勾股定理典型分类练习题

1、直角三角形中，一直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边的长为：A. 1B. 2C. 4D. 6（答案：C）2、设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，若a = 6，c = 10，则b等于：A. 16B. 8C. 4D. 2√11（答案：B）3、在直角三角形中，如果一条直角边长度是7，斜边长度是25，那么另一条直角边的长度是：A. 24B. 18C. 15D. √(252 - 72)（答案：D，即24）4、已知直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边的平方是：A. 144B. 169C. 104D. 64（答案：A）5、直角三角形中，若斜边长为25，且其中一直角边长为15，则另一直角边长为：A. 10B. 20C. 25√2D. 5√14（答案：B）6、一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，那么它的斜边长度是：A. 10B. 12C. 14D. 16（答案：A）7、直角三角形中，若其中一直角边长为3cm，斜边长为5cm，则另一直角边的平方为：A. 4cm²B. 16cm²C. 9cm²D. 25cm² - 9cm²（答案：B）8、设直角三角形的两直角边分别为x和y，斜边为z，若x=9，z=15，则y2等于：A. 144B. 225C. 108D. z2 - x2（答案：A）9、一个直角三角形的斜边长为17，其中一条直角边长为8，那么另一条直角边的长度为：A. 9B. 15C. √(172 - 82)D. 17 - 8（答案：C，即15）10、直角三角形的一条直角边为12，斜边为13，则它的另一条直角边长为：A. 5B. 6C. 7D. √(132 - 122)（答案：A）。

勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。

如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。

图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。

根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。

2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。

3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。

则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。

同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。

因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。

4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。

5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。

勾股定理的几种类型归类练习一．选择题（共23小题）1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（）A．7B．8C．4D．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB 边的距离为（）A．1B．C．2D．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（）A．4B．C．D．54．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ACD沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（）cm．A．B．C．3D．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是（）A．B．C．D．36．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．67．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝5厘米，EF＝12厘米，则边HF的长是（）A．12厘米B．13厘米C．14厘米D．15厘米8．如图所示，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH的度数恰好为90°，PF＝4，PH＝3，则矩形ABCD的边BC的长为（）A．10B．11C．12D．159．把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点D重合，折痕为EF，其中AB＝3，BC＝3．则△DEF的面积是（）A．6B．6C．3D．410．如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm11．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．已知AB＝4cm，BC＝8cm，则△BEF的面积为（）A．12cm2B．10cm2C．8.6cm2D．8cm212．如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF，若AB＝6，则BC 的长为（）A．2B．2C．4D．213．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A．12B．13C．14D．1515．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．16．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（）A．B．28C．128D．10017．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于12，则最大的正方形的边长为（）A．2B．C．3D．418．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56B．24C．64D．3219．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（）A．16cm2B．25cm2C．30cm2D．169cm220．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．721．如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有（）A．5米B．7米C．8米D．10米22．如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（）A．9米B．15米C．21米D．24米23．一旗杆在其的B处折断，量得AC＝5米，则旗杆原来的高度为（）A．米B．2米C．10米D．米二．填空题（共22小题）24．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是．26．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则△ADE的周长是．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE ⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是．28．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm，则该圆柱底面周长为．29．如图，在矩形ABCD中，点M为矩形AD的中点，连接CM，沿着CM折叠，点D的对应点D'，N为BC上一点，且BN＜CN，沿MN折叠，恰好AM与D'M重合，此时点A 的对应点为点D'，若AB＝6，BN＝3.5，则A′到CM的距离为．30．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为．31．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长为．32．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．33．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为．34．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是．35．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝．36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为．37．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝9，S3＝25，则正方形S2的面积为．38．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．39．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为cm2．40．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是m．41．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC的长为尺．42．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是．43．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．44．《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为尺．45．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．三．解答题（共13小题）46．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．47．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AC的长．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．49．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC 于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．50．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长．51．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A 的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD 的长吗？请写出求解过程．52．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AD为折痕，求DB′的长．53．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C 运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？54．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．55．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．56．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．57．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长．58．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？。

专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

勾股定理练习题(含答案)1.下列说法正确的是：C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A=90°，则a+b=c。

2.根据勾股定理，应该选B.a+b>c。

3.根据勾股定理，斜边长为√（k-1）²+（2k）²，即√（5k²-4）。

4.根据(a-b)(a+b-c)=0，可得a=b或a+b=c，所以它的形状为等腰三角形或直角三角形。

5.设另一直角边为x，则根据勾股定理得x²+9²=(x+1)²，解得x=40/9，周长为9+40/9+41/9=120/9=40/3，选C。

6.根据勾股定理得BC=√（13²-12²）=5，所以周长为15+13+5=33，选D。

7.根据勾股定理和中线长度公式得周长为2d+2√(d²-S)，选C。

8.根据勾股定理得OP的长度为√(3²+4²)=5，选C。

9.根据勾股定理和海伦公式得BC=√(26²-24²/25)=17，选A。

10.根据(a-6)+b-8+c-10²=0，可得a+b+c=24，所以它的形状为等边三角形。

11.根据勾股定理和面积公式得面积为(8*15)/2=60，选D。

12.根据等腰三角形的性质，顶角的平分线与底边中线重合，所以答案为底边中线，即6.5.13.根据勾股定理得斜边长为√200=10√2，选D。

14.根据三角形边长比的性质，10:8:6无法构成三角形，所以不是三角形。

15.一个三角形的三边比为5:12:13，周长为60，则其面积为多少？16.在直角三角形ABC中，斜边AB=4，则AB+BC+AC=多少？17.如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则该半圆的面积为多少？18.若三角形三个内角的比为1:2:3，最短边长为1cm，最长边长为2cm，则该三角形三个角度数分别为多少？另外一边的平方是多少？19.长方形的一边长为3cm，面积为12cm²，则其一条对角线长为多少？20.如图，一个高为4m、宽为3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求该木条的长度。

勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。

★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

一、证明方法二、面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A.S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 14、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。

c baABbbb bcc cc aaaab ccaa bDCAEBS 3S 2S 15、如图17-3-7是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E 的面积_______.6、以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形的面积分别为25和12，则第三个正方形的面积为___________________.7、如图，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，CD ＝2. 求四边形ABCD 的面积.8、如图,长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,设点D 落在D'处,BC 交AD'于点E,AB=6 cm,BC=8 cm,求阴影部分的面积.9.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则边AC 上的高为（ ）A. 223 B. 5103 C. 553D. 55410、如图，四边形ABCD 中，AD ＝1cm ，BC ＝2cm ，AB ＝2cm ，CD ＝3cm ，且∠ABC ＝90度，求四边形ABCD的面积三角形ABC 中，AB=5，AC=3，BC 边上的中线AD=2，求三角形ABC 的面积？三、在直角三角形中，求相关量1在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则BC 的长为___________4260°DCBAABC2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_________3、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的__________.4、在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=____________________ 5、一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为___________;6、斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是______________．7、如图AB=BC=CD=DE=1,AB ⊥BC,AC ⊥CD,AD ⊥DE,则AE 的长为________四、勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6B. 2，3，4C. 11，12，13D. 8，15，17 2、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5； ④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

勾股定理课时练（1）8. 一个部件的形状以下图，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC 2 AC 2的值是（）2.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的部件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该部件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） . 第 8 题图3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．9. 如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，如同装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂以前高多少m ？第 9 题图10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，5. 如图，以以下图，今年的冰雪灾祸中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家. 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？米处，那么这棵树折断以前的高度是米 .“路”3m4m第 5 题图第 2 题图11 如图，某会展中心在会展时期准备将高5m, 长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 6. 飞机在空中水平飞翔, 某一时辰恰巧飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道起码需要多少元钱?这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞翔多少千米 ?13m 5m第 11 题12. 甲、乙两位探险者到荒漠进行探险，没有了水，需要找寻水源．为了不致于走散，他们用两部7. 以下图，无盖玻璃容器，高18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一对话机联系，已知对话机的有效距离为15 千米．清晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米 / 时的速度向蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距张口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北前进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？所走的最短路线的长度 . 还可以保持联系吗？第 7 题图第一课时答案：1.A ，提示：依据勾股定理得BC 2 AC 2 1，所以AB 2BC 2 AC 2 =1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.3. 60 ，提示：设斜边的高为x ，依据勾股定理求斜边为122 52 169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x 60 ；2 2 134.解：依题意， AB=16 m， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 220 2,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗杆在断裂以前有32 m高.6. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000(米),3所以飞机飞翔的速度为540 (千米/小时)2036007.解：将曲线沿 AB睁开，以下图，过点 C 作 CE⊥ AB于 E.在R t CEF , CEF90 ，EF=18-1-1=16（ cm ），1CE=30(cm) ，2. 60CE 2 EF 2 30 2 16 2 34( ) 由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，依据勾股定理，得在直角三角形 CBD中，依据勾股定理，得2 2 2 2CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9.解：延伸 BC、AD交于点 E. （以下图）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。

