高中竞赛数学讲义第63讲极限

2019-2020学年高中数学 第63讲 极限竞赛教案相关知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”2.几个重要极限： （1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(l i mB A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B Ab a nn n 5 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ,B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=,nx x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用6 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，lim x x →f (x )存在，且lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.7.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. 8 函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 9 最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1). 10 最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2). 11.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 .A 类例题例1 （1）nn aa )1(lim -∞→等于( ) A.－1B.0C.1D.不能确定分析 因为当|a a -1|＜1即a ＜21时，n n aa )1(lim -∞→=0， 当|a a -1|＞1时，nn aa )1(lim -∞→不存在. 当aa -1=1即a =21时，n n a a )1(lim -∞→=1 当a a -1=－1时，nn aa )1(lim -∞→也不存在. 答案 D.例2 已知|a |＞|b |，且n n n n n n n n ab a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( )A.a ＜－1B.－1＜a ＜0C.a ＞1D.a ＞1或－1＜a ＜0分析 左边=aa b a a b a n n n n n n 1])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→ 右边=a ab a a b a nn n n n n =+=+∞→+∞→])([lim lim 1 ∵|a |＞|b |，∴|ab |＜1. ∴∞→n lim (a b )n=0∴不等式变为a1＜a ，解不等式得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：D.说明 在数列极限中，极限∞→n lim q n=0要注意这里|q |＜1.这个极限很重要.例3 (1)24lim 22--→x x x . (2)201213lim 2+--∞→x x x x(1)分析 先因式分解法，然后约分代入即得结果。

全国高中数学联赛辅导资料第一讲数列极限一、数列极限的定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N ，当n N >时，n a A ε-<恒成立，则称当n 趋于无穷大时，数列n a 以常数A 为极限。

记作：lim n n a A→∞=（或当n →∞时，n a A =）． 注意：ε是任意小的正数，n a A ε-<反映数列的项与常数A 的接近程度。

N 是随ε而确定的，它是刻划n a A ε-<成立的那个“时刻”． 二、四个重要数列极限： 1．lim n C C →∞=（其中C 为常数）；2．1lim0an n →∞=（0a >，a 是常数）； 3．0(1),lim 1(1),(11)n n q q q q q →∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩不存在或；4．1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．三、数列极限的运算法则：若数列{}{},n n a b 的极限存在，lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则有1．lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞+=+=+；2．lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞-=-=-；3．lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞==；4．lim lim()(0)lim n nn n nn n a a a b b b b →∞→∞→∞==≠； 四、无穷等比数列的和：若无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q ≠，前n 项和为n S ，所有项的和为S ， 则有：1．11(01),(1)1lim lim 1(1)nn n n a q a q q S q q →∞→∞⎧<<-⎪-==⎨-⎪≥⎩不存在；2．1(01)1a S q q=<<-． 五、五个常用数列极限：1．lim0(,,0)n aa k k kn→∞=≠为常数且；2．lim (,,,,0)n an b aa b k l k kn l k→∞+=≠+为常数且3．2lim 0(,,,,,0)n an ba b k m l k kn mn l→∞+=≠++为常数且；4．22lim (,,,,,,0)n an bn c aa b c k m l k kn mn l k→∞++=≠++为常数且； 5．sin cos lim0,lim 0(,,)n n a n a n a k kn knααα→∞→∞==为常数为参数．六、典型例题： 例1求1123lim 23n n n nn ++→∞++的值 ． 解：11222()32lim()32333lim lim 32223()1lim()133n n n n n n n n n n nn ++→∞→∞→∞→∞+++===+++． 例2求22212lim()n nn n n→∞+++的值． 解：222222212121(1)1lim()limlim lim 222n n n n n nn n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++++====． 例3已知21lim 21n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，求a ，b ． 解：由已知有2(1)()1lim 21n a n a bn b n →∞--+-+=+，则10()2,a a b -=⎧⎨-+=⎩解得13a b =⎧⎨=-⎩．例4求n 的值．解：n n =12n n ===． 例5已知等差数列{}n a 和{}n b 的公差分别是1212,(0),n d d d d S ≠和n T 分别是它们的前n 项和，则limnn nS T →∞等于（）（第11届2000年高二培训）A ．12d dB ．21ddC ．212d d ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1解：设12,n n a d n a b d n b =+=+，则112222n n S d n a d T d n b d ++=++，所以12lim n n n S d T d →∞=．故选（A ）例6当02πα<<时，极限lim(cos cos 2cos 2)n n ααα→∞=______________．（第13届2002年高二培训）解： 因为1sin (cos cos 2cos 4cos 2)sin 2cos 2cos 4cos 22n n ααααααααα=，11sin 22n n α+=．所以当02πα<<时，1sin 2cos cos 2cos 22sin n nn ααααα+=．故所求的极限等于11sin 21sin 21lim lim 002sin sin 2sin n n nn n n ααααα++→∞→∞===． 例7{}n a 是无穷等比数列，n S 是它的前n 项和，已知1lim 4n n S →∞=，则其首项1a 的取值范围是______________．（第10届1999年高二培训）解：由1114a q =-，得114q a =-．因为01q <<，即10411a <-<，于是解得1102a <<且114a ≠． 例8已知等差数列{}n a 的公差0d >，首项10a >，111nn i i i S a a =+=∑，则l i m n n S →∞=______________．解：由已知，有1(1,2,,)i i a a d i n +=+=，1111111()()i i i i i i a a a a d d a a ++==-+，122311111111lim lim n n n nn S da a a a a a →∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111111111limlim n n n d a a d a a nd a d →∞→∞+⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦． 七、精选习题：1．数列{}n a 满足递推关系112(1)2n n a a n -=+>，且首项15a =，那么通项公式 n a =______________，lim n n a →∞=______________．（第13届2002年高二第1试）2．已知数列1，1，2，3，5，8，…有关系式11n n n a a a +-=+，而且1lim n n na a +→∞有极限存在，则此极限为______________．（精确到0.01） （1962年上海市高三决赛）3．已知无穷数列{}n a ，满足1lim()02nn n a a +→∞-=．求证：lim 0n n a →∞=．（第11届1997年全苏数学奥林匹克）4．设平面上有直线:2l y x =，曲线3:2x C y =，并由下列方法定义数列{}n a ：①112a =；②当给定n a 后，作过点(,0)n a 且与y 轴平行的直线，它与直线l 的交点记为n P ，再作过点n P 且与x 轴平行的直线，它与曲线c 的交点为n Q ，定义1n a +为n Q 的横坐标，试求数列{}n a 的通项，并求12lim2nn n a a a →∞． 八、答案详解：1． 取数x ，由给定的递推关系式构造如下的等比数列：11()5n n a x a x --=-，即114141,25555n n n n a x a x a a --=+=-=．解得52x =．所以52n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为15，首项为52的等比数列． 于是1551.(1,2,3,)225n n a n -⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以1515lim lim 1252n n n n a -→∞→∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 2． 由11n n n a a a +-=+，得111111n n n n nn a a a a a a +--=+=+（1）令1limn n na x a +→∞=并对（1）两边取极限，得11x x =+从而1(12x =±，因11n n n n a a a a +-=+>，故1x >，所以11lim(1 1.622n n na a +→∞=≈．3． 由1lim()02nn n a a +→∞-=知，任给0ε>，存在N ，当正整数n N >时，恒有不等式12nn a a ε+-<成立．取正整数k ，使2N K a ε<． 则当正整数m N k ≥+时，有不等式12211222m m m a a a εεε--<+<++<121212322222N N m N m N k a a εεεεε--+<++++<+< 所以lim 0n n a →∞=．4．设(,2)n n n P a a ，3111,2n n n Q a a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得31122n n a a +=． 因为1102a =>，所以0n a >． 32211log 2log 2n n a a +=，即2121log 1(log 1)3n n a a +-=-．所以数列{}2log 1n a -是以2-为首项，13为公比的等比数列， 得121log 1(2)3n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为121log 223n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以21122111log 212333n nn a a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(3)13n⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得13131222n n n a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=，所以121lim 28n n n a a a →∞=．。

