A运算的意义

向量加法运算及其几何意义我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？1．向量的加法(1)定义：求两个向量__和__的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个__向量__．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量 AC →叫做向量a 与b 的和，记作a ＋b .这种求__向量和__的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a 、b (如图乙所示)，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB →、AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则向量 AC →＝a ＋b ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．[知识点拨]向量加法的平行四边形法则和三角形法则(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了．(3)向量求和的多边形法则①已知n 个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n 个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －2A n －1＋A n －1A n ＝A 0A n →②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2．向量加法的交换律已知向量a 、b ，如图所示，作AB →＝a ，BC →＝b ，如果A 、B 、C 不共线，则AC →＝a ＋b ． 作AD →＝b ，连接DC ，如果我们能证明DC →＝a ，那么也就证明了加法交换律成立． 由作图可知，AD →＝BC →＝b ，所以四边形ABCD 是平行四边形，这就证明了DC →＝a ，即a ＋b ＝b ＋a .向量的加法满足交换律．3．向量加法的结合律如图，作AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，由向量加法的定义，知AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，BD →＝BC →＋CD →＝b ＋c ，所以AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝a ＋(b ＋c )． 从而(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，即向量的加法满足结合律．[知识点拨]1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A 出发，①先走过的位移为向量a ，再走过的位移为向量b ，②先走过的位移为向量b ，再走过的位移为向量a ，则方案①②中质点A 一定会到达同一终点．2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a ＋b )＋(c ＋d )＝(b ＋d )＋(a ＋c )；a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝[d ＋(a ＋c )]＋(b ＋e )．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( C )A ．AB →＝DC →B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →＝BD →＋AD → D ．AD →＋CB →＝0[解析] 因为AB →＝AD →＋DB →≠BD →＋AD →，所以，C 错误． 2．化简PB →＋OP →＋BO →＝ 0 ．[解析] PB →＋OP →＋BO →＝(OP →＋PB →)＋BO →＝OB →＋BO →＝0．3．如图所示，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b ＋c ．[解析] a 、b 、c 不共线中隐含着a ，b ，c 均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB →＝a ，BC ＝b ，则AC →＝a ＋b ，再作CD →＝c ，则AD →＝AC →＋CD →＝(a ＋b )＋c ，即AD →＝a ＋b ＋c ．解法二：(平行四边形法则)：∵a 、b 、c 不共线，如图(2)所示． 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ， 以OA →、OB →为邻边作▱OADB ， 则对角线OD →＝a ＋b ，再作OC →＝c ， 以OC →、OD →为邻边作▱OCED ． 则OE →＝a ＋b ＋c ．命题方向1 ⇨向量的加法及几何意义 典例1 (1)如图，已知a 、b ，求作a ＋b ．(2)如图所示，已知向量a 、b 、c ，试作出向量a ＋b ＋c ．[思路分析] (2)本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．[解析] (1)①AC →＝a ＋b ②AC →＝a ＋b(2)作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD 、OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．『规律总结』 (1)当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用． (2)多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和． 〔跟踪练习1〕如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．[解析] 如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ． 命题方向2 ⇨向量加法运算律的应用 典例2 化简下列各式： (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →； (2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA →．[思路分析] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．[解析] (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DA →＝0．(2)(AB →＋DE →)＋CD →＋BC →＋EA → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)＋EA → ＝AC →＋CE →＋EA → ＝AE →＋EA →＝0．『规律总结』 向量运算中化简的两种方法：(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．〔跟踪练习2〕如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，F 为线段DE 延长线上一点，DE ∥BC ，AB ∥CF ，连接CD ，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)AB →＋DF →＝ AC →； (2)AD →＋FC →＝ AB →； (3)AD →＋BC →＋FC →＝ AC →．[解析] 由已知可得四边形DFCB 是平行四边形． (1)易知DF →＝BC →．由三角形法则得：AB →＋DF →＝AB →＋BC →＝AC →． (2)易知FC →＝DB →，所以AD →＋FC →＝AD →＋DB →＝AB →． (3)AD →＋BC →＋FC →＝AD →＋DF →＋FC →＝AC →． 向量加法的实际应用向量加法的实际应用中，要注意如下应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．典例3 在某地抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[思路分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．[解析] 如图所示，设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800km ．则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →． 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°． 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°．从而飞机飞行的路程是1600km ，两次飞行的位移和的大小为8002km ，方向为北偏东80°．〔跟踪练习3〕如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[解析] 如图，设CE →、CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →．易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →|cos30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|cos60°＝10×12＝5．∴A 处所受的力的大小为53N ，B 处所受的力的大小为5 N ． 用平行四边形法则作平行向量的和 典例4如图，已知平行向量a ，b ，求作a ＋b ． [错解]作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b 就是求作的向量．[辨析] 由于a ∥b ，所以不适合用平行四边形法则，应该用三角形法则． [正解]作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b 就是求作的向量．[点评] 1.当a 与b 同向共线时，a ＋b 与a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |．2．当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |；若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0．〔跟踪练习4〕已知向量a ∥b ，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向( A ) A ．与向量a 的方向相同B ．与向量a 的方向相反C ．与向量b 的方向相同D ．不确定1．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b 表示( D ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2km[解析] 如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B ) A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＋OE →＝OF →C ．EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →[解析] 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案． 3．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简结果为( C ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →[解析] 原式＝AB →＋BO →＋MB →＋BC →＋OM →＝AO →＋OM →＋MC →＝AM →＋MC →＝AC →． 4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →成立时，点P 位于( D ) A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部[解析] 如图P A →＋PB →＝PC →，则P 在△ABC 的外部．5．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( C ) A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD →D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →[解析] 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →．A 级 基础巩固一、选择题1．下列等式中不正确的是( C ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C ．|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．AC →＝DC →＋AB →＋BD →[解析] 当a 与b 方向不同时，|a ＋b |≠|a |＋|b |． 2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( D ) A ．CA → B ．BC → C ．AB →D ．AC →[解析] AB →＋BC →＝AC →．3．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( A ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是共线向量 C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可[解析] 当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |；向量a 与b 同向时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |；向量a 与b 反向且|a |<|b |时，a ＋b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |．4．如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( B )A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →[解析] 连结CF ，取CF 中点O ，连结OE ，CE ． 则BA →＋CD →＋FE →＝(BA →＋AF →)＋FE →＝BE →．5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( B ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AB →＋BC →＝AC →，则|AB →|＝|BC →|＝|AC →|， 则△ABC 是等边三角形．6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( C ) A ．P A →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0 C ．PC →＋P A →＝0D ．P A →＋PB →＋PC →＝0[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，∴由平行四边形法则，点P 为线段AC 的中点， ∴PC →＋P A →＝0.故选C ． 二、填空题 7．化简下列各式： (1)AB →＋BC →＋CA →＝ O →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝ BA →；(3)化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝ AC →． [解析] (1)AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；(2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →． (3)AC →．8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝ OC →．[解析] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →． 三、解答题 9．如图所示，求：(1)a ＋d ； (2)c ＋b ； (3)e ＋c ＋b ； (4)c ＋f ＋b ．[解析] (1)a ＋d ＝d ＋a ＝DO →＋OA →＝DA →； (2)c ＋b ＝CO →＋OB →＝CB →；(3)e ＋c ＋b ＝e ＋(c ＋b )＝e ＋CB →＝DC →＋CB →＝DB →； (4)c ＋f ＋b ＝CO →＋OB →＋BA →＝CA →．10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的中点．求证：(1)AB →＋BE →＝AC →＋CE →； (2)EA →＋FB →＋DC →＝0．[证明] (1)由向量加法的三角形法则， ∵AB →＋BE →＝AE →，AC →＋CE →＝AE →， ∴AB →＋BE →＝AC →＋CE →．(2)由向量加法的平行四边形法则，∵EA →＝EF →＋ED →，FB →＝FE →＋FD →，DC →＝DF →＋DE →， ∴EA →＋FB →＋DC →＝EF →＋ED →＋FE →＋FD →＋DF →＋DE → ＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →) ＝0＋0＋0＝0．B 级 素养提升一、选择题1．已知|AB →|＝10，|AC →|＝7，则|BC →|的取值范围是( A ) A ．[3,17] B ．(3,17) C ．(3,10)D ．[3,10][解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及AB →与AC →共线时的情况求解．即|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AC →|＋|AB →|，故3≤|BC →|≤17．2．向量a 、b 均为非零向量，下列说法中不正确的是( B ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同[解析] 当a 与b 反向，且|a |<|b |时，向量a ＋b 与b 的方向相同．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C ) ①a ∥b ②a ＋b ＝a ③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b | ⑥|a ＋b |>|a |＋|b |A ．①②⑥B ．①③⑥C ．①③⑤D ．②③④⑤[解析] ∵a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA → ＝AD →＋DA →＝0， ∴①③⑤均正确．4．若M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( C ) A ．AB →＋BC →＋AC → B ．AM →＋MB →＋BC → C ．AM →＋BM →＋CM →D ．3AM →＋AC → [解析] 由三角形重心性质得AM →＋BM →＋CM →＝0． 二、填空题5．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为 4 km/h ，他实际沿__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__．[解析] ∵OB ＝43，OA ＝4， ∴OC ＝8，∴∠COA ＝60°．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝__1__．[解析] 在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABC 是等边三角形，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1．三、解答题7．如图所示，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →．[解析] 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四这形OADB ，由向量加法的平行四边形法则知OA →＋OB →＝OD →．由|OA →|＝|OB →|，∠AOB ＝120°， 知∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|． 又∠COB ＝120°，且|OB →|＝|OC →|． ∴OD →＋OC →＝0， 故OA →＋OB →＋OC →＝0．8．如图所示，已知矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，试求|a ＋b ＋c |的大小．[解析] 如图所示，过D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点E ．∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形， ∴DE →＝AC →，CE →＝AD →， 于是a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →＝AD →＋AD →， ∴|a ＋b ＋c |＝|AD →＋AD →|＝83．C 级 能力拔高如图，已知△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°，则在下列结论中正确的是__①②③④__．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋BC →|＝|CA →|； ③|AB →＋CA →|＝|BC →|； ④|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2．。