勾股定理专题训练试题精选（一）一. 选择题（共30小题）1．（2014•十堰）如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB．若DG=3, EC=1, 则DE的长为（）A．2B．C．2D．2. （2014•吉林）如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为（）A．B．2C．D．3. （2014•湘西州）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为（）A．B．C．1D．24. （2013•和平区二模）如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是（）A．B．1C．D．5. （2012•威海）如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°6. （2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．7. （2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB8. （2011•白下区二模）如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2（n为正整数）, 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为（）A．B．C．D．9. （2010•西宁）矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为（）A．5B．C．6D．10.A．B．C．D．2（2010•鞍山）正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为三角形,则正方形ABCD的边长为（）11. （2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝）, 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40 B．30+2C．20D．10+1012.A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不对（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是（）A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.（2009•宝安区一模）下列命题中,是假命题的是（）B．在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等14. （2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+115. （2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:（甲）因为＞=3, ＞=2, 所以+ ＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确, 乙错误D．甲错误, 乙正确对于两人的证法,下列哪一个判断是正确的（）16. （2007•宁波二模）如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17.A．1B ．C ．D．（2006•郴州）在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为（）18. （2002•南宁）如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S3219. （2001•广州）已知点A和点B（如图）, 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个20. 设直角三角形的A．2B．3C．4D．5三边长分别为a、b、c, 若c﹣b=b﹣a＞0,则=（）21. （1999•A．4B．6C．8D．温州）已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于（）22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为（）A．B．C．D．A．16 B．18 C．12D．1223. 在△ABC中,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于（）24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为（）A．54 B．75 C．90 D．9625. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是（）A．A B=AC B．∠BO2E=2∠E C．A B=BE D．E O2=BE26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为（）A．1B．C．D．27. 直角A．10 B．2C．4或10 D．10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是（）28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）A．1：5 B．1: 25 C．5：1 D．25: 129. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A.B重合）BE+CF=EF.上述结论中始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个30. 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90°, AE平分∠BAC交BC于E, BD⊥AE于D, DM⊥AC于M, 连CD. 下列结论: ①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°；④=定值.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个勾股定理专题训练试题精选（一）参考答案与试题解析一. 选择题（共30小题）1．（2014•十堰）如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, DE⊥BC, 垂足为点E, 连接AC交DE于点F, 点G为AF的中点, ∠ACD=2∠ACB．若DG=3, EC=1, 则DE的长为（）A．2B．C．2D．考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题：几何图形问题.分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG, 根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA, 根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD, 再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD, 根据等腰三角形的性质可得CD=DG, 再根据勾股定理即可求解．解答：解: ∵AD∥BC, DE⊥BC,∴DE⊥AD, ∠CAD=∠ACB, ∠ADE=∠BED=90°,又∵点G为AF的中点,∴DG=AG,∴∠GAD=∠GDA,∴∠CGD=2∠CAD,∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD,∴∠ACD=∠CGD,∴CD=DG=3,在Rt△CED中, DE= =2 ．故选：C.故选: C．故选：C．点评：综合考查了勾股定理, 等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线, 解题的关键是证明CD=DG=3．2. （2014•吉林）如图, △ABC中, ∠C=45°, 点D在AB上, 点E在BC上. 若AD=DB=DE, AE=1, 则AC的长为（）A．B．2C．D．考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题：几何图形问题.分析：利用AD=DB=DE, 求出∠AEC=90°, 在直角等腰三角形中求出AC的长．解答：解: ∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵DB=DE,∴∠B=∠DEB,∴∠AEB=∠DEA+∠DEB= ×180°=90°,∴∠AEC=90°,∵∠C=45°, AE=1,∴AC= .故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质, 解题的关键是利用角的关系求出∠AEC是直角．3. （2014•湘西州）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CA=CB, AB=2, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 则CD的长为（）A．B．C．1D．2考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析：由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形, 得出AD=BD= AB=1, 再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1．解答：解: ∵∠ACB=90°, CA=CB,∴∠A=∠B=45°,∵CD⊥AB,∴AD=BD= AB=1, ∠CDB=90°,∴CD=BD=1.故选：C.故选: C．故选：C．点评：本题主要考查了等腰直角三角形, 解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．4. （2013•和平区二模）如图, 线段AB的长为2, C为AB上一个动点, 分别以AC.BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE, 那么DE长的最小值是（）A．B．1C．D．考点：等腰直角三角形；垂线段最短；平行线之间的距离. 菁优网版权所有分析：利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°, ∠DCE=90°．利用勾股定理得出DE的表达式, 利用函数的知识求出DE的最小值．解答：解: 在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD=CD, CE=BE, ∠ACD=∠A=45°, ∠ECB=∠B=45°∴∠DCE=90°∴AD2+CD2=AC2, CE2+BE2=CB2∴CD2= AC2, CE2= CB ,∵DE2=DC2+EC2,∴DE===∴当CB=1时, DE的值最小, 即DE=1.故选：B.故选: B．故选：B．点评：此题考察了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法.5. （2012•威海）如图, a∥b, 点A在直线a上, 点C在直线b上, ∠BAC=90°, AB=AC, 若∠1=20°, 则∠2的度数为（）A．25°B．65°C．70°D．75°考点：等腰直角三角形；平行线的性质. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：根据等腰直角三角形性质求出∠ACB, 求出∠ACE的度数, 根据平行线的性质得出∠2=∠ACE, 代入求出即可．解答：解: ∵∠BAC=90°, AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵∠1=20°,∴∠ACE=20°+45°=65°,∴∠2=∠ACE=65°,故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质, 关键是求出∠ACE的度数．6. （2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示, 弦AB是湖上的一座桥, 已知桥AB长100m, 测得圆周角∠ACB=45°, 则这个人工湖的直径AD为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；圆周角定理. 菁优网版权所有专题：证明题.分析：连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=50 m, 从而求得⊙O的直径AD=100 m．解答：解: 连接OB.