九年级数学下册第三章圆小结与复习教学课件(新版)

第三章 圆
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、圆的基本概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
．
(3)弦心距
O
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、点与圆的位置关系
B．点A在☉O上 D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0 的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点 A与 ☉O的关系.
针对训练
1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°， 则∠BOD等于（ C ） A．50° B．40° C．100° D．80°
2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣
l
d
●r
直线与 圆心与直线
圆的位 的距离d与
置关系 圆的半径r
的关系
相离
d﹥r
相切
d=r
相交
d﹤r
直线与 直线名称 圆的交
点个数
—
0
切线
1
割线
2
七、切线的判定与性质 1.切线的判定一般有三种方法： a.定义法：和圆有唯一的一个公共点 b.距离法： d=r c.判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2.切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径.
正多边形的边心距
计算公式
1.正n边形的中心角= 360
n
2.正多边形的内角= (n 2) 180
n
F
E
a
3.正n边形的边长a，半径R，边心距r
A
O
D

半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_2__5___2_．
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.

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内容 总结 (nèiróng)
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∴ PC PB PD PE
两圆公共弦定理
圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB
A
O1
O2
B
圆的公切线
两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：在Rt△O1O2C中，
AB2 CO12 O1O22 CO22
（2）外公切线长：CO2是半径之差；
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只 要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论
也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE OC=OF ④ BA ED
① ②③④或② ①③④……
A
③
E F
O D
C B
对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠AOB和∠ACB是 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB
D
B
A
E
切线的性质与判定定理
（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
B
O
A
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所 D C
对的弧是等弧
即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角
B
O
∴∠C=∠D
A
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆， C
所对的弦是直径
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°

(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E
＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.
(3)因为△ACP∽△DEP，所以ADPP＝ADCE，因为 P 是 CD 的中点，
所以 CP＝DP＝21CD＝1，由勾股定理分别求出 AP＝ 5，AC＝2 2，
代入比例式算出
DE＝2
10 5.
性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 .
第3章复习2┃ 知识归类
直径所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦 是 直径 .
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指 “在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同 弦或等弦”．
6．确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 7．三角形的外接圆
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第3章复习2┃ 知识归类
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角 形的 外心 .
8．直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
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第3章复习2┃ 知识归类
直线和圆的位置关系
位置 关系
► 考点九 圆的切线性质
例 9 如图 X3－10，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为 直径的⊙O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1)求证：DE＝12BC； (2)若 tanC＝ 25，DE＝2，求 AD 的长．
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[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC. 数学·新课标（BS）
第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点七 计算扇形面积

5．圆周角与圆心角的关系 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边还与圆相交 的角叫做圆周角。
[注意]圆周角有两个特征：角的顶点在圆上，两边在圆内的 部分是圆的两条弦。
（2）圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的 一半 。
（3）圆周角的性质 性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 。
10．三角形的内切圆。
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一 个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形角平 分线的交点，叫做三角形的 内心 。
[注意]对一个确定的三角形来说，其内切圆有且只有一个， 其内心也有且只有一个：内心就是内切圆的圆心。
11．圆与圆的位置关系。
在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面五种位置关 系，其中R和r为两圆半径（R≥r），d为圆心距。
► 考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
例3 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°， ∠APD＝70°，则∠B等于（ C ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
[解析]C 由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C
＝40°。
► 考点四 圆心角与圆周角
例4 如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°， 则∠A＝___4_4____°。
直径所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦 是 直径 。
[注意]“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧” 指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为 “同弦或等弦”。
6．确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
7．三角形的外接圆。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角 形的 外心 。

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第3章复习2┃ 知识归类
点在圆外，即这个点到圆心的距离 大于 半径； 点在圆上，即这个点到圆心的距离 等于 半径； 点在圆内，即这个点到圆心的距离 小于 半径． 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r 来比较得到． (2)设⊙O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 d＜r⇒点P在圆内； d＝r⇒点P在圆上；
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第3章复习2┃ 考点攻略
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说 明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等 角，进而算出∠ODE是直角．
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第3章复习2┃ 考点攻略
解：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5. ∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∴AADB＝DBCB，即53＝B4C，∴BC＝230. (2)证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中， ∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE. 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
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第3章复习2┃ 知识归类
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
.内心
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
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第3章复习2┃ 考点攻略 ► 考点七 计算扇形面积
例 7 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为 “等边扇形”．则半径为 2 的“等边扇形”的面积为( C )