四年级数学下册知识结构总结用字母表示数一、用字母表示数的格式（默写）1、用字母表示数：在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“.”，也可以省略不写。

省略时，通常把数字写在字母前面。

如：5×a x×3 a×x x×y×6 1×b 7×7 a×b a×b×c （a—b）÷3写为：5a 3x ax 6xy b 7•7 ab abc a/3－b/3或1/3(a－b)2、求含有字母的式子的值时要注意格式：首先写出字母等于几，再写出含有字母的式子，然后利用脱式计算的形式，将字母换成数再计算即可。

例：超市原有b台彩电，卖出70台后，超市还有彩电（b—70）台。

当b=150台时，超市还有彩电：b—70=150—70=80（台）二、用字母表示数量关系，1、表示路程公式：s=vt；（默写）例：一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶了4小时，下午行驶了b千米，这辆汽车共行驶了（4a+b）千米。

当a=80 b=200时，这辆汽车行驶了：4a+b=4×80+200=520（千米）。

2、含字母的式子比较大小：如: “< = ˃”2Χ一定（）Χ²。

1）大于2）小于3）等于4）不能确定注意：a²和2a，当a=2时，其值相等；当a≠2时，无法确定。

3、表示面积、周长公式:（默写）正方形的面积公式：s=a•a 或s=a²长方形的面积：S=ab正方形的周长：C=4a长方形的周长：C=2•(a+b) 或c=2(a+b)4、应用类：①某班有女生X人，女生比男生少8人，则某班全体同学的人数是（2X+8）人。

如果X=23时，则某班人数为2x+8=46+8=54（人）②青青林场栽了梧桐树和雪松各X排，已知梧桐树每排12棵，雪松树每排14棵，栽梧桐树和雪松树共计（12+14）X棵。

