人教新课标版数学高二-数学选修1-1 探究课后作业1.4.3含有一个量词的命题的否定

1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定双基达标（限时20分钟）1．下列命题中，不是全称命题的是()．A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题．答案 D2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()．A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．答案 B3．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．答案 B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定綈p：________．解析特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，綈p(x)”．故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋4≥05．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]6．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解(1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．综合提高（限时25分钟）7．下列命题的否定为假命题的是()．A．∀x∈R，－x2＋x－1<0B ．∀x ∈R ，|x |>xC ．∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12D ．∃x 0∈R ，sin 2x 0＋sin x 0＋1＝0解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A 中的命题为真命题，其余均为假命题，所以选A.答案 A8．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( )．A ．a <1B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.答案 A9．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．答案 有的向量与零向量不共线10．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析 依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0a 2－1<1⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案 (－2，－1)∪(1，2)11．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．(创新拓展)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.4.2 含有一个量词的命题的否定同步练习题【基础演练】题型一：全称命题的否定全称命题的否定是特称命题，若全称命题为p ：)(,x P M x ∈∀，则它的否定M x p ∈∃⌝:，)(x p ⌝，请根据以上知识解决以下1~3题。

1.写出下列命题的否定。

（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）所有自然数的平方是正数；（4）任何实数x 都是方程0125=-x 的根。

（5）对任意实数x ，存在实数y ，使x+y>0 2. 判断下列全称命题的真假，并写出其否定： （1）对所有的正实数，都有x x <； （2）R x ∈∀，2452=+x x3.命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ） A. 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B. 原函数与反函数的图象关于y=x 对称C. 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D. 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称题型二：特称命题的否定特称命题的否定是全称命题，若特称命题为M x p ∈∃:，p （x ），则它的否定)(,:x P M x p ⌝∈∀⌝，请根据以上知识解决以下4~6题。

4. 写出下列命题的否定。

（1）R x ∈∃,,012=+x （2） R x ∈∃,x x >-34 （3）有一个质数是偶数；（4）存在一个实数，使等式082=++x x 成立。

5. 写出下列命题的否定，并判断其真假。

（1）存在一个四边形不是平形四边形。

（2）有些质数是奇数。

6.写出下列各命题的否定，并判断其真假； （1）p:一切分数都是有理数； （2）q:有些三角形是锐角三角形（3）r: R x ∈∃,22+=+x x x（4）s: R x ∈∀,42+x ≥0题型三：求参数范围或值利用全称命题，特称命题求参数的范围或值是一类比较综合，难度较大的问题，注意考查两种问题及其否定的定义，请根据以上知识解决第7题。

1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。

课时作业含有一个量词的命题的否定一、选择题(每小题分，共分)．∃，∈，使得＝＋的否定是( )．∀，∈，使得＝＋．∃，∈，使得≠＋．∀，∈，使得≠＋．以上都不对．命题“∀∈，－＋≥”的否定是( )．∃∈，－＋<．∃∈，－＋≥．∃∈，－＋≤．∀∈，－＋<．命题“存在∈，使＋＋≤”的否定是( )．存在∈，使＋＋>．不存在∈，使＋＋>．对于任意∈，都有＋＋≤．对于任意∈，都有＋＋>．特称命题“∃∉，()”的否定是( )．∀∈，綈() ．∀∉，()．∀∉，綈() ．∀∈，()．已知>，函数()＝＋＋.若满足关于的方程＋＝，则下列选项的命题中为假命题的是( )．∃∈，()≤() ．∃∈，()≥()．∀∈，()≤() ．∀∈，()≥()．若函数()＝＋(∈)，则下列结论正确的是( )．∀∈，()在(，＋∞)上是增函数．∀∈，()在(，＋∞)上是减函数．∃∈，()是偶函数．∃∈，()是奇函数二、填空题(每小题分，共分)．命题“∃∈，≤”的否定是．．已知命题：“∀∈，≤”，则命题綈是．．设命题：<和命题：对∀∈，＋＋>，若和有且仅有一个成立，则实数的取值范围是．三、解答题(共分)．(分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定：()∀α，β∈，(α＋β)≠α＋β；()∃，∈－＝；()在实数范围内，有些一元二次方程无解；()正数的对数都是正数．．(分)用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假．()二次函数的图象是抛物线．()直角坐标系中，直线是一次函数的图象．()∀，∈，方程＋＝恰有一解．()∀＝π(∈)，(＋)＝.．(分)给定两个命题：：对任意实数都有＋＋>恒成立；：关于的方程－＋＝有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．参考答案: .解析：这是一个特称命题，其否定为全称命题，形式是：∀，∈，有≠＋.答案：.解析：由定义直接可得．答案：.解析：由特称命题的否定得出．答案：.解析：由特称命题的否定的定义可得．答案：.解析：由题知：＝－为函数()图象的对称轴，所以()为函数的最小值，即对所有的实数，都有()≥()，因此∀∈，()≤()是错误的，故选.答案：.解析：对于只有在≤时()在(，＋∞)上是增函数，否则不满足；对于，如果≤就不成立；对于若＝，则成为偶函数了，因此只有是正确的，即对于＝时有()＝是一个偶函数，因此存在这样的，使()是偶函数．答案：.解析：由题知，本题为特称命题，故其否定为全称命题．。