∵∠ACB=45°, ∠ACB= ∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）,∴∠AOB=90°；在Rt△AOB中, OA=OB（⊙O的半径）, AB=100m,∴由勾股定理得, AO=OB=50 m,∴AD=2OA=100m；故选B．点评：本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理．利用圆周角定理求直径的长时, 常常将直径置于直角三角形中, 利用勾股定理解答．7. （2011•惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD, ∠ADC+∠BCD=90°, 以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形, 其面积分别是S1.S2.S3, 且S1+S3=4S2, 则CD=（）A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB考点：勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题.分析：过点B作BM∥AD, 根据AB∥CD, 求证四边形ADMB是平行四边形, 再利用∠ADC+∠BCD=90°, 求证△MBC为Rt△, 再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2, 在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．解答：解: 过点B作BM∥AD,∵AB∥CD, ∴四边形ADMB是平行四边形,∴AB=DM, AD=BM,又∵∠ADC+∠BCD=90°,∴∠BMC+∠BCM=90°, 即△MBC为Rt△,∴MC2=MB2+BC2,∵以AD.AB.BC为斜边向外作等腰直角三角形,∴△AED∽△ANB, △ANB∽△BFC,= , = ,即AD2= , BC2= ,∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2= += = ,∵S1+S3=4S2,∴MC2=4AB2, MC=2AB,CD=DM+MC=AB+2AB=3AB.故选B．点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质, 勾股定理, 等腰直角三角形等知识点, 解答此题的关键是过点B作BM∥AD, 此题的突破点是利用相似三角形的性质求得MC=2AB, 此题有一定的拔高难度, 属于难题．8. （2011•白下区二模）如图, △A1A2B是等腰直角三角形, ∠A1A2B=90°, A2A3⊥A1B, 垂足为A3, A3A4⊥A2B, 垂足为A4, A4A5⊥A3B, 垂足为A5, …, An+1An+2⊥AnB, 垂足为An+2（n为正整数）, 若A1A2=A2B=a, 则线段An+1An+2的长为（）A．B．C．D．考点：等腰直角三角形；勾股定理. 菁优网版权所有专题：计算题；规律型.分析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长, 找出规律即可解答．解答：解: ∵△A1A2B是直角三角形, 且A1A2=A2B=a, A2A3⊥A1B,∴A1B= = a,∵△A1A2B是等腰直角三角形,∴A2A3⊥A1B,∴A2A3=A1A3= A1B= = ,同理, A4A5= ×= ,∴线段An+1An+2的长为.故选B.故选B．点评：此题属规律性题目, 涉及到等腰三角形及直角三角形的性质, 解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长找出规律．灵活运用等腰直角三角形的性质, 得到等腰直角三角形的斜边是直角边的倍, 从而准确得出结论．9. （2010•西宁）矩形ABCD中, E, F, M为AB, BC, CD边上的点, 且AB=6, BC=7, AE=3, DM=2, EF⊥FM, 则EM 的长为（）A．5B．C．6D．考点：勾股定理；矩形的性质. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：过E作EG⊥CD于G, 利用矩形的判定可得, 四边形AEGD是矩形, 则AE=DG, EG=AD, 于是可求MG=DG ﹣DM=1, 在Rt△EMG中, 利用勾股定理可求EM．解答：解: 过E作EG⊥CD于G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,又∵EG⊥CD,∴∠EGD=90°,∴四边形AEGD是矩形,∴AE=DG, EG=AD,∴EG=AD=BC=7, MG=DG﹣DM=3﹣2=1,∵EF⊥FM,∴△EFM为直角三角形,∴在Rt△EGM中, EM= = = =5 ．故选B．点评：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识, 是基础知识要熟练掌握．10.A．B．C．D．2（2010•鞍山）正方形ABCD中, E、F两点分别是BC.CD上的点.若△AEF是边长为的等边三角形,则正方形ABCD的边长为（）考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质. 菁优网版权所有分析：根据正方形的各边相等和等边三角形的三边相等, 可以证明△ABE≌△ADF, 从而得到等腰直角三角形CEF, 求得CF=CE=1．设正方形的边长是x, 在直角三角形ADF中, 根据勾股定理列方程求解．解答：解: ∵AB=AD, AE=AF,∴Rt △ABE≌Rt△ADF.∴BE=DF.∴CE=CF=1.设正方形的边长是x.在直角三角形ADF中, 根据勾股定理, 得x2+（x﹣1）2=2,解, 得x= （负值舍去）．即正方形的边长是.故选A．点评：此题综合运用了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理.11. （2010•鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸, 剪成图1所示形状, 用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝）, 如图2所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40 B．30+2C．20D．10+10考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有分析：所求正方形的边长即为AB的长, 在等腰Rt△ACF、△CDE中, 已知了CE、DE、CF的长均为10, 根据等腰直角三角形的性质, 即可求得AC、CD的长, 由AB=AC+CD+BD即可得解．解答：解: 如图；连接AB, 则AB必过C.D；Rt△ACF中, AC=AF, CF=10；则AC=AF=5；同理可得BD=5；Rt△CDE中, DE=CE=10, 则CD=10 ；所以AB=AC+CD+BD=20 ；故选C.点评：理清题意, 熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．A．132 B．121 C．120 D．以上答案都不对12.（2009•鄞州区模拟）直角三角形有一条直角边的长是11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：假设另外两边后, 根据勾股定理适当变形, 即可解答．解答：解: 设另外两边是a、b（a＞b）则根据勾股定理, 得：a2﹣b2=121∵另外两边的长都是自然数∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1即另外两边的和是121,故三角形的周长是132.故选A.故选A．点评：注意熟练进行因式分解和因数分解, 根据另外两边的长都是自然数分析结论．A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形13.（2009•宝安区一模）下列命题中,是假命题的是（）B．在直角三角形中, 斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中, 最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等考点：勾股定理；角平分线的性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线. 菁优网版权所有专题：计算题；证明题.分析：A.根据等腰三角形的性质求解；B.根据直角三角形的面积计算方法求斜边的高；C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可.C.根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．C、根据勾股定理求解；D.求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．C、根据勾股定理求解；D、求证角平分线和过角平分线交点作垂线所分的3对小三角形全等即可．解答：解: A.等腰三角形底角相等, 若底角为60°, 则顶角为180°﹣60°﹣60°=60°, 若顶角为60°, 则底角为=60°, 所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形, 故A选项正确；B.直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半, 只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合,故B选项错误；C.在直角三角形中, 最大的边为斜边, 根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和, 故C选项正确；D.过三角形角平分线的交点作各边的垂线, 则三角形分成3对小三角形, 其中各顶点所在的两个直角三角形全等, 即过角平分线作的高线相等, 故D选项正确；即B选项中命题为假命题,故选B.故选B．点评：本题考查了全等三角形的证明, 考查了直角三角形中勾股定理的运用, 考查了等腰三角形的性质, 考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边长一半的性质．14. （2008•江西模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形, 以Rt△ABC的斜边AC为直角边, 画第二个等腰Rt△ACD, 再以Rt△ACD的斜边AD为直角边, 画第三个等腰Rt△ADE, …, 依此类推, 第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题：规律型.分析：根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE的面积, 找出规律即可．解答：解: ∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形,∴S△ABC=×1×1==21﹣2；AC= = , AD= =2…,∴S△ACD=××=1=22﹣2；S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n ﹣2.故选A.故选A．点评：此题属规律性题目, 解答此题的关键是分别计算出图中所给的直角三角形的面积, 找出规律即可．15. （2007•台湾）以下是甲、乙两人证明+ ≠的过程:（甲）因为＞=3, ＞=2, 所以+ ＞3+2=5且=＜=5所以+＞5＞故+≠（乙）作一个直角三角形, 两股长分别为、利用商高（勾股）定理（）2+（）2=15+8得斜边长为因为、、为此三角形的三边长所以+＞故+≠对于两人A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确, 乙错误D．甲错误, 乙正确的证法,下列哪一个判断是正确的（）考点：勾股定理；实数大小比较；三角形三边关系. 菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型.分析：分别对甲乙两个证明过程进行分析即可得出结论.解答：解: 甲的证明中说明+ 的值大于5, 并且证明小于5, 一个大于5的值与一个小于5的值一定是不能相等的.乙的证明中利用了勾股定理, 根据三角形的两边之和大于第三边．故选A.故选A．点评：本题解决的关键是正确理解题目中的证明过程, 阅读理解题是中考中经常出现的问题．16. （2007•宁波二模）如图, A.B是4×5网格中的格点, 网格中的每个小正方形的边长都是1, 图中使以A.B.C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：勾股定理；等腰三角形的判定. 菁优网版权所有专题：探究型.分析：先根据勾股定理求出AB的长, 再根据等腰三角形的性质分别找出以AB为腰和以AB为底边的等腰三角形即可．解答：解: ∵A.B是4×5网格中的格点,∴AB= = ,同理可得, AC=BD=AC= ,∴所求三角形有：△ABD, △ABC, △ABE．