2022-2023学年河南省平顶山市宝丰县第一高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆2213y x +=的焦点坐标为（ ）A．()B．(0,C ．()2,0±D ．()0,2±【答案】B【分析】根据椭圆方程直接求2c ，再根据焦点的位置，写出焦点坐标.【详解】由椭圆方程可知，23a =，21b =，所以2222c a b =-=，且焦点在y 轴，所以椭圆的焦点坐标是(0,. 故选：B2．已知向量()1,0,2a =，(),2,2b x =，且6a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．15BCD ．35【答案】C【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得x 的值，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示可求得结果.【详解】由空间向量数量积的坐标运算可得46a b x ⋅=+=，解得2x =，所以，()2,2,2b =，所以，6cos ,52a b a b a b⋅<>===⨯⋅. 故选：C.3．已知直线:2410l kx y k --+=，当实数k 变化时，l 恒过点（ ） A ．()0,0 B ．14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()4,1D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】将直线l 的方程变形为()4120k x y -+-=，解方程组40120x y -=⎧⎨-=⎩可得出直线l 所过定点的坐标.【详解】直线l 的方程可化为()4120k x y -+-=，由40120x y -=⎧⎨-=⎩，解得412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，直线l 恒过定点14,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.4．已知向量()0,1,1a =，()1,2,2b =-．若a b +与向量()1,2,3c m =--平行，则实数m =（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】D【分析】先算出a b +，在利用空间向量平行的性质求解 【详解】因为向量()0,1,1a =，()1,2,2b =- 所以(1,1,3)a b +=-又a b +与向量()1,2,3c m =--平行 所以123113m --==- 所以12m =， 故选：D.5．直线y x =被椭圆2212y x +=截得的线段长为（ ） ABCD【答案】B【分析】求出直线y x =与椭圆2212y x +=的交点坐标，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】联立2212y x y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线y x =交椭圆2212y x +=于点A ⎝⎭、B ⎛ ⎝⎭，所以，AB ==故选：B.6．已知直线530mx y +-=与30x y n -+=互相垂直，且交点为(),1p ，则m n p ++=（ ） A ．24 B ．20C ．18D ．10【答案】C【分析】首先根据两条直线垂直求m ，再根据两条直线过交点(),1p ，代入后分别求,p n .【详解】因为两直线互相垂直，所以()530m +⨯-=，得15m =，直线为15530x y +-=，代入交点(),1p ，得15530p +-=，215p =-，再将交点2,115⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线30x y n -+=，即23015n --+=，得24731515n =+=， 所以18m n p ++=. 故选：C7．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，1CA CB ==，12CC =，AC BC ⊥，E 、F 分别是11A C 、11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为（ ）A ．117B ．1617C ．715D ．513【答案】B【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AE 与CF 所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()0,0,0C 、1,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、10,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，1,0,22AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,22CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则416cos ,17171722AE CF AE CF AE CF ⋅<>===⋅⨯. 因此，异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为1617.故选：B.8．若直线:l y x b =+与曲线2:2C x y =-有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．({}2,22⎤-⋃-⎦ B ．{}2,22⎡⎤-⋃-⎣⎦C ．()2,2-D ．{}2,2-【答案】A【分析】考虑当直线l 与曲线C 相切且切点在第四象限时，实数b 的值；考查直线l 分别过点()0,2-、()0,2时，直线l 与曲线C 的公共点个数，数形结合可得出实数b 的取值范围.【详解】由22x y =-可得222x y +=，且0x ≥，故曲线C 为圆222x y +=的右半圆， 作出直线l 与曲线C 的图象如下图所示：当直线:l y x b =+即0x y b -+=与曲线C 相切且切点在第四象限时，0b <22b =，解得2b =-，当直线l 过点(0,2-时，直线l 与曲线C 有两个公共点，此时2b =- 当直线l 过点(2时，直线l 与曲线C 只有一个公共点，此时2b =结合图形可知，若{}(22,2b ∈--时，直线l 与曲线C 只有一个公共点.