1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则() A．綈p：∃x0∈R，cos x0≥1B．綈p：∀x∈R，cos x≥1C．綈p：∃x0∈R，cos x0>1D．綈p：∀x∈R，cos x>1解析：全称命题的否定为特称命题，∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1.答案：C2．下列命题中，真命题是() A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．答案：A3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是() A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)解析：由题意知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．答案：C4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R,使4x＋2x m＋1＝0．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是() A．[－2,2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)解析：因为綈p 为假，故p 为真，即求原命题为真时m 的取值范围．由4x ＋2x m ＋1＝0得－m ＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ≥2. ∴m ≤－2.答案：C5．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋4>0”的否定是________．解析：“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，∴其否定为：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋4≤0.答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋4≤06．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析：命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题 “有的向量与零向量不共线”．答案：有的向量与零向量不共线7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像．(3)有些四边形存在外接圆．(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．解：(1) ∃f (x )∈{二次函数}，f (x )的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l ∈{直线}，l 不是一次函数的图象．它是真命题．(3) ∀x ∈{四边形}，x 不存在外接圆．它是假命题．(4) ∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．8．已知命题p ： ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ： ∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：对于命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0恒成立，只需12－a ≥0恒成立，即a ≤1； 对于命题q ：∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0成立，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，得a ≤－2或a ≥1.若p 且q 为真，则a ≤－2或a ＝1.故a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}．。

1．4.3 含有一个量词的命题的否定
[学习目标] 1.理解全称命题、特称命题与其否定的 关系(重点)． 2.能正确对含有一个量词的命题进行否定 (重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．含有一个量词的全称命题的否定
全称命题 p
¬p
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M， ¬p(x0)
结论 全称命题的否定 是特称命题
所有能被 3 整除的整数不都是奇数，如整数 6，它是偶数， 故原命题为假，其否定为真命题；∀x∈R，sin2x＋cos2x ＝1 正确，所以 D 的否定是假命题．
答案：D
4．命题 p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0 是____________(填 “全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真” 或“假”)命题，它的否定¬p：________________，它是 ________(填“真”或“假”)命题．
2．真假性的认识． 全称命题的否定与全称命题的真假性相反；特称命 题的否定与特称命题的真假性相反．
[思考尝试·夯基]
1．“都是的”的否定是( )
A．都不是
B．不都是
C．不是
D．其他
答案：B
2．“至多两个”的否定是( )
A．至少两个
B．至少有三个
C．有两个
D．有三个
答案：B
3．下列命题的否定为假命题的是( ) A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0 B．任意一个四边形的四个顶点共圆 C．所有能被 3 整除的整数都是奇数 D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1 解析：因为 x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，原命题为假， 则其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意 一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；

►基础梳理1．全称量词与全称命题．短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．3．全称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．4．特称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．,►自测自评1．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．2．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．1．下列命题是特称命题的是(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在无理数大于等于32．有下列命题：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数；(4)∃x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1＝0；(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(6)∃x 0∈R ，x 20≤0.其中是真命题的为________________(填序号)．答案：(2)(3)(6)3．给下列四个结论：①“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；②“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；③“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；④“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．其中正确结论的序号是______．答案：③④4．判断下列命题的真假．(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)存在一个数，它的相反数是它本身；(4)∀x ∈N ，x 2＞0；(5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22； (6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.解析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；(2)是真命题，所有的有理数都是实数；(3)是真命题，0的相反数就是它本身；(4)是假命题，自然数0的平方不大于0；(5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立；(6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0.5．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围．解析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．令t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则4x －2x ＋1＋2－a ＜0，可化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1，∴命题p 等价于∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4.a ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1.当t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10，所以只须a ＞10，即可得p 为真命题，故所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．1．下列是全称命题且是真命题的是(B)A ．∀x ∈R ，x 2＞0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x ∈Z ，x 20＞1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＞02．下列命题中，真命题是(A)A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )，∴f (x )是偶函数．又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.3．(·广州二模)命题“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0”的否定是(C )A ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0 C ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5＞0D ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤04．命题“原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称”的否定是(C )A ．原函数与反函数的图象关于直线y ＝－x 对称B ．原函数不与反函数的图象关于直线y ＝x 对称C ．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y ＝x 对称D ．存在原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称5．下列命题中的真命题是(D )A ．∃x 0∈R 使得sin x 0＋cos x 0＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x 0∈R 使得x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋16．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x 0∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)7．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是________________________________________________________________________．答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. 8．有以下三个命题：①∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝⎛⎭⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x . 其中正确命题为______(填序号)．解析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；②为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；③为假，sin x ＞cos x .答案：②9．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 答案：[－8，＋∞)10．(·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞11．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：(1)直线与x 轴都有交点；(2)正方形都是菱形；(3)梯形的对角线相等；(4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.答案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．(2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．(3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．(4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．12．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 命题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.即实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．►体验高考1．(·湖北卷)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是(D )A ．∀x 0∉R ，x 20≠x 0B ．∀x 0∈R ，x 20＝x 0C ．∃x ∉R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 02．(·天津卷)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则綈p 为(B )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1解析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x ＋1)e x ＞1”改为“(x 0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”，故选B.3．(·重庆卷)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为(A )A ．存在x 0∈R ，使得x 20＜0B ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x ∈R ，使得x 20＜04．(·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈BB ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B5．(·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．综上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。

