2020年江苏省高考数学试卷
参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = ． 2．已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ． 3．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是 ．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 ． 5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是 ．
6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>
的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的
离心率是 ．
7．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23
f x x =，则()8f -的值是 ． 8．已知2sin ()4
απ+=23
，则sin 2α的值是 ．
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.
10．将函数π
sin(32)4y x
=﹢的图象向右平移π6
个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ．
11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和
221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是 ．
12．已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ．
13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若
3
()2
PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，
已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，
则△PAB 面积的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．
（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．
16．（14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，已知3,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．
17．（14分）
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)
与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式211
40h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)
与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3
216800
h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米． （1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包
括端点)．.桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价3
2
k (万元)(k >0)，问O E '为多少米时，桥墩
CD 与EF 的总造价最低？
18．（16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2
:
143
x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求12AF F △的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标． 19．（16分）
已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．
（1）若()()22
2 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，
，求h (x )的表达式； （2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，
，求k 的取值范围； （3）若(
)422342
() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[
] , D m n =⊆⎡⎣，
求证：
n m -≤．
20．（16分）已知数列{}()n a n ∈*
N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，
均有1
1
111
k
k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．
（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a
”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