专题三 定义新运算【考点扫描2】本专题涉及知识在小升初择校考试中多以填空、选择、判断等题型出现，属于中低档难度（偶尔有极少数题涉及到小学奥数难度）。

常见的考点有：整数、分数、小数、百分数的基本概念，简单的数论问题等。

同学们在备考时，只要对相应的知识进行全面系统的梳理，及时查漏补缺，在考试中遇到本专题涉及到的问题一定能够轻松应对。

【典例精讲2】例1 分数56的确切意义是 。

（西区2008）解：考查分数的基本含义，答案是：把1平均分成6份，表示其中的5份。

例2 一个数的小数点向右移动一位，这个数就增加2.7，这个数原来是 。

（西川2010） 解：设这个数为x ，则小数点向右移动一位后变为10x ，于是有102.7x x -=，解得0.3x =，即原数为0.3。

例3 有一个自然数，用它去除226余a ，去除411余1a +，去除527余2a +，则a = 。

（成外2011）解：由题意分析可知，用这个自然数去除226、410和525都余a ，设这个自然数为m ，则(410226,525410)(184,115)23m =--==，于是有22623919÷= ，所以19a =。

例4 已知a 是质数，b 是奇数，且22009a b +=，那么a b += 。

（实外2008）解：由22009a b +=可知，2a 与b 必为一奇一偶，而b 是奇数，则2a 必为偶数，从而a 必为偶质数，故2a =，于是2005b =，所以220052007a b +=+=。

例5 大于15而小于11的分数中，分母为6的最简分数一共有 个。

（嘉祥2009）解：设满足题意的最简分数为6m （m 为正整数且与6互质），则有11156m <<，于是1.266m <<，即265m <<，从而满足题意的m 必然是奇数且不是3的倍数，共有(651)21121-÷-=个。

【真题演练2】一、填空题1、（嘉祥2011）设a 、b 分别表示两个数，如果a*b=342a b +,如4*3=34432⨯+⨯=12，则（1）2*（6*7）=________;(2)如果x*(6*7)=109,那么x=________.2、（成外2007）“| |”表示一种运算，|a,b|的含义是：a 与b 中较大数与较小数的差。

第4讲定义新运算例1“◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a ◎b=a×b-(a+b) 求：(1) 3◎5；(2) (3◎4)◎5例2将新运算“*”定义为：a *b= (a 1×b 1)÷(a 1÷b1)(a 、b 非0)。

求3*(4*5).例3如果2△3=2+3+4=9，5△4=5+6+7+8=26， 那么：(1)求9△5； (2)解方程：x △3=15。

例4规定“□”的运算法则如下，对于任何整数a ，b ：2a+b-1 (a+b≥10)a□b=2ab (a+b<10） 求：1□2+3□+3□4+4□5+5□6+6□7+7□8+8□9+9□10例5定义运算“#”，它的意义是a#b=a+aa +aaa +aaaa …+aa aaa (a ，b 都是非0自然数)。

求： (1)2#3，3#2；(2)1#x=123456789，求x ；(3)5678×(5677#2)-5677×(5678#2)。

1．设a ☆b=a 2-b 2,求15☆13=( )。

2．设a*b=4×a －5×b ，求： (1)5*4=( )：(2)(6*4)*2=( )：(3)x*(2*x)=18，x=( )。

3．如果o ：l ：6的含义表示o×b 一口+6，那么2半(4牢 6)水8=( )。

4．规定A∆ b=b a －a b，则5∆3+158=( )5．对于整数a,b ，规定运算#的含义为： a#6=a× b+a+1，又知(2#x)#2=10， 则x= ( )。

6．对于任意非零自然数a,b ，规定 a*b=a÷b×2+3且256*x=19， 则x = ( )。

7．规定o ※b= ba ba +⨯，则2※2※10 = ( )。

8．对于任意非零自然数x 、y ，定义新运算口如下：若x 、y 奇偶性相同， 则x □y=(x+y)÷2；若x 、y 奇偶性不同， 则x □y=(x+y+1)÷2。

C语言中的表达式a += b，相当于a = a + bC语言是一门广泛应用的编程语言，其具有丰富的表达式和语法规则，其中a += b这样的表达式在实际编程中经常被使用。