一、选择题1．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数【解析】C是特称命题，A、B都是全称命题，但为假命题，只有D既为全称命题又是真命题．【答案】 D2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB．存在实数x0，使sin x0＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】C、D是全称命题，A、B是特称命题，由于|sin x|≤1，故sin x0＝π2＞1不成立，B为假命题，对于A，当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α成立．【答案】 A3．(2013·合肥高二检测)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是() A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．【答案】 D4．(2013·洋浦高二检测)下列命题中真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则∠A ＝∠BB ．∀x ∈R ，都有x 2＋1＞0C ．若lg x 2＝0，则x ＝1D ．∃x ∈Z ，使1＜4x ＜3【解析】 若sin A ＝sin B ，不一定有∠A ＝∠B ，A 不正确，B 正确；若lg x 2＝0，则x 2＝1，x ＝±1，C 不正确，D 不正确．【答案】 B5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D二、填空题6．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是_____．【解析】 在②、④中含有全称量词“都”“任意”，为全称命题．③为特称命题．又①中的实质是：对任意a ，b 有a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故①②④为全称命题．【答案】①②④7．已知四个命题分别为：①∀x∈R,2x－1＞0；②∀x∈N*，(x－1)2＞0；③∃x∈R，lg x＜1；④∃x∈R，tan x＝2.其中是假命题的是________．【解析】由函数的性质，显然①③④是真命题．对于②，当x＝1时，(x－1)2＝0.∴②是假命题．【答案】②8．(2013·青岛高二检测)已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】当1≤x≤2时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数．∴3≤x2＋2x≤8，如果“∃x∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题．∴a＋8≥0，则a≥－8.故实数a的取值范围是[－8，＋∞)．【答案】[－8，＋∞)三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．试判断下列命题的真假：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.【解】 因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1是假命题；当x ＝y 时，p 2成立，故p 2是真命题；1－cos 2x 2＝1－(1－2sin 2x )2＝|sin x |，因为x ∈[0，π]，所以|sin x |＝sin x ，p 3是真命题；当x ＝π4，y ＝9π4时，有sin x ＝cos y ，但x ＋y ＞π2，故p 4是假命题，p 2，p 3是真命题，p 1，p 4是假命题．11．已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－3时，求证对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)证明：当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1，令－9x 2＋6x －1＝0，则Δ＝36－36＝0，∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0.(2)解：∵对任意x ∈R ，有f (x )≤4x ，∴3ax 2＋2x －1≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜0，Δ＝4＋12a ≤0.∴a ≤－13，即a 的取值范围是(－∞，－13].。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、选择题1.下列命题中，为真命题的全称命题是( )A.对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x ∈R ，x 2＝xD.对数函数在定义域上是单调函数2.下列命题中的假命题是( )A.∀x ∈R,2x －1>0B.∀x ∈N *，(x －1)2>0C.∃x 0∈R ，lg x 0<1D.∃x 0∈R ，tan x 0＝23.已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为() A.∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B.∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C.∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D.∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤14.下列特称命题是假命题的是( )A.存在实数a ，b ，使ab ＝0；B.有些实数x ，使得|x ＋1|<1；C.存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；D.有些实数x ，使得(12)x <0.5.下列命题既是特称命题，又是真命题的是( )A.两个无理数的和必是无理数B.存在一个实数x ，使1x ＝0C.至少有一个实数x ，使x 2<0D.有个实数的倒数等于它本身6.命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A.不存在x ∈R,2x >0B.存在x 0∈R,2x 0≥0C.对任意的x ∈R,2x ≤0D.对任意的x∈R,2x>07.已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，sin x<x，则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(綈q)是真命题D.命题p∨(綈q)是假命题二、填空题8.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________.9.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是________________.10.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________.三、解答题11.已知命题p：∀x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围.12.已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围.13.已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若“(綈p)∧(綈q)”为真命题，求实数a的取值范围.[[答案]]精析1.4.3 含有一个量词的命题的否定1.D2.B3.B4.D5.D [A 项，为全称命题；B 项，1x是不能为零的，故B 为假命题；C 项，x 2≥0，故不存在实数x 使x 2<0，故C 为假命题；D 项，当实数为1或－1时可满足题意，故D 为真命题.]6.D [特称命题的否定是全称命题.]7.C [对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2， 则sin x ＝sin(－π2)＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故选C.]8.存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3[[解析]] 由定义知命题的否定为“存在x 0∈R ，使得|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”.9.有些函数没有奇偶性[[解析]] 命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有奇偶性.10.[3,8)[[解析]] 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是[3,8).11.解 ∵綈p 是假命题，∴p 是真命题.也就是∀x ∈R ，有m ＝－(4x －2x ＋1)，令f (x )＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1，∴对任意x ∈R ，f (x )≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1].12.解 由已知得綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立.∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤04＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， ∵綈p 为假，∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞).13.解 ∵p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1≤0.∴綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋1＝0， 綈q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0.由“(綈p )∧(綈q )”为真命题，知綈p 与綈q 都是真命题. 由綈p 为真命题，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，解得a ≤1. 由綈q 为真命题， 得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，解得0≤a ＜4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，0≤a ＜4，即0≤a ≤1. ∴实数a 的取值范围是[0,1].。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、选择题1.命题“∃x0∈R，x30－2x0＋1＝0”的否定是()A.∃x0∈R，x30－2x0＋1≠0B.不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C.∀x∈R，x3－2x＋1＝0D.∀x∈R，x3－2x＋1≠02.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知命题p：∀x∈R，ln(e x＋1)>0，则綈p为()A.∃x0∈R，ln(e x0＋1)<0B.∀x∈R，ln(e x＋1)<0C.∃x0∈R，ln(e x0＋1)≤0D.∀x∈R，ln(e x＋1)≤04.下列有关命题的说法中，正确的是()A.命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”B.命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆否命题为真命题C.命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1>0”D.“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件5.命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A.∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B.∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C.∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D.∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－16.已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是()A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④7.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<2x 0，命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A.“綈p ”是假命题B.“綈q ”是真命题C.“p ∧q ”为真命题D.“p ∨q ”为真命题二、填空题8.命题“对任意k >0，方程x 2＋x －k ＝0有实根”的否定是_________________.9.命题“某些平行四边形是矩形”的否定是___________________________________ ________________________________________________________________________.10.已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，綈p ，綈q 中是真命题的有________.11.命题“∃x 0∈(1,2)，满足不等式x 20＋mx 0＋4≥0”是假命题，则m 的取值范围为________________.三、解答题12.写出下列命题的否定.(1)若3x ＋2>0，则x >－23； (2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根；(3)若x ∈R ，则(x －1)2≥0；(4)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.13.若“∃x 0∈[0，π2]，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围.[[答案]]精析1.D2.D3.C4.D5.A6.D7.D [对于命题p ：x 20＋1－2x 0＝(x 0－1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题.对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立， 则当m ＝0时，mx 2－mx －1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立， 得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2＋4m <0，即－4<m <0.故－4<m ≤0，故命题q 是真命题.因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题， “p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，故选D.]8.存在k 0>0，方程x 2＋x －k 0＝0无实根9.每一个平行四边形都不是矩形10.p ∨q ，綈p11.m ≤－5[[解析]] 由∃x 0∈(1,2)，满足x 20＋mx 0＋4≥0是假命题， 则其命题的否定∀x ∈(1,2)，x 2＋mx ＋4<0恒成立， 令f (x )＝x 2＋mx ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，解得m ≤－5. 12.解 (1)存在实数x 0，满足3x 0＋2>0，x ≤－23； (2)存在一个实数m ≥0，使x 2＋x －m ＝0无实根；(3)存在一个实数x 0∈R ，使(x －1)2<0；(4)存在一个四边形是正方形，它的四条边不全相等.13.解 令f (x )＝sin x ＋3cos x＝2sin(x ＋π3)， x ∈[0，π2]，可知f (x )在[0，π6]上为增函数， 在(π6，π2]上为减函数， 由于f (0)＝3，f (π2)＝1， 所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈[0，π2]，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题， 则其否定“∀x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题， 所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。