故选B．点评：本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质, 先根据勾股定理求出AB的长是解答此题的关键．17.A．1B．C．D．（2006•郴州）在△ABC中, ∠C=90°,AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, △ABC内一点P到三边的距离都相等. 则PC为（）考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形的内切圆与内心. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：根据AC、BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根, 根据根与系数的关系求出．解答：解: 根据“AC, BC的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两个根”可以得出:AC+BC=7, AC•BC=12,AB2=AC2+BC2=25,AB=5,△ABC内一点P到三边的距离都相等, 即P为△ABC内切圆的圆心,设圆心的半径为r, 根据三角形面积表达式:三角形周长×内切圆的半径÷2=三角形的面积,可得出, AC•BC÷2=（AC+BC+AB）×r÷2,12÷2=（7+5）×r÷2,r=1，根据勾股定理PC= = ,故选B.故选B．点评：本题中考查了勾股定理和一元二次方程根与系数的关系. 本题中三角形内心与三角形周长和面积的关系式是本题中的一个重点.18. （2002•南宁）如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1.S2.S3, 则S1.S2.S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32考点：勾股定理. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：依据半圆的面积公式, 以及勾股定理即可解决．解答：解: 设直角三角形三边分别为a, b, c, 则三个半圆的半径分别为, ,由勾股定理得a2+b2=c2, 即（）2+（）2=（）2两边同时乘以π得π（）2+π（）2=π（）2即S1.S2.S3之间的关系是S1+S2=S3故选C.故选C．点评：根据勾股定理, 然后变形, 得出三个半圆之间的关系．19. （2001•广州）已知点A和点B（如图）, 以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形, 一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：等腰直角三角形. 菁优网版权所有专题：压轴题.分析：利用等腰直角三角形的性质来作图, 要注意分不同的直角顶点来讨论．解答：解: 此题应分三种情况:①以AB为腰, 点A为直角顶点；可作△ABC1.△ABC2, 两个等腰直角三角形；②以AB为腰, 点B为直角顶点；可作△BAC3.△BAC4, 两个等腰直角三角形；③以AB为底, 点C为直角顶点；可作△ABC5.△ABC6, 两个等腰直角三角形；综上可知, 可作6个等腰直角三角形, 故选C．点评：等腰直角三角形两腰相等, 顶角为直角, 据此可以构造出等腰直角三角形．关键是以AB为腰和以AB为底来讨论．A．2B．3C．4D．520. 设直角三角形的三边长分别为a、b、c,若c﹣b=b﹣a＞0, 则=（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：根据已知条件判断c是斜边, 并且得到c+a=2b, 然后根据勾股定理得到c2﹣a2=b2, 然后因式分解可以求出c﹣a, 代入要求的式子可以求出结果了．解答：解: ∵c﹣b=b﹣a＞0∴c＞b＞a, c+a=2b根据勾股定理得, c2﹣a2=b2, （c+a）（c﹣a ）=b2,∴c﹣a= b∴=4故选C.故选C．点评：此题主要利用了勾股定理和因式分解解题, 题目式子的值不能直接求出, 把它的分子分母分别用b表示才能求出．A．4B．6C ．8D．21. （1999•温州）已知△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2, 那么BD等于（）考点：勾股定理. 菁优网版权所有分析：由CD的长, 可求得AD的值, 进而可在Rt△ABD中, 由勾股定理求得BD的长．解答：解: 如图；△ABC中, AB=AC=10, DC=2；∴AD=AC﹣DC=8；Rt△ABD中, AB=10, AD=8；由勾股定理, 得：BD= =6；故选B．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用.22. 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=135°, ∠C=120°, AB= , BC= , CD= , 则AD边的长为（）A．B．C．D．考点：勾股定理. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：作AE⊥BC, DF⊥BC, 构建直角△AEB和直角△DFC, 根据勾股定理计算BE, CF, DF, 计算EF的值, 并根据EF求AD．解答：解: 如图, 过点A, D分别作AE, DF垂直于直线BC, 垂足分别为E, F.由已知可得BE=AE= , CF= , DF=2 ,于是EF=4+ .过点A作AG⊥DF, 垂足为G．在Rt△ADG中, 根据勾股定理得AD= = = = = .故选D.点评：本题考查了勾股定理的正确运用, 本题中构建直角△ABE和直角△CDF是解题的关键．A．16 B．18 C．12D．1223. 在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,AB=12,则△ABC的面积等于（）考点：勾股定理；三角形的面积. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：作∠ABD=∠A=15°, 则∠BDC=30°；设BC=x, 则BD=2x, CD= x, 计算AC=AD+CD=（2+ ）x, BC=x, AB=12, 根据勾股定理计算AC, BC的长度, △ABC的面积为根据•BC•AC计算可得．解答：解: 如图, 作∠ABD=∠A=15°BD交AC于D, 则∠DBC=75°﹣15°=60°在Rt△BCD中, 因为∠BDC=90°﹣∠DBC=30°所以BD=2BC, CD= BC设BC=x,所以BD=2x, CD= x因为∠A=∠ABD, 所以AD=BD=2x所以AC=AD+DC=（2+）x在Rt △ABC中AC2+BC2=AB2∴∴，故选B.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用, 考查了直角三角形面积的计算, 本题中设BC=x, 根据直角△ABC求x的值, 是解题的关键．24. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, AC=BE=15, BC=20. 则四边形ACED的面积为（）A．54 B．75 C．90 D．96考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质. 菁优网版权所有分析：先利用勾股定理求出AB的长, 再根据相似三角形对应边成比例求出DE、BD的长, 然后代入面积公式即可求解．解答：解: ∵∠BDE=∠C=90°, ∠B=∠B∴△BDE∽△BCA∴BE: BA=BD: BC∵AC=BE=15, BC=20∴AB==25∴15: 25=BD: 20∴BD=12∴DE=9∴S△BDE=×12×9=54；S△ABC=×15×20=150∴四边形ACED的面积=S△ABC﹣S△BDE=150﹣54=96故选D.故选D．点评：此题主要考查了学生对相似三角形的性质及勾股定理的运用.25. 如图, 在△ABC中, 分别以AB.BC为直径的⊙O1.⊙O2交于AC上一点D, 且⊙O1经过点O2, AB.DO2的延长线交于点E, 且BE=BD. 则下列结论不正确的是（）A．A B=AC B．∠BO2E=2∠E C．A B=BE D．E O2=BE考点：勾股定理；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理. 菁优网版权所有专题：证明题；压轴题.分析：根据等腰三角形的性质证出∠BO2E=2∠BDE, 即可得出答案B错误, 假设A成立证出C也正确, 即可判断A、C都错误, 即可选出选项．解答：解: A.∵∠ABC+∠EDA=180°, ∠ADB=90°,∴∠EDB+∠ABC=90°.∵∠BDE+∠EDC=90°, 且∠EDC=∠BCA．∴∠ABC=∠BCA.∴AB=AC. 正确, 故本选项错误；B.∵O2B=O2D,∴∠DBO2=∠EDB,∴∠BO2E=2∠BDE,∵BE=BD,∴∠BDE=∠E,∴∠BO2E=2∠E, 正确, 故本选项错误；C.∵AC=AB,∴∠C=∠ABC,∵∠BO2E=2∠BDE, ∠ABC=∠BO2E+∠E,∴∠ABC=3∠E,∵BC为⊙O2的直径,∴∠CDB=90°,∴4∠E=90°,∠E=22.5°∴∠C=∠ABC=67.5°,∴∠A=180°﹣2×67.5°=45°,在Rt△ABD中由勾股定理得：AB= BD= BE, 正确, 故本选项错误；D.故本选项正确；故选D.故选D．点评：本题主要考查了勾股定理, 三角形的内角和定理, 等腰三角形的性质, 圆周角定理, 对顶角, 邻补角等知识点, 综合运用性质进行证明是解此题的关键．26. 如图, 在正方形网格中, cosα的值为（）A ．1B ．C ．D．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义. 菁优网版权所有专题：网格型.分析：cosα的值可以转化为直角三角形的边的比的问题, 先根据勾股定理求出AB的长, 再在Rt△ABC中根据三角函数的定义求解．解答：解: 在Rt△ABC中, BC=3, AC=4,则AB= =5,则cosα= = .故选D．点评：本题考查勾股定理和锐角三角函数的概念：在直角三角形中, 正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．27. 直角A．10 B．2C．4或10 D．10或2三角形一边长为8,另一条边是方程x2﹣2x﹣24=0的一解, 则此直角三角形的第三条边长是（）考点：勾股定理；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：分类讨论.分析：先解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4, 所以另一条边是6, 再分两种情况考虑：①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是2 ；②若8和6是两条直角边, 再用勾股定理求斜边得10．解答：解: 根据题意得解方程x2﹣2x﹣24=0, 得x1=6, x2=﹣4,所以另一条边是6,①若8为斜边, 则用勾股定理得第三条边长是=2 ；②若8和6是两条直角边, 则此直角三角形的第三条边长是=10．故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题考查了勾股定理、解方程. 解题的关键是要注意分情况讨论.28. 如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽, 它由4个相同的直角三角形拼成, 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4, 则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是（）A．1：5 B．1: 25 C．5：1 D．25: 1考点：勾股定理的证明. 菁优网版权所有分析：根据勾股定理可得大正方形ABCD的边长, 再根据和差关系得到小正方形EFGH的边长, 根据正方形的面积公式可得大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积, 进一步即可求解．解答：解: 如图, 设大正方形的边长为xcm,由勾股定理得32+42=x2,解得：x=5,则大正方形ABCD的面积为: 52=25；∵小正方形的边长为: 4﹣3=1,∴小正方形EFGH的面积为: 12=1.则大正方形ABCD和小正方形EFGH的面积比是25：1.故选：D.故选: D．故选：D．点评：本题考查勾股定理及正方形的面积公式, 比较容易解答, 关键是求出大小正方形的边长．29. 如图, 已知△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, 直角∠EPF的顶点P是BC中点, 两边PE、PF分别交AB.AC于点E、F, 给出以下四个结论:①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；。