本文将深入探讨C语言中的表达式a += b，明确其含义和使用方法，以帮助读者更好地理解和应用这一表达式。

一、表达式a += b的含义1.1 a += b的基本形式在C语言中，表达式a += b是一种简写形式的赋值运算符。

它相当于a = a + b，表示将变量a的值与变量b的值相加，然后再将相加的结果赋值给变量a。

1.2 适用情况表达式a += b通常用于简化代码，特别是对于重复进行加法操作的情况。

当需要对一个变量进行多次累加时，使用a += b可以减少代码的重复性，提高代码的可读性和简洁性。

1.3 赋值运算符的其他形式除了a += b，C语言中还有许多其他形式的赋值运算符，例如+=、-=、*=、/=等，它们分别表示加法赋值、减法赋值、乘法赋值和除法赋值。

这些赋值运算符都是用来简化代码和提高效率的重要工具。

二、表达式a += b的使用方法2.1 基本用法下面通过一个简单的示例来介绍表达式a += b的使用方法：```c#include <stdio.h>int m本人n() {int a = 10;int b = 5;a += b; // 相当于a = a + b;printf("a的值为：d\n", a); // 输出a的值为15return 0;}```在上面的示例中，变量a的值最终被赋为15，即10加上5的结果。

可以看到，表达式a += b的使用方法非常简单直观。

2.2 注意事项在使用表达式a += b时，需要注意变量a和b的类型是否匹配，以避免产生意外的结果。

因为C语言是一种强类型语言，对于不同类型的变量进行运算时需要进行类型转换，否则可能会出现错误。

三、表达式a += b与a = a + b的区别3.1 形式上的区别表达式a += b与a = a + b在形式上有明显的区别，前者使用了赋值运算符+=，而后者则是通过等号=进行赋值操作。

向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。

对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。

2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。

（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。

3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。

（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。

（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。

二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。

2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。

绝对值的运算公式绝对值是数学中的一种运算方式，用来表示一个数与零的距离。

绝对值的运算公式可以表示为：|a| ={a, a ≥ 0-a, a < 0}其中，|a| 表示数 a 的绝对值，a 可以是任意实数。

绝对值运算公式的意义绝对值运算公式可以用来计算一个数的绝对值。

当数a 大于等于零时，它的绝对值等于它本身；当数a 小于零时，它的绝对值等于它的相反数。

1. 绝对值的基本性质绝对值的运算公式具有以下基本性质：1.1 非负性：对于任意实数 a，其绝对值非负，即|a| ≥ 0。

1.2 同号性：若a ≥ 0，则 |a| = a；若 a < 0，则 |a| = -a。

1.3 逆性：对于任意实数 a，有 |-a| = |a|。

1.4 三角不等式：对于任意实数 a 和 b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

这些基本性质使得绝对值运算公式成为数学中一个重要的工具，被广泛应用于各种数学问题的求解过程中。

2. 绝对值的应用2.1 解绝对值方程绝对值运算公式在解绝对值方程中起着重要的作用。

对于形如|a| = b 的方程，根据绝对值的定义，可以得到以下两个解：a =b 或 a = -b通过将方程中的绝对值拆解成正负两种情况，可以得到方程的解集。

例如，对于方程 |2x - 5| = 7，可以拆解为以下两个方程：2x - 5 = 7 或 2x - 5 = -7解得 x = 6 或 x = -1，所以方程的解集为 {6, -1}。

2.2 确定数的范围绝对值运算公式还可以用于确定数的范围。

例如，对于一个不等式|x - 3| < 5，可以拆解为以下两个不等式：x - 3 < 5 或 -(x - 3) < 5解得 x < 8 或 x > -2，所以不等式的解集为 (-2, 8)。