1．4.3含有一个量词的命题的否定整体设计教材分析本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．课时分配1课时教学目标知识与技能1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程引入新课提出问题回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；(4)有些实数的绝对值是正数；(5)某些平行四边形是菱形；(6)x∈R，x2＋1＜0.活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．理解新知提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题．．．．．．及命题的否定．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．运用新知判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：(1)三角形内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口朝下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)的形式，再进一步做出否定．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．巩固练习1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．已知命题p：x∈R，sinx≤1，则()A．p：x0∈R，sinx0≥1B．p：x0∈R，sinx0≥1C．p：x0∈R，sinx0>1D．p：x∈R，sinx>1答案：1.C 2.C变练演编1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤02．x∈R，x2－x＋3≤0点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．达标检测1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是03．“奇数是质数”的否定是________．4．“任意的x∈Z，若x>2，则x2>4”的否定是________．5．“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的否定是________．答案：1.B 2.D3．存在奇数不是质数4．x0∈Z，虽然x0>2，但x20≤45．ax2＋2x＋1＝0没有负的实根课堂小结知识收获：(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念．(2)要说明一个全称命题是错误的，实际上是对这个全称命题进行否定．要说明一个特称命题是错误的，实际上是对这个特称命题进行否定．(3)全称命题与特称命题的关系：全称命题p：x∈M，p(x)的否定是p：x0∈M，p(x0)；即全称命题的否定是特称命题．特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定是p：x∈M，p(x)；即特称命题的否定是全称命题．方法收获：程序化．思维收获：由一般到特殊、转化思想．布置作业(1)教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？(2)作业：课本习题1.4A组第3题，B组(1)(2)(3)(4)．补充练习基础练习1．命题“存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m≤0”的否定命题是()A．存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>02．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使得n能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．x ∈M ，p(x)3．下列全称命题中是真命题的个数是( )①所有偶数都能被2整除；②所有奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．全称命题“a ∈Z ，a 有一个正因数”的否定是________．5．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________． 答案：1.D 2.B 3.C4．a 0∈Z ，a 0没有正因数5．每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习6．下列四个命题： p 1：x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ， p 2：x ∈(0,1), log 12x>log 13xp 3：x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ， p 4：x ∈(0，13)，(12)x <log 13x其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 47．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R, 2x 0>0B ．存在x 0∈R, 2x 0≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0 答案：6.D 7.D 设计说明通过探究数学中的一些实例，教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．这种教师有目的地进行创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律很有帮助．使学生体会到从具体到一般的认识过程，培养学生抽象概括的能力．备课资料1．下列特称命题中，假命题．．．是( ) A ．x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一条直线D ．x ∈{x 是无理数}，x 2是有理数思路分析：要判断特称命题“x ∈M ，p(x)”为真命题，只需在集合M 中找一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中找不到元素x 0，使p(x 0)成立，那么这个特称命题就为假命题．解：因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题，应选C.点评：判断特称命题的真假，要通过生活和数学中的实例、知识综合判定．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个思路分析：根据全称命题的定义，逐一进行判断即可．解：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；全称命题③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；全称命题④存在x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题，应选B.点评：分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0思路分析：要分清是全称命题还是特称命题，然后写成∈M，p(x)或∈M，p(x)的形式，再进一步作出否定．解：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称命题，它的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，应选C.点评：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)；特称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)．4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③x ∈R ，x 2－2x>0；④x ∈R,2x ＋1为奇数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．思路分析：原命题与其否定的真假性正好相反，因此只需直接判断原命题的真假即可． 解：①有理数是实数； 真命题 ②有些平行四边形不是菱形； 真命题 ③x ∈R ，x 2－2x>0； 假命题 ④x ∈R,2x ＋1为奇数； 真命题 应选③.点评：本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题，即原命题真，命题的否定假；原命题假，命题的否定真．5．设0<a ，b ，c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不同时大于14.思路分析：本题直接证明较难入手，可考虑用反证法．解：反证法：假设⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>14(1－b )c>14(1－c )a>14⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>12，(1－b )c>12，(1－c )a>12，所以32<(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32.左右矛盾，故假设不成立，原命题得证．点评：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其命题的否定为假；原命题假，其命题的否定为真．(设计者：赵传俊)。