第一章 勾股定理 分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 八年级数学上册一、单选题1．学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下：甲：如果是直角三角形，那么一定成立；乙：在中，如果，那么不是直角三角形．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A ．甲对，乙错B ．甲错，乙对C ．两人都错D ．两人都对2．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ）A ．4B ．2CD ．33．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离等于（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠ABO ＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD 的长是（ ）ABC V 222a b c +=ABC V 222a b c +≠ABC V ABC V 90ACB ∠=︒AC AB 1S 2S 13S =27S =BC A 3AB = 1.8CD 1.6 1.6BC =AD 2.0 2.2 2.25 2.5A ．3B ．4C ．2D ．35．如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知矩形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）A．B ．C ．D ．7． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．28．如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面6cm 16cm 25cm 6cm 5cm 9cm (25cm -ABCD 4AB =3BC =P BC CDP V DP C E PE DE AB O F OP OF =DF 3911451317557173276256101尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，过矩形对角线的交点，作对角线的垂线，交于点，交于点，若，，则的长等于（ ）A ．B ．CD ．10．在Rt 中，.以为圆心，AM 的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N.再分别以M ，N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点.连接AP ，并延长AP 交BC 于点.过点作于点，垂足为，则DE 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．1二、填空题11．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为 米．12．下图是公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角 ，而走“捷径 ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路 ”.已知 米， 米，只为少走 米的路. x 222510x +=()2221015x -+=()22215x x -+=()22251x x +=-ABCD O BD AD E BC F 3AE =5BF =EF 48ABC V B ∠=90,8,10AB AC ︒==A P D D DE AC ⊥E E 8345ABC ∠AC AC 40AB =30BC =13．若的三边，，满足，则的面积是 ．14．如图，矩形ABCD 中， ， ，CB 在数轴上，点C 表示的数是 ，若以点C 为圆心，对角线CA 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点P ，则点P 表示的数是 .15．有一根长7cm 的木棒，要放进长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱， (填“能”或“不能”)放进去。

勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。

2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。

3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。

所以 x 的值为√13 或√5 。

4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。

勾股定理及常见题型分类一、知识要点：1.勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

2.勾股定理的证明方法包括几何证明和代数证明，其中几何证明使用勾股树。

3.勾股定理的逆定理是指若一个三角形的三边满足勾股定理，则该三角形是直角三角形。

4.勾股定理常见题型包括勾股定理的应用、勾股定理的证明和勾股定理的逆定理。

二、典型题题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积1.如图所示，正方形A、B、C、D构成了一棵勾股树，求最大正方形E的面积。

2.如图所示，直线l上有三个正方形a、b、c，已知a、c 的边长分别为6和8，求b的面积。

3.如图所示，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，探索三个半圆的面积之间的关系。

4.如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是S1+S2=S3.5.如图所示，依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是4、5、6、7.题型二：勾股定理与图形问题1.如图所示，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是n+1.2.如图所示，求该四边形的面积。

3.如图所示，已知在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为3.4.如图所示，某公司的大门为长方形ABCD，上部为以AD为直径的半圆，已知AB=2.3m，BC=2m，卡车高2.5m，宽1.6m，判断卡车是否能通过公司的大门，并说明理由。

5.如图所示，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

题型三：已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm、2cm，则斜边长为√5cm。

2.已知直角三角形的两边长为3cm、2cm，则另一条边长的平方是5cm²。

勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长.1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元举一反三【变式1】如图，已知：，，于P . 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C 点。

（1）求A 、C 两点之间的距离。

（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向。

150°20m30m举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

作法：如图所示举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

勾股定理练习题（打印版）### 勾股定理练习题#### 一、基础应用题1. 直角三角形边长问题已知直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