绝对值运算公式在数学中还有很多其他的应用，如求函数的绝对值最小值、计算误差的绝对值等等。

无论在哪个领域，绝对值运算公式都是解决问题的一个重要工具。

专题三定义新运算知识概要加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉。

除了这四种运算，我们还可以定义一些其他的运算。

这里所说的定义，就按照某种约定（规定），给这种新运算一个明确的含义。

只要弄明白这种含义，找准运算规律，按照给定的规律和计算方式与顺序计算就可以得到正确的结果了。

这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。

基本训练1．如果规定a/3.b=口+6，其中口、6是自然数，那么5A2等于多少？2．如果规定axb=axb，其中o、6是自然数，那么10*2等于多少？色如果规定ayb =2xa+b，其中a、6表示两个自然数，那么(2y4) y3等于多少？4．如果规定a*b=axb+2，其中口、6表示两个自然数，那么3*2等于多少？5．如果规定Ay,B=3xA+5xB，A、B表示两个自然数，则4x5等于多少？。

罗如果规定口0 6=2×口十口×6，那么3 0 4等于多少？7．设口、6表示两个数，记号axb表示axb-a+b，那么5*7等于多少？8．设口、6表示两个数，ay-b=2xa÷b，那么6x3等于多少？9．若规定axb=（a+b）÷2，o、6表示两个数，那么(3*5)*2等于多少？10．若规定axb=2xa+3xb，那么4x5等于多少？11.定义一种新的运算*：规定axb=4xa-3xb，求5*4，4*5各等于多少？固定义一种新的运算o，规定：口①b =3×口+2×6，求4①5等于多少？13．定义一种新的运算△，规定：aAb=口×6+口+6，求SA8等于多少？14.定义新的运算“*”为axb=axb-（a+b），求Sx7，7*5各等于多少？15.设口、6表示两个数，axb=a+2xb-l，那么7*8x9等于多少？o．已知aL\b=（a+b）÷2，a\7b=axb-a，计算：(1洳甾签少(趔垩墅亘》17.口、丁囊示两个数，口x6：bxb-4×口，那么42*(5*8)等于多少？18．对于整数口、6，规定aAb=axb_a_b+l，则(2*2)*2等于多少？19.A、B表示两个数，AxB=2xA+24÷B，则(2*6)*4等于多少？20．规定AoB等于A与后面的共B个连续自然数相乘所得的积，那么506等于多少？21.A、B表示两个数，A*B=2x A+18÷B，那么(2*6)*4等于多少？22．A、B是两个自然数，我们规定A*B表示A与A后面的B-l个连续自然数的和，如2*3=2+3+4，那么(4*5)*3等于多少？23.设o、6表示两个自然数，a*b表示5xa-2xb，那么(1*2)×(2*1)等于多少？：、6是自然数，规定口xb=3×口一号，则2x6等于多少？寸于数a、6定义运算“V”为a\ 6=(a+3)×(6-5)，求5V（6V”等于多少？26．对于数菇、，，，定义两种运算“*”及“△”如下：x*），=6x戈+5x），，xL\y=3×xxy，求(2*3) A4等于多少？27.定义一种新运算“O”，aOb表示把口和6加起来除以4，求20(305)等于多少？28.0表示一种新的运算，它是这样定义的：aOb=axb-（a+b），计算：(1)90ii (2)3040sy表示两个自然数，定义x\7y=2a+3b，(1)10'<713 (2)3\7 (4V5)30.口、6表示两个自然数，定义口※6：2a - 24÷6，计算：(1)12※12 (2)4※(3※8)提高训练1．如果2A3=2+3+4,5A4=5+6+7+8，那么22\ (3A2)等于多少？2．如果口、6表示两个数，且a*6=(6+1)÷2+3a，那么(28* 19)*(46* 37)等于多少？3．规定aOb=口×6- (a+6)，那么(ioCD5)+(805)等于多少？4．x.y是两个数，xAy=茹+），-5，计算：(1)(4△3)△(6△2)(2)8A[(9A3)A4]5.A.B表示两个数，定义AOB=AB -1，计算：(1)(305)+(709)(2)40 [30(201)]6.M、Ⅳ是两个数，MrⅣ=M-N~2,计算：(1)（6十4）一（4十6）(2)（7十8）×c3十2）7．a.b表示两个数，口※6=(a+6)÷2,aOb：3a -6，计算：(1)(2X4)03 (2)(204)※68．已知菇、}），=夥+菇一），，石十），=缈一戈+），，计算：c1)5十(8 4，4) (2)4 Fs - 5+49．如果2~3=2+3+4,5~4=5+6+7+8，按此规则计算，(1)7 0 5 (2)(3①4)①210．如果2~4=2×3×4,7~11=7×8×9×10×11，按此规则计算：(1)1 0 5(2)5~9 - 6~8ri.有一数学运算符号“。