课时作业 7含有一个量词的命题的否认一、选择题 (每题 6 分，共 36 分 )1． ? m0， n0∈ Z，使得 m20＝ n20＋ 1998 的否认是 ()A ． ? m， n∈ Z，使得 m2＝ n2＋ 1998B．? m0， n0∈Z，使得 m20≠n20＋ 1998C．? m， n∈ Z，使得 m2≠n2＋ 1998D．以上都不对2．命题“? x∈ R， x2－ 2x＋ 1≥0”的否认是 ()A ． ? x0∈ R，x20－ 2x0＋ 1<0B．? x0∈ R， x20－2x0＋ 1≥0C．? x0∈ R， x20－2x0＋ 1≤0D． ? x∈ R， x2－ 2x＋ 1<03．命题“存在 x∈Z ，使 x2＋ 2x＋m≤0的”否认是 ()A ．存在 x∈ Z，使 x2＋ 2x＋ m>0B．不存在x∈Z，使 x2＋ 2x＋ m>0C．对于随意x∈ Z ，都有 x2＋ 2x＋ m≤0D．对于随意x∈ Z ，都有 x2＋ 2x＋m>04．特称命题“? x0?M， p(x0) ”的否认是 ()A ． ? x∈ M，綈 p( x)B ． ? x?M ，p(x)C．? x?M，綈 p(x)D． ? x∈M， p(x)5．已知 a>0 ，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c.若 x0知足对于 x 的方程 2ax＋ b＝0，则以下选项的命题中为假命题的是()A ． ? x∈ R， f(x) ≤f(x0)B． ? x∈ R，f(x) ≥f(x0)C．? x∈ R， f(x) ≤f(x0)D． ? x∈ R，f(x) ≥f(x0)6．若函数2af( x)＝ x ＋ x( a∈R) ，则以下结论正确的选项是()A ． ? a∈ R， f(x)在 (0，＋∞)上是增函数B．? a∈ R， f(x)在 (0，＋∞)上是减函数C．? a∈ R， f(x)是偶函数D． ? a∈ R， f(x)是奇函数二、填空题 (每题 8 分，共 24 分 )7．命题“? x0∈ R， x20≤ 0的”否认是 ________．x8．已知命题p：“? x∈ R， e ≤ 1，”则命题綈p 是________．9．设命题22p： c<c 和命题 q：对 ? x∈ R， x ＋ 4cx＋ 1>0，若 p 和 q 有且仅有一个建立，则实数 c 的取值范围是 ________．三、解答题 (共 40 分)10． (10 分)判断以下命题的真假，并写出它们的否认：(1)? α，β∈ R， sin( α＋β) ≠ sinα＋ sinβ；(2)? x0， y0∈Z,3 x0－ 4y0＝ 20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的对数都是正数．11． (15 分 )用“? ”“?”写出以下命题的否认，并判断真假．(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)? a， b∈R，方程 ax＋ b＝ 0 恰有一解．(4)? T＝ 2kπ(k∈ Z)， sin(x＋ T)＝sinx.12． (15 分)给定两个命题：p：对随意实数 x 都有 ax2＋ ax＋1>0 恒建立；q：对于 x 的方程 x2－ x＋ a＝ 0 有实数根；假如 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，务实数 a 的取值范围．参照答案 :1.分析：这是一个特称命题，其否认为全称命题，形式是：? m，n∈ Z，有m2≠n2＋1998.答案： C2.分析：由定义直接可得．答案： A3.分析：由特称命题的否认得出．答案： D4.分析：由特称命题的否认的定义可得．答案： C5.分析：由题知： x0＝－b为函数 f(x)图象的对称轴，所以f(x0)为函数的最小值，即对2a全部的实数 x，都有 f(x) ≥f( x0)，所以 ?x∈ R， f(x) ≤f(x0)是错误的，应选 C.答案： C6.分析：对于 A 只有在 a≤0时 f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，不然不知足；对于 B ，假如a≤0就不建立；对于 D 若 a＝0，则成为偶函数了，所以只有 C 是正确的，即对于a＝0 时有f(x)＝ x2是一个偶函数，所以存在这样的a，使 f(x)是偶函数．答案： C7.分析：由题知，此题为特称命题，故其否认为全称命题．答案： ? x ∈ R ， x 2>0 8.分析：由定义直接可得．答案： ? x 0∈ R ，ex 0 >11 19.分析： p ： 0<c<1； q ：由<0 知－ 2<c<2.0< c<1，1≤c<1.∴若 p 真 q 假，则1 1 得c ≥ 或 c ≤－ ，222c ≤0或 c ≥1，1若 p 假 q 真，则<c<1，得－－ 1 2<c ≤ 0.2 2 综上：11≤c<1 或－<c ≤ 0.221110.答案：－ 2<c ≤0或 2≤c<111.解： (1) 假命题，否认为： ? α， β∈ R ， sin(α＋ β)＝sin α＋ sin β；(2)真命题，否认为： ? x ， y ∈ Z,3x － 4y ≠ 20；(3)真命题，否认为：在实数范围内，全部的一元二次方程都有解；(4)假命题，否认为：存在一个正数，它的对数不是正数．12.解：对随意实数 x 都有 ax2＋ ax ＋ 1>0 恒建立 ? a ＝ 0 或a>0? 0≤ a<4；<02 1对于 x 的方程 x－ x ＋ a ＝ 0 有实数根 ? 1－ 4a ≥0? a ≤ ；41 1 若 p 真，且 q 假，有 0≤a<4，且 a> ，∴ <a<4；441 若 q 真，且 p 假，有 a<0 或 a ≥4，且 a ≤ ，∴ a<0.4所以实数 a 的取值范围为 (－ ∞， 0)∪ (14，4)．13.解： (1) 綈 p ： ? x 0∈ { 二次函数 } ， x 0 的图象不是抛物线．假命题．(2)綈 p ：在直角坐标系中，? x 0∈ { 直线 } ， x 0 不是一次函数的图象．真命题．(3)綈 p ： ? a 0，b 0∈R ，方程 a 0x ＋ b 0＝ 0 无解或起码有两解．真命题．(4)綈 p ： ? T 0＝2k π(k ∈ Z) ， sin(x ＋ T 0) ≠ sinx ，是假命题．。

