇编函数与导数一、选择题1.【2014·全国卷Ⅰ(理3,文5)】设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】C3. 【2014·全国卷Ⅰ(理11,文12)】已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为( )A .(2,+∞)B .(-∞,-2)C .(1,+∞)D .(-∞,-1)【答案】B6.【2014·全国卷Ⅱ(文3)】函数()f x 在0x=x 处导数存在,若p :f ‘(x 0)=0;q :x=x 0是()f x 的极值点,则(A )p 是q 的充分必要条件(B )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (C )p 是q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】C7.【2014·全国卷Ⅱ(文11)】若函数()ln f x kx x =-在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( )(A )(],2-∞- (B )(],1-∞- (C )[)2,+∞ (D )[)1,+∞ 【答案】D【答案】D11.【2014·全国大纲卷(文12)】奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f +=( )A .-2B .-1C .0D .1 【答案】D13.【2014·山东卷(文3)】函数()f x =的定义域为( )(A) (0,2)(B) (0,2] (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【答案】C15.【2014·山东卷(文5)】已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<,则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ 【答案】A16.【2014·山东卷(文6)】已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数,其中的图象如右图,则下列结论成立的是(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<【答案】D17.【2014·山东卷(文9)】对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (A) ()f x =(B) 3()f x x =(C) ()tan f x x =(D) ()cos(1)f x x =+【答案】D21.【2014·安徽卷(文、理9)】若函数()12f x x x a=+++的最小值3,则实数a 的值为( )A . 5或8B . 1-或5C . 1-或4-D . 4-或8 【答案】D .家庭作业22.【2014·安徽卷(文5)】设3log 7a =, 3.32b =, 3.30.8c =,则( ) A. b a c << B. c a b << C. c b a << D. a c b << 【答案】B23.【2014·浙江卷(理6,文8)】已知函数32()f x x ax bx c =+++ 且0(1)(2)(3)3f f f ≤-≤-≤-≤,则( )A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c1842(1)(2)(3)12793a b c a b cf f f a b c a b c -+-+=-+-+⎧-=-=-⇒⎨-+-+=-+-+⎩解: 611a b =⎧⇒⎨=⎩0(1)369f c <-≤⇒<≤ 24.【2014·浙江卷(理7,文8)】在同意直角坐标系中,函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是( )00(1,1)0(0,0)(1,1)1,()a a x x a A B a g x a <≠⎧⎪>>⎨⎪⎩,,恒过解:幂函数恒过、,显然排除、可知递减矛盾舍图像随着增大越翘01,()C a g xD <<可得此时递增矛盾舍去,故选 27.【2014·北京卷(文2)】下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x =【答案】B 。
28.【2014·北京卷(文6)】已知函数()26log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( )A.()0,1B.()1,2C.()2,4D.()4,+∞ 【答案】C30.【2014·天津卷(文4)】设2log a p =,12log b p =,2c p-=,则( )(A )a b c >> (B )b a c >> (C )a c b >> (D )c b a >>【解析】因为1a >,0b <,01c <<,所以a c b >>,选C .31.【2014·福建卷(理4,文8)】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是( ) 【答案】B32.【2014·福建卷(理7,文8)】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是( )A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1【答案】D33.【2014·辽宁卷(理3,文3)】已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>【答案】C34.【2014·辽宁卷(理11)】当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[5,3]--B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]-- 【答案】C36.【2014·辽宁卷(文10)】已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为( ) A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343-- C .1347[,][,]3434 D .3113[,][,]4334--38.【2014·陕西卷(文、理7)】下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )(A )()12f x x = (B )()3f x x = (C )()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )()3xf x =【答案】D【解析】D y f x f y x f D C y x y x yx 选而言,对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+40.【2014·陕西卷(文10)】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A .321122y x x x =-- B .3211322y x x x =+- C .314y x x =- D .3211242y x x x =+- 【答案】A .【解析】三次函数图象过点(0,0),(20,),且(0)1f '=-,(2)3f '=,设()(2)()f x x x ax b =-+,则2()3(42)2f x ax a b x b '=---,从而21,423,b a b -=-⎧⎨+=⎩解得12a b ==,则函数式为321122y x x x =--,故选A .41.【2014·湖南卷(理3)】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则=A .-3B .-1C .1D .342.【2014·湖南卷(文4)】下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是( )21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 【答案】A44.【2014·湖南卷(文9)】若1201x x <<<,则( )A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <【答案】C47.【2014·江西卷(文4)】已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩,若[(1)]1f f -=,则=a ( ) 1.4A 1.2B .1C .2D 【答案】A49.【2014·江西卷(文10)】在同意直角坐标系中,函数22ay ax x =-+与222()y a x ax x a a R =-++∈的图像不可能的是( )【答案】B52.【2014·湖北卷(文9)】已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为 A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-【答案】D54.【2014·四川卷(文7)】已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d=,则下列等式一定成立的是( )A 、d ac =B 、a cd =C 、c ad =D 、d a c =+ 【答案】B55.【2014·重庆卷(文4)】下列函数为偶函数的是( ).()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x xC f x -=- .()22x xD f x -=+【答案】D56.【2014·重庆卷(文9)】若b a ab b a +=+则)(,log43log 24的最小值是( )A.326+B.327+C.346+D.347+ 【答案】D57.【2014·重庆卷(文10)】已知函数(](]13,1,0()10,1x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩,且()()g x f x m x m =--在(]1,1-内有且仅有1的零点,则实数m 的取值范围是( ) A.]21,0(]2,49(⋃-- B.]21,0(]2,411(⋃--C.]32,0(]2,49(⋃--D.]32,0(]2,411(⋃--【答案】A58.【2014·广东卷(文5)】下列函数为奇函数的是1A.22x x -2B.sin x x C.2cos 1x + 2D.2x x + 【答案】A二、填空题59.【2014·全国卷Ⅰ(文15)】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. 【答案】8x ≤61.【2014·全国卷Ⅱ(文15)】已知函数()f x 的图像关于直线x =2对称,)0(f =3,则=-)1(f _______.63.【2014·江苏卷(10)】已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是.64.【2014·江苏卷(13)】已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .65.【2014·安徽卷(文11)】34331654log log 8145-⎛⎫++= ⎪⎝⎭________. 【答案】9866.【2014·安徽卷(文14)】若函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数,且在[]0,2上的解析式为(1)01()sin 12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩,则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___. 【答案】51667.【2014·安徽卷(文15)】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:)(i 直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切;)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) . ①直线l :0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C :2y x =; ②直线l :1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C :2(1)y x =+;③直线l :y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C :sin y x =; ④直线l :y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C :tan y x =, ⑤直线l :1y x =-在点()0,0P 处“切过”曲线C :ln y x = 【答案】①③④69.【2014·浙江卷(文15)】设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ,若2))((=a f f ,则=a.70.【2014·浙江卷(文16)】已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ,1222=++c b a ,则a 的最大值为为_______.71.【2014·天津卷(文12)】函数()2lg f x x =的单调递减区间值是________.【解析】由复合函数的单调性知,()f x 的单调递减区间是(),0-¥. 74.【2014·陕西卷(理11,文12)】已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以, 75.【2014·陕西卷(文14)】已知f (x )=xx+1,x ≥0, f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +, 则f 2014(x)的表达式为__________.【答案】12014xx+【解析】1()()1x f x f x x ==+,由于1()(())n n f x f f x +=,则21()1211xxx f x x x x+==+++,312()13112xxx f x x x x+==+++,…,归纳得2014()12014x f x x =+。