2. 梯形问题一个梯形的两底边长度分别为5厘米和10厘米，高为4厘米，求梯形的对角线长度。

3. 实际测量问题一座建筑物的高为30米，从地面到建筑物顶部的水平距离为40米，求建筑物顶部到地面的直线距离。

4. 井深问题一根绳子从井口垂下，绳子的长度比井深多5米，如果绳子的长度是17米，求井的深度。

5. 道路设计问题设计一条道路，使其从A点到B点的距离最短。

已知A点到C点的水平距离为100米，C点到B点的垂直距离为50米，求A点到B点的最短距离。

#### 二、进阶应用题1. 三角形面积问题一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，求该三角形的面积。

2. 三角形相似问题两个直角三角形的对应边长比例为2:3，如果较小三角形的斜边长度为10厘米，求较大三角形的斜边长度。

3. 建筑施工问题在建筑施工中，需要确定一个直角三角形的斜边长度，已知斜边上的高为20米，斜边到高的水平距离为50米，求斜边的长度。

4. 航海问题一艘船从港口出发，以20海里/小时的速度向北航行了2小时，然后以相同的速度向东航行了3小时，求船现在与港口的直线距离。

5. 几何证明问题证明在一个直角三角形中，如果斜边的中点到任一顶点的距离等于斜边长度的一半。

#### 三、综合应用题1. 公园设计问题一个公园的设计中需要一个矩形花坛，其对角线长度为20米，求花坛的长和宽。

2. 桥梁建设问题一座桥梁的两个支撑点之间的水平距离为150米，垂直高度为50米，求桥梁的主梁长度。

3. 卫星轨道问题一颗卫星绕地球运行，其轨道是一个以地球中心为圆心的圆，卫星到地球中心的距离为36000公里，求卫星的轨道半径。

4. 古代建筑问题一座古代建筑的基座是一个正方形，其对角线长度为10米，求基座的边长。

5. 数学竞赛问题在一个数学竞赛中，给出一个直角三角形的两条直角边长度分别为5厘米和12厘米，求斜边的长度，并证明勾股定理。

可编辑修改精选全文完整版第一章《勾股定理》练习题一、选择题（8×3′=24′） 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是（ ） A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或3607、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ） A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.58、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 二、填空题（12×3′=36′）9、在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________。

勾股定理全章复习类型一：已知两边求第三边例1：⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长变式练习：已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数_____时，这三条线段能围成一个直角三角形．类型二：判断三角形形状例1：下列线段不能组成直角三角形的是( )．A. B. C. D. 2、若三角形的三边长为a ，b ，c ，且满足等式(a ＋b)2－c 2＝2ab ，则此三角形是______三角形．变式练习1：判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；2、若边长为a 的正方形的面积等于长为b ＋c ，宽为b －c 的长方形的面积，则以a ，b ，c 为三边长的三角形是______三角形．3、已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且a ＋b ＝7，ab ＝12，c ＝5，试判定△ABC 的形状．类型三：勾股树及变形例1：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

6,8,10a b c ===3,2,1===c b a 43,1,45===c b a 6,3,2===c b a a b c ，，a b c a 43b c 3422a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >> A B C D7cm15题 变式练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 2018的值为( )A ．(22)2015 B ．(22)2016 C ．(12)2015 D ．(12)2016 类型四：勾股定理证明的应用例1：如图1，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A S 1＝S 2B S 1＜S 2C S 1＞S 2D 无法确定变式练习：如图，Rt△ABC 中，AC =5，BC =12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．类型五：数轴表示数例题1：在数轴上表示√17变式练习：如图，数轴上有两个直角三角形Rt △ABO 、Rt △CDO ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 。

1、直角三角形中，一直角边长为3，斜边长为5，则另一直角边长为：A. 2B. 3C. 4D. 6（答案）C2、若等腰直角三角形的腰长为a，则其斜边长为：A. a2B. 2aC. a√2D. a/√2（答案）C3、在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为：A. 3+4B. 5C. 7D. √(32+42)（答案）D（但实际计算结果为5，与B相同，此处考察的是勾股定理的应用过程）4、一个直角三角形的两条直角边分别增加20%和30%，那么斜边增加的百分比最接近：A. 20%B. 25%C. 30%D. 50%（答案）B（实际增加百分比需通过计算得出，但接近25%）5、已知直角三角形的一直角边长为5，斜边与另一直角边之差为2，则斜边长为：A. 6B. 7C. 8D. 9（答案）D6、设直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，若a+b=10，c=8，则ab的值为：A. 18B. 36C. 50D. 64（答案）B（利用勾股定理a2+b2=c2和(a+b)2=a2+2ab+b2求解）7、一个直角三角形的斜边长为10，一直角边与斜边之比为3:5，则另一直角边长为：A. 4B. 5C. 6D. 8（答案）A（利用比例关系和勾股定理求解）8、直角三角形中，若斜边长为斜边上的高的5倍，则较小的锐角为：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°（答案）B（利用三角函数和勾股定理求解）9、在直角三角形中，若一直角边长为6，斜边上的高为4，则斜边长为：A. 8B. 9C. 10D. 12（答案）C（利用直角三角形的面积公式和勾股定理求解）10、已知直角三角形的两直角边a和b满足a+2b=10，且斜边c为整数，则c的可能取值为：A. 4或5B. 5或6C. 6或7D. 7或8（答案）B（通过枚举和勾股定理验证）。