故选：A.9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这样得到的圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB=，则动点P 形成的阿波罗尼斯圆的方程为（ ） A ．()22632x y -+= B ．()22616x y ++= C ．()22616x y -+= D ．()22632x y ++=【答案】D【分析】设出P 点坐标，由2PA PB =进行化简，从而求得P 点的轨迹方程.【详解】设(),P x y ，依题意PAPB =，则2212PA PB=，222PA PB =， 所以()()2222222x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦， 221240x y x +++=，()22632x y ++=.故选：D10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．187【答案】D【分析】首先根据正四棱柱与外接球的关系，求得四棱柱的高，再以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求平面1AB M 的法向量，利用向量公式求点到平面的距离.【详解】设正四棱柱的高为h ，由其外接球的表面积为17π，可知2417r ππ=，3h =．以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则1(2,0,0),(2,2,3)A B ，1(1,2,0),(0,0,3)M D ，所以11(0,2,3),(1,2,0),(2,0,3)AB AM AD ==-=-．设平面1AB M 的法向量为(,,)n x y z =，则23020y z x y +=⎧⎨-+=⎩，可取(6,3,2)n =-，则点1D 到平面1AB M 的距离为1187||36AD n n ⋅-==．故选：D11．已知圆()222:0O x y r r +=>与圆22:86160C x y x y ++++=交于A 、B 两点，且四边形OACB 的面积为3r ，则AB =（ ） A ．95B ．165C ．245D ．365【答案】C【分析】设OC AB M ⋂=，分析可知点M 为AB 的中点，由四边形OACB 的面积为3r ，可得出AB 的长，利用勾股定理可得出关于r 的等式，解出r 的值，即可求得AB . 【详解】如下图所示：圆C 的标准方程为()()22439x y +++=，圆心为()4,3C --，半径为3，由题意可知，OA OB =，CA CB =，OC OC =，OAC OBC ∴△≌△， 所以，AOC BOC ∠=∠，所以，OC AB ⊥， 设OC AB M ⋂=，则M 为AB 的中点， 故四边形OACB 的面积为()115322S OC AM BM AB r =⋅+=⨯⨯=，则65r AB =，故1325AM AB r ==，所以，2245OM OA AMr -=，2229925r CM AC AM∴=-=-，又因为455r CM OC OM =-=-， 所以，29495255r r -=-，解得4r =，因此，624255r AB AM ===. 故选：C.12．已知点F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若4PF QF =，60PFQ ∠=，则C 的离心率e =（ ）A ．215B ．45C ．255D ．75【答案】A【分析】设椭圆C 的右焦点为E ，连接PE 、EQ ，求出120EPF ∠=，利用椭圆的定义结合已知条件求出PE 、PF ，利用余弦定理可得出a 、c 的等量关系式，即可得出椭圆C 的离心率的值. 【详解】设椭圆C 的右焦点为E ，连接PE 、EQ ，如下图所示：因为过原点O 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，则P 、Q 关于原点对称，即O 为PQ 的中点， 又因为O 为EF 的中点，所以，四边形PEQF 为平行四边形，则PE QF =， 所以，180120EPF PFQ ∠=-∠=，因为44PF QF PE ==，且2PE PF a +=，所以，25a PE =，85a PF =， 由余弦定理可得222228442cos12025a c EF PE PF PE PF ==+-⋅=，则21c =，因此，椭圆C 的离心率为21c e a ==故选：A.二、填空题13．若直线1:340l x ay --=与2:18920l x y a -+=平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______．【答案】355##355 【分析】利用两直线平行可求出a 的值，再利用平行线间的距离公式可求得直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】因为12//l l ，则1827a -=-，解得32a =， 所以，直线1l 的方程为33402x y --=，即6380x y --=， 直线2l 的方程为18930x y -+=，即6310x y -+=， 所以，直线1l 与2l 之间的距离为()228135563d --==+-. 故答案为：355. 14．如图，圆C 与圆22:16O x y +=内切于点A ，与x 轴、y 轴分别相切于点E 、F ，则圆C 的半径为______．【答案】424-【分析】连接OA 、CE 、CF ，则点C 在线段OA 上，CE OE ⊥，CF OF ⊥，设圆C 的半径为r ，分析可知四边形OECF 为正方形，可得出关于r 的等式，解之即可.【详解】连接OA 、CE 、CF ，则点C 在线段OA 上，CE OE ⊥，CF OF ⊥，设圆C 的半径为r ，由切线长定理可得OE OF =，因为CE OE ⊥，CF OF ⊥，OE OF ⊥，所以，四边形OECF 为正方形，则其边长为r ，所以，OC ，故)14OA OC AC r =+==，解得4r =.故答案为：4.15．已知点()4,2P 在动直线()()220m x n y -++=上的射影为点M ，若点()5,4N ，则MN 的最大值为______．【答案】【分析】判断出M 点的轨迹，从而求得MN 的最大值. 