第十四章 极限与导数一、基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0limx x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy ，即000)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。

由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

第十四章极限与导数(高中数学竞赛标准教材)第十四章极限与导数一、基础知识．极限定义：若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数，当n>且n∈N时，恒有|un-A|f且f=，则c∈，且f为最大值，故，综上得证。

．Lagrange中值定理：若f在[a,b]上连续，在上可导，则存在ξ∈，使[证明]令F=f-,则F在[a,b]上连续，在上可导，且F=F，所以由13知存在ξ∈使=0，即．曲线凸性的充分条件：设函数f在开区间I内具有二阶导数，如果对任意x∈I,,则曲线y=f在I内是下凸的；如果对任意x∈I,,则y=f在I内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。

若f是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f≤a1f+a2f+…+anf.二、方法与例题．极限的求法。

例1求下列极限：；；；[解]=；当a>1时，当00，求函数f=-ln)的单调区间。

[解]，因为x>0,a>0，所以x2+x+a2>0；x2+x+a+1时，对所有x>0，有x2+x+a2>0，即>0,f在上单调递增；当a=1时，对x≠1,有x2+x+a2>0，即，所以f在内单调递增，在内递增，又f在x=1处连续，因此f在内递增；当00，解得x2-a+，因此，f在内单调递增，在内也单调递增，而当2-a-2x.[证明]设f=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，，所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f在上连续，所以f在上单调递增，所以当x∈时，f>f=0，即sinx+tanx>2x.利用导数讨论极值。

例8设f=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

[解]因为f在上连续，可导，又f在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x∈时，，所以f在时，，所以f在[1，2]上递增；当x∈时，，所以f在[2，+∞）上递减。

高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110ΛΛ 典型题例示范讲解例1已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理解 bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→aab a ab ax b xx x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a例2设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律解 (1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-ΛΛΘ),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n Λ.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时Θ例3求1122lim +-∞→++n n n n n aa 111121()21:22,;lim lim 22()n nn n n n n n a a a a a a a a a--+→∞→∞++><-==++解当或时 111()212222,;lim lim 242()2n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞++-<<==++当时 1112123212,;lim lim 262n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+⋅===+⋅当时 2,a =-当时11111111112221()2(2)22232622(2)22323()2222n n n n n n n n n nn n nn nn n n n n n a a n ----+++--+⎧-+-==-⎪+-+⎪+⋅==⎨++-+⋅⎪==-⎪⎩--为奇数为偶数 学生巩固练习1 a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→Λ等于 A 2 B 0 C 1 D －12 若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn c a c a )(lim 22++∞→的值是( ) A 0B 1C 0或1D 不存在3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5 在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n6 设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值 (a 为非零常数)7已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值8 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n参考答案 1 解析 )111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n Λ答案 A 2 解析 ⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案 C二、3 解析 xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案214 解析 原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a Θ ∴a ·b =82 答案 825 解 (1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6 解 由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0 ①同理f (4a )=0 ②由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim 222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1 ③同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1 ④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a a a x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a pp b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8 解 (1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n －1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1-- ∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T 课前后备注。