小学六年级数学总复习知识点归纳第一章数和数的运算一概念（一）整数1 、整数的意义自然数和0都是整数。

2、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。

这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除：倍数和因数是相互依存的。

因为35能被7整除，所以35是7 的倍数，7是35的约数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数，5的倍数：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

3的倍数：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

9的倍数：一个数各位数上的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

是3的倍数的数不一定是9的倍数，是9的倍数的数一定是3的倍数。

6、是2的倍数的数叫做偶数。

不是2的倍数的数叫做奇数。

0也是偶数。

自然数按是不是2的倍数的特征可分为奇数和偶数。

7、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1既不是质数也不是合数，自然数除了0、1外，不是质数就是合数。

如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和0、1。

8、公因数只有1的两个数，叫做互质数。

成互质关系的两个数，有下列几种情况：（1）1和任何自然数互质。

（2）相邻的两个自然数互质。

（3）两个不同的质数互质。

a+b等于多少
介绍a+b的意义
a+b的意义，是指对某两个值进行加法运算，求得它们的总和。

例如，当a等于2，b等于3时，a+b等于5。

一般来说，a+b是指“a加上b”，但它也可以用于表示a和b结合的概念。

加法运算是计算机编程中最重要的运算之一，是基本的“加号”算法。

从最简单的加法运算开始，它可以用来计算更复杂的数学表达式。

加法运算也可以用来描述一个空间位置。

例如，当一个坐标在X轴上增加2米，Y轴上增加3米时，可以表示为X+2和Y+3，其中X和Y就是一个空间位置的参数。

加法也可以用来表示一个抽象的结果，例如，如果你和你朋友参加一次比赛，获取得分分别为7分和10分，那么你和你朋友总得分就可以表示为7+10=17。

此外，加法运算还可以用来抽象化，例如，从人类的角度看，它可以帮助我们表达社交交往，以及人际关系的复杂程度。

总的来说，a+b的意义意义体现了加法运算的广泛性，它被广泛用于描述各种实践场景，也是许多计算机程序的基本操作符，是数学犬表达式计算运算的重要方法。

数学运算c 和a全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学运算是我们日常生活中经常遇到的一种算术运算，它可以帮助我们解决各种实际问题。