【详解】设动直线()()220m x n y -++=为l ， 动直线()():220l m x n y -++=过点()2,2Q -，点()4,2P 在动直线()()220m x n y -++=上的射影为点M ， 所以PM l ⊥，所以M 点的轨迹是以,P Q 为直径的圆，圆心为()3,0C ，半径为22PQ ==CN =所以MN 的最大值为+=故答案为：16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F 、2F P 在椭圆上，若1260F PF ∠=，且12PF F △C 的方程为______．【答案】22163x y +=【分析】利用椭圆的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可求得2b 的值，结合椭圆的离心率可求得2a 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】设1PF m =，2PF n =，由椭圆的定义可得2m n a +=，由余弦定理可得22222212121242cos60c F F PF PF PF PF m n mn ==+-⋅=+-()22343m n mn a mn =+-=-，所以，()2224433a cb mn -==，则12221343sin 603243F PF b S mn ====△ 所以，23b =，又因为2222223212c c a b e a a a a -==-=，可得26a =. 因此，椭圆C 的方程为22163x y +=.故答案为：22163x y +=.三、解答题17．已知点()0,1N -，直线:342l x y +=，直线m 过点N 且与l 平行，直线m 交圆()22:13C x y -+=于两点A 、B ． (1)求直线m 的方程； (2)求线段AB 的长． 【答案】(1)3440x y ++= (2)226AB =【分析】（1）设直线m 的方程为340x y c ++=，将点N 的坐标代入直线m 的值，求出c 的值，可得出直线m 的方程；（2）求出圆心C 到直线m 的距离，利用勾股定理可求得AB 的值. 【详解】（1）解：设直线m 的方程为340x y c ++=， 将点N 的坐标代入直线m 的方程可得40c -+=，解得4c =， 所以，直线m 的方程为3440x y ++=.（2）解：圆C 的圆心为()1,0C ，半径长为3r =，圆心C 到直线m 的距离为2277534d ==+， 因此，2249226223255AB r d =-=-=. 18．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，2AB =，14AA =，1160DAB A AB DAA ∠=∠=∠=︒，113A N NC =，1D M MB =，设AB a =，AD b =，1AA c =．(1)试用a ，b ，c 表示AM ，AN ； (2)求MN 的长度． 【答案】(1)11133,22244AM a b c AN a b c =++=++ (2)332【分析】（1）将,,a b c 当作基底，按照向量线性运算的规则计算即可； （2）运用向量求模的方法计算. 【详解】（1）如图，连接AM ，AN ，111BD BC CC C D b c a =++=+- ， ()11111122222AM AB BM a BD a b c a a b c =+=+=++-=++ ，111111AC A B BC a b =+=+ ，111333444A N AC a b ==+ ， 113344AN A A A N a b c =+=++ ； （2）由条件得：22cos 602,24cos 604,24cos 604a b a c b c ︒︒︒=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯= ，()133111244442MN MA AN a b c a b c a b c =+=-+++++=++ ， ()()222221111424444216MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=++=+++++ ⎪⎝⎭()2221272244224444164=++⨯+⨯+⨯+⨯= ，274MN MN ∴==； 综上，111222AM ab c =++，3344AN a b c =++，MN = .19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为10，焦距为6．(1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点坐标为11,45⎛⎫⎪⎝⎭，求l 的方程．【答案】(1)2212516x y += (2)4520x y +-=【分析】（1）由题意得,a c 的值，由222b a c =-，即可得所求方程（2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）设C 的焦距为2(0)c c >，长轴长为2a ， 则210,26a c ==，所以5,3a c ==，所以22216b a c =-=，所以C 的方程为2212516x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减可得()()()()121212122516x x x x y y y y +-+-=-，即()()()()121212121625y y y y x x x x +-=-+-． 由点11,45⎛⎫⎪⎝⎭为线段AB 的中点，得121212,25x x y y +=+=，则l 的斜率12121212161654252545y y x x k x x y y -+==-⨯=-⨯=--+， 所以l 的方程为141554y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 即4520x y +-=．20．已知圆C 过点()1,1、()0,2-、()2,0． (1)求圆C 的方程； (2)过直线12y =上一点A 可作圆C 的两条切线1l 、2l ，切点分别为M 、N ，且60MAN ∠=，求点A 的坐标．【答案】(1)2220x y x y +-+-= (2)51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或71,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将题干中的三点坐标代入圆C 的一般方程，求出D 、E 、F 的值，即可得出圆C 的方程；（2）连接CM 、CN ，计算出AC 的值，设点1,2A t ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式求出t 的值，即可得出点A 的坐标.