04课后课时精练一、选择题1．“至多有三个”的否定为( )A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况，其反面为“4个、5个……”即至少四个．答案：B2．[2014·安徽高考]命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A. ∀x∈R，|x|＋x2<0B. ∀x∈R，|x|＋x2≤0C. ∃x0∈R，|x0|＋x20<0D. ∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：本题考查含有一个量词的命题的否定．命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20 <0”，故选C.答案：C3．[2014·湖北高考]命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( )A. ∀x∉R，x2≠xB. ∀x∈R，x2＝xC. ∃x∉R，x2≠xD. ∃x∈R，x2＝x解析：本题考查全称命题的否定，意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题：∃x∈R，x2＝x，选D.答案：D4．“存在整数m，n，使得m2＝n2＋2011”的否定是( )A．任意整数m，n使得m2＝n2＋2011B．存在整数m，n使得m2≠n2＋2011C．任意整数m，n使得m2≠n2＋2011D．以上都不对解析：根据特称命题的否定为全称命题可知选C.答案：C5．下列命题中假命题是( )A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的实数α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ解析：当α＝0，β∈R时，cos(α＋β)＝cosβ，且cosαcosβ＋sinαsinβ＝cosβ，故选项B为假命题．答案：B6．下列命题中的假命题是( )A. ∀x∈R,2x－1>0B. ∀x∈N*，(x－1)2>0C. ∃x0∈R，lgx0<1D. ∃x0∈R，tanx0＝2解析：根据指数函数、对数函数和三角函数的知识可知，选项A，C，D中的命题都是正确的，选项B，当x＝1时，命题不正确，故选项B中的全称命题是不正确的．故选B.答案：B二、填空题7.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，∴a≤1；命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．答案：{a|a≤－2或a＝1}8. 已知命题p：∃x∈R，使sinx＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确的是________．解析：因为对任意实数x，|sinx|≤1，而sinx＝52>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．因而②③正确．答案：②③9．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．。