例4 如图3-Z-7所示, 在半径为 5, 圆心角等于45°的扇形AOB内部
作一个正方形CDEF, 使点C 在OA上, 点D, E在OB上, 点F在
上, 则阴影部分的面积为
. (结果保留π)
分析 如图3-Z-7所示, 连接OF, 由∠COD= 45°, 四边形CDEF是正方形 , 知OD=CD=DE=EF, 于是在Rt△OFE中, OE=2EF. ∵OF= EF 2+OE 2=OF 2, ∴EF 2+(2EF)2=5, 解得EF=1, ∴OD=CD=EF=1, ∴S阴影=S扇形OAB -S△OCD-S正方形CDEF=
相关题4 如图3-Z-8所示, 圆心角为120°的扇形OMN绕着正 六边 形ABCDEF的中心O 旋转, OM交AB于点H, ON 交CD于点K, OM>OA. (1)求证:△AOH≌△COK; (2)若AB=2, 求正六边形 ABCDEF与 扇形OMN重叠部分的面积.
解：(1)证明：如图，∵多边形 ABCDEF 是正六边形，
(2)如图，连接 CD.
∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝3，
∴AD＝ DE2＋AE2＝ 62＋32＝3 5.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°.
又∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，
∴AADE＝AADC，即3
3
5＝ AC ， 35
∴AC＝15，∴⊙O 的半径是 7.5.
解 (1)直线CD与⊙O相切. 理由：如图3-Z-5所示, 连接OC. ∵CA=CB, ∴OC⊥AB. ∵CD∥AB, ∴OC⊥CD. 又∵OC是⊙O的半径, ∴直线CD与⊙O相切. (2)∵CA=CB, ∠ACB=120°, ∴∠ABC=∠BAC=30°, ∴∠DOC=2∠ABC =60°, ∴∠D=90°-∠DOC =30°, ∴OD=2OC=4. 在Rt△ODC中, CD=

例 已知△ABC内接于⊙O, 且AB=AC, ⊙O的半径等于6 cm, 点 O到 BC的距离为2 cm, 求AB的长.
章末复习
解: ①如果△ABC是锐角三角形, 如图3-Z-9所示. 连接AO并延长交BC于点D, 连接OB. ∵AB=AC, ∴AD⊥BC且BD=CD. 又∵OD=2 cm, OB=6 cm, ∴在Rt△BOD中, 由勾股定理, 得 在Rt△ADB中, AD=AO+OD=8(cm), 由勾股定理, 得
章末复习
考点：切线的性质与判定. 考情：切线的性质与判定是中考命题的热点, 既可单独命题, 又可 与函数、相似三角形等知识结合在一起命题, 题型有选择题、填空 题及解答题等多种形式. 策略：若题目中已知一条直线是圆的切线, 通常连接圆心与切点得 到垂直关系；反之, 垂直于半径并且经过半径的外端的直线一定是 圆的切线.
章末复习
链接3 [黄石中考] 如图3-Z-16, 已知⊙O为 四边形ABCD的外接 圆, O为圆心, 若∠BCD=120°, AB=AD=2, 则⊙O的半径为 ( D ).
章末复习
分析 如图3-Z-17, 作直径BM, 连接DM, BD, 则∠BDM=90°. ∵∠BCD=120°, ∴∠A=60°, ∴∠M=60°. 又∵AB=AD=2, ∴BD=2. 在Rt△BDM中, 解得BM= ∴⊙O的半径为
章末复习
链接2 [枣庄中考] 如图3-Z-13，AB是⊙O 的直径, 弦CD交AB 于点P, AP=2, BP=6, ∠APC= 30° , 则CD的长为( C ).
章末复习
分析 如图3-Z-14, 过点O作OH⊥CD于点H, 连接OC. ∵OH⊥CD, ∴HC=HD. ∵AP=2, BP=6, ∴AB=8, ∴OA=4, ∴OP=OA-AP=2. 在Rt△OPH中, ∵∠OPH=∠APC=30°, ∴OH= OP=1. 在Rt△OHC中, 由勾股定理, 得