【详解】（1）解：设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得20240240D E F E F D F +++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩，解得112D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，圆C 的方程为2220x y x y +-+-=. （2）解：连接CM 、CN ，圆C 的标准方程为22115222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为11,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为10r =由切线长定理可得AM AN =，又因为CM CN =，AC AC =， ACM ACN ∴△≌△，所以，1302CAM CAN MAN ∴∠=∠=∠=，因为CM AM ⊥，210AC CM ∴==，设点1,2A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2211110222AC t ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得52t =-或72.故点A 的坐标为51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或71,22⎛⎫⎪⎝⎭.21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PCD ⊥底面ABCD ，4PD =，2DC =，22BC =，M 为BC 的中点．(1)求证：PB AM ⊥；(2)求平面PAD 与平面PAM 夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）证明出PD ⊥平面ABCD ，然后以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出0PB AM ⋅=，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法以及同角三角函数的基本关系可求得平面PAD 与平面PAM 夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为矩形，则CD AD ⊥，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，CD 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CD PD ∴⊥，同理可证PD AD ⊥，因为AD DC D =，AD 、CD ⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD ，又因为AD CD ⊥，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()22,0,0A 、()22,2,0B 、)2,2,0M、()0,0,4P ，()22,2,4PB =-，()2,2,0AM =-，440PB AM ∴⋅=-+=，故PB AM ⊥.（2）解：设平面PAM 的法向量为(),,m x y z =，()22,0,4AP =-， 则2202240m AM x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2x ()2,1,1m =，由题意可知，平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =， 所以，1cos ,2m n m n m n⋅<>==⋅，故23sin ,1cos ,2m n m n <>=-<>=. 因此，平面PAD 与平面PAM 322．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>6，220x y ++=的距离为3 (1)求C 的方程．(2)若点A 为椭圆C 的上顶点，是否存在斜率为k 的直线l ，使l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且AM AN =？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)221124x y +=(2)()1,1-【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出c 的值，利用离心率公式可求得a 的值，进而可求得b 的值，由此可求得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，对0k =、0k ≠两种情况讨论，在0k =时直接验证；在0k ≠时，求出线段MN 的中点E 的坐标，利用1AE k k=-结合0∆>可求得k 的取值范围.综合可得出结果. 【详解】（1）解：由题意可知，点(),0c20y ++=的距离为d ==c =又因为c e a ==，则a =2b =， 因此，椭圆C 的方程为221124x y +=.（2）解：易知点()0,2A ，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立22312y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()2223163120k x kmx m +++-=， ()()222236123140k m k m ∆=-+->，可得22124m k <+， 由韦达定理可得122631km x x k +=-+，212231231m x x k -=+，若0k =，则l y ⊥轴，此时M 、N 关于y 轴对称，则AM AN =； 若0k ≠，则1223231x x km k +=-+，()121222231k x x y y mm k ++=+=+， 所以，线段MN 的中点为223,3131kmm E k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则2222621313331AE mk m k k km km kk -+-+===-+，所以，231k m +=-， 所以， ()()22231431k k +<+，解得11k -<<且0k ≠. 综上所述，实数k 的取值范围是()1,1-.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