若存在 x0∈R， 使
ax2 则实数 0＋2x0＋a＝0，
a 的取值范围是________．
－1<a<1
[解析] 当 a＝0 时，x0＝0 满足题意． 当 a≠0 时，由题意知方程 ax2＋2x＋a＝0 有实数根，
a≠0 ∴ 2 Δ ＝ 4 － 4 a ≥0
【要点探究】
知识点 全称命题与特称命题的否定 1.对全称命题的否定以及特点的理解 (1)全称命题的否定,实际上是将量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称 命题的否定的等价形式就是特称命题； 将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能 认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有 一个量词的命题的否定仍是一次否定. (2)对于省去了全称量词的全称命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命 题,再写出命题的否定命题. 2.对特称命题的否定以及特点的理解 (1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与¬p互为否定,所以特称命题的 否定就是全称命题. (2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命 题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断 命题的真假.
2.特称命题的否定 特称命题p ∃x0∈M,p(x0) ¬p 结论 ∀x∈M, ¬p(x) 特称命题的否定是 全称 _____________
命题
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题¬p的否定是p.( ) (2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,¬p(x)的真假性相反.( ) (3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(
1.4.3
含有一个量词的命题的否定
1.全称命题的否定是什么命题?特称命题的否 问题 引航 定是什么命题? 2.全称命题的否定∀x∈M,p(x) ¬p 结论 ∃x0∈M, ¬p(x0) 全称命题的否定是 特称 _______________ 命题

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课堂10分钟达标1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R,|x|+x2<0B.∀x∈R,|x|+x2≤0C.∃x0∈R,|x0|+<0D.∃x0∈R,|x0|+≥0【解析】选C.条件∀x∈R的否定是∃x0∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x 0|+<0”.2.关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是( )A.p:∃x 0∈R,x2+1≠0B.p:∀x∈R,x2+1=0C.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“∀x∈R,x 2+1≠0”的否定是“∃x0∈R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.3.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B .p∧qC.p∧(q)D.(p)∧(q)【解析】选B.由指数函数的性质知,命题p是错误的.而命题q是正确的.4.命题:“有的三角形是直角三角形”的否定是:_ _.【解析】命题:“有的三角形是直角三角形”是特称命题,其否定是全称命题,按照特称命题改为全称命题的规则,即可得到该命题的否定. 答案:所有的三角形都不是直角三角形5.命题“同位角相等”的否定为________,否命题为________. 【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.答案:有的同位角不相等若两个角不是同位角,则它们不相等6.写出命题“已知a=(1,2),存在b=(x,1),使a+2b与2a-b平行”的否定,判断其真假并给出证明.【解析】命题的否定:已知a=(1,2),则对任意的b=(x,1),a+2b与2a-b都不平行,是一个假命题.证明如下:假设存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行,则a+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).因为a+2b与2a-b平行,所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).即(2x+1,4)=λ(2-x,3).所以⇒2x+1=(2-x).解得x=.这就是说存在b=使a+2b与2a-b平行,故已知命题为真命题,其否定为假命题.7.【能力挑战题】已知命题“存在x0∈R,a-2ax0-3>0”是假命题,求实数a的取值范围.【解析】因为命题“存在x 0∈R,a-2ax0-3>0”的否定为“对于任意x∈R,ax2-2ax-3≤0恒成立”,由命题真,其否定假;命题假,其否定真可知该命题的否定是真命题.事实上,当a=0时,对任意的x∈R,不等式-3≤0恒成立;当a≠0时,借助二次函数的图象,数形结合,很容易知道不等式ax2-2ax-3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ=4a2+12a≤0,即-3≤a<0;综上知,实数a的取值范围是[-3,0].关闭Word文档返回原板块。