数学运算c 和a被认为是数学中的基础运算，它们在数学领域中有着重要的作用。

让我们来介绍一下数学运算c。

数学运算c是加法运算，是一种最基本的运算方法。

在c运算中，我们需要将两个或多个数值相加，得到总和。

计算5 + 3的运算就是一个简单的c运算，结果为8。

c运算在日常生活中也经常被使用，比如购物时计算总金额、团队比赛时统计得分等等。

数学运算c 和a虽然简单，但在实际应用中却有着重要的作用。

它们可以帮助我们解决各种问题，培养我们的逻辑思维能力、加强我们的计算能力。

在学习数学的过程中，掌握好c 和a运算是非常重要的基础，它们为我们之后学习更加深入的数学知识打下了坚实的基础。

除了加减法运算，数学中还有乘法、除法等各种运算方法。

这些运算方法虽然有着不同的特点和应用场景，但都离不开基本的c 和a 运算。

在学习这些高级运算之前，我们首先要掌握好c 和a运算，熟练进行各种数值计算。

值得注意的是，数学运算c 和a在计算中有一些规则和性质，比如加法满足交换律、结合律等，减法满足减法的性质等。

了解这些规则和性质可以帮助我们更加灵活地运用c 和a运算，提高我们的计算效率。

数学运算c 和a是数学中的基础运算方法，它们在我们的日常生活和学习中都扮演着重要的角色。

通过学习和掌握这两种运算方法，我们可以提高我们的计算能力，锻炼我们的逻辑思维能力，为我们的学习和工作打下坚实的基础。

希望大家能够重视数学运算c 和a的学习，提高自己的数学水平，成为数学领域的佼佼者。

【字数未达2000，请问还有什么内容需要补充？】第二篇示例：数学运算是人类文明发展中一项重要的基础工具，它帮助我们解决各种问题，进行各种分析和研究。

在数学运算中，我们经常会涉及到一些特定的符号和概念，如c 和a。

下面我们就来详细了解一下这两个符号在数学运算中的作用和应用。

四则运算的意义和计算法则
四则运算是数学中最基本的运算之一,包括加减乘除和有余除法运算。

四则运算的意义在于满足数学中的一定条件,使得计算更简便。

例如,在计算减法时,如果两个数相减的余数为0,则可以直接省略余数;在计算加法时,如果两个数的和等于一个数的积再加上一个余数(即和能够被积化和简),则可以直接省略积数。

四则运算的计算法则如下:
1. 加法运算法则:a + b = (a * c) / d + b
其中,a、b、c、d为任意实数,*表示乘除,/表示移项,*和/都要有优先级,优先级最高者为*,次高者为/。

2. 减法运算法则:a - b = (a * c) / d - b
其中,a、b、c、d为任意实数,/表示移项,优先级最高者为*,次高者为/。

3. 乘法运算法则:a * b = c * d
其中,a、b、c、d为任意实数,*表示乘除,/表示移项,优先级最高者为*,次高者为/。

4. 除法运算法则:a ÷ b = (c * d) / e ÷ b
其中,a、b、c、d、e为任意实数,/表示移项,优先级最高者为*,次高者为/。

5. 有余除法运算法则:a ÷ b = if (c > 0 && b * b >= a * a) {c * b / a}; else {c * a / b};
其中,if语句的优先级与加法运算法则相同,但是有余数除法运算符优先级高于乘除运算符。

向量的加法运算及其几何意义导学案一、概念向量是由大小和方向同时确定的量，可以用有向线段来表示，通常用字母加箭头的形式表示，如→AB表示由点A指向点B的向量。

二、向量加法的运算规律1.交换律：A+B=B+A2.结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3.零向量：对于任意向量A，A+0=A，其中0表示长度为0的向量，也称为零向量，记作0向量。

4.负向量：对于任意向量A，存在一个唯一的向量B，使得A+B=0，称向量B为A的负向量，记作-B。

三、向量加法的几何意义向量加法的几何意义可以通过平行四边形法则进行解释。

平行四边形法则：将两个向量的起点放在同一点，然后将这两个向量的终点相连，得到的线段所构成的平行四边形的对角线，即为两个向量的和向量。

具体操作步骤如下：1.将第一个向量的起点放在坐标原点O处，终点放在点A处；2.将第二个向量的起点也放在坐标原点O处，终点放在点B处；3.用直线段连接点A和B，得到一个平行四边形，记作OACB；4.连接O和C，并延长OAC和OCB，使其交于D点；5.OD就是所求的和向量，记作C=A+B。

四、示例以二维向量为例，假设有向量A(3,2)和向量B(1,-4)，求和向量C=A+B。

1.将向量A的起点放在原点O，在坐标系上表示出向量A；2.将向量B的起点也放在原点O，在坐标系上表示出向量B；3.用直线段连接两个向量的终点，得到平行四边形OACB；4.连接O和C并延长OC，交于点D；5.OD就是所求的和向量C。

根据平行四边形法则，连线OC就是向量A和向量B的和向量C。

对于上述例子，可以得到C=(4,-2)。

五、向量加法的向量表示向量的坐标表示法，可以将向量拆分成水平方向上的分量和垂直方向上的分量。

向量A的水平分量记作Ax，垂直分量记作Ay；向量B的水平分量记作Bx，垂直分量记作By；向量C=A+B的水平分量记作Cx，垂直分量记作Cy。

根据向量相加的运算规律，可以得到：Cx=Ax+Bx，Cy=Ay+By。