1. 4 . 3 含有一个量词的命题的否定
这里, 我们要注 探究 写出下列命题的否定 : 意"并非所有的 1 所有的矩形都是平行四 边形; 矩 形 都是平行 四边形"与" 所有 的矩 形 都不是 平行四边形 有 " 存在一个矩 形
2 每一个素数都是奇数; 3 x R, x 2 2 x 1 0.
2
全称命题p : x M , p x , 它的否定 p : x M ,

p x .
全称命题的否定是特称 命题.
例 3 写出下列全称命题的否 : 定
1 p : 所有能被3整除的整数都是奇数 ; 2 p : 每一个四边形的四个顶 点共圆; 3 p : 对任意x Z , x 2的个位数字不等于 . 3
2
它们不相似. p是假命题.

2

p : x R, x 2 x 2 0. p 是
2

真命题.
命题2的否定是"并非每一个素数都是奇 " , 数 也就是说, 存在一个素数不是奇数 ; 2 命题3的否定是"并非所有的x R, x 2 x 1
0" , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ就是说, x R, x 2 x 1 0. 从命题形式看 这三个全称命题的否定 , 都变成 了特称命题. 一般地, 对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论 :
解
1 p : 存在一个能被 3 整除的整数
不是奇数.
2 p : 存 在一个四边形 ,它的四个顶点
不共圆.
3 p : x Z , x 2 的个位数字等于3.
探究 写出下列 命题的否定: 1有些实 数的 绝对值是正数 ; 2某 些平 行四 边形是菱形 ;

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人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（八） 1.4.3 含有一个量词的命题的否定探究导学课型 Word版含答案课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1. (2019·全国卷Ⅰ)设命题p：?n∈N，n2>2n，则p为( )A.?n∈N，n2>2nB.?n∈N，n2≤2nC.?n∈N，n2≤2nD.?n∈N，n2=2n【解析】选 C.p：?n∈N，n2≤2n.【补偿训练】命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是( )A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等边三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形【解析】选 C. p是“所有三角形不是等腰三角形”.2. (2019·安徽高考)命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.?x∈R，|x|+x2<0B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0D.?x0∈R，|x0|+≥0【解析】选 C.命题“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“?x0∈R，|x0|+<0”.3.(2019·中山高二检测)已知命题p：?x∈R，2x2+2x+<0，命题q：?x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D. q是假命题【解题指南】先判断p，q的真假，再得p，q真假，进而得结论.【解析】选 D.因为2x2+2x+=2≥0，所以p是假命题，p为真命题.又sinx0-cosx0=sin≤，故q是真命题，q为假命题.所以选 D.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2019·烟台高二检测)已知命题p：?x>2，x3-8>0，那么p是________.【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解析】命题p为全称命题，其否定为特称命题，则p：?x0>2，-8≤0.答案：?x0>2，-8≤05.(2019·资阳高二检测)已知命题p：?x0∈R，+ax0+a<0.若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是________.【解析】因为若命题p：?x0∈R，+ax0+a<0是假命题，则p是真命题，说明x2+ax+a ≥0恒成立，所以Δ=a2-4a≤0，解得0≤a≤4.答案：【补偿训练】(2019·烟台高二检测)已知命题p：任意x∈R，ax2-2x+3≥0，如果命题p 是真命题，求实数a的取值范围.【解析】因为命题p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2-2x+3≥0恒成立时，应有解得a≥，所以当p是假命题时，a<.所以实数a的取值范围是.三、解答题6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p：一切分数都是有理数.(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′?α，l⊥l′.(3)r：若a n=-2n+10，则存在n∈N，使S n<0(S n是{a n}的前n项和).(4)s：?x∈Q，使得x2+x+1是有理数.【解析】(1)p：存在一个分数不是有理数，假命题.(2)q：直线l垂直于平面α，则?l′?α，l与l′不垂直，假命题.(3)r：若a n=-2n+10，则?n∈N，有S n≥0，假命题.(4)s：?x0∈Q，使+x0+1不是有理数，假命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2019·天津高二检测)已知命题p：?b∈.答案：(-∞，1]三、解答题5.(10分)已知函数f(x)=x2，g(x)=-m.(1)x∈，求f(x)的值域.(2)若对?x∈，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围.(3)若对?x1∈，?x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围.【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.(2)根据对?x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m的不等关系，即可求得实数m的取值范围.(3)对?x1∈，?x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论. 【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x2∈，所以f(x)的值域为.(2)对?x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于 1.而g(x)在上单调递减，所以-m≥1，即m≤-.(3)对?x1∈，?x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以m≥-8.关闭Word文档返回原板块。